|
|
- Dezső Mészáros
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Automatikus dierencialas Csendes Tibor A dierencialhanyadosoknak fontos szerepuk van a numerikus matematikaban, szamos teruleten szinte elengedhetetlen a hasznalatuk. Ilyen problemak talalhatok peldaul az optimalizalasban, a nemlinearis egyenletmegoldasban, az iranytaselmeletben es az erzekenysegvizsgalatban is. Talan a legismertebb eset a fuggvenyek zerushelyenek megkeresese, itt a derivalt hasznalataval m}ukod}o Newton-Rawson eljaras konvergenciasebessege lenyegesen jobb, mint aderivaltakat nem hasznalo szel}o- vagy hurmodszere. Egy pelda sajat tapasztalatbol [1]: bizonyos globalis optimalizalasi feladatok megoldasa a derivaltak hasznalata nelkul egyszer}uen lehetetlen volt (a fellep}o hatalmas tarigeny miatt) mg a gradiens alkalmazasaval hatekony algoritmust lehetett megadni. Ma mar egyes programozasi nyelvek (pl. a PASCAL- XSC [7]) is tamogatjak az automatikus dierencialast megfelel}o adattpussal es m}uveletekkel, es szamos szoftver is hasznalja ezt a derivalasi modszert (pl. [10]-ban lert optimalizalasi eljaras, amely csak a celfuggveny megadasat igenyli). 1. Hogyan szokas a derivaltakat szamtogepen el}oalltani, es miert nem igazan jok ezek a megoldasok? A leggyakrabban hasznalt ket modszer a derivaltertekek el}oalltasara azok numerikus kozeltese es a "kezzel" valo derivaltmeghatarozas a derivalasi szabalyok alkalmazasaval. Tekintsuk peldaul az f(x) = (x ; 1) 2 fuggvenyt az x = 2 pontban. A numerikus dierencialas a derivalt erteket (az egyik szokasos modszerrel) az (f(x) ; f(x ; ))= becslessel kozelti, ahol egy a szamabrazolasnak megfelel}oen valasztott 0 es 1 kozotti kis szam. = 10 ;8 eseten f 0 (2)-re gy (Fortranban, dupla pontossaggal) adodik. A derivalasi szabalyok alkalmazasaval az f 0 (x) = 2x ; 2 fuggvenyt kapjuk, ennek szamtogepes kiertekelese (lenyegeben) 2-t ad. A legtobb numerikus matematikai monograa es a professzionalis numerikus programcsomagok tobbsege is ezt a ket utat javasolja, bar mindket 1
2 modszernek vannak olyan gyengei, amelyek szamos feladatban lehetetlenne vagy ertelmetlenne teszik alkalmazasukat. A ritka kivetelek egyike Skeel es Keiper konyve [11], amely a szimbolikus dierencialassal szemben is az automatikus derivalast javasolja. Erdekes osszefuggesek vannak a derivalas es az integralas analitikus, illetve numerikus meghatarozasa kozott is. Az analitikus derivalas keplettel adott, elemi fuggvenyekb}ol feleptett fuggvenyekre konnyen, csaknem mechanikusan vegrehajthato, mg az analitikus integralas nehez vagy akar lehetetlen is lehet. Ezzel szemben a numerikus kozeltes a derivaltra gyakran pontatlan, mg az integralra altalaban pontosabb. A numerikus derivaltak viszonylag konnyen programozhatok, sokszor a konyvtari program maga alltja }oket el}o, ha a felhasznalo nem adott meg szubrutint az analitikus derivaltak kiszamtasara. A numerikus derivalt hasznalatanak el}onye, hogy + nincs el}ozetes munkarafordtas a derivaltak "kezzel" torten}o el}oalltasara, + emiatt javtani sem kell az azok programozasa soran elkovetett hibakat, es + akkor is m}ukodik, ha az illet}o fuggveny kepletet nem ismerjuk, csak a kiszamolasara szolgalo szubrutin adott. Hatranya viszont, hogy { a levagasi hiba miatt sok ertekes jegy veszik el. Ez a jelenseg csak bonyolult, es nem is minden szamtogepes kornyezetben rendelkezesre allo eszkozokkel csokkenthet}o (valtozo meret}u szamabrazolas, racionalis aritmetika stb.). { a gyorsan valtozo derivaltak becslesere alkalmatlan. Az optimalizalasban altalanosan elfogadott huvelykszabaly szerint (hacsak lehetseges) erdemes el}oalltani a derivaltakat szamto szubrutinokat. Ezen eljaras el}onye, hogy + a levagasi hiba nem jelentkezik, a kiszamtott derivaltertekek altalaban csak nagyon kis kerektesi hibaval terheltek, es 2
3 + a gyorsan valtozo derivaltertekek is jol meghatarozhatok. A hatranya ezzel szemben, hogy { a derivaltak kepletenek meghatarozasa munkaigenyes, es a "kezzel"valo el}oalltas eseten gyakran komoly hibaforras, valamint { csak a keplettel adott fuggvenyek derivaltja hatarozhato meg ilyen modon, tehat a kizarolag algoritmussal adottakat altalaban nem lehet gy derivalni. Itt kell megjegyezni, hogy a szamtogepes algebrarendszerek (mintpeldaul a Mathematica, a Maple vagy a Derive) szimbolikus manipulacioval el}o tudjak alltani a keplettel adott fuggvenyek derivaltjait. Igy ez az el}okeszt}o munka legalabb szamtogepesthet}o, tehat nem feltetlenul kell "kezzel" vegrehajtani. Az ilyen szimbolikus derivalas, a vele jaro egyszer}ustes es a programozasi nyelvre valo alaktas id}oigenye nagyon valtozo, mindenesetre a szamtogepes algebrarendszerek sokat fejl}odtek ezen a teren az utobbi id}oben [5]. Az automatikus dierencialas egyszer}uen abbol az igenyb}ol fakadt, hogy az el}oz}o modszerek el}onyeit kell egyesteni a hatranyok elhagyasaval. Olyan eljarast kerestek tehat, amely + lenyegeben nem igenyel el}ozetes rafordtast a derivaltak "kezzel-" vagy akar szamtogepes algebrarendszerrel, szimbolikus manipulacioval valo meghatarozasara, + emiatt nem is kell a megfelel}o szubrutinokat programozni es javtani, + akkor is m}ukodik, ha csak az illet}o fuggveny kiszamolasara szolgalo szubrutin adott, de a fuggveny keplete nem ismert, + a levagasi hiba miatt nem vesznek el ertekes jegyek, + a gyorsan valtozo derivaltak meghatarozasara is alkalmas, es + a derivaltak kiszamtasanak m}uveletigenye altalaban kisebb, mint a numerikus derivalase, illetve az analitikus derivaltakat kiszamto szubrutinoke. 3
4 1. Tablazat. Nehany alapm}uvelet es elemi fuggveny dierencialasa y = f(x) a x a x a=x p x log(x) exp(x) cos(x) f 0 (x) 1 a ;y=x 0:5=y 1=x y ; sin(x) Maga az otlet nem nagyon bonyolult, es jellemz}omodon tobben egymastol fuggetlenulratalaltak [5, 8, 12]. Ha valaki kedvet erez hozza, maga is megprobalhatja az automatikus dierencialast ujra felfedezni: az el}oz}o felteteleket teljest}o eljarast kell megadni (eddig nem arultunk el semmi lenyegeset a trukkb}ol). 2. Az otlet. A trukk mindossze annyi, hogy hasznaljuk az adott fuggvenyre ismert kiszamtasi eljarast az egyes m}uveletekhez tartozo derivalasi szabalyokkal egyutt. Peldaul ha f(x) = f 1 (x) f 2 (x), akkor legyen f 0 (x) erteke f1(x)f 0 2 (x)+f 1 (x)f2(x), 0 ahol f1(x) 0 es f2(x) 0 erteke mar ismert. Minden egyes reszletszamtassal egyutt tehat a ra vonatkozo, az aktualis valtozo- es konstansertekekhez tartozo derivalterteket is meghatarozzuk, es taroljuk. A kiindulashoz a valtozo derivaltja termeszetesen 1, a konstanse nulla. Az 1. Tablazat egyes alapm}uveletek es elemi fuggvenyek dierencialasanak formalis lerasat tartalmazza, itt x valtozo, a pedig konstans. Az automatikus dierencialas implementalasa soran celszer}u olyan adatszerkezetet valasztani, hogy minden, az illet}o fuggveny kiszamtasaban szerepet jatszo valtozo es konstans szamara egy rendezett part hasznalunk, a- melynek els}o tagja a szokasos erteket tartalmazza majd, a masodik tag pedig a hozza tartozo derivalterteket. Ilyen adatstrukturaval az uj m}uveleteket egyszer}u felrni szubrutinok segtsegevel, vagy egyes ujabb programozasi nyelvekben (pl. C++ vagy FORTRAN-90) az eredeti m}uveletek es standard fuggvenyek denciojanak az uj adatszerkezetre valo kiterjesztesevel (operation overloading). Az utobbi esetben a mar m}ukod}o, az eredeti fuggvenyt kiszamto programban csak az adattpust kell kicserelni (pl. "real" helyett "derivative" vagy "gradient"), es maris rendelkezesre allnak a kvant derivaltertekek. Tekintsunk egy egyszer}u peldat az automatikus dierencialas hasznalatara: hatarozzuk meg ismet az f(x) = (x ; 1) 2 fuggveny derivaltjat az x = 2 pontban! A dierencialhanyados-fuggveny tehat f 0 (x) = 2x ; 2, a keresett 4
5 derivaltertek pedig 2. A valtozonkhoz tartozo par (2 1), a fuggvenyben szerepl}o konstanshoz tartozo pedig (1 0). A zarojelen beluli kifejezes f(x) kepleteben a (2 1) ; (1 0) = (1 1) part eredmenyezi. A negyzetreemelest szorzassal ertelmezve az (1 1) (1 1) = (1 2) part kapjuk, amelyb}ol kiolvashato, hogy f(2) = 1, es f 0 (2) = Kiterjesztesek. A keplettel megadott fuggvenyek dierencialasaval szemben szokas kiemelni az "algoritmusok dierencialasat". Ezen az automatikus dierencialas egyszer}u kiterjeszteset ertik felteteles utastasokat is tartalmazo eljarasokkal megadott fuggvenyek derivalasara. Az utobbiakkal kapcsolatban persze felvet}odik, hogy dierencialhatok-e ezek egyaltalan. Szerencsere ez a problema inkabb elmeleti jelleg}u, es a technikai megoldast nem nagyon befolyasolja [3]. A magasabbrend}u derivaltak el}oalltasahoz ket ut kozott valaszthatunk: vagy kozvetlenul az egyes m}uveletekhez tartozo magasabbrend}u derivalasi kepleteket hasznaljuk (peldaul, ha f(x) = g(x)+h(x), akkor f 00 (x) = g 00 (x)+ h 00 (x)), vagy az alacsonyabbrend}u derivaltak kiszamtasara mar meglev}o algoritmusra alkalmazzuk ismetelten az algoritmusok dierencialasat. A tobbvaltozos fuggvenyek dierencialasara a bevezetett automatikus differencialasi modszer minden tovabbi nelkul alkalmazhato, az egyes parcialis derivaltak meghatarozasakor csak a valtozo-konstans viszonyt kell mindig megfelel}oen tisztazni. Ez is konnyen programozhato, es gy a gradiens, a Hesse- es a Jacobi-matrix kiszamtasa is nagyon kenyelmesse tehet}o. 4. Az automatikus dierencialas ket valtozata. Az automatikus dierencialas legegyszer}ubb megvalostasa az, amikor a kulonben mar rendelkezesre allo, az adott fuggvenyt kiszamto programot kib}ovtjuk az egyes m}uveletekhez tartozo elemi derivalasi lepesekkel - megtartva az eredeti algoritmus szerkezetet. Ezt a modszert a tovabbiakban sima algoritmusnak fogjuk nevezni. Az angol nyelv}u szakirodalomban nincs meg kialakult egyseges elnevezese, a "forward", "contravariant" vagy "bottom-up" jelz}okkel szokas megkulonboztetni (a masik, fordtott eljaras angolul "reverse", "backward", "covariant" vagy "top-down"). A ket eljaras lenyegeben az osszetett fuggvenyek derivalasahoz hasznalatos lancszabaly vegrehajtasi iranyaban kulonbozik. 5
6 A sima eljaras peldaul az y = f(g(h(x) k(x))) fuggveny automatikus dierencialasa soran a du = h 0 (x)dx dv = k 0 (x)dx dw = [g u (u v)h 0 (x)+g v (u v)k 0 (x)]dx dy = f 0 (w)[g u (u v)h 0 (x) + g v (u v)k 0 (x)]dx sorrendet koveti. A fordtott eljaras az ellentetes iranyban alkalmazza a lancszabalyt: dy = f 0 (w)dw dy = f 0 (w)[g u (u v)du + g v (u v)dv] dy = f 0 (w)[g u (u v)du + g v (u v)k 0 (x)dx] dy = f 0 (w)[g u (u v)dh 0 (x) + g v (u v)k 0 (x)]dx: A fordtott algoritmus el}onye abban van, hogy ez a vegrehajtasi sorrend lehet}ove teszi tobbvaltozos fuggvenyek dierencialasa soran bizonyos szuksegtelen m}uveletek elhagyasat. Ennek az az ara (amit a kovetkez}o szakasz adatai is alatamasztanak), hogy a fordtott algoritmus tarigenye magasabb, es a sima algoritmus egymenetes vegrehajtasaval szemben ket menetet igenyel. A ket valtozat kozotti kulonbseg megvilagtasa celjabol tekintsuk most az f(x) = x 1 (1 ; x 2 ) 2 fuggvenyt az x = [2 1] T pontban. A sma eljaras az egyes vegrehajtott m}uveletekkel egyutt a megfelel}o derivaltertekeket is meghatarozza: f 1 = x 1 =2 d 1 =(1 0), f 2 = x 2 = 1 d 2 = (0 1), f 3 = 1 d 3 = (0 0), f 4 = f 3 ; f 2 = 0 d 4 = d 3 ; d 2 = (0 ;1), f 5 = f 2 4 = 0 d 5 = 2f 4 d 4 = (0 0), f 6 = f 1 f 5 = 2 d 6 = f 1 d 5 + d 1 f 5 = (0 0). A sma eljaras ekozben esetleg tobbszor is vegrehajtja ugyanazt a m}uveletet, viszont nem igenyli a kiszamtasi fa letrehozasat es tarolasat. A fordtott 6
7 algoritmus ezzel szemben el}oszor meghatarozza az f i ertekeket es a kiszamtasi fat, majd ennek segtsegevel el}oalltja a d i =@f i ertekeket: d 6 d 5 = d 6 5 = d 6 f 1 d 4 = d 5 4 = d 5 2f 4 = d 3 = d 4 3 = d 4 d 2 = d 4 2 = d 4 (;1) = d 1 = d 6 1 = d 6 f 5 =0. A gradiens erteket a[d 1 d 2 ] T vektor adja. 5. M}uvelet- es tarigeny. A 2. Tablazat az automatikus dierencialas ket valtozatanak m}uvelet- es tarigenyet adja meg nehany gyakori derivalasi feladatra. A legmeglep}obb adat talan az, hogy egy tobbvaltozos fuggvenynek es gradiensenek meghatarozasa a fordtott algoritmussal legfeljebb negyszerannyi m}uveletet igenyel mint az illet}o fuggveny kiszamtasa. A fels}o korlat tehat nem is fugg kozvetlenul az illet}o fuggveny valtozoinak szamatol. Az automatikus dierencialas m}uveletigenye nagyjabol megfeleltethet}o egy ciklusmentes grafban a legrovidebb ut megkeresese m}uveletigenyenek, hozzaadva a kiszamtasi graf letrehozasanak m}uveletigenyet. A tarigeny nagy reszet a kiszamtasi graf tarolasa okozza. A tar- es m}uveletigeny javtasa teren meg varhatok tovabbi eredmenyek, de az is latszik, hogy a tarigeny inkabb csak a m}uveletigeny rovasara csokkenthet}o (es viszont). 6. Az automatikus dierencialas veszelyei. Az el}oz}oek alapjan ugy t}unhet, hogy az automatikus dierencialas szamtogepes megvalostasa problemamentes. Sajnos nem egeszen ez a helyzet, me nehany pelda: 1. A zerus gyokok esete. Tekintsuk az f(x) = x x 4 2 fuggvenyt. Ez differencialhato, es a gradiense a (0: 0:) T pontban (0: 0:) T. Az automatikus dierencialas a negyzetgyok m}uvelethez azonban nem tud erteket rendelni, ha a gyok argumentuma nulla. A felhasznalo szamara ilyen esetekben az a leghasznosabb, ha az illet}o implementacio felhvja a gyelmet erre a hibalehet}osegre, pl. az IEEE aritmetikat tamogato szamtogepekben a NaN (Not q 7
8 2. Tablazat. A fontosabb automatikus dierencialasi feladatok m}uvelet- es tarigenye. Magyarazat: f: egy n-valtozos fuggveny, f: m darab n-valtozos fuggveny, rf: az f gradiense, H: az f Hesse-matrixa, J: az f Jacobi-matrixa, L(:): az argumentumok meghatarozasanak m}uveletigenye a f+ ; = p log exp sin cosg alapm}uveletek felett, es S(:): az argumentumok meghatarozasanak tarigenye. Feladat sima Algoritmus fordtott L(f rf) 4nL(f) 4L(f) L(f rf H) O(n 2 L(f)) (10n + 4)L(f) L(f J) O(nL(f)) (3m + 1)L(f) S(f rf) O(S(f)) O(S(f)+L(f)) S(f rf H) O(S(f)) O(S(f) + L(f)) S(f J) O(S(f)) O(S(f)+L(f)) a Number) ertek hozzarendelesevel. 2. A programelagazas esete. Tekintsuk az alabbi utastast: if x = 1 then f(x) = 1 else f(x) = x 2 Vilagos, hogy az gy denialt fuggveny folytonosan dierencialhato, megis az automatikus dierencialas a hamis f 0 (1) = 0 erteket adja. A pelda kicsit er}oltetettnek t}unik, de viszonylag gyakran el}ofordul, hogy adott fuggveny kiszamtasara hasonlo modon az argumentumok erteket}ol fugg}oen mas es mas eljarast adunk meg. Valodi megoldast erre a problemara nem lehet javasolni, legfeljebb azt, hogy a jelenseg tudataban (kulonosen az egyenl}osegfeltetellel adott programelagazas eseten) a felhasznalo ellen}orizze, hogy ilyen hiba fellephet-e. 3. A hatarertekkel adott fuggveny esete. Eddig a fuggvenyek megadasara mindig veges eljarast hasznaltunk. Mi tortenik akkor, ha ez a leras vegtelen? Konny}u olyan alkalmazasi peldat mutatni, ahol a dierencialni kvant fuggvenyt csak egy iteratv sorozattal tudjuk jellemezni. A klasszikus analzis szerint viszont a dierencialas es a hatarertekkepzes nem cserelhet}ok fel. Tekintsuk a kovetkez}o egyszer}u fuggvenysorozatot: 8
9 f 1 (x) =xe ;x2 f 2 (x) =xe ;x2 e ;x2 ::: f k = x(e ;x2 ) k ::: Automatikus dierencialassal (is) lim k!1 f 0 k(0) = 1, habar a valodi f(x) hatarfuggvenyre f 0 (0) = 0. Ebben az esetben is csak azt lehet tanacsolni, hogy a jelenseg ismereteben az automatikus dierencialassal nyert ertekeket ellen}orizni kell. Ehhez viszonylag kenyelmesen hasznalhato elmeleti eredmenyek is rendelkezesre allnak [2]. 7. Az automatikus dierencialas implementalasa. A mar emltett PASCAL-XSC beeptett adattpusainak es kiterjesztett alapm}uveleteinek a hasznalata a legegyszer}ubb. A felhasznalonak mindossze a megfelel}o adattpusokat kell megvaltoztatnia. A FORTRAN-90 es C++ nyelvekben ezek az uj adattpusok es a kiterjesztett m}uveletek megvalostasa utan ugyanolyan kenyelmesen lehet az automatikus dierencialas sima algoritmusat alkalmazni, mint a PASCAL-XSC tamogatasaval. Anonymous ftp-vel elerhet}o egy C++ b}ovtes az iamk4515.mathematik.uni-karlsruhe.de cmen, a /pub/toolbox/cxsc konyvtarban. Ismertetese a [4] kotetben talalhato. A kovetkez}o egyszer}u peldaban az f(x) = 25(x ; 1)=(x + 2) fuggveny es derivaltja erteket hatarozzuk meg automatikus dierencialassal az x = 2 pontban. A PASCAL-XSC implementacio erdekesebb reszleteit adjuk csak meg. program pelda (input,output) type df_type = record f,df: real end operator + (u,v: df_type) res: df_type begin res.f:=u.f+v.f res.df:=u.df+v.df end. operator * (u,v: df_type) res: df_type begin res.f:=u.f*v.f res.df:=u.df*v.f+u.f*v.df end. 9
10 function df_var (h: real) : df_type begin df_var.f:=h df_var.df:=1.0 end var x,f: df_type h: real begin h:=2.0 x:=df_var(h) f:=25*(x-1)/(x+2) writeln('f, df:',f.f,f.df) end. Szamos kevesbe elegans, de annal hatasosabb szamtogepes eszkoz (preprocesszor, precompiler, keresztfordto es mas programcsomag) erhet}o el az automatikus dierencialas megvalostasara. Mintakent nehany hresebbnek az adatai: A JAKEF egy FORTRAN precompiler, amit az Argonne National Laboratory fejlesztett ki. Inputkent egy skalar vagy vektorfuggvenyt kiszamto szubrutint hasznal, es eredmenykent egy a gradienst, illetve a Jacobi-matrixot el}oallto szubrutint ad. A fordtott algoritmusra epul. A dokumentaciot es a forrasszoveget is meg lehet kapni. A NETLIB nev}u adatbazisban talalhato, b}ovebb informaciot ugy kaphatunk, hogy a netlib@research.att.com cmre egy "send index" uzenetet kuldunk. A FORTRAN programok sima algoritmussal valo automatikus dierencialasara szolgalo GRAD programcsomag a kovetkez}o cmen erhet}o el: Larry Husch, Dept. Mathematics, University of Tenessee, Knoxville TN, USA, illetve husch@wuarchive.wustl.edu az elektronikus postaval. Az ADOL-C egy C++ nyelven rt rendszer, amely C vagy C++ nyelv}u algoritmusok dierencialasara alkalmas sima es fordtott eljarassal is. A forraskod es a dokumentacio Andreas Griewank cmen erhet}o el (Argonne National Labs, Argonne, IL 60439, USA, illetve elektronikus postaval griewank@antares.mcs.anl.gov). 10
11 A MAPLE nev}u szamtogepes algebrarendszer az 5.1-es valtozatatol kezdve a szimbolikus derivalas mellett kepes az automatikus dierenci- alasra is (a sima algoritmussal). Az "optimize" rutinja csokkentheti a m}uveletigenyt, es az eredmenyt FORTRAN vagy C nyelven is ki tudja adni. Meg kell meg emlteni, hogy az automatikus dierencialashoz termeszetes modon kapcsolhato a kerektesi hibak becslese es a szamtott derivaltak also- es fels}okorlatjainak meghatarozasa is. Az utobbi feladatok (reszben az intervallum-aritmetikara tamaszkodva) szinten kenyelmesen megoldhatok szamtogepen [4, 7, 10]. IRODALOM [1] Csendes, T., J. Pinter: The impact of accelerating tools on the interval subdivision algorithm for global optimization, European J. of Operational Research 65(1993) [2] Fischer, H.: Special problems in automatic dierentiation,in: [Griewank { Corliss, 1991] [3] Griewank, A., G. Corliss (Eds.): Automatic Dierentiation of Algorithms: Theory, Implementation, and Application. SIAM, Philadelphia, [4] Hammer, R., M. Hocks, U. Kulisch, D. Ratz: C++ Toolbox for Veried Computing, Springer-Verlag, Berlin, [5] Iri, M.: History of automatic dierentiation and rounding error estimation, in: [Griewank { Corliss, 1991] [6] Kedem, G.: Automatic dierentiation of computer programs, ACM Transactions on Mathematical Software 6(1980) [7] Klatte, R., U. Kulisch, M. Neaga, D. Ratz, Ch. Ullrich: PASCAL-XSC, Springer-Verlag, Berlin,
12 [8] Ostrovskij, G.M., Ju.M. Wolin, W.W. Borisov: Uber die Berechnung von Ableitungen, Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule fur Chemie, Leuna-Merseburg 13(1971) [9] Rall, L.B.: Automatic Dierentiation: Techniques and Applications. Lecture Notes In Computer Science, Vol. 120, Springer-Verlag, Berlin, [10] Ratz, D.: Automatische Ergebnisverikation bei globalen Optimierungsproblemen. Doktori ertekezes, Karlsruhei Egyetem, [11] Skeel, R.D., J.B. Keiper: Elementary Numerical Computing with MATHEMATICA. McGraw-Hill Inc., New York, [12] Wengert, R.E.: A simple automatic derivative evaluation program, Communications of the ACM 7(1964) Csendes Tibor, JATE Kalmar Laboratorium, Szeged, Arpad ter 2. A cikk rasa idejen a Bazeli Egyetem Informatikai Intezeteben volt osztondjas a Svajci Szovetsegi Osztondjbizottsag Kulonprogramja tamogatasaval. Automatic Dierentiation (Summary) Derivatives are required for optimization, integration of sti dierential equations, parameter estimation, sensitivity analysis, and in many other problems. Often, hand-coding of analytical derivative computations is too laborious and error-prone, and the use of nite dierence approximations is too expensive and/or inaccurate. Sometimes symbolic algebra packages can be useful, but these are generally inadequate when the functions to be dierentiated are dened by computer programs containing intermediate variables, loops, and conditionals. This is where automatic dierentiation comes in. The article gives a review of the state of the art in automatic dierentiation. 12
AZ OPTIMALIZÁLÁS ALKALMAZÁSAI
AZ OPTIMALIZÁLÁS ALKALMAZÁSAI Csendes Tibor előkészületben Szeged, 2006. A jegyzet jelen változata a félév során még gyakran fog változni, akár visszamenőleg is. Ezért érdemes mindig a legújabb változatot
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenSZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN
SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenCsendes Tibor. Gyakran a gép memóriája is nagy kell hogy legyen. A pontatlanság egyik oka: Adjunk össze 3 számot, majd igazoljuk, hogy ha
Megbízható számítások Csendes Tibor A cím kissé rejtélyes: a számítógépes algoritmusok a köztudat szerint pontosak és megbízhatók. Az alku során az ügynökök végső érve gyakran az, hogy a kalkulátor is
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Részletesebben1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
RészletesebbenMatematikai programok
Matematikai programok Mátrixalapú nyelvek MatLab Wettl Ferenc diái alapján Budapesti M szaki Egyetem Algebra Tanszék 2017.11.07 Borbély Gábor (BME Algebra Tanszék) Matematikai programok 2017.11.07 1 /
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenKeverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása
Illés Tibor Keverési modellek Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Keverési modellek matematikai jellemzői Nemlineáris sokszor nem konvex optimalizálási
RészletesebbenFunkcionális és logikai programozás. { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem }
Funkcionális és logikai programozás { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem } http://www.ms.sapientia.ro/~mgyongyi ` 1 Jelenlét: Követelmények, osztályozás Az első 4 előadáson
RészletesebbenHÁZI FELADAT PROGRAMOZÁS I. évf. Fizikus BSc. 2009/2010. I. félév
1. feladat (nehézsége:*****). Készíts C programot, mely a felhasználó által megadott függvényt integrálja (numerikusan). Gondosan tervezd meg az adatstruktúrát! Tervezz egy megfelelő bemeneti nyelvet.
RészletesebbenMatematikai programok
Matematikai programok Mátrixalapú nyelvek octave Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Wettl
RészletesebbenNumerikus matematika
Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Numerikus integrálás Matlab-bal Baran Ágnes Numerikus matematika 8. Gyakorlat 1 / 20 Anoním függvények, function handle Függvényeket definiálhatunk parancssorban
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenÉrdekes informatika feladatok
A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket
Részletesebbenés alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter
Publikációs jegyzék Balogh János Jegyzetek, tézis: [1] Balogh J., Maximális folyamok és minimális költségű cirkulációk; algoritmusok és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, 1994. Témavezető: Dr.
Részletesebben2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22. feladatok megoldásában. Csendes Tibor
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22 Megbízható optimalizálás matematikai feladatok megoldásában Csendes Tibor 2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia,
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenNumerikus matematika
Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Nemlineáris egyenletek Baran Ágnes Numerikus matematika 9.10. Gyakorlat 1 / 14 Feladatok (1) Mutassa meg, hogy az 3x 3 12x + 4 = 0 egyenletnek van gyöke a [0,
RészletesebbenAlgoritmusok Tervezése. 4. Előadás Visual Basic 1. Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 4. Előadás Visual Basic 1. Dr. Bécsi Tamás Bevezetés A BASIC (Beginner s All-purpose Symbolic Instruction Code) programnyelvet oktatási célokra hozták létre 1964-ben. Az általános
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenSCILAB programcsomag segítségével
Felhasználói függvények de niálása és függvények 3D ábrázolása SCILAB programcsomag segítségével 1. Felhasználói függvények de niálása A Scilab programcsomag rengeteg matematikai függvényt biztosít a számítások
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenKétdimenziós mesterséges festési eljárások. Hatások és alkalmazások
Pannon Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskola Tézisfüzet Kétdimenziós mesterséges festési eljárások. Hatások és alkalmazások Kovács Levente Képfeldolgozás és Neuroszámítógépek Tanszék Témavezet
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenMatematikai alapok. Dr. Iványi Péter
Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMatematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenKifejezések. Kozsik Tamás. December 11, 2016
Kifejezések Kozsik Tamás December 11, 2016 Kifejezés versus utasítás C/C++: kifejezés plusz pontosvessző: utasítás kiértékeli a kifejezést jellemzően: mellékhatása is van például: értékadás Ada: n = 5;
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany
RészletesebbenA Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége
Szénási Eszter SZTE TTIK Matematika BSc, Numerikus matematika projekt 2015. november 30. A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Medencék (attraktorok) színezése 2 Newton_project-szenasi.nb
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenAZ INFORMATIKA OKTATÁSÁNAK MÚLTJA ÉS JELENE A KOLOZSVÁRI EGYETEMEN
AZ INFORMATIKA OKTATÁSÁNAK MÚLTJA ÉS JELENE A KOLOZSVÁRI EGYETEMEN Kása Zoltán, kasa@cs.ubbcluj.ro Robu Judit, robu@cs.ubbcluj.ro Varga Ibolya, ivarga@cs.ubbcluj.ro Babes-Bolyai Tudományegyetem, Matematika
RészletesebbenKOMPUTER-ALGEBRA RENDSZEREK VERIFIKÁCIÓJA
KOMPUTER-ALGEBRA RENDSZEREK VERIFIKÁCIÓJA Szoftver Verifikáció és Validáció, 2015 Ősz Vaitkus Márton Tartalom Motiváció Maple MiniMaple MiniMaple típusellenőrzése MiniMaple formális specifikációja MiniMaple
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenA matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenÖnéletrajz. Burai Pál Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Alkalmazott Matematika és Valószín ségszámítás Tanszék
Önéletrajz Burai Pál Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Alkalmazott Matematika és Valószín ségszámítás Tanszék Személyes adatok Név: Burai Pál Végzettség: Okleveles matematikus (2003, DE-TTK) Tudományos
RészletesebbenMATLAB alapismeretek I.
Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. MATLAB alapismeretek I. A MATLAB bemutatása MATLAB filozófia MATLAB modulok A MATLAB felhasználói felülete MATLAB tulajdonságok
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenBASH script programozás II. Vezérlési szerkezetek
06 BASH script programozás II. Vezérlési szerkezetek Emlékeztető Jelölésbeli különbség van parancs végrehajtása és a parancs kimenetére való hivatkozás között PARANCS $(PARANCS) Jelölésbeli különbség van
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenDrótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml
Szakmai önéletrajz 1.1 Személyes adatok: Nevem: Kovács Edith Alice Születési idő, hely: 1971.05.18, Arad Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenEljárások és függvények
Eljárások és függvények Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2012. Bevezetés Ez a jegyzet elsősorban azoknak a diákoknak készült, akiket tanítok, ezért a jegyzet erőteljesen hiányos. Az olvasó egy percig
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenMatematikai alapok. Dr. Iványi Péter
Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: és Byte: 8 bit 28 64 32 6 8 4 2 bináris decimális
RészletesebbenEXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül
EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül Mottók: - Aki tanít, az kétszeresen tanul. - Egy a valóság, ezer a ruhája. A logaritmikus differenciálás módszerét akkor
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenC programozási nyelv
C programozási nyelv Előfeldolgozó utasítások Dr Schuster György 2011 május 3 Dr Schuster György () C programozási nyelv Előfeldolgozó utasítások 2011 május 3 1 / 15 A fordítás menete Dr Schuster György
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenDinamikus modellek szerkezete, SDG modellek
Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenThe Mathematical Explorer
The Mathematical Explorer The Mathematical Explorer A The Mathematical Explorer egy elektronikus tankönyv, mely 15 fejezetre oszlik: Prím számok, Kalkulus, Formulák, titkosítások, káosz elmélet, Riemann
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenNemlineáris optimalizálási problémák párhuzamos megoldása grafikus processzorok felhasználásával
Nemlineáris optimalizálási problémák párhuzamos megoldása grafikus processzorok felhasználásával 1 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem, Informatikai Kar Kari TDK, 2016. 05. 10. Tartalom 1 2 Tartalom 1 2 Optimalizálási
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Részletesebben