Klár Gergely Informatikai Kar. 2010/2011. tavaszi félév
|
|
- Klára Vörösné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Számítógépes Grafika Klár Gergely Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév
2 Tartalom I Sugárkövetés 1 Sugárkövetés 2 3
3 Tartalom Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód 1 Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód 2 3
4 Sugarak indítása Pszeudókód Albrecht Dürer, 1525
5 Suga rko vete s Gyorsı ta si leheto se gek Foton ko vete s Egyszeru sı tett illumina cio s egyenlet Sugarak indı ta sa Pszeudo ko d Transzforma lt objektumok Minden pixelre egyma sto l fu ggetlenu l hata rozzuk meg azok szı ne t oldjuk meg az a rnyala si e s takara si feladatot. 5. elo ada s
6 Suga rko vete s Gyorsı ta si leheto se gek Foton ko vete s Egyszeru sı tett illumina cio s egyenlet Sugarak indı ta sa Pszeudo ko d Transzforma lt objektumok Minden pixelre egyma sto l fu ggetlenu l hata rozzuk meg azok szı ne t oldjuk meg az a rnyala si e s takara si feladatot. Turner Whitted, elo ada s
7 Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + f r ( x, ω, ω)l( x, ω )( ω n)dω Ω A fény útját két féle komponensre bontjuk: koherens és inkoherens komponensre Koherens eset Az optikának megfelelő ideális visszaverődés ( tükröződés ) és törés Tovább követjük a fény útját Inkoherens eset Minden egyéb Csak az absztrakt fényforrás direkt megvilágítását vesszük figyelembe
8 Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + f r ( x, ω, ω)l( x, ω )( ω n)dω Ω A fény útját két féle komponensre bontjuk: koherens és inkoherens komponensre Koherens eset Az optikának megfelelő ideális visszaverődés ( tükröződés ) és törés Tovább követjük a fény útját Inkoherens eset Minden egyéb Csak az absztrakt fényforrás direkt megvilágítását vesszük figyelembe
9 Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + f r ( x, ω, ω)l( x, ω )( ω n)dω Ω A fény útját két féle komponensre bontjuk: koherens és inkoherens komponensre Koherens eset Az optikának megfelelő ideális visszaverődés ( tükröződés ) és törés Tovább követjük a fény útját Inkoherens eset Minden egyéb Csak az absztrakt fényforrás direkt megvilágítását vesszük figyelembe
10 Koherens komponens Sugarak indítása Pszeudókód
11 Inkoherens komponens Sugarak indítása Pszeudókód
12 Sugarak indítása Pszeudókód helyett L( x, ω) = L e ( x, ω) + f r ( x, ω, ω)l( x, ω )( ω n)dω Ω L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + l Lights f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t )
13 Sugarak indítása Pszeudókód helyett L( x, ω) = L e ( x, ω) + f r ( x, ω, ω)l( x, ω )( ω n)dω Ω L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + l Lights f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t )
14 Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) A szempozicóból sugarakat indítunk minden pixel középpontján keresztül. Ennek a sugárnak az irányát adja meg ω-t (minusz omega!). A sugár és a színtér objetumainak szemhez legközelebbi metszéspontja adja meg x-et.
15 Emisszió Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + l Lights f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) Az x felületi pontból, az ω nézeti irányból érkező radiancia, a felület saját sugárzása emissziója miatt.
16 Ambiens fény Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + l Lights f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) k a a felület, L a a környezet ambiens együtthatója. Az egyenlet ambiens tagja közelíti azt a fénymennyiséget, ami általánosan jelen van, minden felületet ér, azok helyzetétől és az absztrakt fényforrásoktól függetlenül.
17 Fényforrások Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) Az inkoherens visszarődéseket fogalja össze a szummás tag Csak a fényforrások direkt hatását vesszük figyelembe És csak akkor, ha az az x felületi pontból látszik
18 Fényforrások Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) ω l a fényforrásból a felületi pontba mutató egységvektor. f r ( x, ω l, ω) most csak a diffúz és spekuláris visszaverődést jellemző BRDF. ω l n a felületi normális és a fényforrás fele mutató vektor által bezárt szög koszinusza.
19 Fényforrások Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) Ha az l fényforrás teljesítménye Φ l és poziciója x l akkor L i ( x, ω l ) = v( x, x l ) Φ l x x l 2. v( x, x l ) [0, 1] függvény: Mi van a felületi pont és a fényforrás között?
20 Fényforrások Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + v( x, x l ) [0, 1] függvény l Lights = 0, ha a fényforrás nem látható x-ből, = 1, ha igen, f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) (0, 1), ha átlatszó objektumok vannak a kettő között. v kiszámításához úgynevezett árnyéksugarat indítunk x-ből x l -fele, és az objektumokkal való metszését nézzük.
21 Tükröződés Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) A tükörirányból érkező fényt k r arányban vesszük figyelembe. ω r az ideális tüköriránynak megfelelő beeső vektor. L( x, ω r ) kiszámítása azonos L( x, ω) kiszámításával (rekurzió!). Új sugár: szempozició helyett x, és a sugár iránya ω r.
22 Fénytörés Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód L( x, ω) = L e ( x, ω) + k a L a + f r ( x, ω l, ω)l i ( x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L( x, ω r ) + k t L( x, ω t ) A törési-irányból érkező fényt k t arányban vesszük figyelembe. ω t a törésiránynak megfelelő beeső vektor. L( x, ω t ) kiszámítása megint azonos L( x, ω) kiszámításával (rekurzió!). Új sugár: szempozició helyett x, és a sugár iránya ω t.
23 Sugarak indítása Pszeudókód
24 Sugarak indítása Pszeudókód
25 Sugarak indítása Pszeudókód
26 Sugarak indítása Pszeudókód
27 Sugarak indítása Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód A szempozicióból indítunk sugarakat minden pixel középpontján keresztül. Hogyan kapjuk meg ezeket a sugarakat? Szem/kamera tulajdonságok: szempozició (eye), egy pont amire néz (center), felfele irányt megadó vektor (up), nyílásszög (fovx, fovy). Ezek segítségvel fogjuk megadni az i, j-dik pixel koordinátáit.
28 Sugarak indítása Pszeudókód
29 Sugarak indítása Pszeudókód Keressük a kamera által adott u, v, w (jobbkezes!) koordinátarendszert! Nézzen a kamera Z irányba! w = eye center eye center Az X tengely legyen merőleges mind w-re, mind az up irányra! u = up w up w Az Y tengely merőleges u-ra és w-re is: v = w u
30 i, j pixel koordinátái Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód Legyen p az i, j pixel középpontja. Ekkor Ahol p = eye + (αu + βv w). α = tan és β = tan ( fovx 2 + j width/2 ), width/2 ( fovy 2 + height/2 i ). hight/2
31 Sugarak indítása Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód void raytrace(camera c, Image img) { for (int j=0; j<img.height; ++j) for (int i=0; i<img.widht; ++i) { Ray r = CalcRay(c, i, j); img[i][j] = trace(r, 0); } }
32 trace függvény 1. Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód Color trace(ray r, int d) { if (d>max_d) return La; (q, x) = intersect(r); if (nincs metszéspont) return La; omega = -r.direction; c = Le(x, omega)+ k_a * La; foreach(light l in lights) { r_s = Ray(x, x_l - x); (q_s, x_s) = intersect(r_s); if (nincs metszéspont (x_s-x).length() > (x_l-x).length()) c += f_r(x, omega_l, omega) * omega_l.dot(n) * } //...
33 trace függvény 2. Sugárkövetés Sugarak indítása Pszeudókód } //... if (k_r(x) > 0) { r_r = Ray(x, reflect(r.direction, n)); c += k_r(x)*trace(r_r, d+1) } if (k_t(x) > 0) { r_t = Ray(x, refract(r.direction, n, eta)); c += k_t(x)*trace(r_t, d+1) } return c;
34 Sugarak indítása Pszeudókód Legyen M egy adott objektum transzformációs mátrixa. Feladat: Keressük r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontját! Probléma: Hogyan transzformálunk egy gomböt? Megoldás: Transzformáljuk inkább a sugarat!
35 Sugarak indítása Pszeudókód Legyen M egy adott objektum transzformációs mátrixa. Feladat: Keressük r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontját! Probléma: Hogyan transzformálunk egy gomböt? Megoldás: Transzformáljuk inkább a sugarat!
36 Sugarak indítása Pszeudókód Legyen M egy adott objektum transzformációs mátrixa. Feladat: Keressük r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontját! Probléma: Hogyan transzformálunk egy gomböt? Megoldás: Transzformáljuk inkább a sugarat!
37 Sugarak indítása Pszeudókód Tétel Az r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontja az M 1 -zel transzformált r sugár és az objektum metszéspontja. M R 4 4, homogén transzformáció Sugár kezdőpontja: p = (p x, p y, p z ) [p x, p y, p z, 1] Sugár iránya: d = (d x, d y, d z ) [d x, d y, d z, 0]. Így nem hat rá az eltolás. Transzformált sugár r : pm 1 + t dm 1
38 Sugarak indítása Pszeudókód Tétel Az r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontja az M 1 -zel transzformált r sugár és az objektum metszéspontja. M R 4 4, homogén transzformáció Sugár kezdőpontja: p = (p x, p y, p z ) [p x, p y, p z, 1] Sugár iránya: d = (d x, d y, d z ) [d x, d y, d z, 0]. Így nem hat rá az eltolás. Transzformált sugár r : pm 1 + t dm 1
39 Sugarak indítása Pszeudókód Metszésvizsgálat: használjuk r -t! Metszéspont: q, akkor az eredeti térben q M. Távolságokat újra kell számolni az eredeti térben! Normálvektorok: n helyett n M T (inverz-transzponált).
40 Sugarak indítása Pszeudókód Metszésvizsgálat: használjuk r -t! Metszéspont: q, akkor az eredeti térben q M. Távolságokat újra kell számolni az eredeti térben! Normálvektorok: n helyett n M T (inverz-transzponált).
41 Sugarak indítása Pszeudókód Metszésvizsgálat: használjuk r -t! Metszéspont: q, akkor az eredeti térben q M. Távolságokat újra kell számolni az eredeti térben! Normálvektorok: n helyett n M T (inverz-transzponált).
42 Sugarak indítása Pszeudókód Metszésvizsgálat: használjuk r -t! Metszéspont: q, akkor az eredeti térben q M. Távolságokat újra kell számolni az eredeti térben! Normálvektorok: n helyett n M T (inverz-transzponált).
43 Tartalom Sugárkövetés Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek 1 Sugárkövetés 2 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek 3
44 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Metszésvizsgálat gyorsítása Az algoritmus sebessége leginkább az intersect függvény sebességétől függ. Hogyan gyorsíthatnánk ezt? Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amiket biztosan nem metsz a sugár! Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amik biztosan távolabbi metszéspontot adnak, mint a már megtalált!
45 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Metszésvizsgálat gyorsítása Az algoritmus sebessége leginkább az intersect függvény sebességétől függ. Hogyan gyorsíthatnánk ezt? Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amiket biztosan nem metsz a sugár! Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amik biztosan távolabbi metszéspontot adnak, mint a már megtalált!
46 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Metszésvizsgálat gyorsítása Az algoritmus sebessége leginkább az intersect függvény sebességétől függ. Hogyan gyorsíthatnánk ezt? Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amiket biztosan nem metsz a sugár! Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amik biztosan távolabbi metszéspontot adnak, mint a már megtalált!
47 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Metszésvizsgálat gyorsítása Az algoritmus sebessége leginkább az intersect függvény sebességétől függ. Hogyan gyorsíthatnánk ezt? Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amiket biztosan nem metsz a sugár! Ne vizsgáljunk metszést olyan objektumokra, amik biztosan távolabbi metszéspontot adnak, mint a már megtalált!
48 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Befoglaló keretek Minden objektumot vegyünk körbe valamilyen kerettel amivel gyorsan lehet metszést számolni. Ha egy sugár metszi az objektumot, akkor metsze biztosan a keretet is! Fordítva legyen minél nagyobb a valószínűsége! Befoglaló gömb: másodfokú egyenlet megoldás. Befoglaló doboz: élei a tengelyekkel párhuzamosak, Cohen-Sutherland szakaszvágó algoritmussal gyorsan számítható.
49 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Befoglaló keretek Minden objektumot vegyünk körbe valamilyen kerettel amivel gyorsan lehet metszést számolni. Ha egy sugár metszi az objektumot, akkor metsze biztosan a keretet is! Fordítva legyen minél nagyobb a valószínűsége! Befoglaló gömb: másodfokú egyenlet megoldás. Befoglaló doboz: élei a tengelyekkel párhuzamosak, Cohen-Sutherland szakaszvágó algoritmussal gyorsan számítható.
50 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Befoglaló keretek Minden objektumot vegyünk körbe valamilyen kerettel amivel gyorsan lehet metszést számolni. Ha egy sugár metszi az objektumot, akkor metsze biztosan a keretet is! Fordítva legyen minél nagyobb a valószínűsége! Befoglaló gömb: másodfokú egyenlet megoldás. Befoglaló doboz: élei a tengelyekkel párhuzamosak, Cohen-Sutherland szakaszvágó algoritmussal gyorsan számítható.
51 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Befoglaló keretek Minden objektumot vegyünk körbe valamilyen kerettel amivel gyorsan lehet metszést számolni. Ha egy sugár metszi az objektumot, akkor metsze biztosan a keretet is! Fordítva legyen minél nagyobb a valószínűsége! Befoglaló gömb: másodfokú egyenlet megoldás. Befoglaló doboz: élei a tengelyekkel párhuzamosak, Cohen-Sutherland szakaszvágó algoritmussal gyorsan számítható.
52 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Befoglaló keretek Minden objektumot vegyünk körbe valamilyen kerettel amivel gyorsan lehet metszést számolni. Ha egy sugár metszi az objektumot, akkor metsze biztosan a keretet is! Fordítva legyen minél nagyobb a valószínűsége! Befoglaló gömb: másodfokú egyenlet megoldás. Befoglaló doboz: élei a tengelyekkel párhuzamosak, Cohen-Sutherland szakaszvágó algoritmussal gyorsan számítható.
53 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
54 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
55 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Hierachikus befoglaló keretek A kisebb kereteket nagyobb keretekbe fogjuk össze. Fa struktúrát kapunk. Egy részfát csak akkor kell kiértékelni, ha a gyökérrel van metszés.
56 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
57 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
58 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
59 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Szabályos felosztás Egy szabályos 3D ráccsal lefedjük az egész színteret. Előfeldolgozás: minden cellához feljegyezzük a beletartozó objektumokat. Használat: csak azokra végzünk metszésszámítást, amik adott cellában benne vannak. Előnye: A vizsgálandó cellák gyorsan számíthatók szakazrajzoló algoritmussal. Hátránya: Feleslegesen sok cella nagyrészük üres teret fed le.
60 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Szabályos felosztás Egy szabályos 3D ráccsal lefedjük az egész színteret. Előfeldolgozás: minden cellához feljegyezzük a beletartozó objektumokat. Használat: csak azokra végzünk metszésszámítást, amik adott cellában benne vannak. Előnye: A vizsgálandó cellák gyorsan számíthatók szakazrajzoló algoritmussal. Hátránya: Feleslegesen sok cella nagyrészük üres teret fed le.
61 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Szabályos felosztás Egy szabályos 3D ráccsal lefedjük az egész színteret. Előfeldolgozás: minden cellához feljegyezzük a beletartozó objektumokat. Használat: csak azokra végzünk metszésszámítást, amik adott cellában benne vannak. Előnye: A vizsgálandó cellák gyorsan számíthatók szakazrajzoló algoritmussal. Hátránya: Feleslegesen sok cella nagyrészük üres teret fed le.
62 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Szabályos felosztás Egy szabályos 3D ráccsal lefedjük az egész színteret. Előfeldolgozás: minden cellához feljegyezzük a beletartozó objektumokat. Használat: csak azokra végzünk metszésszámítást, amik adott cellában benne vannak. Előnye: A vizsgálandó cellák gyorsan számíthatók szakazrajzoló algoritmussal. Hátránya: Feleslegesen sok cella nagyrészük üres teret fed le.
63 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Szabályos felosztás Egy szabályos 3D ráccsal lefedjük az egész színteret. Előfeldolgozás: minden cellához feljegyezzük a beletartozó objektumokat. Használat: csak azokra végzünk metszésszámítást, amik adott cellában benne vannak. Előnye: A vizsgálandó cellák gyorsan számíthatók szakazrajzoló algoritmussal. Hátránya: Feleslegesen sok cella nagyrészük üres teret fed le.
64 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Oktális fa Fa gyökere: a teljes színteret magában foglaló tengelyekkel párhuzamos élű befoglaló doboz (AABB) Vágjuk ezt nyolc egyenlő részre! Minden új dobozra: ha elég sok objektum van benne, akkor tovább osztjuk, különben megállunk. Előny: az üres részeket nem osztjuk tovább feleslegesen. Hátrány: bonyolultabb bejárás.
65 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Oktális fa Fa gyökere: a teljes színteret magában foglaló tengelyekkel párhuzamos élű befoglaló doboz (AABB) Vágjuk ezt nyolc egyenlő részre! Minden új dobozra: ha elég sok objektum van benne, akkor tovább osztjuk, különben megállunk. Előny: az üres részeket nem osztjuk tovább feleslegesen. Hátrány: bonyolultabb bejárás.
66 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Oktális fa Fa gyökere: a teljes színteret magában foglaló tengelyekkel párhuzamos élű befoglaló doboz (AABB) Vágjuk ezt nyolc egyenlő részre! Minden új dobozra: ha elég sok objektum van benne, akkor tovább osztjuk, különben megállunk. Előny: az üres részeket nem osztjuk tovább feleslegesen. Hátrány: bonyolultabb bejárás.
67 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Oktális fa Fa gyökere: a teljes színteret magában foglaló tengelyekkel párhuzamos élű befoglaló doboz (AABB) Vágjuk ezt nyolc egyenlő részre! Minden új dobozra: ha elég sok objektum van benne, akkor tovább osztjuk, különben megállunk. Előny: az üres részeket nem osztjuk tovább feleslegesen. Hátrány: bonyolultabb bejárás.
68 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek Oktális fa Fa gyökere: a teljes színteret magában foglaló tengelyekkel párhuzamos élű befoglaló doboz (AABB) Vágjuk ezt nyolc egyenlő részre! Minden új dobozra: ha elég sok objektum van benne, akkor tovább osztjuk, különben megállunk. Előny: az üres részeket nem osztjuk tovább feleslegesen. Hátrány: bonyolultabb bejárás.
69 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
70 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
71 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek
72 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek kd-fa Probléma az oktális fával: mindig középen és minden sík mentén vág nem veszi figyelembe az objektumokat. Oktális fa: keresési idő fa magasága. DE! az oktális fa kiegyensúlyozatlan. kd-fa: minden lépésben egyetlen síkkal vágunk, ami egy tengelyre merőleges. Sorrend: X, Y, Z, X, Y, Z,... Felező sík elhelyezése: térbeli középvonal módszer test középvonal módszer költség modell alapú módszer
73 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek kd-fa Probléma az oktális fával: mindig középen és minden sík mentén vág nem veszi figyelembe az objektumokat. Oktális fa: keresési idő fa magasága. DE! az oktális fa kiegyensúlyozatlan. kd-fa: minden lépésben egyetlen síkkal vágunk, ami egy tengelyre merőleges. Sorrend: X, Y, Z, X, Y, Z,... Felező sík elhelyezése: térbeli középvonal módszer test középvonal módszer költség modell alapú módszer
74 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek kd-fa Probléma az oktális fával: mindig középen és minden sík mentén vág nem veszi figyelembe az objektumokat. Oktális fa: keresési idő fa magasága. DE! az oktális fa kiegyensúlyozatlan. kd-fa: minden lépésben egyetlen síkkal vágunk, ami egy tengelyre merőleges. Sorrend: X, Y, Z, X, Y, Z,... Felező sík elhelyezése: térbeli középvonal módszer test középvonal módszer költség modell alapú módszer
75 Befoglaló keretek Térfelosztó módszerek kd-fa Probléma az oktális fával: mindig középen és minden sík mentén vág nem veszi figyelembe az objektumokat. Oktális fa: keresési idő fa magasága. DE! az oktális fa kiegyensúlyozatlan. kd-fa: minden lépésben egyetlen síkkal vágunk, ami egy tengelyre merőleges. Sorrend: X, Y, Z, X, Y, Z,... Felező sík elhelyezése: térbeli középvonal módszer test középvonal módszer költség modell alapú módszer
76 Tartalom Sugárkövetés Leírás Előnyök és hátrányok 1 Sugárkövetés 2 3 Leírás Előnyök és hátrányok
77 Leírás Előnyök és hátrányok A sugárkövetés kifordítása : a fényforrásokból fotonokat indítünk, és azok útját követjük. Addig haldunk, amíg már nem ütközhet semmivel, vagy teljesen elnyelődik, vagy eltalálja a vetítő ernyőt gyakorlatilag egy pixelt.
78 Leírás Előnyök és hátrányok A sugárkövetés kifordítása : a fényforrásokból fotonokat indítünk, és azok útját követjük. Addig haldunk, amíg már nem ütközhet semmivel, vagy teljesen elnyelődik, vagy eltalálja a vetítő ernyőt gyakorlatilag egy pixelt.
79 Leírás Előnyök és hátrányok Előnyök és hátrányok Előnye Globális illumináció és radiózitás ingyen. Kausztikus hatások automatikusan adódnak. Sub-surface scattering-et egyszerű megvalósítani. Egyszerű. Jól párhuzamosítható. Hátránya Lasssssú! Egyetlen kép kiszámítása napokig tarthat!
80 Leírás Előnyök és hátrányok Előnyök és hátrányok Előnye Globális illumináció és radiózitás ingyen. Kausztikus hatások automatikusan adódnak. Sub-surface scattering-et egyszerű megvalósítani. Egyszerű. Jól párhuzamosítható. Hátránya Lasssssú! Egyetlen kép kiszámítása napokig tarthat!
Tartalom. Megjegyzések. Valasek Gábor Befoglaló keretek. Felosztások. Informatikai Kar
Tartalom Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2015/2016. őszi félév Rekurzív sugárkövetés Megjegyzések Sugárkövetés gyorsítása Befoglaló
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 Sugár és sík metszéspontja Sugár és háromszög metszéspontja Sugár és poligon metszéspontja
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Raycasting. Hajder Levente 2017/2018. II. félév. Raycasting. Raycasting. Sugár és háromszög metszéspontja
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 2 1 2 Albrecht Dürer, 1525 Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra a világra Milyen színértéket
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra
RészletesebbenHajder Levente 2014/2015. tavaszi félév
Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 A fény elektromágneses hullám Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Anyagok Fényforrás modellek. Hajder Levente Fényvisszaverési modellek. Színmodellek. 2017/2018. II.
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 A fény elektromágneses hullám Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenSzirmay-Kalos László. L(x, ω)=l e (x,ω)+ L(h(x,-ω),ω) f r (ω,x, ω) cos θ dω A jobb oldali radiancia:
Képszintézis -casting, -tracing Szirmay-Kalos László Lokális illuminációs módszer L(, ω)=l e (,ω)+ L(h(,-ω),ω) f r (ω,, ω) cos θ dω A jobb oldali radiancia: fényforrások emissziója Fényforrások fényének
RészletesebbenTranszformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform
Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenÁrnyalás, env mapping. Szécsi László 3D Grafikus Rendszerek 3. labor
Árnyalás, env mapping Szécsi László 3D Grafikus Rendszerek 3. labor Egyszerű árnyaló FS legyen egy fényirány-vektor normálvektor és fényirány közötti szög koszinusza az irradiancia textúrából olvasott
RészletesebbenLáthatósági kérdések
Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok
RészletesebbenElengedhetetlen a játékokban, mozi produkciós eszközökben Nélküle kvantum hatás lép fel. Az objektumok áthaladnak a többi objektumon
Bevezetés Ütközés detektálás Elengedhetetlen a játékokban, mozi produkciós eszközökben Nélküle kvantum hatás lép fel Az objektumok áthaladnak a többi objektumon A valósághű megjelenítés része Nem tisztán
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenTranszformációk. Szécsi László
Transzformációk Szécsi László A feladat Adott a 3D modell háromszögek csúcspontjai [modellezési koordináták] Háromszögkitöltő algoritmus pixeleket színez be [viewport koordináták] A feladat: számítsuk
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenKlár Gergely
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. őszi félév Tartalom Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 1 Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 2 Vágás
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenTartalom. Hajder Levente 2016/2017. I. félév
Tartalom Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. I. félév 1 Tartalom Motiváció 2 Grafikus szerelőszalag Modellezési transzformácó Nézeti transzformácó
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenÜtközések. Szécsi László
Ütközések Szécsi László Merev testek egymásra hatása két probléma hatnak-e egymásra? összeérnek, ütköznek ütközés-vizsgálat mi a hatás eredménye? erőhatás vagy direkt állapotváltozás ütközés-válasz először
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Hajder Levente 2018/2019. I. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. I. félév Emlékeztető Múlt órán megismerkedtünk a sugárkövetéssel Előnyei: A színtér benépesítésére minden használható,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenHajder Levente 2016/2017.
Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. Tartalom 1 Tartalom Motiváció 2 Grafikus szerelőszalag Áttekintés Modellezési transzformácó Nézeti
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebben2012.11.27. Maga a tématerület így nagyon nagy. A fények pontos fizikai szimulációja kimondottan számításigényes
Fények a számítógépes grafikában Dr. Mileff Péter A fények és árnyékok területe különösen frekventált terület a számítógépes vizualizációban. Az utóbbi években ez tovább fokozódott Oka a hardver folyamatos
RészletesebbenA gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenKoordináta-geometria alapozó feladatok
Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenKoordináta-geometria. Fogalom. Jelölés. Tulajdonságok, definíciók
Koordináta-geometria Fogalom Ezen a helyen találkozik össze a számtan és a mértan. Körök, egyenesek, háromszögek és más egyéb alakzatok, de nem szerkesztenünk kell, vagy méricskélni, hanem számolni, viszont
Részletesebben3D koordináta-rendszerek
3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x,
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenPanorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenSugárkövetési algoritmusok (2. rész)
Sugárkövetési algoritmusok (2. rész) Ismét jelentkezik a sugarak szerelmeseinek szóló cikkünk, melyben tovább folytatjuk a fények birodalmában megkezdett utazásunkat. A fénysugarak rekurzív követésével
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Virtuális világ tárolása 1 Virtuális világ tárolása 2 3 4 Virtuális világ
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenSíklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal
Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú
Részletesebben6Előadás 6. Fénytörés közeghatáron
6Előadás 6. Fénytörés közeghatáron Fénytörés esetén a Snellius-Descartes törvény adja meg a beeső- ésa megtört sugár közti összefüggést, mely a következő: sinα n = 2 sin β n 1 Ahol α és β a beesési ill.
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
Részletesebben2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.
1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenOTKA Nyilvántartási szám: T ZÁRÓJELENTÉS
OTKA Nyilvántartási szám: T042735 ZÁRÓJELENTÉS Témavezető neve: dr. Szirmay-Kalos László. A téma címe: Interaktív globális illumináció A kutatás időtartama: 4 év A kutatási tervnek megfelelően az interaktív
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenSDL_Universe SDL, C++, 3D szoftver renderelő
SDL_Universe SDL, C++, 3D szoftver renderelő Boros László, harmadéves mérnökinformatikus I C what you did last summer Programozói Konferencia 2014 iamsemmu@gmail.com http://progkonf.eet.bme.hu SDL_Universe
RészletesebbenInformáció megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter
Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése
RészletesebbenA Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek
TRANSZFORMÁCIÓ A Föld alakja -A föld alakja: geoid (az a felület, amelyen a nehézségi gyorsulás értéke állandó) szabálytalan alak, kezelése nehéz -A geoidot ellipszoiddal közelítjük -A földfelszíni pontokat
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenOPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS
OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.
RészletesebbenSZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Felületmegjelenítés
Felületmegjelenítés Megjelenítés paramétervonalakkal Drótvázas megjelenítés Megjelenítés takarással Triviális hátsólap eldobás A z-puffer algoritmus Megvilágítás és árnyalás Megjelenítés paramétervonalakkal
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMi a pont és a vektor? Milyen műveleteket végezhetünk el a pontokon és vektorokon? Pont: Vektor: Műveletek:
Mi a pont és a vektor? Milyen műveleteket végezhetünk el a pontokon és vektorokon? Pont: a(z euklideszi) tér egy eleme, amelynek semmiféle kiterjedése sincs. Vektor: geometriailag egy eltolás, aminek iránya
Részletesebben11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II.
11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II. A következőkben két különleges, gradiens törésmutatójú lencsével fogunk foglalkozni, az úgynevezett Luneburg-féle lencsékkel. Annak is két típusával: a Maxwell-féle
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenKRISTÁLYOK GEOMETRIAI LEÍRÁSA
KRISTÁLYOK GEOMETRIAI LEÍRÁSA Kristály Bázis Pontrács Ideális Kristály: hosszútávúan rendezett hibamentes, végtelen szilárd test Kristály Bázis: a kristály legkisebb, ismétlœdœ atomcsoportja Rácspont:
Részletesebben