Kopula Függvények Kalibrálása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kopula Függvények Kalibrálása"

Átírás

1 Kopula Függvények Kalibrálása - Tudományos Diákköri Dolgozat - Konzulens: Dr. Medvegyev Péter Készítette: Bagaméry Gerg, III. évf. Pénzügy és Számvitel BSc Pénzügy szakirány március 26. A BCE Közgáz Campus Tudományos Diákköri Konferenciáját a TÁMOP-4.2.2/B-10/ azonosítójú "A tudományos képzés m helyeinek átfogó fejlesztése a Budapesti Corvinus Egyetemen" cím projektje támogatja.

2 Kivonat dolgozatomban bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika széles A körben alkalmazott eszközeit, és egy speciális vonatkozását a kvantitatív pénzügyekben. Ezek után rátérek a kopula paraméterek becslésére, másnéven a kopula kalibrációra. Három eljárást is ismertetek (ML, IFM, CML), majd ezeket összevetem egy "vegytiszta" szimuláció során. Egy rövid fejezet erejéig szót ejtek a szintetikus CDO-k alapvet karakterisztikáiról, majd ezek után bemutatom az árazásuk hátterében lév matematikai gondolatmenetet. A dolgozatom hátralév részében kipróbálom a Gauss és Studen t- kopula modelleket a gyakorlatban, konkrétabban bemutatom az árazását egy szintetikus CDO-nak, melynek referencia portfóliója az itraxx Europe CDS index 14. szériája. Végül rávilágítok a két modell különbségeire a CDO tranche spreadekre gyakorolt hatásaik tükrében. A dolgozatban bemutatott felület ábrázolásokat és szimulációkat MATLAB - ban és "R"-ben készítettem el. Rengeteg dolgozat és publikáció található, amely a válságot és hozzá köthet derivatívákat boncolgatja. Szintén sok munka szól a válságban szerepet játszó Li-modellr l, illetve általánosan a Gauss egyfaktoros modellr l. Ezen munkák nagyrésze pontosan leírja a modell hibáit. Nekem nem célom ezeknek a hibáknak a részletes felfedése és tárgyalása. Dolgozatomban arra keresem a választ, hogy hogyan ragadható meg empirikusan a Gauss és Student t- kopulák közötti különbség a CDO-k árázásában.

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Kopulák Elliptikus kopulák Gauss kopula Student t- kopula Mintavétel A Kopulák kalibrálása Maximum Likelihood Módszer (ML) Inference Functions for Margins Módszer (IFM) Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML) A módszerek tesztelése A CDO-k bemutatása és árazásuk A CDO A szintetikus CDO árazása A cs d intenzitás meghatározása A veszteség eloszlás meghatározása A fair prémium megadása CDO árazás, egy numerikus példa A hazárd függvény kalibrálása A kopula függvény kalibrálása A modell Eredmények Összefoglalás 32 A. Kódok 33 1

4 Ábrák jegyzéke 2.1. Gauss kopula s r ségfüggvénye (R=0,1) Student t- kopula s r ségfüggvénye (R=0,1 ; ν=13) Gauss és Student t-mintavétel szimuláció, R=0.5, ν= Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν= Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν= Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν= A Log-likelihood függvény maximalizálása A determinisztikus hazárd ráták alakulása A Gauss és a Student kopulával árazott tranche spread-ek alakulása Az Equity tranche árfelülete A Gauss kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete A Student kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete A Gauss kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete A Student kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete

5 1. fejezet Bevezetés dolgozatom célja az elliptikus, Gauss és Student t- kopulák hatásának vizsgálata a A CDO-k árázásának tükrében. E két kopula vizsgálata nem véletlenül képzi tárgyát szakdolgozatok és publikációk hadának világszerte, hiszen a hitelportfólióban lév elemek összetételéhez alapvet eltéréssel állnak hozzá. A szakma kitüntetett gyelme e matematikai eszközök iránt a bonyolultabb derivatív termékek megjelenésével állítható párhuzamba, holott azok már Wassily Höeding 1940-es cikke óta ismertek. A strukturált derivatív termékek megjelenésével tulajdonképpen megtörtént a kopulák "újra feltalálása" melynek id pontját a legtöbben David Li ben megjelent cikkére tennék. Az ebben bemutatott modell esszenciális eszközévé vált a hitel portfólió cs deloszlásának meghatározására, azonban mint kés bb világossá vált, talán túl gyorsan ültették át az elméletet a gyakorlatba. A dolgozatban arra keresem a választ, hogy a kopula különböz megválasztása és annak kalibrálása a piaci adatokhoz, milyen hatást gyakorol a CDO árazás eredményeire, nevezetesen arra vagyok kíváncsi, hogy milyen eltérés mutatkozik egy Gauss és egy Student t- kopulával elvégzett árazás eredményein a különböz tranche-okra lebontva. Fontos megemlítenem, hogy a dolgozatban nem célom a Li modell és annak hibáinak részletes bemutatása annak ellenére, hogy a numerikus példa során erre a modellre építünk. Vizsgálódásainkat csupán a modell, különböz kopulák használata mellett kinyert eredményeinek összehasonlítására korlátozzuk. A dolgozat során el ször bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika univerzális, függ ségi struktúra megjelenít it. Vizsgálódásaink során kizárólag az elliptikus kopulákkal foglalkozunk, melyek bemutatása után rátérek az összehasonlításukra. Egy mintavételi algoritmus ismertetése után belátjuk, hogy a Student t- kopulából vett minták jobban koncentrálódnak a sarkokon, azaz használatukkal jobban modellezhet ek az extrém esetek. Ezen tulajdonsága a t- kopulának igencsak kedvez a modellezés szempontjából, hiszen nem nehéz belátni, hogy az extrém veszteségek el fordulása a hitel portfólióban igencsak valószín esemény lehet, f leg ha a már el fordult gazdasági recessziókra gondolunk. Ezek után bemutatok három becslési módszert melyek segítségével egy iterációs folyamat során meghatározhatjuk a kopula paramétereit egy diszkrét id sor alapján. Megismerkedünk a lokális maximum problémájával majd a módszerek tesztelésére egy szintetikus, azaz ismert paraméterekkel rendelkez id sort generálunk és azokra 3

6 végezzük el a becslést, meggyelve, hogy mekkora pontossággal kaptuk vissza a bemeneti paramétereket. A becslések során nem elhanyagolandó szempont a számítási id sem, amely szintén fontos lehet a kalibrációs eljárás megválasztásánál. Ezek után rátérek a szintetikus CDO-k alapvet karakterisztikáinak ismertetésére, ahol f ként a dolgozatban bemutatott modellezés szempontjából releváns témák kerülnek feldolgozásra. Szintén bemutatásra kerül az árazás matematikai háttere mely elméleteket a dolgozat végén átültetünk a gyakorlatba. A referencia portfólió cs d eloszlásának meghatározása, mely terület a leginkább vitatott a témában, szintén bemutatásra kerül, amely gyakorlati alkalmazása, a hazárd függvény kalibrálásának bemutatása után válik végleg világossá. Végül egy gyakorlati példán keresztül megkapjuk a választ a dolgozat elején feltett kérdésre, azaz rávilágítunk a két különböz kopulával elért eredmények különbségeire. 4

7 2. fejezet Kopulák kopulák az összefügg ségi struktúra univerzális megjelenít i, melyek segítségével két A vagy több változó együttes eloszlásának elemzését végezhetjük el. Széles körben alkalmazzák id járás és gyógyszerkutatásokban, építészetben és a kvantitatív pénzügyekben. Leggyakrabban a portfóliók cs d modellezését végezzük kopulákkal, mely során meghatározhatjuk, hogy az egyes termékek vesztesége milyen mértékben eredményezte a portfólió veszteségét. Ezen kívül még megvizsgálhatjuk, hogy a portfólióban lév termékek közötti korreláció következtében fellép veszteségek a portfólió veszteségének mekkora részét teszik ki. A következ kben f ként McNeil et al 2005 munkájára támaszkodunk. 1. Deníció (Kopula). Egy d dimenziós kopula olyan C : [0, 1] d [0, 1] leképzés, amely sztenderd egyenletes peremeloszlással rendelkezik. A kopula az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: C(U 1,..., U d ) minden U i komponensében szigorú monoton növekv. az i edik peremeloszlás, C(1,..., 1, U i, 1,..., 1) = U i azaz U i = 1 lesz minden i j esetben. (a 1,..., a d ), (b 1,..., b d ) [0, 1] d és a i b i esetén 2... i 1 =1 2 ( 1) i i d C(u 1i1,..., u did ) 0 i d =1 ahol u j1 = a j és u j2 = b j, j {1,..., d} Egy d - dimenziós kopula, bármely k - dimenziójú pereme is kopula, ahol teljesül 2 k d. A kopulák szakirodalmának talán legtöbbet hivatkozott tétele Sklar 1959-es elméletéb l született, amely alapján bevezetésre kerül a kopulákkal való függ ségi struktúra modellezése. 5

8 2. Tétel (Sklar). Legyen F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény F 1,..., F d perem eloszlásokkal. Ekkor létezik egy C : [0, 1] d [0, 1] kopula, amelyre x R n esetén igaz, F (x 1,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )) (2.1) és ha F 1, F 2,..., F n folytonos n esetén, akkor C egyértelm. Vagyis, ha adottak F 1,..., F d marginális eloszlások és C egy kopula, akkor a 2.1 által deniált F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény az F 1,..., F d peremekkel. Láthatjuk, hogy a tétel alapgondolata, hogy minden többváltozós eloszlásfüggvény esetén a peremeloszlásokat külön tudjuk választani a függ ségi struktúrától, így azokat egymástól függetlenül tudjuk vizsgálni. A tételnek van egy fontos következménye is. 3. Állítás. Legyen G egy n-dimenziójú eloszlásfüggvény, folytonos (F 1,..., F n ) peremeloszlásokkal, és C egy n-dimenziójú kopula függvény. Ekkor minden u [0, 1] n esetén: C(u 1,..., u n ) = G(F 1 1 (u 1 ),..., F 1 n (u n )) ahol F 1 i (u i ) a kummulatív eloszlásfüggvény inverze. Fontos megjegyezni, hogy egy kopula minden esetben két korlát között helyezkedig el. Alsó korlátjául a kontramonoton 1, fels korlátjául pedíg a komonoton 2 kopula szolgál. 4. Tétel (Fréchet-Hoeding határok). Minden C(u 1,..., u d ) kopulára fenáll a { d } max u i + 1 d, 0 C(u 1,...u d ) min{u 1,..., u d } egyenl tlenség. i=1 Ábrázolva a két határ eloszlásfüggvényt, valamint a függetlenségi 3 kopulát, megkapjuk az összes el állítható eloszlásfüggvény típust. Vegyük észre, hogy a két határ kopulának nem léteznek s r ségfüggvényei mivel nem dierenciálhatóak. Nézzük meg, hogy hogyan kapjuk meg egy kopula s r ségfüggvényét. 5. Deníció (Kopula s r ségfüggvény). Ha a kopula d - szer dierenciálható akkor s r ségfüggvénye: C(U 1,..., U d ) := d C(U i,..., U d ) U i... U d (2.2) Most, hogy áttekintettük a kopulák f bb tulajdonságait, rátérek a részletesebb tárgyalásukra. 1 C (u 1,..., u d ) = max{ d i=1 u i + 1 d, 0} 2 C + (u 1,..., u d ) = min{u 1,..., u d } 3 C (u 1,..., u d ) = d i=1 u i 6

9 2.1. Elliptikus kopulák A kopuláknak két f bb fajtája van: az elliptikus eloszlásból származóak, illetve az Arkhimédeszi kopulák. Dolgozatomban az elliptikus azaz Gauss iletve Student -t kopulákkal foglalkozok. Az Arkhimédeszi kopulák (Gumbel, Clayton, Galambos) tárgyalása nem képezi részét a vizsgálódásainknak. Fang et.al. (1987) deníciója alapján: 6. Deníció (Elliptikus eloszlás). Ha X egy n-dimenziójú vektor véletlenszer változókkal és µ N n, és egy nxn -es nemnegatív denit, szimmetrikus mátrix, akkor X µ karakterisztikus függvénye ϕx µ (t) függvénye a t t kvadratikus alaknak, ekkor X -nek elliptikus eloszlása van (µ,, ϕ) paraméterekkel és így X E n (µ,, ϕ). A kopulák tárgyalásánál leggyakrabban a s r ségfüggvényüket ábrázoljuk, de szokás még eloszlásfüggvényüket is vizsgálni. A következ kben ábrázolom a Gauss és a Student t - kopula s r ségfüggvényét MATLAB segítségével, ezek után mintavétellel fogom szemléltetni a két kopula közötti különbségeket. A vonatkozó MATLAB kódok a mellékletben találhatóak. (A mintavételi algoritmus Embrechts et al(2001) alapján.) Gauss kopula 7. Deníció (Gauss kopula). Az n-változós normál eloszlás kopulájához legyen R egy szimmetrikus pozitív denit mátrix, és legyen Φ N R az együttes eloszlásfüggvénye az n- változós normális eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal. Φ 1 jelöli a normális eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula: C G R (u) = Φ N R (Φ 1 (u 1 ),..., Φ 1 (u n )), (2.3) Egy többváltozós esetben a kopula felírható még a C G R (u, v) = formában is. Φ 1 (u) Φ 1 (v) 1 exp 2π(1 R12) 2 1/2 { s2 2R 12 st + t 2 2(1 R 2 12) } dsdt. (2.4) A mellékletben megadott MATLAB kód segítségével ábrázolhatjuk a Gauss kopula s - r ségfüggvényét. A kód segítségével, különböz korrelációs értékeket megadva megnézhetjük, hogy hogyan változik a s r ségfüggvény alakja. Ennek kipróbálását az Olvasóra bízom. 7

10 2.1. ábra. Gauss kopula s r ségfüggvénye (R=0,1) A ábrán láthatjuk, hogy a s r ségfüggvény két széle elnyúlik felfelé. A Student t- kopulánál is meggyelhet lesz a szélek felfelé nyúlása, ennek magyarázatát azonban csak a fejezetben szemléltetem Student t- kopula 8. Deníció (Student t- kopula). Az n-változós Student t- eloszlás kopulájához legyen R egy szimmetrikus pozitív denit mátrix és legyen t n ν,r az együttes eloszlásfüggvénye az n-változós Student t- eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal és ν szabadságfokkal. jelöli a Studen t- eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula t 1 ν Cν,R(u) t = t n ν,r(t 1 ν (u 1 ),..., t 1 ν (u n )) (2.5) alakot ölt. Ez másképpen felírható még a C t ν,r(u, v) = módon is. tν 1 (u) tν 1 (v) 1 2π(1 R 2 12) 1/2 } {1 + s2 2R 12 st + t 2 (ν+2)/2 dsdt. ν(1 R12) 2 (2.6) 8

11 2.2. ábra. Student t- kopula s r ségfüggvénye (R=0,1 ; ν=13) A t-kopula ν esetén konvergál a Gauss kopulához, ami azt jelenti a gyakorlatban, hogy kell en nagy szabadságfok paramétert megadva a Gauss kopula alakját veszi fel Mintavétel Most bemutatok két véletlenszer mintavételi algoritmust elliptikus kopulákból, Embrechts et al(2001) alapján. Gauss A véletlenszer változók generálása a CR Gauss következ képpen történik: kopulából egy R korrelációs mátrixszal a Számítsuk ki Cholesky-felbontással 4 A-t R-b l ahol R = A A T. Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z 1, z 2,..., z n ), amik N(0,1)-b l származnak. Legyen x = Z A Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = Φ(x) kiszámításával kapunk. Ekkor, u C Gauss R 4 A Cholesky-felbontás a szimmetrikus, pozitív denit mátrixok felbontása alsó trianguláris mátrixok és azok konjugált transzponáltjainak szorzatává. 9

12 Student t A véletlenszer változók generálása a CR,ν Student kopulából egy R korrelációs mátrixszal és ν szabadságfokkal a következ képpen történik: Számítsuk ki Cholesky-felbontással A-t R-b l ahol R = A A T. Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z 1, z 2,..., z n ), amik N(0,1)-b l származnak. Adjunk meg egy független χ 2 ν véletlen s változót. Legyen y = z A Legyen x = y ν s Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = t ν (x) kiszámításával kapunk. Ekkor u C Student R,ν A mintavételi algoritmusokat leprogramozva MATLAB-ban és 4000 szimulációt véve a 2.3 ábrát kapjuk ábra. Gauss és Student t-mintavétel szimuláció, R=0.5, ν=5 Meggyelhetjük, hogy a t-kopulából vett minta a jobb fels és bal alsó sarkaiban sokkal koncentráltabb mint a Gauss kopula esetén, amely jelenség magyarázható a két kopula s r ségfüggvényével. Ha megnézzük ket láthatjuk, hogy a t-kopula s r ségfüggvénye sokkal jobban nyúlik felfelé a sarkainál. Érdemes növelni a szimulációk számát, hogy ezt az elnyúlást jobban meggyelhessük. Vegyünk most szimulációt. 10

13 2.4. ábra. Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν=5 Láthatjuk, hogy a 2.4 ábrán már sokkal szembet n bb a sarkok koncentrálódása. Ilyen magas mennyiség szimulációnál meggyelhetjük továbbá a másik két sarok (bal fels, jobb alsó) koncentráltságát is. Ennek pontosabb szemléltetésére a szimuláció során kapott pontokat összekötöttem egy vonallal és fekete színt állítottam be ábra. Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν=5 Itt nem látszik az, hogy mennyire koncentráltak a pontok viszont tisztábban kirajzolódik a t- kopula bal fels és jobb alsó sarkának fontossága. Ez a jelenség szintén visszavezethet a s r ségfüggvényre. Ezek a sarok elnyúlások mutatják, hogy a t- kopula jobban modellezi az extrém-értékek el fordulását. A mintavételt még ábrázolhatjuk az "R" statisztikai 11

14 programcsomaggal is, a "copula" 5 csomag segítségével. Itt három dimenziós mintavételt csináltam, láthatjuk, hogy a korábban meggyelt jelenségek itt is felt n ek ábra. Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν=5 5 A csomagot Jun Yan fejlesztette ki 12

15 3. fejezet A Kopulák kalibrálása különböz derivatív termékek árazásánál, de más applikációknál is igen fontos a megfelel kopula kiválasztása, illetve a kopula paraméterek (korreláció, szabadságfok) A pontos kalibrálása a valós piaci adatokhoz. Gauss típusú függ ségnél a korrelációt, Student t- nél pedig a korrelációt és a szabadságfokot kell meghatároznunk, melyre több módszer is a rendelkezésünkre áll. A paraméterek becsl iben fontos szerepet játszanak a rangkorrelációs együtthatók, úgy mint a Spearman féle ρ vagy a Kendall féle τ. A kalibráció pontossága hatással van az egész modellezésre alkalmazástól függetlenül. Mi sem bizonyítja jobban a téma fontosságát, mint a szakirodalom folyamatos kitüntetett gyelme. Ebben a fejezetben bemutatok néhány becsl eljárást, majd ezeket egy konkrét alkalmazáson keresztül összehasonlítom. Tételezzünk fel 1, hogy vizsgálódásainkat egy diszkrét id soron végezzük, amely: X = (X i1,..., X id ) n i=1, ahol n jelöli a meggyelések számát és d a dimenziók számát, vagyis ezzel adjuk meg, hogy hány alaptermékünk van. Legyen β az a vektor, ami a perem paramétereket tartalmazza, és α az a vektor ami a kopula paramétereket. A paraméter teret Θ -val jelöljük Maximum Likelihood Módszer (ML) A becslés során célunk egy ismeretlen θ paraméter becslése, amelyre rendelkezésünkre áll egy diszkrét id sor skalár érték valószín ségi változókkal, amelyek a paraméterre vonatkozó információkat tartalmaznak. A becslés során el ször is szükségünk van egy úgynevezett log-likelihood függvényre, amelyet kiterjesztünk az együttes valószín ségi s r ségfüggvényel. A θ paramétert ennek a kiterjesztett log-likelihood függvénynek a maximalizálásával kapjuk meg 3.4 mellett. A paraméter becslése során a paraméter el fordulásának a valószín ségét akarjuk maximalizálni. Ezt az úgynevezett "likelihood" függvény maximalizálásával tehetjük meg. Az ML becslés alapjait R.A. Fisher fektette le. Az elmélet szerint a kívánt valószín - ségi eloszlás az, amely a vizsgált id sort a legvalószín bbé teszi. Ebb l következik, hogy 1 Jun Yan - Enjoy The Joy of Copulas, alapján 13

16 azt a paraméter vektort keressük, amely a likelihood függvényt maximalizálja. Úgy is mondhatjuk, hogy azokat az eloszlás paramétereket keressük, amelyek létrehoznak egy olyan eloszlást, amely a legnagyobb valószín séggel generálta a vizsgált id sort. A számítást megkönnyít okokból a likelihood függvény logaritmizált változatát maximalizáljuk, amely az eredmény szempontjából nem hoz különbséget, hiszen egymásnak monoton transzformáltjai. Az optimalizálási algoritmus lefuttatása során az els deriváltból határozzuk meg a maximum/minimum pontot. Ezek után a második deriváltal sz rjük le ezekb l a maximum pontokat, ezért fontos, hogy paramétereknél a log-likelihood függvény konvex legyen ábra. A Log-likelihood függvény maximalizálása Az algoritmus lefuttatása közben, a leggyakrabban el forduló hiba a lokális maximum problémája. A 3.1 ábrán láthatjuk, hogy a B kivételével minden pont lokális maximum, becslésünk során mi azonban a függvény globális maximumát keressük. Az iterációs folyamatot -,amelyet az ábrán nyilakkal jelöltem- az eljárási algoritmustól függ en vagy egy véletlenszer, vagy egy valamilyen ismérv alapján el re megadott X n pontban kezdjük el. Láthatjuk azonban, hogy egy rosszul meghatározott kezd pont könnyen egy lokális maximum meghatározásához vezethet. Ha például az X 1 pontban kezdjük a folyamatot, akkor az A lokális maximumot kapjuk eredményül, ha azonban X 2 a kezd pontunk, akkor a globális maximum, azaz a B pont lesz a maximalizálás eredménye. Létezik egy olyan sztochasztikus optimalizálási elmélet (Kirkpatrick, Gelatt & Vecchi, 1983), amely képes kiküszöbölni a lokális maximum problémáját, azonban gyakorlati alkalmazása több akadályba is ütközik. A leggyakrabban használt eljárások a szimulációs futások számát növelik a nagyobb pontosság elérésében. A 3.4 fejezetben részletesebben szemléltetem a szimulációs szám megválasztásának fontosságát. Most határozzuk meg az ML loglikelihood függvényt, Használva a 2.1 Sklar tételt, és kihasználva az eloszlás és a s r ségfüggvény közötti kapcsolatot: 14

17 f(x) = F (x) x megkaphajuk a c(f 1 (x 1 ),..., F d (x d )) többváltozós kopula s r ség és a C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )) kopula összekapcsolását: amib l megkapjuk, hogy: f(x 1,..., x d ) = n [C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d ))] F 1 (x 1 ),..., F d (x d ) d f i (x i ), i=1 d f(x 1,..., x d ) = c(f 1 (x 1 ),..., F d (x d )) f i (x i ), (3.1) Nézzük meg a likelihood függvényt n idei meggyeléseinkre: i=1 Ezt kiterjesztve a 3.1 egyenlettel megkapjuk a n l(θ) = l i (3.2) i=1 l(θ) = n log c{f 1 (X i1 ; β),..., F p (X ip ; β); α} + i=1 n p log f i (X ij ; β) (3.3) i=1 j=i log-likelihood függvényt. Deniáljuk a Maximum Likelihood becsl t ˆθ ML = arg max l(θ) (3.4) θ=θ A θ paraméter becsléséhez tehát a 3.3 függvényt kell maximalizálnunk 3.4 mellett Inference Functions for Margins Módszer (IFM) Az kalibráció során gyakorta felmerül a probléma, amelyet a túl nagy id sorok által okozott számítási sebesség megnövekedése okoz. Ha növeljük az alaptermékek számát (dimenzió), az nagyban befolyásolja az adathalmazunk méretét, és így az optimalizálási folyamat is hosszabb. Az IFM módszer tulajdonképpen az ML egy felbontott analóg változata. Ez a módszer két lépcs ben végzi el a becslést, mely során els körben becsli a β perem paramétereket 15

18 ˆβ IF M = arg max β n i=j p log f i (x ij ; β) j=1 Ezek után második lépésként az α kopula paraméter vektor becslése következik ˆα IF M = arg max α n log c(f 1 (X i1 ; ˆβ IF M ),..., F p (X ip ; ˆβ IF M ); α) i=1 Az els lépés minden peremre elvégzi az ML becslést (j=1,...,p) a következ módon ˆβ IF M = arg max β j n log f(x ij ; β j ) i=1 Ez a módszer azért okoz a programnak kevesebb számítási feladatot, mert minden maximalizálási folyamat, amit elvégez ML módszerrel, az nagyon kevés paraméterrel rendelkezik. Ebb l következik, hogy az IFM-el kapott eredmények igen közel állnak az ML módszerrel becsültekhez. A 3.4 fejezetben ezt a jelenséget is meggyeljük Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML) A CML módszer 2, másnéven pszeudó ML, nagyban különbözik az el z két becslést l, amelyb l nagy el nye is származik az el z kett vel szemben. A CML nem támaszkodik a perem paraméterekre, így f leg akkor célszer a használata, ha f célunk az α paraméterek pontos becslése. A módszer az empírikus eloszlásfüggvényét használja minden peremeloszlásnak, az α paraméterek kiszámításához. A transzformációt, amely az eredeti X i mintából csinál U i pszeudó mintát, empírikus perem transzformációnak 3 nevezzük, amihez legyen az eredeti id sorunk X = (X i1,..., X ip ) és a transzformációhoz legyen, U i = (U i1,..., U ip ) = [F 1 (X i1 ),..., F p (X ip )] Ezek után második lépésként határozzuk meg a paraméter vektort a következ módon, ˆα CML = arg max α n log c(u i1,..., U ip ; α) i=1 2 Bouyé et al Lásd: Mashal

19 3.4. A módszerek tesztelése A különböz becslési eljárások összevetéséhez, el ször szükségünk van egy olyan "tiszta" id sorra, melyet saját magunk generáltunk valamely kopulából, tehát pontosan tisztában vagyunk paramétereivel. Ezek után megpróbájuk becsülni a paramétereket a különböz módszerekkel, így tudjuk vizsgálni a becslésünk pontosságát. Ennél a vizsgálatnál fontos szempont a generált minta mérete. Minél nagyobb elemszámú mintát generálunk annál pontosabb becslést kapunk, és annál hosszab id t vesz igénybe a számítás. Az elemzés során három különböz méret mintával végzem a becsléseket. Fontos még megemlíteni, hogy az eredmények szempontjából igen fontos kérdés, hogy milyen programot használunk a szimulációra. Ugyanazt az eljárást használva eltér eredményre juthatunk a MATLAB és az "R" programcsomag, esetén, annak ellenére, hogy egyik program sem kínál beépített függvényt a becslésre. Az eltérés mind az id sor generálásra mind a becslésre is vonatkozik. A következ becslési szimulációkat MATLAB-ban végeztem el, azonban érdekes lenne egy tanulmányban összevetni a különböz programcsomagokban elvégzett becsléseket. Vizsgálódásaink során három különböz méret mintából (2000, és ) végzünk becsléseket, melyeket Gauss és Studen t- kopulából generálunk. Az id sor generálása során a fejezetben leírt algoritmust használjuk. Minden generálásnál az R=0.5 és ν = 3 paramétereket adtam meg ami azt jelenti, hogy a becslés után az ezekhez közelít eredményeket tekintjük pontosnak. A különböz becslési eljárásokat (ML, IFM, CML) leprogramozva a 3.1 táblázatban látható eredményeket kaptam. A kis mintás Gauss kopulából származó id sor esetén láthatjuk, hogy az IFM módszer bizonyult a legpontosabbnak, azonban tudni kell, hogy ilyen kicsi mintánál a kapott paramétereknek igen nagy a szórása, azaz ha többször egymás után elvégezzük a rutint a kapott értékeknek nagy a szórása. A 3.2 táblázatban láthatjuk, a kismintás esetekben a különböz becslési eredmények szórásait. Láthatjuk, hogy e konkrét esetben ugyan rosszabbul teljesített az ML módszer de kis minta esetén mégis ezt választanánk a korreláció becslésére az alacsonyabb szórása miatt. Ugyan ez igaz a Student t- kopulából vett minta esetén is, azonban gyeljük meg, hogy az IFM módszer feltün en rosszul becsli a szabadságfokot (DoF) a másik két eljárással szemben. 17

20 Gauss Student t- Mintanagyság θ R R R R DoF R DoF R DoF ML Id (másodperc) IFM Id (másodperc) CML Id (másodperc) táblázat. A kopula kalibráció eredményei 18 Gauss Student t- Mintanagyság θ R R DoF ML 2.6 % 3.7% 9.7 % IFM 3.8% 4.9% 46.3% CML 3.7% 5.1% 4.9 % 3.2. táblázat. Kismintás becslések szórása

21 Érdemes továbbá megjegyezni, hogy míg a 3.1 táblázat alapján az ML t nhet a szabadságfok jobb becsl jének úgy a 3.2 táblázat szórás adataiból látszik, hogy érdemes inkább a CML-t használni erre a célra. A nagyobb minták esetén (n 20000) a szórások kiszámítása már igen intenzív számolási feladatot jelent, ami rendes körülmények között 4 rendkívül hosszú szimulációkat jelentene. A nagyobb számítási intenzitás eléréséhez érdemes a CPU helyett a GPU-t dolgoztatni az érdekl d k gyelmébe ajánlom az nvidia által kifejlesztett CUDA programozási nyelvet, amely közvetlenül a GPU-t terheli. A számítás ezen nehézsége miatt a nagyobb elemszámoknál feltételezzük, hogy a szórás adatok megegyeznek az egyes módszereknél. Az elemszám növekedésével meggyelhetjük, a CML már említett el nyét, hogy minél nagyobb mintát veszünk annál pontosabban határozza meg a paramétereket a másik két módszerhez képest. A szabadságfokot is rendkívül pontosan határozza meg db -os elemszám mellett. Fontos meggyelni a szimulációs id tartamokat ami a CML esetében a legnagyobb mintánál majdnem a felére csökkent, ez szintén párhuzamban áll a már elmondottakat, miszerint a CML sokkal rövidebb id alatt képes elvégezni az iterációs eljárást. Ez a tulajdonsága kifejezetten fontos a nagy mennyiség adat kalibrálásánál. 4 CPU: IntelCore duo 2x 2.66GHz, RAM: 4GB, MATLAB R2010A 19

22 4. fejezet A CDO-k bemutatása és árazásuk 4.1. A CDO legegyszer bb hitelderivatívák esetében az alaptermék jellemz en csak egyetlen szerz désb l áll. A CDO alapvet lényege, hogy ezekb l a szerz désekb l egy egész A kosarat (pool) tartalmaz. A kosárban található hitelszerz dések kockázatát így transzferálni lehet, amelyet úgy oldanak meg, hogy több részre (tranche) darabolják a kosarat, amelyek azonos átlagid vel rendelkeznek, majd ezeket értékpapírosítják. A különböz tranche-okat a veszteségb l való részesedésük alapján osztják szét. A legáltalánosabb tranche felbontás szerint a veszteség el ször az Equtiy tranche-ot érinti majd a Mezzaninet és ezek után a Seniort. A különböz tranche-okat a hitelmin sít k is értékelik kockázati kitettségük szerint. A gyakorlatban érdemes különbséget tenni a cash és a szintetikus CDO-k között. Az els esetben a CDO alaptermékei jellemz en közvetlen hitelkockázattal bírnak (Pl: jelzáloghitel). Fontos még kiemelni, hogy ebben a konstrukcióban a referencia portfólió összetételét a futamid alatt megváltoztathatja a portfólió menedzser, amely tulajdonsága miatt matematikailag igen nehezen modellezhet. A másik eset az úgynevezett szintetikus CDO melynek alaptermékei már önmagukban derivatívák, tehát önmagukban is hitelkockázatot testesítenek meg. Ezek az alaptermékek a CDS-ek (Credit Default Swap) amelyek védelmet biztosítanak egy adott alaptermék cs djére adott lejárat mellett. A dolgozat hátralév részében a szintetikus CDO-k árazásával foglalkozunk A szintetikus CDO árazása Amíg semmilyen hitel esemény nem történt a CDO kibocsátója rendszeresen zet prémiumot a tranche befektet nek. Cs d esetén a befektet (védelem eladója) zet a kibocsátónak (védelem vev je) a veszteség mértékében. 20

23 Amint már említettük a cash CDO modellezése egy komplex feladat, amely különböz mikroökonómiai és játékelméleti elemzéseket is igényel, azonban a dolgozatban felvetett probléma, nevezetesen maga a kalibrációs eljárás, bemutatására a szintetikus CDO árazása a célravezet, hiszen jobban tudunk a problémára fókuszálni. Fontos megemlíteni, hogy az évek el rehaladtával egyre transzparensebb a CDS piac hiszen manapság már igen fejlettek és naprakészek a különboz CDS indexek (itraxx, CDX) ami a piac likviditását is nagyban el segíti. Ezek az adatbázisok nagyban megkönnyítik a kalibrációs eljárást. A következ kben f ként Lüscher 2005 munkájára támaszkodunk A cs d intenzitás meghatározása A továbbiakban a véletlen folyamatokkal kapcsolatos vizsgálódásainkhoz vegyük a (Ω, A, P, F)sztochaszikus alapteret, ahol (Ω, A, P) teljes 1 és az F ltráció eleget tesz a szokásos feltételeknek azaz jobbról folytonos és tartalmazza az (Ω, A, P) mez nulla halmazait. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a sztochasztikus alaptérre teljesülnek a szokásos feltételek tehát τ megállási id 2, ahol a cs d bekövetkezik. Most határozzuk meg a λ cs d intenzitást, a biztosítási matematikából ismert hazárd függvény segítségével, amelyhez a sztochasztikus analízisb l ismert Poisson folyamatokat használjuk. Legyen τ i az a pozitív valószín ségi változó, amely az i-edik CDS cs djének idejét adja meg F i eloszlásfüggvénnyel. Ekkor F i (t) = P (τ i t) jelöli annak a valószín - ségét, hogy a referencia termék a T = (0,..., t) intervallumon belül becs döl. Tehát a cs d idejét egy Poisson folyamat els ugrásáig eltelt idejeként értelmezzük. A cs dvalószín ség a λ i (t) intenzitáshoz az alábbi módon kapcsolódik, ( t F (t) = 1 exp 0 ) λ(u)du (4.1) Tehát az események közötti id hossza exponenciális míg az adott id szak alatt bekövetkez cs dök száma Poisson eloszlású. Fontos megjegyezni, hogy élünk a gyakori feltételezéssel miszerint a hazárd ráták determinisztikusak azaz szakaszonként konstansak a 4.1 ábrához hasonlóan. Ekkor, λ 0,1 ha T 0 < t T 1 λ =. λ n 1,n ha T n 1 < t T n 1 A mez teljes ha A A, melyre P(A) = 0 akkor B A esetén B A 2 Lásd: Medvegyev (2008) 21

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt! NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb

Részletesebben

Hosszú Zsuzsanna Körmendi Gyöngyi Tamási Bálint Világi Balázs: A hitelkínálat hatása a magyar gazdaságra*

Hosszú Zsuzsanna Körmendi Gyöngyi Tamási Bálint Világi Balázs: A hitelkínálat hatása a magyar gazdaságra* Hosszú Zsuzsanna Körmendi Gyöngyi Tamási Bálint Világi Balázs: A hitelkínálat hatása a magyar gazdaságra* A hitelkínálat elmúlt évekbeli alakulását, szerepének jelentőségét vizsgáljuk különböző megközelítésekben,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

TŐKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+

TŐKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+ NYILVÁNOS KIBOCSÁTÁS: 4 ÉVES, LEJÁRATKOR 90 %-IG TŐKEVÉDETT*, A VODAFONE GROUP PLC, A THE PROCTER & GAMBLE COMPANY ÉS AZ ALLIANZ SE RÉSZVÉNYEIHEZ KÖTÖTT, AMERIKAI DOLLÁRBAN DENOMINÁLT KÖTVÉNY KIBOCSÁTÓ:

Részletesebben

Féléves jelentés GENERALI ARANY OROSZLÁN NEMZETKÖZI RÉSZVÉNY ALAP

Féléves jelentés GENERALI ARANY OROSZLÁN NEMZETKÖZI RÉSZVÉNY ALAP Féléves jelentés 2013. GENERALI ARANY OROSZLÁN NEMZETKÖZI RÉSZVÉNY ALAP 2 Generali Arany Oroszlán Nemzetközi Részvény Alap I. Alapadatok Nyilvántartásba vétel (PSZÁF) 2000. május 11. Lajstromszáma Átalakulás

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Féléves jelentés GENERALI ARANY OROSZLÁN NEMZETKÖZI RÉSZVÉNY ALAP

Féléves jelentés GENERALI ARANY OROSZLÁN NEMZETKÖZI RÉSZVÉNY ALAP Féléves jelentés 2014. GENERALI ARANY OROSZLÁN NEMZETKÖZI RÉSZVÉNY ALAP AP 2 Generali Arany Oroszlán Nemzetközi Részvény Alap I. Alapadatok Nyilvántartásba vétel (PSZÁF) 2000. május 11. Lajstromszáma Átalakulás

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

10. SZÁMÚ MELLÉKLET TÁJÉKOZTATÓ A K&H A TELJES ÉLETÉRT TŐKEVÉDETT ESZKÖZALAPRÓL

10. SZÁMÚ MELLÉKLET TÁJÉKOZTATÓ A K&H A TELJES ÉLETÉRT TŐKEVÉDETT ESZKÖZALAPRÓL 10. SZÁMÚ MELLÉKLET TÁJÉKOZTATÓ A K&H A TELJES ÉLETÉRT TŐKEVÉDETT ESZKÖZALAPRÓL A K&H a teljes életért eszközalap egy tőkevédett, zártvégű eszközalap. Az eszközalap kockázati besorolása: óvatos Az eszközalap

Részletesebben

13. előadás, 2015. május 13.

13. előadás, 2015. május 13. 13. előadás, 2015. május 13. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem A pénzügyi válság okai Átláthatatlan, ellenőrizhetetlen árazású

Részletesebben

AEGON PRÉMIUM ESERNYŐALAP

AEGON PRÉMIUM ESERNYŐALAP Aegon Prémium Expert Alapokba Fektető Részalapból, Aegon Prémium Dynamic Alapokba Fektető Részalapból és Aegon Prémium Everest Alapokba Fektető Részalapból álló AEGON PRÉMIUM ESERNYŐALAP TÁJÉKOZTATÓJA

Részletesebben

MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI

MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI MIKOVINY SÁMUEL FÖLDTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Doktori értekezés tézisei MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI Írta: SZABÓ NORBERT PÉTER Tudományos vezető: DR. DOBRÓKA MIHÁLY

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,..., Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-

Részletesebben

A HIBRID LINEÁRIS LÉPTET MOTOR HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSI MÓDOZATAIRÓL

A HIBRID LINEÁRIS LÉPTET MOTOR HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSI MÓDOZATAIRÓL A HIBRID LINEÁRIS LÉPTET MOTOR HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSI MÓDOZATAIRÓL Szabó Loránd - Ioan-Adrian Viorel - Józsa János Kolozsvári M szaki Egyetem, Villamos Gépek Tanszék 3400 Kolozsvár, Pf. 358. e-mail:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése

Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése Készítette: Pogonyi Tibor Konzulens: Dr. Palotás Béla DUNAÚJVÁROSI FŐISKOLA MŰSZAKI INTÉZET Gépészeti Tanszék 2012. 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 9. el adás Bevezetés az ökonozikába El adó: London András 2015. november 2. Motiváció Komplex rendszerek modellezése statisztikus mechanika és elméleti zika

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

TİKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+

TİKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+ TERMÉKLEÍRÁS ÉS BEFEKTETÉSI STRATÉGIA BEFEKTETÉSI CÉLOK Ez egy 5 éves, euróban (EUR) denominált indexhez kötött kifizetéső átváltható kötvény (a továbbiakban Kötvény), amit a Citigroup Funding Inc (a továbbiakban

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Szabályozók, tőkekövetelményszámítási május 3.

Szabályozók, tőkekövetelményszámítási május 3. Szabályozók, tőkekövetelményszámítási modellek 2013. május 3. 1 Miért kell szabályozni a bankokat? Speciális szerepet töltenek be: - Fizetési rendszerek üzemeltetése - Támogatják a gazdaság növekedését

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Energiaipar: a jég hátán is megél?

Energiaipar: a jég hátán is megél? OTDK-dolgozat 2015 Energiaipar: a jég hátán is megél? A szektor kereskedelmi engedélyes vállalkozásainak beszámolóelemzése az elmúlt évek tükrében Energy industry: can he always make do? The recent year

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK

SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK A NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK TARTALÉKOLÁSÁBAN MSc szakdolgozat Írta: Orbán Barbara

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Gépi tanulás és Mintafelismerés

Gépi tanulás és Mintafelismerés Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,

Részletesebben

Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás alapfogalmai. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008

Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás alapfogalmai. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás alapfogalmai BME, 2008 A digitális képfeldolgozás alapfeladata Deníció A digitális képfeldolgozás során arra törekszünk, hogy a természetes képek elemzése révén

Részletesebben

TÁJÉKOZTATÓ. K&H többször termő 4 származtatott zártvégű alap

TÁJÉKOZTATÓ. K&H többször termő 4 származtatott zártvégű alap TÁJÉKOZTATÓ a K&H többször termő 4 származtatott zártvégű alap befektetési jegyeinek forgalomba hozatalához a Magyar Nemzeti Bank Pénzügyi Stabilitási Tanácsa által kiadott engedély száma: H-KE-III-290/2014.

Részletesebben

A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA*

A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* NAGY GYULA A tanulmány a magyarországi gazdasági átalakulás nyomán a nők és a férfiak munkaerőpiaci részvételében és foglalkoztatottságában bekövetkezett

Részletesebben

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel Iskolakultúra 2008/1 2 Molnár Gyöngyvér SZTE, Pedagógia Tanszék, MTA-SZTE Képességkutató Csoport A Rasch-modell kiterjesztése nem dichotóm adatok elemzésére: a rangskálás és a parciális kredit modell A

Részletesebben

Online kérd íves felmérés a Gazdálkodás olvasóinak és szerz inek körében

Online kérd íves felmérés a Gazdálkodás olvasóinak és szerz inek körében 389 V ITA Online kérd íves felmérés a Gazdálkodás olvasóinak és szerz inek körében FEHÉR ANDRÁS SZABÓ G. GÁBOR SZAKÁLY ZOLTÁN Kulcsszavak: elégedettség, vélemények, olvasók, szerz k, Gazdálkodás. ÖSSZEFOGLALÓ

Részletesebben

Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása

Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása Ütemezési modellek Az ütemezési problémák osztályozása Az ütemezési problémákban adott m darab gép és n számú munka, amelyeket az 1,..., n számokkal fogunk sorszámozni. A feladat az, hogy ütemezzük az

Részletesebben