Kopula Függvények Kalibrálása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kopula Függvények Kalibrálása"

Átírás

1 Kopula Függvények Kalibrálása - Tudományos Diákköri Dolgozat - Konzulens: Dr. Medvegyev Péter Készítette: Bagaméry Gerg, III. évf. Pénzügy és Számvitel BSc Pénzügy szakirány március 26. A BCE Közgáz Campus Tudományos Diákköri Konferenciáját a TÁMOP-4.2.2/B-10/ azonosítójú "A tudományos képzés m helyeinek átfogó fejlesztése a Budapesti Corvinus Egyetemen" cím projektje támogatja.

2 Kivonat dolgozatomban bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika széles A körben alkalmazott eszközeit, és egy speciális vonatkozását a kvantitatív pénzügyekben. Ezek után rátérek a kopula paraméterek becslésére, másnéven a kopula kalibrációra. Három eljárást is ismertetek (ML, IFM, CML), majd ezeket összevetem egy "vegytiszta" szimuláció során. Egy rövid fejezet erejéig szót ejtek a szintetikus CDO-k alapvet karakterisztikáiról, majd ezek után bemutatom az árazásuk hátterében lév matematikai gondolatmenetet. A dolgozatom hátralév részében kipróbálom a Gauss és Studen t- kopula modelleket a gyakorlatban, konkrétabban bemutatom az árazását egy szintetikus CDO-nak, melynek referencia portfóliója az itraxx Europe CDS index 14. szériája. Végül rávilágítok a két modell különbségeire a CDO tranche spreadekre gyakorolt hatásaik tükrében. A dolgozatban bemutatott felület ábrázolásokat és szimulációkat MATLAB - ban és "R"-ben készítettem el. Rengeteg dolgozat és publikáció található, amely a válságot és hozzá köthet derivatívákat boncolgatja. Szintén sok munka szól a válságban szerepet játszó Li-modellr l, illetve általánosan a Gauss egyfaktoros modellr l. Ezen munkák nagyrésze pontosan leírja a modell hibáit. Nekem nem célom ezeknek a hibáknak a részletes felfedése és tárgyalása. Dolgozatomban arra keresem a választ, hogy hogyan ragadható meg empirikusan a Gauss és Student t- kopulák közötti különbség a CDO-k árázásában.

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Kopulák Elliptikus kopulák Gauss kopula Student t- kopula Mintavétel A Kopulák kalibrálása Maximum Likelihood Módszer (ML) Inference Functions for Margins Módszer (IFM) Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML) A módszerek tesztelése A CDO-k bemutatása és árazásuk A CDO A szintetikus CDO árazása A cs d intenzitás meghatározása A veszteség eloszlás meghatározása A fair prémium megadása CDO árazás, egy numerikus példa A hazárd függvény kalibrálása A kopula függvény kalibrálása A modell Eredmények Összefoglalás 32 A. Kódok 33 1

4 Ábrák jegyzéke 2.1. Gauss kopula s r ségfüggvénye (R=0,1) Student t- kopula s r ségfüggvénye (R=0,1 ; ν=13) Gauss és Student t-mintavétel szimuláció, R=0.5, ν= Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν= Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν= Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν= A Log-likelihood függvény maximalizálása A determinisztikus hazárd ráták alakulása A Gauss és a Student kopulával árazott tranche spread-ek alakulása Az Equity tranche árfelülete A Gauss kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete A Student kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete A Gauss kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete A Student kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete

5 1. fejezet Bevezetés dolgozatom célja az elliptikus, Gauss és Student t- kopulák hatásának vizsgálata a A CDO-k árázásának tükrében. E két kopula vizsgálata nem véletlenül képzi tárgyát szakdolgozatok és publikációk hadának világszerte, hiszen a hitelportfólióban lév elemek összetételéhez alapvet eltéréssel állnak hozzá. A szakma kitüntetett gyelme e matematikai eszközök iránt a bonyolultabb derivatív termékek megjelenésével állítható párhuzamba, holott azok már Wassily Höeding 1940-es cikke óta ismertek. A strukturált derivatív termékek megjelenésével tulajdonképpen megtörtént a kopulák "újra feltalálása" melynek id pontját a legtöbben David Li ben megjelent cikkére tennék. Az ebben bemutatott modell esszenciális eszközévé vált a hitel portfólió cs deloszlásának meghatározására, azonban mint kés bb világossá vált, talán túl gyorsan ültették át az elméletet a gyakorlatba. A dolgozatban arra keresem a választ, hogy a kopula különböz megválasztása és annak kalibrálása a piaci adatokhoz, milyen hatást gyakorol a CDO árazás eredményeire, nevezetesen arra vagyok kíváncsi, hogy milyen eltérés mutatkozik egy Gauss és egy Student t- kopulával elvégzett árazás eredményein a különböz tranche-okra lebontva. Fontos megemlítenem, hogy a dolgozatban nem célom a Li modell és annak hibáinak részletes bemutatása annak ellenére, hogy a numerikus példa során erre a modellre építünk. Vizsgálódásainkat csupán a modell, különböz kopulák használata mellett kinyert eredményeinek összehasonlítására korlátozzuk. A dolgozat során el ször bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika univerzális, függ ségi struktúra megjelenít it. Vizsgálódásaink során kizárólag az elliptikus kopulákkal foglalkozunk, melyek bemutatása után rátérek az összehasonlításukra. Egy mintavételi algoritmus ismertetése után belátjuk, hogy a Student t- kopulából vett minták jobban koncentrálódnak a sarkokon, azaz használatukkal jobban modellezhet ek az extrém esetek. Ezen tulajdonsága a t- kopulának igencsak kedvez a modellezés szempontjából, hiszen nem nehéz belátni, hogy az extrém veszteségek el fordulása a hitel portfólióban igencsak valószín esemény lehet, f leg ha a már el fordult gazdasági recessziókra gondolunk. Ezek után bemutatok három becslési módszert melyek segítségével egy iterációs folyamat során meghatározhatjuk a kopula paramétereit egy diszkrét id sor alapján. Megismerkedünk a lokális maximum problémájával majd a módszerek tesztelésére egy szintetikus, azaz ismert paraméterekkel rendelkez id sort generálunk és azokra 3

6 végezzük el a becslést, meggyelve, hogy mekkora pontossággal kaptuk vissza a bemeneti paramétereket. A becslések során nem elhanyagolandó szempont a számítási id sem, amely szintén fontos lehet a kalibrációs eljárás megválasztásánál. Ezek után rátérek a szintetikus CDO-k alapvet karakterisztikáinak ismertetésére, ahol f ként a dolgozatban bemutatott modellezés szempontjából releváns témák kerülnek feldolgozásra. Szintén bemutatásra kerül az árazás matematikai háttere mely elméleteket a dolgozat végén átültetünk a gyakorlatba. A referencia portfólió cs d eloszlásának meghatározása, mely terület a leginkább vitatott a témában, szintén bemutatásra kerül, amely gyakorlati alkalmazása, a hazárd függvény kalibrálásának bemutatása után válik végleg világossá. Végül egy gyakorlati példán keresztül megkapjuk a választ a dolgozat elején feltett kérdésre, azaz rávilágítunk a két különböz kopulával elért eredmények különbségeire. 4

7 2. fejezet Kopulák kopulák az összefügg ségi struktúra univerzális megjelenít i, melyek segítségével két A vagy több változó együttes eloszlásának elemzését végezhetjük el. Széles körben alkalmazzák id járás és gyógyszerkutatásokban, építészetben és a kvantitatív pénzügyekben. Leggyakrabban a portfóliók cs d modellezését végezzük kopulákkal, mely során meghatározhatjuk, hogy az egyes termékek vesztesége milyen mértékben eredményezte a portfólió veszteségét. Ezen kívül még megvizsgálhatjuk, hogy a portfólióban lév termékek közötti korreláció következtében fellép veszteségek a portfólió veszteségének mekkora részét teszik ki. A következ kben f ként McNeil et al 2005 munkájára támaszkodunk. 1. Deníció (Kopula). Egy d dimenziós kopula olyan C : [0, 1] d [0, 1] leképzés, amely sztenderd egyenletes peremeloszlással rendelkezik. A kopula az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: C(U 1,..., U d ) minden U i komponensében szigorú monoton növekv. az i edik peremeloszlás, C(1,..., 1, U i, 1,..., 1) = U i azaz U i = 1 lesz minden i j esetben. (a 1,..., a d ), (b 1,..., b d ) [0, 1] d és a i b i esetén 2... i 1 =1 2 ( 1) i i d C(u 1i1,..., u did ) 0 i d =1 ahol u j1 = a j és u j2 = b j, j {1,..., d} Egy d - dimenziós kopula, bármely k - dimenziójú pereme is kopula, ahol teljesül 2 k d. A kopulák szakirodalmának talán legtöbbet hivatkozott tétele Sklar 1959-es elméletéb l született, amely alapján bevezetésre kerül a kopulákkal való függ ségi struktúra modellezése. 5

8 2. Tétel (Sklar). Legyen F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény F 1,..., F d perem eloszlásokkal. Ekkor létezik egy C : [0, 1] d [0, 1] kopula, amelyre x R n esetén igaz, F (x 1,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )) (2.1) és ha F 1, F 2,..., F n folytonos n esetén, akkor C egyértelm. Vagyis, ha adottak F 1,..., F d marginális eloszlások és C egy kopula, akkor a 2.1 által deniált F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény az F 1,..., F d peremekkel. Láthatjuk, hogy a tétel alapgondolata, hogy minden többváltozós eloszlásfüggvény esetén a peremeloszlásokat külön tudjuk választani a függ ségi struktúrától, így azokat egymástól függetlenül tudjuk vizsgálni. A tételnek van egy fontos következménye is. 3. Állítás. Legyen G egy n-dimenziójú eloszlásfüggvény, folytonos (F 1,..., F n ) peremeloszlásokkal, és C egy n-dimenziójú kopula függvény. Ekkor minden u [0, 1] n esetén: C(u 1,..., u n ) = G(F 1 1 (u 1 ),..., F 1 n (u n )) ahol F 1 i (u i ) a kummulatív eloszlásfüggvény inverze. Fontos megjegyezni, hogy egy kopula minden esetben két korlát között helyezkedig el. Alsó korlátjául a kontramonoton 1, fels korlátjául pedíg a komonoton 2 kopula szolgál. 4. Tétel (Fréchet-Hoeding határok). Minden C(u 1,..., u d ) kopulára fenáll a { d } max u i + 1 d, 0 C(u 1,...u d ) min{u 1,..., u d } egyenl tlenség. i=1 Ábrázolva a két határ eloszlásfüggvényt, valamint a függetlenségi 3 kopulát, megkapjuk az összes el állítható eloszlásfüggvény típust. Vegyük észre, hogy a két határ kopulának nem léteznek s r ségfüggvényei mivel nem dierenciálhatóak. Nézzük meg, hogy hogyan kapjuk meg egy kopula s r ségfüggvényét. 5. Deníció (Kopula s r ségfüggvény). Ha a kopula d - szer dierenciálható akkor s r ségfüggvénye: C(U 1,..., U d ) := d C(U i,..., U d ) U i... U d (2.2) Most, hogy áttekintettük a kopulák f bb tulajdonságait, rátérek a részletesebb tárgyalásukra. 1 C (u 1,..., u d ) = max{ d i=1 u i + 1 d, 0} 2 C + (u 1,..., u d ) = min{u 1,..., u d } 3 C (u 1,..., u d ) = d i=1 u i 6

9 2.1. Elliptikus kopulák A kopuláknak két f bb fajtája van: az elliptikus eloszlásból származóak, illetve az Arkhimédeszi kopulák. Dolgozatomban az elliptikus azaz Gauss iletve Student -t kopulákkal foglalkozok. Az Arkhimédeszi kopulák (Gumbel, Clayton, Galambos) tárgyalása nem képezi részét a vizsgálódásainknak. Fang et.al. (1987) deníciója alapján: 6. Deníció (Elliptikus eloszlás). Ha X egy n-dimenziójú vektor véletlenszer változókkal és µ N n, és egy nxn -es nemnegatív denit, szimmetrikus mátrix, akkor X µ karakterisztikus függvénye ϕx µ (t) függvénye a t t kvadratikus alaknak, ekkor X -nek elliptikus eloszlása van (µ,, ϕ) paraméterekkel és így X E n (µ,, ϕ). A kopulák tárgyalásánál leggyakrabban a s r ségfüggvényüket ábrázoljuk, de szokás még eloszlásfüggvényüket is vizsgálni. A következ kben ábrázolom a Gauss és a Student t - kopula s r ségfüggvényét MATLAB segítségével, ezek után mintavétellel fogom szemléltetni a két kopula közötti különbségeket. A vonatkozó MATLAB kódok a mellékletben találhatóak. (A mintavételi algoritmus Embrechts et al(2001) alapján.) Gauss kopula 7. Deníció (Gauss kopula). Az n-változós normál eloszlás kopulájához legyen R egy szimmetrikus pozitív denit mátrix, és legyen Φ N R az együttes eloszlásfüggvénye az n- változós normális eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal. Φ 1 jelöli a normális eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula: C G R (u) = Φ N R (Φ 1 (u 1 ),..., Φ 1 (u n )), (2.3) Egy többváltozós esetben a kopula felírható még a C G R (u, v) = formában is. Φ 1 (u) Φ 1 (v) 1 exp 2π(1 R12) 2 1/2 { s2 2R 12 st + t 2 2(1 R 2 12) } dsdt. (2.4) A mellékletben megadott MATLAB kód segítségével ábrázolhatjuk a Gauss kopula s - r ségfüggvényét. A kód segítségével, különböz korrelációs értékeket megadva megnézhetjük, hogy hogyan változik a s r ségfüggvény alakja. Ennek kipróbálását az Olvasóra bízom. 7

10 2.1. ábra. Gauss kopula s r ségfüggvénye (R=0,1) A ábrán láthatjuk, hogy a s r ségfüggvény két széle elnyúlik felfelé. A Student t- kopulánál is meggyelhet lesz a szélek felfelé nyúlása, ennek magyarázatát azonban csak a fejezetben szemléltetem Student t- kopula 8. Deníció (Student t- kopula). Az n-változós Student t- eloszlás kopulájához legyen R egy szimmetrikus pozitív denit mátrix és legyen t n ν,r az együttes eloszlásfüggvénye az n-változós Student t- eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal és ν szabadságfokkal. jelöli a Studen t- eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula t 1 ν Cν,R(u) t = t n ν,r(t 1 ν (u 1 ),..., t 1 ν (u n )) (2.5) alakot ölt. Ez másképpen felírható még a C t ν,r(u, v) = módon is. tν 1 (u) tν 1 (v) 1 2π(1 R 2 12) 1/2 } {1 + s2 2R 12 st + t 2 (ν+2)/2 dsdt. ν(1 R12) 2 (2.6) 8

11 2.2. ábra. Student t- kopula s r ségfüggvénye (R=0,1 ; ν=13) A t-kopula ν esetén konvergál a Gauss kopulához, ami azt jelenti a gyakorlatban, hogy kell en nagy szabadságfok paramétert megadva a Gauss kopula alakját veszi fel Mintavétel Most bemutatok két véletlenszer mintavételi algoritmust elliptikus kopulákból, Embrechts et al(2001) alapján. Gauss A véletlenszer változók generálása a CR Gauss következ képpen történik: kopulából egy R korrelációs mátrixszal a Számítsuk ki Cholesky-felbontással 4 A-t R-b l ahol R = A A T. Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z 1, z 2,..., z n ), amik N(0,1)-b l származnak. Legyen x = Z A Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = Φ(x) kiszámításával kapunk. Ekkor, u C Gauss R 4 A Cholesky-felbontás a szimmetrikus, pozitív denit mátrixok felbontása alsó trianguláris mátrixok és azok konjugált transzponáltjainak szorzatává. 9

12 Student t A véletlenszer változók generálása a CR,ν Student kopulából egy R korrelációs mátrixszal és ν szabadságfokkal a következ képpen történik: Számítsuk ki Cholesky-felbontással A-t R-b l ahol R = A A T. Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z 1, z 2,..., z n ), amik N(0,1)-b l származnak. Adjunk meg egy független χ 2 ν véletlen s változót. Legyen y = z A Legyen x = y ν s Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = t ν (x) kiszámításával kapunk. Ekkor u C Student R,ν A mintavételi algoritmusokat leprogramozva MATLAB-ban és 4000 szimulációt véve a 2.3 ábrát kapjuk ábra. Gauss és Student t-mintavétel szimuláció, R=0.5, ν=5 Meggyelhetjük, hogy a t-kopulából vett minta a jobb fels és bal alsó sarkaiban sokkal koncentráltabb mint a Gauss kopula esetén, amely jelenség magyarázható a két kopula s r ségfüggvényével. Ha megnézzük ket láthatjuk, hogy a t-kopula s r ségfüggvénye sokkal jobban nyúlik felfelé a sarkainál. Érdemes növelni a szimulációk számát, hogy ezt az elnyúlást jobban meggyelhessük. Vegyünk most szimulációt. 10

13 2.4. ábra. Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν=5 Láthatjuk, hogy a 2.4 ábrán már sokkal szembet n bb a sarkok koncentrálódása. Ilyen magas mennyiség szimulációnál meggyelhetjük továbbá a másik két sarok (bal fels, jobb alsó) koncentráltságát is. Ennek pontosabb szemléltetésére a szimuláció során kapott pontokat összekötöttem egy vonallal és fekete színt állítottam be ábra. Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, R=0.5, ν=5 Itt nem látszik az, hogy mennyire koncentráltak a pontok viszont tisztábban kirajzolódik a t- kopula bal fels és jobb alsó sarkának fontossága. Ez a jelenség szintén visszavezethet a s r ségfüggvényre. Ezek a sarok elnyúlások mutatják, hogy a t- kopula jobban modellezi az extrém-értékek el fordulását. A mintavételt még ábrázolhatjuk az "R" statisztikai 11

14 programcsomaggal is, a "copula" 5 csomag segítségével. Itt három dimenziós mintavételt csináltam, láthatjuk, hogy a korábban meggyelt jelenségek itt is felt n ek ábra. Gauss és Student t- mintavétel szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν=5 5 A csomagot Jun Yan fejlesztette ki 12

15 3. fejezet A Kopulák kalibrálása különböz derivatív termékek árazásánál, de más applikációknál is igen fontos a megfelel kopula kiválasztása, illetve a kopula paraméterek (korreláció, szabadságfok) A pontos kalibrálása a valós piaci adatokhoz. Gauss típusú függ ségnél a korrelációt, Student t- nél pedig a korrelációt és a szabadságfokot kell meghatároznunk, melyre több módszer is a rendelkezésünkre áll. A paraméterek becsl iben fontos szerepet játszanak a rangkorrelációs együtthatók, úgy mint a Spearman féle ρ vagy a Kendall féle τ. A kalibráció pontossága hatással van az egész modellezésre alkalmazástól függetlenül. Mi sem bizonyítja jobban a téma fontosságát, mint a szakirodalom folyamatos kitüntetett gyelme. Ebben a fejezetben bemutatok néhány becsl eljárást, majd ezeket egy konkrét alkalmazáson keresztül összehasonlítom. Tételezzünk fel 1, hogy vizsgálódásainkat egy diszkrét id soron végezzük, amely: X = (X i1,..., X id ) n i=1, ahol n jelöli a meggyelések számát és d a dimenziók számát, vagyis ezzel adjuk meg, hogy hány alaptermékünk van. Legyen β az a vektor, ami a perem paramétereket tartalmazza, és α az a vektor ami a kopula paramétereket. A paraméter teret Θ -val jelöljük Maximum Likelihood Módszer (ML) A becslés során célunk egy ismeretlen θ paraméter becslése, amelyre rendelkezésünkre áll egy diszkrét id sor skalár érték valószín ségi változókkal, amelyek a paraméterre vonatkozó információkat tartalmaznak. A becslés során el ször is szükségünk van egy úgynevezett log-likelihood függvényre, amelyet kiterjesztünk az együttes valószín ségi s r ségfüggvényel. A θ paramétert ennek a kiterjesztett log-likelihood függvénynek a maximalizálásával kapjuk meg 3.4 mellett. A paraméter becslése során a paraméter el fordulásának a valószín ségét akarjuk maximalizálni. Ezt az úgynevezett "likelihood" függvény maximalizálásával tehetjük meg. Az ML becslés alapjait R.A. Fisher fektette le. Az elmélet szerint a kívánt valószín - ségi eloszlás az, amely a vizsgált id sort a legvalószín bbé teszi. Ebb l következik, hogy 1 Jun Yan - Enjoy The Joy of Copulas, alapján 13

16 azt a paraméter vektort keressük, amely a likelihood függvényt maximalizálja. Úgy is mondhatjuk, hogy azokat az eloszlás paramétereket keressük, amelyek létrehoznak egy olyan eloszlást, amely a legnagyobb valószín séggel generálta a vizsgált id sort. A számítást megkönnyít okokból a likelihood függvény logaritmizált változatát maximalizáljuk, amely az eredmény szempontjából nem hoz különbséget, hiszen egymásnak monoton transzformáltjai. Az optimalizálási algoritmus lefuttatása során az els deriváltból határozzuk meg a maximum/minimum pontot. Ezek után a második deriváltal sz rjük le ezekb l a maximum pontokat, ezért fontos, hogy paramétereknél a log-likelihood függvény konvex legyen ábra. A Log-likelihood függvény maximalizálása Az algoritmus lefuttatása közben, a leggyakrabban el forduló hiba a lokális maximum problémája. A 3.1 ábrán láthatjuk, hogy a B kivételével minden pont lokális maximum, becslésünk során mi azonban a függvény globális maximumát keressük. Az iterációs folyamatot -,amelyet az ábrán nyilakkal jelöltem- az eljárási algoritmustól függ en vagy egy véletlenszer, vagy egy valamilyen ismérv alapján el re megadott X n pontban kezdjük el. Láthatjuk azonban, hogy egy rosszul meghatározott kezd pont könnyen egy lokális maximum meghatározásához vezethet. Ha például az X 1 pontban kezdjük a folyamatot, akkor az A lokális maximumot kapjuk eredményül, ha azonban X 2 a kezd pontunk, akkor a globális maximum, azaz a B pont lesz a maximalizálás eredménye. Létezik egy olyan sztochasztikus optimalizálási elmélet (Kirkpatrick, Gelatt & Vecchi, 1983), amely képes kiküszöbölni a lokális maximum problémáját, azonban gyakorlati alkalmazása több akadályba is ütközik. A leggyakrabban használt eljárások a szimulációs futások számát növelik a nagyobb pontosság elérésében. A 3.4 fejezetben részletesebben szemléltetem a szimulációs szám megválasztásának fontosságát. Most határozzuk meg az ML loglikelihood függvényt, Használva a 2.1 Sklar tételt, és kihasználva az eloszlás és a s r ségfüggvény közötti kapcsolatot: 14

17 f(x) = F (x) x megkaphajuk a c(f 1 (x 1 ),..., F d (x d )) többváltozós kopula s r ség és a C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )) kopula összekapcsolását: amib l megkapjuk, hogy: f(x 1,..., x d ) = n [C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d ))] F 1 (x 1 ),..., F d (x d ) d f i (x i ), i=1 d f(x 1,..., x d ) = c(f 1 (x 1 ),..., F d (x d )) f i (x i ), (3.1) Nézzük meg a likelihood függvényt n idei meggyeléseinkre: i=1 Ezt kiterjesztve a 3.1 egyenlettel megkapjuk a n l(θ) = l i (3.2) i=1 l(θ) = n log c{f 1 (X i1 ; β),..., F p (X ip ; β); α} + i=1 n p log f i (X ij ; β) (3.3) i=1 j=i log-likelihood függvényt. Deniáljuk a Maximum Likelihood becsl t ˆθ ML = arg max l(θ) (3.4) θ=θ A θ paraméter becsléséhez tehát a 3.3 függvényt kell maximalizálnunk 3.4 mellett Inference Functions for Margins Módszer (IFM) Az kalibráció során gyakorta felmerül a probléma, amelyet a túl nagy id sorok által okozott számítási sebesség megnövekedése okoz. Ha növeljük az alaptermékek számát (dimenzió), az nagyban befolyásolja az adathalmazunk méretét, és így az optimalizálási folyamat is hosszabb. Az IFM módszer tulajdonképpen az ML egy felbontott analóg változata. Ez a módszer két lépcs ben végzi el a becslést, mely során els körben becsli a β perem paramétereket 15

18 ˆβ IF M = arg max β n i=j p log f i (x ij ; β) j=1 Ezek után második lépésként az α kopula paraméter vektor becslése következik ˆα IF M = arg max α n log c(f 1 (X i1 ; ˆβ IF M ),..., F p (X ip ; ˆβ IF M ); α) i=1 Az els lépés minden peremre elvégzi az ML becslést (j=1,...,p) a következ módon ˆβ IF M = arg max β j n log f(x ij ; β j ) i=1 Ez a módszer azért okoz a programnak kevesebb számítási feladatot, mert minden maximalizálási folyamat, amit elvégez ML módszerrel, az nagyon kevés paraméterrel rendelkezik. Ebb l következik, hogy az IFM-el kapott eredmények igen közel állnak az ML módszerrel becsültekhez. A 3.4 fejezetben ezt a jelenséget is meggyeljük Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML) A CML módszer 2, másnéven pszeudó ML, nagyban különbözik az el z két becslést l, amelyb l nagy el nye is származik az el z kett vel szemben. A CML nem támaszkodik a perem paraméterekre, így f leg akkor célszer a használata, ha f célunk az α paraméterek pontos becslése. A módszer az empírikus eloszlásfüggvényét használja minden peremeloszlásnak, az α paraméterek kiszámításához. A transzformációt, amely az eredeti X i mintából csinál U i pszeudó mintát, empírikus perem transzformációnak 3 nevezzük, amihez legyen az eredeti id sorunk X = (X i1,..., X ip ) és a transzformációhoz legyen, U i = (U i1,..., U ip ) = [F 1 (X i1 ),..., F p (X ip )] Ezek után második lépésként határozzuk meg a paraméter vektort a következ módon, ˆα CML = arg max α n log c(u i1,..., U ip ; α) i=1 2 Bouyé et al Lásd: Mashal

19 3.4. A módszerek tesztelése A különböz becslési eljárások összevetéséhez, el ször szükségünk van egy olyan "tiszta" id sorra, melyet saját magunk generáltunk valamely kopulából, tehát pontosan tisztában vagyunk paramétereivel. Ezek után megpróbájuk becsülni a paramétereket a különböz módszerekkel, így tudjuk vizsgálni a becslésünk pontosságát. Ennél a vizsgálatnál fontos szempont a generált minta mérete. Minél nagyobb elemszámú mintát generálunk annál pontosabb becslést kapunk, és annál hosszab id t vesz igénybe a számítás. Az elemzés során három különböz méret mintával végzem a becsléseket. Fontos még megemlíteni, hogy az eredmények szempontjából igen fontos kérdés, hogy milyen programot használunk a szimulációra. Ugyanazt az eljárást használva eltér eredményre juthatunk a MATLAB és az "R" programcsomag, esetén, annak ellenére, hogy egyik program sem kínál beépített függvényt a becslésre. Az eltérés mind az id sor generálásra mind a becslésre is vonatkozik. A következ becslési szimulációkat MATLAB-ban végeztem el, azonban érdekes lenne egy tanulmányban összevetni a különböz programcsomagokban elvégzett becsléseket. Vizsgálódásaink során három különböz méret mintából (2000, és ) végzünk becsléseket, melyeket Gauss és Studen t- kopulából generálunk. Az id sor generálása során a fejezetben leírt algoritmust használjuk. Minden generálásnál az R=0.5 és ν = 3 paramétereket adtam meg ami azt jelenti, hogy a becslés után az ezekhez közelít eredményeket tekintjük pontosnak. A különböz becslési eljárásokat (ML, IFM, CML) leprogramozva a 3.1 táblázatban látható eredményeket kaptam. A kis mintás Gauss kopulából származó id sor esetén láthatjuk, hogy az IFM módszer bizonyult a legpontosabbnak, azonban tudni kell, hogy ilyen kicsi mintánál a kapott paramétereknek igen nagy a szórása, azaz ha többször egymás után elvégezzük a rutint a kapott értékeknek nagy a szórása. A 3.2 táblázatban láthatjuk, a kismintás esetekben a különböz becslési eredmények szórásait. Láthatjuk, hogy e konkrét esetben ugyan rosszabbul teljesített az ML módszer de kis minta esetén mégis ezt választanánk a korreláció becslésére az alacsonyabb szórása miatt. Ugyan ez igaz a Student t- kopulából vett minta esetén is, azonban gyeljük meg, hogy az IFM módszer feltün en rosszul becsli a szabadságfokot (DoF) a másik két eljárással szemben. 17

20 Gauss Student t- Mintanagyság θ R R R R DoF R DoF R DoF ML Id (másodperc) IFM Id (másodperc) CML Id (másodperc) táblázat. A kopula kalibráció eredményei 18 Gauss Student t- Mintanagyság θ R R DoF ML 2.6 % 3.7% 9.7 % IFM 3.8% 4.9% 46.3% CML 3.7% 5.1% 4.9 % 3.2. táblázat. Kismintás becslések szórása

21 Érdemes továbbá megjegyezni, hogy míg a 3.1 táblázat alapján az ML t nhet a szabadságfok jobb becsl jének úgy a 3.2 táblázat szórás adataiból látszik, hogy érdemes inkább a CML-t használni erre a célra. A nagyobb minták esetén (n 20000) a szórások kiszámítása már igen intenzív számolási feladatot jelent, ami rendes körülmények között 4 rendkívül hosszú szimulációkat jelentene. A nagyobb számítási intenzitás eléréséhez érdemes a CPU helyett a GPU-t dolgoztatni az érdekl d k gyelmébe ajánlom az nvidia által kifejlesztett CUDA programozási nyelvet, amely közvetlenül a GPU-t terheli. A számítás ezen nehézsége miatt a nagyobb elemszámoknál feltételezzük, hogy a szórás adatok megegyeznek az egyes módszereknél. Az elemszám növekedésével meggyelhetjük, a CML már említett el nyét, hogy minél nagyobb mintát veszünk annál pontosabban határozza meg a paramétereket a másik két módszerhez képest. A szabadságfokot is rendkívül pontosan határozza meg db -os elemszám mellett. Fontos meggyelni a szimulációs id tartamokat ami a CML esetében a legnagyobb mintánál majdnem a felére csökkent, ez szintén párhuzamban áll a már elmondottakat, miszerint a CML sokkal rövidebb id alatt képes elvégezni az iterációs eljárást. Ez a tulajdonsága kifejezetten fontos a nagy mennyiség adat kalibrálásánál. 4 CPU: IntelCore duo 2x 2.66GHz, RAM: 4GB, MATLAB R2010A 19

22 4. fejezet A CDO-k bemutatása és árazásuk 4.1. A CDO legegyszer bb hitelderivatívák esetében az alaptermék jellemz en csak egyetlen szerz désb l áll. A CDO alapvet lényege, hogy ezekb l a szerz désekb l egy egész A kosarat (pool) tartalmaz. A kosárban található hitelszerz dések kockázatát így transzferálni lehet, amelyet úgy oldanak meg, hogy több részre (tranche) darabolják a kosarat, amelyek azonos átlagid vel rendelkeznek, majd ezeket értékpapírosítják. A különböz tranche-okat a veszteségb l való részesedésük alapján osztják szét. A legáltalánosabb tranche felbontás szerint a veszteség el ször az Equtiy tranche-ot érinti majd a Mezzaninet és ezek után a Seniort. A különböz tranche-okat a hitelmin sít k is értékelik kockázati kitettségük szerint. A gyakorlatban érdemes különbséget tenni a cash és a szintetikus CDO-k között. Az els esetben a CDO alaptermékei jellemz en közvetlen hitelkockázattal bírnak (Pl: jelzáloghitel). Fontos még kiemelni, hogy ebben a konstrukcióban a referencia portfólió összetételét a futamid alatt megváltoztathatja a portfólió menedzser, amely tulajdonsága miatt matematikailag igen nehezen modellezhet. A másik eset az úgynevezett szintetikus CDO melynek alaptermékei már önmagukban derivatívák, tehát önmagukban is hitelkockázatot testesítenek meg. Ezek az alaptermékek a CDS-ek (Credit Default Swap) amelyek védelmet biztosítanak egy adott alaptermék cs djére adott lejárat mellett. A dolgozat hátralév részében a szintetikus CDO-k árazásával foglalkozunk A szintetikus CDO árazása Amíg semmilyen hitel esemény nem történt a CDO kibocsátója rendszeresen zet prémiumot a tranche befektet nek. Cs d esetén a befektet (védelem eladója) zet a kibocsátónak (védelem vev je) a veszteség mértékében. 20

23 Amint már említettük a cash CDO modellezése egy komplex feladat, amely különböz mikroökonómiai és játékelméleti elemzéseket is igényel, azonban a dolgozatban felvetett probléma, nevezetesen maga a kalibrációs eljárás, bemutatására a szintetikus CDO árazása a célravezet, hiszen jobban tudunk a problémára fókuszálni. Fontos megemlíteni, hogy az évek el rehaladtával egyre transzparensebb a CDS piac hiszen manapság már igen fejlettek és naprakészek a különboz CDS indexek (itraxx, CDX) ami a piac likviditását is nagyban el segíti. Ezek az adatbázisok nagyban megkönnyítik a kalibrációs eljárást. A következ kben f ként Lüscher 2005 munkájára támaszkodunk A cs d intenzitás meghatározása A továbbiakban a véletlen folyamatokkal kapcsolatos vizsgálódásainkhoz vegyük a (Ω, A, P, F)sztochaszikus alapteret, ahol (Ω, A, P) teljes 1 és az F ltráció eleget tesz a szokásos feltételeknek azaz jobbról folytonos és tartalmazza az (Ω, A, P) mez nulla halmazait. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a sztochasztikus alaptérre teljesülnek a szokásos feltételek tehát τ megállási id 2, ahol a cs d bekövetkezik. Most határozzuk meg a λ cs d intenzitást, a biztosítási matematikából ismert hazárd függvény segítségével, amelyhez a sztochasztikus analízisb l ismert Poisson folyamatokat használjuk. Legyen τ i az a pozitív valószín ségi változó, amely az i-edik CDS cs djének idejét adja meg F i eloszlásfüggvénnyel. Ekkor F i (t) = P (τ i t) jelöli annak a valószín - ségét, hogy a referencia termék a T = (0,..., t) intervallumon belül becs döl. Tehát a cs d idejét egy Poisson folyamat els ugrásáig eltelt idejeként értelmezzük. A cs dvalószín ség a λ i (t) intenzitáshoz az alábbi módon kapcsolódik, ( t F (t) = 1 exp 0 ) λ(u)du (4.1) Tehát az események közötti id hossza exponenciális míg az adott id szak alatt bekövetkez cs dök száma Poisson eloszlású. Fontos megjegyezni, hogy élünk a gyakori feltételezéssel miszerint a hazárd ráták determinisztikusak azaz szakaszonként konstansak a 4.1 ábrához hasonlóan. Ekkor, λ 0,1 ha T 0 < t T 1 λ =. λ n 1,n ha T n 1 < t T n 1 A mez teljes ha A A, melyre P(A) = 0 akkor B A esetén B A 2 Lásd: Medvegyev (2008) 21

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

TŐKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+

TŐKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+ NYILVÁNOS KIBOCSÁTÁS: 4 ÉVES, LEJÁRATKOR 90 %-IG TŐKEVÉDETT*, A VODAFONE GROUP PLC, A THE PROCTER & GAMBLE COMPANY ÉS AZ ALLIANZ SE RÉSZVÉNYEIHEZ KÖTÖTT, AMERIKAI DOLLÁRBAN DENOMINÁLT KÖTVÉNY KIBOCSÁTÓ:

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

Hosszú Zsuzsanna Körmendi Gyöngyi Tamási Bálint Világi Balázs: A hitelkínálat hatása a magyar gazdaságra*

Hosszú Zsuzsanna Körmendi Gyöngyi Tamási Bálint Világi Balázs: A hitelkínálat hatása a magyar gazdaságra* Hosszú Zsuzsanna Körmendi Gyöngyi Tamási Bálint Világi Balázs: A hitelkínálat hatása a magyar gazdaságra* A hitelkínálat elmúlt évekbeli alakulását, szerepének jelentőségét vizsgáljuk különböző megközelítésekben,

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

10. SZÁMÚ MELLÉKLET TÁJÉKOZTATÓ A K&H A TELJES ÉLETÉRT TŐKEVÉDETT ESZKÖZALAPRÓL

10. SZÁMÚ MELLÉKLET TÁJÉKOZTATÓ A K&H A TELJES ÉLETÉRT TŐKEVÉDETT ESZKÖZALAPRÓL 10. SZÁMÚ MELLÉKLET TÁJÉKOZTATÓ A K&H A TELJES ÉLETÉRT TŐKEVÉDETT ESZKÖZALAPRÓL A K&H a teljes életért eszközalap egy tőkevédett, zártvégű eszközalap. Az eszközalap kockázati besorolása: óvatos Az eszközalap

Részletesebben

13. előadás, 2015. május 13.

13. előadás, 2015. május 13. 13. előadás, 2015. május 13. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem A pénzügyi válság okai Átláthatatlan, ellenőrizhetetlen árazású

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI

MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI MIKOVINY SÁMUEL FÖLDTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Doktori értekezés tézisei MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI Írta: SZABÓ NORBERT PÉTER Tudományos vezető: DR. DOBRÓKA MIHÁLY

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

AEGON PRÉMIUM ESERNYŐALAP

AEGON PRÉMIUM ESERNYŐALAP Aegon Prémium Expert Alapokba Fektető Részalapból, Aegon Prémium Dynamic Alapokba Fektető Részalapból és Aegon Prémium Everest Alapokba Fektető Részalapból álló AEGON PRÉMIUM ESERNYŐALAP TÁJÉKOZTATÓJA

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A HIBRID LINEÁRIS LÉPTET MOTOR HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSI MÓDOZATAIRÓL

A HIBRID LINEÁRIS LÉPTET MOTOR HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSI MÓDOZATAIRÓL A HIBRID LINEÁRIS LÉPTET MOTOR HATÉKONYSÁGÁNAK NÖVELÉSI MÓDOZATAIRÓL Szabó Loránd - Ioan-Adrian Viorel - Józsa János Kolozsvári M szaki Egyetem, Villamos Gépek Tanszék 3400 Kolozsvár, Pf. 358. e-mail:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése

Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése Készítette: Pogonyi Tibor Konzulens: Dr. Palotás Béla DUNAÚJVÁROSI FŐISKOLA MŰSZAKI INTÉZET Gépészeti Tanszék 2012. 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 9. el adás Bevezetés az ökonozikába El adó: London András 2015. november 2. Motiváció Komplex rendszerek modellezése statisztikus mechanika és elméleti zika

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Szakszemináriumi téma neve: Kockázatok mérése a Szolvencia II. szabályozásban

Szakszemináriumi téma neve: Kockázatok mérése a Szolvencia II. szabályozásban Meghirdető neve: Dr. Szüle Borbála Szakszemináriumi téma neve: Kockázatok mérése a Szolvencia II. szabályozásban Téma rövid leírása: A biztosítók működését számos kockázat befolyásolja. A kockázatok pontos

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK

SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK A NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK TARTALÉKOLÁSÁBAN MSc szakdolgozat Írta: Orbán Barbara

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

ELEMZÉSEK AZ INFLÁCIÓRÓL

ELEMZÉSEK AZ INFLÁCIÓRÓL Budapesti Corvinus Egyetem ELEMZÉSEK AZ INFLÁCIÓRÓL Ph.D. értekezés Bauer Péter Budapest, 2012. Bauer Péter Elemzések az inflációról Matematikai Közgazdaságtan és Gazdaságelemzés Tanszék Témavezető: Vincze

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 6. el adás Hálózatok növekedési modelljei: `uniform és preferential attachment' El adó: London András 2015. október 12. Hogyan n nek a hálózatok? Statikus

Részletesebben

Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére

Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére Tamaga István Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére modell Készítsük el egy épít ipari kivitelezés gráfelméleti modelljét! Ekkor a kivitelezést megfeleltetjük egy gráfnak,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Online kérd íves felmérés a Gazdálkodás olvasóinak és szerz inek körében

Online kérd íves felmérés a Gazdálkodás olvasóinak és szerz inek körében 389 V ITA Online kérd íves felmérés a Gazdálkodás olvasóinak és szerz inek körében FEHÉR ANDRÁS SZABÓ G. GÁBOR SZAKÁLY ZOLTÁN Kulcsszavak: elégedettség, vélemények, olvasók, szerz k, Gazdálkodás. ÖSSZEFOGLALÓ

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

TİKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+

TİKEPIACI TÁJÉKOZTATÁS PÉNZÜGYI ESZKÖZ EGYES ADATAIRÓL+ TERMÉKLEÍRÁS ÉS BEFEKTETÉSI STRATÉGIA BEFEKTETÉSI CÉLOK Ez egy 5 éves, euróban (EUR) denominált indexhez kötött kifizetéső átváltható kötvény (a továbbiakban Kötvény), amit a Citigroup Funding Inc (a továbbiakban

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

TÁJÉKOZTATÓ. K&H többször termő 4 származtatott zártvégű alap

TÁJÉKOZTATÓ. K&H többször termő 4 származtatott zártvégű alap TÁJÉKOZTATÓ a K&H többször termő 4 származtatott zártvégű alap befektetési jegyeinek forgalomba hozatalához a Magyar Nemzeti Bank Pénzügyi Stabilitási Tanácsa által kiadott engedély száma: H-KE-III-290/2014.

Részletesebben

A népesség iskolázottságának előrejelzése 2020-ig

A népesség iskolázottságának előrejelzése 2020-ig Közgazdasági Szemle, LIX. évf., 2012. július augusztus (854 891. o.) Hermann Zoltán Varga Júlia A népesség iskolázottságának előrejelzése 2020-ig Iskolázási mikroszimulációs modell (ISMIK) Tanulmányunkban

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 264-287. o. Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Szakálné Kanó Izabella 1 A lokális térségek

Részletesebben

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel Iskolakultúra 2008/1 2 Molnár Gyöngyvér SZTE, Pedagógia Tanszék, MTA-SZTE Képességkutató Csoport A Rasch-modell kiterjesztése nem dichotóm adatok elemzésére: a rangskálás és a parciális kredit modell A

Részletesebben

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hermán Dániel Nyugdíjváromány el rejelzése egyéni paraméterek alapján MSc. szakdolgozat Témavezet

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

I. BEVEZETÉS------------------------------------------------------------------2

I. BEVEZETÉS------------------------------------------------------------------2 TARTALOMJEGYZÉK I. BEVEZETÉS------------------------------------------------------------------2 II. EL ZMÉNYEK ---------------------------------------------------------------4 II. 1. A BENETTIN-STRELCYN

Részletesebben

Balogh János gépészmérnök, műszaki menedzser MSc., vezető programkoordinációs szakértő 1

Balogh János gépészmérnök, műszaki menedzser MSc., vezető programkoordinációs szakértő 1 Építési projektek ütemtervi bizonytalanságainak, kockázatainak figyelembe vétele a pénzügyi tervezésnél Balogh János gépészmérnök, műszaki menedzser MSc., vezető programkoordinációs szakértő, MVM Paks

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Opponensi vélemény. Fullér Róbert: Multicriteria Decision Models with Imprecise Information. című akadémiai doktori értekezéséről

Opponensi vélemény. Fullér Róbert: Multicriteria Decision Models with Imprecise Information. című akadémiai doktori értekezéséről Opponensi vélemény Fullér Róbert: Multicriteria Decision Models with Imprecise Information című akadémiai doktori értekezéséről Az értekezés témája a többkritériumú döntési modellek, a fuzzy rendszerek

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Energiaipar: a jég hátán is megél?

Energiaipar: a jég hátán is megél? OTDK-dolgozat 2015 Energiaipar: a jég hátán is megél? A szektor kereskedelmi engedélyes vállalkozásainak beszámolóelemzése az elmúlt évek tükrében Energy industry: can he always make do? The recent year

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

CITIBANK EUROPE PLC. MAGYARORSZÁGI FIÓKTELEPE A KÖTVÉNYEK FORGALMAZÓJAKÉNT JÁR EL

CITIBANK EUROPE PLC. MAGYARORSZÁGI FIÓKTELEPE A KÖTVÉNYEK FORGALMAZÓJAKÉNT JÁR EL TERMÉKLEÍRÁS ÉS BEFEKTETÉSI STRATÉGIA BEFEKTETÉSI CÉLOK Ez egy nem tıkevédett, 3 éves futamidejő, feltételesen visszahívható EUR denominált Kötvény (a továbbiakban Kötvény), melyet a Citigroup Funding

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A HÁZTARTÁSI TERMELÉS PÉNZÉRTÉKE

A HÁZTARTÁSI TERMELÉS PÉNZÉRTÉKE A HÁZTARTÁSI TERMELÉS PÉNZÉRTÉKE SZÉP KATALIN SIK ENDRE A háztartási termelés pénzértékének becslésekor két alapvető elméleti és mérési kérdést kell megoldani: a háztartási termelés volumenének mérését

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA*

A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* NAGY GYULA A tanulmány a magyarországi gazdasági átalakulás nyomán a nők és a férfiak munkaerőpiaci részvételében és foglalkoztatottságában bekövetkezett

Részletesebben

MEDDŐHÁNYÓK ÉS ZAGYTÁROZÓK KIHORDÁSI

MEDDŐHÁNYÓK ÉS ZAGYTÁROZÓK KIHORDÁSI Mikoviny Sámuel Földtudományi Doktori Iskola A doktori iskola vezetője: Dr. h.c. mult. Dr. Kovács Ferenc egyetemi tanár, a MTA rendes tagja MEDDŐHÁNYÓK ÉS ZAGYTÁROZÓK KIHORDÁSI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

CEBS Consultative Paper 10 (folytatás) Krekó Béla PSZÁF, 2005. szeptember 15.

CEBS Consultative Paper 10 (folytatás) Krekó Béla PSZÁF, 2005. szeptember 15. CEBS Consultative Paper 10 (folytatás) Krekó Béla PSZÁF, 2005. szeptember 15. 1 3.3.3 Minősítési rendszerek és a kockázatok számszerűsítése Minősítések hozzárendelése PD, LGD, CF meghatározása Közös vizsgálati

Részletesebben

OTP Platina Nemzetközi Részvény Alap Mérleg

OTP Platina Nemzetközi Részvény Alap Mérleg OTP Platina Nemzetközi Részvény Alap Mérleg adatok ezer Ft-ban A tétel megnevezése Elozo év Tárgyév 2000. dec. 31. 2001. dec. 31. a b c d 01. A) Befektetett eszközök 02. I. Értékpapírok 03. 1. Értékpapírok

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben