Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download ""

Átírás

1 Automatikus dierencialas Csendes Tibor A dierencialhanyadosoknak fontos szerepuk van a numerikus matematikaban, szamos teruleten szinte elengedhetetlen a hasznalatuk. Ilyen problemak talalhatok peldaul az optimalizalasban, a nemlinearis egyenletmegoldasban, az iranytaselmeletben es az erzekenysegvizsgalatban is. Talan a legismertebb eset a fuggvenyek zerushelyenek megkeresese, itt a derivalt hasznalataval m}ukod}o Newton-Rawson eljaras konvergenciasebessege lenyegesen jobb, mint aderivaltakat nem hasznalo szel}o- vagy hurmodszere. Egy pelda sajat tapasztalatbol [1]: bizonyos globalis optimalizalasi feladatok megoldasa a derivaltak hasznalata nelkul egyszer}uen lehetetlen volt (a fellep}o hatalmas tarigeny miatt) mg a gradiens alkalmazasaval hatekony algoritmust lehetett megadni. Ma mar egyes programozasi nyelvek (pl. a PASCAL- XSC [7]) is tamogatjak az automatikus dierencialast megfelel}o adattpussal es m}uveletekkel, es szamos szoftver is hasznalja ezt a derivalasi modszert (pl. [10]-ban lert optimalizalasi eljaras, amely csak a celfuggveny megadasat igenyli). 1. Hogyan szokas a derivaltakat szamtogepen el}oalltani, es miert nem igazan jok ezek a megoldasok? A leggyakrabban hasznalt ket modszer a derivaltertekek el}oalltasara azok numerikus kozeltese es a "kezzel" valo derivaltmeghatarozas a derivalasi szabalyok alkalmazasaval. Tekintsuk peldaul az f(x) = (x ; 1) 2 fuggvenyt az x = 2 pontban. A numerikus dierencialas a derivalt erteket (az egyik szokasos modszerrel) az (f(x) ; f(x ; ))= becslessel kozelti, ahol egy a szamabrazolasnak megfelel}oen valasztott 0 es 1 kozotti kis szam. = 10 ;8 eseten f 0 (2)-re gy (Fortranban, dupla pontossaggal) adodik. A derivalasi szabalyok alkalmazasaval az f 0 (x) = 2x ; 2 fuggvenyt kapjuk, ennek szamtogepes kiertekelese (lenyegeben) 2-t ad. A legtobb numerikus matematikai monograa es a professzionalis numerikus programcsomagok tobbsege is ezt a ket utat javasolja, bar mindket 1

2 modszernek vannak olyan gyengei, amelyek szamos feladatban lehetetlenne vagy ertelmetlenne teszik alkalmazasukat. A ritka kivetelek egyike Skeel es Keiper konyve [11], amely a szimbolikus dierencialassal szemben is az automatikus derivalast javasolja. Erdekes osszefuggesek vannak a derivalas es az integralas analitikus, illetve numerikus meghatarozasa kozott is. Az analitikus derivalas keplettel adott, elemi fuggvenyekb}ol feleptett fuggvenyekre konnyen, csaknem mechanikusan vegrehajthato, mg az analitikus integralas nehez vagy akar lehetetlen is lehet. Ezzel szemben a numerikus kozeltes a derivaltra gyakran pontatlan, mg az integralra altalaban pontosabb. A numerikus derivaltak viszonylag konnyen programozhatok, sokszor a konyvtari program maga alltja }oket el}o, ha a felhasznalo nem adott meg szubrutint az analitikus derivaltak kiszamtasara. A numerikus derivalt hasznalatanak el}onye, hogy + nincs el}ozetes munkarafordtas a derivaltak "kezzel" torten}o el}oalltasara, + emiatt javtani sem kell az azok programozasa soran elkovetett hibakat, es + akkor is m}ukodik, ha az illet}o fuggveny kepletet nem ismerjuk, csak a kiszamolasara szolgalo szubrutin adott. Hatranya viszont, hogy { a levagasi hiba miatt sok ertekes jegy veszik el. Ez a jelenseg csak bonyolult, es nem is minden szamtogepes kornyezetben rendelkezesre allo eszkozokkel csokkenthet}o (valtozo meret}u szamabrazolas, racionalis aritmetika stb.). { a gyorsan valtozo derivaltak becslesere alkalmatlan. Az optimalizalasban altalanosan elfogadott huvelykszabaly szerint (hacsak lehetseges) erdemes el}oalltani a derivaltakat szamto szubrutinokat. Ezen eljaras el}onye, hogy + a levagasi hiba nem jelentkezik, a kiszamtott derivaltertekek altalaban csak nagyon kis kerektesi hibaval terheltek, es 2

3 + a gyorsan valtozo derivaltertekek is jol meghatarozhatok. A hatranya ezzel szemben, hogy { a derivaltak kepletenek meghatarozasa munkaigenyes, es a "kezzel"valo el}oalltas eseten gyakran komoly hibaforras, valamint { csak a keplettel adott fuggvenyek derivaltja hatarozhato meg ilyen modon, tehat a kizarolag algoritmussal adottakat altalaban nem lehet gy derivalni. Itt kell megjegyezni, hogy a szamtogepes algebrarendszerek (mintpeldaul a Mathematica, a Maple vagy a Derive) szimbolikus manipulacioval el}o tudjak alltani a keplettel adott fuggvenyek derivaltjait. Igy ez az el}okeszt}o munka legalabb szamtogepesthet}o, tehat nem feltetlenul kell "kezzel" vegrehajtani. Az ilyen szimbolikus derivalas, a vele jaro egyszer}ustes es a programozasi nyelvre valo alaktas id}oigenye nagyon valtozo, mindenesetre a szamtogepes algebrarendszerek sokat fejl}odtek ezen a teren az utobbi id}oben [5]. Az automatikus dierencialas egyszer}uen abbol az igenyb}ol fakadt, hogy az el}oz}o modszerek el}onyeit kell egyesteni a hatranyok elhagyasaval. Olyan eljarast kerestek tehat, amely + lenyegeben nem igenyel el}ozetes rafordtast a derivaltak "kezzel-" vagy akar szamtogepes algebrarendszerrel, szimbolikus manipulacioval valo meghatarozasara, + emiatt nem is kell a megfelel}o szubrutinokat programozni es javtani, + akkor is m}ukodik, ha csak az illet}o fuggveny kiszamolasara szolgalo szubrutin adott, de a fuggveny keplete nem ismert, + a levagasi hiba miatt nem vesznek el ertekes jegyek, + a gyorsan valtozo derivaltak meghatarozasara is alkalmas, es + a derivaltak kiszamtasanak m}uveletigenye altalaban kisebb, mint a numerikus derivalase, illetve az analitikus derivaltakat kiszamto szubrutinoke. 3

4 1. Tablazat. Nehany alapm}uvelet es elemi fuggveny dierencialasa y = f(x) a x a x a=x p x log(x) exp(x) cos(x) f 0 (x) 1 a ;y=x 0:5=y 1=x y ; sin(x) Maga az otlet nem nagyon bonyolult, es jellemz}omodon tobben egymastol fuggetlenulratalaltak [5, 8, 12]. Ha valaki kedvet erez hozza, maga is megprobalhatja az automatikus dierencialast ujra felfedezni: az el}oz}o felteteleket teljest}o eljarast kell megadni (eddig nem arultunk el semmi lenyegeset a trukkb}ol). 2. Az otlet. A trukk mindossze annyi, hogy hasznaljuk az adott fuggvenyre ismert kiszamtasi eljarast az egyes m}uveletekhez tartozo derivalasi szabalyokkal egyutt. Peldaul ha f(x) = f 1 (x) f 2 (x), akkor legyen f 0 (x) erteke f1(x)f 0 2 (x)+f 1 (x)f2(x), 0 ahol f1(x) 0 es f2(x) 0 erteke mar ismert. Minden egyes reszletszamtassal egyutt tehat a ra vonatkozo, az aktualis valtozo- es konstansertekekhez tartozo derivalterteket is meghatarozzuk, es taroljuk. A kiindulashoz a valtozo derivaltja termeszetesen 1, a konstanse nulla. Az 1. Tablazat egyes alapm}uveletek es elemi fuggvenyek dierencialasanak formalis lerasat tartalmazza, itt x valtozo, a pedig konstans. Az automatikus dierencialas implementalasa soran celszer}u olyan adatszerkezetet valasztani, hogy minden, az illet}o fuggveny kiszamtasaban szerepet jatszo valtozo es konstans szamara egy rendezett part hasznalunk, a- melynek els}o tagja a szokasos erteket tartalmazza majd, a masodik tag pedig a hozza tartozo derivalterteket. Ilyen adatstrukturaval az uj m}uveleteket egyszer}u felrni szubrutinok segtsegevel, vagy egyes ujabb programozasi nyelvekben (pl. C++ vagy FORTRAN-90) az eredeti m}uveletek es standard fuggvenyek denciojanak az uj adatszerkezetre valo kiterjesztesevel (operation overloading). Az utobbi esetben a mar m}ukod}o, az eredeti fuggvenyt kiszamto programban csak az adattpust kell kicserelni (pl. "real" helyett "derivative" vagy "gradient"), es maris rendelkezesre allnak a kvant derivaltertekek. Tekintsunk egy egyszer}u peldat az automatikus dierencialas hasznalatara: hatarozzuk meg ismet az f(x) = (x ; 1) 2 fuggveny derivaltjat az x = 2 pontban! A dierencialhanyados-fuggveny tehat f 0 (x) = 2x ; 2, a keresett 4

5 derivaltertek pedig 2. A valtozonkhoz tartozo par (2 1), a fuggvenyben szerepl}o konstanshoz tartozo pedig (1 0). A zarojelen beluli kifejezes f(x) kepleteben a (2 1) ; (1 0) = (1 1) part eredmenyezi. A negyzetreemelest szorzassal ertelmezve az (1 1) (1 1) = (1 2) part kapjuk, amelyb}ol kiolvashato, hogy f(2) = 1, es f 0 (2) = Kiterjesztesek. A keplettel megadott fuggvenyek dierencialasaval szemben szokas kiemelni az "algoritmusok dierencialasat". Ezen az automatikus dierencialas egyszer}u kiterjeszteset ertik felteteles utastasokat is tartalmazo eljarasokkal megadott fuggvenyek derivalasara. Az utobbiakkal kapcsolatban persze felvet}odik, hogy dierencialhatok-e ezek egyaltalan. Szerencsere ez a problema inkabb elmeleti jelleg}u, es a technikai megoldast nem nagyon befolyasolja [3]. A magasabbrend}u derivaltak el}oalltasahoz ket ut kozott valaszthatunk: vagy kozvetlenul az egyes m}uveletekhez tartozo magasabbrend}u derivalasi kepleteket hasznaljuk (peldaul, ha f(x) = g(x)+h(x), akkor f 00 (x) = g 00 (x)+ h 00 (x)), vagy az alacsonyabbrend}u derivaltak kiszamtasara mar meglev}o algoritmusra alkalmazzuk ismetelten az algoritmusok dierencialasat. A tobbvaltozos fuggvenyek dierencialasara a bevezetett automatikus differencialasi modszer minden tovabbi nelkul alkalmazhato, az egyes parcialis derivaltak meghatarozasakor csak a valtozo-konstans viszonyt kell mindig megfelel}oen tisztazni. Ez is konnyen programozhato, es gy a gradiens, a Hesse- es a Jacobi-matrix kiszamtasa is nagyon kenyelmesse tehet}o. 4. Az automatikus dierencialas ket valtozata. Az automatikus dierencialas legegyszer}ubb megvalostasa az, amikor a kulonben mar rendelkezesre allo, az adott fuggvenyt kiszamto programot kib}ovtjuk az egyes m}uveletekhez tartozo elemi derivalasi lepesekkel - megtartva az eredeti algoritmus szerkezetet. Ezt a modszert a tovabbiakban sima algoritmusnak fogjuk nevezni. Az angol nyelv}u szakirodalomban nincs meg kialakult egyseges elnevezese, a "forward", "contravariant" vagy "bottom-up" jelz}okkel szokas megkulonboztetni (a masik, fordtott eljaras angolul "reverse", "backward", "covariant" vagy "top-down"). A ket eljaras lenyegeben az osszetett fuggvenyek derivalasahoz hasznalatos lancszabaly vegrehajtasi iranyaban kulonbozik. 5

6 A sima eljaras peldaul az y = f(g(h(x) k(x))) fuggveny automatikus dierencialasa soran a du = h 0 (x)dx dv = k 0 (x)dx dw = [g u (u v)h 0 (x)+g v (u v)k 0 (x)]dx dy = f 0 (w)[g u (u v)h 0 (x) + g v (u v)k 0 (x)]dx sorrendet koveti. A fordtott eljaras az ellentetes iranyban alkalmazza a lancszabalyt: dy = f 0 (w)dw dy = f 0 (w)[g u (u v)du + g v (u v)dv] dy = f 0 (w)[g u (u v)du + g v (u v)k 0 (x)dx] dy = f 0 (w)[g u (u v)dh 0 (x) + g v (u v)k 0 (x)]dx: A fordtott algoritmus el}onye abban van, hogy ez a vegrehajtasi sorrend lehet}ove teszi tobbvaltozos fuggvenyek dierencialasa soran bizonyos szuksegtelen m}uveletek elhagyasat. Ennek az az ara (amit a kovetkez}o szakasz adatai is alatamasztanak), hogy a fordtott algoritmus tarigenye magasabb, es a sima algoritmus egymenetes vegrehajtasaval szemben ket menetet igenyel. A ket valtozat kozotti kulonbseg megvilagtasa celjabol tekintsuk most az f(x) = x 1 (1 ; x 2 ) 2 fuggvenyt az x = [2 1] T pontban. A sma eljaras az egyes vegrehajtott m}uveletekkel egyutt a megfelel}o derivaltertekeket is meghatarozza: f 1 = x 1 =2 d 1 =(1 0), f 2 = x 2 = 1 d 2 = (0 1), f 3 = 1 d 3 = (0 0), f 4 = f 3 ; f 2 = 0 d 4 = d 3 ; d 2 = (0 ;1), f 5 = f 2 4 = 0 d 5 = 2f 4 d 4 = (0 0), f 6 = f 1 f 5 = 2 d 6 = f 1 d 5 + d 1 f 5 = (0 0). A sma eljaras ekozben esetleg tobbszor is vegrehajtja ugyanazt a m}uveletet, viszont nem igenyli a kiszamtasi fa letrehozasat es tarolasat. A fordtott 6

7 algoritmus ezzel szemben el}oszor meghatarozza az f i ertekeket es a kiszamtasi fat, majd ennek segtsegevel el}oalltja a d i i ertekeket: d 6 d 5 = d 6 5 = d 6 f 1 d 4 = d 5 4 = d 5 2f 4 = d 3 = d 4 3 = d 4 d 2 = d 4 2 = d 4 (;1) = d 1 = d 6 1 = d 6 f 5 =0. A gradiens erteket a[d 1 d 2 ] T vektor adja. 5. M}uvelet- es tarigeny. A 2. Tablazat az automatikus dierencialas ket valtozatanak m}uvelet- es tarigenyet adja meg nehany gyakori derivalasi feladatra. A legmeglep}obb adat talan az, hogy egy tobbvaltozos fuggvenynek es gradiensenek meghatarozasa a fordtott algoritmussal legfeljebb negyszerannyi m}uveletet igenyel mint az illet}o fuggveny kiszamtasa. A fels}o korlat tehat nem is fugg kozvetlenul az illet}o fuggveny valtozoinak szamatol. Az automatikus dierencialas m}uveletigenye nagyjabol megfeleltethet}o egy ciklusmentes grafban a legrovidebb ut megkeresese m}uveletigenyenek, hozzaadva a kiszamtasi graf letrehozasanak m}uveletigenyet. A tarigeny nagy reszet a kiszamtasi graf tarolasa okozza. A tar- es m}uveletigeny javtasa teren meg varhatok tovabbi eredmenyek, de az is latszik, hogy a tarigeny inkabb csak a m}uveletigeny rovasara csokkenthet}o (es viszont). 6. Az automatikus dierencialas veszelyei. Az el}oz}oek alapjan ugy t}unhet, hogy az automatikus dierencialas szamtogepes megvalostasa problemamentes. Sajnos nem egeszen ez a helyzet, me nehany pelda: 1. A zerus gyokok esete. Tekintsuk az f(x) = x x 4 2 fuggvenyt. Ez differencialhato, es a gradiense a (0: 0:) T pontban (0: 0:) T. Az automatikus dierencialas a negyzetgyok m}uvelethez azonban nem tud erteket rendelni, ha a gyok argumentuma nulla. A felhasznalo szamara ilyen esetekben az a leghasznosabb, ha az illet}o implementacio felhvja a gyelmet erre a hibalehet}osegre, pl. az IEEE aritmetikat tamogato szamtogepekben a NaN (Not q 7

8 2. Tablazat. A fontosabb automatikus dierencialasi feladatok m}uvelet- es tarigenye. Magyarazat: f: egy n-valtozos fuggveny, f: m darab n-valtozos fuggveny, rf: az f gradiense, H: az f Hesse-matrixa, J: az f Jacobi-matrixa, L(:): az argumentumok meghatarozasanak m}uveletigenye a f+ ; = p log exp sin cosg alapm}uveletek felett, es S(:): az argumentumok meghatarozasanak tarigenye. Feladat sima Algoritmus fordtott L(f rf) 4nL(f) 4L(f) L(f rf H) O(n 2 L(f)) (10n + 4)L(f) L(f J) O(nL(f)) (3m + 1)L(f) S(f rf) O(S(f)) O(S(f)+L(f)) S(f rf H) O(S(f)) O(S(f) + L(f)) S(f J) O(S(f)) O(S(f)+L(f)) a Number) ertek hozzarendelesevel. 2. A programelagazas esete. Tekintsuk az alabbi utastast: if x = 1 then f(x) = 1 else f(x) = x 2 Vilagos, hogy az gy denialt fuggveny folytonosan dierencialhato, megis az automatikus dierencialas a hamis f 0 (1) = 0 erteket adja. A pelda kicsit er}oltetettnek t}unik, de viszonylag gyakran el}ofordul, hogy adott fuggveny kiszamtasara hasonlo modon az argumentumok erteket}ol fugg}oen mas es mas eljarast adunk meg. Valodi megoldast erre a problemara nem lehet javasolni, legfeljebb azt, hogy a jelenseg tudataban (kulonosen az egyenl}osegfeltetellel adott programelagazas eseten) a felhasznalo ellen}orizze, hogy ilyen hiba fellephet-e. 3. A hatarertekkel adott fuggveny esete. Eddig a fuggvenyek megadasara mindig veges eljarast hasznaltunk. Mi tortenik akkor, ha ez a leras vegtelen? Konny}u olyan alkalmazasi peldat mutatni, ahol a dierencialni kvant fuggvenyt csak egy iteratv sorozattal tudjuk jellemezni. A klasszikus analzis szerint viszont a dierencialas es a hatarertekkepzes nem cserelhet}ok fel. Tekintsuk a kovetkez}o egyszer}u fuggvenysorozatot: 8

9 f 1 (x) =xe ;x2 f 2 (x) =xe ;x2 e ;x2 ::: f k = x(e ;x2 ) k ::: Automatikus dierencialassal (is) lim k!1 f 0 k(0) = 1, habar a valodi f(x) hatarfuggvenyre f 0 (0) = 0. Ebben az esetben is csak azt lehet tanacsolni, hogy a jelenseg ismereteben az automatikus dierencialassal nyert ertekeket ellen}orizni kell. Ehhez viszonylag kenyelmesen hasznalhato elmeleti eredmenyek is rendelkezesre allnak [2]. 7. Az automatikus dierencialas implementalasa. A mar emltett PASCAL-XSC beeptett adattpusainak es kiterjesztett alapm}uveleteinek a hasznalata a legegyszer}ubb. A felhasznalonak mindossze a megfelel}o adattpusokat kell megvaltoztatnia. A FORTRAN-90 es C++ nyelvekben ezek az uj adattpusok es a kiterjesztett m}uveletek megvalostasa utan ugyanolyan kenyelmesen lehet az automatikus dierencialas sima algoritmusat alkalmazni, mint a PASCAL-XSC tamogatasaval. Anonymous ftp-vel elerhet}o egy C++ b}ovtes az iamk4515.mathematik.uni-karlsruhe.de cmen, a /pub/toolbox/cxsc konyvtarban. Ismertetese a [4] kotetben talalhato. A kovetkez}o egyszer}u peldaban az f(x) = 25(x ; 1)=(x + 2) fuggveny es derivaltja erteket hatarozzuk meg automatikus dierencialassal az x = 2 pontban. A PASCAL-XSC implementacio erdekesebb reszleteit adjuk csak meg. program pelda (input,output) type df_type = record f,df: real end operator + (u,v: df_type) res: df_type begin res.f:=u.f+v.f res.df:=u.df+v.df end. operator * (u,v: df_type) res: df_type begin res.f:=u.f*v.f res.df:=u.df*v.f+u.f*v.df end. 9

10 function df_var (h: real) : df_type begin df_var.f:=h df_var.df:=1.0 end var x,f: df_type h: real begin h:=2.0 x:=df_var(h) f:=25*(x-1)/(x+2) writeln('f, df:',f.f,f.df) end. Szamos kevesbe elegans, de annal hatasosabb szamtogepes eszkoz (preprocesszor, precompiler, keresztfordto es mas programcsomag) erhet}o el az automatikus dierencialas megvalostasara. Mintakent nehany hresebbnek az adatai: A JAKEF egy FORTRAN precompiler, amit az Argonne National Laboratory fejlesztett ki. Inputkent egy skalar vagy vektorfuggvenyt kiszamto szubrutint hasznal, es eredmenykent egy a gradienst, illetve a Jacobi-matrixot el}oallto szubrutint ad. A fordtott algoritmusra epul. A dokumentaciot es a forrasszoveget is meg lehet kapni. A NETLIB nev}u adatbazisban talalhato, b}ovebb informaciot ugy kaphatunk, hogy a cmre egy "send index" uzenetet kuldunk. A FORTRAN programok sima algoritmussal valo automatikus dierencialasara szolgalo GRAD programcsomag a kovetkez}o cmen erhet}o el: Larry Husch, Dept. Mathematics, University of Tenessee, Knoxville TN, USA, illetve az elektronikus postaval. Az ADOL-C egy C++ nyelven rt rendszer, amely C vagy C++ nyelv}u algoritmusok dierencialasara alkalmas sima es fordtott eljarassal is. A forraskod es a dokumentacio Andreas Griewank cmen erhet}o el (Argonne National Labs, Argonne, IL 60439, USA, illetve elektronikus postaval 10

11 A MAPLE nev}u szamtogepes algebrarendszer az 5.1-es valtozatatol kezdve a szimbolikus derivalas mellett kepes az automatikus dierenci- alasra is (a sima algoritmussal). Az "optimize" rutinja csokkentheti a m}uveletigenyt, es az eredmenyt FORTRAN vagy C nyelven is ki tudja adni. Meg kell meg emlteni, hogy az automatikus dierencialashoz termeszetes modon kapcsolhato a kerektesi hibak becslese es a szamtott derivaltak also- es fels}okorlatjainak meghatarozasa is. Az utobbi feladatok (reszben az intervallum-aritmetikara tamaszkodva) szinten kenyelmesen megoldhatok szamtogepen [4, 7, 10]. IRODALOM [1] Csendes, T., J. Pinter: The impact of accelerating tools on the interval subdivision algorithm for global optimization, European J. of Operational Research 65(1993) [2] Fischer, H.: Special problems in automatic dierentiation,in: [Griewank { Corliss, 1991] [3] Griewank, A., G. Corliss (Eds.): Automatic Dierentiation of Algorithms: Theory, Implementation, and Application. SIAM, Philadelphia, [4] Hammer, R., M. Hocks, U. Kulisch, D. Ratz: C++ Toolbox for Veried Computing, Springer-Verlag, Berlin, [5] Iri, M.: History of automatic dierentiation and rounding error estimation, in: [Griewank { Corliss, 1991] [6] Kedem, G.: Automatic dierentiation of computer programs, ACM Transactions on Mathematical Software 6(1980) [7] Klatte, R., U. Kulisch, M. Neaga, D. Ratz, Ch. Ullrich: PASCAL-XSC, Springer-Verlag, Berlin,

12 [8] Ostrovskij, G.M., Ju.M. Wolin, W.W. Borisov: Uber die Berechnung von Ableitungen, Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule fur Chemie, Leuna-Merseburg 13(1971) [9] Rall, L.B.: Automatic Dierentiation: Techniques and Applications. Lecture Notes In Computer Science, Vol. 120, Springer-Verlag, Berlin, [10] Ratz, D.: Automatische Ergebnisverikation bei globalen Optimierungsproblemen. Doktori ertekezes, Karlsruhei Egyetem, [11] Skeel, R.D., J.B. Keiper: Elementary Numerical Computing with MATHEMATICA. McGraw-Hill Inc., New York, [12] Wengert, R.E.: A simple automatic derivative evaluation program, Communications of the ACM 7(1964) Csendes Tibor, JATE Kalmar Laboratorium, Szeged, Arpad ter 2. A cikk rasa idejen a Bazeli Egyetem Informatikai Intezeteben volt osztondjas a Svajci Szovetsegi Osztondjbizottsag Kulonprogramja tamogatasaval. Automatic Dierentiation (Summary) Derivatives are required for optimization, integration of sti dierential equations, parameter estimation, sensitivity analysis, and in many other problems. Often, hand-coding of analytical derivative computations is too laborious and error-prone, and the use of nite dierence approximations is too expensive and/or inaccurate. Sometimes symbolic algebra packages can be useful, but these are generally inadequate when the functions to be dierentiated are dened by computer programs containing intermediate variables, loops, and conditionals. This is where automatic dierentiation comes in. The article gives a review of the state of the art in automatic dierentiation. 12

AZ OPTIMALIZÁLÁS ALKALMAZÁSAI

AZ OPTIMALIZÁLÁS ALKALMAZÁSAI AZ OPTIMALIZÁLÁS ALKALMAZÁSAI Csendes Tibor előkészületben Szeged, 2006. A jegyzet jelen változata a félév során még gyakran fog változni, akár visszamenőleg is. Ezért érdemes mindig a legújabb változatot

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Funkcionális és logikai programozás. { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem }

Funkcionális és logikai programozás. { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem } Funkcionális és logikai programozás { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem } http://www.ms.sapientia.ro/~mgyongyi ` 1 Jelenlét: Követelmények, osztályozás Az első 4 előadáson

Részletesebben

2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22. feladatok megoldásában. Csendes Tibor

2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22. feladatok megoldásában. Csendes Tibor 2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22 Megbízható optimalizálás matematikai feladatok megoldásában Csendes Tibor 2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia,

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter

és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter Publikációs jegyzék Balogh János Jegyzetek, tézis: [1] Balogh J., Maximális folyamok és minimális költségű cirkulációk; algoritmusok és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, 1994. Témavezető: Dr.

Részletesebben

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Illés Tibor Keverési modellek Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Keverési modellek matematikai jellemzői Nemlineáris sokszor nem konvex optimalizálási

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Algoritmusok Tervezése. 4. Előadás Visual Basic 1. Dr. Bécsi Tamás

Algoritmusok Tervezése. 4. Előadás Visual Basic 1. Dr. Bécsi Tamás Algoritmusok Tervezése 4. Előadás Visual Basic 1. Dr. Bécsi Tamás Bevezetés A BASIC (Beginner s All-purpose Symbolic Instruction Code) programnyelvet oktatási célokra hozták létre 1964-ben. Az általános

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Kétdimenziós mesterséges festési eljárások. Hatások és alkalmazások

Kétdimenziós mesterséges festési eljárások. Hatások és alkalmazások Pannon Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskola Tézisfüzet Kétdimenziós mesterséges festési eljárások. Hatások és alkalmazások Kovács Levente Képfeldolgozás és Neuroszámítógépek Tanszék Témavezet

Részletesebben

SCILAB programcsomag segítségével

SCILAB programcsomag segítségével Felhasználói függvények de niálása és függvények 3D ábrázolása SCILAB programcsomag segítségével 1. Felhasználói függvények de niálása A Scilab programcsomag rengeteg matematikai függvényt biztosít a számítások

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül

EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül Mottók: - Aki tanít, az kétszeresen tanul. - Egy a valóság, ezer a ruhája. A logaritmikus differenciálás módszerét akkor

Részletesebben

AZ INFORMATIKA OKTATÁSÁNAK MÚLTJA ÉS JELENE A KOLOZSVÁRI EGYETEMEN

AZ INFORMATIKA OKTATÁSÁNAK MÚLTJA ÉS JELENE A KOLOZSVÁRI EGYETEMEN AZ INFORMATIKA OKTATÁSÁNAK MÚLTJA ÉS JELENE A KOLOZSVÁRI EGYETEMEN Kása Zoltán, kasa@cs.ubbcluj.ro Robu Judit, robu@cs.ubbcluj.ro Varga Ibolya, ivarga@cs.ubbcluj.ro Babes-Bolyai Tudományegyetem, Matematika

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

MATLAB alapismeretek I.

MATLAB alapismeretek I. Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. MATLAB alapismeretek I. A MATLAB bemutatása MATLAB filozófia MATLAB modulok A MATLAB felhasználói felülete MATLAB tulajdonságok

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml Szakmai önéletrajz 1.1 Személyes adatok: Nevem: Kovács Edith Alice Születési idő, hely: 1971.05.18, Arad Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: és Byte: 8 bit 28 64 32 6 8 4 2 bináris decimális

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

The Mathematical Explorer

The Mathematical Explorer The Mathematical Explorer The Mathematical Explorer A The Mathematical Explorer egy elektronikus tankönyv, mely 15 fejezetre oszlik: Prím számok, Kalkulus, Formulák, titkosítások, káosz elmélet, Riemann

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI

MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI MIKOVINY SÁMUEL FÖLDTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Doktori értekezés tézisei MÉLYFÚRÁSI GEOFIZIKAI ADATOK ÉRTELMEZÉSÉNEK MODERN INVERZIÓS MÓDSZEREI Írta: SZABÓ NORBERT PÉTER Tudományos vezető: DR. DOBRÓKA MIHÁLY

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

Mezőgazdasági betakarítási folyamatok szimulációja

Mezőgazdasági betakarítási folyamatok szimulációja Mezőgazdasági betakarítási folyamatok szimulációja 1 Mezőgazdasági betakarítási folyamatok szimulációja DR. BENKŐJÁNOS SZIE Gépészmérnöki Kar, Műszaki Menedzsment Intézet A folyamat szimuláció a valós

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálási problémák párhuzamos megoldása grafikus processzorok felhasználásával

Nemlineáris optimalizálási problémák párhuzamos megoldása grafikus processzorok felhasználásával Nemlineáris optimalizálási problémák párhuzamos megoldása grafikus processzorok felhasználásával 1 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem, Informatikai Kar Kari TDK, 2016. 05. 10. Tartalom 1 2 Tartalom 1 2 Optimalizálási

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

A MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana

A MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana A MATLAB alapjai Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit >> Futó script leállítása: >> ctrl+c - Változók listásása >> who >> whos - Változók törlése

Részletesebben

Eljárások és függvények

Eljárások és függvények Eljárások és függvények Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2012. Bevezetés Ez a jegyzet elsősorban azoknak a diákoknak készült, akiket tanítok, ezért a jegyzet erőteljesen hiányos. Az olvasó egy percig

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Globális optimalizálási algoritmusok intervallum korlátos feladatokra

Globális optimalizálási algoritmusok intervallum korlátos feladatokra Globális optimalizálási algoritmusok intervallum korlátos feladatokra Doktori értekezés tézisei Pál László Témavezet : Dr. Csendes Tibor egyetemi tanár Szegedi Tudományegyetem Informatika Doktori Iskola

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Excel Hivatkozások, függvények használata

Excel Hivatkozások, függvények használata Excel Hivatkozások, függvények használata 1. Fejezet Adatok, képletek, függvények Adatok táblázat celláiba írjuk, egy cellába egy adat kerül lehet szám, vagy szöveg * szám esetén a tizedes jegyek elválasztásához

Részletesebben

Programozás alapjai. 5. előadás

Programozás alapjai. 5. előadás 5. előadás Wagner György Általános Informatikai Tanszék Cserélve kiválasztásos rendezés (1) A minimum-maximum keresés elvére épül. Ismétlés: minimum keresés A halmazból egy tetszőleges elemet kinevezünk

Részletesebben

Vektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Vektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Vektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Octave: alapok Az octave mint számológép: octave:##> 2+2 ans = 4 Válasz elrejtése octave:##> 2+2; octave:##> + - / * () Hatványozás:

Részletesebben

Programozás II. 2. Dr. Iványi Péter

Programozás II. 2. Dr. Iványi Péter Programozás II. 2. Dr. Iványi Péter 1 C++ Bjarne Stroustrup, Bell Laboratórium Első implementáció, 1983 Kezdetben csak precompiler volt C++ konstrukciót C-re fordította A kiterjesztés alapján ismerte fel:.cpp.cc.c

Részletesebben

Oktatói önéletrajz. Dr. Tasnádi Attila. Karrier. egyetemi tanár. Közgazdaságtudományi Kar Matematika Tanszék. Felsőfokú végzettségek:

Oktatói önéletrajz. Dr. Tasnádi Attila. Karrier. egyetemi tanár. Közgazdaságtudományi Kar Matematika Tanszék. Felsőfokú végzettségek: Dr. Tasnádi Attila egyetemi tanár Közgazdaságtudományi Kar Matematika Tanszék Karrier Felsőfokú végzettségek: 1988-1993 Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, közgazdász 1990-1994 Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

C programozási nyelv

C programozási nyelv C programozási nyelv Előfeldolgozó utasítások Dr Schuster György 2011 május 3 Dr Schuster György () C programozási nyelv Előfeldolgozó utasítások 2011 május 3 1 / 15 A fordítás menete Dr Schuster György

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Mérnök informatikus (BSc) alapszak levelező tagozat (BIL) / BSc in Engineering Information Technology (Part Time)

Mérnök informatikus (BSc) alapszak levelező tagozat (BIL) / BSc in Engineering Information Technology (Part Time) Mérnök informatikus (BSc) alapszak levelező tagozat (BIL) / BSc in Engineering Information Technology (Part Time) (specializáció választás a 4. félévben, specializációra lépés feltétele: az egyik szigorlat

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra 6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Feladatok, megjegyzések Irodalom 2 Eml.: Próbaosztásos algoritmus (teljes felbontás) 14-18 jegyű számokig

Részletesebben

Kiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

Kiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem Kiegészítő előadás Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Symbolic Math Toolbox áttekintés Szimbolikus változók és konstansok, szimbolikus kifejezések,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Publikációs lista. Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék

Publikációs lista. Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék Publikációs lista Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék Folyóirat cikkek: E. Miletics: Energy conservative algorithm for numerical solution of ODEs

Részletesebben

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése A dinamikus programozás minden egyes részfeladatot és annak minden részfeladatát pontosan egyszer oldja meg, az eredményt egy táblázatban tárolja, és ezáltal

Részletesebben

Adatszerkezetek Adatszerkezet fogalma. Az értékhalmaz struktúrája

Adatszerkezetek Adatszerkezet fogalma. Az értékhalmaz struktúrája Adatszerkezetek Összetett adattípus Meghatározói: A felvehető értékek halmaza Az értékhalmaz struktúrája Az ábrázolás módja Műveletei Adatszerkezet fogalma Direkt szorzat Minden eleme a T i halmazokból

Részletesebben

3. Az elektronikus számítógépek fejlődése napjainkig 1

3. Az elektronikus számítógépek fejlődése napjainkig 1 2. Az elektronikus számítógépek fejlődése napjainkig Vázold fel az elektronikus eszközök fejlődését napjainkig! Részletesen ismertesd az egyes a számítógép generációk technikai újdonságait és jellemző

Részletesebben

MultiMédia az oktatásban Zsigmond Király Fıiskola Budapest, 2008. szeptember 25 26.

MultiMédia az oktatásban Zsigmond Király Fıiskola Budapest, 2008. szeptember 25 26. BODNÁR KÁROLY 1 DR. KÖDMÖN JÓZSEF 2 KRISTÓF ZSOLT 3 Felhasználó-azonosítás alternatívái elearning rendszerekben DE Egészségügyi Kar, Egészségügyi Informatika Tanszék 1 bcharles@de-efk.hu, 2 kodmonj@de-efk.hu,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Programozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás

Programozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Programozás BMEKOKAA146 Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Szintaktikai alapok Alapvető típusok, ismétlés C# típus.net típus Méret (byte) Leírás byte System.Byte 1Előjel nélküli 8 bites egész szám (0..255) char

Részletesebben

Egy intervallum alapú globális optimalizálási módszer és alkalmazása szenzor lokalizálási feladatra

Egy intervallum alapú globális optimalizálási módszer és alkalmazása szenzor lokalizálási feladatra Egy intervallum alapú globális optimalizálási módszer és alkalmazása szenzor lokalizálási feladatra Pál László és Csendes Tibor Kivonat A cikkben egy intervallum alapú optimalizálási módszer egy új implementációját

Részletesebben

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,..., Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-

Részletesebben

Adatszerkezetek Tömb, sor, verem. Dr. Iványi Péter

Adatszerkezetek Tömb, sor, verem. Dr. Iványi Péter Adatszerkezetek Tömb, sor, verem Dr. Iványi Péter 1 Adat Adat minden, amit a számítógépünkben tárolunk és a külvilágból jön Az adatnak két fontos tulajdonsága van: Értéke Típusa 2 Adat típusa Az adatot

Részletesebben

Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása

Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása Ütemezési modellek Az ütemezési problémák osztályozása Az ütemezési problémákban adott m darab gép és n számú munka, amelyeket az 1,..., n számokkal fogunk sorszámozni. A feladat az, hogy ütemezzük az

Részletesebben

Mathcad. 2009. Június 25. Ott István. www.snt.hu/cad. S&T UNITIS Magyarország Kft.

Mathcad. 2009. Június 25. Ott István. www.snt.hu/cad. S&T UNITIS Magyarország Kft. Mathcad 2009. Június 25. Ott István www.snt.hu/cad Matematika a gépészet nyelve Mit? Miért? 10 x 2 dx = 333 1 π cos ( x) + sin( x) dx = 2 0 i 3 1 4 i4 i 1 2 i3 + 1 4 i2 d ds ( 3s) 2 + s 2 18 s + 1 2 Pro/ENGINEER

Részletesebben

1. Alapok. #!/bin/bash

1. Alapok. #!/bin/bash 1. oldal 1.1. A programfájlok szerkezete 1. Alapok A bash programok tulajnképpen egyszerű szöveges fájlok, amelyeket bármely szövegszerkesztő programmal megírhatunk. Alapvetően ugyanazokat a at használhatjuk

Részletesebben

Szövegek C++ -ban, a string osztály

Szövegek C++ -ban, a string osztály Szövegek C++ -ban, a string osztály A string osztály a Szabványos C++ könyvtár (Standard Template Library) része és bár az objektum-orientált programozásról, az osztályokról, csak később esik szó, a string

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Logisztikai mérnök záróvizsga tételsor Módosítva 2014. június 3.

Logisztikai mérnök záróvizsga tételsor Módosítva 2014. június 3. Név KP Blokk neve KP Felelıs vizsgáztató Kombinatorikus módszerek és algoritmusok 5 MAT 10 Dr. Tuza Zsolt Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek matematikai alapjai 5 Matematika Dr. Hartung Ferenc

Részletesebben