Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download ""

Átírás

1 Automatikus dierencialas Csendes Tibor A dierencialhanyadosoknak fontos szerepuk van a numerikus matematikaban, szamos teruleten szinte elengedhetetlen a hasznalatuk. Ilyen problemak talalhatok peldaul az optimalizalasban, a nemlinearis egyenletmegoldasban, az iranytaselmeletben es az erzekenysegvizsgalatban is. Talan a legismertebb eset a fuggvenyek zerushelyenek megkeresese, itt a derivalt hasznalataval m}ukod}o Newton-Rawson eljaras konvergenciasebessege lenyegesen jobb, mint aderivaltakat nem hasznalo szel}o- vagy hurmodszere. Egy pelda sajat tapasztalatbol [1]: bizonyos globalis optimalizalasi feladatok megoldasa a derivaltak hasznalata nelkul egyszer}uen lehetetlen volt (a fellep}o hatalmas tarigeny miatt) mg a gradiens alkalmazasaval hatekony algoritmust lehetett megadni. Ma mar egyes programozasi nyelvek (pl. a PASCAL- XSC [7]) is tamogatjak az automatikus dierencialast megfelel}o adattpussal es m}uveletekkel, es szamos szoftver is hasznalja ezt a derivalasi modszert (pl. [10]-ban lert optimalizalasi eljaras, amely csak a celfuggveny megadasat igenyli). 1. Hogyan szokas a derivaltakat szamtogepen el}oalltani, es miert nem igazan jok ezek a megoldasok? A leggyakrabban hasznalt ket modszer a derivaltertekek el}oalltasara azok numerikus kozeltese es a "kezzel" valo derivaltmeghatarozas a derivalasi szabalyok alkalmazasaval. Tekintsuk peldaul az f(x) = (x ; 1) 2 fuggvenyt az x = 2 pontban. A numerikus dierencialas a derivalt erteket (az egyik szokasos modszerrel) az (f(x) ; f(x ; ))= becslessel kozelti, ahol egy a szamabrazolasnak megfelel}oen valasztott 0 es 1 kozotti kis szam. = 10 ;8 eseten f 0 (2)-re gy (Fortranban, dupla pontossaggal) adodik. A derivalasi szabalyok alkalmazasaval az f 0 (x) = 2x ; 2 fuggvenyt kapjuk, ennek szamtogepes kiertekelese (lenyegeben) 2-t ad. A legtobb numerikus matematikai monograa es a professzionalis numerikus programcsomagok tobbsege is ezt a ket utat javasolja, bar mindket 1

2 modszernek vannak olyan gyengei, amelyek szamos feladatban lehetetlenne vagy ertelmetlenne teszik alkalmazasukat. A ritka kivetelek egyike Skeel es Keiper konyve [11], amely a szimbolikus dierencialassal szemben is az automatikus derivalast javasolja. Erdekes osszefuggesek vannak a derivalas es az integralas analitikus, illetve numerikus meghatarozasa kozott is. Az analitikus derivalas keplettel adott, elemi fuggvenyekb}ol feleptett fuggvenyekre konnyen, csaknem mechanikusan vegrehajthato, mg az analitikus integralas nehez vagy akar lehetetlen is lehet. Ezzel szemben a numerikus kozeltes a derivaltra gyakran pontatlan, mg az integralra altalaban pontosabb. A numerikus derivaltak viszonylag konnyen programozhatok, sokszor a konyvtari program maga alltja }oket el}o, ha a felhasznalo nem adott meg szubrutint az analitikus derivaltak kiszamtasara. A numerikus derivalt hasznalatanak el}onye, hogy + nincs el}ozetes munkarafordtas a derivaltak "kezzel" torten}o el}oalltasara, + emiatt javtani sem kell az azok programozasa soran elkovetett hibakat, es + akkor is m}ukodik, ha az illet}o fuggveny kepletet nem ismerjuk, csak a kiszamolasara szolgalo szubrutin adott. Hatranya viszont, hogy { a levagasi hiba miatt sok ertekes jegy veszik el. Ez a jelenseg csak bonyolult, es nem is minden szamtogepes kornyezetben rendelkezesre allo eszkozokkel csokkenthet}o (valtozo meret}u szamabrazolas, racionalis aritmetika stb.). { a gyorsan valtozo derivaltak becslesere alkalmatlan. Az optimalizalasban altalanosan elfogadott huvelykszabaly szerint (hacsak lehetseges) erdemes el}oalltani a derivaltakat szamto szubrutinokat. Ezen eljaras el}onye, hogy + a levagasi hiba nem jelentkezik, a kiszamtott derivaltertekek altalaban csak nagyon kis kerektesi hibaval terheltek, es 2

3 + a gyorsan valtozo derivaltertekek is jol meghatarozhatok. A hatranya ezzel szemben, hogy { a derivaltak kepletenek meghatarozasa munkaigenyes, es a "kezzel"valo el}oalltas eseten gyakran komoly hibaforras, valamint { csak a keplettel adott fuggvenyek derivaltja hatarozhato meg ilyen modon, tehat a kizarolag algoritmussal adottakat altalaban nem lehet gy derivalni. Itt kell megjegyezni, hogy a szamtogepes algebrarendszerek (mintpeldaul a Mathematica, a Maple vagy a Derive) szimbolikus manipulacioval el}o tudjak alltani a keplettel adott fuggvenyek derivaltjait. Igy ez az el}okeszt}o munka legalabb szamtogepesthet}o, tehat nem feltetlenul kell "kezzel" vegrehajtani. Az ilyen szimbolikus derivalas, a vele jaro egyszer}ustes es a programozasi nyelvre valo alaktas id}oigenye nagyon valtozo, mindenesetre a szamtogepes algebrarendszerek sokat fejl}odtek ezen a teren az utobbi id}oben [5]. Az automatikus dierencialas egyszer}uen abbol az igenyb}ol fakadt, hogy az el}oz}o modszerek el}onyeit kell egyesteni a hatranyok elhagyasaval. Olyan eljarast kerestek tehat, amely + lenyegeben nem igenyel el}ozetes rafordtast a derivaltak "kezzel-" vagy akar szamtogepes algebrarendszerrel, szimbolikus manipulacioval valo meghatarozasara, + emiatt nem is kell a megfelel}o szubrutinokat programozni es javtani, + akkor is m}ukodik, ha csak az illet}o fuggveny kiszamolasara szolgalo szubrutin adott, de a fuggveny keplete nem ismert, + a levagasi hiba miatt nem vesznek el ertekes jegyek, + a gyorsan valtozo derivaltak meghatarozasara is alkalmas, es + a derivaltak kiszamtasanak m}uveletigenye altalaban kisebb, mint a numerikus derivalase, illetve az analitikus derivaltakat kiszamto szubrutinoke. 3

4 1. Tablazat. Nehany alapm}uvelet es elemi fuggveny dierencialasa y = f(x) a x a x a=x p x log(x) exp(x) cos(x) f 0 (x) 1 a ;y=x 0:5=y 1=x y ; sin(x) Maga az otlet nem nagyon bonyolult, es jellemz}omodon tobben egymastol fuggetlenulratalaltak [5, 8, 12]. Ha valaki kedvet erez hozza, maga is megprobalhatja az automatikus dierencialast ujra felfedezni: az el}oz}o felteteleket teljest}o eljarast kell megadni (eddig nem arultunk el semmi lenyegeset a trukkb}ol). 2. Az otlet. A trukk mindossze annyi, hogy hasznaljuk az adott fuggvenyre ismert kiszamtasi eljarast az egyes m}uveletekhez tartozo derivalasi szabalyokkal egyutt. Peldaul ha f(x) = f 1 (x) f 2 (x), akkor legyen f 0 (x) erteke f1(x)f 0 2 (x)+f 1 (x)f2(x), 0 ahol f1(x) 0 es f2(x) 0 erteke mar ismert. Minden egyes reszletszamtassal egyutt tehat a ra vonatkozo, az aktualis valtozo- es konstansertekekhez tartozo derivalterteket is meghatarozzuk, es taroljuk. A kiindulashoz a valtozo derivaltja termeszetesen 1, a konstanse nulla. Az 1. Tablazat egyes alapm}uveletek es elemi fuggvenyek dierencialasanak formalis lerasat tartalmazza, itt x valtozo, a pedig konstans. Az automatikus dierencialas implementalasa soran celszer}u olyan adatszerkezetet valasztani, hogy minden, az illet}o fuggveny kiszamtasaban szerepet jatszo valtozo es konstans szamara egy rendezett part hasznalunk, a- melynek els}o tagja a szokasos erteket tartalmazza majd, a masodik tag pedig a hozza tartozo derivalterteket. Ilyen adatstrukturaval az uj m}uveleteket egyszer}u felrni szubrutinok segtsegevel, vagy egyes ujabb programozasi nyelvekben (pl. C++ vagy FORTRAN-90) az eredeti m}uveletek es standard fuggvenyek denciojanak az uj adatszerkezetre valo kiterjesztesevel (operation overloading). Az utobbi esetben a mar m}ukod}o, az eredeti fuggvenyt kiszamto programban csak az adattpust kell kicserelni (pl. "real" helyett "derivative" vagy "gradient"), es maris rendelkezesre allnak a kvant derivaltertekek. Tekintsunk egy egyszer}u peldat az automatikus dierencialas hasznalatara: hatarozzuk meg ismet az f(x) = (x ; 1) 2 fuggveny derivaltjat az x = 2 pontban! A dierencialhanyados-fuggveny tehat f 0 (x) = 2x ; 2, a keresett 4

5 derivaltertek pedig 2. A valtozonkhoz tartozo par (2 1), a fuggvenyben szerepl}o konstanshoz tartozo pedig (1 0). A zarojelen beluli kifejezes f(x) kepleteben a (2 1) ; (1 0) = (1 1) part eredmenyezi. A negyzetreemelest szorzassal ertelmezve az (1 1) (1 1) = (1 2) part kapjuk, amelyb}ol kiolvashato, hogy f(2) = 1, es f 0 (2) = Kiterjesztesek. A keplettel megadott fuggvenyek dierencialasaval szemben szokas kiemelni az "algoritmusok dierencialasat". Ezen az automatikus dierencialas egyszer}u kiterjeszteset ertik felteteles utastasokat is tartalmazo eljarasokkal megadott fuggvenyek derivalasara. Az utobbiakkal kapcsolatban persze felvet}odik, hogy dierencialhatok-e ezek egyaltalan. Szerencsere ez a problema inkabb elmeleti jelleg}u, es a technikai megoldast nem nagyon befolyasolja [3]. A magasabbrend}u derivaltak el}oalltasahoz ket ut kozott valaszthatunk: vagy kozvetlenul az egyes m}uveletekhez tartozo magasabbrend}u derivalasi kepleteket hasznaljuk (peldaul, ha f(x) = g(x)+h(x), akkor f 00 (x) = g 00 (x)+ h 00 (x)), vagy az alacsonyabbrend}u derivaltak kiszamtasara mar meglev}o algoritmusra alkalmazzuk ismetelten az algoritmusok dierencialasat. A tobbvaltozos fuggvenyek dierencialasara a bevezetett automatikus differencialasi modszer minden tovabbi nelkul alkalmazhato, az egyes parcialis derivaltak meghatarozasakor csak a valtozo-konstans viszonyt kell mindig megfelel}oen tisztazni. Ez is konnyen programozhato, es gy a gradiens, a Hesse- es a Jacobi-matrix kiszamtasa is nagyon kenyelmesse tehet}o. 4. Az automatikus dierencialas ket valtozata. Az automatikus dierencialas legegyszer}ubb megvalostasa az, amikor a kulonben mar rendelkezesre allo, az adott fuggvenyt kiszamto programot kib}ovtjuk az egyes m}uveletekhez tartozo elemi derivalasi lepesekkel - megtartva az eredeti algoritmus szerkezetet. Ezt a modszert a tovabbiakban sima algoritmusnak fogjuk nevezni. Az angol nyelv}u szakirodalomban nincs meg kialakult egyseges elnevezese, a "forward", "contravariant" vagy "bottom-up" jelz}okkel szokas megkulonboztetni (a masik, fordtott eljaras angolul "reverse", "backward", "covariant" vagy "top-down"). A ket eljaras lenyegeben az osszetett fuggvenyek derivalasahoz hasznalatos lancszabaly vegrehajtasi iranyaban kulonbozik. 5

6 A sima eljaras peldaul az y = f(g(h(x) k(x))) fuggveny automatikus dierencialasa soran a du = h 0 (x)dx dv = k 0 (x)dx dw = [g u (u v)h 0 (x)+g v (u v)k 0 (x)]dx dy = f 0 (w)[g u (u v)h 0 (x) + g v (u v)k 0 (x)]dx sorrendet koveti. A fordtott eljaras az ellentetes iranyban alkalmazza a lancszabalyt: dy = f 0 (w)dw dy = f 0 (w)[g u (u v)du + g v (u v)dv] dy = f 0 (w)[g u (u v)du + g v (u v)k 0 (x)dx] dy = f 0 (w)[g u (u v)dh 0 (x) + g v (u v)k 0 (x)]dx: A fordtott algoritmus el}onye abban van, hogy ez a vegrehajtasi sorrend lehet}ove teszi tobbvaltozos fuggvenyek dierencialasa soran bizonyos szuksegtelen m}uveletek elhagyasat. Ennek az az ara (amit a kovetkez}o szakasz adatai is alatamasztanak), hogy a fordtott algoritmus tarigenye magasabb, es a sima algoritmus egymenetes vegrehajtasaval szemben ket menetet igenyel. A ket valtozat kozotti kulonbseg megvilagtasa celjabol tekintsuk most az f(x) = x 1 (1 ; x 2 ) 2 fuggvenyt az x = [2 1] T pontban. A sma eljaras az egyes vegrehajtott m}uveletekkel egyutt a megfelel}o derivaltertekeket is meghatarozza: f 1 = x 1 =2 d 1 =(1 0), f 2 = x 2 = 1 d 2 = (0 1), f 3 = 1 d 3 = (0 0), f 4 = f 3 ; f 2 = 0 d 4 = d 3 ; d 2 = (0 ;1), f 5 = f 2 4 = 0 d 5 = 2f 4 d 4 = (0 0), f 6 = f 1 f 5 = 2 d 6 = f 1 d 5 + d 1 f 5 = (0 0). A sma eljaras ekozben esetleg tobbszor is vegrehajtja ugyanazt a m}uveletet, viszont nem igenyli a kiszamtasi fa letrehozasat es tarolasat. A fordtott 6

7 algoritmus ezzel szemben el}oszor meghatarozza az f i ertekeket es a kiszamtasi fat, majd ennek segtsegevel el}oalltja a d i i ertekeket: d 6 d 5 = d 6 5 = d 6 f 1 d 4 = d 5 4 = d 5 2f 4 = d 3 = d 4 3 = d 4 d 2 = d 4 2 = d 4 (;1) = d 1 = d 6 1 = d 6 f 5 =0. A gradiens erteket a[d 1 d 2 ] T vektor adja. 5. M}uvelet- es tarigeny. A 2. Tablazat az automatikus dierencialas ket valtozatanak m}uvelet- es tarigenyet adja meg nehany gyakori derivalasi feladatra. A legmeglep}obb adat talan az, hogy egy tobbvaltozos fuggvenynek es gradiensenek meghatarozasa a fordtott algoritmussal legfeljebb negyszerannyi m}uveletet igenyel mint az illet}o fuggveny kiszamtasa. A fels}o korlat tehat nem is fugg kozvetlenul az illet}o fuggveny valtozoinak szamatol. Az automatikus dierencialas m}uveletigenye nagyjabol megfeleltethet}o egy ciklusmentes grafban a legrovidebb ut megkeresese m}uveletigenyenek, hozzaadva a kiszamtasi graf letrehozasanak m}uveletigenyet. A tarigeny nagy reszet a kiszamtasi graf tarolasa okozza. A tar- es m}uveletigeny javtasa teren meg varhatok tovabbi eredmenyek, de az is latszik, hogy a tarigeny inkabb csak a m}uveletigeny rovasara csokkenthet}o (es viszont). 6. Az automatikus dierencialas veszelyei. Az el}oz}oek alapjan ugy t}unhet, hogy az automatikus dierencialas szamtogepes megvalostasa problemamentes. Sajnos nem egeszen ez a helyzet, me nehany pelda: 1. A zerus gyokok esete. Tekintsuk az f(x) = x x 4 2 fuggvenyt. Ez differencialhato, es a gradiense a (0: 0:) T pontban (0: 0:) T. Az automatikus dierencialas a negyzetgyok m}uvelethez azonban nem tud erteket rendelni, ha a gyok argumentuma nulla. A felhasznalo szamara ilyen esetekben az a leghasznosabb, ha az illet}o implementacio felhvja a gyelmet erre a hibalehet}osegre, pl. az IEEE aritmetikat tamogato szamtogepekben a NaN (Not q 7

8 2. Tablazat. A fontosabb automatikus dierencialasi feladatok m}uvelet- es tarigenye. Magyarazat: f: egy n-valtozos fuggveny, f: m darab n-valtozos fuggveny, rf: az f gradiense, H: az f Hesse-matrixa, J: az f Jacobi-matrixa, L(:): az argumentumok meghatarozasanak m}uveletigenye a f+ ; = p log exp sin cosg alapm}uveletek felett, es S(:): az argumentumok meghatarozasanak tarigenye. Feladat sima Algoritmus fordtott L(f rf) 4nL(f) 4L(f) L(f rf H) O(n 2 L(f)) (10n + 4)L(f) L(f J) O(nL(f)) (3m + 1)L(f) S(f rf) O(S(f)) O(S(f)+L(f)) S(f rf H) O(S(f)) O(S(f) + L(f)) S(f J) O(S(f)) O(S(f)+L(f)) a Number) ertek hozzarendelesevel. 2. A programelagazas esete. Tekintsuk az alabbi utastast: if x = 1 then f(x) = 1 else f(x) = x 2 Vilagos, hogy az gy denialt fuggveny folytonosan dierencialhato, megis az automatikus dierencialas a hamis f 0 (1) = 0 erteket adja. A pelda kicsit er}oltetettnek t}unik, de viszonylag gyakran el}ofordul, hogy adott fuggveny kiszamtasara hasonlo modon az argumentumok erteket}ol fugg}oen mas es mas eljarast adunk meg. Valodi megoldast erre a problemara nem lehet javasolni, legfeljebb azt, hogy a jelenseg tudataban (kulonosen az egyenl}osegfeltetellel adott programelagazas eseten) a felhasznalo ellen}orizze, hogy ilyen hiba fellephet-e. 3. A hatarertekkel adott fuggveny esete. Eddig a fuggvenyek megadasara mindig veges eljarast hasznaltunk. Mi tortenik akkor, ha ez a leras vegtelen? Konny}u olyan alkalmazasi peldat mutatni, ahol a dierencialni kvant fuggvenyt csak egy iteratv sorozattal tudjuk jellemezni. A klasszikus analzis szerint viszont a dierencialas es a hatarertekkepzes nem cserelhet}ok fel. Tekintsuk a kovetkez}o egyszer}u fuggvenysorozatot: 8

9 f 1 (x) =xe ;x2 f 2 (x) =xe ;x2 e ;x2 ::: f k = x(e ;x2 ) k ::: Automatikus dierencialassal (is) lim k!1 f 0 k(0) = 1, habar a valodi f(x) hatarfuggvenyre f 0 (0) = 0. Ebben az esetben is csak azt lehet tanacsolni, hogy a jelenseg ismereteben az automatikus dierencialassal nyert ertekeket ellen}orizni kell. Ehhez viszonylag kenyelmesen hasznalhato elmeleti eredmenyek is rendelkezesre allnak [2]. 7. Az automatikus dierencialas implementalasa. A mar emltett PASCAL-XSC beeptett adattpusainak es kiterjesztett alapm}uveleteinek a hasznalata a legegyszer}ubb. A felhasznalonak mindossze a megfelel}o adattpusokat kell megvaltoztatnia. A FORTRAN-90 es C++ nyelvekben ezek az uj adattpusok es a kiterjesztett m}uveletek megvalostasa utan ugyanolyan kenyelmesen lehet az automatikus dierencialas sima algoritmusat alkalmazni, mint a PASCAL-XSC tamogatasaval. Anonymous ftp-vel elerhet}o egy C++ b}ovtes az iamk4515.mathematik.uni-karlsruhe.de cmen, a /pub/toolbox/cxsc konyvtarban. Ismertetese a [4] kotetben talalhato. A kovetkez}o egyszer}u peldaban az f(x) = 25(x ; 1)=(x + 2) fuggveny es derivaltja erteket hatarozzuk meg automatikus dierencialassal az x = 2 pontban. A PASCAL-XSC implementacio erdekesebb reszleteit adjuk csak meg. program pelda (input,output) type df_type = record f,df: real end operator + (u,v: df_type) res: df_type begin res.f:=u.f+v.f res.df:=u.df+v.df end. operator * (u,v: df_type) res: df_type begin res.f:=u.f*v.f res.df:=u.df*v.f+u.f*v.df end. 9

10 function df_var (h: real) : df_type begin df_var.f:=h df_var.df:=1.0 end var x,f: df_type h: real begin h:=2.0 x:=df_var(h) f:=25*(x-1)/(x+2) writeln('f, df:',f.f,f.df) end. Szamos kevesbe elegans, de annal hatasosabb szamtogepes eszkoz (preprocesszor, precompiler, keresztfordto es mas programcsomag) erhet}o el az automatikus dierencialas megvalostasara. Mintakent nehany hresebbnek az adatai: A JAKEF egy FORTRAN precompiler, amit az Argonne National Laboratory fejlesztett ki. Inputkent egy skalar vagy vektorfuggvenyt kiszamto szubrutint hasznal, es eredmenykent egy a gradienst, illetve a Jacobi-matrixot el}oallto szubrutint ad. A fordtott algoritmusra epul. A dokumentaciot es a forrasszoveget is meg lehet kapni. A NETLIB nev}u adatbazisban talalhato, b}ovebb informaciot ugy kaphatunk, hogy a cmre egy "send index" uzenetet kuldunk. A FORTRAN programok sima algoritmussal valo automatikus dierencialasara szolgalo GRAD programcsomag a kovetkez}o cmen erhet}o el: Larry Husch, Dept. Mathematics, University of Tenessee, Knoxville TN, USA, illetve az elektronikus postaval. Az ADOL-C egy C++ nyelven rt rendszer, amely C vagy C++ nyelv}u algoritmusok dierencialasara alkalmas sima es fordtott eljarassal is. A forraskod es a dokumentacio Andreas Griewank cmen erhet}o el (Argonne National Labs, Argonne, IL 60439, USA, illetve elektronikus postaval 10

11 A MAPLE nev}u szamtogepes algebrarendszer az 5.1-es valtozatatol kezdve a szimbolikus derivalas mellett kepes az automatikus dierenci- alasra is (a sima algoritmussal). Az "optimize" rutinja csokkentheti a m}uveletigenyt, es az eredmenyt FORTRAN vagy C nyelven is ki tudja adni. Meg kell meg emlteni, hogy az automatikus dierencialashoz termeszetes modon kapcsolhato a kerektesi hibak becslese es a szamtott derivaltak also- es fels}okorlatjainak meghatarozasa is. Az utobbi feladatok (reszben az intervallum-aritmetikara tamaszkodva) szinten kenyelmesen megoldhatok szamtogepen [4, 7, 10]. IRODALOM [1] Csendes, T., J. Pinter: The impact of accelerating tools on the interval subdivision algorithm for global optimization, European J. of Operational Research 65(1993) [2] Fischer, H.: Special problems in automatic dierentiation,in: [Griewank { Corliss, 1991] [3] Griewank, A., G. Corliss (Eds.): Automatic Dierentiation of Algorithms: Theory, Implementation, and Application. SIAM, Philadelphia, [4] Hammer, R., M. Hocks, U. Kulisch, D. Ratz: C++ Toolbox for Veried Computing, Springer-Verlag, Berlin, [5] Iri, M.: History of automatic dierentiation and rounding error estimation, in: [Griewank { Corliss, 1991] [6] Kedem, G.: Automatic dierentiation of computer programs, ACM Transactions on Mathematical Software 6(1980) [7] Klatte, R., U. Kulisch, M. Neaga, D. Ratz, Ch. Ullrich: PASCAL-XSC, Springer-Verlag, Berlin,

12 [8] Ostrovskij, G.M., Ju.M. Wolin, W.W. Borisov: Uber die Berechnung von Ableitungen, Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule fur Chemie, Leuna-Merseburg 13(1971) [9] Rall, L.B.: Automatic Dierentiation: Techniques and Applications. Lecture Notes In Computer Science, Vol. 120, Springer-Verlag, Berlin, [10] Ratz, D.: Automatische Ergebnisverikation bei globalen Optimierungsproblemen. Doktori ertekezes, Karlsruhei Egyetem, [11] Skeel, R.D., J.B. Keiper: Elementary Numerical Computing with MATHEMATICA. McGraw-Hill Inc., New York, [12] Wengert, R.E.: A simple automatic derivative evaluation program, Communications of the ACM 7(1964) Csendes Tibor, JATE Kalmar Laboratorium, Szeged, Arpad ter 2. A cikk rasa idejen a Bazeli Egyetem Informatikai Intezeteben volt osztondjas a Svajci Szovetsegi Osztondjbizottsag Kulonprogramja tamogatasaval. Automatic Dierentiation (Summary) Derivatives are required for optimization, integration of sti dierential equations, parameter estimation, sensitivity analysis, and in many other problems. Often, hand-coding of analytical derivative computations is too laborious and error-prone, and the use of nite dierence approximations is too expensive and/or inaccurate. Sometimes symbolic algebra packages can be useful, but these are generally inadequate when the functions to be dierentiated are dened by computer programs containing intermediate variables, loops, and conditionals. This is where automatic dierentiation comes in. The article gives a review of the state of the art in automatic dierentiation. 12

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Adatszerkezetek Tömb, sor, verem. Dr. Iványi Péter

Adatszerkezetek Tömb, sor, verem. Dr. Iványi Péter Adatszerkezetek Tömb, sor, verem Dr. Iványi Péter 1 Adat Adat minden, amit a számítógépünkben tárolunk és a külvilágból jön Az adatnak két fontos tulajdonsága van: Értéke Típusa 2 Adat típusa Az adatot

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Oktatási segédlet 2014

Oktatási segédlet 2014 Oktatási segédlet 2014 A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012- 0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és működtetése

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

Szövegek C++ -ban, a string osztály

Szövegek C++ -ban, a string osztály Szövegek C++ -ban, a string osztály A string osztály a Szabványos C++ könyvtár (Standard Template Library) része és bár az objektum-orientált programozásról, az osztályokról, csak később esik szó, a string

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika Dr. Schuster György 2011. június 16. C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika 2011. június 16. 1 / 15 Pointerek (mutatók) Pointerek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

file./script.sh > Bourne-Again shell script text executable << tartalmat néz >>

file./script.sh > Bourne-Again shell script text executable << tartalmat néz >> I. Alapok Interaktív shell-ben vagy shell-scriptben megadott karaktersorozat feldolgozásakor az első lépés a szavakra tördelés. A szavakra tördelés a következő metakarakterek mentén zajlik: & ; ( ) < >

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Programozás C és C++ -ban

Programozás C és C++ -ban Programozás C és C++ -ban 2. További különbségek a C és C++ között 2.1 Igaz és hamis A C++ programozási nyelv a C-hez hasonlóan definiál néhány alap adattípust: char int float double Ugyanakkor egy új

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrendszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra

A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrendszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra Veress Krisztián veresskrisztian@gmail.com 2007. július 10. 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1.

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Programozás II. ATM példa Dr. Iványi Péter

Programozás II. ATM példa Dr. Iványi Péter Programozás II. ATM példa Dr. Iványi Péter 1 ATM gép ATM=Automated Teller Machine Pénzkiadó automata Kezelő szoftvert szeretnénk írni Objektum-orientált módon 2 Követelmények Egyszerre csak egy embert

Részletesebben

Funkcionális Nyelvek 2 (MSc)

Funkcionális Nyelvek 2 (MSc) Funkcionális Nyelvek 2 (MSc) Páli Gábor János pgj@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozási Nyelvek és Fordítóprogramok Tanszék Tematika A (tervezett) tematika rövid összefoglalása

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

38. A gráfalgoritmusok alkalmazása

38. A gráfalgoritmusok alkalmazása 38. A gráfalgoritmusok alkalmazása Állapotok és átmenetek A gráf adattípus nagyon sokféle feladat megoldásánál alkalmazható. Rejtvények, játékok, közlekedési és szállítási problémák, stratégiai feladatok

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

tétel: különböző típusú adatokat csoportosít, ezeket egyetlen adatként kezeli, de hozzáférhetünk az elemeihez is

tétel: különböző típusú adatokat csoportosít, ezeket egyetlen adatként kezeli, de hozzáférhetünk az elemeihez is A tétel (record) tétel: különböző típusú adatokat csoportosít, ezeket egyetlen adatként kezeli, de hozzáférhetünk az elemeihez is A tétel elemei mezők. Például tétel: személy elemei: név, lakcím, születési

Részletesebben

Microsoft Excel 2010

Microsoft Excel 2010 Microsoft Excel 2010 Milyen feladatok végrehajtására használatosak a táblázatkezelők? Táblázatok létrehozására, és azok formai kialakítására A táblázat adatainak kiértékelésére Diagramok készítésére Adatbázisok,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája A táblázatkezelés alapjai A táblázat szerkesztése A táblázat formázása A táblázat formázása Számítások a táblázatban Oldalbeállítás és nyomtatás

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK Informatikai alapismeretek középszint 0621 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 25. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A PhysioBank adatmegjelenítő szoftvereinek hatékonysága

A PhysioBank adatmegjelenítő szoftvereinek hatékonysága A PhysioBank adatmegjelenítő szoftvereinek hatékonysága Kaczur Sándor kaczur@gdf.hu GDF Informatikai Intézet 2012. november 14. Célok, kutatási terv Szabályos EKG-felvétel: P, Q, R, S, T csúcs Anatómiai

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

Cloud computing. Cloud computing. Dr. Bakonyi Péter.

Cloud computing. Cloud computing. Dr. Bakonyi Péter. Cloud computing Cloud computing Dr. Bakonyi Péter. 1/24/2011 1/24/2011 Cloud computing 2 Cloud definició A cloud vagy felhő egy platform vagy infrastruktúra Az alkalmazások és szolgáltatások végrehajtására

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb 1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb #include main() { int a, b; printf( "a=" ); scanf( "%d", &a ); printf( "b=" ); scanf( "%d", &b ); if( a< b ) { inttmp = a; a =

Részletesebben

Villámgyors és pontos, automatizált adatfeldolgozás, avagy Hogyan lehet egy nehezen kezelhető adathalmazt megszelídíteni?

Villámgyors és pontos, automatizált adatfeldolgozás, avagy Hogyan lehet egy nehezen kezelhető adathalmazt megszelídíteni? Villámgyors és pontos, automatizált adatfeldolgozás, avagy Hogyan lehet egy nehezen kezelhető adathalmazt megszelídíteni? Esettanulmány 1 / 8 Copyright és köszönetnyilvánítás A feladatot programozta és

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása beadandó feladat: Algtan1 tanári beadandó /99 1

Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása beadandó feladat: Algtan1 tanári beadandó /99 1 Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása beadandó feladat: Algtan1 tanári beadandó /99 1 Készítette: Gipsz Jakab Neptun-azonosító: ABC123 E-mail: gipszjakab@seholse.hu Kurzuskód: IT-13AAT1EG Gyakorlatvezető

Részletesebben

Vállalati modellek. Előadásvázlat. dr. Kovács László

Vállalati modellek. Előadásvázlat. dr. Kovács László Vállalati modellek Előadásvázlat dr. Kovács László Vállalati modell fogalom értelmezés Strukturált szervezet gazdasági tevékenység elvégzésére, nyereség optimalizálási céllal Jellemzői: gazdasági egység

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gépi tanulás a Rapidminer programmal. Stubendek Attila

Gépi tanulás a Rapidminer programmal. Stubendek Attila Gépi tanulás a Rapidminer programmal Stubendek Attila Rapidminer letöltése Google: download rapidminer Rendszer kiválasztása (iskolai gépeken Other Systems java) Kicsomagolás lib/rapidminer.jar elindítása

Részletesebben

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today. KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja

Részletesebben

találhatók. A memória-szervezési modell mondja meg azt, hogy miként

találhatók. A memória-szervezési modell mondja meg azt, hogy miként Memória címzési módok Egy program futása során (legyen szó a program vezérléséről vagy adatkezelésről) a program utasításai illetve egy utasítás argumentumai a memóriában találhatók. A memória-szervezési

Részletesebben

Temporális adatbázisok. Kunok Balázs szakdolgozata alapján

Temporális adatbázisok. Kunok Balázs szakdolgozata alapján Temporális adatbázisok Kunok Balázs szakdolgozata alapján Miért? Döntéshozatalok körülményeinek meghatározása. Nem csak az a lényeges, hogy hogyan változott az adat, hanem az is, hogy miért. Adatok helyreállíthatók

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. 5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 20. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Megoldási útmutató I.

Részletesebben

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Szakdolgozat Miskolci Egyetem Nemlineáris programozás Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Témavezető: Dr. Nagy Tamás egyetemi docens, Alkalmazott Matematikai Tanszék Miskolc,

Részletesebben

AZ ID JÁRÁS SZÁMÍTÓGÉPES EL REJELZÉSE. rejelzése. horanyi.a@met.hu) lat. Földtudományos forgatag. 2008. április 19.

AZ ID JÁRÁS SZÁMÍTÓGÉPES EL REJELZÉSE. rejelzése. horanyi.a@met.hu) lat. Földtudományos forgatag. 2008. április 19. Az z idjárási számítógépes elrejelz rejelzése HORÁNYI ANDRÁS S (horanyi.a@met.hu( horanyi.a@met.hu) Országos Meteorológiai Szolgálat lat Numerikus Modellez és Éghajlat-dinamikai Osztály (NMO) 1 MIÉRT FONTOS?

Részletesebben

M-Fájlok létrehozása MATLAB-ban

M-Fájlok létrehozása MATLAB-ban M-Fájlok létrehozása MATLAB-ban 1 Mi az M-fájl Annak ellenére, hogy a MATLAB rendkívül kifinomult és fejlett számológépként használható, igazi nagysága mégis abban rejlik, hogy be tud olvasni és végrehajtani

Részletesebben

Assembly. Iványi Péter

Assembly. Iványi Péter Assembly Iványi Péter További Op. rsz. funkcionalitások PSP címének lekérdezése mov ah, 62h int 21h Eredmény: BX = PSP szegmens címe További Op. rsz. funkcionalitások Paraméterek kimásolása mov di, parameter

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Teljesen elosztott adatbányászat alprojekt

Teljesen elosztott adatbányászat alprojekt Teljesen elosztott adatbányászat alprojekt Hegedűs István, Ormándi Róbert, Jelasity Márk Big Data jelenség Big Data jelenség Exponenciális növekedés a(z): okos eszközök használatában, és a szenzor- és

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése

Részletesebben

ELTE SAP Excellence Center Oktatóanyag 1

ELTE SAP Excellence Center Oktatóanyag 1 ELTE SAP Excellence Center Oktatóanyag 1 ELTE SAP Excellence Center Oktatóanyag 2 ELTE SAP Excellence Center Oktatóanyag 3 A felhasználók három különböző képernyővel találkoznak Listák az adatmegjelenítéshez

Részletesebben

SZAKDOLGOZAT ÓBUDAI EGYETEM. Neumann János Informatikai kar Alba Regia Egyetemi Központ

SZAKDOLGOZAT ÓBUDAI EGYETEM. Neumann János Informatikai kar Alba Regia Egyetemi Központ ÓBUDAI EGYETEM Neumann János Informatikai kar Alba Regia Egyetemi Központ SZAKDOLGOZAT OE-NIK Hallgató neve: Berencsi Gergő Zsolt 2010. Törzskönyvi száma: T 000123/FI38878/S-N Tartalomjegyzék Tartalmi

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Oralce kliens installálása Windows Server 2003-ra

Oralce kliens installálása Windows Server 2003-ra Oralce kliens installálása Windows Server 2003-ra Szükséges elofeltétel Szükséges operációs rendszer: Windows 2003 SP1 Oracle kliens verzió: 9.2.0.1.0 (9R2) Valid SQLNet.ORA fájl, amely tartalmazza a céges

Részletesebben

1. óra Tanévi feladatok balesetvédelem, baleset megelőzés 2. óra Ismétlés. 3. óra

1. óra Tanévi feladatok balesetvédelem, baleset megelőzés 2. óra Ismétlés. 3. óra 1. óra Tanévi feladatok balesetvédelem, baleset megelőzés 2. óra Ismétlés Informatikai alapismeretek (fogalmak): Információ (Új ismeretet jelent, amely a megszerzőjének szükséges és érthető) Informatika

Részletesebben

Irányítástechnika 1. 10. Elıadás. PLC-k programozása

Irányítástechnika 1. 10. Elıadás. PLC-k programozása rányítástechnika 1 10. Elıadás PLC-k programozása rodalom - Helmich József: rányítástechnika, 2005 - Zalotay Péter: PLC tanfolyam - Jancskárné Anweiler ldikó: PLC programozás az EC 1131-3 szabvány szerint,

Részletesebben

OOP #1 (Bevezetés) v1.0 2003.03.07. 18:39:00. Eszterházy Károly Főiskola Információtechnológia tsz. Hernyák Zoltán adj.

OOP #1 (Bevezetés) v1.0 2003.03.07. 18:39:00. Eszterházy Károly Főiskola Információtechnológia tsz. Hernyák Zoltán adj. OOP #1 (Bevezetés) v1.0 2003.03.07. 18:39:00 Eszterházy Károly Főiskola Információtechnológia tsz. Hernyák Zoltán adj. e-mail: aroan@ektf.hu web: http://aries.ektf.hu/~aroan OOP OOP_01-1 - E jegyzet másolata

Részletesebben

műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó Munkahelyek: Nokia -Hungary kft Veszprémi Egyetem

műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó Munkahelyek: Nokia -Hungary kft Veszprémi Egyetem Név: Tarnay Katalin Születési adatok: Nyiregyháza, 1933. május 8 Legmagasabb tudományos fokozat, és elnyerésének éve: műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola

Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei Számítási intelligencia alapú regressziós technikák és Készítette Kenesei Tamás Péter Témavezető: Dr. habil.

Részletesebben