Matematika II. Nagy Ábris. 2015/2016. II. félév. Debreceni Egyetem. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71

Átírás

1 Matematika II. Nagy Ábris Debreceni Egyetem 2015/2016. II. félév Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71

2 Hasznos információk honlap: math.unideb.hu/nagy-abris/oktatas.html Segédanyagok Lajkó Károly Kalkulus I.-II. Kalkulus I.-II. példatár Analízis I.-II.-III. Iroda: M304 Matematikai Intézet (H 9-10, Sz 13-14) Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 2 / 71

3 Vektorterek Legyen adott egy K számtest (pl. R) valamint egy V halmaz ellátva egy összeadásnak nevezett +: V V V kétváltozós művelettel, továbbá adott egy skalárral való szorzásnak nevezett : K V V leképezés. Ekkor V -t K feletti vektortérnek nevezzük, ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok: (A1) az összeadás asszociatív: bármely v, w, u V esetén v + (w + u) = (v + w) + u (A2) létezik 0 V zéruselem, amelyre tetszőleges v V esetén 0 + v = v + 0 = v (A3) bármely v V esetén létezik v V ellentett, amelyre v + ( v) = ( v) + v = 0 (A4) az összeadás kommutatív: bármely v, w V esetén v + w = w + v Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 3 / 71

4 Vektorterek (M1) bármely v, w V és λ K esetén λ(v + w) = λv + λw (M2) bármely v V és λ, µ K esetén (λ + µ)v = λv + µv (M3) bármely v V és λ, µ K esetén (λµ)v = λ(µv) = µ(λv) (M4) bármely v V esetén 1v = v Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 4 / 71

5 Vektorterek A V halmaz elemeit vektoroknak nevezzük és gyakran aláhúzott latin betűkkel jelöljük (pl. v, w). A K halmaz elemeit skalároknak nevezzük és gyakran görög betűkkel jelöljük (pl. λ, µ). Ha K = R, akkor valós vektortérről, ha K = C, akkor komplex vektortérről beszélünk. A vektortér definíciójában szereplő skalárral való szorzás nem összekeverendő a skaláris szorzással, amely egy másfajta művelet. A skalárral való szorzás végeredménye egy vektor, a skaláris szorzásé egy szám. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 5 / 71

6 Vektorterek A v 1, v 2,..., v n V vektorokat lineárisan függőnek nevezzük, ha valamelyik kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, azaz pl. v n = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n 1 v n 1 teljesül valamely λ 1, λ 2,..., λ n 1 K skalárokkal. Ha a vektorok nem lineárisan függők, akkor lineárisan függetlennek nevezzük ezeket. Azt mondjuk, hogy a v 1, v 2,..., v n V vektorok a V vektortér generátorrendszerét alkotják, ha bármely w V vektor kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan λ 1, λ 2,..., λ n K skalárok, amelyekkel w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 6 / 71

7 Vektorterek Egy lineárisan független vektorokból álló generátorrendszert a V vektortér bázisának nevezünk. Tétel Egy végesen generált V vektortér bármely két bázisának számossága megegyezik. Egy végesen generált V vektortér bázisainak közös számosságát a vektortér dimenziójának nevezzük. Tehát egy V vektorteret n-dimenziósnak nevezünk, ha V bármely bázisa n darab vektorból áll. A továbbiakban egy vektortér bázisának megadásakor rögzítjük a vektorok sorrendjét is. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 7 / 71

8 Vektorterek - Példák 1. a valós szám n-esek halmaza R n vektortér az alábbi műveletekkel: Ha x = (x 1, x 2,..., x n ) R n és y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, λ R, akkor legyen x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), valamint λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ). R n természetes bázisa (e 1, e 2,..., e n ), ahol e i i-edik eleme 1, a többi 0. Tehát e 1 = (1, 0, 0,..., 0, 0) e 2 = (0, 1, 0,..., 0, 0). e n = (0, 0, 0,..., 0, 1) Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 8 / 71

9 Vektorterek - Példák 2. Az összes m n-es K elemű mátrixok halmaza M m n (K) a mátrixok összeadásával és skalárral való szorzásával K feletti vektorteret alkot. Azok az m n-es mátrixok, amelyeknek egyetlen eleme 1 a többi 0 egy bázist alkotnak, így M m n (K) dimenziója n m. 3. A legfeljebb n-edfokú K együtthatós polinomok halmaza K n [x] a polinomok összeadásával és skalárral való szorzásával K fölötti vektortér. Ebben egy bázis: Tehát P n [x] dimenziója n , x, x 2, x 3,..., x n Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 9 / 71

10 Vektorterek - Példák 4. Az összes K együtthatós polinomok halmaza K[x] a polinomok összeadásával és skalárral való szorzásával K fölötti vektortér. Ez a vektortér nem végesen generált. 5. A valós számok halmaza R vektortér Q fölött a valós számok összeadásával és szorzásával. Ez a vektortér nem végesen generált. 6. Az [a, b] intervallumon értelmezett folytonos valós függvények halmaza C[a, b] valós vektortér a függvények pontonkénti összeadásával és szorzásával. Ez a vektortér nem végesen generált. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 10 / 71

11 Vektorterek Állítás Ha a (v 1, v 2,..., v n ) vektorok a V vektortér egy bázisát alkotják, akkor bármely w V esetén egyértelműen léteznek olyan λ 1, λ 2,..., λ n K skalárok, amelyekkel w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. Ha a (v 1, v 2,..., v n ) egy bázis a V vektortérben és w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n akkor a fenti (egyértelműen meghatározott) együtthatókat a w vektornak a (v 1, v 2,..., v n ) bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 11 / 71

12 Vektorterek Egy V vektortér nem üres L részhalmazát (lineáris) altérnek nevezzük, ha L szintén vektortér a V -n adott műveletekkel. Altérkritérium A V vektortér nem üres L részhalmaza pontosan akkor altér, ha 1 minden v, w L esetén v w L, 2 minden v L és λ K esetén λv L. Egy altérnek mindig eleme 0 a nullvektor. Minden V vektortérnek altere önmaga és a nullvektorból álló egyelemű halmaz. Ezeket triviális altereknek nevezzük. A nullvektorból álló egyelemű halmaz egy 0 dimenziós altér. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 12 / 71

13 Vektorterek A V vektortér egy nem üres H részhalmaza által generált altér L(H), az a legszűkebb altere V -nek, amely tartalmazza H-t. (L(H) másik jelölése span(h)) Tehát L(H) az összes V -beli H-t tartalmazó altér metszete. Állítás L(H) éppen a H-beli vektorokból képzett összes lineáris kombinációk halmaza: L(H) = { λ 1 h 1 + λ 2 h λ n h n λi K, h i H, n N } n db vektor által generált altér legfeljebb n-dimenziós és pontosan akkor n-dimenziós, ha a vektorok lineárisan függetlenek. 1 vektor által generált altér a vektor skalárszorosaiból álló egyenes. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 13 / 71

14 Lineáris leképezések Ha V és W K feletti vektorterek, akkor egy f : V W leképezést lineárisnak nevezünk, amennyiben teljesül az alábbi két tulajdonság 1 tetszőleges v, w V esetén f (v + w) = f (v) + f (w), 2 tetszőleges v V és λ K esetén f (λv) = λf (v). Megj.: Bármely f : V W lineáris leképezés esetén f (0) = 0, hiszen f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) Lineáris leképezések 1. alaptétele Legyen (v 1, v 2,..., v n ) bázis a V vektortérben. Ha f, g : V W lineáris leképezések és f (v i ) = g(v i ) (i = 1, 2,..., n), akkor tetszőleges v V esetén f (v) = g(v). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 14 / 71

15 Lineáris leképezések Lineáris leképezések 2. alaptétele Legyen (v 1, v 2,..., v n ) bázis a V vektortérben. Tetszőleges w 1, w 2,..., w n W vektorok esetén pontosan egy olyan f : V W lineáris leképezés létezik, amelyre f (v i ) = w i (i = 1, 2,..., n). Egy f : V W lineáris leképezést izomorfizmusnak nevezünk, ha bijektív (azaz kölcsönösen egyértelmű). A V és W vektortereket izomorfnak nevezzük, ha létezik köztük f : V W izomorfizmus. Tétel A V és W végesen generált K feletti vektorterek pontosan akkor izomorfak, ha dim V = dim W. Minden n-dimenziós valós vektortér izomorf R n -nel. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 15 / 71

16 Lineáris leképezések Legyen (v) = (v 1, v 2,..., v n ) egy bázis a V vektortérben és (w) = (w 1, w 2,..., w m ) egy bázis a W vektortérben. Az f : V W lineáris leképezés mátrixának nevezzük a (v) (w) bázispárra vonatkozóan azt az A M m n mátrixot, amelynek i-edik sorának j-edik oszlopának a ij eleme adja az f (v j ) vektor i-edik koordinátáját a (w) bázisra vonatkozóan. Tehát f (v j ) = m a ij w i = a 1j w 1 + a 2j w a mj w m. i=1 Ha egy v V vektor koordináta oszlopa a (v) bázisra vonatkozóan X, az f (v) W koordináta oszlopa a (w) bázisra vonatkozóan Y, akkor AX = Y. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 16 / 71

17 Lineáris leképezések Egy f : V W lineáris leképezés képtere az f értékkészlete f (V ) = { f (v) } v V W, nulltere pedig azon vektorok halmaza, amelyek képe a nullvektor ker f = { v V f (v) = 0 } V. A nulltér szokásos elnevezései még: kernel, mag. Állítás 1 Egy f : V W lineáris leképezés képtere altér W -ben és nulltere altér V -ben. 2 Egy f : V W lineáris leképezés pontosan akkor injektív, ha ker f = {0} Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 17 / 71

18 Lineáris leképezések Tétel Ha V és W végesen generált vektorterek, f : V W lineáris leképezés, akkor dim ker f + dim f (V ) = dim V. Egy f : V W lineáris leképezés rangjának nevezzük a képterének dimenzióját. Egy lineáris leképezés rangja megegyezik tetszőleges bázisra vonatkozó mátrixának rangjával. Egy f : V V alakú lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezünk. A fenti tétel szerint egy lineáris transzformáció pontosan akkor injektív, ha szürjektív. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 18 / 71

19 Lineáris transzformációk Ha adott egy (v) = (v 1, v 2,..., v n ) bázis a V vektortérben, akkor egy f : V V lineáris transzformáció mátrixa a (v) bázisra vonatkozóan ugyanaz, mint az f -nek, mint lineáris leképezésnek a mátrixa, ahol a V vektortér mindkét példányán ugyanazt a (v) bázist tekintjük. Legyen (v) = (v 1, v 2,..., v n ) és (w) = (w 1, w 2,..., w n ) két bázis a V vektortérben. A (v) (w) bázistranszformáció mátrixa annak az f : V V lin. transzformációnak a (v) bázisra vonatkozó mátrixa, amelyre f (v i ) = w i minden i = 1, 2,..., n esetén. Ha valamely v V vektor koordináta oszlopa a (v) bázisra vonatkozóan X, a (w) bázisra vonatkozóan Y, a (v) (w) bázistranszformáció mátrixa pedig S, akkor S 1 X = Y. Az S 1 mátrix a koordinátatranszformáció mátrixa. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 19 / 71

20 Lineáris transzformációk Tétel Legyen (v) = (v 1, v 2,..., v n ) és (w) = (w 1, w 2,..., w n ) két bázis a V vektortérben, továbbá S a a (v) (w) bázistranszformáció mátrixa. Ha egy f : V V lin. transzformáció mátrixa a (v) bázisra vonatkozóan A, a (w) bázisra vonatkozóan B, akkor B = S 1 AS. Két A, B M n n négyzetes mátrixot hasonlónak nevezünk, ha létezik olyan S M n n invertálható mátrix, amelyre B = S 1 AS. Megj. Hasonló mátrixoknak megegyezik a rangja és a determinánsa. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 20 / 71

21 Lineáris transzformációk Ha f : V V lineáris transzformáció és valamely λ K skalárral, valamint v V, v 0 vektorral f (v) = λv, akkor λ-t az f sajátértékének, v-t pedig a λ sajátértékhez tartozó sajátvektornak nevezzük. Egy adott λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok a 0-val alteret alkotnak, amelyet a λ sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezünk: L λ = { v V f (v) = λv }. Egy λ sajátérték geometriai multiplicitásának nevezzük a hozzá tartozó L λ sajátaltér dimenzióját. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 21 / 71

22 Lineáris transzformációk Egy A M n n négyzetes mátrix karakterisztikus polinomja ahol E M n n az egységmátrix. p(x) = det(a xe) Egy f : V V lin. transzformáció karakterisztikus polinomjának nevezzük tetszőleges bázisra vonatkozó mátrixának karakterisztikus polinomját. Ez a definíció független a bázis megválasztásától, mivel hasonló mátrixok karakterisztikus polinomja megegyezik. Tétel λ K pontosan akkor sajátértéke az f : V V lin. transzformációnak, ha gyöke a karakterisztikus polinomjának. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 22 / 71

23 Lineáris transzformációk A λ sajátérték algebrai multiplicitásán azt értjük, hogy λ hányszoros gyöke a karakterisztikus polinomnak. Jel: multλ. Egy f : V V lin. transzformáció bármely λ sajátértéke esetén 1 dim L λ multλ Tétel Legyen adott egy f : V V lin. transzformáció. A V vektortérnek pontosan akkor létezik f sajátvektoraiból álló bázisa, ha az alábbi két tulajdonság teljesül: 1 f sajátértékeinek a száma multiplicitással együtt számolva megegyezik dim V -vel, 2 f bármely λ sajátértéke esetén multλ = dim L λ. A fenti feltételek teljesülnek, ha f -nek n = dim V számú páronként különböző sajátértéke van. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 23 / 71

24 Euklideszi vektorterek Egy valós V vektortéren adott kétváltozós valós értékű f : V V R függvényt skaláris szorzásnak (vagy belső szorzásnak) nevezünk, ha 1 szimmetrikus: f (v, w) = f (w, v) (v, w V ), 2 az első (és így mindkét) változójában lineáris: 3 pozitív definit: f (v 1 + v 2, w) = f (v 1, w) + f (v 2, w) (v 1, v 2, w V ) f (λv, w) = λf (v, w) (λ R, v, w V ) f (v, v) 0 (v V ) és f (v, v) = 0 v = 0 Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 24 / 71

25 Euklideszi vektorterek Egy V végesen generált valós vektorteret euklideszi vektortérnek nevezünk, ha adva van rajta egy f skaláris szorzás. Ha V komplex vektortér, akkor az f : V V C leképezést skaláris szorzásnak nevezünk, amennyiben az első változójában lineáris, pozitív definit és Hermite-szimmetrikus, azaz f (v, w) = f (w, v) (v, w V ), ahol a + bi = a bi az a + bi komplex szám konjugáltját jelöli. Egy V végesen generált komplex vektorteret unitér vektortérnek nevezünk, ha adva van rajta egy f skaláris szorzás. Rövidített jelölés: v, w := f (v, w). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 25 / 71

26 Euklideszi vektorterek Egy V euklideszi vektortér tetszőleges v V vektorának a normája (hossza) v = v, v (v V ). Ennek segítségével értelmezhető a vektorok távolsága: d(v, w) = v w (v, w V ). A V euklideszi vektortér metrikus tér ezzel a távolságfüggvénnyel. Példa: R n esetén, ha x = (x 1, x 2,..., x n ) R n és y = (y 1, y 2,..., y n ) R n tetszőleges elemek, akkor legyen n x, y = x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n R. i=1 Ezt nevezzük az R n téren adott természetes (vagy kanonikus) skaláris szorzásnak. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 26 / 71

27 Euklideszi vektorterek Az R n téren adott természetes skaláris szorzással egy x = (x 1, x 2,..., x n ) elem normája x = x1 2 + x x n 2 továbbá az x = (x 1, x 2,..., x n ) és y = (y 1, y 2,..., y n ) elemek távolsága d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Ezeket nevezzük az R n téren adott euklideszi normának illetve euklideszi távolságnak. Megj.: Az R n téren másfajta norma is megadható: p R, p 1 esetén legyen x p = ( x 1 p + x 2 p x n p) 1 p Ez p = 2 esetén az euklideszi norma. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 27 / 71

28 Euklideszi vektorterek Tétel (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz) Egy V euklideszi vektortér bármely két v, w V vektora esetén v, w 2 v 2 w 2. A fenti tétel szerint 1 v, w v w 1 Egy V euklideszi vektortér két v, w V vektora által bezárt szög az az α [0, π] szög, amelyre cos α = v, w v w. A skaláris szorzás linearitása miatt ez a definíció független a vektorok hosszától. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 28 / 71

29 Euklideszi vektorterek Egy V euklideszi vektortér két v, w V vektorát ortogonálisnak nevezzük, ha v, w = 0. Ez pontosan azt jelenti, hogy a két vektor merőleges egymásra. Egy v 1, v 2,..., v k V vektorrendszer ortonormált, ha páronként ortogonális egységnyi hosszúságú vektorokból áll. Az R n tér természetes bázisa otronormált bázis. Egy V euklideszi vektortér egy L alterének ortogonális komplementerén azon vektorok összességét értjük, amelyek ortogonálisak L minden vektorára. L = { v V v, w = 0 bármely w L esetén } Bármely L altér esetén teljesülnek a következők: L L = V, L L = {0}, ( L ) = L. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 29 / 71

30 Euklideszi vektorterek Gram-Schmidt ortogonalizálási eljárás Legyen v 1, v 2,..., v m V lineárisan független vektorrenszer a V euklideszi vektortérben. Képezzük a következő vektorokat: e k+1 := e 1 := v 1 v 1, v k+1 k i=1 v i, e i e i v k+1 k, (k = 1, 2,..., m). i=1 v i, e i e i Ekkor az e 1, e 2,..., e m vektorrendszer ortonormált és L (e 1, e 2,..., e k ) = L (v 1, v 2,..., v k ) azaz e 1,..., e k ugyanazt az alteret generálja, mint v 1,..., v k bármely k = 1, 2,..., m esetén. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 30 / 71

31 Euklideszi vektorterek Legyen e 1, e 2,..., e n V egy ortonormált bázis a V euklideszi vektortéren. Ekkor { 1 ha i = j, ei, e j = δij = 0 ha i j. Ha a v V vektor koordinátái erre a bázisar nézve (v 1, v 2,..., v n ), a w V vektor koordinátái pedig (w 1, w 2,..., w n ), akkor v, w = n v i w i = v 1 w 1 + v 2 w v n w n. i=1 Tétel Egy V végesen generált valós vektortér bármely v 1, v 2,..., v n bázisa esetén megadható olyan skaláris szorzás V -n, amelyre nézve v 1, v 2,..., v n ortonormált. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 31 / 71

32 Euklideszi vektorterek transzformációi Ha f és g olyan lineáris transzformációk a V vektortéren, amelyekre f (v), w = v, g(w) teljesül minden v, w V esetén, akkor g-t az f lineáris transzformáció adjungáltjának nevezzük. Jel: f. Bármely orotonormált bázis esetén f mátrixa az f mátrixának (konjugált) transzponáltja. Éppenezért egy A n n-es valós (komplex) mátrix adjungáltja A = A T. Valós esetben ez csak a mátrix transzponáltja. A V euklideszi vektortér f lineáris transzformációja önadjungált, ha f = f, ortogonális, ha f = f 1, normális, ha f f = f f. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 32 / 71

33 Önadjungált transzformációk Valós euklideszi vektortér esetén az önadjungált transzformációkat szimmetrikusnak is nevezzük, ugyanis ortonormált bázisra vonatkozó mátrixuk szimmetrikus, azaz A = A T. Állítás Önadjungált transzformációk karakterisztikus polinomjának gyökei valós számok. Következésképp a spektrum teljes. Állítás Önadjungált transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorai ortogonálisak. Tétel Ha f önadjungált transzformáció a V euklideszi vektortéren, akkor V -nek mindig létezik f sajátvektoraiból álló ortonormált bázisa. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 33 / 71

34 Ortogonális transzformációk Tétel Legyen f : V V lin. transzformáció a V euklideszi vektortéren. Ekkor a következő kijelentések ekvivalensek: 1 f ortgonális, 2 f megőrzi a skaláris szorzatot, azaz f (v) = f (w) = v, w (v, w V ), 3 f megőrzi a vektorok normáját, azaz f (v) = v (v, w V ), 4 f távolságtartó (más szóval izometria), 5 f bármely ortonormált bázist ortonormált bázisba képez. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 34 / 71

35 Ortogonális transzformációk Ortogonális transzformáció = lineáris izometria Egy ortogonális transzformáció minden sajátértéke +1 vagy 1. Tétel Egy n n-es mátrix pontosan akkor ortogonális, ha oszlopvektorai ortonormált bázist alkotnak R n természetes skaláris szorzására nézve. Ortogonális mátrixok determinánsa 1 abszolút értékű. Tétel Kétdimenziós euklideszi vektortér tetszőleges ortogonális transzformációja a következők valamelyike: identikus transzformáció, origó körüli forgatás, origóra illeszkedő egyenesre vonatkozó tengelyes tükrözés. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 35 / 71

36 R n topológiája Az R n euklideszi vektortér egy metrikus tér az euklideszi távolságfüggvénnyel: d(x, y) = x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Az x 0 R n pont körüli r-sugarú nyílt gömb B(x 0, r) = { x R n d(x, x 0 ) < r }, míg az x 0 R n pont körüli r-sugarú zárt gömb B(x 0, r) = { x R n d(x, x0 ) r }. Az x 0 R n középpontú r-sugarú nyílt gömbfelület S(x 0, r) = { x R n d(x, x 0 ) = r }. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 36 / 71

37 R n topológiája Legyen H R n. Azt mondjuk, hogy x H belső pontja H-nak, ha létezik 0 < ε valós szám, hogy B(x, ε) H, x R n külső pontja H-nak, ha belső pontja az R n \ H komplementer halmaznak, x R n határpontja H-nak, ha nem belső és nem külső pontja H-nak, azaz bármely 0 < ε esetén az B(x, ε) nyílt gömb egyaránt tartalmaz H-hoz tartozó és H-hoz nem tartozó pontokat. Egy H R n halmazt nyíltnak nevezünk, ha minden pontja belső pont, és zártnak nevezzük, ha R n \ H nyílt. Példa: A B(x, r) nyílt gömb nyílt halmaz, a B(x, r) zárt gömb zárt halmaz. A határpontok halmaza mindkét esetben az S(x, r) gömbfelület. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 37 / 71

38 R n topológiája R n és egyaránt nyílt és zárt halmazok, tetszőlegesen sok nyílt halmaz uniója nyílt, véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, tetszőlegesen sok zárt halmaz metszete zárt, véges sok zárt halmaz uniója zárt. Egy x R n pontot a H R n halmaz torlódási pontjának nevezünk, ha minden 0 < ε esetén a B(x, ε) gömb tartalmaz egy x-től különböző elemet a H halmazból. Egy x H pontot izolált pontnak nevezünk, ha nem torlódási pont. Állítás Egy H R n halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza minden határpontját. Továbbá H R n pontosan akkor zárt, ha tartalmazza minden torlódási pontját. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 38 / 71

39 R n topológiája A H R n halmaz belseje a belső pontjainak halmaza, ami nem más, mint int H = H 0 = { K K H és K nyílt }, lezártja pedig cl H = H = { K H K és K zárt }, ami nem más, mint a H halmaz elemeiből és a H halmaz torlódási pontjaiból álló halmaz. A H R n halmaz határa a határpontjainak halmaza. Jel: bd H. Egy H R n halmazt összefüggőnek nevezünk, ha nem lehet két nemüres, diszjunkt, nyílt halmaz uniójára bontani, azaz nem léteznek K 1, K 2 H nemüres, diszjunkt, nyílt halmazok, amelyekre H K 1 K 2. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 39 / 71

40 R n topológiája Egy H R n halmaz konvex, ha bármely két pontja összeköthető a halmazon belül futó egyenes szakasszal, poligoniálisan összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető a halmazon belül futó törött vonallal, ívszerűen összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető a halmazon belül futó folytonos görbével. konvex poligoniálisan összefüggő ívszerűen összefüggő összefüggő A fordított irányú következtetések általában nem igazak, de belátható, hogy ha egy nyílt halmaz összefüggő, akkor poligoniálisan összefüggő is. Összefüggő/konvex halmazok lezártja, illetve metszete szintén összefüggő/konvex. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 40 / 71

41 R n topológiája Egy H R n halmaz átmérője diam H = sup { d(x, y) x, y H }. A H R n halmazt korlátosnak nevezzük, ha diam H véges, ami pontosan akkor következik be, ha létezik olyan r R, amelyre az origó középpontú r sugarú gömb tartalmazza H-t. Tétel (Bolzano-Weierstrass) Bármely H R korlátos végtelen halmaznak létezik torlódási pontja. Tétel (Heine-Borel) Egy H R halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 41 / 71

42 Többváltozós függvények Legyenek n, m N. Egy f : R n R m függvény többváltozós, ha n 2, vektorértékű, ha m 2, valós értékű, ha m = 1, valós függvény, ha n = m = 1. A valós értékű függvényeket skalár függvényeknek, az f : R n R n típusú függvényeket vektormezőknek is szokás nevezni. Jelentse e i : R n R azt a függvényt, amely R n egy tetszőleges eleméhez hozzárendeli annak i-edik koordinátáját a természetes bázisra nézve: e i (x 1, x 2,..., x i,... x n ) = x i. Egy vektorértékű f függvény koordinátafüggvényei: azaz f i = e i f (i = 1, 2,..., m) f = (f 1, f 2,..., f m ). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 42 / 71

43 Vektorértékű sorozatok Egy a: N R n függvényt R n -beli sorozatnak nevezünk. Jel: (a k ). Azt mondjuk, hogy egy x R n vektor határértéke az (a k ) sorozatnak, ha minden 0 < ε valós szám esetén létezik k 0 N (küszöbindex), amelyre az teljesül, hogy ha k > k 0, akkor a k x < ε (azaz a k B(x, ε)). Egy (a k ) R n -beli sorozat pontosan akkor konvergens, ha minden koordinátasorozata konvergens és ekkor határértéke a koordinátasorozatok határértékeiből képzett vektor. Egy (a k ) R n -beli sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha bármely ε > 0 esetén létezik k o N (küszöbindex), amelyre ha k, l > k 0, akkor a k a l < ε. Tétel (R n teljessége) Egy (a k ) R n -beli sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 43 / 71

44 Többváltozós függvények határértéke Legyen f : H R n R m egy függvény és x 0 R n torlódási pontja H-nak. Az f függvény határértéke az x 0 pontban y R m, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0, hogy tetszőleges x B(x 0, δ) H esetén f (x) B(y, ε). Jelölés: lim x x 0 f (x) = y Pontosan akkor határértéke y = (y 1, y 2,..., y m ) R m az f = (f 1, f 2,..., f m ) függvénynek az x 0 pontban, ha lim f i (x) = y i, x x 0 (i = 1, 2,..., m). Tétel (átviteli elv) Az f : H R n R m függvénynek pontosan akkor határértéke y R m az x 0 R n pontban, ha bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ): N H \ {x 0 } sorozat esetén az (f (x n )) sorozat konvergens és határértéke y R m. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 44 / 71

45 Többváltozós függvények folytonossága Azt mondjuk, hogy f : H R n R m függvény folytonos az x H pontban, ha az x 0 -beli határértéke f (x). Továbbá f folytonos a H halmazon, ha H minden pontjában folytonos. Az f : H R n R m egyenletesen folytonos a H halmazon, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0, hogy ha x, y H és x y < δ, akkor f (x) f (y) < ε. Tétel (jeltartás) Ha az f : H R n R valós értékű függvény folytonos az x 0 H pontban és f (x 0 ) > 0, akkor létezik ε > 0, hogy tetszőleges x B(x 0, ε) esetén f (x) > 0. Hasonlóan ha f (x 0 ) < 0, akkor létezik ε > 0, hogy tetszőleges x B(x 0, ε) esetén f (x) < 0. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 45 / 71

46 Szélsőértékek Az f : H R n R m függvényt korlátosnak nevezzük, ha f (H) R m korlátos halmaz. Ha f valós értékű, akkor az f (H) R halmaz pontos alsó és felső korlátját az f függvény pontos alsó és felső korlátjának nevezzük a H halmazon. Ha az f : H R n R korlátos, valós értékű függvény esetén léteznek olyan x 1, x 2 H pontok, amelyekre f (x 1 ) = sup f (H), f (x 2 ) = inf f (H), akkor x 1 -et az f (globális) maximum helyének, x 2 -t az f (globális) minimum helyének nevezzük. Az x 1, x 2 H pontokat lokális maximum illetve lokális minimum helynek nevezzük, ha létezik ε > 0, amely esetén f (x 1 ) = sup f (H B(x 1, ε)), f (x 2 ) = inf f (H B(x 2, ε)). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 46 / 71

47 Differenciálszámítás Az f : H R n R m függvény i-edik változó szerinti parciális deriváltja az x = (x 1, x 2,..., x n ) H belső pontban f (x + te i ) f (x) i f (x) = lim = t 0 t f (x 1, x 2,..., x i + t,..., x n ) f (x 1, x 2,..., x n ) = lim, t 0 t amennyiben a fenti határérték létezik. Itt e i az R n tér természetes bázisának i-edik tagján jelöli. A parciális deriváltak egyéb jelölései: i f (x) = x i f (x) = D i f (x) = f xi (x) Ha az f függvény 2 vagy 3 dimenziós téren értelmezett, akkor az x 1, x 2, x 3 változókat jelölheti x, y, z és ekkor a parciális deriváltak x f = x f = D xf = f x, y f = y f = D yf = f y, Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 47 / 71 stb.

48 Differenciálszámítás Az f : H R n R m függvény v R n irány menti deriváltja az x H belső pontban f (x + tv) f (x) D v f (x) = lim, t 0 t amennyiben a fenti határérték létezik. Egy függvény parciális deriváltjai speciális irány menti deriváltak: i f (x) = D ei f (x). A szakirodalomban az iránymenti deriváltat gyakran csak egységvektorok esetén értelmezik, azaz megkövetelik, hogy a v irányvektor egységnyi hosszúságú legyen. Mi ezt a megszorítást nem alkalmazzuk! Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 48 / 71

49 Differenciálszámítás Egy f : H R n R m függvényt (totálisan) differenciálhatónak nevezünk az x 0 H belső pontban, ha létezik olyan A: R n R m lineáris leképezés, amelyre 0 = lim x x0 f (x) f (x 0 ) A(x x 0 ) x x 0 Ekkor az f (x 0 ) := A lineáris leképezést az f függvény x 0 -beli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Tétel Ha f : H R n R m differenciálható az x 0 H pontban, akkor az x 0 -beli differenciálhányados egyértelműen meghatározott, f folytonos x 0 -ban, f bármely v R n irány mentén differenciálható x 0 -ban és D v f (x 0 ) = f (x 0 )(v). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 49 / 71

50 Differenciálszámítás Ha f : H R n R m differenciálható az x 0 H pontban és f = (f 1, f 2,..., f m ), akkor f (x 0 ) természetes bázisra vonatkozó mátrixa 1 f 1 (x 0 ) 2 f 1 (x 0 ) n f 1 (x 0 ) 1 f 2 (x 0 ) 2 f 2 (x 0 ) n f 2 (x 0 )... M m n, 1 f m (x 0 ) 2 f m (x 0 ) n f m (x 0 ) azaz a mátrix j-edik oszlopába kerülnek a koordinátafüggvények j-edik változó szerinti parciális deriváltjai. Ezt a mátrixot nevezzük az f függvény x 0 pontbeli Jacobi-mátrixának. Tétel Ha f : H R n R m függvénynek léteznek a parciális deriváltjai az x 0 egy gömbkörnyzetének minden pontjában és a parciális deriváltak folytonosak x 0 -ban, akkor f differenciálható x 0 -ban. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 50 / 71

51 Differenciálási szabályok Legyenek f, g : H R n R m és λ: R n R differenciálhatók x 0 -ban. Ekkor f + g és λf, valamint λ 0 esetén f /λ is differenciálhatók x 0 -ban és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (λf ) (x 0 ) = f (x 0 )λ (x 0 ) + λ(x 0 )f (x 0 ), ( ) f (x 0 ) = λ(x 0)f (x 0 ) f (x 0 )λ (x 0 ) λ (λ(x 0 )) 2. Itt f (x 0 ) R m oszlopvektorként, míg λ (x 0 ): R n R sorvektorként van reprezentálva, így a mátrixszorzás szabálya szerint f (x 0 )λ (x 0 ) M m n. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 51 / 71

52 Differenciálási szabályok Tétel (összetett függvény differenciálása) Ha f : H R n R m differenciálható az x 0 H belső pontban és g : K f (H) R m R k differenciálható az f (x 0 ) f (H) belső pontban, akkor a g f : H R k összetett függvény is differenciálható x 0 -ban és (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Ha k = 1, azaz g valós értékű, akkor (g f ) (x 0 ) = ( 1 g (f (x 0 )),..., m g (f (x 0 )) ) 1 f 1 (x 0 ) n f 1 (x 0 ).., 1 f m (x 0 ) n f m (x 0 ) ami azt jelenti, hogy j (g f )(x 0 ) = n i g(f (x 0 )) j f i (x 0 ). i=1 Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 52 / 71

53 Magasabb rendű deriváltak Az f : H R n R valós értékű függvény kétszer differenciálható az x 0 H belső pontban, ha létezik ε > 0, amelyre f differenciálható a B(x 0, ε) gömb minden pontjában és a i f : B(x 0, ε) R n R függvények differenciálhatók x 0 -ban. Ekkor léteznek a j ( i f ) parciális deriváltak, amelyeket az f függvény x 0 pontbeli második parciális deriváltjainak nevezünk. Jel: j ( i f )(x 0 ) = ji f (x 0 ) = 2 x j x i f (x 0 ) = f xi x j (x 0 ) Egy f : H R n R m függvényt akkor nevezünk kétszer differenciálhatónak az x 0 pontban, ha minden koordinátafüggvénye kétszer differenciálható x 0 -ban. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 53 / 71

54 Magasabb rendű deriváltak A kétszeri differenciálhatóság úgy is megfogalmazható, hogy az f : H R n R valós értékű függvény pontosan akkor differenciálható kétszer x 0 -ban, ha létezik ε > 0, amelyre f differenciálható a B(x 0, ε) gömb minden pontjában és az f : B(x 0, ε) R n L(R n, R) R n, x f (x) függvény differenciálható x 0 -ban. Itt L(R n, R) az összes ϕ: R n R lineáris leképezések vektorterét jelenti, amely izomorf az R n térrel. Tétel (Young) Ha f : H R n R m kétszer differenciálható az x 0 H pontban, akkor tetszőleges i, j {1, 2,..., n} esetén j i f (x 0 ) = i j f (x 0 ) Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 54 / 71

55 Magasabb rendű deriváltak Az f : H R n R m függvény k + 1-szer differenciálható az x 0 H belső pontban, ha létezik ε > 0, amelyre f k-szor differenciálható a B(x 0, ε) gömb minden pontjában és a i1 i2 ik f (1 i 1, i 2,..., i k n) k-adrendű parciális deriváltak differenciálhatók x 0 -ban. Az f : H R n R m x 0 -ban differenciálható függvény x 0 -beli h R n megváltozáshoz tartozó első differenciálja df (x 0, h) = f (x 0 )h Ez nem más mint a h irány menti derivált. Ha m = 1 (azaz f valósértékű) és h = (h 1, h 2,..., h n ), akkor df (x 0, h) = n i f (x 0 )h i. i=1 Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 55 / 71

56 Magasabb rendű deriváltak Legyen f : H R n R valós értékű függvény (k + 1)-szer differenciálható x 0 -ban. Ekkor d 1 f (x 0, h) = df (x 0, h) és tetszőleges k N esetén f x 0 -beli h R n megváltozáshoz tartozó (k + 1)-edik differenciálja d k+1 f (x 0, h) = n n i (d k f (x 0 ))h i = i1 i2 ik+1 f (x 0 )h i1 h i2 h ik+1 i=1 i 1,...i k+1 =1 Tétel (Taylor) Legyen f : H R n R (k + 1)-szer differenciálható az [x, x + h] H szakasz pontjaiban. Ekkor létezik olyan t ]0, 1[, amelyre f (x +h) = f (x)+ df (x, h) 1! + d 2 f (x, h) 2! d k f (x, h) + d k+1 f (x + th, h) k! (k + 1)! Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 56 / 71

57 Magasabb rendű deriváltak Egy f : H R n R x 0 -ban kétszer differenciálható függvény esetén a h R n d 2 f (x 0, h) = n i j f (x 0 )h i h j i,j=1 hozzárendelés egy kavdaratikus formát ad az R n téren, amelynek alapmátrixa 1 1 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 1 n f (x 0 ) 2 1 f (x 0 ) 2 2 f (x 0 ) 2 n f (x 0 )... n 1 f (x 0 ) n 2 f (x 0 ) n n f (x 0 ) Ez a kvadratikus forma pontosan akkor pozitív/negatív definit, ha minden sajátértéke (szigorúan) pozitív/negatív. Továbbá akkor indefinit a fenti kavdratikus forma, ha egyaránt rendelkezik pozitív és negatív sajátértékkel is. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 57 / 71

58 Szélsőértékszámítás Tétel (lokális szélsőérték szükséges feltétele) Ha egy f : H R n R x 0 -ban differenciálható függvénynek lokális szélsőértéke van x 0 -ban, akkor f (x 0 ) = 0. Tétel (lokális szélsőérték elegendő feltétele) Ha az f : H R n R függvény kétszer differenciálható x 0 -ban, f (x 0 ) = 0 és d 2 f (x 0, h) pozitív/negatív definit, akkor f -nek x 0 -ban (szigorú) lokális minimuma/maximuma van. Továbbá ha d 2 f (x 0, h) indefinit, akkor f -nek nincs szélső értéke x 0 -ban. Előfordulhat, hogy d 2 f (x 0, h) nem pozitív/negatív definit és nem is indefinit abban az esetben, ha a 0 sajátértéke és minden más sajátérték azonos előjelű. Ilyen esetben a fenti tétel alapján nem tudjuk eldönteni, hogy x 0 lokális szélsőérték hely-e. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 58 / 71

59 Feltételes szélsőérték Legyen f : H R n+k R és h : D R n. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D belső pont lokális szélsőértékhelye a h(x) = 0 feltétel mellett, ha h(x 0 ) = 0 és létezik ε > 0, amelyre tetszőleges x D B(x 0, ε), a h(x) = 0 feltételnek eleget tevő pont esetén f (x) f (x 0 ) (vagy f (x) f (x 0 )) teljesül. Tétel (feltételes lokális szélsőérték szükséges feltétele) Ha az f : H R n+k R függvénynek x 0 D lokális szélsőértékhelye a h(x) = 0 feltételre nézve, továbbá f és h folytonosan differenciálhatók az x 0 egy környezetében, akkor az alábbi két állítás közül pontosan az egyik igaz: 1 h (x 0 ) mátrixának minden n-edrendű aldeterminánsa 0, 2 léteznek λ 1, λ 2,..., λ n valós számok, amelyekre az F : D R, F(x) = f (x) + függvény minden parciális deriváltja 0. n λ i h i (x) Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 59 / 71 i=1

60 Görbék Egy γ : [a, b] R n folytonos leképezés Γ R n értékkészletét R n -beli görbének (pályának, vonalnak, ívnek) nevezzük. Magát a γ : [a, b] R n leképezést a görbe paraméterezésének nevezzük. Egy görbét többféleképpen is lehet paraméterezni. Például γ 1 : [0, 4] R 2, γ 1 (t) = (t, t 2 ) γ 2 : [0, 2] R 2, γ 2 (t) = (t 2, t 4 ) ugyanannak a görbének két különböző paraméterezése. A görbét és annak egy paraméterezését együtt röviden parametrizált görbének nevezzük. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 60 / 71

61 Görbék Ha γ : [a, b] R n parametrizált görbe és θ : [c, d] [a, b] szigorúan monoton, kölcsönösen egyértelmű leképezés, akkor a γ θ : [c, d] R n parametrizált görbét a γ átparaméterezésének, θ-t pedig paraméter transzformációnak nevezzük. A θ paraméter transzformáció irányítástartó, ha szigorúan monoton növekvő és irányításváltó, ha szigorúan monoton csökkenő. Egy γ : [a, b] R n parametrizált görbét egyszerűnek nevezünk, ha injektív, azaz a görbe nem metszi önmagát, továbbá zártnak nevezzük, ha γ(a) = γ(b). Egy γ : [a, b] R n parametrizált görbét k-szor differenciálhatónak, illetve simának nevezünk, ha a γ leképezés k-szor differenciálható, illetve sima (azaz végtelen sokszor differenciálható) az ]a, b[ intervallumon. Sima/k-szor differenciálható parametrizált görbék bármely átparametrizálása esetén megköveteljük, hogy a paraméter transzformáció legyen sima/k-szor differenciálható. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 61 / 71

62 Görbék Egy γ : [a, b] R n differenciálható parametrizált görbe t [a, b] pontbeli sebesség vektora v γ (t) = γ (t) = ( γ 1 (t), γ 2 (t),..., γ n(t) ) a t [a, b] pontbeli sebessége pedig v γ (t) = γ (t). Egy γ : [a, b] R n kétszer differenciálható parametrizált görbe t [a, b] pontbeli gyorsulás vektora a γ (t) = v γ(t) = γ (t) = ( γ 1 (t), γ 2 (t),..., γ n(t) ) a t [a, b] pontbeli gyorsulása pedig a γ (t) = γ (t). Egy γ : [a, b] R n folytonosan differenciálható parametrizált görbét regulárisnak nevezünk, ha bármely t [a, b] esetén γ (t) 0. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 62 / 71

63 Görbék Az [a, b] intervallum tetszőleges P = {t 0, t 1,..., t m } felosztása esetén képzhetjük az n s(γ, P) = d(γ(t i ), γ(t i 1 )) i=1 összeget. A γ : [a, b] R n parametrizált görbét rektifikálhatónak nevezzük, ha a { s(γ, P) P felosztása [a, b]-nek } halmaz felülről korlátos. Egy rektifikálható γ görbe ívhosszán az L(γ) = sup { s(γ, P) P felosztása [a, b]-nek } valós számot értjük. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 63 / 71

64 Görbék Ha a γ : [a, b] R n parametrizált görbe folytonosan differenciálható, akkor b L(γ) = γ (t) dt a Megmutatható, hogy egy görbe ívhossza független a paraméterezésétől. Egy γ : [a, b] R n parametrizált görbét ívhosszparaméterezettnek nevezünk, ha minden s [a, b] esetén s = s a γ (t) dt, azaz s mindig megadja a görbének a kezdőponttól a γ(s) pontig tartó szakaszának ívhosszát. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 64 / 71

65 Görbe menti integrál Legyen γ : [a, b] R n folytonosan differenciálható parametrizált görbe. Ekkor egy f : R n R folytonos skalárfüggvény γ görbe menti integrálja b f = f (γ(t)) γ (t) dt, γ a továbbá egy f : R n R n vektormező γ görbe menti integrálja γ f = b a f (γ(t)), γ (t) dt. Egy egyszeresen összefüggő D R n tartományon értelmezett vektormezőt konzervatívnak nevezünk, ha bármely D-ben futó zárt görbe menti integrálja 0. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 65 / 71

66 Konzervatív vektormezők Egy f : D R n R n vektormező pontosan, akkor konzervatív, ha bármely x, y D pontok és a pontokat összekötő bármely két γ 1 és γ 2 görbe esetén γ 1 γ 2 f = f. Egy f : H R n R n vektormezőt potenciálosnak nevezünk, ha létezik olyan F : H R n R skalármező, amelyre F (x) = f (x) teljesül minden x H esetén. Ekkor F-et potenciálfüggvénynek vagy primitív függvénynek nevezzük. Tétel Legyen D R n egyszeresen összefüggő tartomány. Ekkor az f : D R n R n vektormező pontosan akkor konzervatív, ha potenciálos. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 66 / 71

67 Konzervatív vektormezők Tétel (Newton-Leibniz formula) Ha D R n egyszeresen összefüggő tartomány, és az f : D R n R n vektormező potenciálfüggvénye F : D R n R, akkor bármely D-ben futó γ : [a, b] D parametrizált görbe esetén f = F(γ(b)) F(γ(a)). γ Tétel Az f : D R n R n, f = (f 1, f 2,..., f n ) vektormező pontosan akkor potenciálos, ha bármely x D és bármely i, j {1, 2,..., n} esetén i f j (x) = j f i (x). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 67 / 71

68 Vektoriális szorzás A 3-dimenziós R 3 térben értelmezhető tetszőleges két v, w R 3 vektor vektoriális szorzata: v w. A v w vektoriális szorzat olyan vektor, amelyre v w, v = v w, w = 0, azaz v w merőleges a v és w vektorokra v w = v w sin α (v, w, v w) jobbsodrású vektorrendszert alkotnak. Ha v = (v 1, v 2, v 3 ) és w = (w 1, w 2, w 3 ) az (e 1, e 2, e 3 ) természetes bázisra vonatkozóan, akkor e 1 e 2 e 3 v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = v 2 v 3 w 2 w 3 e 1 v 1 v 3 w 1 w 3 e 2 + v 1 v 2 w 1 w 2 e 3 Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 68 / 71

69 Vektoriális szorzás Mivel v w = v w sin α, ezért könnyen látható, hogy v w = 0 pontosan akkor teljesül, ha v és w lineárisan függők, azaz egyik a másiknak skalárszorosa (beleértve azt is, hogy valamelyik, vagy mindkét vektor 0). Ha v és w lineárisan függetlenek, akkor v w megadja a v és w által kifeszített paralelogramma területét. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 69 / 71

70 Felületek Egy r : [a, b] [c, d] R n folytonos, injektív leképezést R n -beli parametrizált felületnek, az értékkészletét pedig röviden felületnek nevezzük. Az r : [a, b] [c, d] R 3 térbeli parametrizált felületre akkor mondjuk, hogy reguláris, ha folytonosan differenciálható és 1 r(s, t) 2 r(s, t) 0. Egy térbeli, reguláris r : [a, b] [c, d] R 3 parametrizált felület felszíne a következőképp számolható: A(r) = b d a c 1 r(s, t) 2 r(s, t) dt ds Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 70 / 71

71 Felületei integrálás A görbékhez hasonlóan felületek esetén is értlemezhetünk felületi integrálokat a felszínmérték segítségével. Legyen r : [a, b] [c, d] R 3 reguláris parametrizált felület. Ekkor egy f : R 3 R folytonos skalárfüggvény felületi integrálja r b d f = f (r(s, t)) 1 r(s, t) 2 r(s, t) dt ds, a c továbbá egy F : R 3 R 3 vektormező felületi integrálja r b d F = F(r(s, t)), 1 r(s, t) 2 r(s, t) dt ds. a c Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 71 / 71