Sztochasztikus modellek feladatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sztochasztikus modellek feladatok"

Átírás

1 Sztochasztikus modellek feladatok 1. Valószínűségi változók és vektorváltozók; feltételes eloszlás és feltételes várható érték Diszkrét és folytonos valószínűségi változók, feltételes eloszlás 1. Feldobunk hat szabályos dobókockát, egy piros színűt és öt feketét. Határozzuk meg a kapott értékek maximumának eloszlását, várható értékét és szórását. Mi a legnagyobb dobás várható értéke és szórása, ha tudjuk, hogy a maximum nagyobb, mint kettő? Mennyi a várható érték akkor, ha azt tudjuk, hogy a piros kockával hármast kaptunk? 2. Három hörcsög él egy terráriumban, és egymástól függetlenül az időnek rendre felében, harmadában, illetve negyedében alszanak. Legyen X az ébren lévő hörcsögök száma egy véletlen időpontban. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását. Mi X eloszlása, várható értéke és szórása, ha tudjuk, hogy az adott időpontban nem mindegyik hörcsög alszik? Mennyi a várható érték akkor, ha azt tudjuk, hogy a legtöbbet alvó hörcsög ébren van? 3. Anna és Béla ugyanott dolgozik, és egymástól függetlenül 4 és fél 5 között véletlen időpontokban végeznek a munkájukkal. Megbeszélik, hogy munka után megvárják egymást. a. Mi a valószínűsége, hogy Anna végez korábban? Várhatóan mennyit kell várakoznia a korábban végzőnek? Mennyi annak az esélye, hogy a várakozási idő legalább 10 perc, de kevesebb, mint 20 perc? b. Válaszoljunk az előző pont kérdéseire azzal a módosítással, hogy tudjuk, Anna negyed 5-ig befejezte a munkát. 4. Véletlenszerűen választunk egy pontot egy 10 egység sugarú kör belsejében. Legyen X a pontnak a körvonaltól vett távolsága. a. Adjuk meg X eloszlásfüggényét és várható értékét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pont és a körvonal távolsága nagyobb, mint 8 egység? b. Tegyük fel, hogy a kiválasztott pont a középpontól legfeljebb 5 egységnyire esik. Oldjuk meg az előző feladatrészt ezzel a módosítással. Nevezetes eloszlások 5. a. Öt focista tizenegyest rúg. Feltehető, hogy a játékosok egymástól függetlenül rendre 0,8 valószínűséggel értékesítik a büntetőt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem mindenki rúgja be? Várhatóan hány gól születik? Mennyi a gólok számának várható értéke akkor, ha tudjuk, hogy volt gól, de nem mindenki rúgta be. b. Módosítsuk úgy a feladatot, hogy az öt focista rendre 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 és 0,9 valószínűséggel talál be. A rúgások továbbra is függetlenek. Mi a gólok számának várható értéke és szórása ebbben az esetben? 1

2 6. Reggelente villamossal járok a munkahelyemre, és egy-egy utazás során 5 százalék valószínűséggel jelennek meg ellenőrök. a. Várhatóan hanyadik utazás alkalmával futok össze először az ellenőrökkel? Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első 10 utazás során nem találkozok velük? Ha az első 10 utazás során nem találkoztam velük, akkor várhatóan hanyadik utazás során jelennek meg először? b. Egy vonaljegy 270 forintba kerül, a helyszíni bírság 6000 forint. Átlagosan minden hagyadik utazás alkalmával futok össze ellenőrökkel? Megéri-e folyamatosan potyázni? Előfordulhat-e, hogy csak véges sokszor találkozok az ellenőrökkel, tehát egy idő után soha többé nem futok velük össze? 7. A kupongyűjtő problémája. Egy tejipari vállalat a gyümölcsjoghurtok fedőfóliájának belső oldalára négy mesehős, Micimackó, Malacka, Füles és Tigris figuráját nyomtatja. Kisgyerekes szülőként addig vagy kénytelen újabb és újabb joghurtot vásárolni, míg csemetéd össze nem gyűjti a teljes kollekciót. Mennyi a szükséges joghurtok számának várható értéke és szórása? 8. Egy műszaki berendezés 1000 alkatrészből áll, melyek egymástól függetlenül mennek tönkre. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy egy év alatt minden egyes komponens azonos eséllyel, mondjuk 1 százalék valószószínűséggel romlik el. Várhatóan mennyi alkatrész megy tönkre egy év alatt? Közelítőleg mennyi annak az esélye, hogy pontosan 5 komponens romlik el? 9. Egy 10 km hosszú elektromos vezeték elszakad egy véletlenszerű helyen. A szerelőbrigád az egyik végponttól indulva 5 km/h sebességgel elkezdi keresni a szakadási pontot. a. Mi a valószínűsége, hogy 20 percen belül megtalálják a szakadás helyét? Várhatóan mennyi idő alatt találják meg a hibát? b. Tegyük fel, hogy egy óra keresés után még mindig nincs meg a hiba helye. Várhatóan mennyi időre van még szükség? Mennyi annak az esélye, hogy ezután már 20 percen belül megtalálják a szakadási pontot? 10. A rádióaktív anyagok atomjainak élettartama pontosan exponenciális eloszlást követ. Az 57-es és a 60-as tömegszámú kobalt izotóp felezési ideje rendre 272 nap és 5,27 év. a. Mi a Co-60 atom élettartamának várható értéke? Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott atom nem bomlik le 5 év alatt? Feltéve, hogy nem bomlott le 5 év alatt, mennyi annak az esélye, hogy 10 év alatt sem bomlik le? b. Tegyük fel, hogy adott két Co-57 és három Co-60 atom. Mennyi annak az esélye, hogy legalább 1 évet kell várni az első bomlásig? Várhatóan mennyi idő múlva bomlik le az első atom? Mekkora valószínűséggel fog először egy Co-60 atom lebomlani? c. Legyen X egy Co-60 atom megkezdett életéveinek száma, tehát a teljes élettartam felfelé kerekítve. Adjuk meg X eloszlását. Valószínűségi vektorváltozók, korreláció 2

3 11. Adott egy urna, benne két cetli. Az egyik cetlin 0, a másikon 1 szerepel. Kétszer húzunk visszatevéssel, és legyen X a kapott értékek összege, Y pedig a kapott értékek szorzata. a. Adjuk meg X és Y együttes eloszlását és peremeloszlását. Független egymástól a két változó? Mennyi a változók várható értéke, szórása, valamint a korrelációs együttható értéke? Határozzuk meg az X + Y összeg várható értékét és szórását. b. Módosítsuk úgy az együttes eloszlást, hogy a peremeloszlások változatlanok maradjanak, de X és Y független legyen. Definiáljunk egy olyan kísérletet, melyben X és Y együttes eloszlása éppen ilyen lenne. c. Adjuk meg az X változó Y -ra vett feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. d. Tegyük fel, hogy elsőre 1-et húztunk. Adjuk meg X és Y várható értékét és korrelációját ezen háttérinformáció mellett. 12. Feldobok két szabályos dobókockát. Legyen X a kapott értékek minimuma, Y pedig a kapott értékek maximuma. Válaszoljunk az előző feladat kérdéseire ilyen felállásban. Átlagossan mennyivel nagyobb a nagyobb dobott érték a kisebbnél? 13. Adott két vállalati részvény a tőzsdén. Az I. értékpapírpapír jelenlegi árfolyama 10 ezer forint, a II. részvény darabját 20 ezer forintért lehet megvásárolni. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy egy év múlva az I. részvény lehetséges árfolyamai 8, 12 illetve 16 ezer forint, melyek valószínűsége rendre 0,3, 0,4 és 0,3. A II. értékpapírt egy év múlva 18, 22 vagy 26 ezer forintért lehet eladni, mely árak esélye 0,25, 0,5 illetve 0,25. a. Az értékpapírmatematikában a részvények hozamát az egységnyi összegű befektetésre eső várható nyereségével, míg az árfolyamkockázatot az egységnyi befektetésre jutó szórással értékelik. Legyen 10 ezer forint a pénzegységünk. Határozzuk meg ezeket a mutatószámokat a két részvény esetében. Melyikkel lehet többet kaszálni? Melyik a biztonságosabb? b. Tegyük fel, hogy a rendelkezésedre áll egymillió forint, és egy portfóliót állítasz össze a két értékpapírból. Mennyi lesz a portfólió várható hozama és kockázata, ha 50 darab I. részvényt vásárolsz? Mennyit veszel az egyes részvényekből akkor, ha maximalizálni akarod a várható nyereséget? Ekkor mennyi a portfólió kockázata? c. Válaszoljunk az előző pont kérdéseire azzal a változtatással, hogy a két értékpapír árfolyamának alakulása nem független egymástól, hanem az árfolyamok közötti korreláció 0,5. Mi a helyzet abban az esetben, ha a korrelációs együttható -0,5? Az eredményeket értelmezve milyen gyakorlati jelentéssel bírhat a részvények közötti korreláció? 14. A Tisza átlagos vízhozama Csongrádnál a Körös torkolat alatt 660 m 3 /s, a vízhozam szórása 200 m 3 /s. A Maros átlagos vízhozama Makónál 160 m 3 /s, a szórás 50 m 3 /s. Feltéve, hogy a két folyó vízhozama független, adjuk meg a Tisza vízhozamának várható értékét és szórását Szegeden a Belvárosi hídnál. Mennyi a várható érték és a szórás akkor, ha a két vízhozam közötti korreláció értéke 0,6? És akkor, ha a korrelációs együttható -0,4? Vajon a három lehetőség közül melyik áll legközelebb a valósághoz? Miért? A teljes várható érték tétele és a Wald azonosság 3

4 15. Adott 10 urna, melyek 1-től 10-ig vannak megszámozva, de kívülről egyformák. Az n. urnában n darab golyó található, melyeken 1-től n-ig szerepelnek az egész értékek. Véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát, majd abból kihúzunk egy golyót. Legyen X az urna sorszáma, Y pedig a golyón szereplő érték. a. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását, valamint a két változó várható értékét és korrelációs együtthatóját. b. Adjuk meg az Y változónak az X = 4 eseményre vett feltételes várható értékét. Melyik golyónak a legnagyobb az esélye, ha a negyedik urnából húztam. c. Várhatóan melyik urnát választottam, ha tudom, hogy a 6 számú golyót húztam ki. Melyik urnának a legnagyobb az esélye az Y = 6 feltétel mellett? 16. Pelikán József a Duna három gátszakaszát őrzi. Reggelente véletlenszerűen választ egy szakaszt, és azt járja be. Az első a kedvence, ezt az esetek felében választja, míg a másik kettőt azonos mértékben kedveli. Útjainak 10 százalékában szokott ürgét találni az első gátszakaszon, 28 illetve 18 százalékában a második, illetve a harmadik szakaszon. Feltehető, hogy az ürgék száma mindhárom gátszakaszon Poison eloszlást követ. Mennyi az esély annak, hogy egy adott napon nem talál ürgét? Legyen X egy véletlenszerűen választott napon talált ürgék száma. Adjuk meg X eloszlását és várható értékét. 17. Az egyik szegedi kiskocsma akkor zár, amikor elfogynak a vendégek. Ez az időpont hétfőn és vasárnap egyenletes eloszlású hajnali 1 és 2 óra között; kedden, szerdán és csütörtökön egyenletes eloszlású 1 és 3 óra között; végül pénteken és szombaton egyenletes eloszlású 2 és 4 óra között. a. Ha egy véletlenszerűen választott napon lemegyünk a kocsmába, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy fél 2 és fél 3 között zár be? Várhatóan hánykor fognak zárni? Adjuk meg a zárás időpontjának eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét. b. Válaszoljunk az a. pont kérdéseire azzal a módosítással, hogy tudjuk, az adott nap nem hétvégére esik. 18. A rádióaktív atomok élettartama exponenciális eloszlást követ. Egy bizonyos ásványfajtában kétféle kobalt izotóp található, az 5,27 év felezési idejű Co-60 és a 272 nap felezési idejű Co-57. Azt is tudjuk, hogy a 60-as tömegszámú változat négyszer gyakoribb, mint az 58-as tömegszámú. Véletlenszerűen kiemelünk egy kobalt atomot az ásványból. Adjuk meg a kiválasztott atom élettartamának eloszlásfüggvényét és várható értékét. Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott atom nem bomlik le 1 év alatt? Mennyi a kobalt atomoknak, (tehát a Co-60 és Co-57 keveréknek) a felezési ideje az ásványban? 19. a. Egy bizonyos típusú lakástűz után a keletkezett kár nagysága egyenletes eloszlást követ 0 és 10 millió forint között. Határozzuk meg a keletkezett kár eloszlásfüggvényét és várható értékét. Mennyi a kár várható értéke, ha tudjuk, hogy a kár nagysága legalább 500 ezer forint? b. Egy biztosítótársaság olyan biztosítási konstrukciót hírdet, hogy amennyiben a kár nagysága 500 ezer forint alatt marad, akkor is kifizetnek 500 forintot a károsultnak. Az 4

5 ennél nagyobb mértékű károkat a tényleges kárnagyság szerint térítik. Adjuk meg az egy tűzetesre jutó kifizetés eloszlásfüggvényét és várható értékét. c. A kárbejelentések 20 százalékáról a tűzoltóság jelentése alapján kiderül, hogy a tűz a biztosított felelőtlensége miatt keletkezett. Ezekben az esetekben a társaság nem téríti meg a kárt. Ezzel a módosítással átlagosan mekkora összeget fizet ki a biztosító egyegy tűzeset után? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a biztosító fizet, de egymillió forintnál kevesebbet? d. A biztosítótársasághoz egy hónap alatt beérkező bejelentések száma Poison eloszlást követ 20 várható értékkel. Várhatóan mekkora összegű kártérítést kell ezekre összesen kifizetni? 20. a. Egy repülőgépeken használt mérőberendezés élettartama exponenciális eloszlást követ 2 év várható értékkel. Meghibásodás esetén a műszert kicserélik. A szabályzat szerint a berendezést 3 év után akkor is le kell cserélni, ha addig hiba nélkül működött. A műszerek mekkora hányada bírja ki 3 évig? Adjuk meg a teljes élettartam és a szolgálatban töltött idő eloszlásfüggvényét és várható értékét. b. Egy légitársaság évente több ilyen berendezést is vásárol, de a műszerek 10 százaléka selejtes, nem működik. Ezekre a darabokra tekinthetünk úgy, hogy 0 az élettartamuk. Adjuk meg a teljes élettartam és a szolgálatban töltött idő eloszlásfüggvényét és várható értékét ezzel a módosítással. A megvásárolt berendezések hány százaléka működőképes, de megy tönkre 1 éven belül? 21. A kertünkben van egy körtefa, az évente termő gyümölcsök száma Poison eloszlást követ 30 várható értékkel. Egy-egy körte tömege normális eloszlású 200 grammos átlaggal és 20 grammos szórással. Átlagosan egy év alatt hány kiló körte terem a fán? 22. Egy adott napon 0,2 valószínűséggel nézek tévét, függetlenül attól, hogy milyen nap is van. Ha leülök a képernyő elé, akkor a tévézéssel töltött idő egyenletes eloszlást követ 1 óra és 3 óra között. Átlagosan hetente mennyi időt töltök a doboz bámulásával? 5

6 2. Diszkrét idejű Markov láncok Átmenetvalószínűségek, állapotok típusai és osztályai 1. Mennyi a kérdőjellel jelölt valószínűségek értéke az alábbi sztochasztikus mátrixban. Adjuk meg a kapcsolatos Markov lánc átmenetgráfját és a kommunikációs osztályokat. Határozzuk meg a lánc állapotainak típusát és periódusát. A folyamatnak van elnyelő állapota? a. P = 0, 2? , 5 0, 5? ? 0, , 7 0?? , b. P = 0 0? 0 0, 6 0, , 9? 0? , 7? 0, 3? Egyetlen 0/1 bitet továbbítunk átjászóadók sorozatán keresztül. A közvetítő csatorna természetesen zajos, így a jel minden egyes átjátszás alkalmával (kicsike valószínűséggel ugyan, de) megváltozik. A hiba valószínűsége függ attól, hogy milyen értéket küldtünk át a csatolnán, de attól nem, hogy a bit a korábbi továbbítások során megváltozott vagy nem. Annak valószínűsége, hogy egy 0 bit 1-esre vált p, míg annak az esélye, hogy egy 1-es bit romlik el q. (0 < p, q < 1) Legyen X n az n. állomáson fogott jel. a. Mutassuk meg, hogy X n Markov lánc, és adjuk meg az átmenetvalószínűségeket. b. Tegyük fel, hogy eredetileg egy 0 bitet küldtünk el, tehát X 0 = 0. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második, az ötödik és a hetedik állomáson is az eredeti jelet fogják. c. Ha eredetileg 0-t küldtünk el, akkor az ezredik állomáson közelítőleg mekkora eséllyel fognak 0-t illetve 1-est? Függ ez a valószínűség attól, hogy mi volt az eredeti jel? 3. Párunk (barátnőnk vagy barátunk) minden egyes napon lehet vidám, átlagos hangulatú vagy szomorú, és egy adott napon a hangulatát csak az előző napi hangulata befolyásolja. Ha ma vidám, akkor holnap rendre 0,4, 0,5 és 0,1 valószínűséggel lehet vidám, átlagos hangulatú vagy szomorú. Ha átlagos hangulata van, akkor a megfelelő valószínűségek 0,3, 0,4 és 0,3; ha pedig szomorú, akkor 0,1, 0,3 és 0,6. Tegyük fel továbbá, hogy ma hétfő van. a. Párunknak ma vidám a hangulata. Adjuk meg az alábbi események valószínűségét. Holnapután átlagos lesz a hangulata. Holnapután vidám vagy átlagos lesz a hangulata. Holnapután vidám lesz, pénteken szomorú, jövő hétfőn pedig átlagos hangulatú. Holnapután nem lesz vidám, pénteken nem lesz szomorú, jövő hét hétfőn pedig nem lesz átlagos hangulatú.. 6

7 b. Hogyan módosulnak a fenti valószínűségek, ha tudjuk, hogy ma vidám a hangulata, és emellett azt is tudjuk, hogy szombaton pocsék napja volt. c. Tegyük fel, hogy nem tudjuk, barátnőnknek (barátunknak) milyen a mai hangulata, viszont arra emlékszünk, hogy tegnapelőtt pocsék napja volt. Mennyi a fenti események valószínűsége ezen feltételek mellett? d. Adjuk meg a fenti valószínűségeket akkor, ha semmilyen információnk sincs párunk mai vagy közelmúltbeli hangulatáról, de azt tudjuk, hogy átlagosan a napoknak harmadában szokott vidám, szomorú, illetve átlagos hangulatú lenni. 4. a. Tegyük fel, hogy a holnapi időjárás csak a mai időjárástól függ. Ha ma esik az eső, akkor holnap 0,4 valószínűséggel fog ismét esni, míg ha ma nem esik, akkor holnap 0,2 valószínűséggel kapunk esőt. Modelezzük az időjárást Markov lánc segítségével, és írjuk fel az átmenetvalószínűségeket. Hosszú távon a napok mekkora hányadában fog esni? Átlagosan hány esős nap van egy évben. b. Tegyük fel, hogy egy nap időjárása nem csupán az előző nap, hanem az előző két nap időjárásától függ. Annak valószínűsége, hogy holnap esni fog 0,7, ha ma és tegnap is esett; 0,5, ha ma esett, de tegnap nem; 0,4, ha tegnap esett, de ma nem; végül 0,2, ha sem ma, sem tegnap nem esett. Modellezzük az időjárás alakulását Markov lánccal. Milyen gyakran fordul elő, hogy két esős nap követi egymást? Átlagosan hány esős nap van egy évben? 5. Egy dobókockát az előző mozgásoktól függetlenül diszktér időegységenként átfordítunk egy szomszédos lapjára. Írjuk le a folyamatot Markov lánc segítségével, adjuk meg az átmenetvalószínűségeket. Mennyi az állapotok periódusa? 6. Kedvenc focicsapatunk a korábbi fordulók eredményétől függetlenül egy-egy meccsen 0,2 valószínűséggel nem szerez gólt; 0,3 valószínűséggel 1 gólt; 0,2 valószínűségel 2 gólt; 0,2 valószínűséggel 3 gólt; végül 0,1 valószínűséggel 4 gólt szerez. (Arra még a legöregebb szurkolók sem emlékeznek, hogy a fiúk valaha is 4-nél többet vágtak volna, szóval ettől az esettől eltekinthetünk.) Legyen X n a rugott gólok számának maximuma n forduló után. Az X n sorozat Markov láncot alkot? Ha igen, akkor adjuk meg az átmenetvalószínűségeket, a kommunikációs osztályokat és az állapotok típusát. 7. Kovácsék naponta olvassák az újságot, majd a szoba egyik sarkában lévő kupac tetejére teszik a kiolvasott példányt. Esténként 1/3 valószínűséggel valamelyik családtag fogja az egész kupacot, és kidobja a szemétbe. Valahányszor 5 újság gyűlik fel a kupacban, Kovács úr azonnal kidobja az egész rakást. Tekintsük a reggelente a kupacban található újságok számát. a. Modellezhetjük Markov lánccal a folyamatot? Ha igen, akkor írjuk fel az átmenetvalószínűségeket és az átmenetgráfot. b. A napok mekkora hányadában fordul elő, hogy reggel nincs újság a sarokban? Hosszútávon átlagosan hány újság van a kupacban? c. Tegyük fel, hogy kezdetben nem volt újság a sarokban. Várhatóan mennyi idő múlva jön létre ismét ez az állapot? 7

8 8. Egy pók egy centiméteres terráriumban él, és ideje nagy részében a sarkokban ücsörög. Ezt a monotóniát csak akkor töri meg, amikor átfut egy másik sarokba, hogy ott is eltöltsön egy kis időt. Mindig valamelyik szomszédos sarokba fut, és annak valószínűsége, hogy melyiket választja, fordítottan arányos az elérési út hosszával. Jelölje X n a pók helyét az n. helyváltoztatás után. a. Bizonyítsuk be, hogy X n Markov-lánc, melynek négy állapota a terrárium négy sarka, írjuk fel az átmenetvalószínűségeket és ábrázoljuk az átmenetgráfot. b. A folyamat reducibilis? Periodikus? Ha igen, akkor adjuk meg a periódusát. Ha nem, akkor írjuk fel a limeszvalószínűségeket. c. Várhatóan hány futás után tér vissza abba a sarokba, ahonnan elindult? 9. A Bernoulli Laplace féle diffúziós modell. N piros és N fehér golyó van elhelyezve két urnában úgy, hogy mindkét urnába N golyó esik. Egy lépés abból áll, hogy az előző mozgatásoktól függetlenül kiveszünk egy-egy golyót a két urnából, és kicseréljük őket. Modellezük a kísérletet Markov lánccal. 10. Az Ehrenfest féle diffúziós modell. Adott N golyó, melyek két urnában vannak elhelyezve. Minden lépésben véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót, és áttesszük a másik urnába. Írjuk le a kísérletet Markov lánccal. 11. A véletlen bolyongás. Az egész számokon lépegetünk a következő szabályok szerint. A 0 pontból indulunk, és minden egyes alkalommal a korábbi lépésektől függetlenül p valószínűséggel egyet jobbra, 1 p valószínűséggel egyet balra lépünk. Legyen X n a pozíciónk az n. lépés után. a. Mutassuk meg, hogy X n Markov lánc, és ábrázoljuk az átmenetgráfot. b. Adjuk meg a folyamat kommunikációs osztályait. Milyen az állapotok típusa, mennyi a periódus? 12. Bolyongás a körön. Egy körön megjelöltünk 5 pontot, melyeket pozitív körüljárási irány szerint az 1, 2, 3, 4 és 5 számokkal jelöltünk. Egy katicabogár ezen öt pont között vándorol úgy, hogy mindig egy szomszédos pontra lép. p valószínűséggel pozitív, 1 p valószínűséggel negatív irányba mozdul el, függetlenül attól, hogy korábban már milyen pontokat látogatott meg. Jelölje X n a katica helyét az n. lépés után. Mutassuk meg, hogy X n Markov lánc, és adjuk meg az átmenetvalószínűségeket. Hosszútávon a katica az időnek mekkora hányadát tölti az egyes állapotokban? 13. A játékos csődje probléma. Péter és Pál egy szabálytalan pénzérmét dobál. Ha egy dobás során fejet kapnak, akkor Péter egy petákot fizet Pálnak, míg ha írást, akkor Pál fizet ugyanennyit Péternek. A játékot addig folytatják, míg valamelyiküknek el nem fogy a pénze. A játék elején Pálnak a, Péternek b petákja van, és a fej dobásának valószínűsége p. a. Legyen X n Pál pénze az n. érmedobás után. Mutassuk meg, hogy X n Markov lánc, ábrázoljuk az átmenetgráfot, határozzuk meg a kommunikációs osztályokat, adjuk meg az állapotok típusát. 8

9 b. Mekkora valószínűséggel nyeri el Péter ellenfele minden pénzét? Mekkora eséllyel fog csődbe jutni? Várhatóan mennyi ideig tart a játék? c. Oldjuk meg az a. és a b. pontot azzal a módosítással, hogy most Péternek végtelen sok pénze van. 14. Tegyük fel, hogy üzemünk naponta 2 darabot tud legyártani egy adott termékből, melyek egymástól függetlenül p < 1/2 valószínűséggel felelnek meg a szabványnak. Napi 1 terméket vásárolnak meg tőlünk, ezt este szállítjuk el. Ha többet termelünk, a felesleget el lehet raktározni. Amennyiben mindkét munkadarab selejtes, a raktárból is szállíthatunk, ha van tartalék termékünk. Jelölje X n az elraktározott mennyiséget az n. nap végén. a. Mik a folyamat lehetséges állapotai? Mutassuk meg, hogy X n Markov-lánc, írjuk fel az átmenetvalószínűségeket, és rajzoljuk fel az átmenetgráfot. b. Írjuk fel a Markov láncok stacionárius eloszlására vonatlozó egyenletrendszert, és behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy π j = (1 r)r j, r = p 2 /(1 p) 2 valószínűségeket. Érdemes észrevenni, hogy a határeloszlás geometriai. c. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy napon nem tudunk szállítani? d. Tegyük fel, hogy egy termék napi raktározási költsége a forint, és b forint kártérítést kell fizetnünk, ha egy napon nem tudunk szállítani. Mi a hosszútávú átlagos költség? Felhasználhatjuk, hogy n=0 nxn 1 = 1/(1 x) 2, ha x < 1. Differenciaegyenletek, a játékos csődje, elérési idők, elnyelési valószínűségek 15. A rendelkezésedre áll egy A 0 összeg, melyet havi kamatozású bankbetétben helyezel el. Emellett minden hónapban sikerül C összeget félretenned a fizetésedből, melyet szintén befizetsz erre a bankszámlára. Mennyi pénzed lesz 2 év múlva? 16. Egy állatpopulációban minden egyes évben elpusztul az egyedek p hányada, de az ivarérett egyedek q hányada életet ad egy-egy újszülöttnek. Az egyedek egy év alatt válnak ivaréretté, és a populációban kezdetben csak ivarérett állatok élnek, szám szerint A 0 darab. a. Írjunk fel egy differenciaegyenletet a felnőtt egyedek számának időbeli alakulására, és oldjuk is meg az egyenletet. b. Miben változna a megoldás, ha a fentieken túl minden évben d egyed csatlakozna kívülről a populációhoz? 17. a. A játékos csődje problémában legyen P (a, b), Q(a, b), valamint R(a, b) rendre annak a valószínűsége, hogy a játékos csődbe jut; a játékos elnyeri a bank minden pénzét; illetve a játék nem ér véget véges időben. Mutassuk meg, hogy P (a, b) = { 1 (q/p) a 1 (q/p) N, p 1 2, a N, p = 1 2, Q(a, b) = { 1 (p/q) b 1 (p/q) N, p 1 2, b N, p = 1 2, R(a, b) = 0. b. Lássuk be, hogy ha a banknak végtelen sok pénze van, akkor a fenti formulák { ( q ) a P (a, ) = 0, Q(a, ) = p, p > 1, { ( 2 1 q a 1, p 1, R(a, ) = p), p > 1, 2 0, p

10 c. Határozzuk meg, hogy várhatóan hány parti után ér véget a játék. 18. Tegyük fel, hogy összekuporgatunk 100 dollárt, és elmegyünk egy kaszinóba, melynek 100 dollár az alaptőkéje. A ruletten játszunk, és az a taktikánk, hogy mindig egy zsetont teszünk a pirosra színre, és ezáltal forgatásonként 18/37 és 19/37 valószínűséggel nyerünk illetve vesztünk egy zsetont. a. Mekkora valószínűséggel nyerjül el a kaszinó teljes tőkéjét, ha 10 dolláros zsetonokkal játszunk? Milyen valószínűséggel megyünk csődbe? Mi annak az esélye, hogy a játék sosem ér véget? b. Mi a helyzet akkor, ha nem 10, hanem 1 vagy 100 dolláros zsetonokkal játszunk? c. Térjünk vissza a 10 dolláros zsetonokhoz. Mekkora tőkét szedjünk össze, ha legalább 0,5 valószínűséggel meg akarjuk koppasztani a bankot? A kaszinó tőkéje továbbra is 100 dollár, tehát 10 zseton. d. Legalább hány zsetonnal kell elkezdenünk a játékot, ha az a célunk, hogy legalább 0,9 valószínűséggel bankot robbantsunk? A tőkénket növelve mekkora a maximálisan elérhető valószínűség? e. Mi a helyzet akkor, ha nekünk csak 10 zsetonunk van, a kaszinónak pedig korlátlan a költségvetése? 19. Tekintsük ismét a pókos feladatot. a. Egy adott sarokból indulva mennyi annak a valószínűsége, hogy a pók valaha eljut a szemközti sarokba? Ez várhatóan hány lépésben fog megtörténni? b. Tegyük fel, hogy ragasztót cseppentünk az egyik kiindulásival szomszédos sarokba, melybe a pók menthetetlenül beleragad. Válaszoljuk az előző kérdésekre ilyen feltételek mellett. 20. Tegyük fel, hogy az alábbi gráfon bolyongunk olyan módon, hogy minden egyes lépésben valamelyik szomszédos csúcsba ugrunk, és a lehetséges csúcsok közül egyforma valószínűséggel választunk. A B C D E a. Lássuk be, hogy a gráfon történő bolyongás Markov lánc. Írjuk fel az átmenetmátrixot, és adjuk meg az invariáns eloszlást, ha létezik. b. Hosszútávon az időnek mekkora hányadát töltjük az A csúcsban? Ha az A-ból indultunk, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy valaha visszatérünk? Várhatóan hány lépés után térünk vissza először? 10

11 c. Ha az A-ból indulunk, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy valaha eljutunk B-be? Várhatóan hanyadik lépésben fog ez először megtörténni? d. Ha az A csúcsból indulunk, akkor mennyi annak az esélye, hogy hamarabb jutunk el B-be, mint C-be? Mennyi annak a valószínűsége, hogy hamarabb jutunk el C-be, mint visszajutnánk A-ba? e. Ha az A csúcsból indulunk, akkor várhatóan hányszor térünk vissza, mielött elérnénk a C-t? Várhatóan hányszor látogatjuk meg B-t, mielőtt eljutnánk C-be? f. Ha az A csúcsból indulunk, akkor várhatóan hányszor látogatjuk meg B-t, mielőtt visszajutnánk A-ba? Generátorfüggvények, elágazó folyamatok, a kihalási tétel 21. Írjuk fel a binomiális, a Poisson és a geometriai eloszlás generátorfüggvényét. Határozzuk meg az eloszlások várható értékét és szórását a generátorfüggvény segítségével. 22. A mocsári nyehőce életében legfeljebb 2 utódnak ad életet, és azonosan 0,4 annak a valószínűsége, hogy pontosan 1 illetve pontosan 2 utód születik. Tegyük fel, hogy betelepítünk egy példányt az újszegedi ligetbe. a. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a betelepített egyednek nem lesz utóda? Adjuk meg a szaporodás generátorfüggvényét és várható értékét. b. Mekkora valószínűséggel fog kipusztulni a populáció? Várhatóan hány egyed lesz az n. generációban? Mekkora az n. generáció méretének szórása? Mi az első és második generáció létszámának eloszlása? c. Hány egyedet kell betelepíteni, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb 0,5 eséllyel pusztuljon ki a faj? És ha 0,2 alá akarjuk leszorítani ezt a valószínűséget? Adjuk meg az n. generáció méretének várható értékét. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a telepített egyedek közül pontosan 2 utódai halnak ki, a többi ág pedig sosem pusztul ki? d. Elérhetjük azt, hogy a populáció 1 valószínűséggel fennmaradjon? 23. a. Válaszoljunk a előző feladat kérdéseire olyan feltételekkel, hogy az 1 illetve 2 utód valószínűsége azonosan 0,3. Várhatóan hány egyed fog megszületni a populáció teljes kipusztulásáig? b. Válaszoljunk az előző feladat kérdéseire olyan feltételekkel, hogy az 1 illetve 2 utód valószínűsége 0,5 és 0, Mindenki ismeri a küldd tovább ezt az t tíz barátodnak, különben... típusú leveleket. Az felhasználók körülbelül 15 százaléka továbbítja az ilyen leveleket. a. Mekkora valószínűséggel fog véges időben véget érni a lánc, ha elküldünk egy ilyen t egy általunk ismeretlen címre? Várhatóan hány levelet küldenek tovább a lánc n. generációjában? (Legyen az X n változó az n. generáció mérete, és használjuk fel, hogy ) b. Hogyan változik a megoldás, ha eredetileg 3 címre küldjük el a levelünket? c. Hogyan változik a megoldás, ha a szöveget úgy módosítjuk, hogy 5 címre kell továbbküldeni az eket? Várhatóan mennyi lesz az összesen elküldött levelek száma? 11

12 25. Egy számítógépes vírus elektronikus levelek segítségével terjed. Amennyiben megfertőz egy számítógépet, ellenőrzi a felhasználó levelezési listáját, és a következő egész órában továbbküldi magát a talált címekre Ezután a vírus javíthatatlanul tönkreteszi a gép hardverét. (Igen, ilyen egyszerűen, mint az amerikai filmekben. Ugye mindenki emlékszik a Függetlenség napja című mozira?) A modellünkben a számítógépeken található címek száma Poisson eloszlást követ, melynek 2 az átlaga. (Tegyük fel, hogy a földön végtelen sok megfertőzhető gép van.) a. Mekkora valószínűséggel fog a vírus világméretű járványt okozni, ha a vírus írója éjfélkor egyetlen gépet fertőz meg? (Használjuk fel, hogy e 1,6 0.2.) Várhatóan hány gép fertőződik meg az n. órában? Hány gép kapja meg a vírust az n. órával bezárólag? Hány óra alatt éri el a megfertőzött gépek számának várható értéke az egymilliárdot? b. Hány gépről kell elindítani a járványt, ha a vírus írója 24 óra alatt akar egymilliárd gépet megfertőzni? Ebben az esetben mekkora valószínűséggel fog a vírus magától eltűnni? c. Elkerülendő a modern társadalom összeomlását a nagy szoftvercégek és a CIA legjobb szakemberei kifejlesztenek egy programot, mely megakadályozza a fertőzést. A világ számítógépeinek hány százalékára kell ezt feltelepíteni, ha azt szeretnénk, hogy a járvány véges sok generáció után véget érjen? Mennyi ekkor a fertőzött számítógépek várható száma? A gépek hány százalékára kell feltelepíteni a védő programot, ha azt szeretnénk, hogy várhatóan 1000 gépnél kevesebb betegedjen meg? 12

13 3. Felújítási folyamatok, sorbanállási modellek, folytonos idejű Markov láncok 4. Megbízhatóságelmélet 13

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Markov modellek 2015.03.19.

Markov modellek 2015.03.19. Markov modellek 2015.03.19. Markov-láncok Markov-tulajdonság: egy folyamat korábbi állapotai a későbbiekre csak a jelen állapoton keresztül gyakorolnak befolyást. Semmi, ami a múltban történt, nem ad előrejelzést

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény Kevei Péter, Körmendi Kristóf, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 203. május 4. . Megállási id és ltráció..

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

10. Exponenciális rendszerek

10. Exponenciális rendszerek 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

1. Lineáris differenciaegyenletek

1. Lineáris differenciaegyenletek Lineáris differenciaegyenletek Tekintsük az alábbi egyenletet: f(n) af(n ) + bf(n + ), (K < n < N) f(k) d, f(n) d Keressük a megoldást f(n) α n alakban Így kajuk a következőket: α n aα n + bα n+ α a +

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 10Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Nevezetes diszkre t eloszlá sok

Nevezetes diszkre t eloszlá sok Nevezetes diszkre t eloszlá sok Szűk elméleti összefoglaló Binomiális eloszlás: Jelölés: X~B(n, p) vagy X B(n, p) Tipikus használata: Egy kétféle kimenetelű (valami beteljesül vagy sem) kísérletet elvégzünk

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

I. RÉSZ. 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad az A(5;-3) és B(7;4) pontokon!

I. RÉSZ. 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad az A(5;-3) és B(7;4) pontokon! Név: Osztály: Próba érettségi feladatsor 2013 április 16 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Vállalati pénzügyek II. Részvények. Váradi Kata

Vállalati pénzügyek II. Részvények. Váradi Kata Vállalati pénzügyek II. Részvények Váradi Kata Járadékok - Ismétlés Rendszeresen időközönként ismétlődő, azonos nagyságú vagy matematikai szabályossággal változó pénzáramlások sorozata. Örökjáradék Növekvő

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Pénzügy menedzsment. Hosszú távú pénzügyi tervezés

Pénzügy menedzsment. Hosszú távú pénzügyi tervezés Pénzügy menedzsment Hosszú távú pénzügyi tervezés Egy vállalat egyszerűsített mérlege és eredménykimutatása 2007-ben és 2008-ban a következőképpen alakult: Egyszerűsített eredménykimutatás (2008) Értékesítés

Részletesebben

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra

Részletesebben

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint)

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Klasszikus valószínűség 1. Véletlenszerűen felírunk egy hatjegyű számot a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával, melyekben minden számjegy csak egyszer

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Modern vállalati pénzügyek tárgyból az alap levelező képzés Gazdasági agrármérnök V. évf. Pénzügy-számvitel

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

A II. fejezet feladatai

A II. fejezet feladatai A II. fejezet feladatai Kulcsszavak : valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét eloszlás, sűrűségfüggvény, nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, valószínűségi változók transzformációja, várható

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY 5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Kombinatorika A A B C A C A C B

Kombinatorika A A B C A C A C B . Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Érettségi feladatok: Szöveges feladatok

Érettségi feladatok: Szöveges feladatok Érettségi feladatok: Szöveges feladatok 2005. május 10. 17. Anna és Zsuzsi is szeretné megvenni az újságosnál az egyik magazint, de egyik lánynak sincs elegendő pénze. Anna pénzéből hiányzik a magazin

Részletesebben

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium F Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc a feladat sorszáma maximális elért összesen II./A rész 13. 12 14. 12 15. 12 II./B rész 17 17 m nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális elért I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész a 100 dátum

Részletesebben

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E!

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E! Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 20 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 12 nem fehér,

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben