Klár Gergely
|
|
- Mariska Ballané
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Számítógépes Grafika Klár Gergely Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. őszi félév
2 Tartalom Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 1 Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 2
3 Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 2D algoritmusokról beszélünk, általánosíthatók 3D-ra Mit akarunk vágni? pont szakasz poligon Mire akarunk vágni? poligon ablak, téglalap félsík
4 az ablakra Vágás Szakaszvágás Poligonvágás Pont vágás: (x, y) R 2. Akkor tartjuk meg a pontot, ha (x, y) [x min, x max ] [y min, y max ]. Megoldás: négy összehasonlítás. Szakasz vágás: a szakasznak csak azokat a pontjai akarjuk megtartani, amik benne vannak [x min, x max ] [y min, y max ]-ban. Megoldás: az ablak négy élével, mint négy félsíkkal vágjuk a szakaszt. Poligon vágás: a poligonból egy új poligont akarunk csinálni, ami nem lóg ki az ablakból. Megoldás: A poligon minden oldalát (mint szakaszt) vágjuk.
5 Szakasz vágása félsíkra Szakaszvágás Poligonvágás Félsík: egyenes + egy oldala Csak azt a speciális esetet nézzük, amikor a vágó egyenes párhuzamos valamelyik tengellyel. (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) szakasz egyenlete: Vágó egyenes: pl. x = x min x(t) = x 1 + t(x 2 x 1 ) y(t) = y 1 + t(y 2 y 1 ) Megoldás: x min = x 1 + t(x 2 x 1 ) t = x min x 1 x 2 x 1 Metszéspont: x = x min, y = y 1 + x min x 1 x 2 x 1 (y 2 y 1 )
6 Szakasz vágása - nehézségek Szakaszvágás Poligonvágás Eredmény kezelése: t 0 vagy t 1 nincs is igazi vágás. Kivételek: tengelyekkel párhuzamos szakaszok vágása. Rengeteg eset: négy félsík, két végpont, mindkettő eshet bárhova. Feladat: Kell-e vágni? Melyik félsík(ok)ra kell vágni? Triviálisan bent/kint van-e a szakasz? Megoldás: Cohen Sutherland vágás
7 Cohen Sutherland vágás Szakaszvágás Poligonvágás Az egyenesekkel osszuk kilenc részre a síkot! Mindegyikhez rendeljünk egy bit-kódot: TBRL Számítsuk ki ezt a kódot a szakasz végpontjaira! T - 1, ha a pont az ablak fölött van B -1, ha a pont az ablak alatt van R -1, ha a pont az ablaktól jobbra van L -1, ha a pont az ablaktól balra van
8 Cohen Sutherland vágás Szakaszvágás Poligonvágás code = Top, Bottom, Right, Left
9 Cohen Sutherland vágás Szakaszvágás Poligonvágás code = (y > y max, y < y min, x > x max, x < x min ) Vizsgáljuk a két végpont bit-kódjait, code a -t és code b -t! Ha code a OR code b == 0: a szakasz az ablakban van megtartjuk. Ha code a AND code b!= 0: a szakasz az ablak valamelyik oldalán (fölül, alul, jobbra, balra), kívül van eldobjuk. Különben vágni kell: az 1-es bitek adják meg, hogy melyik félsíkra, utána újra számoljuk a bit-kódokat, és az új szakasszal újrakezdjük az algoritmust.
10 Cohen Sutherland vágás Szakaszvágás Poligonvágás code a OR code b == 0:
11 Cohen Sutherland vágás Szakaszvágás Poligonvágás code a AND code b!= 0:
12 Cohen Sutherland vágás Szakaszvágás Poligonvágás Különben:
13 Poligonvágás Vágás Szakaszvágás Poligonvágás Feladat Adott egy vágandó és egy vágó poligon. Keressük azt a poligont, amit a vágandóból kapunk, ha csak a vágó poligonba tartozó részeit vesszük. Röviden: keressük a kettő közös részét. Algoritmusok: Sutherland Hodgman: convex vágó poligon, convex vágandónál hibák; gyorsabb Weiler Atherton: nem önmetsző poligonokra; lassabb, nem vesszük
14 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman poligonvágás Legyen p tömb a bemeneti-, q a kimeneti-poligon csúcsainak tömbje! Legyen n a csúcsok száma, és p[0] = p[n]! Vágás egyenesre: Ha p[i] bent van az alablakban, és p[i + 1] is: adjuk hozzá p[i]-t a q-hoz. Ha p[i] bent van az alablakban, de p[i + 1] nincs: adjuk hozzá p[i]-t a q-hoz, számítsuk ki p[i], p[i + 1] szakasz metszéspontját a vágó egyenessel, majd ezt is adjuk hozzá q-hoz. Ha p[i] nincs bent az alablakban, de p[i + 1] benne van: számítsuk ki p[i], p[i + 1] szakasz metszéspontját a vágó egyenessel, és ezt adjuk hozzá q-hoz. Ha p[i] nincs bent az alablakban, és p[i + 1] sincs: SKIP
15 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman poligonvágás - Pszedudó kód PolygonClip(in p[n], out q[m], in line) { m = 0; for( i=0; i < n; i++) { if (IsInside(p[i])) { q[m++] = p[i]; if (!IsInside(p[i+1])) q[m++] = Intersect(p[i], p[i+1], line); } else { if (IsInside(p[i+1])) q[m++] = Intersect(p[i], p[i+1], line); } } }
16 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
17 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
18 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
19 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
20 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
21 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
22 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
23 Szakaszvágás Poligonvágás Sutherland-Hodgeman: konkáv poligonok Konkáv poligonokra átfedő éleket hoz létre.
24 Tartalom Vágás 1 Vágás 2
25 Szakasz rajzolás Vágás Egyik leggyakrabb primitív. Fontos, hogy szépen tudjuk rajzolni. Mégjobb, ha gyorsan is. Jason Thielke, jasonthielke.com
26 Hogyan rajzolunk szakaszt? Adott a két végpont. Hogyan tudjuk összekötni őket? Csak miniatűr téglalapjaink vannak (amiket pixelnek nevezünk).
27 Hogyan rajzolunk szakaszt? Adott a két végpont. Hogyan tudjuk összekötni őket? Csak miniatűr téglalapjaink vannak (amiket pixelnek nevezünk).
28 Hogyan rajzolunk szakaszt? Adott a két végpont. Hogyan tudjuk összekötni őket? Csak miniatűr téglalapjaink vannak (amiket pixelnek nevezünk).
29 Hogyan rajzolunk szakaszt? Adott a két végpont. Hogyan tudjuk összekötni őket? Csak miniatűr téglalapjaink vannak (amiket pixelnek nevezünk).
30 Hogyan rajzolunk szakaszt? Adott a két végpont. Hogyan tudjuk összekötni őket? Csak miniatűr téglalapjaink vannak (amiket pixelnek nevezünk).
31 Szakasz megadása (sokadszor) Végpontok: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) Tfh. nem függőleges: x 1 x 2. Szakasz egyenlete: y = mx + b, x [x 1, x 2 ] m = y 2 y 1 x 2 x 1 b = y 1 mx 1
32 Naív algoritmus Vágás def l i n e 1 ( x1, y1, x2, y2, draw ) : m = f l o a t ( y2 y1 ) / ( x2 x1 ) x = x1 y = f l o a t ( y1 ) while x<=x2 : draw. p o i n t ( ( x, y ) ) x += 1 y += m
33 Naív algoritmus Vágás m = float(y2-y1)/(x2-x1) nem pontos y += m a hiba gyűlik y-ban draw.point((x,y)) int-eket vár, lassú a konverzió csak m < 1-re működik helyesen
34 Naív algoritmus Vágás m = float(y2-y1)/(x2-x1) nem pontos y += m a hiba gyűlik y-ban draw.point((x,y)) int-eket vár, lassú a konverzió csak m < 1-re működik helyesen
35 Naív algoritmus Vágás m = float(y2-y1)/(x2-x1) nem pontos y += m a hiba gyűlik y-ban draw.point((x,y)) int-eket vár, lassú a konverzió csak m < 1-re működik helyesen
36 Naív algoritmus Vágás m = float(y2-y1)/(x2-x1) nem pontos y += m a hiba gyűlik y-ban draw.point((x,y)) int-eket vár, lassú a konverzió csak m < 1-re működik helyesen
37 Naív algoritmus Vágás m = float(y2-y1)/(x2-x1) nem pontos y += m a hiba gyűlik y-ban draw.point((x,y)) int-eket vár, lassú a konverzió csak m < 1-re működik helyesen
38 Javítsuk az algoritmust 1. def l i n e 2 ( x1, y1, x2, y2, draw ) : m = f l o a t ( y2 y1 ) / ( x2 x1 ) x = x1 y = y1 e = 0.0 while x<=x2 : draw. p o i n t ( ( x, y ) ) x += 1 e += m i f e >= 0. 5 : y += 1 e = 1.0
39 Javítsuk az algoritmust 1. Naív: Jó: Mindig eltalálja a végpontokat Jó: Egyenletesebben lép az y irányban. Rossz: Még mindig használunk float-okat Javítás:
40 Javítsuk az algoritmust 2. def l i n e 3 ( x1, y1, x2, y2, draw ) : x = x1 y = y1 e = 0.5 while x<=x2 : draw. p o i n t ( ( x, y ) ) x += 1 e += i f f l o a t ( y2 y1 ) / ( x2 x1 ) e >= 0. 0 : y += 1 e = 1.0
41 Javítsuk az algoritmust 3. def l i n e 4 ( x1, y1, x2, y2, draw ) : x = x1 y = y1 e = 0.5 ( x2 x1 ) while x<=x2 : draw. p o i n t ( ( x, y ) ) x += 1 e += y2 y1 i f e >= 0. 0 : y += 1 e = ( x2 x1 )
42 Javítsuk az algoritmust 4. def l i n e 5 ( x1, y1, x2, y2, draw ) : x = x1 y = y1 e = (x2 x1 ) while x<=x2 : draw. p o i n t ( ( x, y ) ) x += 1 e += 2 ( y2 y1 ) i f e >= 0: y += 1 e = 2 ( x2 x1 )
43 Javítsuk az algoritmust 4. Ez a Bresenham algoritmus (egyik speciális esete) Külön gyűjtjük a hibát e-ben Nem használunk float-okat Tetszőleges meredekségű szakaszokra általánosítható.
44 Bresenham algoritmus Nyolcadokra kéne felbontani a síkot, mindegyik külön eset. (Előzők végig: jobbra-le) El kell döntenünk, hogy x 2 x 1 vagy y 2 y 1 a nagyobb (merre meredekebb a szakasz). Ha y 2 y 1 a nagyobb, cseréljük fel x i y i, és rajzolásnál is fordítva használjuk! Ha x 1 > x 2, akkor csere: x 1 x 2, y 1 y 2. Az e hibatagot y 2 y 1 -nal növeljük minden lépésben y-nal y 2 y 1 előjele szerint haladunk.
45 Bresenham algoritmus
46 Teljes Bresenham algoritmust 1. def Bresenham ( x1, y1, x2, y2, draw ) : steep = abs ( y2 y1)>abs ( x2 x1 ) i f steep : x1, y1 = y1, x1 x2, y2 = y2, x2 i f x1>x2 : x1, x2 = x2, x1 y1, y2 = y2, y1 Dy = abs ( y2 y1 ) i f y1<y2 : Sy = 1 else : Sy = 1
47 Teljes Bresenham algoritmust 2. x = x1 y = y1 e = (x2 x1 ) while x<=x2 : i f steep : draw. p o i n t ( ( y, x ) ) else : draw. p o i n t ( ( x, y ) ) x += 1 e += 2 Dy i f e >= 0: y += Sy e = 2 ( x2 x1 )
48 Flood-fill elárasztásos kitöltés Tetszőleges, már raszterizált poligon kitöltésére alkalmas. Bemenet: raszter kép + annak egy pontja A megadott pontból kiindulva rekurzívan haladunk: Az aktuális pont színe megegyezik a kiindulási pont színével? nem megállunk igen átszínezzük, és minden szomszédra újrakezdjük az algoritmust.
49 Flood-fill szomszédásgok Négy szomszéd: fent, lent, jobbra, balra Nyolc szomszéd: az előző négy + a sarkak
50 Háromszög kitöltés Vágás Nem egy rögzített értékkel akarunk kitölteni, a hanem a csúcsokban adott értékeket akarjuk interpolálni. Felhasználásai: szín (Gouraud-árnyalás), textúra koordinták, normálvektorok Legyen a felület egy pontja p = αp 1 + βp 2 + γp 3, az α, β, γ baricentrikus koordinátákkal adott. Ekkor bármilyen más értéket is végig tudunk interpolálni ugyan így: c = αc 1 + βc 2 + γc 3 Ez az úgy nevezett Gouraud interpoláció (nem véletlenül)
51 Háromszög kitöltés 1. Vágás f o r a l l x : f o r a l l y : α, β, γ = b a r y c e n t r i c ( x, y ) i f α [0, 1] and β [0, 1] and γ [0, 1] : c = αc 1 + β c 2 + γ c 3 draw. p o i n t ( ( x, y ), c )
52 Baricentrikus koordináták A baricentrikus koordináták számíthatók a következő képletekkel: f 01 (x, y) = (y 0 y 1 )x + (x 1 x 0 )y + x 0 y 1 x 1 y 0 f 12 (x, y) = (y 1 y 2 )x + (x 2 x 1 )y + x 1 y 2 x 2 y 1 f 20 (x, y) = (y 2 y 0 )x + (x 0 x 2 )y + x 2 y 0 x 0 y 2 Ekkor az x, y ponthoz tartozó baricentrikus koordináták: α = f 12 (x, y)/f 12 (x 0, y 0 ) β = f 20 (x, y)/f 20 (x 1, y 1 ) γ = f 01 (x, y)/f 01 (x 2, y 2 )
53 Háromszög kitöltés 2. Vágás x min = min ( f l o o r ( x i ) ) x max = max( c e i l i n g ( x i ) ) y min = min ( f l o o r ( y i ) ) y max = max( c e i l i n g ( y i ) ) f o r y i n [ y min.. y max ] : f o r x i n [ x min.. x max ] : α = f 12 (x, y)/f 12 (x 0, y 0 ) β = f 20 (x, y)/f 20 (x 1, y 1 ) γ = f 01 (x, y)/f 01 (x 2, y 2 ) i f α>0 and β>0 and γ >0: c = αc 1 + β c 2 + γ c 3 draw. p o i n t ( ( x, y ), c )
54 Háromszög kitöltés 2. Vágás Gyorsítás: felesleges minden x, y-t vizsgálni, elég a háromszöget tartalazó téglalapon végig menni. Inkrementálissátétel: Most még lassú, nem használjuk, ki hogy sorban megyünk x-en, y-on. Milyenek is ezek az f -ek? Mind f (x, y) = Ax + By + C alakú. Ekkor f (x + 1, y) = f (x, y) + A, ill. f (x, y + 1) = f (x, y) + B Megvalósítás:
55 Háromszög kitöltés 2. Vágás Gyorsítás: felesleges minden x, y-t vizsgálni, elég a háromszöget tartalazó téglalapon végig menni. Inkrementálissátétel: Most még lassú, nem használjuk, ki hogy sorban megyünk x-en, y-on. Milyenek is ezek az f -ek? Mind f (x, y) = Ax + By + C alakú. Ekkor f (x + 1, y) = f (x, y) + A, ill. f (x, y + 1) = f (x, y) + B Megvalósítás:
56 Háromszög kitöltés 2. Vágás Gyorsítás: felesleges minden x, y-t vizsgálni, elég a háromszöget tartalazó téglalapon végig menni. Inkrementálissátétel: Most még lassú, nem használjuk, ki hogy sorban megyünk x-en, y-on. Milyenek is ezek az f -ek? Mind f (x, y) = Ax + By + C alakú. Ekkor f (x + 1, y) = f (x, y) + A, ill. f (x, y + 1) = f (x, y) + B Megvalósítás:
57 Háromszög kitöltés 2. Vágás Gyorsítás: felesleges minden x, y-t vizsgálni, elég a háromszöget tartalazó téglalapon végig menni. Inkrementálissátétel: Most még lassú, nem használjuk, ki hogy sorban megyünk x-en, y-on. Milyenek is ezek az f -ek? Mind f (x, y) = Ax + By + C alakú. Ekkor f (x + 1, y) = f (x, y) + A, ill. f (x, y + 1) = f (x, y) + B Megvalósítás:
58 Háromszög kitöltés 2. Vágás Gyorsítás: felesleges minden x, y-t vizsgálni, elég a háromszöget tartalazó téglalapon végig menni. Inkrementálissátétel: Most még lassú, nem használjuk, ki hogy sorban megyünk x-en, y-on. Milyenek is ezek az f -ek? Mind f (x, y) = Ax + By + C alakú. Ekkor f (x + 1, y) = f (x, y) + A, ill. f (x, y + 1) = f (x, y) + B Megvalósítás:
59 Háromszög kitöltés 2. Vágás Gyorsítás: felesleges minden x, y-t vizsgálni, elég a háromszöget tartalazó téglalapon végig menni. Inkrementálissátétel: Most még lassú, nem használjuk, ki hogy sorban megyünk x-en, y-on. Milyenek is ezek az f -ek? Mind f (x, y) = Ax + By + C alakú. Ekkor f (x + 1, y) = f (x, y) + A, ill. f (x, y + 1) = f (x, y) + B Megvalósítás: házi feladat
Tartalom. Tartalom. Hajder Levente Szakasz raszterizálása. 2017/2018. II. félév. Poligon raszterizáció.
Tartalom Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 Emlékeztető 2 Vágás 3 Raszterizálás Inkrementális képszintézis Tartalom 1 Emlékeztető Inkrementális
RészletesebbenCohen-Sutherland vágóalgoritmus
Vágási algoritmusok Alapprobléma Van egy alakzatunk (szakaszokból felépítve) és van egy "ablakunk" (lehet a monitor, vagy egy téglalap alakú tartomány, vagy ennél szabálytalanabb poligon által határolt
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra
RészletesebbenHajder Levente 2014/2015. tavaszi félév
Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint
Részletesebben2D képszintézis. Szirmay-Kalos László
2D képszintézis Szirmay-Kalos László 2D képszintézis Modell szín (200, 200) Kép Kamera ablak (window) viewport Unit=pixel Saját színnel rajzolás Világ koordinátarendszer Pixel vezérelt megközelítés: Tartalmazás
RészletesebbenAlgoritmusok raszteres grafikához
Algoritmusok raszteres grafikához Egyenes rajzolása Kör rajzolása Ellipszis rajzolása Algoritmusok raszteres grafikához Feladat: Grafikai primitíveket (pl. vonalat, síkidomot) ábrázolni kép-mátrixszal,
RészletesebbenTerületi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) b) Minden belső pont kirajzolásával (kitöltött)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Poligon kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl.
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenTerületi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Poligon kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl.
RészletesebbenTerületi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése A tertületi primitívek zárt görbével határolt területek, amelyeket megjelníthetünk
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenInformáció megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter
Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 Sugár és sík metszéspontja Sugár és háromszög metszéspontja Sugár és poligon metszéspontja
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenAlgoritmusok raszteres grafikához
Algoritmusok raszteres grafikához Egyenes rajzolása Kör rajzolása Ellipszis rajzolása Algoritmusok raszteres grafikához Feladat: Grafikai primitíveket (pl. vonalat, síkidomot) ábrázolni kép-mátrixszal,
RészletesebbenAlgoritmusok raszteres grafikához
Algoritmusok raszteres grafikához Egyenes rajzolása Kör rajzolása Ellipszis rajzolása Algoritmusok raszteres grafikához Feladat: Grafikai primitíveket (pl. vonalat, síkidomot) ábrázolni kép-mátrixszal,
RészletesebbenLátható felszín algoritmusok
Látható felszín algoritmusok Látható felszínek Z-buffer algoritmus Festő algoritmus A látható felszín meghatározására szolgáló algoritmusok A tárgyak takarják-e egymást? Mely tárgy látható? Pontokra: P
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenSZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS
SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS FELADAT: Ha az alakzat nagyobb, mint a képtartomány, amelyben megjelenítendő, akkor a kívül eső részeket el kell hagyni, azaz az alakzatról le kell vágni, röviden szólva: az alakzatot
RészletesebbenTÉRINFORMATIKAI ALGORITMUSOK
Topológiai algoritmusok és adatszerkezetek TÉRINFORMATIKAI ALGORITMUSOK Cserép Máté mcserep@inf.elte.hu 2017. november 22. EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR BEVEZETŐ Topológia: olyan matematikai
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenTÉRINFORMATIKAI ÉS TÁVÉRZÉKELÉSI ALKALMAZÁSOK FEJLESZTÉSE
Topológiai algoritmusok és adatszerkezetek TÉRINFORMATIKAI ÉS TÁVÉRZÉKELÉSI ALKALMAZÁSOK FEJLESZTÉSE Cserép Máté mcserep@caesar.elte.hu 2015. május 5. EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR BEVEZETŐ
RészletesebbenTÉRINFORMATIKAI ALGORITMUSOK
Topológiai algoritmusok és adatszerkezetek TÉRINFORMATIKAI ALGORITMUSOK Cserép Máté mcserep@caesar.elte.hu 2015. november 18. EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR BEVEZETŐ Topológia: olyan matematikai
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Raycasting. Hajder Levente 2017/2018. II. félév. Raycasting. Raycasting. Sugár és háromszög metszéspontja
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 2 1 2 Albrecht Dürer, 1525 Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra a világra Milyen színértéket
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenLáthatósági kérdések
Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
Pontok rajzolása OpenGL Rajzoljunk egy piros pontot a (10, 10), egy zöld pontot az (50, 10) és egy kék pontot a (30, 80) koordinátákba (az ablak 100*100-as méretű) Pontok rajzolása Színek és színmódok
RészletesebbenModellezési transzformáció: [r lokális,1] T M = [r világ,1] Nézeti transzformáció: [r világ,1] T v = [r képernyo,1]
Inkrementális képsintéis Inkrementális 3D képsintéis Sirma-Kalos Lásló Árnalás, láthatóság nehé, különösen általános heletu objektumokra koherencia: oldjuk meg nagobb egségekre feleslegesen ne sámoljunk:
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebbenpont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen
A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 Törtvonal Felületi folytonosságok B-spline Spline variánsok Felosztott (subdivision) görbék
RészletesebbenSZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Felületmegjelenítés
Felületmegjelenítés Megjelenítés paramétervonalakkal Drótvázas megjelenítés Megjelenítés takarással Triviális hátsólap eldobás A z-puffer algoritmus Megvilágítás és árnyalás Megjelenítés paramétervonalakkal
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Virtuális világ tárolása 1 Virtuális világ tárolása 2 3 4 Virtuális világ
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Részletesebben2015, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 5. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtani, mértani,
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenDr`avni izpitni center MATEMATIKA
Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenGeometria brute force tárolása
Virtuális világ tárolása - kérdések Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Hol táruljuk az adatokat? Mem. vagy HDD? Mire optimalizálunk? Rajzolás
RészletesebbenGeometriai modellezés. Szécsi László
Geometriai modellezés Szécsi László Adatáramlás vezérlés Animáció világleírás Modellezés kamera Virtuális világ kép Képszintézis A modellezés részfeladatai Geometria megadása [1. előadás] pont, görbe,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Részletesebben= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
RészletesebbenNemlineáris egyenletrendszerek megoldása április 15.
Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása 2014. április 15. Nemlineáris egyenletrendszerek Az egyenletrendszer a következő formában adott: f i (x 1, x 2,..., x M ) = 0 i = 1...N az f i függvények az x j
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenKlár Gergely Informatikai Kar. 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom I Sugárkövetés 1 Sugárkövetés 2 3 Tartalom Sugárkövetés Sugarak indítása
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő
Bevezetés a programozásba 12. Előadás: 8 királynő A 8 királynő feladat Egy sakktáblára tennénk 8 királynőt, úgy, hogy ne álljon egyik sem ütésben Ez nem triviális feladat, a lehetséges 64*63*62*61*60*59*58*57/8!=4'426'165'368
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
Részletesebbenanal2_03_szelsoertek_demo.nb 1
anal szelsoertek_demo.nb parciális deriválás f x^ y^; f Sin x Cos y ; g D f, x ; h D f, y ; Show GraphicsArray PlotD f, x,,, y,,, AxesLabel StringForm "f ``", f, None, None, DisplayFunction Identity, PlotD
RészletesebbenA számítógépes grafika alapjai kurzus, vizsgatételek és tankönyvi referenciák 2014
Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar A számítógépes grafika alapjai kurzus, vizsgatételek és tankönyvi referenciák 2014 Benedek Csaba A vizsga menete: a vizsgázó egy A illetve egy
RészletesebbenGrafikus csővezeték és az OpenGL függvénykönyvtár
Grafikus csővezeték és az OpenGL függvénykönyvtár 1 / 32 A grafikus csővezeték 3D-s színtér objektumainak leírása primitívekkel: pontok, élek, poligonok. Primitívek szögpontjait vertexeknek nevezzük Adott
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
Geometriai algoritmusok Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu Számos olyan gyakorlati számítási probléma van, amely megoldható olyan geometriai modellben, amelyben csak egyszerű objektumok, pontok, egyenesek,
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
Poligon kitöltése Implementáció: Nem kell minden egyes pásztázó vonalra újra kiszámolni minden metszéspontot, mert általában csak néhány metszéspont érdekes az i-dik pásztázó vonalról az i+1-dikre átlépve
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenGEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben