GEODÉZIA I. Dr. Csepregi Szabolcs, Gyenes Róbert, Dr. Tarsoly Péter:

Átírás

1 Dr. sepregi Szabolcs, Gyenes Róbert, Dr. Tarsoly Péter: GEODÉZIA I. Lektorálták: Dr. Busics György, fıiskolai docens Dr. Németh Gyula, nyugalmazott fıiskolai tanár SZÉKESEHÉRVÁR 013

2 TARTALOMJEGYZÉK 1. A HELYMEGHATÁROZÁS ALAPJAI A HELY OGALMA ÉS ÉRTELMEZÉSE A VONATKOZTATÁSI RENDSZER A HELYMEGHATÁROZÓ ADATOK DEINIÁLÁSA KOORDINÁTA-RENDSZEREK A HELYMEGHATÁROZÁS VÉGREHAJTÁSÁNAK MÓDSZEREI A GEODÉZIA ELADATA ÉS ELOSZTÁSA KÉRDÉSEK, ELADATOK A ÖLD ELMÉLETI ALAKJA TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS..... A ÖLD NEHÉZSÉGI ERİTERE ÉS MODELLEZÉSE... 4 KÉRDÉSEK, ELADATOK MÉRTÉKEGYSÉGEK A TÁVOLSÁG MÉRTÉKEGYSÉGEI A TERÜLET MÉRTÉKEGYSÉGEI A TÉROGAT MÉRTÉKEGYSÉGEI A SZÖG MÉRTÉKEGYSÉGEI A 360-as fokrendszer A 400-as fokrendszer Az analitikus szögegység Mőveletek szögekkel a 360-as fokrendszerben A HİMÉRSÉKLET ÉS LÉGNYOMÁS MÉRTÉKEGYSÉGEI AZ SI ALAPEGYSÉGEI ÉS A PREIXUMOK AZ ÉLESSÉG ÉS A PONTOSSÁG OGALMA... 4 KÉRDÉSEK, ELADATOK GEODÉZIAI ALAPPONTHÁLÓZATOK PONTJELÖLÉSEK ÁTTEKINTÉS A GEODÉZIAI ALAPPONTHÁLÓZATOKRÓL MAGASSÁGI ÉRTELMŐ PONTJELÖLÉSEK VÍZSZINTES ÉRTELMŐ PONTJELÖLÉSEK HÁROMDIMENZIÓS PONTJELÖLÉSEK PONTLEÍRÁS KÉRDÉSEK, ELADATOK KOORDINÁTA TRANSZORMÁIÓK A KOORDINÁTA TRANSZORMÁIÓK MATEMATIKAI MODELLJEI A SÍKBELI EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZORMÁIÓ A ORGATÓMÁTRIX TULAJDONSÁGAI A SÍKBELI HASONLÓSÁGI TRANSZORMÁIÓ AZ INVERZ TRANSZORMÁIÓ A SÍKBELI AIN TRANSZORMÁIÓ... 6 KÉRDÉSEK, ELADATOK VÍZSZINTES HELYMEGHATÁROZÁS A VÍZSZINTES HELYMEGHATÁROZÁS ALAPJAI A VÍZSZINTES ÉS A MAGASSÁGI SZÖG OGALMA A TEODOLIT Az alhidádé A geodéziai távcsı Az állótengely Kötı- és finombeállító szerkezeti elemek A mőszertalp és a kényszerközpontosító Libellák Vetítıberendezések A vízszintes és a magassági kör Optikai leolvasóberendezések Elektronikus körleolvasás A mőszerállvány A mőszeralátét A magassági kör szerkezete és a kompenzátor A TEODOLIT ELÁLLÍTÁSA... 96

3 6.5. A VÍZSZINTES SZÖGMÉRÉS SZABÁLYOS HIBAORRÁSAI Mőszerhibák A mőszer felállításából származó hibák Külsı körülményekbıl adódó hibák A MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS SZABÁLYOS HIBAORRÁSAI Mőszerhibák az indexhiba A mőszer felállításából származó hibák Külsı körülményekbıl adódó hibák a magassági refrakció A TEODOLIT VIZSGÁLATA A kollimáció hiba vizsgálata Az irányvonal vízszintes külpontossági hibája A fekvıtengely merılegességi hibájának a vizsgálata Az indexhiba vizsgálata Az irányvonal magassági külpontossági hibájának a vizsgálata Az optikai vetítı vizsgálata KÉRDÉSEK, ELADATOK A VÍZSZINTES MÉRÉSEK ALAPMŐVELETEI EGYENES VONALAK KITŐZÉSE Kitőzırúd Egyenes vonalak kitőzése beintéssel vagy beállással TÁVOLSÁGOK MEGHATÁROZÁSA ÁLLANDÓ NAGYSÁGÚ SZÖGEK KITŐZÉSE DERÉKSZÖGŐ KOORDINÁTAMÉRÉS DERÉKSZÖGŐ KITŐZÉSI MÉRETEK MEGHATÁROZÁSA A VÍZSZINTES SZÖGMÉRÉS MÓDSZEREI Az iránymérés Az egyszerő szögmérés Poláris mérés A MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS MÓDSZEREI A VÍZSZINTES ÉS MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS EREDMÉNYEINEK ELİZETES ELDOLGOZÁSA MÉRÉSI JEGYZET, MÉRÉSI VÁZLAT, TÖMBRAJZ Mérési jegyzet Mérési vázlat Tömbrajz KÉRDÉSEK, ELADATOK GEODÉZIAI SZÁMÍTÁSOK ÁLLÁSPONT TÁJÉKOZÁSA ÉS POLÁRIS PONT SZÁMÍTÁS KÜLPONTOS MÉRÉSEK Külpontos iránymérések központosítása Külpont koordinátáinak a meghatározása PONTKAPSOLÁSOK SZÁMÍTÁSA A pontkapcsolások csoportosítása Elımetszés belsı szögekkel Elımetszés tájékozott irányértékekkel Oldalmetszés számítása Hátrametszés Hátrametszés és a veszélyes kör Hátrametszés megoldása egy segédkörrel (ollins-féle megoldás) Hátrametszés megoldása két segédkörrel (Sossna-féle eljárás) Hátrametszés megoldása a koordináták súlyozott középértékének számításával (Ansermet-féle megoldás) A hátrametszés pontossága Ívmetszés Ív-oldalmetszés A TERÜLETSZÁMÍTÁS A területszámítás megoldási lehetıségei Trapézokra bontás Gauss-Elling féle elrendezés Háromszögekre bontás Területszámítás polár koordinátákból MEGHATÁROZÁSI TERVEK KÉRDÉSEK, ELADATOK

4 9. TÉRBELI HELYMEGHATÁROZÁS NAVIGÁIÓS MŐHOLDRENDSZERREL A HELY-, SEBESSÉG- ÉS AZ IDİMEGHATÁROZÁS ELVE A GPS-RENDSZER KIALAKULÁSA ÉS ELÉPÍTÉSE ABSZOLÚT HELYMEGHATÁROZÁS NAVIGÁIÓS VEVİKÉSZÜLÉKEK AZ ABSZOLÚT HELYMEGHATÁROZÁS ALKALMAZÁSI TERÜLETEI Lakossági célú felhasználás Üzleti célú felhasználás Közcélú felhasználások KÉRDÉSEK, ELADATOK GEODÉZIAI MŐSZEREK KEZELÉSÉNEK ALAPVETİ IRÁNYELVEI A MŐSZEREK TÁROLÁSA A MŐSZEREK SZÁLLÍTÁSA A MŐSZER ELÁLLÍTÁSA A MŐSZEREK HASZNÁLATA ÉS SZÁLLÍTÁSA A TEREPMUNKA SORÁN KÉRDÉSEK, ELADATOK IRODALOMJEGYZÉK

5 1. A helymeghatározás alapjai 1.1. A hely fogalma és értelmezése Az emberiséget már az ısidıktıl kezdve foglalkoztatja a környezetének a megismerése. Természetes igényünk a környezet megismerése és megértése. Hasonlóan természetes igény eljutni valahová, amelyet még nem ismertünk, felfedezni az ismeretlent, és megosztani másokkal a tudásunkat. A társadalmi fejlıdés korai szakaszaiban a hely meghatározása a környezı tereptárgyakhoz történt szemrevételezés útján, és sok esetben az ábrázolás is elvont volt, híven tükrözte az adott kor emberének szellemi és hiedelemvilágát. A mai világban is fellelhetıek még ennek a nyomai, hiszen sok természeti nép mind a mai napig megırize identitását a civilizációval szemben. Az eszkimók fából faragott dombormő térképeket használnak, Óceánia népei pálcikákból állítanak össze térképek, Afrika rejtelmes, örök félhomályos ıserdıiben a törpe emberek, a pigmeusok okapi vagy bongó antilop bırére növényi nedvekkel rajzolják rá az ismert vadászösvényeket. sak a mód és technológia változott, az elv azonban mind a mai napig változatlan maradt. Hogyan tájékozódunk ismeretlen helyen? Keresünk valamilyen jól azonosítható tereptárgyat, városban épületet a szabadban egy hegyet, folyót vagy fát, majd meghatározzuk az irányt amerre mennünk kell, és menet közben a már megismert tereptárgyakhoz képest folyamatosan ellenırizzük magunkat. Mindez természetesen csak szubjektív megoldást jelent, nem pontos és nem használható tudományos célokra. A tudomány kialakulásával egyidıben felismerték, hogy a hely meghatározására metrikus adatokra van szükség. Pontos mérıszámokkal kell jellemezni két dolog helyzetét, távolságát valamely más dologtól mért irányát, hiszen csak ilyen módon biztosítható, hogy a helymeghatározás objektíven, egyéntıl függetlenül legyen végrehajtható. Kialakultak az elsı mértékegységek. A tájékozódást az égitestek alapján végezték, és kialakultak az elsı mőszerek is, amelyek segítségével lehetıvé vált a helymeghatározó adatok számszerő meghatározása 1. Hosszú idınek kellett azonban még eltelnie, amíg rájöttek, hogy a helyet nem lehet egy adattal definiálni. Megjelentek a középkorban a koordinátarendszerek, melyeknek alapjait Descartes ( ) definiálta. İ fektette le a koordinátageometria alapjait, amely a modern helymeghatározás tudományában alapvetı szerepet játszik. A valós világ entitásokból áll. Az entitások a valós világ jelenségei, vagy jelenségeinek jellemzıi. Az entitások, mint elemi alkotórészek természetes vagy mesterséges tereptárgyakat, létesítményeket építenek fel, amelyeket objektumoknak nevezünk. A valós világnak, a térnek egy részét, amelyet egy objektum elfoglal, helynek nevezzük. A hely meghatározása azonban nemcsak számszerően mérhetı problémákat vet fel. Azt is le kell tudnunk írni, hogy mi található azon az adott helyen. Azokat az adatokat, amelyek számszerőséget, az adott objektum metrikus tulajdonságait fejezik ki, kvantitatív adatoknak nevezzük. Azokat az adatokat pedig, amelyek az objektum jellemzıit nem metrikus formában írják le, 1.1. ábra A navigáció napjainkban kvalitatív adatoknak nevezzük. A helymeghatározás tehát helyhez kötött kvantitatív és kvalitatív adatok győjtését egyaránt magában foglalja. A tulajdonképpeni helymeghatározás csak arra a kérdésre ad választ, hogy mi, hol található. Azonban sokszor azt is meg kell tudnunk mondani, hogy egy objektum egy másikhoz képest milyen úton közelíthetı meg. A tájékozódás természetes folyamat, amely az agyunkban játszódik le. Megállapítjuk, hol vagyunk, hová szeretnénk eljutni, majd döntünk arról, hogy milyen úton jutunk el a célig. Ez a folyamat nemcsak a térben játszódik le, hanem az idı- 1 Aki többre kíváncsi a földmérés történetével kapcsolatban, annak ajánlható Raum rigyes: A földmérés története címő könyve. (Kiadási adatok: Székesfehérvár, 1995, EE-K). 5

6 ben is: mikor vagyunk egy adott helyen, és mikor jutunk el a célállomásra. Ezt az összetett, térbeli és idıbeli folyamatot navigációnak (1.1 ábra) nevezzük. Nem minden objektum jelenti az érdeklıdésünk tárgyát, hanem azoknak csak egy csoportja, azok, amelyek a tér egy adott részén megtalálhatók. A helymeghatározást tehát csak egy bizonyos környezetre terjesztjük ki, ezt nevezzük a helymeghatározás értelmezési tartományának. A öld felszínén, a felszín felett vagy alatt található objektumok azonban nem ábrázolhatóak a valóságnak megfelelıen túlzott összetettségük és bonyolultságuk miatt. Ha definiáltuk a helymeghatározás értelmezési tartományát, akkor azt is meg kell határoznunk, hogy az egyes objektumoknak melyek azok a részei, amelyek minket az adott munka szempontjából érdekelnek. Az objektumot helyettesítenünk kell annak modelljével olyan módon, hogy a vizsgálatokba bevont modell pontosan ugyanúgy viselkedjen, ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezzen, mint az eredeti objektum; azaz generalizálnunk kell. A helyes modellalkotás a helymeghatározás és a hely ábrázolásának egyik legfontosabb feladata. Gondoljunk csak egy autótérképre. Az utakat nem tudjuk a valóságos méretüknek megfelelıen ábrázolni a megjelenítés méretarányának következtében. Az épületeket a megjelenítésükhöz annak sarokpontjaival ábrázoljuk a térképen (1.. ábra). A vasútvonalat a nyomvonal tengelyével, az egyes birtokhatárokat jelölı kerítéseket pedig egyetlen vonallal. A domborzati idomokat ún. idomvonalak segítségével modellezzük, amelyeket hát- és völgyvonalnak nevezünk. Ezek segítségével készítjük a szintvonalas térképet. A korszerő háromdimenziós megjelenítések során a domborzatot felületdarabokkal modellezzük, amelyek lehetnek háromszögek vagy négyszögek. 1.. ábra Épület, út, vasút, birtokhatár és domborzat modellezése felméréshez és megjelenítéshez Mint arról már szó esett, a helyet kvantitatív és kvalitatív adatokkal írjuk le. A kvantitatív leírás pedig koordináták segítségével történik. A síkbeli koordinátarendszer matematikából jól ismert felvételi módja a mi szakmánkban azonban nem tisztán geometriai úton történik. Sokkal általánosabb dologról van szó, így tulajdonképpen nem koordinátarendszerrıl, hanem vonatkoztatási (vagy vonatkozási) rendszerrıl beszélünk. Éppen ezért a következı fejezetben a vonatkoztatási rendszerek definiálásának fizikai és matematikai alapjait tekintjük át. 6

7 1.. A vonatkoztatási rendszer A helymeghatározáshoz szükségünk van egy vonatkoztatási rendszerre, amelyhez a helyet kvantitatív módon kötni tudjuk. Attól függıen, hogy mit tekintünk a helymeghatározás értelmezési tartományának, más és más módon definiálhatjuk a vonatkoztatási rendszert. A geomatikában a helymeghatározást egy, a öldhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben végezzük el. Egy ilyen földi vonatkoztatási rendszer geometriai interpretációja egy olyan térbeli derékszögő matematikai koordinátarendszernek felel meg, amelynek origója megegyezik a öld tömegközéppontjával, Z tengelye a öld forgástengelyével, az X és Y tengelyek által kifeszített sík a forgástengelyre merıleges és az egyenlítı síkjában van, továbbá erre a síkra illeszkedik a öld tömegközéppontja (1.3. ábra) 1. Ezt a koordinátarendszert geocentrikus koordinátarendszernek nevezzük. Z Greenwich P Z P Y X X P Y P ábra. A geocentrikus koordinátarendszer A vonatkoztatási rendszer említett módon történı definiálása azonban több problémát vet fel. Egyrészt, a öld forgása következtében definiálnunk kell még egy további síkot, amely vagy az XZ vagy az YZ tengelyek által kifeszített sík lesz. Ezt a kitüntetett síkot úgy választották meg, hogy az megegyezik a Greenwichen átmenı és a öld forgástengelyére illeszkedı síkkal. Másrészt, a öld forgási szögsebessége nem állandó, rendkívül kis mértékben, de ma már mérhetıen csökken. Azaz ennél a pontnál máris fellép egy lényeges szempont, mégpedig az, hogy a vonatkoztatási rendszert nem lehet az idıtıl függetlenül, még általánosabban fogalmazva, fizikai alapok nélkül definiálni. A geometriai interpretáció során azonban már hallgatólagosan így is tettünk, mikor azt mondtuk, hogy a Z tengely a öld forgástengelyével, az origó pedig a öld tömegközéppontjával egyezik. A öld egy inhomogén és nem merev test, a pontos sőrőségeloszlást pedig nem ismerjük. Ennek következtében a öld forgástengelye és az inercianyomaték vektora nem esik egybe. A belsı tömegátrendezıdések, a tengeráramlások, a vulkáni tevékenység és a jégsapkák lassú olvadása következtében ezért a forgástengely kis mértékben, de állandóan változtatja a helyzetét. Ha ezt a folyamatot szabad szemmel látnánk, akkor azt észlelnénk, hogy a öld forgástengelye lötyög az elméleti tömegközépponthoz viszonyítva (1.4. ábra). Ezt a jelenséget nevezzük pólusmozgásnak. A pólusok tehát, amelyeket a öld forgástengelyének földfelszíni döféspontjaként definiálunk, állandóan változtatják helyzetüket. A pólusmozgásnak azonban van egy jellegzetes, idıbeli lefolyása. A pólus mintegy 435 nap alatt egy periodikus mozgást végez, amelyet handler periódusnak nevezünk. Ha a pólus helyzetének képezzük 1.4. ábra. A pólusmozgás (pontozott vonal) és a pólusvándorlás (folyamatos vonal) mértéke méterben az éves átlagát, majd ezeket a pontokat összekötjük, akkor azt vesszük észre, hogy a pólus lassan vándorol. Ennek értéke kb /év (kb. 30 cm/év) délnyugati irányban. A pólusmozgásra már a XIX. század végén felfigyeltek ben Küstner a Berlin- 1 A vonatkozatatási rendszerek szabatos definiálásával a felsıgeodézia elnevezéső tudományterület foglalkozik. 7

8 ben végzett földrajzi helymeghatározások eredményeként azt tapasztalta, hogy a földrajzi szélesség értéke szabályosan változik, amelyet a pólus lassú mozgásának tulajdonított. Késıbb ezért nemzetközi együttmőködés keretében a pólusmozgást a Nemzetközi Szélesség Szolgálat (International Latitude Service), majd a Nemzetközi Pólusmozgás Szolgálat (International Polar Motion Service) koordinálásában határozták meg. Az elsı pólusmozgást bizonyító méréseket Berlinben és a Hawaii szigeteken végrehajtott mérésekkel igazolták ( ). Jelenleg a pólusmozgás megfigyelése, hasonlóan a öld forgásának és idıbeli változásának a méréséhez a Nemzetközi öldforgás és Vonatkoztatási Rendszerek Szolgálat (International Earth Rotation and Reference Systems Service IERS) koordinálásában történik. Z Y X ϒ ábra. A báricentrikus vonatkoztatási rendszer A öldhöz kötött vonatkoztatási rendszer tehát nem tekinthetı inerciális koordinátarendszernek, mert szabatos értelemben a Newton-féle mozgástörvények abban nem érvényesek. Az említett tulajdonságokkal rendelkezı vonatkoztatási rendszert egy külsı pontból figyelve azt tapasztaljuk, hogy az nincsen nyugalomban, és nem végez egyenletes mozgást. A helymeghatározó adatokat tehát egy ilyen vonatkoztatási rendszerben nem lehet egyértelmően definiálni. Valójában inerciális koordinátarendszer nem létezik, de bizonyos szempontok figyelembevételével létezik annak legjobb közelítése. Ezt az úgynevezett kvázi-inerciális koordinátarendszert, amelyet báricentrikus koordinátarendszernek nevezünk, a Nemzetközi sillagászati Unió (International Astronomical Union IAU) ajánlása alapján úgy választották meg, hogy középpontja megegyezik a Naprendszer tömegközéppontjával, Z tengelye párhuzamos a öld közepes forgástengelyével és az X tengely a tavaszpont (Kos csillagkép) irányába mutat (1.5. ábra). A vonatkoztatási rendszer fizikai definíciója azonban a helymeghatározás gyakorlati végrehajtására közvetlenül nem alkalmas. Szükségünk van olyan objektumokra (pontokra), amelyeknek ismerjük a koordinátáit egy adott vonatkoztatási rendszerben. Ezeket a pontokat alappontoknak nevezzük. A kvázi-inerciális vonatkoztatási rendszer extragalaktikus rádióforrásokra, az úgynevezett ábra. VLBI rádióteleszkóp Wettzellben, kvazárokra történı méréseken alapul (VLBI-technika, 1.6. Németország ábra). A kvazárok Naprendszertıl való távolsága olyan hatalmas, több milliárd fényév, hogy mind földi, mind baricentrikus értelemben mozdulatlan objektumoknak tekinthetık, nem mutatnak saját mozgást. Az inerciális koordinátarendszerben ezek az objektumok szolgálnak alappontként. A kvazárokra vonatkozó méréseket a öld bizonyos pontjain telepített rádióteleszkópok segítségével végzik. Ezt a mérési módszert nevezzük VLBI technikának, amely az angol Very Long Baseline Interferometry rövidítése. Magyarra nagyon hosszú bázisvonalú interferométeres eljárásnak fordítjuk, azonban hazánkban is az angol kifejezés rövidítését használjuk gyakrabban. A mérések és a feldolgozás eredményeként ismertté válnak az egyes állomások és a kvazárok kváziinerciális koordinátái egy adott idıpontra vonatkozóan. A kvázi-inerciális vonatkoztatási rendszert a Nemzetközi sillagászati Unió alapján nemzetközi égi vonatkoztatási rendszernek nevezzük, angolul International elestial Reference System (IRS). Ezt a vonatkoztatási rendszert a kvazárok és néhány válogatott csillag koordinátáin keresztül valósítják meg. 8

9 A VLBI állomások alkotta hálózat azonban nem kellıen sőrő, a legtöbb ország nem is rendelkezik állandó VLBI állomással, így hazánk sem. Ezért minden ország létrehoz egy saját alapponthálózatot, amelyben az alappontok koordinátáit már nem a VLBI, hanem egy olcsóbb és elterjedtebb mőholdas helymeghatározási technológia, nevezetesen a GNSS-technológia (GNSS Global Navigation Satellite System) felhasználásával határozzák meg. Ennek célja, hogy a földi alappontokat már a öldhöz kötött vonatkoztatási rendszerben határozzuk meg. Ezeket a méréseket az adott ország geodéziai szolgálata végzi el és dolgozza fel nemzetközi együttmőködés keretében, közvetett úton kapcsolódva azokhoz az alappontokhoz, amelyeken VLBI állomásokat telepítettek. Magyarország is rendelkezik ilyen korszerő, GPS méréseken alapuló alapponthálózattal (1.7. ábra). Ezt nevezzük Országos GPS Hálózatnak (OGPSH) vagy másnéven passzív hálózatnak ábra. A magyarországi Országos GPS Hálózat ( Az országos alapponthálózatokban lévı pontok helymeghatározó adatai tehát már a öldhöz kötött vonatkoztatási rendszerben ismertek, amely rendszert nemzetközi földi vonatkoztatási rendszernek nevezzünk (International Terrestrial Reference System ITRS). Mivel az ITRS gyakorlati megvalósítása azonban a földi alappontokon keresztül történik, ezen alappontok alkotta hálózatot nemzetközi földi vonatkoztatási keretnek (International Terrestrial Reference rame ITR) nevezzük. Ahhoz, hogy valamely földi pont kvázi-inerciális koordinátáit meg tudjuk határozni, ismerni kell az ITR és az IRS közötti kapcsolatot. Ennek koordinálását szintén a nemzetközi földforgás szolgálat látja el. 9

10 1.3. A helymeghatározó adatok definiálása koordináta-rendszerek Az eddigi fejezetekben megismertük a hely fogalmát és azt, hogy miként lehet jellemezni. Tárgyaltuk a vonatkoztatási rendszerek definiálását, de a helymeghatározó adatokat csak a szemléletesség érdekében említettük meg. Ebben a fejezetben ezért áttekintjük a helymeghatározó adatokat és azok geometriai jelentését. A helymeghatározást a helymeghatározó adatok dimenziója alapján csoportosítjuk. Ha egy objektum térbeli helyzetére vagyunk kíváncsiak, akkor azt térbeli koordinátákkal írjuk le. Ezt nevezzük háromdimenzós helymeghatározásnak. A térbeli koordinátarendszer egy jobbsodrású matematikai koordinátarendszer (1.8. ábra). A koordinátarendszer origóját a három, egymásra kölcsönösen merıleges koordinátatengely metszéspontjaként kapjuk. A pont helyzetét a háromdimenziós koordinátarendszerben a pont megfelelı koordinátatengelyek által kifeszített síkoktól való elıjeles távolságaként adjuk meg. A pont YZ tengelyek által kifeszített síktól való elıjeles távolsága az X koordináta, az XZ tengelyek által kifeszített síktól vett elıjeles távolsága az Y koordináta, az XY tengelyek által kifeszített síktól való elıjeles távolsága pedig a Z koordináta. A pont helyzete a térben azonban nemcsak derékszögő koordinátákkal adható meg, hanem a ponthoz tartozó helyvektor polár koordinátáival is (1. 9. ábra). A pont polár koordinátáit egy távolság és két szög alapján definiáljuk. A távolság a pont origótól való távolsága, a két szög pedig a helyvektor valamely kitüntetett síkra vonatkozó Z P ábra. A térbeli derékszögő koordinátarendszer és a derékszögő koordináták merıleges vetülete alapján adható meg. A kiválasztott sík az XY tengelyek által kifeszített sík, amelyre a helyvektort a Z tengelyre és a helyvektorra illeszkedı sík mentén ortogonálisan vetítjük. A helyvektor merıleges vetületének X tengellyel, valamint a helyvektorral bezárt szöge lesz a keresett két szögdimenziójú polár koordináta. A térbeli derékszögő és a polár koordináták között az 1.9. ábra alapján az alábbi összefüggések írhatók fel: X r cos ψ cos λ (1.1) Y r cos ψ sin λ (1.) Z r sin ψ (1.3) Valamint Y tan λ (1.4) X X X Z P X P Y P Z P(r,ψ,λ) r ψ λ Y P Z P X P ábra. A térbeli derékszögő koordinátarendszer és a térbeli polár koordináták Y Y 10

11 Z sin ψ (1.5) X + Y + Z Megemlítjük, hogy egyes alkalmazásokban a polár koordinátákat egységnyi hosszúságú vektorokhoz kötjük. Így például az 1.. fejezetben említett kvazárok esetén a kvazárok báricentrumtól való távolsága számunkra közömbös, hiszen azok csak a vonatkoztatási rendszer koordinátatengelyei irányának a megadására szolgálnak. Ilyen esetben, bár térbeli adatokról van szó, az objektumnak csak a ψ és a λ koordinátáit adjuk meg, a távolságot r 1 értéknek tekintjük. Abban az esetben, ha a térbeli derékszögő koordinátarendszer geocentrikus, akkor a ψ koordinátát geocentrikus szélességnek, a λ koordinátát pedig hoszszúságnak nevezzük. A térbeli derékszögő koordináták nem minden alkalmazásban szemléletesek. Ha például egy síkrajzi térképet akarunk készíteni, amely az objektumokat felülnézetben, kétdimenzióban ábrázolja, akkor az X, Y, Z koordinátahármas közvetlen megjelenítésre nem alkalmas. A kétdimenziós helymeghatározásban ezért felületi koordinátákat alkalmazunk. Egy adott felületen a pont helyzetét görbe vonalú koordinátákkal adjuk meg. A geomatikában a görbe vonalú koordinátarendszerek közül azokat használjuk, ahol a görbe vonalak hálózata, az úgynevezett koordinátagörbék minden pontban merılegesek egymásra (1.10. ábra). Ezeket a koordinátákat gyakran Gauss-féle felületi koordinátáknak is szokás nevezni. Pv u ábra. A görbe vonalú ortogonális koordinátarendszer A görbe vonalú ortogonális koordinátarendszer speciális esete a síkbeli derékszögő koordinátarendszer (1.11.ábra) Egy pont helyzetét a koordinátatengelyektıl vett elıjeles távolságokkal adjuk meg. A pont x tengelytıl való távolsága az y, az y tengelytıl való távolsága az x koordináta. y x P(x,y) y x ábra. A síkbeli matematikai derékszögő koordinátarendszer Hasonlóan a térbeli derékszögő koordinátákhoz, a síkon is gyakran alkalmazunk polár koordinátákat. A síkon egy pont polár koordinátái alatt a pontba mutató helyvektor hosszát, és a helyvektor x tengelylyel bezárt szögét, az úgynevezett irányszöget értjük (1.1. ábra). 11

12 y P(r, ψ) r ψ x ábra. A síkbeli matematikai derékszögő koordinátarendszer és a polár koordináták Az irányszöget úgy értelmezzük, hogy a +x tengelyt az óramutató járásával ellentétes értelemben a helyvektor irányába forgatjuk. A síkbeli derékszögő és polár koordináták között az alábbi összefüggések írhatók fel: x r cos ψ (1.6.) y r sin ψ (1.7.) r x + y (1.8.) y tan ψ x (1.9.) A matematikai koordinátarendszerben az irányszöget, mint forgásszöget, az óramutató járásával ellentétes irányban értelmezzük. A geodéziában viszont az óramutató járásával egyezı irányban értelmezzük. A geodéziai koordinátarendszerben a pont koordinátáinak definiálása a matematikai koordinátarendszeréhez hasonló, azonban a koordinátatengelyek, a forgásszög értelmezésének következtében, fel vannak cserélve (1.13. ábra). Az irányszöget a geodéziában úgy értelmezzük, hogy a +x tengelyt az óramutató járásával egyezı értelemben forgatjuk a kérdéses irányba. A koordinátatengelyek felcserélésének ellenére, a derékszögő és a polár koordináták közötti összefüggések a geodéziai koordinátarendszerben ugyanazok maradnak. A geodéziában egyes mennyiségekre vonatkozóan kialakult egy sajátságos jelölésrendszer, így az irányszöget δ-val, a távolságot pedig t-vel jelöljük. Az ábra jelöléseinek megfelelıen tehát írhatjuk, hogy: y t sin δ (1.10.) x t cos δ (1.11.) t y + x (1.1.) y tan δ x (1.13.) + x y P(y,x) x δ t + y ábra. A geodéziai koordinátarendszer Az irányszög számításának gyakorlati végrehajtásához meg kell jegyeznünk, hogy az (1.13.)-as öszszefüggés szimbolikus. A geodéziában a szögeket ugyanis mindig 0 és 360 között értelmezzük. Így (1.13.) az iránynak a koordináta-rendszerbeli helyzetétıl függıen nem az irányszöget, hanem annak fıértékét adja eredményül (1.14. ábra). Az irányszög fıértéke alatt azt a szöget értjük, amelynek 1

13 függvényértéke abszolút értékben megegyezik az irányszög szögfüggvényének abszolút értékével. Az irányszög fıértékbıl történı számítására többféle algoritmust is követhetünk. - + δ α + X α + Y α α δ δ ábra. Az irányszög számítása a fıértékbıl Az egyik lehetıség, hogy képezzük az y és az x koordináták hányadosának abszolút értékét és ebbıl meghatározzuk elıször a fıértéket: y α arctan x (1.14.) Ezt követıen pedig az y és az x koordináták elıjele alapján megállapítjuk az irány koordinátanegyedbeli helyzetét alkalmazva az 1.1. táblázat utolsó oszlopában szereplı összefüggéseket táblázat Elıjel Negyed y x Irányszög I. + + δ α II. + - δ 180 α III. - - δ α IV. - + δ 360 α Elsı geodéziai fıfeladatnak (1.15. ábra) nevezzük azt az esetet, amikor adott egy A pont derékszögő koordinátáival, továbbá a pontra menı távolság és irányszög, és meg kell határoznunk a pont derékszögő koordinátáit. Második geodéziai fıfeladatnak (1.15. ábra) nevezzük azt az esetet, amikor adott egy A és egy B pont derékszögő koordinátáival, és meg kell határoznunk a két pont közötti távolságot és irányszöget. Az elsı geodéziai fıfeladat lényegében a poláris pontszámítással egyezik meg, a második geodéziai fıfeladat pedig a tájékozás számításának lesz az egyik alapfeladata. Az elsı geodéziai fıfeladat összefüggései: (1.15) A második geodéziai fıfeladat összefüggései: 13

14 (1.16) Az 1.16-os összefüggésben a tangens visszakeresése ugyancsak az irányszög fıértékét adja eredményül, melybıl az irányszög a szögnegyed megállapításával számítható a y AB és a x AB elıjele alapján az 1.1 táblázatból. Megjegyezzük, hogy az 1.15 és 1.16 összefüggések számítása automatikusan lehetséges a számológépek poláris ortogonális koordináta átalakító programjával. Ezen programok mőködése számológép típusonként más és más; a legtöbb gépen a POL és RE feliratú billenytők szolgálnak a számításra (pl. ASIO), míg más típusú számológépeknél az xy és rθ gombok (pl. SHARP). Arra kell csak odafigyelni, hogy a számológépek matematikai rendszer szerint kezelik a koordinátákat, azaz azokat x és y sorrendben kell mindig bevinni ábra Az elsı és második geodéziai fıfeladat értelemzése A helymeghatározás egyik esete, amikor egy objektum helyzetét csak egydimenzióban kell megadnunk. Ez nem jelent mást, mint egyetlen távolságnak a meghatározását, amelyet magasságnak nevezünk 1. Ebben az esetben csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi a pont távolsága egy adott vonatkoztatási szinttıl (1.16. ábra). Ezt a távolságot a pont és annak felületi talppontja között értelmezzük a ponton átmenı felületi normális mentén. Ha a vonatkoztatási felület a közepes óceán- vagy tengerszintnek megfelelı felület, akkor ezt a távolságot tengerszintfeletti magasságnak nevezzük. A magasság ilyen egyszerő geometriai megfogalmazása nem egyértelmő, ezért, mint majd felsıgeodéziából látni fogjuk, a magasság csak fizikai úton definiálható. P(H) H ábra. Egydimenziós helymeghatározás 1 A magasság fogalmának pontosításával, illetve a különbözı magasságfogalmakkal Geodézia II-ben fogunk részletesebben foglalkozni. 14

15 A helymeghatározásban külön mérési módszereket és mérıeszközöket fejlesztettek ki a kétdimenziós és az egydimenziós helymeghatározás esetére, mert a két helymeghatározási módszer vonatkoztatási rendszere nem egyezett meg egymással. A térbeli, azaz a 3D helymeghatározás története alig néhány évtizedre tekinthet vissza, így a célszerő terepi munkavégzés érdekében kialakult egy köztes megoldás; egy úgynevezett +1 dimenziós helymeghatározás is (1.17. ábra). A kétdimenziós helymeghatározó adatokat a öld alakját legjobban megközelítı szabályos felületre vonatkoztatták (ld... fejezet), míg a harmadik dimenziót a tengerszint feletti magasság szolgáltatja (1.16.ábra). Klasszikusan a kétdimenziós helymeghatározó adatokat csillagászati mérési módszerekkel határozták meg, amely a pontok földrajzi koordinátáit, a földrajzi szélességet és a hosszúságot adta eredményül. A helymeghatározás mai gyakorlatában, elsısorban a mőholdas helymeghatározás technológiájának következtében, mind a háromdimenziós, mind a +1 dimenziós helymeghatározás párhuzamosan létezik. Napjainkban emiatt a kettıség miatt ezért központi szerepet játszanak azok a tudományos kutatási munkák és vizsgálatok, amelyek a háromdimenziós és a +1 dimenziós vonatkoztatási rendszerek közötti kapcsolatot vizsgálják. P(u,v,H) H P o 1D P o u v D ábra. A +1 dimenziós helymeghatározás elve Az ábrához kapcsolódva egy fontos kiegészítést kell tennünk. A P pontot az egydimenziós helymeghatározás vonatkoztatási felületére a P pontból a vonatkoztatási felületre bocsátott merıleges mentén vetítettük le. Így kaptuk a P O pontot. Ezt a döféspontot azonban a kétdimenziós helymeghatározás vonatkoztatási felületére már úgy vetítettük tovább, hogy a P O pontból bocsátottunk merılegest a kétdimenziós helymeghatározás vonatkoztatási felületére, kapva ezáltal a Po pontot. A két normális tehát nem azonos, pontosabban fogalmazva, nem feltétlenül esik egybe egymással. Erre a különbségre a.. fejezetben a öld elméleti alakjának a tárgyalásakor visszatérünk A helymeghatározás végrehajtásának módszerei A helymeghatározás végrehajtásának módszereit három fı csoportba osztjuk. Ezek a - földi módszerek, - távérzékelés, - és a mőholdas helymeghatározás. öldi módszerek esetén a koordináták meghatározásához vízszintes és magassági szögeket valamint távolságot mérünk. A szögmérés végrehajtására szolgáló mőszert teodolitnak nevezzük. A távolságok mérését mérıszalaggal vagy távmérıvel végezzük. A mai mőszerekben egyesítik a szögmérı és a távmérı egységet, azaz a teodolitot és a fizikai távmérıt. Ezeket a mőszereket mérıállomásoknak nevezzük (1.18. ábra). A mérıállomások jellemzıje, hogy lehetıvé teszik a mérési eredmények digitális formában történı tárolását, valamint, hogy a méréseket programvezérelt formában a mőszer- 15

16 be épített különbözı mérési programok felhasználásával hajtsuk végre. A magasságok meghatározására szintezımőszert alkalmazunk. A szintezımőszer tartozéka a szintezıléc ábra. A földi helymeghatározás mérıeszközei és mőszerei: mérıszalag, mérıállomás, szintezımőszer és szintezıléc A távérzékelés jellemzıje, hogy a helymeghatározást mérıképek felhasználásával végezzük. A mérıképeket ma már digitális kép formájában állítják elı légifényképezı repülıgépeken elhelyezett digitális légi kamarák (Digital Airborne amera) vagy egyéb szenzorok segítségével (1.19. ábra). A távérzékelésnek ezt a szakterületét fotogrammetriának nevezzük ábra. A légi fotogrammetria eszközei. Balra: légfényképezı repülıgép. Jobbra: a légifényképezı repülıgép belülrıl a mérıkamarával és az operátorral A digitális mérıképek kiértékelésének eredményeként többféle végterméket állítanak elı. Egy ilyen lehetséges végtermék a digitális ortofotó (1.0. ábra). A fotogrammetriának egyik speciális szakterülete, amikor az érzékelık platformja nem egy repülıgép, hanem azokat a mérıállomásokhoz hasonlóan, egy mőszerállványon helyezik el. Ezt nevezzük földi vagy közel fotogrammetriának. A közel fotogrammetriának szerteágazó alkalmazásait találjuk a mőemlékvédelemben, régészeti feltárások során, stb. A távérzékelés harmadik esetében a szenzorok platformjait a öld körül keringı mőholdak jelentik. A mőholdakon elhelyezett szenzorok a öld körüli keringés során a öld felszínének egy meghatározott sávját tapogatják le (1.1.ábra). Az elkészült felvé ábra. Digitális ortofotó teleket megfelelı kapcsolat útján a földi elıfeldolgozó állomásokra továbbítják. 16

17 1. 1. ábra. Távérzékelés Őrfelvételek készítése A távérzékelés további speciális alkalmazási területe a digitális domborzatmodellek készítésében van. Ilyenkor a repülıgépen egy mikrohullámú vagy lézerletapogató rendszert helyeznek el. Ennek során a repülıgépen elhelyezett radar vagy lézerszkenner folyamatosan méri a terepfelszíntıl való távolságot. A feldolgozás elıfeltétele, hogy a mérés végrehajtásával egyidejően ismerni kell a szenzor térbeli koordinátáit. A legismertebb ilyen rendszer az úgynevezett oldalra nézı légi radar rendszer (Side-Looking Airborne Radar SLAR, 1.. ábra). 1.. ábra. Az SLAR rendszer. Balra: radar a repülıgép hasára erısítve. Jobbra: a radar kép, mint termék Közelfelmérési feladatok során is alkalmaznak lézerszkennereket elsısorban mőszaki létesítmények felmérése és háromdimenziós megjelenítése céljából (1.3. ábra) ábra. A Leica HDS3000 lézerszkenner és a felmérés eredménye: háromdimenziós modellezés és megjelenítés A mőholdas helymeghatározás a öld körül keringı mőholdakra végzett méréseken alapul. A helymeghatározás alapelve, hogy meghatározzuk a mőholdak és a földi pontokon elhelyezett vevık közötti távolságot az elektromágneses hullám futási ideje vagy fázishelyzete alapján. Jelenleg több ilyen globális helymeghatározó rendszer üzemel. A legismertebb az Amerikai Egyesült Államok által fenntartott NAVSTAR GPS, az Oroszország által üzemeltetett GLONASSZ és az Európai Őrhajózási Ügynökség és az Európai Unió közös finanszírozásában megvalósított GALILEO elnevezéső mőholdas helymeghatározási rendszer (1.4. ábra). 17

18 1. 4. ábra. Bal: A GLONASS (balra fenn) és a NAVSTAR GPS (jobbra lenn) mőholdjai. Jobb: a NAVSTAR GPS pályái 1.5. A geodézia feladata és felosztása A geodézia a öld felületének és létesítményeinek meghatározásával és ábrázolásával foglalkozó tudomány. eladata kettıs: egyrészt a öld alakjának és méretének a meghatározása, másrészt a öld felszínén és a felszín alatt található természetes és mesterséges alakzatok geometriai adatainak megállapítása és ezek alapján az alakzatok ábrázolása. Ez utóbbi esetben a öld felszíne alatt a öld topográfiai felszínére gondolunk, tehát arra, amely a szárazföldeket és a vizeket elválasztja a levegıtıl. Ez a felület szabálytalan, a természet erıinek és az emberi behatásoknak következtében tele van esetlegességekkel és folyamatosan változik, tehát gyakorlati ismerete elengedhetetlenül fontos a gyakorlati munkák szempontjából. A definícióban említett második feladat tehát a gyakorlati geodézia céljait foglalja össze. Az elsı helyen említett feladat az elméleti geodézia feladatait foglalja össze. Amikor a öld alakjáról beszélünk, akkor már nem a öld topográfiai felületére gondolunk, hanem egy olyan felületre, amely idealizált képe a felszínnek, és nem tekinti a felszín kiemelkedéseinek és mélyedéseinek rendkívüli változatosságát. Mind az elméleti mind a gyakorlati szempontból vizsgálva a geodézia tudományát a felület tehát adott, pontjainak helyzete ismert egy adott koordinátarendszerben, így a geodéziát a helymeghatározás tudományának szokás tekinteni. Az elméleti és a gyakorlati geodézia feladatainak a megvalósítása során egy bizonyos pontig együtt halad. Mindaddig, amíg olyan ismereteket tárgyalunk, amelyek a öld elméleti alakjának a meghatározásához szükségesek, de egyben nélkülözhetetlenek a gyakorlati geodézia feladatainak a megoldásához (pl. a földfelszín egy nagyobb darabjának a meghatározása, úgymint kontinens vagy ország), a felsıgeodézia területén mozgunk. A felsıgeodéziában az elméleti és a gyakorlati geodézia összefonódik. A tisztán gyakorlati célú feladatok megoldása (pl. bemérés, kitőzés) az alsógeodézia tárgykörébe tartozik. Szokás a felsı-és alsógeodézia között a határt olyan módon megvonni, hogy az alsógeodézia ott kezdıdik, ahol a földfelszín megismerésére végzett mérésekben és számításokban a öld görbefelület voltától már eltekintünk, azaz a méréseink színhelyét síknak tekintjük. Ez a meghatározás azonban nem tekinthetı szabatosnak, hiszen vannak olyan geodéziai feladatok, amelyek ugyan az alsógeodézia tárgykörébe tartoznak, de nem tekintünk el náluk a öld felszínének görbültségétıl pl. szintezés, trigonometriai magasságmérés stb. Akár az elméleti akár a gyakorlati geodézia céljait tartjuk szem elıtt, a tudományunk voltaképpen geometria a szó eredeti (földmérés) értelmében. Régebben ezért nevezték a földmérıket geometráknak. A tudományok fejlıdésének története magyarázza, hogy az egy tıbıl fakadt két tudomány korábban kifejlıdött ágának, az alakzatok törvényszerőségeit kutató ismeretek összességének a neve (geometria) utal vissza a közös tıre: a földmérési tevékenységre. A geodézia görög eredető szó és földosztást jelent. Az elnevezést az ókor egyik görög tudósának, Arisztotelésznek (ie ) tulajdonítják. A geodézia önállósulása csak a XVIII. században indult meg, jelentıs területeket hódítva el a csillagászattól. A csillagászat egyik fejezete, amely az égitestek helyének és pályájának a megha- 18

19 tározásával foglalkozik, ma a felsıgeodézia tárgykörébe tartozik. A geodézia rokontudományai közül tehát a geometriát és a csillagászatot lehet kiemelni, azonban a geodéziai feladatok megoldásakor bıven használunk matematikai összefüggéseket is, azért vannak, akik a geodéziát az alkalmazott matematika egyik példájaként említik. Az elméleti geodézia feladata a öld alakjának és méretének meghatározása, és ez jelentıs fizikai ismereteket igényel, így a rokontudományok között a geofizika is elıkelı helyet foglal el. A öld alakjának és belsı szerkezetének ismerete azonban fontos ismereteket szolgáltat más égitestek kialakulásához is, így egy újabb helyen kapcsolódik össze a geodézia a csillagászattal, a kozmogónia tudományterületében. A geológia és a geodézia kapcsolata is igen szoros; míg a geológia a gyakorlati mérésekhez szolgáltat adatokat, addíg a geodézia a öld kérgében bekövetkezett mozgásokról tud tájékoztatást adni a geológiának. A öld felszín leírásának tudománya, a geográfia müködése elképzelhetetlen a geodézia által szolgáltatott adatok nélkül. A geodézia nem csak a felszín természetes és mesterséges alakzatainak a megismerésével foglalkozik, hanem a felszín alatti természetes és mesterséges terekkel is. Így a bányamérés a geodézia egy nagy hagyományokkal rendelkezı, önálló ágának tekinthetı. Már az újkor hajnalán felmerült néhány a öld elméleti alakját érintı probléma, és ennek a meghatározását részben a nehézségi erı alakulásához kötötték, így a földmérési tevékenység kibıvült ennek a meghatározásával is, a gravimetriával. A fényképezés feltalálása egy új fejezetet nyitott a földmérés és a térképészet addigi történetében, megszületett a fotogrammetria (fényképmérés), amely idıvel önálló szakterületté, az elsı őrfelvételek megjelenését követıen pedig távérzékelés néven önálló tudománnyá vált szeptemberében indították az elsı mőholdas helymeghatározó rendszer prototípusát, amelyet 1964-ben használtak elıször tengeri navigációban. A rendszer a Navy Navigation Satellite System elnevezést kapta. A rendszer 1967 nyarától lett elérhetı polgári célú felhasználásra, megteremtve az alapját a mai modern globális mőholdas helymeghatározó rendszereknek (röviden GNSS-rendszerek). A számítástechnika fejlıdése lehetıséget teremtett nagy mennyiségő adathalmaz gyors és korszerő feldolgozására, valamint új adatfeldolgozási módszerek megszületésére és alkalmazására. A térképeket már nemcsak papír alapon szerkesztették, hanem az erre a célra fejlesztett szoftverekkel, amelynek eredményeként megszületett a digitális kartográfia. Különbözı adatmodelleket fejlesztettek ki, amelyek lehetıvé tették a terepi objektumok kvantitatív és kvalitatív jellemzıinek adatbázisban történı tárolását is. Ezek az információk naprakészen módosíthatók és kiegészíthetık lettek. Kialakult a térinformatika, amelyre ma már országok teljes gazdasági élete és infrastruktúrája épül. E rövid történeti fejlıdés ismertetése után azonban érdemes ismertetni néhány, a távolabbi és a közelmúltból származó definíciót, amely a geodézia feladatát ismerteti. Bruns ( ), akit a háromdimenziós geodézia elsı megalapozójának tekintenek a következıképpen fogalmazott (1878): A geodézia feladata a öld elméleti alakját leíró potenciálfüggvény meghatározása. riedrich Robert Helmert ( ), akinek a nevével tanulmányaink során még többször fogunk találkozni, a következıképpen fogalmazott (1880): A geodézia a földfelszín mérésének és térképezésének a tudománya. Úgy tőnik ez a kétféle megfogalmazás elég eltérı egymástól, az egyik a helymeghatározásról szól, a másik a öld nehézségi erıterérıl. Külön fogalmazták meg ezeket a feladatokat, de valójában összetartoznak, a kettı együttesen jelentkezik. Természetesen több definíció is napvilágot látott, amelyekben gyakran tükrözıdik az azt megalkotó szakember szemlélete és tudományos munkássága egyaránt. Az egyik legjobban elfogadott megközelítés Heiskanen( ) és Vening Meinesz ( ) nevéhez főzıdik (1958): A geodézia elméleti és gyakorlati részre osztható. Ezek pedig: - elméleti geodézia, amely a öld méretének és alakjának a meghatározását jelenti, - gyakorlati geodézia, amelynek feladata a gyakorlati helymeghatározás. Könnyő belátni, hogy ez a megfogalmazás az ötvözete a Bruns-féle és Helmert-féle definícióknak. 19

20 Dr. sepregi Szabolcs, Gyenes Róbert, Dr. Tarsoly Péter: Geodézia I. Ha a fentebb tárgyalt szakmai fejlıdésre gondolunk, akkor belátható, hogy már ez a definíció sem állja meg igazán a helyét, hiszen a helymeghatározásnak nemcsak geodéziai módszerei vannak, így ezt a fajta megközelítést is finomítanunk kell. Történetileg azonban nem a geodézia feladatát f fogalmazták újra, hanem egy új, összefoglaló elnevezést vezettek be, kifejezve az integrációját mindazon szakterüszakter leteknek, amelyek korábban a földmérésbıl és a térképészetbıl fejlıdtek ki. Ez lett a geomatika. A geomatika kifejezés az 1960-as as és az 1970-es 1970 évek fordulóján hangzott el elıször. Az elnevezést a francia Bernard Dubuissonnak (ompiègne ompiègne-i egyetem, ranciaország) tulajdonítják, de legelıször mégis a tengerentúlon, elsısorban Kanadában vették át ezt a kifejekifej zést. A geomatikában kifejezésre jut minden, ami a ábra. A geomatika szőkebb értelemben ( helymeghatározással kapcsolatos: adatgyőjtés, adatfeldolgozás, feldolgozás, adatelemzés, megjelemegjel nítés és adatkezelés. lés. A geomatika magában foglalja lalja a geodéziát, térképészetet, térk térinformatikát (földrajzi információs rendszerek), rendsz navigációt, távérzékelést, digitális képfeldolképfeldo gozást, zást, valamint a földügyi szakigazgatást és az azzal kapcsolatos úgynevezett földföl ügyi információs rendszereket. Meg kell jegyeznünk, egyeznünk, hogy egyes szakkönyvekben a geomatika alatt értik ezen kívül a geológiát, geofizikát, vízépítést, környezetvédelmet, minden olyan tudományterületet, amely kök ábra. A geomatikai termékek és szolgáltatások felhasználói ( tıdik a térbeli adatokhoz. Geomatika alatt tehát mind szőkebb (1.5. (1. ábra) és mind tágabb b területet átfogó, integrálódott tudományok összességét értjük. A geomatika termékeit és a rá épülı szolgáltatásokat nagyon jól szemlélteti az ábra. Az ábrán héjszerkezetben láthatjuk a felhasználók, a geomatikai ipari szektor, mint elıállító, és a térbeli adat infrastruktúra szerkezetét. Mindent egybevetve azt mondhatjuk, hogy a geomatika helyhez kötött kvantitatív és kvalitatív adatok győjtését, modellezését, feldolgozását, elemzését, megjelenítését és kezelését jelenti, integrálva mindazon szakterületeket, ületeket, amelyekben a helymeghatározás központi szerepet játszik. ontos kiemelkieme ni, hogy a geomatika nem a geodéziát váltotta fel. A geodézia, mint önálló tudományterület megmamegm radt, de ma inkább annak integrálódott szerepét hangsúlyozzuk ki. A geodézia a geomatikán belül a helymeghatározás tudománya maradt. Tárgyalja a különbözı mérési és adatfeldolgozási módszeremódszer ket, a vonatkoztatási rendszerek definiálását és azok gyakorlati megvalósítását, valamint a feldolgofeldolg zás eredményének különbözı megjelenítési módszereit mód sík- vagy térbeli megjelenítés formájában.mindennek az alapja azonban az, hogy modelleznünk kell azt az égitestet, amelyen élünk, ameam lyen a méréseinket végrehajtjuk, és amelyen lévı objektumokat ábrázolni akarjuk. Ezért elıször a öld elméleti alakjával jával kapcsolatos alapismereteket tárgyaljuk a következı fejezetben. Az érdekesség kedvéért megemlítjük, hogy Magyarországon a köznyelvben a geodézia és a földmérés ugyanazt jelenti. jelenti A földmérést végzı szakembert geodétának vagy földmérınek nevezik. Egyes országokban a geodéziát és a földmérést megkülönböztetik egymástól. Így geodézia alatt az úgynevezett elméleti geodéziát, míg földmérés alatt a gyakorlati geodéziát értik. Az angol nyelvterületen ennek megfelelıen beszélnek geodesy-r geodesy ıl és surveying-rıl,, a német nyelvterületen pedig Geodäsie-rıl és Vermessung-ról. ról. Magyarországon az elméleti geodéziát, elsısorban az elsı német nyelvő könyvek direkt fordításának eredméeredm 0

21 nyeként felsıgeodéziának (lásd: Helmert.R.: Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie, 1880), a gyakorlati geodéziát pedig általános vagy alsó geodéziának is nevezik. Kérdések, feladatok 1. Mit értünk hely alatt?. Mi a különbség a tulajdonképpeni helymeghatározás és a navigáció között? 3. Mit értünk entitás alatt? 4. Mit értünk kvantitatív adatok alatt? 5. Soroljon fel példákat kvantitatív adatokra! 6. Mit értünk kvalitatív adatok alatt? 7. Soroljon fel példákat kvalitatív adatokra! 8. Mit értünk a helymeghatározás értelmezési tartománya alatt? 9. Mit értünk generalizálás alatt? 10. Soroljon fel példákat természetes és mesterséges objektumok alakjelzı pontjainak a modellezésére! 11. Ismertesse a öldhöz kötött vonatkoztatási rendszer definícióját! 1. Milyen okai lehetnek a öld forgástengelyének idıbeli változásának? 13. Mit nevezünk handler-periódusnak? 14. Mi vezetett a pólusmozgás felfedezésére? 15. Mit nevezünk inerciális koordináta rendszernek? 16. Mit értünk kvázi-inerciális koordináta rendszer alatt? 17. Ismertesse az alapponthálózatok létrehozásának mai, korszerő módszerének fıbb lépéseit! 18. Ismertesse a háromdimenziós helymeghatározó adatokat. Készítsen ábrát! 19. Ismertesse a kétdimenziós Gauss-féle derékszögő felületi koordináták alapelvét! Készítsen ábrát! 0. Hogyan számoljuk az irányszöget és távolságot derékszögő koordináták alapján? 1. Hogyan számoljuk a pont derékszögő koordinátáit polár koordináták alapján?. Ismertesse az irányszög fıértékbıl történı számításának eseteit! 3. Mit nevezünk elsı és második geodéziai fıfeladatnak? 4. Mit értünk egydimenziós helymeghatározás alatt? 5. Mi a jellegzetessége a D +1D helymeghatározásnak? 6. Mi az alapelve a távérzékelésen alapuló helymeghatározásnak? 7. Mi az alapelve a légi fotogrammetrián alapuló helymeghatározásnak? 8. Ismertesse a geodézia különbözı értelmezéső definícióit! 9. Hogyan értelmezzük Magyarországon a geodézia fogalmát? 30. Mit értünk geomatika alatt? 31. Milyen szakterületek tartoznak a geomatika szőkebb és tágabb értelmezési körébe? 1

22 . A öld elméleti alakja.1. Történeti áttekintés A öld alakjának a kérdése már az ókor tudósait is foglalkoztatta. Kezdetben a öldet korong alakúnak képzelték, ahol a szárazföldeket végtelen kiterjedéső tengerek határolják. Elsıként Platón (ie ) és Arisztotelész (ie ) bizonyították elveiket arról, hogy a öld gömb alakú. Az elsı kisérleti mérést Erasztotenész (ie ) végezte el a gömbalak igazolására vonatkozóan. Megfigyelték ugyanis, hogy Sziénében, a mai Asszuánban Egyiptomban, a nyári napforduló idején a Nap sugarai merılegesen esnek a kútba, míg ugyanezen a napon Alexandriában a tárgyak árnyékot vetnek (.1. ábra). elismerték, hogy ez csakis úgy lehetséges, ha a két település között a öld felszíne görbült.. 1. ábra. Erasztotenész mérési kísérlete Éppen ezért megmérték egy gnomonnak az árnyékát Alexandriában akkor, amikor a kútba Asszuánban a Nap sugarai merılegesen estek. Ahhoz, hogy a öld sugarát meghatározzák, ismerni kellett a gnomon árnyékának a hosszát, valamint Asszuán és Alexandria között a távolságot. A távolságot egy tevekaraván menetidejébıl vezették le. Bár az Erasztotenész által használt mértékegység mai, méterben kifejezett hosszát nem ismerjük pontosan, a becslések szerint km egységben a öld negyed kerületére kb km-t kapott eredményként. igyelembe véve a mérési módszert és a mai ismert, kb km-es értéket, elmondható, hogy Erasztotenész mérése a öld sugarára vonatkozóan megfelelıen pontos volt ahhoz, hogy igazolást nyerjen elmélete. Hozzá kell tennünk azonban, hogy a mérési módszeren túl a kísérleti mérés több feltételezést is tartalmazott. Az egyik, hogy Sziéne és Alexandria egy hosszúsági kör mentén fekszik, a másik pedig, hogy Siene a Ráktérítın helyezkedik el. Mint tudjuk, egyik sem igaz, így ezek a közelítések is jelentıs hibaforrásokat jelentettek. Erasztotenészhez hasonlóan, Poszidóniusz (ie ) szintén a meridiánív hosszán alapuló kísérleti mérést hajtott végre Alexandria és Ródosz szigete között. Megfigyelte, hogy bizonyos csillagok Ródosz szigetén a horizonthoz közel helyezkednek el, míg ugyanazok Alexandriában nagyobb magassági szög alatt látszanak. A magassági szögek különbségére a teljes kör 1/48-ad részét kapta eredményként. Ródosz és Alexandria közötti távolságot a hajó menetidejébıl vezette le. Eredményként a öld negyed kerületére km-t kapott. Amíg az említett kísérletek tisztán a geometriai földalak meghatározására irányultak, addig Ptolemaiosz (isz. II. század) már foglalkozik a öld ábrázolásának matematikai alapjaival. Elıdei

23 munkásságára alapozva a öldet gömb alakúnak képzelte és ennek megfelelıen készítette térképeit is. A görögöket követıen csak a IX. században hajtottak végre általunk is ismert fokmérést a mai Irak területén. Ennek elızménye a Ptolemaiosz által készített térképek voltak, amelyek Európában egészen a XIII. századig feledésbe merültek, de az arabok a bizánci szerzetesek által rejtegetett kolostorban rábukkantak mőveire 1. A nagy felfedezések korában kereskedelmi és katonai célokból egyre pontosabb térképekre volt igény, amelyek többsége már felmérésen alapult. Miután Magellán ( ) hajósai körbehajózták a öldet, már megdönthetetlen bizonyíték állt rendelkezésre arra vonatkozóan, hogy a öld gömb alakú. Ezt követıen a öld méretének a meghatározásához már másmilyen jellegő méréseket, úgynevezett háromszögelésen alapuló fokméréseket hajtottak végre (.. ábra). Ezáltal lehetıvé vált egymástól nagyobb távolságra fekvı pontok közötti távolság közvetett úton történı meghatározása. Ezen a téren ma sem tisztázott egyértelmően, hogy kinek a nevéhez főzıdik a háromszögelés gondolata. Egyesek a holland Willebrord Snelliusnak ( ), míg mások Tycho-Brachenek ( ) és Augustin Hirschvogelnek ( ) tulajdonítják az alapelvet. Éppen ezért az elsı, nem háromszögelésen alapuló fokmérés idejét is elıbbre helyezik a történelemben. Úgy tartják, hogy az elsı középkori fokmérést Jean ernel ( ) végezte titokban kerékfordulat számlálóval Párizs és Amiens között 155-ben. A tudományos forradalom idején azonban már fizikai elméleteken alapuló ismeretek álltak rendelkezésre a öld alakjára vonatkozóan elsısorban Isaac Newton ( ) és hristiaan Huygens ( ) jóvoltából. Newton tisztán gravitációs törvényeken alapulva jutott arra a következtetésre, hogy a öld nem gömbölyő, hanem a sarkoknál lapult ( narancs alak). A rancia Tudományos Akadémia megbízásából a lapultság igazolására Jean Picard abbét ( ) bízták meg a fokmérések végrehajtására Amiens és Malvoisine között. Késıbb Picard munkáját Jacues assini ( ) terjesztette ki Dunkerque és a spanyol határ között, de úgy, hogy az ívet két részre osztotta Párizsnál. assini a számítások eredményeként azt kapta, hogy az északi láncolatrészen az egy fok középponti szöghöz tartozó távolság rövidebb, mint a déli részen. Ez pedig, gondolta, csakis úgy lehetséges, ha a öld metszete az Egyenlítınél lapult ellipszishez hasonló, azaz a csúcsoknál (sarkoknál) dudorodik ki ( citrom alak). Ez pedig éppen az ellenkezıje volt annak, mint amit Newton és Huygens vallott. A vita eldöntésére a francia akadémia két expedíciót szervezett egymástól távol esı területeken végzendı fokmérések céljából. Az egyiket Lappföldre szervezték, ahol Pierre Louis Moreau Maupertius ( ) irányította a méréseket ( ). A másik expedíciót Peruba szervezték és hajtották végre 1735 és 1744 között Pierre Bouguer ( ) vezetésével. Az expedíciók mérései alapján végzett számítások igazolták, hogy a öld a sarkoknál lapult.. ábra. okmérés háromszögeléssel A dél-amerikai expedíció során azonban Bouguer azt tapasztalta, hogy a csillagászati úton meghatározott földrajzi koordináták jelentıs eltérést mutatnak azoktól az értkektıl, amelyeket a háromszögelés eredményébıl számítani lehet. Ezen kívül az eltérések szabályosságot mutattak az Andokhoz közeli 1 A korai középkorban, amikor a tudományos gondolkodást meghatározta az egyház jelenléte és a vallásos gondolkodás, számos eretneknek minısített, ám valójában nagy tudományos értékő földrajzi, térképtani mővet semmisítettek meg. Ebben a korban, az ókor szellemi örökségének átmentésében meghatározó szerepe volt az Arab Birodalomnak. 3

24 területeken. Úgy vélte, hogy a csillagászati úton meghatározott földrajzi koordinátákra a hegy tömege vonzást gyakorol, mintha a függılegest valami húzná a nagy tömegek irányába. A helyi függıleges tehát nem egyezik meg azzal, ami a öld geometriai alakjához kötıdik, nevezetesen az ellipszoidi normálissal. Ha képzeletben ezekhez a függılegesekhez merılegesen egy diffenciális felületet rendelünk és ezeket egymáshoz illesztjük, akkor nyilvánvaló, hogy a forgási ellipszoidnál egy sokkalta bonyolultabb felületet kapunk eredményül (.3. ábra). helyi függıleges ellipszoidi normális. 3. ábra. Bouguer feltevése a öld alakjára vonatkozóan Ez a felismerés vezetett oda, hogy a öld elméleti alakját nem lehet tisztán geometriai úton megadni, hanem az szoros összefüggésben van a tömegvonzással, nevezetesen a öld nehézségi erıterével. Késıbb ezt az elméleti földalakot Johann Benedict Listing ( ) javaslatára (1873) geoidnak nevezték el. Ahhoz, hogy a öld elméleti alakját jobban megértsük, a öld nehézségi erıterét különbözı fizikai mennyiségekkel kell leírnunk. A fizikai mennyiségek bevezetését követıen azonban látni fogjuk, hogy a öld elméleti alakja egy olyan bonyolult felülethez vezet, amely a gyakorlati kétdimenziós helymeghatározás mérési eredményeinek a feldolgozására nem alkalmas, ezért további modellek bevezetésére lesz szükség. De mindenekelıtt a nehézségi erıtér jellemzésével kapcsolatos fizikai és matematikai alapismereteket tekintjük át a következı fejezetben... A öld nehézségi erıtere és modellezése A föld nehézségi erıtere jellemzésének megértése céljából tekintsük a.4. ábrát, amely a öld egy, a dm i dv i i P(X P,Y P,Z P,m) l i X i,y i,z i M t. 4. ábra. A tömegvonzás hatása 4

25 forgástengelyre illeszkedı metszetét ábrázolja. Tételezzük fel, hogy egy m tömegő test a felszínen helyezkedik el, és tőzzük ki célul a testre ható erık meghatározását. Mindenekelıtt a tömegvonzás hatását tárgyaljuk. Ha a öldet végtelen sok dv i térfogatelemre bontjuk, amelyeknek a tömege dm i, akkor ezek Newton tömegvonzási törvényének megfelelıen dmi m i G (.1.) li erıvel hatnak az m tömegő testre és viszont. A (.1.)-es összefüggés vektor formában a következıképpen írható: Xi XP dmi m l dmi m 1 i G G Yi Y P (..) l l l i li i Zi ZP A fenti összefüggésekben G jelöli az egyetemes gravitációs állandót, G N m öld belsı szerkezetébıl következıen azonban az egyes dm i tömegelemeknek más és más a sőrőségük. Következésképpen közvetlenül nem is a tömegre, hanem az egyes tömegelemek ρ i sőrőségére van szükségünk. Így a sőrőség, térfogat és a tömeg közötti kg. A m ρ (.3.) V összefüggést figyelembe véve, valamint konstans írhatjuk, hogy ρ i sőrőséget feltételezve a dm i tömegelem esetén dm i ρi dvi (.4.) A (.4.)-et (..)-be helyettesítve, kapjuk, hogy: Xi XP ρi dvi m 1 i G Yi Y P (.5.) li li Z i ZP A nehézségi erıtér modellezésekor a tömegvonzást úgy vesszük figyelembe, hogy (.5.)-öt kiterjesztjük a öld egészére vonatkozóan, azaz képezzük ezen erık eredıjét. Közelítésekkel így egy olyan gravitációs erıteret kapunk eredményül, ahol a tömegvonzást egy, a öld M tömegével egyezı tömegő tömegpont hozza létre, azaz a öld teljes tömegét ebbe az egy pontba koncentráljuk. Ha a öld alakját egy R sugarú gömbbel helyettesítjük, akkor m1 egységnyi tömeget feltételezve a gravitációs (tömegvonzási) erı nagysága az R sugarú öld felszínén XP XP M öld m l M öld i G YP G 3 YP (.6.) R R R Z P ZP 5

26 p P R. 5. ábra. A öld forgásának a hatása A öld forgásának a következtében azonban a öldfelszín egy pontjában lévı m tömegre hat a centrifugális erı is. A centrifugális erı a forgástengelyre merıleges és a forgástengelytıl kifelé hat. Most tehát csak azt feltételezzük, hogy az m tömegre csak a forgásból származó erı, azaz a centrifugális erı hat. Alkalmazzuk Newton II. törvényét, miszerint ebben az esetben a centrifugális erı az m tömegő test a P centripetális gyorsulásával tart egyensúlyt, azaz c m a P (.7.) Viszont a centripetális gyorsulás egy p sugarú körpályán v kerületi sebességgel mozgó test esetén v ap p (.8.) Bevezetve az ω szögsebességet a v kerületi sebesség helyett, nevezetesen v p ω, majd behelyettesítve (.8.) és (.7.) egyenletekbe, kapjuk, hogy c v p ω m m m p ω (.9.) p p Szintén m1 egységnyi tömegpont esetén (.9.) a következı lesz c p ω (.10.) A centrifugális erı vektora pedig 1 p ω p (.11.) p Az m tömegő testre azonban nemcsak a öld, de más égitestek is tömegvonzást gyakorolnak. A nehézségi erıtér modellezésekor általában csak a Nap és a Hold hatását veszik figyelembe (.6. ábra). A gravitációs erı az említett két égitest esetén a (.5.) alapján írható fel: XNap XP MNap 1 Nap G YNap Y P és l l Nap Nap ZNap ZP XHold XP MHold 1 Hold G YHold Y P (.1.) l l Hold Hold ZHold ZP 6

27 P N H. 6. ábra. A Hold és a Nap tömegvonzásának a hatása A nehézségi erıteret tehát a öld és más égitestek vonzása, valamint a öld tengelykörüli forgásának a segítségével írhatjuk le. ontos kihangsúlyozni, hogy a fenti gondolatmenetben feltételeztük, hogy a pont a terepfelszínen helyezkedik el és felette csak légüres tér található. Azonban az atmoszférának is van tömegvonzása, ami nem elhanyagolható. A gyakorlati számítások során azonban a öld M tömegét is úgy értelmezik, hogy az magában foglalja az atmoszféra tömegét is. A nehézségi vektort tehát három vektor eredıjeként kapjuk g t + + t( égitestek) (.13.) A (.13.)-as összefüggés gyakorlati szempontból több problémát is felvet. Az egyik a harmadik tag, nevezetesen a Nap és a Hold tömegvonzása. A öld Nap körüli keringése, a Hold öld körülikeringése, valamint a öld forgása következtében a öldfelszín egy tetszıleges pontjában lévı pont Naptól és Holdtól való távolsága nem állandó, hanem idıben változik. Következésképpen a g nehézségi vektor az idı függvénye, azaz nem állandó. Ezt az ún. ár-apály hatást azonban számítással figyelembe tudjuk venni, és hatását le tudjuk választani (.13.)-ból. Ezen kívül, mint azt az 1.1. fejezetben már említettük, a öld tengelykörüli forgása sem egyenletes, idıben változik. Ennek megfelelıen a centrifugális erı is függvénye az idınek. Ez a változás azonban olyan csekély, hogy jelenlegi tárgyalásmódunkat ez nem befolyásolja. P N H t g M. 7. ábra. A nehézségi vektor származtatása A nehézségi erıteret a nehézségi vektoron keresztül jellemezni körülményes, hiszen ehhez a vektor mindhárom komponensét kellene térben és idıben egyaránt leírni. Ezért praktikusabb egy skalár mennyiséget 1 bevezetni, amellyel a nehézségi erıteret egyszerőbben tudjuk jellemezni. Ez a skalármennyiség a potenciál, vagy egyszerőbben fogalmazva, a munka lesz. Ennek megértéséhez tekintsük a.8. ábrát. 1 Olyan mennyiség vagy adat, amelyet a nagysága is teljes egészében meghatároz. 7

28 P 0 α ds P i W i g W ábra. A nehézségi erıtérben végzett munka Tételezzük fel, hogy az egységnyi m tömegő testet a öld nehézségi erıterében a P 0 pontból egy elemi ds vektor mentén a P i pontba mozgatjuk. A P 0 pontban az m tömegő testre hat a g nehézségi erı. Amíg az m tömegő pontot a P 0 pontból a P i pontba mozgatjuk, a nehézségi erı ellen munkát végzünk, amelynek értéke a skalár szorzat szerint W g ds g ds cosα (.14.) A (.14.)-es összefüggésben α jelöli a nehézségi vektor és az elmozdulásvektor által bezárt szöget. Ha a P 0 ponthoz tartozó potenciált (helyzeti energiát) W 0 -val jelöljük, akkor W a W 0 helyzeti energiának a megváltozását fejezi ki. Azaz a pont egy W 0 potenciálú helyrıl egy W i potenciállal jellemezhetı helyre került. Tételezzük fel, hogy az elmozdulás a P 0 pontbeli nehézségi vektor irányára merılegesen történik egy attól elemi ds távolságra (.9. ábra). Ebben az esetben W g ds g ds cos90 0, (.15.) azaz munkavégzés nem történik. Ha az elemi ds vektort a nehézségi vektor irányára merılegesen körbeforgatjuk, akkor az elmozdulásvektor egy olyan elemi nagyságú felületet ír le, amelynek minden pontjára teljesül a (.15.)-ös összefüggés. Ezen elemi felület bármely pontjában a potenciál értéke W 0 - val egyenlı. Ha most a öld nehézségi erıterében képezzük ezen végtelen sok elemi felület összességét, akkor eredményül egy olyan felületet kapunk, amelynek minden pontjában a potenciál értéke állandó lesz. Ezt az azonos potenciálú felületet nevezzük ekvipotenciális felületnek. A potenciál vagy potenciálkülönbség bevezetésével tehát a nehézségi vektorteret ekvipotenciális felületekkel is le tudjuk írni. Ezeket a felületeket más néven szintfelületeknek nevezzük. g P 0 90 ds W 0 W i. 9. ábra. A szintfelület származtatása 8

29 A kérdés azonban az, hogy a öld elméleti alakjának a tárgyalásakor mit tekintsünk a W 0 értékő alapszintfelületnek. A öld felszínét mintegy 70 százalékban óceánok és tengerek borítják. Természetesnek tőnik ez alapján, hogy válasszuk azt a szintfelületet, amely ezt a képzeletbeli, nyugalomban lévı közepes óceán- és tengerszintet a legjobban megközelíti. Ezt a szintfelületet, amely képzeletben egybeesik a nyugalomban lévı közepes óceán vagy tengerszinttel, nevezzük elméleti öldalaknak, vagy más néven geoidnak. Utalva a.1. fejezetre látható, hogy a öld elméleti alakjára vonatkozóan tisztán fizikai alapokon ugyanarra az eredményre jutottunk, mint Bouguer tisztán geometriai és csillagászati mérések alapján. izikai értelemben az alapelv tehát egyszerőnek tőnik, hiszen csak ismerni kell a nehézségi gyorsulás értékét a közepes óceán vagy tengerszint magasságában. Ez azonban több problémát vet fel. Egyrészt szükség van olyan mőszerre, amellyel mérni lehet a nehézségi gyorsulás értékét. Ezeket a mőszereket nevezzük gravimétereknek. A graviméterekkel azonban a tengeren sokáig nem tudtak pontos nehézségi méréseket végezni. A másik probléma a szárazföldi területekkel kapcsolatos. A méréseket a terepfelszínen vagy a felszín alatt hajtjuk végre, és nem a tengerszinten. A terepi mért gyorsulásértékeket tehát a tengerszintre kell redukálni. Ezt viszont csak akkor tudjuk megtenni, ha ismerjük a pontos sőrőségeloszlást a mérés helye és a tengerszint között. George Gabriel Stokes ( ) ír fizikus 1849-ben ismertette ezzel kapcsolatos elméletét On the variation of gravity at the surface of the Earth címő munkájában. Ebben ismerteti a ma Stokes képletének nevezett összefüggést, amelynek különbözı módosított alakjai szolgálnak ma is alapul a geoid nehézségi méréseken alapuló meghatározásához. Elméletében feltételezte, hogy a nehézségi gyorsulás értéke a tengerszinten mindenhol ismert. Viszont a nehézségi gyorsulást nem ismerjük a hely folytonos függvényeként, hiszen nehézségi adatok csak ott állnak rendelkezésre, ahol méréseket is végeztek. Ezenkívől a nehézségi mérések geoidra történı redukciója is számos kérdést vet fel a felszín alatti sőrőségeloszlás nem kielégítı ismeretének a hiánya miatt. A geoid, mint alapszintfelület, nem írható le zárt matematikai összefüggésekkel. A felület bonyolultsága miatt nem alkalmas arra, hogy a kétdimenziós helymeghatározással kapcsolatos számításokat azon elvégezzük. Szükségünk van ezért egy közelítésre, bevezetve egy olyan matematikailag kezelhetö szabályos felületet, amely a geoidot globálisan a legjobban megközelíti. Ezt a forgási ellipszoidot azonban nem csak geometriailag, hanem fizikailag is definiáljuk, mégpedig a következıképpen: - a forgási ellipszoid tömege megegyezik a öld tömegével, - a forgási ellipszoid szögsebessége megegyezik a öld forgási szögsebességével, - a forgási ellipszoid felszíne is ekvipotenciális felület, - a forgási ellipszoid X és Z geocentrikus koordinátatengelyekre vonatkozó inercianyomatékainak különbsége megegyezik a geoid megfelelı koordinátatengelyekre vonatkozó inercianyomatékainak a különbségével, azaz IZZ(geoid) IXX(geoid) IZZ(ellipszoid) IXX(ellipszoid) Az X, Y és Z tengelyekre vonatkozó inercianyomatékokat merev test esetén, feltételezve, hogy a test elemi m i tömegpontokból épül fel, amelyeknek a koordinátái X i, Y i és Z i, a következıképpen definiáljuk: n n n I XX mi ( Yi + Zi ) I YY mi ( Xi + Zi ) I ZZ mi ( Xi + Yi ) i 1 i 1 i 1 A definíció alapján tehát a forgási ellipszoid is rendelkezik saját nehézségi erıtérrel. Ezt a nehézségi erıteret nevezzük normál nehézségi erıtérnek, a forgási ellipszoidot pedig normál ellipszoidnak. Tekintettel arra, hogy a normál ellipszoid a geoidnak a közelítése, annak egyszerősített modellje, ezért mindazon fizikai mennyiségek, amelyekkel a geoid leírható, alkalmazhatóak a normál ellipszoidra is. A közelítések miatt viszont ezek a mennyiségek egymással nem egyeznek meg, kis mértékben eltérnek egymástól. Mivel azt mondtuk, hogy a forgási ellipszoid is ekvipotenciális felület, ezért az is jellemezhetı egy bizonyos potenciál értékkel, amelyet megkülönböztetésül a geoidra vonatkozó W 0 potenciáltól U 0 -val fogunk jelölni és normál potenciálnak nevezzük. A geoidra vonatkozó és a normál potenciál különbségét potenciálzavarnak nevezzük, és a következıképpen definiáljuk: T W 0 U 0 (.16.) 9

30 Hasonlóan a potenciálértékekhez, a geoidra vonatkozó g 0 nehézségi gyorsulás sem egyezik meg a forgási ellipszoid felszínére vonatkozó γ 0 nehézségi anomáliának nevezzük: normál nehézségi gyorsulás értékével. A kettı különbségét g g0 γ0 (.17.) A geoid és a normál ellipszoid közötti eltérés a közelítésekbıl következıen nemcsak potenciál-és gyorsulásegységekben fejezhetık ki, hanem hosszegységben is. Ez az úgynevezett geoid magasság vagy geoid unduláció, amely nem más, mint a geoid és a normál ellipszoid közötti távolság a ponthoz tartozó ellipszoidi normális mentén értelmezve. A geoid magasság egyszerően számítható, ha ismerjük egy terepi P pont tengerszint feletti H-val jelölt magasságát, valamint annak ellipszoid feletti h magasságát (.11. ábra). üggıvonal Ellipszoidi normális N W 0 θ Geoid U 0 γ g Normál ellipszoid. 10. ábra. A nehézségi erıtér anomáliái Terep P Közepes óceán / tengerszint H orgási ellipszoid N h W P W 0 geoid. 11. ábra. A geoid magasság értelmezése 30

31 A normál nehézségi vektor a normál ellipszoid felszínének bármely pontjában merıleges az ellipszoid felszínére, hasonlóan, mint ahogy a nehézségi vektor is a szintfelületre. Azonban a geoid egy tetszıleges pontjában a nehézségi és a normál nehézségi vektor iránya nem egyezik meg, hanem egymással valamekkora θ szöget zárnak be. Ezt nevezzük függıvonal-elhajlásnak (.10. ábra). A fentebb tárgyalt mennyiségek, azaz a potenciálzavar, a nehézségi anomália, a geoid magasság és a függıvonal-elhajlás tehát azt fejezik ki, hogy a normál ellipszoid mennyire tér el a geoidtól. Ezeket a mennyiségeket ezért összefoglaló néven a nehézségi erıtér anomáliáinak nevezzük. Megemlítjük, hogy további mennyiségek is használatosak a nehézségi erıtér anomáliáinak a jellemzésére, ezek további ismertetésétıl azonban eltekintünk. A geodéziában elsısorban a geoid magasságot és a függıvonal-elhajlást használjuk a nehézségi erıtér anomáliáinak a jellemzésére. Globálisan a geoid magasság -110m és + 88 m között változik. A potsdami Geoforschungszentrum honlapján kiváló animáció található (.1. ábra) annak szemléltetésére, hogyan néz ki a geoid a geoid magasságok alapján. A jobb szemléletesség érdekében a megjelenítés méretaránya és a nézıpont is változtatható.. 1. ábra. A geoid ( 31

32 Kérdések, feladatok 1. Ismertesse Erasztotenész kísérletét a öld alakjának a meghatározására vonatkozóan!. Ismertesse a öld alakjának és méretének meghatározására szolgáló további ókori és középkori kísérleteket! 3. Milyen céllal indultak meg a XVIII. Században az ún. fokmérések? 4. Milyen célból alkalmazták elsıként a háromszögelést? Kiknek tulajdonítják az elsı fokméréseket? 5. Mi vezetett a öld alakjának fizikai úton történı definiálására és meghatározására? 6. Ismertesse a nehézségi vektor komponenseit! Készítsen ábrát! 7. Mi a különbség a gravitációs erı és a nehézségi erı között? 8. Számolja ki a nehézségi vektor komponenseit, ha adott egy földközeli P pont, a Nap és a Hold geocentrikus koordinátái egy adott idıpontra vonatkozóan. A számítást 9 tizedes élességgel végezze! X P (m) X Nap (m) A számításokhoz szükséges további mennyiségek a következık: G M 4 öld N m 30 M Nap kg kg kg ω rad s X Hold (m) M Hold kg 9. Számolja ki az 8. feladatban megadott értékek alapján a nehézségi gyorsulás értékét és az egyes komponensek arányát. 10. Adottak egy terepfelszínen lévı pont geocentrikus polár koordinátái. Számolja ki a pontbeli árapály mentes nehézségi vektor komponenseit és a nehézségi gyorsulás értékét, ha a polár koordináták a következık: r m ψ 47 5 λ Adottak egy terepfelszínen lévı pont térbeli geocentrikus derékszögő koordinátái. Számolja ki a pontbeli nehézségi vektor komponenseit és a nehézségi gyorsulás értékét, ha a Nap és a hold tömegvonzásától eltekintünk. A pont polár koordinátái a következık: X m Y m Z m 1. Mit értünk potenciál / potenciálkülönbség alatt? 13. Miért alkalmazzuk a potenciált / potenciálkülönbséget a öld elméleti alakjának modellezésére a nehézségi vektor helyett? 14. Hogyan származtatjuk a szintfelületet egy tetszıleges pont elemi környezetében? 15. Ismert két terepi és azonos potenciálfelületen fekvı P 1 és P pontban a nehézségi gyorsulás értéke: g m és g s m. Határozzuk meg a W 550 potenciálkülönbséghez tartozó magasságkülönbségek értékeit a P 1 és P pontban. s m s 3

33 16. Mit nevezünk alapszintfelületnek? 17. Mit értünk geoid alatt? 18. Mit nevezünk ekvipotenciális felületnek? 19. Miért szükséges bevezetni a normál nehézségi erıteret? 0. Mit értünk a nehézségi erıtér anomáliáin? 1. Mit értünk potenciálzavar alatt?. Mit értünk geoid magasság (geoid unduláció) alatt? 3. Mit értünk függıvonal-elhajlás alatt? 4. Hogyan definiáljuk a nehézségi anomáliát? 5. Melyik állítás igaz, és melyik hamis az alábbiak közül? - a nehézségi erı az idıtıl független - a potenciálkülönbség megegyezik azzal a nehézségi erıtérben végzett munkával, amelyet képzeletben egy egységnyi tömegő test mozgatásának eredményeként kapunk - a nehézségi vektor mindig a öld tömegközéppontjának az irányába mutat 6. Sorolja fel a nehézségi erı idıbeli változásának fıbb okait! 7. Milyen összefüggés áll fenn a tengerszint feletti (geoid feletti), az ellipszoid feletti és a geoid magasság között? Készítsen ábrát! 8. Határozza meg a nehézségi gyorsulás magasság szerinti változásának az értékét egy H magasságban lévı pont esetén R méter sugarú gömb alakú öldet feltételezve. 9. Adottak a öld külsı nehézségi erıterében két pont, P 1 és P geocentrikus polár koordinátái: P 1 : r m ψ λ P : r m ψ λ Számolja ki a két pont közötti potenciálkülönbséget! A öldre vonatkozó adatok és az egyetemes gravitációs állandó a következık: M 4 öld kg ω rad s G N m kg 30. Számolja ki a 30. feladat kiinduló adatait és eredményeit felhasználva a P 1 és P pontokon átmenı szintfelületek közötti távolságot mm élességgel a P 1 és a P pontokhoz tartozó függıvonalak mentén! 33

34 3. Mértékegységek Az 1. fejezetben láttuk, hogy a helymeghatározó adatokat különbözı dimenziójú mennyiségekkel is megadhatjuk. Egy pont polár koordinátáit a térben két szög és egy távolság segítségével adtuk meg, a síkon egy szög és egy távolság definiálásával. A földi helymeghatározás mérımőveleteit végeredményebn mindig hosszak és szögek megmérésére vezetjük vissza. A mérés maga mindig abból áll, hogy a megmérendı mennyiséget egy alapul választott mennyiséggel összehasonlítva megállapítjuk a kettı viszonyszámát, vagyis a megmért mennyiség mérıszámát. Az alapul választott mennyiséget nevezzük mértékegységnek. A mértékegységek lehetnek természetes vagy mesterséges mértékegységek. Az utóbbiakat az illetı mértékegység etalonjainak nevezzük. Természetes mértékegység például a csillagnap, amellyel a öld egy teljes körülfordulásának az idejét mérjük. Mesterséges például a hosszmérés mértékegysége, a méter. A mérés nem magukkal az etalonokkal történik, hanem az azokkal gondosan összehasonlított (komparált) mérıeszközökkel. A gyakorlatban igény van arra, hogy területet vagy köbtartalmat számoljunk koordinátákból, vagy közvetlen mérési eredményekbıl. Ez felveti annak a szükségét, hogy megismerjük, milyen mértékegységekkel dolgozunk egyes feladatok megoldásakor. Éppen ezért ebben a fejezetben áttekintjük azokat a mértékegységeket, amelyek a geomatikában használatosak. Tekintettel arra, hogy egyes országokban a szakmatörténet különbözısége miatt a miénktıl eltérı mértékegységeket alkalmaznak, ezért bemutatjuk a világszerte elterjedtebben használt egyéb mértékegységeket is A távolság mértékegységei A távolság mértékegységére és annak váltószámaira az idık folyamán más és más egységet alkalmaztak. A tudományos forradalom elıtti idıkben a hosszegységet valamely vezetı személy, általában királyok és királynık testrészének a hosszához kötötték. Ilyen volt például a könyök, a láb vagy a hüvelyk, esetleg egyéb, a számukra fontos értéktárgy, például a kardnak a mérete. Nagyobb távolságok jellemzésére alkalmazták a napi járást vagy a kilıtt nyílvesszı által megtett távolságot. Idıvel mind a mértékegységeket, mind az ıket hordozó mérıeszközöket függetlenítették az embertıl és azokat más módon definiálták. Az 1700-as évek közepére gyakorlatilag teljes káosz uralkodott nemcsak a távolság, de egyéb mennyiségek, például a tömeg mértékegységeivel kapcsolatban is. A természettudományokban élen járó akkori nagyhatalmak, de elsısorban ranciaország jóvoltából az 1700-as évek végén született meg a távolság elsı, tudományos alapokon történı definiálása úgy, hogy azt a öld méretéhez kötötték. Ehhez elıször is meg kellett határozni a öld alakját és méretét, amelyekre vonatkozóan expedíciókat szerveztek, mint ahogy azt már a.1. fejezetben említettük, amelynek alapjául a háromszögelés szolgált. Pierre Simon Laplace ( ) javasolta elsıként 1791-ben, hogy hosszegységnek a öld alakját leíró forgási ellipszoid forgástengelyére illeszkedı sík és az ellipszoid metszésvonalának, az úgynevezett meridián hosszának a 40 milliomodrészét válasszák. Ezt az egységet - a görög metron szó alapján, ami távolságot jelent - méternek nevezték el. A korábban végzett expedíciók közül a perui mérések eredményeit megtartották, de a Lappföldön végzett kevésbé sikeres mérések helyett egy új háromszögelést végeztek Dunkerque és Barcelona között. A probléma fontosságát mi sem jellemzi jobban, hogy a mértékegységek egységesítési törekvése érdekében a francia nemzetgyőlés 1791 márciusában létrehozta a Mértékek és Súlyok Bizottságát. Bár a méréseket még 1791-ben elkezdték, az elhúzódó forradalom akadályozta azok végrehajtását, így a munkálatokat csak 1799-ben fejezték be. A méterre kapott hosszúságot egy etalon rúdon jelölték meg, amelyet platinairídium ötvözetbıl készítettek. A méter törvényes használatát a kilogrammal együtt 1799 decemberé- 34

35 ben iktatta törvénybe a francia parlament. A méter bevezetésének két nagy elınye is volt. Az egyik, hogy a öld méretébıl vezették le, így a politikától és az egyes országok közötti hatalmi viszonyoktól sikerült függetleníteni. A másik, hogy a méter bevezetése egyidejőleg a 10-es számrendszer bevezetését is megteremtette. Ennek ellenére nemzetközi elfogadtatása sokáig váratott magára. Az elsı csatlakozó országok Belgium (1815) és Hollandia (1816) voltak ben a Nemzetközi Méter Bizottság Párizsban tartotta ülését, amelynek eredményeként késıbb több ország is csatlakozott a méterrendszerhez, így például Ausztria-Magyarország (1873) és Norvégia (1876). A párizsi levéltárban ırzött méter etalonról ekkor a csatlakozó országoknak másolatokat készítettek. Magyarországon abban az idıben a bécsi ölt használták hivatalosan, amellyel régi földmérési térképeinkkel kapcsolatban még ma is találkozunk. Magyarországon az évi VIII. törvénycikk rendelte el a méter kötelezı használatát január 1. hatállyal. A nemzetközi méter tehát ebben az idıben már nem a meridiánkvadráns tízmilliomod része, hanem egy iridiumplatina rúdon kijelölt két vonás távolsága volt a rúd 0 hımérséklete és vízszintes helyzete mellett. Gondos mérésekkel megálapították a méterrúd hıtágulási együtthatóját is, tehát bármely hımérséklethez levezethetı a métert jelzı vonások távolsága. Az erre szolgáló képletet az etalon egyenletének nevezzük. A Magyarországnak juttatott 14. számú méterrúd egyenlete: m 14 1m-1, t+0.001t, ahol t a rúd hımérséklete elsius fokban, m 14 pedig a középsı vonások távolsága. A jobb oldalon lévı három utolsó tag mikronban értendı. Egyes országok továbbra is saját mértékegységet alkalmaztak, így például Oroszország vagy a Brit Birodalom is a saját és a gyarmatokon végzett mérésekbıl meghatározott mértékegységeket használta. Az angolszász mértékegységek és azok különbözı változatai mind a mai napig érvényben vannak, ezért megtalálhatóak a korszerő elektronikus mőszerek beállítási lehetıségei között. A méternek, a hosszúság nemzetközi mértékegységének megırzésére azonban ezek a fémbıl készült etalonok nem alkalmasak, mert a tapasztalat szerint a fémrudak idıvel valószínőleg a molekulák belsı kontrakciók (összehúzódások) miatti helyzetváltoztatása következtében a hosszúságukat elıre figyelembe nem vehetı módon megváltoztathatják. A tudomány és technika fejlıdésével a méter definícióját többször is finomították, de alapvetı természete megmaradt, nevezetesen, hogy a fogalmát a természethez kötötték. A fény hullámhosszán alapuló definíció Jacques Babinet ( ) ötletén alapult (187). Ezt Albert Abraham Michelson ( ) és J. René Benoit (nem ismert 19) 189-tıl kezdve folyamatosan vizsgálta gerjesztett kadmiumatomok sugárzása alapján. Az eljárást 1897-ben sikerült finomítaniuk ban az Általános Súly- és Mértékügyi Konferencia elrendelte a kripton-86, a higany-198 és a kadmium-114 vizsgálatát. A Magyar Népköztársaság Minisztertanácsának 8/1976. (IV. 7.) MT számú, a mérésügyrıl szóló rendelete az alábbi méterdefiníciót tartalmazta: A méter a kripton-86 atom p10 és 5d5 energiaszintje közötti átmenetének megfelelı, vákuumban terjedı sugárzás hullámhosszának ,73-szorosa.Ez a meghatározás elavult; ennek helyébe lépett a fénysebességhez kötött definíció. Az idıközben lefolyt vizsgálatok azt mutatták, hogy a kripton sugárzásának stabilitása nem megfelelı. Bay Zoltán ( ) javasolta 1965-ben, hogy a távolságegységet, a métert alapozzák a pontosabban mérhetı idıegységre és a fénysebességre. Szakirodalmi kutatásokat végzett a fénysebesség állandóságával kapcsolatban. A Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1983-as canberrai (Ausztrália) ülésén fogadták el a méter legújabb, már idıhöz kötött fogalmát. Ezek szerint a méter egyenlı azzal az úttal, amelyet a fény vákuumban a másodperc 1/ ad része alatt megtesz. A Bay-féle készülék valójában jód-stabilizált hélium neon lézer, amely 633 nm hullámhosszú sugárzást bocsát ki. Az eljárás jelentısége, hogy az idı mérésén alapul, amelynek mérését cézium atomórákkal 10-1 másodperc fölé lehet emelni. Azóta folyamatosan fejlesztik ennek technikáját. A 3.1. táblázatban található a méter, a bécsi öl és az angolszász (brit) hosszegység és váltószámaik, valamint az utóbbi kettı méterrel való kapcsolata. 35

36 3.1. táblázat Alapegység 1 méter 1 bécsi öl 1 brit láb 10 dm 6 láb 1/3 yard 100 cm 7 hüvelyk 1 inch 1000 mm m m Ezen kívül megemlítjük a hüvelyk és az inch váltószámát, a vonást. Egy hüvelyk/ inch 1 vonásból áll, amely mintegy. milliméternek felel meg. Egyes alkalmazásokban a métert nagy távolságok esetén, például a navigációban, kényelmetlen alkalmazni, mert túlságosan nagy számokkal kellene dolgoznunk. Ezekben az esetekben a méter helyett a kilométert alkalmazzuk (1 km 1000 méter), a láb helyett pedig a mérföldet (1 brit szárazföldi mérföld 580 láb méter). 3.. A terület mértékegységei A terület alapmértékegysége az 1 m x 1 m-nek megfelelı terület, a négyzetméter (m ). A négyzetméter további váltóegységei a hektár (ha), amely egy 100 méter x 100 méteres területnek felel meg. A definíciónak megfelelıen 1 ha 100 m x 100 m m. Elsısorban a távérzékelésben alkalmazzuk a négyzetkilométert, amely 1000 m x 1000 m-es területnek, azaz 1 millió négyzetméternek felel meg. A leírtakból következik, hogy 1 km 100 ha. A bécsi ölhöz kapcsolódóan területegységnek a négyszögölt vezették be, azaz az 1 öl x 1 öl nagyságú területet. A négyszögöl jelölésére egy négyzet szimbólumot és az öl szavat kombinálva használjuk ( öl ). A 3.1. táblázat alapján kiszámítható, hogy 1 öl körülbelül 3.6 m. A négyszögöl váltóegysége a kataszteri hold, amely 1600 négyszögölnek felel meg. Az érdekesség kedvéért megemlítjük, hogy a régi területegységeket a mezıgazdaságilag mővelt területek nagyságával hozták kapcsolatba. Így egy hold nagyságú terület alatt az egy nap alatt felszántható földterület nagyságát értették. Az idısebb lakosság körében és a köznyelvben ezért sokáig az úgynevezett kisholdat használták, de idıvel ez is eltőnt mind a magyar társalgási, mind a szakmai nyelvezetünkbıl, hasonlóan az Erdélyben használatos vitorna és falka finnugor eredető szavakhoz, amelyekkel az egységnyi szénát termı területet jellemezték (Raum., 1995) A térfogat mértékegységei A térfogat mértékegységeit a területhez hasonlóan a méterbıl vezetjük le. Az alapegység az 1 m x 1 m x 1 m-nek megfelelı köbtartalom, a köbméter (m 3 ). Köbtartalom számításokra van szükség például út- és vasútépítések során végzett terepmunkák esetén, vagy külszíni fejtéső bányák termelésének számítására vonatkozóan. Egyes térinformatikai és fıleg földrajzi alkalmazásokban használjuk a köbkilométert (1 km x 1 km x 1 km 1 millió m 3 ), elsısorban állóvizek köbtartalmának számítására A szög mértékegységei A szög mértékegységeit az egységnyi sugarú kör kerületének adott törtrészéhez tartozó középponti szög nagyságaként definiáljuk. A gyakorlatban az úgynevezett 360-as és a 400-as fokrendszert, valamint az ívmértéket alkalmazzuk. 36

37 A 360-as fokrendszer A 360-as fokrendszer esetén az 1 fok az alapegység, amely a kör kerületének 360-ad részéhez tartozó középponti szögnek felel meg (3.1. ábra). Egy fokot továbbosztunk 60 ívpercre (jele: ), és 1 ívpercet további 60 ívmásodpercre (jele: ). Az ívperc és ívmásodperc helyett gyakran alkalmazzuk a szögperc vagy szögmásodperc kifejezéseket, vagy röviden csak perc és a másodperc fogalmakat. A fok, perc és másodperc értékek között az alábbi összefüggések írhatóak fel: A késıbbi tanulmányaink során egyes alkalmazásokban látni fogjuk, hogy az 1 másodpercet is szükséges további egységekre osztani, azaz beszélünk tized-, század, ezredmásodpercrıl, stb. Mint látható, a 360-as fokrendszer nemcsak 60-as váltószámokból áll, hanem az a szögmásodperc miatt valójában kettıs számrendszert használ, azaz mind a 60-as, mind a 10-es számrendszert. Kis szögek esetén a szögek jellemzésére a másodperc nagyságrendet használjuk A 400-as fokrendszer 1 R1 1 1 K π π egység ábra. A 360-as fokrendszer 1 1 K π π egység gon R1 A 400-as fokrendszer esetén egy fok alatt a kör kerületének 400-ad részéhez tartozó középponti szöget értjük, amelyet gonnak vagy újfoknak nevezünk (3.. ábra). A 400-as fokrendszer 10-es szám- 3.. ábra. A 400-as fokrendszer rendszert használ. Egy gont 100 részre osztunk tovább, amelyet centezimális percnek nevezünk, egy centezimális percet pedig továbbosztunk 100 centezimális másodpercre. A centezimális perc és másodperc jelölésére gyakran alkalmazzák a számok után a felsı indexbe írt c és cc betőket, de ezeket a jelöléseket általában mind az írott, mind a beszélt nyelvben elhagyják és a következıképpen jelölik: gon, 37

38 amely megfelel a 141 g 81 c cc jelölésnek. Éppen ezért a 400-as fokrendszer esetén, ha váltószámokról beszélünk, akkor egész egyszerően tized, század kifejezéseket használjuk. Kis szögek esetén a szögek jellemzésére a milligon nagyságrendet használjuk (1 mgon gon). A 360-as és a 400- as fokrendszer definíciójából következik, hogy egy adott α szög esetén az átváltás a következı: α o 360 α gon 400 és gon α 400 o α 360 Amibıl következik, hogy 1 szögmásodperc 0.3 mgon-nal egyenlı Az analitikus szögegység Az analitikus szögegység, vagy más néven ívmérték, az egységnyi sugárral egyenlı ívhosszhoz tartozó középponti szögnek felel meg (3.3. ábra). Mértékegysége a radián. A gyakorlati számítások során gyakran alkalmazzuk a 360-as, egyes országokban a 400-as, és az analitikus szögegység közötti átváltást. Mivel 360 megfelel π radiánnak, ezért o '' 180 o rad ' ' π π R 1 rad R ábra. Az analitikus szögegység Az egy radiánnak megfelelı szögmásodperc értékkel a késıbbi tanulmányaink során többször is találkozni fogunk. A szakirodalomban ennek értékét külön névvel, a görög ρ bető (ejtsd: ró) jelölésével látják el és ró másodpercnek nevezik, röviden pedig ρ szimbólummal jelölik. A legtöbb gyakorlati számítás során értékét elegendı másodpercre kerekítve alkalmazni ( ρ ). Hasonlóan a 400-as fokrendszerben: mgon ρ 00 mgon π amelyet ró milligonnak nevezünk Mőveletek szögekkel a 360-as fokrendszerben Magyarországon a 360-as fokrendszert alkalmazzuk, éppen ezért szükséges, hogy megismerjük a 60-as számrendszerben végzett mőveleteket, az összeadást, a kivonást, a szorzást és az osztást. Mint látni fogjuk, ezek a mőveletek teljes mértékben megegyeznek az idı mértékegységével történı számítások mőveleteivel. Nézzünk elıször az összeadásra egy példát. Adjuk össze a következı két szögértéket: 38

39 és A szögértékeket a 10-es számrendszerbeli mőveletekhez hasonlóan elıször egymás alá írjuk. Az összeadást itt is a helyi értékeknek megfelelıen, jobbról balra haladva végezzük, de ügyelve arra, hogy a maradék hozzáadását a következı balra álló perc és tízperc helyértékekhez akkor adjuk hozzá, hogyha a másodperc és tízmásodperc helyértékek összege nagyobb 60-nál. Hasonló a helyzet a perc és a tízperc értékek maradékának fokhoz történı hozzáadása esetén is. Azaz a példa esetén írhatjuk, hogy: Kivonás esetén a kisebbítendıt és a kivonandót szintén egymás alá írjuk. A kivonást itt is jobbról balra végezzük el. Ha a kisebbítendı másodperc vagy perc értéke kisebb a kivonandó másodperc vagy perc értékénél, akkor a kisebbítendı perc vagy fok értékébıl vonunk el egy-egy egységet. Legyen a kisebbítendı szög értéke 74 10, a kivonandó pedig Azaz Szorzás során szögeket általában egész számokkal szorzunk, ezért példát is erre vonatkozóan nézünk meg. A 10-es számrendszerben végzett mőveletekhez hasonlóan, elıször elvégezzük a szorzást jobbról, a másodperc helyértékekkel. Ha az eredmény 60-nál nagyobb, akkor abból levonjuk az egész percnek megfelelı másodperceket, és a maradékot megtartva kapjuk a szorzat másodperc értékét. Ezt követıen elvégezzük a perc értékek szorzását, és a másodperc szorzásából maradó perc értékeket az eredményhez hozzáadjuk. Az eredménybıl levonjuk az egész fokoknak megfelelı perc értékeket, így a maradék lesz a szorzat perc értéke. Végül elvégezzük a fok értékek szorzását, és az eredményhez hozzáadjuk a perc értékek szorzásából maradt fok értékeket. Nézzünk a leírtakra egy példát. Legyen a szögérték , amit megszorzunk 5-tel. Azaz: x 5 ( ) Az osztás mőveletét szintén csak arra az esetre nézzük meg, mikor az osztó egész szám és amelyiknek a 60 a többszöröse. A 10-es számrendszerbeli mővelethez hasonlóan az osztást balról kezdjük, a fok értékkel. A maradékot átszámoljuk perc értékké, amelyet a perc érték osztásából kapott egész érték alá írunk. A perc érték osztásából kapott maradékot átszámoljuk másodperc értékké, amelyet pedig a másodperc érték osztásából kapott eredmény alá írunk. A végeredmény pedig az egész és a maradék értékek összege lesz. Legyen a szögérték , az osztó pedig 6. Azaz: / Elıször tehát a 6-t osztottuk 5-tel. Az eredmény egész része 10, a maradék pedig /6 fok, azaz 0 perc. Ezt a maradékot írtuk a perc érték helyére a második sorba. Ezt követıen elosztottuk a 15 percet 6-tal, az eredmény egész része perc, a maradék pedig 3/6 perc, azaz 30 másodperc. A percet a korábbi maradék 0 perc fölé írtuk, a 30 másodpercet pedig a másodperc helyére a maradékok sorába. Végül elosztottuk a 30 másodpercet 6-tal, az eredményt pedig az elızı osztás maradéka, a 30 másodperc fölé írtuk. A végeredmény pedig az osztások egész és maradék részeként kapott szögértékek összege lett, azaz

40 Megjegyezzük, hogy elterjedten használják a fok, perc és másodperc értékek egymástól kötıjellel történı elválasztási írásmódját is. Azaz ugyanaz, mintha azt a formában írnánk. Egyes számológépekkel vagy szoftverekkel történı számítás esetén a fok-perc-másodperc értékeket úgynevezett áldecimális formában kell megadni. Ez azt jelenti, hogy a fok érték után a perc és másodperc értékeket tizedes ponttal választjuk el: Ezt a formátumot gyakran DDD.MMSS vagy röviden DMS formátumnak is nevezik az angol degree, minute és second szavak kezdıbetői alapján. A szögek áldecimális formában történı kezelésének hátránya, hogy gépi számításokhoz közvetlenül nem alkalmas, át kell alakítani fok egységbe esetleg radiánba. A tizedfokba történı átalakítást úgy végezzük, hogy a perc értékeket osztjuk 60-nal, a másodperc értékeket pedig 3600-al és az így kapott hányadosokat hozzáadjuk a fok értékekhez. Például: ( 15 / 60 ) + ( 30 / 3600 ) ordított esetben, amikor tizedfokból kell átváltani egy szögértéket fok-perc-másodpercbe, akkor a fokértéket leírjuk, a fennmaradó nullánál kisebb részt szorozzuk 60-al, hogy megkapjuk a perc értéket. Majd leírjuk az így kapott egész perc értéket, a nullánál kisebb tagot pedig szorozzuk 60-al a másodperc származtatásához. Például: fok, perc, másodperc A hımérséklet és légnyomás mértékegységei Tanulmányaink során gyakran fogunk találkozni a hımérséklet és a légnyomás, valamint a páranyomás mértékegységeivel elsısorban távmérıkkel végzett mérések alkalmával. A hımérséklet mértékegysége a Kelvin, de a gyakorlatban és a mindennapi életben a elsiust használjuk. Az átváltás a két mennyiség között a következı: T[ elsius] T[ Kelvin] Angolszász országokban használják még a ahrenheit skálát is a hımérséklet mérésére.ezen skála szerint a víz fagyáspontja 3, a forráspontja pe dig 1. Az átszámítás a elsius fokos rendszerbe a következı összefüggésel történik: A légnyomás mértékegységére a higanymilliméter vagy másnéven tor (Hgmm vagy mmhg) vagy a Bar, esetleg a millibar (másnéven hektopascal) a használatos. A Hgmm annak a nyomásnak az értéke, amely a higanyoszlop 1 mm-es emelkedését okozza. Az említett mértékegységek között az alábbi átváltások alkalmazhatók: 760 Hgmm mbar Pascal A páranyomás a levegıben lévı vízgız parciális nyomása (a parciális nyomás egy résznyomás, amit akkor fejtene ki a gázelegy adott B komponense, ha az egyedül töltené ki a rendelkezésre álló teljes térfogatot). Mivel a levegı gázkeverék, ezért nyomása egyenlı a keveréket alkotó anyagok parciális nyomásainak az összegével. Ha a nedves levegı nyomását p-vel, a száraz levegıjét pedig p 0 -val jelöljük, akkor 40

41 e p (3.1.) p 0 Magyarországon a parciális páranyomás értéke kisebb, mint 3%, ami kb. 30 mbar-nak felel meg. A páranyomás további definícióival késıbbi tanulmányaink során fogunk találkozni Az SI alapegységei és a prefixumok Az SI mértékegységrendszert (Systéme International d Unites) a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Bizottság adta közre az 1960-as általános győlésén (GPM - onférence Générale des Poids et Mesures), amelynek célja a különbözı tudományterületeken elıforduló mértékegységrendszerek definiálása és egységesítése. Az SI nemzetközi mértékegységrendszer kidolgozása fél évszázadnál is tovább tartott, míg végül 1960-ban elfogadták. A Magyar Népköztársaságban már 1960-tól az SI figyelembevételével készült kormányrendelet (50/1960. Korm. sz.) szabályozta a mértékegységek használatát. 197-ben megjelent az MSZ 4900 izikai mennyiségek neve, jele és mértékegysége címő magyar szabvány, amely teljes egészében a nemzetközi mértékegységrendszert használta, de kötelezı használatát nem írta elı ban kiadták a 8/1976.(IV. 7) MT. sz. minisztertanácsi rendeletet, amely már elıírta az SI rendszerre való kötelezı áttérést. Ez a rendelet az SI kizárólagos, kötelezı használatát (azaz más mértékegységek használatának tilalmát) január 1-jétıl írta elı. A Magyar Köztársaság országgyőlése az évi XLV. törvény 1. mellékletében ismét meghatározta a szabványos magyar mértékegységrendszer alapjait, az 1976 óta ismertté vált tudományos eredmények figyelembevételével. Az SI alapján minden mértékegység hét alap- és két kiegészítı mértékegységgel kifejezhetı. A hét alapmértékegységet a 3.. táblázat tartalmazza ( 3.. táblázat. SI alapmennyiségek és mértékegységek Alapmennyiség Neve Mértékegysége Hosszúság Méter Tömeg Kilogramm Idı Másodperc Áramerısség Amper Termodinamikai hımérséklet Kelvin ényerısség Kandela Anyagmennyiség Mól A két kiegészítı mértékegység az analitikus szögegység és a térszög. A további mértékegységeket származtatott mértékegységeknek nevezzük, ilyen például a frekvencia, az erı, a nyomás stb. Az alapmértékegységek különbözı nagyságrendjeinek kifejezésére elıszavakat, úgynevezett prefixumokat használunk, amelyek a tíz egész számú hatványait fejezik ki. Ezeket az SI elıszavakat, jelölésüket és nagyságrendjüket a 3.3. táblázat tartalmazza táblázat. SI elıtétszavak (prefixumok) Tényezı Elıszó Jelölés Tényezı Elıszó Jelölés 10 4 yotta Y 10-1 deci d 10 1 zetta Z 10 - centi c exa E 10-3 milli m peta P 10-6 mikro µ 10 1 tera T 10-9 nano n 41

42 10 9 giga G 10-1 piko p 10 6 mega M femto f 10 3 kilo k atto a 10 hekto h 10-1 zepto z 10 1 deka da 10-4 yokto y 3.8. Az élesség és a pontosság fogalma A kvantitatív adatok győjtése, feldolgozása és elemzése során nagy tömegő adathalmazzal dolgozunk. A helymeghatározó adatokat távolságok és szögek alapján számoljuk, így kapva koordinátákat, amelyek további alapul szolgálnak a terület, térfogat vagy egyéb számításokhoz. A kérdés azonban az, mennyire szükséges ismerni egy mennyiséget, például egy távolságot, vagy további, a kiinduló adatokból levezethetı mennyiségeket? Ehhez tisztáznunk kell elıször az élesség és a pontosság fogalmát, mivel a köznyelvben a kettıt gyakran összetévesztik egymással. Tételezzük fel, hogy egy 0 méteres mm-es osztású mérıszalaggal megmértük két pont között a távolságot és az eredmény méter lett. Mit tudunk elmondani errıl az értékrıl? A válasz az, hogy a távolság 41 méter és 174 milliméter. Gyakran a tévhitnek megfelelıen azt mondják, hogy a távolság milliméter pontossággal adott. Nos, ez ebbıl az értékbıl egyáltalán nem mondható meg, amit rögtön be is bizonyítunk. Tételezzük fel, hogy ezt a távolságot ismételten megmértük, és eredményként métert kaptunk. Mint látható, a két érték között az eltérés 5 mm. Mivel ellentmondáshoz jutottunk, megmértük a távolságot harmadszorra és negyedszerre is, az eredmény pedig és méter lett. Úgy tőnik, akárhányszor is mérjük ezt a távolságot, mindig más és más, de egymáshoz közel álló értékeket kapunk. Ennek az oka, hogy a méréseket mindig terhelik hibák, amelyek több tényezıtıl függnek, mint például az észlelést végzı személy gyakorlottságától, a mérıeszköztıl és a külsı körülményektıl. A további elemzések érdekében tegyük a mérési eredményeket nagyság szerinti sorrendbe: Látható, hogy a legkisebb és a legnagyobb érték közötti különbség, amit terjedelemnek nevezünk, 9 mm. Ha a méréseket még többször megismételnénk, hasonlót tapasztalnánk, azaz a mérési eredmények kis mértékben, de eltérnek egymástól, és egyfajta ingadozást mutatnak egy adott érték körül. Ugyan a mérési eredmények milliméterre adottak, a pontosságuk azonban nem feltétlenül, és ezen van a hangsúly, hogy nem feltétlenül milliméter. Ezt most a jelenlegi tudásunk birtokában nem tudjuk kiszámolni, de majd késıbbi tanulmányaink során tanulni fogunk olyan módszereket, amelyekkel például a bemutatott négy távolság pontosságát, ha nem is számolni, de becsülni tudjuk. A mért távolságok a példában milliméterre voltak megadva, de nem mondtuk meg még ennek az okát. Ami pedig lehet igen egyszerő: az adott mérıszalaggal a millimétert még le tudjuk olvasni, a tizedmillimétert már csak nehezen, esetleg csak speciális kiegészítı eszközökkel. Ez ugyan már technikai ok, de a fı ok mégis az, hogy számunkra a tizedmilliméter nem volt érdekes. Ez azt jelenti, hogy egyes mennyiségek esetén azoknak csak az értékes számjegyeire van szükségünk. A geomatikában erre külön kifejezést, az élességet használjuk. Így már mondhatjuk, hogy a példában a távolságok milliméter élességgel vannak megadva, de nem milliméter pontossággal. A pontosság és az élesség tehát két teljesen különbözı fogalom. Az élesség a felhasznált értékes számjegyek számát fejezi ki, míg a pontosság hibaelméleti alapfogalom és az adatrendszerben szereplı adatok eloszlásával, terjedelmével van kapcsolatban. 4

43 Kérdések, feladatok 1. Ismertesse a méter kialakulásának fıbb történelmi eseményeit!. Mi alapján definiáljuk a métert, mint hosszegységet? 3. Milyen hosszegységeket ismer? 4. Adottak ölben egy pont Y és X koordinátái: Y ,00 öl X 4 500,00 öl Számolja ki a pont koordinátáit méterben cm élességgel! 5. Két pont közötti térképi távolság 1:000-es méretarányú térképen 17, mm-nek adódott. Számolja ki a két pont közötti távolságot méterben cm élességgel! 6. Két pont közötti vízszintes távolság 11,5 m. Mekkora M1:1000, 1:000 és 1:880-as méretarányú térképet feltételezve a térképi távolság? A számítás eredményét cm-ben adja meg 0,1 mm élességgel! 7. Mekkora lineáris eltérésnek felel meg 1500 m-es távolságon 10 szögmásodperc? Az eredményt cm-ben adja meg mm élességgel! 8. Ismertesse a terület különbözı mértékegységeit! 9. Egy téglalap alakú földrészlet oldalai a 0,00 m és b 7,00 m. Számolja ki négyzetméterben, hektárban, négyszögölben és kataszteri holdban a földrészlet területét! 10. Egy trapéz alakú földrészlet oldalai és magassága a következı : a 101,00 m, c 81,9 m és m 36,77 m. Számolja ki hektárban, négyszögölben és kataszteri holdban a földrészlet területét! 11. Hány négyszögöl, négyzetméter és kataszteri hold egy 3,5 hektár nagyságú földrészlet területe? 1. Ismertesse a szög különbözı mértékegységeit! 13. Mi a különbség az élesség és a pontosság között? 14. Végezze el az alábbi mőveleteket és átváltásokat! 41 39' 37" ' 55" 67 01' 7" 41 19' 37" ' 55" 77 19' 37" ' 17" ' 55" 17 10' 36" / ' " ' 3" 80 5' 30" / ' 6" ' " rad ' " gon rad gon 15. Adottak az alábbi hat pont geodéziai koordinátái. Számolja ki minden kombinációban a pontok egymásra vonatkozó polár koordinátáit (irányszöget és távolságot)! A szögeket másodperc, a távolságokat cm élességgel számolja! gon rad Pontszám Y X

44 16. Ismertesse az SI mértékegységrendszer felépítésének alapelvét! 17. Mekkora lineáris eltérésnek felel meg 5 szögmásodperc 3500 m-es távolságon? Az eredményt cm-ben adja meg mm élességgel! 18. Mekkora szög alatt látszik 1,5 km-rıl egy 5m sugarú, kör keresztmetszető kémény? 19. Számolja ki a pontok derékszögő koordinátáit, ha adottak a pontok A pontra vonatkozó polár-, és az A pont y A és x A koordinátái. Pontszám Irányszög Távolság ' 04" ' 18" ' 00" ' 57" ' 08" ' 15" ' 3" ' 45"

45 4. Geodéziai alapponthálózatok pontjelölések 4.1. Áttekintés a geodéziai alapponthálózatokról Az elsı fejezetben megismerkedtünk a vonatkozási rendszerek matematikai és fizikai definíciójának az alapjaival. Gyakorlati szempontból azonban felmerül egy fontos kérdés: hogyan lehet egy vonatkoztatási rendszert megvalósítani, kézzelfoghatóvá tenni? A vonatkoztatási rendszert olyan fizikailag létezı, és a terepen állandó módon megjelölt pontok összessége jelenti, amelyek egy összefüggı rendszert, ún. alapponthálózatot alkotnak. Az alapponthálózatok létrehozásának célja azonban nem csak a vonatkoztatási rendszer gyakorlati megvalósítása, hanem egy olyan egységes keret biztosítása, amely alapul szolgál további mérési és térképezési feladatok elvégzéséhez. A geodéziai alapponthálózatokat különbözı szempontok szerint osztályozzuk. A helymeghatározás dimenziója alapján beszélünk egy-, két-, három-, és négydimenziós geodéziai alapponthálózatokról. Mint láttuk, a vonatkoztatási rendszert nem lehet az idıtıl függetlenül definiálni, ennek következtében a geodéziai alapponthálózatokat is idıponttól függı elnevezéssel látják el. Az alapponthálózatokat kiterjedésüktıl függıen is osztályozzuk. Így beszélünk világ-, kontinentális-, országos-, regionális és helyi hálózatokról. Az alapponthálózatok speciális típusai az úgynevezett mozgásvizsgálati hálózatok, amelyeket bizonyos objektumok mozgásának és deformációinak idınkénti vagy folyamatos vizsgálatára hoznak létre. A geodéziai alappontok jelölésére az idık folyamán különbözı pontjelöléseket alkalmaztak. Méretük és formájuk folyamatosan változott egyrészt a mérési módszerek, másrészt pedig a pontok gyártási technológiájának a következtében. A pontjelölések függnek attól is, hogy azok a helymeghatározás mely dimenziójára vonatkoznak. Azokat az alappontokat, amelyek csak a magasság meghatározására szolgálnak, magassági alappontoknak nevezzük. A kétdimenziós helymeghatározás végrehajtására szolgáló alappontokat vízszintes alappontoknak nevezzük. Azokat, az alappontokat, amelyek vízszintes és magassái helymeghatározásra egyaránt alkalmasak, háromdimenziós pontjelöléseknek nevezzük. Azokat, amelyek a vízszintes és magassági helymeghatározás mellett gravimetriai (nehézségi erıtérhez kapcsolódó) mérések végrehajtására is alkalmasak négydimenziós pontjelölésnek, vagy INGA-pontoknak (Integrált Geodéziai Alapponthálózati pont) nevezzük. Az alappontok tartós fennmaradását biztosító és állandó módon történı megjelölését állandósításnak nevezzük. Egyes pontokat a mérések végrehajtásának idejére ideiglenes pontjelölésekkel látunk el abból a célból, hogy azokat láthatóvá tegyük. A következı fejezetekben áttekintjük az egy-, két és háromdimenziós alappontok jelöléseit, elsısorban azokat, amelyekkel a gyakorlatban a legtöbbször találkozunk. Egyes speciális pontjelölésekkel késıbbi szaktárgyak (Geodéziai hálózatok, Mérnökgeodézia, Nagyméretarányú térképkészítés) keretében részletesebben is meg fogunk ismerkedni. 4. Magassági értelmő pontjelölések A magasság meghatározásához a pontokat úgy kell megjelölni, hogy azok a magasságot egyértelmően meghatározzák. Erre a célra olyan pontjelölések terjedtek el, amelyeknek a felülete íves kialakítású. A legelterjedtebb pontjelölés az úgynevezett falicsap, más elnevezésekkel szintezési csap vagy magassági jegy (4.1. ábra). A falicsapot öntöttvasból készítik, nyele bordázott, hossza 0 30 cm közötti. A csap fejének átmérıje ~5 cm, a nyél átmérıje 3 5 cm. A csaphoz nagyon hasonló pontjelö- 45

46 lés a tárcsa, amely alakjában ugyanolyan, mint a csap, fejének átmérıje azonban nagyobb, mintegy 10 cm ábra. Szintezési csap (MJ: magassági jegy) 4.. ábra. Szintezési csap épület lábazatában A szintezési csapot vagy tárcsát régebbi épületek lábazatában helyezik el úgy, hogy a nyelük vízszintes helyzető legyen és abból mintegy 5 cm kiálljon azért, hogy a mérések során a szintezılécet (1.fejezet) a csap/tárcsa tetejére egyértelmően és függılegesen rá lehessen helyezni (4.. ábra). A szintezési csapok és tárcsák elhelyezésére általános szabály, hogy azokat a mérés elıtt legalább fél évvel kell állandósítani. A szintezési csapot és tárcsát a rozsdásodás elleni védelem céljából elıbb rozsdagátló folyadékkal, majd rozsdásodásnak ellenálló festékkel festik le. A szintezési gombot elsısorban hidak vagy átereszek vízszintes felületében helyezik el. A szintezési gomb mintegy cm hosszú, az átmérıje 3..5 cm. Keresztmetszetének formája hasonló a pecsétnyomóhoz. A szintezési gombot szintén öntöttvasból vagy rozsdamentes acélból készítik. Épületek és egyéb mőtárgyak hiányában, elsısorban külterületen alkalmazzák a szintezési követ. A szintezési követ a talajjal való szorosabb kapcsolata miatt csömöszölt betonalapra vagy a helyszínen öntött be- 4.3.ábra. Szintezési kı (kıben gomb), mellette jelzıoszlop 46

47 toncölöpre helyezik el (4.4. ábra). A szintezési kıvel történı állandósítás egyik speciális megoldása a kettıs pontjelölés (4.5. ábra). Ebben az esetben a kı talajba süllyesztett részén szintén található egy szintezési gomb, amelynek anyaga rozsdamentes acél vagy porcelán. A felszín alatti pontra annak védelme céljából egy védıkupakot helyeznek el. mőanyag csı 4.4. ábra. Szintezési kı fúrt és a helyszínen öntött betoncölöpön 4.5.ábra. Kettıs pontjelölés (ún. vállas kı ) 4.3. Vízszintes értelmő pontjelölések A vízszintes értelmő pontjelölésnek olyannak kell lenni, hogy az a pont helyzetét vízszintes értelemben egyértelmően meghatározza, ezért döntı tényezı, hogy mit tekintünk a pontjelölés központjának, annak a helynek, amelyre a helymeghatározás, azaz a koordináta vonatkozik. A vízszintes értelmő pontjelölések is különbözı méretőek és formájúak. A vízszintes alappontoknak alapvetıen két csoportja van. Az egyik csoportba tartoznak azok az alappontok, amelyek a felszínen vannak megjelölve, állandósítva. Másik csoportjuk az úgynevezett magaspontok, amelyeknek legfıbb jellemzıje, hogy nem a terepfelszínen állandósították ıket, így központos mérések végrehajtására közvetlenül nem, vagy nem minden esetben alkalmasak. A magaspontok további jellemzıje, hogy azok általában már valamely meglévı és gondosan kiválasztott objektumok kitüntetett pontjai. A vízszintes értelmő pontjelölés legelterjedtebb módja a kıvel történı állandósítás, amelyet elsısorban külterületen alkalmazunk. A kı négyzet keresztmetszető, 15x15 cm-tıl 5x5 cm-ig 4.6. ábra. Vízszintes alappont állandósítása kıvel 47

48 terjedı keresztmetszeti méretekkel, hosszuk cm. A központot a mintegy 5 mm átmérıjő, kör keresztmetszető furattal ellátott rézcsap, vagy pedig keresztvésés jelenti. A tartós fennmaradás biztosítása érdekében a pontokat vasbeton védılapokkal veszik körül, valamint további biztosítékként földalatti jelet helyeznek el (4.6. ábra). öldalatti jelként kisebb mérető, szintén furatos rézcsappal ellátott betonkövet vagy téglát alkalmazunk. A pont meghatározását követıen további mérések céljából már csak az úgynevezett fejelıkövet használjuk, amelyen a legtöbb esetben a pontot keresztvésés jelenti. A pont állandósítását követıen figyelemfelhívás céljából a ponthoz közel, 1- méter távolságra jelzıoszlopot helyeznek el (4.7. ábra). 4.7.ábra.Vasbetonlapos védmővel ellátott kıvel állandósított pont szántóban, mellette jelzıoszlop 4.8.ábra. Megrongált vízszintes alappont keresztmetszete vasúti Belterületen a vízszintes alappontok jelölésére többféle pontjelet alkalmazunk. Ezeket összefoglaló néven felmérési pontjeleknek nevezzük. A sokféleség oka, hogy a piacon jelenlévı nagy mőszerforgalmazó cégek is árulnak ilyen pontjeleket, de szép számmal találunk olyan cégeket is, amelyek csak pontjelölések gyártására és forgalmazására szakosodtak. Hazánkban alkalmazott klasszikus felmérési pontjel a vascsap (4.9.ábra). Anyaga öntöttvas, a központot pedig furat jelöli. A csap állandósításakor a járdaburkolatot kivésik, amelyet habarccsal töltenek ki. A csapokon gyakran SP felirat vagy az állandósításakor adott pontszám látható. elmérési pontjelölésként találkozhatunk különbözı mérető és formájú betonszegekkel. Anyaguk rozsdaálló galvanizált acél (4.10. ábra). A fej átmérıje általában 3..5 cm, hosszuk 6 10 cm. Erıs szerkezetük következtében a betonba vagy aszfaltba kalapáccsal verik le ıket. A központot szintén furat jelöli. Egyes pontjelek feje domború formájú. Talajon alkalmazhatunk felmérési pontjelként fémrudat (francia pontjel vagy aynot-jel), amelyhez egy speciális, kemény mőanyagból készült fej tartozik (4.11. ábra). A fej közepe át van fúrva, ebbe helyezzük az ütközıvel ellátott rudat, amelynek belseje üreges és erıs acélhuzalokat tartal elmérési pontjel-csap ábra. elmérési pontjel-betonszeg 48

49 maz. A leveréshez tartozik egy leverı acél vagy rézrúd, amely a vasrúd acélhuzaljait a talajba tolja. Az acélhuzalok a leverés eredményeként a talajban visszahajlanak, ezáltal adva a pontjelnek nagyobb állékonyságot. Központként a mérés idejére a fejbe belehelyezhetı zárókupakot alkalmazhatunk. Magaspontok közül vízszintes alappontként elsısorban templomtornyokat, ritkábban kéményt alkalmazunk (4.1. ábra). A magaspontok esetén a központot az objektum szimmetriatengelye határozza meg. Katolikus ábra. elmérési pontjel-vasrúd mőanyag fejjel templomok esetén a központot a kereszt alatt elhelyezkedı gömb nyakának, református templom esetén pedig a csillag tövének a szimmetriatengelye jelöli egy megadott magasságban (4.13. ábra). Kémény esetén a központ elméleti jele a kémény szimmetriatengelyének és a felsı perem által meghatározott síknak a döféspontja (4.14. ábra) ábra. Magaspontok templomtorony és kémény V V ábra. A központ jele katolikus és református tornyok esetén 49

50 V ábra. A központ elméleti jele kémény esetén Különleges pontjelölés a vasbeton mérıtorony (4.15. ábra). Legtöbbjüket az 1970-es években építették. Magasságuk méter között változik, az észlelıteret a torony belsejében lévı létrákon lehet megközelíteni. A központot a mérıtorony belsejében a terepszinten állandósított kı jelenti. Az észlelést a mérıtorony tetején lévı betonpilléren lehet elvégezni. Irányzás céljából a központot az észlelıtér fölé helyezett gúla segítségével teszik láthatóvá, amely egy 1 méter magasságú, fekete-fehérre, piros-fehérre festett henger ábra. Vasbeton mérıtorony 4.4. Háromdimenziós pontjelölések A megváltozott mérési technológiák és eszközök következtében szükségessé vált olyan pontjelölések alkalmazása, amelyek a pontot a térben jelölik, lehetıvé téve annak egyértelmő magassági és vízszintes vagy háromdimenziós meghatározását. Ennek megfelelıen olyan pontjelöléseket kell alkalmaznunk, amelyek ötvözik a magassági és a vízszintes pontjelölések 50

51 tulajdonságait. A kıben elhelyezett, gömbölyőfejő, furatos és rozsdamentes acél vagy rézcsap erre a célra kiválóan alkalmazható (4.16. ábra). Ezeket a pontjelöléseket speciális mérési feladatokhoz, elsısorban mozgásvizsgálati célra alkalmazzuk ábra. Gömbölyőfejő, csavarmenettel ellátott furatos pontjel Elsısorban speciális, mőholdas helymeghatározáson alapuló mozgásvizsgálati mérési feladatoknál alkalmaznak csavarmenettel ellátott pontjelölést. A mérés során a rézbıl készült rudat a szintén rézbıl készített perselybe csavarják. Azonban a rúd felsı része is csavarmenettel van ellátva, erre csavarják magát a GPS antennát (4.17. ábra) ábra. savarmenettel ellátott háromdimenziós pontjel és a rézrúdra erısített GPS antenna 4.5. Pontleírás Az alappontok állandósítását és meghatározását követıen azokról úgynevezett pontleírást kell készíteni. A pontleírás szöveges része tartalmazza a pont azonosítóját, helymeghatározó adatait, valamint további, az állandósításra vonatkozó adatokat, mint például az állandósítás évét, módját, az állandósítást végzı cég és személy nevét. A pontleírás grafikus része az úgynevezett helyszínrajz, amely a pont megtalálását és terepi azonosítását segíti. A pontleírás részleteiben eltérı magassági, vízszintes és háromdimenziós pontok esetén azok sajátossága következtében ( ábra). Külön is felhívnánk a figyelmet a magaspontként felhasznált vízszintes alappontok helyszínrajzára (4.0. ábra). Ebben az esetben a helyszínrajz a kiválasztott objektum függıleges metszetérıl készült alakhelyes vázlat, amelyen feltüntetik a központ helyét mind vízszintes, mind magassági értelemben. A GPS-szel meghatározott alappont pontleírása tartalmaz a helyszínrajzon kívül egy, a pont megközelítését szolgáló térképrészletet, valamint szöveges útbaigazítást (4.0. ábra). 51

52 4.18. ábra. Pontleírás Magassági alappont ábra. Terepfelszínen állandósított vízszintes alappont pontleírása 4.0. ábra. Magaspontként felhasznált vízszintes alappont pontleírása 5

53 4.1. ábra. GPS alappont pontleírása Megemlítjük, hogy a magassági, a vízszintes és a GPS-szel meghatározott alappontok adatai az illetékes földhivatalok, valamint a öldmérési Intézet (ÖMI) adat- és térképtárából szerezhetık be egyszeri felhasználás vagy egy adott munka elvégzése céljából. Az alappontok adataiért a mindenkori érvényben lévı díjszabályzat szerint kell fizetni. 53

54 Kérdések, feladatok 1. Ismertesse a geodéziai alapponthálózatok létrehozásának céljait!. Milyen elven osztályozzuk a geodéziai alapponthálózatokat? 3. Mit nevezünk állandósításnak? 4. Milyen mérések végrehajtására alkalmasak a négydimenziós pontjelölések? 5. Ismertesse a falicsappal történı állandósítás módját! 6. Mire kell ügyelni a falicsappal történı állandósításkor a pont elhelyezkedésére vonatkozóan? 7. Szükséges-e figyelembe venni a magassági alappontok állandósításakor az állandósítás és a mérés között eltelt idıt? 8. Ismertesse a szintezési kıvel történı állandósítás megoldásait! 9. Ismertesse a vízszintes alappontok csoportosítását! 10. Mit nevezünk központnak? 11. Ismertesse a kıvel történı állandósítás módját! 1. Milyen felmérési pontjeleket ismer? 13. Mi a különbség a magaspont és a magassági alappont között? 14. Ismertesse a magaspontok esetén a központ helyét vízszintes és magassági értelemben! 15. Milyen szempontokat kell figyelembe venni a háromdimenziós pontok állandósítására és jelölésére vonatkozóan? 16. Ismertesse a magassági alappont pontleírásának a tartalmát! 17. Ismertesse a vízszintes alappont pontleírásának a tartalmát! 18. Ismertesse a vízszintes alappont helyszínrajzának tartalmát magaspont esetén! 19. Ismertesse a GPS-szel meghatározott alappont pontleírásának a tartalmát! 54

55 5. Koordináta transzformációk Az 1. fejezetben láttuk a különbözı helymeghatározó adatok megadási és értelmezési módját. Megismerkedtünk az egy-, a két- és a háromdimenziós helymeghatározó adatok vonatkoztatási és koordináta rendszereivel. A gyakorlati feladatok során azonban gyakran találkozunk olyan esettel, hogy egy pont adott vonatkoztatás rendszerbeli koordinátáit át kell számítanunk egy másik vonatkoztatási rendszerbe. Ezekben az esetekben ismernünk kell a két vonatkoztatási rendszer közötti kapcsolatot. Az átszámításokat összefoglaló néven koordináta transzformációknak nevezzük, amelyeket a kapcsolat típusát leíró transzformációs paraméterek felhasználásával hajtunk végre. A koordináta transzformációkat a pontok helymeghatározó adatainak dimenziója és a kapcsolat típusa alapján osztályozzuk. Ennek megfelelıen beszélünk két- és háromdimenziós, más néven síkbeli és térbeli transzformációkról. A kapcsolat típusa a transzformációt leíró matematikai-geometriai modell alapján adható meg. Ilyen osztályozás alapján beszélünk egybevágósági, hasonlósági, affin, stb. transzformációkról. A koordináta transzformációknak széles körő alkalmazásával találkozunk a késıbbiek során több szaktárgyban is, ezért alapvetı fontosságú, hogy a koordináta transzformációk alapjait részletesen megismerjük. Ebben a fejezetben a síkbeli transzformációk közül a síkbeli egybevágósági, hasonlósági és affin transzformációk matematikai modelljeit mutatjuk be A koordináta transzformációk matematikai modelljei Mielıtt részletesen tárgyalnánk a levezetéseket, célszerő elıször megismerkedni a síkbeli transzformációk fentebb felsorolt típusainak geometriai jelentésével. Példaként tekintsünk egy N 1 négyzetet, amelynek adottak a pontjai koordinátákkal egy YX geodéziai koordináta rendszerben (5.1. ábra). X B B 1 1 A N N 1 A 1 D 1 D Y 5.1. ábra. Tételezzük fel, hogy ugyanebben a koordináta rendszerben adott egy N -vel jelölt négyzet is a sarokpontjainak a koordinátáival. Az N négyzet azonban az N 1 négyzettıl eltérı mérető és elhelyezéső. A kérdés az, hogyan lehet az N 1 -gyel jelölt négyzetet az N -vel megfeleltetni, azaz kapcsolatba hozni az A 1 -A, B 1 -B, 1 - és a D 1 -D pontpárok, ún. azonos pontok alapján? Mint az 5.1. ábra alapján látható, az oldalak egymással nem párhuzamosak, ezért elıször az N 1 négyzetet elforgatjuk egy tetszıleges pont körül úgy, hogy az említett pontpárok által alkotott oldalak egymással párhuzamosak legyenek (5..a. ábra). 55

56 X B X B B 1 B 1 A N A A 1 1 N 1 1 D 1 A 1 D D D 1 Y Y a. orgatás b. Eltolás X B A A 1 c. Méretarányváltozás D Y 5.. ábra. A síkbeli hasonlósági transzformáció értelmezése Ezt követıen az N 1 négyzet A 1 pontját eltoljuk a neki megfelelı A pontba (5..b.ábra). Ennél a lépésnél még szemléletesebben látható, hogy a két négyzet egymással nem egybevágó, ezért meg kell még változtatnunk az N 1 négyzet méretarányát (5..c. ábra), amelynek eredményeként a két négyzet egymással már egybevágó lesz. A két négyzet közötti kapcsolatot tehát úgy valósítottuk meg, hogy az N 1 négyzetet elıször elforgattuk, majd eltoltuk a koordinátatengelyek irányában és végül megváltoztattuk a méretarányát. Ezt a transzformációt hasonlósági transzformációnak nevezzük, amelyet ennek megfelelıen négy paraméterrel tudunk tehát jellemezni: - két koordinátatengely irányú eltolás, - egy forgatás, - egy méretaránytényezı. Ha a transzformációt során csak eltolást és forgatást végzünk, de méretarányváltoztatást nem, akkor ezt nevezzük egybevágósági transzformációnak nevezzük. Az 5.3. ábrán egy négyzet és egy paralelogramma közötti kapcsolat leírása követhetı nyomon. Elıször megszüntetjük az A 1 -nél lévı derékszöget úgy, hogy az egyezzen a paralelogramma ϕ szögével (5.3.b. ábra), majd elvégezzük az így kapott rombusz α szöggel történı forgatását a megfelelı oldalak párhuzamossá tételével. Ezt követıen eltoljuk a rombusz A 1 pontját a paralelogramma A pontjába (5.3.c. ábra) és végül megváltoztatjuk a rombusz oldalainak a hosszát (5.3.d. ábra). Nyilvánvaló, hogy ehhez két különbözı méretaránytényezıt kell alkalmazni. Ezt a transzformációt affin transzformációnak nevezzük, amelyet összesen tehát 6 paraméter ír le: - két koordinátatengely irányú eltolás, - két méretaránytényezı, - egy forgatási szög, - egy szögtorzulás. A bemutatott transzformációknak van egy geomatikai szempontból rendkívül fontos és nevezetes tulajdonsága, nevezetesen a kolinearitás. A kolinearitás azt jelenti, hogy az eredetileg egy egyenesre illeszkedı pontok a transzformáció eredményeként is egy egyenesre illeszkednek (5.4. ábra). Ennek a 56

57 tulajdonságnak a késıbbiek folyamán a térképészeti és különösen a fotogrammetriai és távérzékelési alkalmazásokban lesz fontos szerepe. X X A ϕ α ϕ A a b a b ϕ a 1 A 1 a 1 Y A 1 a 1 Y X a. b. X A a b A 1 Y Y c. d ábra. A síkbeli affin transzformáció értelmezése X 5.4. ábra. A kolinearitás Y A síkbeli transzformációknak létezik a térbeli megfelelıje is. Két különbözı élhosszúságú kocka térbeli hasonlósági-, egy kocka és egy paralelepipedon között pedig térbeli affin transzformáció alapján létesíthetı kapcsolat (5.5. ábra). Z Z Y Y X X 5.5. ábra. A térbeli hasonlósági és a térbeli affin transzformáció szemléltetése A síkbeli és térbeli transzformációk matematikai modelljének levezetésekor azonban az 5.., 5.3. és 5.5. ábráktól eltérı utat választunk, aminek az oka abban keresendı, hogy a gyakorlatban valójában egy pont két különbözı vonatkoztatás-rendszerbeli koordinátáival dolgozunk. Azaz, például nem az 5.1. ábrán látható N 1 négyzetet mozgatjuk és forgatjuk, hanem a koordinátarendszert magát (5.6. ábra). Ennek megfelelıen a feladatot úgy fogalmazzuk meg, hogy adottak egy pont y x ún. forrás 57

58 rendszerbeli koordinátái, és keresendık a pont y x célrendszerbeli koordinátái, amelyeket a forrás koordinátarendszer eltolásával, forgatásával és egységvektorai méretarányának megváltoztatásával kapunk. X él koordinátarendszer X Y i orrás koordinátarendszer i j j Y 5.6. ábra. A forrás és a cél koordinátarendszer értelmezése 5.. A síkbeli egybevágósági transzformáció Az összefüggések levezetésének megértéséhez tekintsük az 5.7. ábrát. Adott az Y X forrás koordinátarendszer, amelyben ismerjük a pont y és x koordinátáit. Tőzzük ki célul a pont y és x célrendszerbeli koordinátáinak a meghatározását úgy, hogy a forrás koordinátarendszert geodéziai pozitív értelemben α szöggel elforgatjuk az origó körül. X X P r x Y +α r x c i i j +α y Y j y c 5.7. ábra. A síkbeli egybevágósági transzformáció közös origó esetén Jelöljük i, j -fel, valamint i és j -vel a megfelelı egységvektorokat. A forrás koordinátarendszerben a P pontba mutató helyvektor a vektorok összeadásának szabályából következıen a következı: r y + x (y j + 0i ) + (0 j + x i ) y j + x i (5.1.) Hasonlóan a helyvektor a cél koordinátarendszerben: r y + x (y j + 0 i ) + (0 j + x i ) y j + x i (5..) 58

59 59 A P pont koordinátái a cél koordinátarendszerben az r helyvektor és a megfelelı egységvektorok skalár szorzatai: x y i i x i j y i ) i x j (y i r j i x j j y j ) i x j (y j r (5.3.) mert i c i c 1, j c j c 1 és i c j c 0, j c i c 0. Tekintettel arra, hogy a két koordinátarendszer origója közös, ezért írható, hogy r r (5.4.) Ennek megfelelıen a célrendszerbeli koordináták felírhatók a forrásrendszerbeli helyvektor függvényeként, ha (5.3.)-ba a forrás rendszerbeli helyvektort helyettesítjük: x y i r j r (5.5.) Azaz ( ) ( ) x y x y x x y x y y i i i j i i j i r j i j j j i j j r (5.6.) Az analitikus geometriából viszont jól ismertek a következı összefüggések: ( ) ( ) [ ] ( ) α α α α α + α α cos sin 90 - cos 90 - cos - -sin 90 cos cos i i i j j i j j (5.7.) Végeredményben tehát (5.6.) és (5.7.) alapján írhatjuk, hogy α α + α α cos x sin y x sin x - cos y y (5.8.) Az (5.8.)-as összefüggéseket célszerőbb mátrix alakban is felírni a késıbbi egyszerőbb tárgyalásmód érdekében a következı formában α α α α x y cos sin sin cos x y (5.9.) A forgatási szög szögfüggvényeit magában foglaló x-es mátrixot forgatómátrixnak nevezzük. További egyszerősítést jelent a felírásban, ha a megfelelı koordinátarendszerbeli koordinátákat egy x és x vektorba foglaljuk, a forgatómátrixot pedig R-rel jelöljük. Ekkor (5.9.) röviden a következı: x R x (5.10.) Ha a két koordinátarendszer origója nem azonos (5.8.ábra), akkor a forrás koordinátarendszer origóját a cél koordinátarendszerbeli koordinátatengelyekkel párhuzamosan t Y és t X értékekkel eltoljuk. Az (5.8.) és (5.9.) egyenletek ekkor a következıképpen módosulnak: α α + + α α + cos x sin y t X sin x - cos y t y X Y (5.11.) Vagy

60 x y t Y cos α sin α y + t + R x x t X sin cos (5.1.) α α x X P X Y +α r r t X i j +α i t j Y t Y 5.8.ábra. Az eltolás figyelembevétele Az (5.11.) vagy az (5.1.)-vel adott összefüggéseket a síkbeli egybevágósági transzformáció transzformációs egyenleteinek nevezzük A forgatómátrix tulajdonságai A forgatómátrix rendelkezik néhány speciális és nevezetes tulajdonsággal, amelyeket a késıbbiekben többször felhasználunk majd a síkbeli transzformációkhoz. Az egyik nevezetes tulajdonsága, hogy determinánsa 1-gyel egyenlı: cos α sin α R cos α cos α + sin α sin α 1 (5.13.) sin α cos α Ha a forgató mátrix oszlopait vagy sorait úgy tekintjük, hogy annak elemei egy-egy, p 1 és p vektor koordinátái, azaz p p 1 cosα j + sinα i sinα j + cosα i (5.14.) akkor képezve skalár szorzatukat, kapjuk, hogy p p cosα sinα cosα sinα 0 (5.15.) 1 A két vektor tehát egymásra merıleges. Ebbıl adódik a forgatómátrix egy újabb tulajdonsága, nevezetesen az, hogy ortogonális mátrix. A késıbbiekben felhasználjuk majd a forgatómátrix inverzét, amely a tulajdonságai következtében szintén speciális felépítéső és a forgatómátrixból egyszerően számítható. Az (5.13.)-as tulajdonság alapján könnyen igazolható, hogy a forgatómátrix inverze megegyezik annak transzponáltjával, azaz 60

61 61 α α α α cos sin sin cos T 1 R R (5.16.) Mivel a forgatómátrix ortogonális, ezért igaz az, hogy a mátrixnak az inverzével, azaz a transzponáltjával alkotott szorzata egységmátrixot ad eredményül, tehát R R T R T RI A síkbeli hasonlósági transzformáció A síkbeli hasonlósági transzformáció esetén a levezetésekhez a síkbeli egybevágósági transzformációnál leírtakból indulunk ki, itt viszont figyelembe kell vennünk még egy méretaránytényezıt is. A méretaránytényezı a modellben úgy jut kifejezésre, hogy a forrás és a cél koordinátarendszerben az egységvektorok hossza különbözı, azaz ( ) ( ) j i j i Ennek megfelelıen definiálunk egy s méretaránytényezıt a következıképpen: s j j i i (5.17.) igyelembe véve (5.17)-et, (5.6.) a következıképpen írható: ( ) ( ) s x s y s x s y x s x s y s x s y y i i i j i i j i r j i j j j i j j r (5.18.) Ismét alkalmazva az (5.7.) alatti skalár szorzatokra vonatkozó összefüggéseket, (5.18.) a következı: α α + α α cos x s sin y s x sin x s - cos y s y (5.19.) igyelembe véve az általános esetet, a két eltolás paraméter bevezetésével írhatjuk, hogy: X Y s x y cos sin sin cos s t t x y x R t + α α α α + (5.0.) Az (5.0.) alatt megadott összefüggéseket a síkbeli hasonlósági transzformáció transzformációs egyenleteinek nevezzük. Gyakran az eredeti paraméterek közül az s méretaránytényezı és az α forgatási szög helyett új segédváltozókat vezetnek be a következı formában: α α sin s b cos s a (5.1.) Így (5.0.) az új segédparaméterek bevezetésével a következı: + X Y x y a b b a t t x y (5..) A méretaránytényezı (5.17.)-tel megadott formája alapján könnyő belátni, hogy az mértékegység nélküli mennyiség. Egyes alkalmazásokban viszont a méretaránytényezıt egy egységnyi hossz, például az 1 km-es távolság változásaként adják meg. Ha például a méretaránytényezı értéke , akkor az 1 km-es távolság m-re változik a hasonlósági transzformáció eredményeként, azaz 74 mm-rel hosszabb lesz. Ekkor a méretaránytényezıt multiplikatív (szorzáson alapuló) formában adják meg. A méretaránytényezıt azonban írhatjuk úgy is, hogy s +74

62 mm/km. Ekkor a méretaránytényezıt additív (összeadáson alapuló) formában adtuk meg. Hasonlóan az s -45 mm/km-es additív módon megadott érték megfelel s multiplikatív formában megadott méretaránytényezınek Az inverz transzformáció A síkbeli egybevágósági transzformáció (5.1.)-vel megadott összefüggése egyszerő felírási módot ad az (5..) fejezetben tárgyalt feladat fordítottjának a megoldására. Azaz feltételezzük, hogy rendelkezésre állnak az eltolás és forgatás paraméterek, a pontok koordinátái a cél koordinátarendszerben adottak, és így most a forrás rendszerbeli koordinátákat kell meghatároznunk. Induljunk ki ezért az (5.1.)-es egyenletbıl: x t + R (5.3.) x Az (5.3.)-at rendezve kapjuk az inverz transzformáció összefüggéseit: 1 ( x t) x R (5.4.) Alkalmazva (5.16.)-ot, írhatjuk, hogy y x cos α sin α sin α y cos α x t t Y X ( y t Y ) cos α + ( x t X ) sin α ( ) ( ) y t sin α + x t cos α Y X (5.5.) Az (5.0.) alatti összefüggések alapján a hasonlósági transzformációra is megadhatjuk az inverz transzformáció egyenletét mátrixok segítségével: x 1 R s 1 ( x t) 5.6. A síkbeli affin transzformáció (5.6.) A síkbeli affin transzformáció összefüggéseinek a megértéséhez tekintsük az 5.9. ábrát. Az egyszerőség érdekében a két koordinátarendszer origóját ugyanabban a pontban vettük fel. A szögtorzulást a koordinátatengelyek merılegestıl való eltérésével modellezzük. X X +ϕ +α P r Y r i i j +(α+ϕ) Y j 5.9. ábra. A síkbeli affin transzformáció 6

63 Az természetesen önkényes, hogy a szögtorzulást mely koordinátatengelyekre vonatkozóan értelmezzük. Az 5.9. ábra szerint a ϕ szögtorzulás úgy lett megválasztva, hogy a forrás koordinátarendszer koordinátatengelyei nem merılegesek egymásra. Elsı lépésben a szögtorzulás és a forgatás hatását vizsgáljuk meg. Az (5.1.) (5.3.) összefüggéseket ebben az esetben is közvetlenül alkalmazhatjuk: r r y j + x i (5.7.) y j + x i (5.8.) y r j (5.9.) x r i (5.30.) Mivel a két koordinátarendszer origója közös, ezért (5.7.)-et behelyettesíthetjük az (5.9.) és (5.30.) egyenletekbe a cél koordinátarendszerbeli helyvektor összefüggésébe: y x r r j i ( y j + x i ) j y j j + x i j ( y j + x i ) i y j i + x i i (5.31.) Viszont j j i i j i j i Azaz y x y y cos cos cos - cosα cos sin ( α + ϕ) ( 90 + α) -sinα [ ( 90 - ( α + ϕ) )] cos[ 90 - ( α + ϕ) ] sin( α + ϕ) ( α + ϕ) - x sinα ( α + ϕ) + x cos α (5.3.) (5.33.) Az affin transzformáció két méretaránytényezıjét a megfelelı egységvektorok hányadosaként definiáljuk. Az Y koordinátatengely irányában a méretaránytényezı a következı: s Y j (5.34.) j Az X koordinátatengely irányában pedig: s X i (5.35.) i Az (5.34.) és (5.35.) összefüggések felhasználásával (5.33.) most már a következıképpen írható: y X y y s Y s Y cos sin ( α + ϕ) - x sx sinα ( α + ϕ) + x s cos α X (5.36.) Ha bevezetjük a két koordinátatengely irányú eltolást, akkor végeredményben a síkbeli affin transzformáció egyenletei: y X t t Y X + y + y s Y s Y cos sin ( α + ϕ) - x sx sinα ( α + ϕ) + x s cos α X (5.37.) A hasonlósági transzformációnál megismertek szerint az affin transzformáció egyenleteit is új segédváltozók bevezetésével szokás felírni. Legyenek ezek a segédváltozók a következıképpen definiálva: a Y s cos ( α + ϕ) 63

64 b X - s sinα c sy d sx sin( α + ϕ) cos α Így (5.37.) az új jelölésekkel y X t t Y X + a y + c y + b x + d x (5.38.) Az (5..) és az (5.38.) összefüggésekkel kapcsolatban meg kell említeni több fontos dolgot. Vegyük észre, az új segédváltozók bevezetésével a transzformációs paraméterek száma természetesen változatlan maradt. A hasonlósági transzformációnál a méretaránytényezıt és a forgatási szöget, míg az affin transzformáció esetén a szögtorzulást, a forgatási szöget és a két méretaránytényezıt használtuk fel a négy segédparaméter bevezetéséhez. 64

65 Kérdések, feladatok 1. Mit értünk koordináta transzformáció alatt?. Ismertesse a síkbeli hasonlósági transzformáció modelljét! 3. Ismertesse a síkbeli affin transzformáció modelljét! 4. Milyen alakzattá torzul egy négyzet síkbeli affin transzformáció esetén? Magyarázatként készítsen ábrát! 5. Igazolja, hogy az alábbi forgatómátrix ortogonális mátrix: cos ε R sinε sinε cos ε 6. Ismertesse a síkbeli forgatás forgatómátrixát pozitív és negatív forgatás esetén! 7. Ismertesse a síkbeli hasonlósági transzformáció egyenleteit és az egyes paraméterek jelentését! 8. Ismertesse a síkbeli affin transzformáció egyenleteit és az egyes paraméterek jelentését! 9. Milyen értelmezési módjai léteznek a méretaránytényezınek? 10. Igazolja, hogy egy + γ szöggel történı síkbeli forgatás forgatómátrixa és annak inverzének szorzata egységmátrixot ad eredményül! 11. Adott egy P pont y P és x P koordinátákkal. Írja fel annak a hasonlósági transzformációnak az egyenleteit, amelynek során a koordinátarendszert -30 -kal elforgattuk és a méretaránytényezıjét -50 mm/km-rel megváltoztattuk! 1. Egy síkbeli koordinátarenszert két egymást követı, + γ és + β forgatási szögekkel elforgatunk. Írja fel az eredı forgatás forgatómátrixát és vizsgálja meg annak elemeit! Milyen összefüggéseket lehet észrevenni az eredı forgatómátrix elemeibıl? 13. Adottak az alábbi ábrán látható háromszög pontjainak a koordinátái: Pontszám y x Végezze el a pontok koordinátáinak transzformálását síkbeli egybevágósági transzformációval, ha adottak a következı paraméterek: T Y T X α A transzformált koordinátákat 0.1 mm élességgel számolja. 65

66 14. Végezze el a 15. feladat kiinduló adatait felhasználva a háromszög transzformálását síkbeli hasonlósági transzformációval, ha adottak a következı paraméterek: T Y T X s + 40 mm/km α A transzformált koordinátákat 0.1 mm élességgel számolja. 15. Számolja ki a 16-os feladat eredményeit felhasználva a transzformált alakzat belsı szögeit és oldalainak a hosszát és elemezze a kapott értékeket! A szögeket 0.01, a hosszakat pedig 0.1 mm élességgel számolja! 16. Végezze el a 15. feladat kiinduló adatait felhasználva a háromszög transzformálását síkbeli affin transzformációval, ha adottak a következı paraméterek: T Y T X s Y + 40 mm/km s X - 60 mm/km α ϕ A transzformált koordinátákat 0.1 mm élességgel számolja. 17. Számolja ki a 18-as feladat eredményeit felhasználva a transzformált alakzat belsı szögeit, oldalainak a hosszát és elemezze a kapott értékeket! A szögeket 0.01, a hosszakat pedig 0.1 mm élességgel számolja! 18. Adott az alábbi síkbeli hasonlósági transzformáció forgatómátrixa: R Számolja ki a forgatási szöget és a méretaránytényezıt! 19. Adottak egy síkbeli affin transzformáció transzformációs paraméterei: a b c d Számolja ki az affin transzformációt leíró forgatási szöget, szögtorzulást és a méretaránytényezıket! 0. Adott két pont, az 1-es és a -es számú pontok forrás és cél rendszerbeli koordinátái. A célkoordinátákat síkbeli hasonlósági transzformációval számoltuk. Számolja ki a hasonlósági transzformációt leíró transzformációs paramétereket! Ellenırizze a megoldás helyességét! orrás rendszerbeli koordináták él rendszerbeli koordináták Pontszám Y X Y X

67 6. Vízszintes helymeghatározás 6.1. A vízszintes helymeghatározás alapjai A vízszintes helymeghatározás során a pontok helymeghatározó adatait a Gauss-féle felületi koordinátái jelentik (1.3. fejezet). Ez egyben azt is jelenti, hogy minden egyes mérést, amelyet ezen koordináták meghatározása érdekében elvégzünk, erre a felületre kell vonatkoztatnunk. Azt a felületet, amelyre az összes mérési eredményeinket és a helymeghatározó adatokat vonatkoztatjuk, alapfelületnek nevezzük. A vízszintes helymeghatározásban az alapfelület a öld elméleti alakját legjobban megközelítı forgási ellipszoid, amelyrıl a.. fejezetben láttuk, hogy azt nemcsak matematikailag, hanem fizikailag is definiálnunk kell. A felmérési feladatok során azonban az alapfelületet egyszerőbb felülettel helyettesítjük, amelyen a helymeghatározó adatokat a mérési eredményekbıl egyszerő összefüggések alapján számolni tudjuk. Ez egy olyan síkfelület, amelyen a Gauss-féle felületi koordináták nem mások, mint a pontok derékszögő koordinátái. Azt, hogy miként állítható elı ilyen síkfelület és hogyan származtatjuk azon a pontok síkbeli derékszögő koordinátáit az alapfelületi koordinátákból, itt most nem részletezzük, erre majd egy külön tantárgy, a Vetülettan keretében kerül sor. Azaz, itt most feltételezzük, hogy a pontok derékszögő koordinátáit ezen a síkon, amelyet vetületi síknak nevezünk, már definiáltuk. A továbbiakban szintén feltételezzük, hogy a vonatkoztatási rendszert megvalósító alappontok koordinátái már rendelkezésre állnak a vetületi síkon. A kérdés az, hogyan határozhatunk meg további pontokat? A 6.1 ábrán egy olyan esetet tüntettünk fel, ahol adott két pont, A és B, derékszögő koordinátái. Ezeket a pontokat az ábrán háromszögekkel jelöltük. Ha a nullkörrel jelölt ismeretlen P pont koordinátáit tisztán szögek felhasználásával akarjuk meghatározni, akkor ismernünk kell az ismert pontokról az új pontra menı irányok koordinátarendszerbeli helyzetét, azaz irányszögét. Geometriai értelemben így a két egyenes metszéspontja megadja az új pont helyzetét. x A P B y 6.1. ábra. Vízszintes helymeghatározás két ismert pont és két ismert szög alapján Egy pont koordinátáit szintén meg tudjuk határozni két ismert koordinátájú pont, valamint a meghatározandó és az ismert pontok között mért távolság felhasználásával is (6.. ábra). Ehhez tehát távolságot kell mérnünk. 67

68 x A P B y 6.. ábra. Vízszintes helymeghatározás két ismert pont és két mért távolság alapján A 6.3. ábrán tüntettük fel azt az esetet, mikor kombináljuk a szögmérés és a távolságmérés eredményeit az ismeretlen pont koordinátáinak meghatározása érdekében. A vízszintes szög, és késıbb a magasság meghatározásához a magassági szög fogalmának tisztázásához elıször a 6.1. fejezet alapján el kell döntenünk, mit tekintsünk azokhoz vonatkoztatási felületnek. ontos kiemelnünk, hogy a vonatkoztatási felület nem tévesztendı össze az alapfelülettel! Tekintettel arra, hogy a pontok a térben helyezkednek el, ezért a pontokat elıször a mérendı szög csúcsához tartozó szintfelület érintısíkjára, vagy más néven a helyi vízszintes síkra kell vonatkoztatnunk (6.4. ábra). Ha a mérendı szög A-val jelölt csúcsához tartozó g nehézségi vektorra a helyi függıleges síkját illesztjük, majd ezt képzeletben elforgatjuk úgy, hogy az tartalmazza elıször a P 1, majd a P pontot, akkor ezek a síkok kimetszik a helyi vízszintes síkból a két térbeli irány vízszintes vetülex A P y 6.3. ábra. Vízszintes helymeghatározás egy ismert pont, valamint egy ismert szög és egy mért távolság alapján A 6.1., a 6.. és a 6.3. ábrán látható feladatokat a geodéziában külön elnevezéssel látták el, erre még a tanulmányaink során visszatérünk. A geodéziában mára kialakult mérési gyakorlat szerint, a kétdimenziós helymeghatározás tehát alapvetıen szögmérésbıl és távolságmérésbıl áll. Ehhez viszont szükséges definiálni mind a vízszintes szög, mind a távolság fogalmát, mert ezek nem egyértelmő fogalmak mindaddig, amíg le nem szögezzük, hogy azokat mire vonatkoztatjuk. 6.. A vízszintes és a magassági szög fogalma 68

69 teit. A két térbeli irány vízszintes vetületei által bezárt szög lesz az a szög, amelyet mérni tudunk és felhasználjuk a további koordinátaszámításokhoz. Ezt a szöget nevezzük vízszintes szögnek. Vegyük észre, hogy a vízszintes szög fogalma nem tisztán geometriai fogalom, hanem fizikai is. A vízszintes szöget a helyi szintfelület érintısíkjában definiáltuk, amely viszont kötıdik a öld nehézségi erıteréhez. A szög csúcsához tartozó helyi függıleges sík a nehézségi vektorhoz kapcsolódik, következésképpen a vízszintes szögméréshez olyan mőszerre lesz szükségünk, amellyel a helyi függıleges elıállításával biztosítjuk, hogy a térbeli irányok vízszintes vetületei által bezárt szöget a helyi szintfelület érintısíkjában meg tudjuk mérni. A vízszintes szöget ilyen értelemben természetes szögnek is nevezhetjük, hiszen annak szárait nem más, mint a természet jelöli ki a számunkra. helyi vízszintes sík helyi függıleges A P 1 P P 1 vízszintes szög P helyi szintfelület g 6.4. ábra. A vízszintes szög értelmezése Gyakorlati szempontból a fentebb definiált vízszintes szöget azonosnak tekintjük annak síkbeli koordinátarendszerbeli megfelelıjével. Ez azt jelenti, hogy a közvetlenül mért vízszintes szöget a koordinátaszámításokhoz közvetlenül fel tudjuk használni. Késıbbi tanulmányaink során azonban látni fogjuk, hogy a természetes szöget redukciókkal kell ellátni ahhoz, hogy azt ténylegesen az alapfelületen, azaz a forgási ellipszoidon értelmezni tudjuk. Ennek tárgyalásával azonban jelen jegyzetben nem foglalkozunk. Amíg a vízszintes szöget két térbeli irány esetén értelmezzük, a magassági szöget csak egy térbeli irány esetén. A magassági szöget úgy értelmezzük, hogy az A-P térbeli irányt a térbeli irányra illeszkedı helyi függıleges síkban a helyi szintfelület érintısíkjára vetítjük. A magassági szög így a térbeli irány és vízszintes vetülete által bezárt szög lesz a helyi függıleges síkban (6.5. ábra). helyi vízszintes sík helyi függıleges A Zenitszög g Magassági szög P P helyi szintfelület 6.5. ábra. A magassági szög és a zenitszög értelmezése 69

70 A gyakorlatban ma többnyire a zenitszöget mérjük. A zenitszög a térbeli irány és a helyi függıleges irány felfelé mutató ága által bezárt szög. Mint látható, a magassági szögmérésnél is központi szerepet játszik az, hogy a természet által kijelölt irányokat miként tudjuk a mőszerekkel megvalósítani. Túl a geometriai magyarázatokon, geodéziai szempontból még egy fontos dolgot ki kell hangsúlyozni, ez pedig a szögek értelmezése. A vízszintes szög tartományát a geodéziában az óramutató járásával egyezı értelemben tekintjük pozitívnak. Ezzel megadjuk, hogy a keresett szögtartományba nézve mit tekintünk bal szárnak és mit jobb szárnak. A vízszintes szöget mindig 0 és 360 közötti szögtartományban értelmezzük. A zenitszög esetén a bal szár mindig a helyi függıleges iránya, a jobb szár maga a térbeli irány. A zenitszöget a zenitpontból a nadírpont irányába indulva tekintjük pozitívnak, és 0 valamint 360 között értelmezzük. A magassági szög esetén viszont a forgásértelem az óramutató járásával ellentétes. A magassági szöget a horizont felett lévı térbeli irányok esetén pozitívnak, a horizont alatt elhelyezkedı térbeli irányok esetén pedig negatívnak tekintjük, így értelmezési tartománya mindig -90 és +90 közötti. A történelem folyamán a magassági szögmérést a gyakorlatban elıbb alkalmazták, mint a zenitszög-mérést. Ezért a szakmai nyelvben a magassági szögmérés kifejezés alakult ki elıbb, és terjedt el. Ma zenitszöget mérünk, de mégis megmaradt a magassági szögmérés elnevezés, azaz amikor magassági szögmérésrıl beszélünk, ez alatt a zenitszög mérését is értjük A teodolit A tetszıleges nagyságú vízszintes és magassági szögek mérésére alkalmas mőszert teodolitnak nevezzük. Ahhoz, hogy a teodolittal lehetıvé váljon a vízszintes és a magassági szögmérés, annak szerkezeti elemeinek különbözı geometriai feltételeket kell kielégítenie. A szerkezeti elemek és a közöttük fennálló feltételek megértéséhez tekintsük a 6.6. ábrát. magassági kör állótengely irányvonal objektív fekvıtengely okulár beli irányok méréséhez a térbeli pontokat pontosan meg kell irányozni, ehhez pedig távcsı szüksévízszintes kör 6.6. ábra. A teodolit fıbb szerkezeti elemeinek áttekintése A vízszintes és a magassági szögméréshez szükséges két, beosztással ellátott kör, amelyek osztásokat tartalmaznak hasonlóan egy egyszerő szögmérıhöz. Ezeket nevezzük vízszintes és magassági körnek. A magyar szakirodalomban a vízszintes kört gyakran limbuszkörnek is nevezik. A tér- 70

71 ges. A távcsövet azonban két egymásra merıleges tengely körül elforgathatóvá kell tenni. Ezeket a tengelyeket nevezzük állótengelynek és fekvıtengelynek. A távcsövet irányzásra alkalmassá kell tenni, ezért a távcsövön belül egy ún. szállemezt helyeznek el, amely két, egymásra merıleges szálat tartalmaz. Azt a szálat, amelyik párhuzamos a fekvıtengellyel fekvıszálnak, amelyik arra merıleges, állószálnak nevezzük. Az ilyen, irányzásra alkalmassá tett távcsövet geodéziai távcsınek nevezzük. Az irányzott pont képének megfelelı leképezéséhez különbözı lencse- és prizmarendszerre van szükség. A képalkotást az objektív biztosítja, míg az okulár felelıs a távcsıbe belépı fénysugarak észlelı felé történı továbbításáért és a látószög megnagyításáért. Egy geodéziai távcsı optikai tengelyének nevezzük az objektív optikai középpontját a szálkereszt középpontjával összekötı egyenest. A geodéziai távcsı asztronómiai irányvonalának iránya megegyezik annak a fısugárnak (a tárgypontot az objektív optikai középpontjával összekötı egyenes) az irányával, amely az objektív lencserendszeren áthaladva a távcsı végtelenre irányzott állapotában a képsíkot a szálkereszt középpontjában döfi. A geodéziai távcsı geodéziai irányvonala mindazon pontok mértani helye a tárgytérben, amelyekben az objektív lencserendszer a szálkereszt középpontjáról különbözı irányzási távolságokban képet alkot. Szigorú értelemben véve a geodéziai irányvonal alakja egy hiperbola, amelyet azonban a gyakorlati alkalmazásokhoz érintıjével, azaz egy egyenessel szoktunk helyettesíteni. Ideális esetben a távcsı optikai tengelye, asztronómiai és geodézai irányvonala megegyeznek egymással. További szerkezeti elemekkel biztosítani kell, hogy az állótengely meghosszabbítása a mérendı szög csúcsán menjen keresztül, valamint az állótengelynek függılegesnek kell lennie. Ezt a célt szolgálják a különbözı típusú vetítı berendezések és a libellák. A teodolit említett fıbb szerkezeti elemeinek különbözı geometriai feltételeket kell kielégíteni. Ezeket tengely-feltételeknek nevezzük, amelyek a következık: - Az állótengelynek merılegesnek kell lennie a vízszintes körre és annak középpontján kell áthaladnia. - A fekvıtengelynek merılegesnek kell lennie a magassági körre, és arra vonatkozóan központosnak kell lennie. - A fekvıtengelynek merılegesnek kell lennie az állótengelyre. - A geodéziai távcsı irányvonalának metszenie kell az állótengelyt. - A geodéziai távcsı irányvonalának metszenie kell a fekvıtengelyt. - A geodéziai távcsı fekvıtengely körüli áthajtása következtében az irányvonal által súrolt síknak, az ún. állósíknak merılegesnek kell lennie a fekvıtengelyre. Megemlítjük, hogy a távcsı állótengely és fekvıtengely körüli elforgatására a geodéziában külön elnevezés szolgál. Az állótengely körüli elforgatást átforgatásnak, míg a fekvıtengely körüli forgatást áthajtásnak nevezzük Az alhidádé A teodolit két fı szerkezeti részbıl áll, az alhidádéból és a mőszertalpból (6.7. ábra). Az alhidádé az állótengely körül tetszılegesen elforgatható. Azért, hogy a szögmérést a kiválasztott pont függılegesében el tudjuk végezni, a teodolitot úgy kell felállítanunk, hogy állótengelyének meghosszabbítása a mérendı szög csúcsán menjen keresztül. A teodolitot ezért háromlábú mőszerállványon vagy mőszeralátéten helyezik el. A mőszertalp feladata az, hogy biztosítsa a teodolit rögzítését akár a mőszerállványhoz, akár valamilyen speciális mőszeralátéthez. Az alhidádé ugyan az állótengely körül átforgatható, valamint a távcsı a fekvıtengely körül áthajtható, de az irányzás befejeztével az alhidádénak és a távcsınek mozdulatlannak kell lennie. Erre a célra, valamint az irányzás pontos végrehajtására szolgálnak az (1) vízszintes és () magassá- 71

72 gi kötı- és irányítócsavarok (6.8. ábra). Az alhidádé (3) oszlopában lévı fekvıtengely perselyébe van ágyazva a (4) geodéziai távcsı. A közelítı vagy durva irányzás végrehajtását segíti a (5) keresı kollimátor vagy irányzó dioptra, amely rendszerint mind a távcsı alatt, mind a távcsı felett megtalálható ábra. A teodolit két fı szerkezeti eleme: az alhidádé és a mőszertalp Az alhidádé oszlop tartalmazza a (6) magassági kört is. Az elektronikus teodolitokon található még a (7) billentyőzet és a (8) kijelzı. A magassági körrel átellenes oszlopon található a (9) belsı akkumulátor perselye, amelyet mőszertípustól függıen gyakran burkolattal védenek. Az állótengely pontos függılegessé tételére szolgál a (10) csöves libella vagy más néven alhidádélibella. Mőszertípustól függıen az alhidádé gyakran tartalmaz egy további libellát, az ún. szelencés libellát, amellyel az állótengelyt közelítıen tesszük függılegessé. Egyes mőszereknél a szelencés libella a mőszertalpon található. A mőszer törzsében található a (11) vízszintes kör, amely a korszerő elektronikus mőszereken szabad szemmel nem látható. A 6.8. ábrán szereplı Sokkia DT elektronikus teodolit esetén a kör pereme még látható, ugyanis ez a teodolit ún. kettıs tengelyő teodolit. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes kör a középpontján keresztül átmenı és a kör síkjára merıleges tengely körül az alhidádétól függetlenül elforgatható. Az újabb elektronikus teodolitok azonban már nem kettıs tengelyőek. Szintén a mőszertípustól függıen, de az alhidádé része lehet még a (1) vetítı berendezés. A vetítı berendezés feladata, hogy biztosítsuk a mérés során azt, hogy az állótengely meghosszabbítása a mérendı szög csúcsán menjen keresztül. A vetítıberendezés lehet optikai vagy lézeres. Szintén a mőszer törzsén található ezen kívül a hosszabb idejő tápellátást biztosító külsı akkumulátor (13) csatlakozója, valamint az adatátviteli kábel (14) csatlakozója. Az 6.8. ábra. Az alhidádé szerkezeti elemei alhidádé mőszertalpból való kiemelését segíti a (15) kézi fogantyú. 7

73 6.3.. A geodéziai távcsı A geodéziai távcsı feladata a nagy távolságban lévı tárgyak képének megnagyítása, azaz a valóságos látószögnél nagyobb látszólagos látószögő kép elıállítása, amely a pontos irányzás elengedhetetlen feltétele. A geodéziai távcsövek ún. változtatható fókusztávolságú, vagy más néven belsı képállítású távcsövek (6.9. ábra). objektív képállító lencse szállemez diafragma győrő képsík okulár parallaxis csavar 6.9. ábra. A geodéziai távcsı felépítése Az irányzás pontos végrehajtásához a távcsıben helyezkedik el a szállemez, amely, mint azt már említettük, tartalmazza az álló- és a fekvıszálat. A belsı képállítású távcsı lényege, hogy az objektív által elıállított képet a képállító lencse mozgatásával a szállemez síkjába mozgassuk. Erre a célra szolgál a parallaxis csavar. Az irányzás feltétele ugyanis, hogy mind a tárgy képét, mind a szálkeresztet élesen lássuk. A ábrán a Sokkia cég geodéziai távcsövének a szerkezetét látjuk. Az (1) objektív által alkotott képet a () képállító összetett lencse mozgatásával visszük a (3) diafragma győrőbe foglalt szállemez síkjába. A képállító összetett lencse mozgatásához a (4) parallaxis csavart használjuk. Mivel az objektív által alkotott kép fordított képalkotású, és jelentısebb színi hibával terhelt, ezért a színi hibák csökkentése érdekében a képállító összetett lencse és a diafragma győrő közé az (5) képfordító- és tükrözı prizmarendszert helyezik el. Az így keletkezett képet nagyítja fel a (6) okulár lencse, amely szintén öszszetett lencse. Az okulár lencse további feladata, hogy a képet az éleslátás távolságában képezze le. A színi és a gömbi hibák csökkentése érdekében az objektív egy kisebb törésmutatójú bikonvex (koronaüveg) és nagyobb törésmutatójú konkávkonvex (flintüveg) lencsébıl áll. A távcsıbe érkezı fénysugarak fényerejének csökkentése érdekében az ábra. A Sokkia geodéziai távcsövének szerkezeti felépítése objektívet optikai fényvisszaverı bevonattal látják el. Ez az oka az objektív kékes-lilás színezetének. Az okulár lencsék is összetett lencsék, amelyek domború oldalukkal fordulnak egymás felé (többnyire plankonvex lencsék). A közöttük lévı távolságot az eredı fókusztávolságuk alapján választják meg. Azért, hogy a szálkeresztet is élesen lássuk, az okulárlencsék az okulárban kis mértékben az optikai tengely irányában elmozdíthatók. A diafragma győrőben a szállemez a 73

74 saját síkjában eltolható és elforgatható a (7) igazítócsavarok segítségével. A szállemez anyaga üveg, amelyre a szálakat mikrofényképezéssel viszik fel. A ábrán a Leica és a Sokkia típusú mőszereknél alkalmazott szálkereszt megoldások láthatók. Közös jellemzıjük, hogy a nem pontszerő tárgyak irányzásához kettıs álló- és fekvıszálat alkalmaznak. A szálak futása nem folytonos, azokat szimmetrikusan a metszéspontokhoz közel megszakítják ábra. Szálkereszt megoldások a Sokkia (balra) és a Leica (jobbra) mőszereken Említettük már a parallaxis csavar szerepét, de nem tisztáztuk még magát a parallaxis jelenségét. Tételezzük fel, hogy az okulár segítségével a szálkereszt képét az éleslátás távolságába állítottuk. Ekkor két különbözı eset állhat fenn (6.1. ábra). A tárgy képe a szállemez síkja és a tárgy között képzıdik le, vagy az észlelı és a szállemez síkja között; azaz a képsík és a szállemez síkja nem esik egybe. Ez a parallaxis jelensége. Ha a parallaxis fennáll, akkor ugyan a szálkeresztet élesen látjuk, de a tárgy képét már nem. Ennek következtében az irányzást nem tudjuk pontosan elvégezni. A parallaxis fennállásáról úgy gyızıdhetünk meg, hogy a szemünket az okulár elıtt kis mértékben balrajobbra, vagy fel és le mozgatjuk. Ha azt tapasztaljuk, hogy a kép a szálakhoz képest elmozdult, akkor a képsík és a szálsík nem esik egybe, azaz parallaxis áll fenn. Ekkor a parallaxis csavar forgatásával a képet élesre kell állítanunk. észlelı szálsík képsík észlelı képsík szálsík 6.1. ábra. A parallaxis jelensége és különbözı esetei A parallaxis csavar mozgatásának a tartománya egyben meghatározza azt a legrövidebb irányzási távolságot, amelyre még irányozni lehet. Rövid távolságokon ugyanis a parallaxis különbség jelentıs, de egy adott távolságnál rövidebb irányzási távolság esetén a parallaxis nem szüntethetı meg. Ezt nevezzük a legrövidebb vagy minimális irányzási távolságnak. Ennek értéke általában másfél és két méter között változik. A másik eset, amikor egyre távolabb és távolabb lévı pontokat irányzunk, amelyek között nem lép fel parallaxisváltozás. Ezek azok a pontok, amelyek az optikai végtelenben találhatók. Ebben az esetben a parallaxis csavar végtelenre állított helyzetben van. Egyes mőszerek szállemezén a távoli vagy a közeli irányzás végrehajtásához szükséges parallaxis csavar forgatásának az irányát egy kis nyíllal jelölik, feltüntetve a végére a végtelen jelet. 74

75 Az állótengely Az állótengely feladata, hogy az alhidádé súlyát átadja a mőszertalpnak, valamint lehetıvé tegye az alhidádé központos és ingadozásmentes forgatását. Az idık folyamán különbözı megoldások szület- tek, mára alapvetıen en azonban az ún. vezetıgyőrős-golyóscsapágyas szerkezetet alkalmazzák, amelyet krómozott bevonatú acélból készítenek. A ábrán a Sokkia és a Leica mőszereknél alkalma- zott tengelyszerkezet látható, a ábrán pedig a keresztmetszetük ábra. A Sokkia (bal) és a Leica (jobb) mőszereken alkalmazott állótengely megoldás Azért, hogy az állótengely ingadozását csökkentsék, a vezetıgyőrő felülete az állótengelyre nem mefelületének ferdeszögő kialakítása egy na- rıleges, hanem azzal bizonyos szöget zár be, így a győrő gyobb stabilitású h fiktív tengelyhosszt eredményez. Az alhidádé súlyát a golyóscsapágyak veszik át és adják tovább. A csapágygolyókon gördülı megoldás gyakorlatilag holtjáték-mentessé teszi az állótengely ingadozását, ugyanis a csapágygolyók átmérıje csak néhány ezred milliméterrel kisebb, mint a tengely és a persely közötti távolság. h ábra. Az állótengely keresztmetszete Kötı- és finombeállító szerkezeti elemek A teodolittal az irányzást két lépésben hajtjuk végre. Elıször az irányzó kollimátor segítségével egy közelítı irányzást végzünk. Ennek eredményeként az irányzott objektum képe megjelenik a távcsı látómezejében. A pontos irányzás végrehajtásához lehetıvé kell tenni az alhidádé és a távcsı kismérirányzás befejeztével az alhidádét és a távcsövet rögzítjük, erre a célra tékő elforgatását. A közelítı szolgálnak a kötıcsavarok.. A pontos irányzáshoz pedig a kismértékő elforgatást az irányítócsavaés finombeállító szerkezeti elemek két klasszikus rok (paránycsavarok) avarok) teszik lehetıvé. A kötı- me- 75

76 chanikai megoldása a tengelyes kötés és a kerületi kötés volt. Tengelyes kötés esetén az állótengely rögzítését a forgás középpontjához közel, a tengelyen végezték el. Kerületi kötés esetén a rögzítés a vízszintes kör peremén történt. Mára a két klasszikus mechanikus kötést lassan felváltja a szervomotoros megoldás. Ebben az esetben nincsen szükség külön kötı- és irányítócsavarokra. A kötıcsavar szerepét a szervomotor megfelelı üzemmódja veszi át. A szervomotor vezérlés alapelve a fizikából jól ismert elektromágneses meghajtás elvén alapul, amelynek ötlete Hermann Kemper ( ) nevéhez főzıdik (1934) és alkalmazzák például a mágneses lebegıvasutak esetében is. Geodéziai mőszertechnikai alkalmazása azonban sokáig váratott magára, amelyhez szükség volt a mikroelektronika fejlıdésére is. A szervomotor megoldás vázlatos felépítése a ábrán látható. mágnestartó vezetı vízszintes kör foglalata és a motor mőszertörzs mágnes ábra. A szervomotor szerkezeti felépítése (balra) és a vezérlés alapelve (jobbra) T. Lemmon és R. Jung alapján ( A mőszer törzsére helyezik rá a vízszintes kört és a motort. A mágnestartó két koncentrikus henger, amelyek közül az egyik puha vasat, a másik mágnest tartalmaz, közöttük pedig levegı van. Ismeretes, hogy az I áramot vivı mágneses mezıben lévı L hosszúságú vezetıre ható Lorentz-erı nagysága a B IL sinϕ (6.1.) képlettel számítható, ahol B a mágneses mezı indukciója, és φ a mágneses erıvonalak és a vezetı által bezárt szög. Az R sugarú mágnestartó pereménél a Lorentz erı M R nagyságú nyomatékot fejt ki, amelynek hatására az alhidádé az állótengely körül elfordul. Hasonló elven elfordul a távcsı is a fekvıtengely körül. A szervomotoros vezérlés elınye, hogy a paránymértékő mozgatásnak nincsenek korlátai, az alhidádé és a távcsı végtelenített tartományban elforgatható. A szervomotoros megoldás esetén három különbözı üzemmód létezik. Az úgynevezett vezérlı mód, amikor a forgatást a paránycsavarokkal vezéreljük, a súrlódásos üzemmód, amikor az észlelı az alhidádét és a távcsövet kézzel, a paránycsavarok használata nélkül forgatja. A harmadik üzemmód az, amikor az alhidádé és a távcsı rögzített állapotban van. Újabb mőszereknél a paránycsavarok elforgatásának mértékével arányosan a vezérlı egység különbözı fokozatú forgássebességet is beállít automatikusan. A Trimble cég S6-os típusú mőszerein a szervomotor 5 különbözı fokozatú sebességre is képes váltani a forgatás mértékétıl függıen. A szervomotoros mőszerek hátránya a nagy áramfelvétel-szükséglet, amelyet egyes mőszereknél sokáig nehezen tudtak optimálisan megoldani, amelynek következtében az akkumulátorok használat közben gyorsan lemerültek. Az elsı szervomotoros meghajtású mőszerek a 90-es évek elején-közepén jelentek meg a gyakorlatban, az akkor még Geodimeter típusú mőszereknél. Mára az összes nagy mőszergyártó cég átállt a 76

77 szervomotoros vezérléső technológiára, bár egyes esetekben gyártanak még mechanikus kötéső mőszereket. Ezek termelése azonban várhatóan a közeljövıben meg fog szőnni A mőszertalp és a kényszerközpontosító Mint azt már említettük, a mőszertalp feladata, hogy rögzíteni tudjuk a mőszert vagy a mőszerállványon vagy mőszeralátéten. A mőszertalp fı részei: - a talplemez, - a talpcsavarok, - a kényszerközpontosító, - az összekötıcsavar befogadására alkalmas anya, - az optikai- vagy lézervetítı, - a szelencés libella. A talplemez az (1) alaplemezt és a () rugós lemezt foglalja magában (6.16. ábra). Amikor a mőszertalpat az állvány fejezetéhez az összekötıcsavaron keresztül rögzítjük, akkor a rögzítéshez szükséges feszültség a rugós lemeznek adódik át, amelyet a (3) talpcsavarok vezetnek az alaplemezhez. A mőszer mőszerállvány fejezetén történı mozdulatlanságát az alaplemez és az állványfejezet között fellépı súrlódás biztosítja. Idıvel a használat következtében az alaplemez deformálódhat, kis mértékben meghajlik. Ilyenkor a súrlódás nem megfelelı az alaplemez és az állványfejezet között, és azt tapasztaljuk, hogy az összekötıcsavar szorításával a mőszertalp az állványfejezeten kis mértékben eltolódik, megnehezítve ezzel a pontraállás végrehajtását. Ha ezt észleljük, akkor az ilyen hibás mőszertalpat ne használjuk a méréshez, hanem ha lehetséges, akkor szervizben cseréltessük ki az alaplemezét. A (3) talpcsavarok további szerepe, hogy lehetıvé tegyék az állótengely pontos függılegessé tételét egy adott tartományon belül. A talpcsavarokat egymástól 10 -os szögtávolságban helyezik el amelyeket a szennyezıdésektıl burkolattal védenek ábra. A mőszertalp és részei A kényszerközpontosító feladata, hogy lehetıvé tegye az alhidádé kicserélését egyéb irányzott jelekkel. Kényszerközpontosítás során a kényszerközpontosító csavart (4) elforgatjuk, majd az alhidádét a mőszertalpból óvatosan kiemeljük (6.17. ábra). A mőszertalp szerkezeti megoldásában mára világszerte a Wild-féle tányéros mőszertalpat, a kényszerközpontosításra pedig a forgózáras megoldást alkalmazzák. A mőszertalp belsı oldalának alján lévı három persely fogadja magába az alhidádé alján lévı három kis lábat, amelyeket a kényszerközpontosító csavar elforgatásával, a forgóvillákkal rögzítünk. Kényszerközpontosítással a cserét általában milliméter pontossággal el tudjuk végezni. 77

78 6.17. ábra. Az alhidádé kényszerközpontos cseréje A ábrán lézervetítıvel felszerelt mőszertalp látható, amelyet a mőszertalpba mereven építenek be. Azoknál a teodolitoknál és mérıállomásoknál ahol az alhidádé tartalmazza a lézervetítıt, azokhoz speciális, középen üreges mőszertalpat használunk azért, hogy a lézerfény útjában a mőszertalp belsı szerkezete ne jelentsen akadályt ábra. Lézervetítıvel felszerelt mőszertalp Libellák Az állótengely függılegessé tételét libellákkal végezzük. A libellák tengelyek és síkok függılegessé vagy vízszintessé tételére szolgáló eszközök. Beosztással ellátva a libellák alkalmasak dılésszögek meghatározására is. A libellákat megkülönböztetjük aszerint, hogy azok valamely eszközhöz mereven vagy szabadon csatlakoztathatók. Így beszélünk kötött és szabad libellákról. A tengelyekhez köthetı libellát tengelylibellának, síklapokra helyezhetı libellát pedig talpas libellának nevezzük. Alakjuk szerint beszélünk szelencés, illetve csöves libelláról. A szelencés libella (6.19. ábra) henger alakú üvegtest, amelynek belsı részét gömbsüveg alakúra (meniszkusz alakúra) csiszolják. Belsejét folyadékkal töltik meg úgy, hogy a folyadék gıze és a levegı néhány milliméter átmérıjő buborékot képez. Ha a folyadék nyugalmi állapotban van, azaz arra csak a nehézségi erı hat, akkor a buborék a forgásfelület legmagasabb részében helyezkedik el. Így ha képzeletben a buborék középpontján keresztül a forgásfelületre egy merılegest bocsátunk, akkor az éppen a helyi függılegest jelöli ki, vagy ami ugyanaz, a buborék középpontjához ábra. Szelencés libella síklapra fektetve húzott érintı vízszintes lesz. A libellákban alkalmazott folyadék általában éter vagy alkohol. A csöves libella (6.0. ábra) olyan zárt üvegcsı, amelynek belsejét egy adott sugarú körívnek húrja körüli forgatásával állítanak elı (toroid alak). A csöves libella buborékjának hosszát annak készítésekor szabályozzák. A buborék hosszúsága általában a csiszolt felület fele és egyharmada közötti mérető. 78

79 6.0. ábra. Alhidádéra erısített csöves libella A 6.1. ábrán jelzırúdhoz illeszthetı szelencés libellát látunk. A szakmai köznyelvben ezt a libellát gyakran karóállító libellának is nevezik, mivel segítségével tartórudat (jelrúd, prizmabot) lehet függılegessé tenni ábra. Jelzırúdhoz illeszthetı karóállító libella beállítás elıtt (balra) és beállítás után (jobbra) A tengelyek és síkok beállításának a pontosságát a libella érzékenysége határozza meg. A dılések mértékének megállapításához a libellákat beosztással látják el. A szelencés libella esetén a beosztást két vagy három koncentrikus kör jelenti, a csöves libella esetén pedig vonások jelzik a beosztást. Az osztásokat általában mm-re helyezik el egymástól. A geodéziai mőszereken és kiegészítı tartozékaikon alkalmazott csöves libellák osztása csonka beosztás. Mivel a libella íves felület, ezért egy beosztáshoz egy adott nagyságú középponti szög tartozik. Ezt nevezzük a libella állandójának. A libella állandója általában néhány másodperc és egy szögperc közötti érték. A libella állandóját szögmásodpercben szokás megadni és gyakran fel is tüntetik annak értékét a libella felületének tetején. A 6.0. ábrán látható libella esetén annak állandója 0 másodperc, a legkisebb állótengely osztásköz, amihez ez az érték tartozik pedig mm, tehát a libellakörív sugara ~ 0 méter. A libellaállandó reciproka N O fejezi ki a libella érzékenységét; minél nagyobb sugarú a E E 1 körív, annál érzékenyebb a libella, azaz annál kisebb az egy osztásegységhez tartozó középponti szög. A libellakörívek sugara általában méter között változik. A libellákkal végezhetı mőveletek megértéséhez és elvégzéséhez mindenekelıtt meg kell ismerkednünk a libella nevezetes pontjaival és vonalaival (6.. ábra). Jelöljük a libella beosztásának középpontját betővel. 6.. ábra. A libella nevezetes pontjai Ekkor a beosztás középpontjához húzott érintıt a libella tengelyének nevezzük. Jelöljük O ponttal a buborék alaki középpontját. Ha most képzeletben a libella íves felületének különbözı E 1, E, stb. pontjaihoz érintık seregét szerkesztjük, akkor ezek közül lesz egy olyan érintési pont, amelyhez húzott érintı merıleges 79

80 lesz az állótengelyre vagy párhuzamos lesz a fekvıtengellyel. A libella körívének ezt pontját a libella normálpontjának nevezzük. Ha a libella említett három nevezetes pontja, azaz a beosztás középpontja (), a buborék alaki középpontja (O) és a normálpont (N) egybeesik, akkor az állótengely pontosan függıleges, a libellát pedig az állótengelyre vonatkozóan igazítottnak nevezzük. Abban az esetben, ha a normálpont és a buborék alaki középpontja egybeesik, de ezek nem egyeznek meg a beosztás középpontjával, akkor az állótengely ugyan függıleges, de a libella az állótengelyhez nem igazított (6.3. ábra). A normálpont és a beosztás középpontja közötti szögtávolságot a libella igazítási hibájának nevezzük. A leírtakból tehát következik, hogy az állótengely függılegessé tételének nem elıfeltétele a libella igazítottsága. Az állótengely ugyanis, mint azt majd látni fogjuk, közel igazított libellával is függılegessé tehetı. állótengely N O γ 6.3. ábra. A libella igazítási hibája Mőveletek libellákkal A libellával végezhetı mőveletek azt a célt szolgálják, hogy megállapítsuk tengelyek és síkok hajlásszögét, valamint hogy tengelyeket és síkokat vízszintessé vagy függılegessé tegyünk. Ezen feladatok végrehajtásának elıfeltétele a libella állandójának az ismerete. A mőveletek közül a libella elforgatásával és átforgatásával ismerkedünk meg. Ha a libellát a hosszmetszetének síkjára merıleges tengely körül elforgatjuk (6.4. ábra), akkor a buborék középpontjához tartozó elforgatás elıtti 1 és az elforgatás utáni értékekbıl az elfordulási szög a libella ε állandójának figyelembevételével a következıképpen számítható: ( ) '' α ' ' 1 ε (6..) A gyakorlati végrehajtás során a középpont 1 és helyzetét a buborék két végén tett leolvasások középértékébıl számoljuk, hiszen a középpont helyzetét közvetlenül leolvasni nem tudjuk. 1 α 1 α 80

81 6.4. ábra. A libella elforgatása A libella átforgatásával közel függıleges állótengely dılészögét tudjuk meghatározni. Jelölje a 6.5. ábrán α az állótengely dılésszögét, valamint 1 a buborék alaki középpontjának az átforgatás elıtti helyzetét. Ha a libellát az állótengely körül 180 -kal átforgatjuk, akkor az alaki középpont a helyzetbe kerül. A két leolvasás különbségébıl az állótengely dılésének a kétszerese határozható meg, azaz a dılés számításához a különbségüket osztani kell -vel: 1 α '' ( 1) ε' ' (6.3.) A libella átforgatásának mővelete az állótengely függılegessé tételénél kiemelt szerepe van, valamint ezáltal tudjuk meghatározni a libella igazítási hibáját is. 1 1 ~ α α α 6.5. ábra. A libella átforgatása közel függıleges állótengely körül Az állótengely függılegessé tétele Az állótengely függılegessé tételét a csöves libella normálpontjának meghatározásával két egymásra merıleges irányban végezzük el. Ezeket az irányokat elsı és második fıirányoknak nevezzük. A beállításhoz feltételezzük, hogy a csöves libella közelítıen igazított az állótengelyhez ábra. A libella beállítása I. fıirányban átforgatás elıtt (bal) és átforgatás után (jobb) Elıször a libella tengelyét párhuzamossá tesszük két tetszılegesen kiválasztott talpcsavar által meghatározott iránnyal. Ez lesz az I. fıirány. A két talpcsavar azonos mértékő de ellentétes értelmő 81

82 forgatásával az állótengelyt az I. fıirány síkjában döntjük, a libella buborékját közelítıen középre állítjuk. A normálpont meghatározásához kiválasztjuk a buborék egyik szélét és elıjelhelyesen leolvassuk a helyzetét az osztáson fél egység élességgel. A baloldali kezdıosztástól balra esı osztásokat negatívnak, a jobbra esıket pozitívnak vesszük. A 6.6. ábra bal oldalán ennek értéke - lett. Ezt követıen a libellát kal átforgatjuk az állótengely körül, és ismételten leolvassuk ugyanannak a buborékvégnek a helyzetét. igyeljünk arra, hogy az átforgatás után a kiválasztott buborékvég felılünk nézve a jobb oldalra kerül át. A 6.6. ábra jobb oldali rajza mutatja az átforgatás utáni helyzetet, a buborék széle a 0 osztásnál található. Képezzük a két leolvasás középértékét, amely -1, és a két talpcsavar azonos ábra. A normálpont beállítása utáni helyzet az I. fıirányban mértékő de ellentétes értelmő forgatásával a kiválasztott buborékvéget a -1-es értékre állítjuk. Ez nem más, mint a normálponthoz tartozó baloldali buborékszél helyzete. Ennek eredménye látható a 6.7. ábrán. Ezután az alhidádét 90 -kal elforgatjuk úgy, 6.8. ábra. A normálpont beállítása a II. fıirányban hogy a libella tengelye a harmadik talpcsavar irányába essen, majd annak forgatásával a kiválasztott buborékvéget a normálpont helyzetének megfelelıen a -1-es értékre állítjuk (6.8. ábra). Ezután az alhidádé lassú körbeforgatásával ellenırizzük a buborék helyzetét. Helyes végrehajtás esetén a buborék nem tér ki a számított helyzetébıl. Az ellenırzést a 6.9. ábrán látható módon három különbözı helyzetben végezzük el. Mint látható, az állótengely függılegessé tételekor a normálpontot nem határoztuk meg, hanem helyette a normálponthoz tartozó valamelyik buborékvég helyzetét. Ezt a pontot nevezzük beállító pontnak ábra. Az állótengely függılegessé tételének ellenırzése Vetítıberendezések A vetítıberendezések feladata annak biztosítása, hogy az állótengely meghosszabbítása a mérendı szög csúcsán menjen keresztül. A mai teodolitokon alapvetıen két különbözı típusú vetítıberendezést alkalmaznak. Az egyik esetben a vetítés optikai úton történik, erre a célra szolgálnak az optikai vetítık. A másik esetben a vetítés a mőszer törzsébe épített lézerfényforrás segítségével történik. Ezeket lézervetítıknek nevezzük. Régebben a vetítést vetítı eszközökkel végezték, amelyek lehettek zsinóros vetítık (függı), vagy merev vetítık. 8

83 Az optikai vetítı (6.30. ábra) egy tört távcsı, amelyet úgy szerkesztenek, hogy az irányvonala az állótengely meghosszabbításába essen. Az irányzás végrehajtásához az optikai vetítı is tartalmaz szállemezt. A szállemez vagy koncentrikus szálköröket tartalmaz középen egy ponttal, vagy két egymásra merıleges szálat. Az optikai vetítı is tartalmaz parallaxis csavart, amellyel a pont képét állítjuk élesre azt követıen, hogy a szálköröket vagy a szálkeresztet az optikai vetítı okulárisával már az éleslátás távolságába állítottuk. O ábra. Az optikai vetítı felépítése Az optikai vetítıt vagy a mőszertalpba vagy az alhidádéba építik. Az alhidádéba történı elhelyezés elınye, hogy az optikai vetítı esetleges igazítási hibája pontosabban ellenırizhetı, iletve kisebb igazítási hiba esetén a pontraállást is megfelelıen el tudjuk végezni. Lézervetítı esetén az állótengely meghosszabbítását a mőszertörzsben elhelyezett lézerforrás sugara jelenti (6.31. ábra). Ennek a megoldásnak is elınye, hogy a fényforrás az alhidádéval együtt elforgatható. A ábrán a Leica mőszereken alkalmazott szerkezeti megoldás látható ábra. A lézervetítı szerkezeti megoldása Leica mőszereknél A lézervetítı másik szerkezeti megoldása az optikai vetítıhöz hasonló, amikor a mőszertalpra a lézervetítıt mereven szerelik fel. Erre láttunk példát a ábrán. Az optikai vetítıvel a pontraállás mm pontossággal végezhetı el, lézervetítı esetén ennek értéke 1 mm. A lézervetítı alkalmazásának egy kisebb hátránya, hogy a lézerfoltot a ponton erıs napsütésben vagy rossz fényviszonyok mellett nehezebb észrevenni és a közepét pontszerően azonosítani. Ilyenkor a mőszer mellett úgy kell elhelyezkedni, hogy a lézerfoltot kissé árnyékoljuk A vízszintes és a magassági kör A vízszintes kört a mőszer törzsében, míg a magassági kört az alhidádé oszlopában helyezik el. A köröket üvegbıl készítik, amelyre az osztásokat fotográfiai úton viszik fel. A körök az osztásokat az automatikus körleolvasás végrehajtása érdekében kódolt formában tartalmazzák. A mai vízszintes 83

84 Dr. sepregi Szabolcs, Gyenes Róbert, Dr. Tarsoly Péter: Geodézia I. körök egysávú kódolt körök (6.3. ábra). A kódosztások változó szélességőek és optikailag eltérı tulajdonságúak, átlátszóak (fehér) vagy átlátszatlanok (fekete) ábra. Egysávú kódolt kör A vízszintes szöget, amelynek a fogalmát a 6.. fejezetben megadtuk, tulajdonképpen közvetett úton kapjuk, mégpedig két irányérték különbségeként. Az irányérték fogalmának a megértéséhez tekintsük a ábrát. Tételezzük fel, hogy a vízszintes körön ismerjük ismerjük a nulla osztás helyét, valamint az egyes beosztások, mint fıbeosztások osztásosztá közét. Helyezzünk el képzeletben az irányvonal helyzetével egyezı helyzethelyze ben egy indexvonást. Ekkor az irányérték alatt azt a szöget értjük, amely szösz irányérték fıleolvasás c azaz a szög bal szára a nulla osztást a vízszintes kör középpontjával, jobb szára 0 get az index a nulla osztással tással bezár, al nk o s s sá a lv eo ex ind a kör középpontját az indexvonással összekötı egyenes. Két térbeli irány nal irányvo vízszintes szögét tehát két irányérték különbségeként kapjuk. A mai gyakorlatgyakorla ban ezért tulajdonképpen nem vízszintes szögmérésrıl, hanem iránymérésrıl beszélünk, amelynek az eredménye az irányérték. Az irányérték ték két leolvasás ábra. A leolvasás értelmezése és az irányérték fogalma eredményébıl tevıdik össze. Egyrészt az indexvonást megelızı fıbeosztás nulla osztással bezárt szögének, másrészt az indexvonás és az azt megelızı osztás szögtávolságának a meghatározásámeghatározás ból. Az elıbbit fıleolvasásnak, az utóbbit csonkaleolvasásnak nevezzük. Gyakorlati kivitelezésben azonban a fıosztás és az indexvonás szerkezeti megoldása az alapelvtıl jelentısen eltér. A leolvasások ugyanis elektronikus úton történnek, az indexvonás szerepét pedig fényérzékelı diódák veszik át. Az elektronikus körleolvasás technológiája miatt ezeket a teodolitokat elektronikus teodolitoknak, vagy - a mérés eredményének digitális megjelenítése megjele következtében-digitális teodolitoknak teod nevezzük. Kiegészítı egységként a körök tartozékai még a különbözı kapcsoló áramkörök, és egy mikromikr számítógép, amelyek az elektronikus körleolvasást és a feldolgozást végzik. A vízszintes kör a mőszertörzsbe szertörzsbe mereven van beépítve, a magassági kör azonban a távcsıvel együtt forog. A kódok kiolvasása mind a vízszintes, mind a magassági szögmérésnél szögmérésnél azonos elven történik. 84

85 Optikai leolvasóberendezések A hagyományos geodéziai mérımőszerekben a mai modern mőszerekhez hasonlóan a vízszintes és magassági szögértékek meghatározásához osztott köröket építettek be. Ezeket az osztott köröket optikai leolvasóberendezésekkel lehetett leolvasni. Ma már természetesen elektronikus körleolvasó berendezéseket használunk, mégis a gyakorlatban elıfordulhatnak olyan mérési feladatok, amelyek megoldása csak hagyományos technikával lehetséges. Ebben a fejezetben megismerkedünk a hagyományos teodolitokban alkalmazott osztott körök típusaival, valamint a különbözı optikai leolvasóberendezésekkel. Az osztott körök beosztása fémre vagy üvegre készült. A két anyag közül az üveg volt minderre alkalmasabb, ugyanis alig korrodeálódik, s amellett jól csiszolt felületére nagyon szabatos, vékony és élesszélő vonások készíthetıek. A megvilágítása alulról is lehetséges, így az osztásvonások élesebben láthatóak, mint korábban a fémkörök osztásvonásai visszavert fényben. További elınye, hogy lehetıvé tette a különbözı átvetítıs, koincidenciás leolvasóberendezések alkalmazását. A körök számozása ig terjedı folytatólagos számozás volt, növekedési iránya pedig megegyezett a geodéziai pozitív forgásértelemmel, azaz az óramutató járásával egyezı iránnyal. Az osztásokat mindg valamilyen ısosztás lemásolásával, úgynevezett kontakt fotósokszorosítással hozták létre. Az osztásvonások és számozásuk rendszerint üveghordozó-alapon vákumporlasztással felvitt vékony bevonatok, illetve tükörbevonatok alkalmazása esetén ezekbıl kitakart negatív képek. Az ilyen módon létrehozott legkisebb osztásvonás mérete 0.00 mm volt. Az osztott körökön lévı osztások leolvasására optikai leolvasóberendezéseket használtak. Az egyszerőbb mőszereken nóniuszokat, a bonyolultabb mőszereken leolvasó mikroszkópokat. Az üvegbıl készült osztott körök alkalmazása lehetıvé tette, hogy tükrözı és vetítı berendezések segítségével egyetlen mikroszkóp látómezejébe vetítsék a két diametrálisan elhelyezett index képét, továbbá a vízszintes és a magassági kört. Ilyen leolvasóberendezéseknél célszerően a mikroszkóp okulárisát közvetlen a távcsı okulárisa mellé helyezték. Ennek az elrendezésnek az volt az elınye, hogy az összes leolvasás a szemnek ugyanabból a helyzetébıl elvégezhetı volt, és irányzás után sem kellett testhelyzetünket megváltoztatni. A képek egyesítése lehetıvé tette továbbá a leolvasásokat egyszerősítı berendezések készítését (pl. optikai mikrométer). Optikai leolvasóberendezéseknél is két részbıl állt a teljes leolvasás: egy fıleolvasásból és egy csonkaleolvasásból. A fıleolvasásnál egyszerően meg kellett határozni az indexet megelızı beosztásvonás értéket, majd a csonkaleolvasásnál a beosztás és az index közötti töredéktávolságot. A csonkaleolvasást a legegyszerőbben becsléssel lehetett meghatározni. Ekkor minden segédeszköz nélkül határozták meg az index helyzetét a két fıbeosztás között általában a fıskála legkisebb beosztásának a tizedrészében. A leolvasás pontosságának fokozására kétféle berendezést alkalmaztak: a nóniuszt és a leolvasó mikroszkópot. A nóniusz egy olyan segédbeosztás volt, amelynél a 0 jelő kezdı vonás volt az index. A nóniusz beosztásai kisebbek vagy nagyobbak voltak a fıskála beosztásánál, de mindig úgy, hogy a kezdı vonást ráállítva egy fıskála beosztásra, a végsı vonás is pontosan egybeesett egy fıskála beosztással. A nóniusz használatakor azt kellett megállapítani, hogy a nóniusz hányadik vonása esett a legjobban össze valamely fıskála osztással. A legjobban összeesı vonás számának és a nóniusz leolvasóképességének a szorzata adta meg a csonkaleolvasást. A csonkaleolvasások megállapításának másik eszköze a leolvasómikroszkóp volt. Alapja egy egyszerő mikroszkóp volt, amelyez kiegészítettek egy olyan résszel, amely lehetıvé tette a cson- 85

86 kaleolvasások megállapítását. A gyakorlatban használt mőszereken az alábbi leolvasó mikroszkóp típusok voltak elterjedve: becslı mikroszkóp (1770), mozgószálas mikroszkóp (Ramsden és Traille, 1795), beosztásos mikroszkóp (Hensold, 1879), nóniuszos mikroszkóp (ennel, 1910), optikai mikrométeres mikroszkóp (lausen, 1841), koincidenciás mikroszkóp (Wild, 194). A fent felsorolt leolvasó mikroszkópok közül a gyakorlatokon és a terepgyakorlaton koincidenciás mikroszkóppal szerelt mőszereket fogunk használni, így ezzel a típussal részletesebben megismerkedünk, míg a többieket csak egy-egy mondat erejéig jellemezzük. A becsló mikroszkóp egy olyan egyszerő mikroszkóp volt, amelynek a fıcsövében egy indexszálat helyeztek el. A leolvasás során az index helyzetét a körbeosztás képén becsléssel határozták meg. A mozgószálas mikroszkópnál a csonkaleolvasás megállapítása tulajdonképpen az indexszál és a fıbeosztás megelızı osztásvonása távolságánal lemérésébıl állt. A beosztásos mikroszkópnál a fıcsı és a szemcsı melett egy beosztáscsövet is elhelyeztek. Ebben a csıben volt az üvegre karcolt tízes beosztás. A tízes beosztás teljes hossza megfelelt a legkisebb fıbeosztás nagyított képének, így ez a beosztás lényegében tovább osztotta a fıbeosztást. A nóniuszos mikroszkóp elve azonos a beosztásos mikroszkóppal, csak a tízes beosztás helyett az üveglemezen nóniuszosztás van. Az optikai mikrométeres mikroszkóp egy olyan becslı mikroszkóp, amely elıtt egy paránycsavarral mikrométercsavarral elforgatható üveglemez van. Mőködési elve a párhuzamos síkokkal határolt (planparallel) üveglemez sugáreltérítı hatásán alapszik. Az üveglemezen a merılegesen érkezı fénysugarak eltérítés nélkül haladnak keresztül, a nem merılegesen érkezı fénysugarak pedig önmagukkal párhuzamosan eltolódnak. Az eltolódás arányos a merılegestıl való eltéréssel. Ha az üveglemez elfordulását valamilyen módon megmérjük, akkor a sugár eltolódása megállapítható. Az elmozdulás mértékét a mikroszkóp látómezejében lévı skálán lehetett leolvasni. A leolvasáskor elıször meg kellett állapítani a mikroszkóp látómezejében található indexszálat megelızı körbeosztás értékét. A mikrométercsavarral az indexszálat fedésbe kellett hozni a fıbeosztásnak az indexet megelızı vonásával és leolvasni az elfordulás mértékét, azaz a csonakleolvasást. A koincidenciás leolvasó berendezésnél a mikroszkóp látómezejébe az osztott kör két, egymáshoz képest diametrális helyzető részét vetítették egymás mellé olyan módon, hogy a két index egybe esett. A két osztásrész számozási iránya ellentétes volt. A koincidencia egybeesést jelent, azaz a koincidenciás mikroszkóppal a két osztás-skála megfelelı, összetartozó osztás egységeit kellett fedésbe hozni, egybeesésüket megteremteni. A mikrométercsavar forgatás segítségével lehetett a két összetartozó osztásrészt koincidenciába hozni, és a mikrométer által létrehozott elmozdulás a csonkaleolvasással volt arányos. Koincidenciás leolvasó berendezéseknél a fıbeosztásnál gyakran nem volt index, a leolvasáshoz az összetartozó osztás párokat kellett fedésbe hozni. Index esetén annak vagy pontosan egy osztás fölött vagy két osztás felezıjében kellett elhelyezkednie. A geodéziai gyakorlatokon használt mőszerek koincidenciás, féldigitális leolvasó berendezéssel rendelkeznek. A 6.34-es ábrán a Zeiss Theo 010A látómezı képe látható. A felsı mezıben látjuk a leolvasandó fokértéket. Az egyértelmőség végett minden fokértéket háromjegyő számmal jelölnek. (p. 00, 018 stb) Kerek fokértékhez közeli leolvasáskor a másik szám vége vagy eleje is megjelenik. Azt a számot kell leolvasni, amelynek mind a három jegye látszik. A tízpercek számértékét két sarkaival érintkezı téglalap valamelyikében látjuk (a párosokat a felsıben, a páratlanokat az alsóban). Az alsı mezı a koincidencia létrehozására szolgál. A látómezı jobb oldalán a mikrométert látjuk felülrıl-lefelé haladó számozásban. Az ábrán lévı leolvasás tehát:

87 6.34. ábra A Zeiss Theo 010A látómezeje Elektronikus körleolvasás Az elektronikus körleolvasásnak két módszere terjedt el, az abszolút kódkiolvasás és a számlálásos módszer. Egyes mőszereknél a két módszert egyesítik. Elektronikus körleolvasáskor az index szerepét fényérzékelı diódák (fotodiódák) veszik át. A fotodiódák soros kialakításúk. A kódok kiolvasása fotoelektronikus úton történik azáltal, hogy egy belsı fényforrás a kört alulról vagy felülrıl megvilágítja (6.35. ábra). Attól függıen, hogy a megvilágítás átlátszó vagy átlátszatlan sávot ér, a fotodiódákra váltakozó erısségő fény esik. A van jel bináris számformában 1-nek, a nincs jel pedig nullának felel meg ábra. A fotoelektronikus kódkiolvasás elve Technikailag azonban a diódákra folytonos fény esik, melyek a 0 és 55 közötti értéket veszik fel. A I ábrán lévı görbe mutatja a valós intenzitás értékeket, amelyeket jelnégyzeteléssel egy digitális átalakító 0 és 1 számokká alakít át egy adott küszöbérték figyelembevételével. A feldolgozóegységben így elıállított 0 és 1 számjegyekbıl álló kódsorozatot összehasonlítják az elıre tárolt referencia jelsorozattal, amelyek a körosztás értékeket hordozzák ábra. Digitális jelátalakítás 87

88 Mért kódsorozat Tárolt kódsorozat 1. összehasonlítás Tárolt kódsorozat. összehasonlítás Egyezés: 4 (+1) Eltérés: 7 (-1) Összeg: Egyezés: 11 (+1) Eltérés: 0 (-1) Összeg: ábra. A kód-összehasonlítás alapelve 3 Ez az eljárás az úgynevezett kód-összehasonlítás vagy kódkorreláció, amely matematikai értelemben korrelációszámításon ábra. A Leica TPS sorozatú mőszerein alkalmazott fotoelektronikus kiolvasás megvalósítása alapul, amelyre vonatkozóan a gyártó cégek különbözı algoritmusokat alkalmaznak. Az egyik lehetséges megoldás alapelve az, hogy az összehasonlítás eredménye az adott érzékelın +1 vagy -1, attól függıen, hogy a diódán érzékelt intenzitás a referenciajellel egyezik-e vagy sem (6.37. ábra). A ábra szerinti példában összesen 11 jel összehasonlítása történt meg. Az elsı összehasonlításkor négy helyen egyezett a leolvasott és a referenciajel, hét alkalommal pedig eltér. A teljes egyezések és eltérések összege -3. Az egyezés akkor lenne teljes, ha mind a 11 diódán a mért és a referenciajel egyezne, azaz az összeg 11 lenne. A kód-összehasonlítást a mikroproceszszor addig végzi, amíg nem talál egy olyan referenciajel sorozatot, amely maximális egyezést mutat a kiolvasott jelsorozattal. A jelfeldolgozás hibái következtében valójában teljes egyezés soha nem áll elı, ezért a maximális egyezés lehetıségét matematikai statisztikai módszerekkel vizsgálják. Ennek részleteivel azonban nem foglalkozunk. A ábra alsó jelsorozata az alapelv megértése érdekében azt az esetet mutatja, amikor az egyezés teljes (statisztikailag a legjobb ). Itt a teljes egyezések és eltérések összege 11. A kód-összehasonlítást követıen a mőszer kijelzıjén megjelenik a kódkiolvasás eredményeként a referencia jelsorozathoz tartozó és elıre kódolt irányérték digitális formában. A ábra a Leica TPS sorozatú mőszerein alkalmazott megoldást mutatja be. Az (1) kódolt kört megvilágító () fényforrás sugarai a (3) prizmák közvetítésével képzik le az osztásokat a soros elrendezéső fényérzékeny diódán, más néven D (harge oupled Device) érzékelın (4). A D érzékelı az állótengellyel együtt forog, azonban a kódok olvasása során az irányzás befejeztével természetesen mozdulatlan helyzetben van. Egyetlen leolvasás 60 kód olvasásából áll elı. A Sokkia cég elektronikus teodolitjain és mérıállomásain a kód-összehasonlításhoz a diódákon mért intenzitásértékeket a tárolt referenciajellel úgy párosítják, hogy a tényleges intenzitás helyett négy szintértéket mérnek (6.39. ábra). A négy intenzitásérték középértékeként lehet azonosítani a kódot és ez alapján határozni meg az irányértéket. Ezzel a megoldással egy szögmásodperc élességő leolvasás érhetı el. Az abszolút kódkiolvasás hátránya sokáig az volt, hogy a leolvasásokat nem tudták a megfelelı pontossággal elvégezni. A körök átmérıje általában mm. Ez azt jelenti, figyelembe véve például egy 80 mm átmérıjő kört, hogy az egy szögmásodperces fel- 88

89 bontáshoz a kör peremén 360 x osztást kellene elhelyezni, ami mm osztásköznek felelne meg. Ez gyakorlatilag kivitelezhetetlen, ezért a pontosabb leolvasás érdekében, a csonkaleolvasás meghatározásához más módszert dolgoztak ki, amelyet elektronikus fázisinterpolációnak neveznek Intenzitás Intenzitás I 1 I I 3 I Pixel száma Pixel száma ábra. Kód-összehasonlítás a Sokkia mőszereken Az elektronikus fázisinterpoláció lényege, hogy az osztások képét egy segédosztás segítségével felnagyítják és ezt a nagyított képet fogják fel az érzékelıkön. Az ötlet az úgynevezett Moiré hatáson alapul. Ennek lényege, hogyha két eltérı osztásköző vagy nem teljesen párhuzamos sávrendszert egymásra helyezünk, akkor a két eredeti sáv egy harmadik sávrendszert hoz létre, amelyen az osztásközök távolsága több nagyságrenddel is nagyobb az eredetinél. A ábra mutatja azt az esetet, amikor két azonos szélességő, de nem párhuzamos sávrendszert vetítünk egymásra. A ábrán pedig azt látjuk, amikor az eredeti sávrendszerek egymással párhuzamosak, de az osztásközük különbözı ábra. Moiré hatás - két nem párhuzamos osztásköző sávrendszer egymásra vetítése ábra. Moiré hatás - két párhuzamos de különbözı osztásköző sávrendszer egymásra vetítése A ábrán jól látható, hogy az eredı sávrendszer intenzitás-értékei periodikus jelleget mutatnak. Ez a periodicitás teszi alkalmassá ezt a megoldást a csonkaleolvasás pontosabb meghatározására, mégpedig a következıképpen. Az eredı sáv intenzitásértékeit szintén soros fotodiódákon fogják fel 89

90 (6.4. ábra). A diódákat az eredı osztásköz 1/4, 1/8 stb. osztástávolságának megfelelıen helyezik el. A 6.4. ábra szerinti példában a távolságuk az eredı osztásköz 1/4 része. A diódákra esı I 1, I, I 3 és I 4 intenzitásértékek szinuszosan változó értékeket mutatnak, amelyet az eredı sávosztás képe is jól szemléltet. Minden egyes érzékelı egy elıfeszültséget kap, amelynek értéke a változó fényintenzitásjel amplitúdójával arányos. I 1 I I 3 I 4 I jelfeldolgozó egység I sin(ω t) φ 6.4. ábra. Az elektronikus fázis interpoláció alapelve Az 1-es számú érzékelın az intenzitás I 1 I sinϕ (6.4.) értékkel egyenlı. Mivel a további érzékelık fázishelyzete egymástól 90 -kal tér el, ezért a -es, a 3-as és a 4-es számmal jelölt érzékelın az intenzitásértékek a következık: ( ϕ + 90 ) I ϕ ( ϕ ) I ϕ ( ϕ + 70 ) I ϕ I I sin cos (6.5.) I 3 I sin sin (6.6.) I 4 I sin cos (6.7.) A négy érzékelı közül az 1-es számú jelenti az indexet, így a φ fázisszög tulajdonképpen nem más, mint a csonkaleolvasás értékével arányos mennyiség. Az I 1, és I 3, valamint az I és I 4 intenzitásértékek különbségeinek hányadosa a keresett fázisszög tangensével egyenlı, amely által a csonkaleolvasás ismertté válik: I1 I3 tan ϕ (6.8.) I I 4 Az abszolút kódkiolvasásnak a jellemzıje, hogy a kör az osztásokat abszolút értelemben kódolva hordozza, azaz van fizikailag megjelölt nulla osztás. A kódkiolvasás és jelfeldolgozás olyan gyorsan hajtódik végre, hogy abból az észlelı semmit nem vesz észre. A másik megoldás, a számlálásos megoldás esetén azonban nincs fizikailag kódolt nulla osztás a körön. Amikor a mőszert bekapcsoljuk, akkor annak pillanatában az adott irányhoz viszonyítva történik meg a leolvasás végrehajtása. Az alhidádé vagy a távcsı mozgatásakor az indexdiódára esı váltakozó nagyságú intenzitásértéke- 90

91 ket egy számláló számolja. Ezzel megkapjuk, hogy a bekapcsolás pillanatához képest mennyi beosztás felett haladt el az érzékelı, ezáltal határozva meg a fıleolvasás értékét. A csonkaleolvasás pedig itt is fázisinterpolációval történik. A számlálásos módszer esetén tehát nem szükséges kódösszehasonlító algoritmus, mert a fıleolvasás tulajdonképpen az alhidádé forgatásával párhuzamosan áll elı. Az érdekesség kedvéért megemlítjük, hogy például a Sokkia DT -es digitális teodolitján, ha a bekapcsolást követıen az alhidádét 360 -kal nagyobb értékkel forgatjuk el, akkor a kijelzın az irányérték is 360 -nál nagyobb értékő lesz. Ez a számlálásos megoldás következménye, de ezt a problémát az újabb sorozatú mőszereknél már kiküszöbölték. Korábban a számlálásos elven mőködı mőszereket inicializálni kellett, azaz a bekapcsolást követıen az alhidádét kis mértékben jobbra-balra, a távcsövet pedig fel-le kellett mozgatni. Ezáltal érzékelte az indexdióda a megelızı vagy a követı osztás helyzetét, amellyel egyidejően a számláló tartalma nullára íródott át. Az újabb mőszereknél azonban lehetıség van tárolni egy korábbi inicializáláshoz tartozó szöghelyzetet, így ha az állásponton mérés közben a mőszert valamilyen okból kikapcsoljuk, például azért, mert akkumulátort kell cserélni, akkor a korábbi elektronikus nullhelyzet nem vész el.. Mivel a forgatás iránya nem egyértelmő, ezért a jelfeldolgozáshoz egy kiegészítı egységre, egy úgynevezett iránymegállapítóra van szükség, amely érzékeli a forgás értelmét és ellentétes irányú forgatás esetén a számláló tartalmát ennek megfelelıen csökkenti. Egyes mőszereken egyesítik az abszolút kódkiolvasást és a számlálásos módszert. A Trimble S6- os mőszerein a fıleolvasást abszolút kódkiolvasással, míg a csonkaleolvasást számlálásos módszerrel állítják elı. A két megoldáshoz két külön sávosztást, egy ritkábbat és egy sőrőbbet alkalmaznak. A körleolvasások megvalósításakor a limbuszkör külpontossági hibájának kiküszöbölése érdekében nem egy, hanem két, egymással átellenes helyzetben lévı soros érzékelıt helyeznek el. A ábrán a Trimble ezen megoldását látjuk. Az (1) érzékelık úgynevezett Metál-Oxid félvezetı diódák, amelyekre a fényt a () körön keresztül a (3) lézerforrás vetíti. Itt mind a fényforrás, mind az érzékelık a kör alatt helyezkednek el ábra. A Trimble S6 mőszerén alkalmazott fotoelektronikus kiolvasás megvalósítása T. Lemmon és R. Jung alapján ( A mőszerállvány A teodolitot a mérendı szög csúcsában a kényelmes mérés mőszermagasságában kell elhelyezni. Erre a célra szolgál a mőszerállvány. A mőszerállványnak a mérés idejére biztosítani kell a mőszer mozdulatlanságát. A mőszerállvány két fı részbıl áll, a mőszerállvány fejezetébıl és a mőszerlábakból (6.44. ábra). A mőszerállvány fejezete fémbıl készül, amelynek közepe üreges kiképzéső (6.45. ábra). A mérés során a teodolitot a mőszerállványhoz az összekötıcsavar segítségével rögzítjük. Az (1) összekötıcsavar a pontraállás végrehajtása érdekében szintén üreges kialakítású, amely a fejezet () lemezkéjének vájatában eltolható, valamint a (3) csapszeg körül elforgatható. Ezáltal lehetıvé válik a mőszer egy-két centiméteres tetszıleges irányú eltolása az állvány fejezetén. 91

92 6.44. ábra. A mőszerállvány ábra. A mőszerállvány fejezete felülnézetben (bal) és alulnézetben (jobb) A lábak az állványfejezethez csuklósan kapcsolódnak, így a lábak különbözı nyílásszögben helyezhetık el. A lábak hossza a felsırész sínjében eltolva változtatható, mozdulatlanságukat a szorítócsavarok vagy más szerkezeti megoldásban a szorítókarok biztosítják (6.46. ábra). A lábak anyaga általában fa, fém egyes gyártók esetén bambusz. Ha a mőszert nem szilárd burkolaton állítjuk fel, akkor a nagyobb stabilitás érdekében a lábak végére fémsarukat (taposó sarukat) helyeznek el (6.46. ábra), a lábak így a talajba benyomhatók. Az állványfejezet és a lábak megfelelı csatlakozásának stabilitásáért a csuklók (4) szorítócsavarjai a felelısek (6.45. ábra). Ha ezek nem megfelelıen szorulnak, akkor az állványfejezet lötyög a lábakon. A csuklók szorítócsavarjait ezért a mérések megkezdése elıtt mindig ellenırizzük, és ha szükséges, húzni kell rajtuk A mőszeralátét 6.46.ábra. A szorítócsavar (balra) és a fémsaru (jobbra) Speciális mérési feladatokhoz gyakran betonpilléreket alkalmazunk, vagy olyan helyen végzünk méréseket, ahol a mőszerállvány nem alkalmazható, mert alacsony, néhány deciméter magas mőszerállást kellene létesíteni. Ezekben az esetekben mőszeralátéteket - vagy másik gyakori néven - 9

93 pillérállványt használunk (6.47. ábra). A mőszeralátét súlya a méretéhez képest nagy. A ábrán látható WILD típusú mőszeralátét tüskés lábai mindössze egy centiméteresek. Szerkezeti megoldásukból és a mőszeralátét súlyából következıen azonban kellıen stabil elhelyezést biztosítanak. A mőszert a mőszeralátéthez az alátéten lévı villás összekötıcsavarral rögzítjük. A pontraállás végrehajtásához egy szelencés libellával ellátott vetítıtüske tartozik ábra. Mőszeralátét és a pontráálláshoz szükséges vetítıtüske A magassági kör szerkezete és a kompenzátor A vízszintes és a magassági szögmérés elve közötti különbség következtében a magassági kör szerkezete eltér a vízszintes körétıl. A vízszintes szögmérés során az irányérték meghatározásához meghatározzuk az indexdióda helyzetét, amely az alhidádé forgatása következtében mindig más és más helyzetbe kerül. A magassági- vagy a zenitszög mérésekor a mért szög egyik szárát a helyi vízszintes vagy függıleges jelöli ki a számunkra. Ezt megvalósítani csakis úgy lehetséges, ha biztosítva van a magassági kör indexének vízszintes vagy függıleges helyzete. Ennek egy másik következménye az, hogy a magassági kör nem lehet rögzített helyzető, az a távcsıvel együtt forog. A magassági körök anyaga a vízszintes körhöz hasonlóan üvegbıl készül. A magassági kör az osztásokat zenitszög szerinti folytatólagos számozásként hordozza (6.48. ábra). 0 index ζ ábra. A magassági kör számozása A távcsövet és a magassági kört úgy ékelik egymáshoz, hogy a távcsı irányvonala a szerkezeti megoldástól függıen valamely szögnegyed kezdıosztásával essen egybe. Az indexvonás a zenit irányában, azaz a helyi függıleges irányában helyezkedik el. A magassági kör esetén biztosítani kell, hogy az indexvonást a magassági kör középpontjával összekötı egyenes mindig függıleges legyen, még akkor is, ha az állótengely kis mértékben dıl. Erre a célra szolgálnak a kompenzátorok. Az elektronikus mőszereken a kompenzátor feladata kettıs. Egyrészt azon túl, hogy biztosítani kell az indexvonás képének egy adott helyen történı leképezését a magassági körön, másik feladata meghatározni az állótengely függılegestıl való eltérését, azaz az állótengely dılését. 93

94 A mai elektronikus teodolitokon és mérıállomásokon elterjedten alkalmazzák az ún. folyadék kompenzátoros megoldást (6.49. ábra). Jól ismert, hogy a folyadék optikailag olyan közegként viselkedik, mint valamilyen üvegtest, például lencse vagy prizma. A fénytörés és fényvisszaverıdés szempontjából azonban kedvezıbb, mert ha a folyadékot tartalmazó edényt megdöntjük, akkor a folyadék vastagsága az edény aljához képest változik, viszont egy prizma esetén nem ez a helyzet. Így a folyadék tulajdonképpen egy változó vastagságú prizmaként fogható fel. olyadékként a mőszerekben olajat alkalmaznak. indexvonás indexvonás képe ábra. A folyadék-kompenzátor alapelve A Leica cég TPS sorozatú mőszereinél alkalmazott elektronikus folyadék-kompenzátor (6.50. ábra) említett két feladatát nem egyetlen indexszállal, hanem több indexszál egymáshoz képest megfelelı szögben történı elhelyezésével oldják meg. A (7) fényforrás az (1) prizmára erısített szálakat megvilágítja, amelyeknek (5) képei a (3) prizmán történı törés, valamint a () olajfolyadék felszínén való visszaverıdés után a (6) fényérzékeny soros diódán képzıdnek le. Ha az állótengely pontosan függıleges, akkor a szálak képei ugyanazt a helyzetet foglalják el egymáshoz képest, mint az (1) prizma lapján. Ha viszont az állótengely nem függıleges, akkor a szálak képei a fényérzékeny diódán eltolódnak, valamint megváltozik közöttük a távolság is. Az elsı eset az állótengely hosszirányú, a második pedig a rá merıleges, keresztirányú dılésének a következménye. A szálak képének eltolódásából, valamint a közöttük lévı távolság változásából a feldolgozó egység a hossz- és keresztirányú dılést kiszámolja ábra. Az elektronikus folyadékkompenzátor megoldása a Leica mőszereknél A fotódióda - a vízszintes körleolvasáshoz hasonlóan - az index szerepét is betölti azáltal, hogy a szálak képei azon leképzıdnek, így az indexszálak képéhez tartozó kód-körleolvasások elvégezhetık. A kompenzátort a mőszertörzsben, az állótengelyben helyezik el, azért, hogy a mőszer forgatásának és a külsı rázkódásoknak a következményeként annak felszíne hamarabb csillapodjék. A Leica cég mőszereihez hasonlóan folyadékkompenzátort alkalmaznak a Trimble és a Sokkia cég mőszereiben is. 94

95 6.51. ábra. A kompenzátor szerkezeti megoldásának elve a Trimble mőszereknél A Trimble cég mőszereiben a kompenzátor ingás felfüggesztéső metál oxid félvezetı dióda (omplementary Metal Oxide Semiconductor MOS). Az állótengelyben elhelyezkedı fényforrás sugara, hasonlóan a Leica mőszernél ismertetettek szerint, egy lencsén és a folyadék felszínén történı áthaladás és tükrözés után megvilágítja a dióda érzékelıit. Ha az állótengely nem függıleges, akkor a dılésnek megfelelıen a fénysugár az érzékelıt más és más helyzetben világítja meg. Az érzékelın megvilágított pixel helyzetébıl az állótengely dılése meghatározható. A feldolgozás eredményeként a magassági körleolvasás értéke a mőszer kijelzıjén leolvasható. Az állótengely dılésének megjelenítésére a mőszergyártó cégek többféle megoldást alkalmaznak. A dılés mértéke a kijelzın numerikusan és grafikus formában is megjeleníthetı. Grafikus megjelenítésnél a hossz- és keresztirányú dılést külön sorban négyzet alakú pixelek is mutathatják, de egyes mőszertípusok a dılést a kijelzın szelencés libella formájában szemléltetik. Ezért ezeket a libellákat elektronikus libelláknak is nevezzük. Azokat a kompenzátorokat, amelyekkel a dılés a fentebb leírtakhoz hasonlóan két egymásra merıleges irányban meghatározható, kéttengelyő kompenzátoroknak nevezzük. A mai elektronikus geodéziai mőszereken kizárólag kéttengelyő kompenzátorokat alkalmaznak. A kompenzátor fontos jellemzıje a kompenzálás tartományának mértéke és a beállás pontossága. A kompenzálás tartománya alatt azt a legnagyobb szöget értjük, amekkora állótengely-ferdeség mellett a dılés mértéke még meghatározható és a kompenzátorral korrigálható. A kompenzálás tartománya és a beállás pontossága mőszertípustól függıen változik. Általában a kompenzálás tartománya ± 3 5, a beállás pontossága a ± Mind a kompenzálási tartományt, mind a beállás pontosságát a mőszergyártó cégek a mőszer kézikönyvében megadják. Abban az esetben, ha az állótengely dılése a kompenzálás tartományát meghaladja, akkor a mőszer kijelzıjén figyelmeztetı üzenet jelenik meg, és a vezérlı program a mérést letiltja. A kompenzátor helyes mőködését rendszeresen, általában évenként ellenıriztetni kell. Az ellenırzést a mőszergyártó cégek vagy képviseleteik laboratóriumaiban arra betanított személyek végzik. Ennek során elvégzik a kompenzátor mind hardveres, mind szoftveres ellenırzését, amelyrıl hiteles jegyzıkönyvet állítanak ki, feltüntetve a vizsgálat érvényességi idejét is. (bıvebb magyarázat a 98. oldal apróbetős részében) Tekintettel arra, hogy a kompenzátornak mind a magassági, mind a vízszintes szögmérésnél alapvetı jelentısége van, ezért annak sérülése esetén a mőszer használhatatlanná válik. Ha a kompenzátort kisebb sérülés éri, amelyet a felhasználó nem vesz észre, akkor annak ellenére, hogy a mérések elvégezhetık, a méréseket a helytelen mőködésbıl adódóan durva vagy jelentıs szabályos hibák terhelhetik. Ezért a mőszer szállításakor és annak kezelésekor kerüljük, hogy azt erıs rázkódás vagy koccanás érje. A mőszert óvatosan vegyük ki a mőszerdobozból, és szintén óvatosan helyezzük vissza a mérések befejeztével. 95

96 6.4. A teodolit felállítása A szögmérés végrehajtásához a teodolitot a mérendı szög csúcsában kell felállítani úgy, hogy az állótengely meghosszabbítása a szög csúcsán menjen keresztül és az függıleges legyen. A teodolit felállítása ennek megfelelıen két lépésbıl áll: - a pontraállásból, - és az állótengely függılegessé tételébıl. A pontraállás elıtt a mőszerállványt a pont fölé helyezzük úgy, hogy fejezete közel vízszintes legyen, ügyelve arra, hogy a mérést kényelmes testhelyzetben tudjuk majd elvégezni, ezért a mőszerállványt ne állítsuk sem túl magasra, sem túl alacsonyra. A mőszerállvány stabilitása érdekében a lábakat úgy nyissuk szét, hogy azok a pont körül közel 10 -os szögtávolságban legyenek. A mőszerállvány pont fölé helyezését az összekötıcsavaron keresztül nézve végezzük. A mőszerállvány elhelyezését követıen tapossuk meg a sarukat, talajon történı felálláskor pedig nyomjuk a lábakat a földbe annyira, amennyire csak lehetséges. Ezt követıen helyezzük a mőszert az állvány fejezetére és rögzítsük az összekötıcsavarral. Az állványfejezetre való elhelyezéskor ügyeljünk arra, hogy a mőszertalp az állványfejezet közepén feküdjön fel, és élei közel párhuzamosak legyenek az állványfejezet éleivel. Ezután ellenırizzük a talpcsavarok helyzetét, szükség esetén állítsuk ıket középállásba, amelyet egy kis karcolás vagy vékony vonal jelez rajtuk. Ezt követıen az optikai vetítıbe nézve élesre állítjuk a szálkereszt vagy szálkör képét. Ha a pont képe nem esik a látómezıbe, akkor a mőszert az állványfejezetrıl levesszük, és a mőszerállványt a szükséges mértékben odébb helyezzük. Ha a pont képe a látómezıben van, akkor a talpcsavarok forgatásával gondosan megirányozzuk azt; ekkor az állótengely meghosszabbítása a ponton fog keresztülhaladni. Az állótengely függılegessé tételét két lépésben hajtjuk végre. Elıször a szelencés libella buborékját középre állítjuk a mőszerlábak hosszának változtatásával. Ehhez tapossunk óvatosan egy kiválasztott láb fémsarujára, oldjuk a szorítócsavart, és a buborék helyzetétıl függıen emeljük vagy süllyeszszük a mőszerállvány fejezetét. A buborék állítás elıtti helyzetétıl függıen nem biztos, hogy a buborékot az elsı lépésben középre tudjuk állítani. Az emelést vagy a süllyesztést ilyenkor úgy végezzük, hogy a buborék kitérésének az iránya az elsı állítást követıen egybeessen a második vagy a harmadik láb irányával, így a következı lépésben azok változtatásával a buborékot már egyszerően középre tudjuk állítani. Abban az esetben, ha a lábak hosszát teljesen súrlódás- és holtjáték-mentesen tudnánk elvégezni, akkor a szelencés libella beállítását követıen az állótengely meghosszabbítása elméletileg a ponton menne keresztül. Valójában ez a feltétel nem teljesül, az állótengely kismértékben elmozdul a pontról, ezért az elmozdulást korrigálnunk kell. Az összekötıcsavart óvatosan meglazítjuk, de nem tekerjük ki teljesen az anyából, és a mőszert az állvány fejezetén óvatosan eltoljuk úgy, hogy a vetítı irányvonala a pont képével essen egybe. Az eltolást követıen az összekötı csavart újra meg kell szorítani. Ügyeljünk arra, hogy csak toljuk a mőszert a fejezeten, de ne forgassuk el azt. Az állótengely közelítı függılegessé tételét most már követheti annak pontos függılegessé tétele a fejezetben leírtak szerint. Miután az állótengelyt függılegessé tettük, az optikai vetítıbe nézve ellenırizzük, hogy a vetítı irányvonala a ponton megy keresztül vagy sem. Ha az optikai vetítı irányvonala nem a ponton megy keresztül, akkor az összekötıcsavart óvatosan meglazítjuk, de nem tekerjük ki teljesen az anyából, és a mőszert az állvány fejezetén óvatosan eltoljuk (nem forgatjuk!) úgy, hogy a vetítı irányvonala a pont képével essen egybe, lézervetítı esetén pedig a lézerfolt a központban helyezkedjen el. Ezt követıen az összekötıcsavart megkötjük. Az összekötıcsavar oldása és ismételt kötése, illetve a mőszer állványfejezeten történı elmozdítása következtében az állótengely a már beállított helyzetébıl kis mértékben eltér. Ezért a csöves libella két fıirányban történı ismételt beállításával az eltérést megszüntetjük. Mivel ez az állítás az állóten- 96

97 gely néhány másodperces dılésváltozását eredményezi, ezért a szokásos átlagos mőszermagasság mellett az állótengely meghosszabbítása a pontról már nem mozdul le. Ezzel a teodolit felállítását befejezettnek tekintjük és kezdhetjük az adott mérési feladat elvégzését A vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásai A fejezetben ismertetett irányértéket és a 6.. fejezetben definiált zenitszöget csak akkor kapjuk meg helyesen, ha a teodolit a 6.3. fejezetben ismertetett tengelyfeltételeket kielégíti. Részben a mőszer szerkesztésekor elıforduló kismértékő konstrukciós hibák, részben pedig a mőszer használata következtében egyes tengelyfeltételek nem teljesülnek maradék nélkül. Ha a pontraállást sem körültekintıen végezzük, akkor az állótengely meghosszabbítása nem megy át a mérendı szög csúcsán, vagy nem lesz függıleges. A mérés helyén és idején lévı idıjárási és egyéb körülmények szintén hatással vannak a mért mennyiségekre. Legyen akár szó a mőszer szerkezeti hibájáról, a mőszer felállításának vagy a külsı körülmények következtében elıforduló hibákról, mindegyikben közös, hogy azonos jellegő, úgynevezett szabályos hibát okoznak. Ennek következtében a tényleges irányérték vagy zenitszög helyett kisebbet vagy nagyobbat mérünk, attól függıen, hogy az egyes hibaforrásoknak milyen a hatása. A szabályos hibák kiküszöbölésére vagy hatásuk csökkentésére az alábbi lehetıségeink vannak: - megfelelı mérési módszert választunk, - függvénykapcsolatot állítunk fel a hibaforrás és annak keresett mennyiségre gyakorolt hatása között, azaz számítással vesszük ıket figyelembe, - a mőszer megfelelı szerkezeti elemeinek igazításával megszüntetjük a hibaforrás okát. Az elektronikus teodolitok megjelenése és elterjedése elıtt a szabályos hibák kiküszöbölésére, kevés speciális mérési feladattól eltekintve, az elsı és a harmadik megoldást választották. A mőszerekben lévı mikroszámítógépek azonban lehetıvé teszik a szabályos hibák számítással történı figyelembe vételét, így a mai mérnöki gyakorlatban ezt a módszert részesítjük elınyben. Meg kell jegyeznünk azonban, hogy egyes szabályos hibák kezelésére nem alkalmazható mindhárom módszer, azaz valamelyik csak a mőszer igazításával, vagy csak mérési módszerrel küszöbölhetı ki. Tisztában kell lennünk azzal is, hogy mi az egyes hibaforrások hatásának a mértéke, így annak birtokában tudunk dönteni arról, hogy milyen mérési módszert válasszunk a kezelésükre, vagy, hogy egyáltalán figyelembe kell-e ıket venni vagy sem. A vízszintes szögmérést terhelı szabályos hibaforrások közül elsıként a mőszer szerkezeti megoldásából adódó szabályos hibákat, majd a mőszer felállításából és a külsı körülményekbıl eredı szabályos hibaforrásokat és hatásukat mutatjuk be. Az egyes hibaforrások és hatásuk elemzése érdekében azok tárgyalásakor feltételezzük, hogy egyszerre csak egy hibaforrás létezik, és annak hatását vizsgáljuk egyedileg. A valóság természetesen nem ez, de ez az út a könnyebben járható: az eredı hibahatást az összetevıire bontjuk, és az egyes komponensekbıl következtetünk majd azok együttes hatására. A szabályos hibák igazítással történı megszüntetéséhez fontos megjegyeznünk, hogy az igazításokat lehetıleg bízzuk a mőszert forgalmazó cég képviseletének a szervizére. Ennek egyik oka, hogy a felhasználók nem rendelkeznek a megfelelı laboratóriumi háttérrel, és egyes munkák megkövetelik a mőszerek rendszeres és hiteles vizsgálatát. Ezért a mőszerek hiteles vizsgálatára és azok igazítására csak erre a célra akkreditált laboratóriumok jogosultak. A szabályos hibák ismertetésekor a felhasználó számára a legfontosabb, hogy tudja a hiba létezésének vizsgálati módszereit, ha pedig a szabályos hiba számítással történı figyelembevételére lehetıség van, akkor azt az adott mőszer szoftveresen miként oldja meg. Ezen kívül, a hiteles vizsgálat és igazítás garanciális szolgáltatás, így ha a felhasználó nem szakszerően, saját maga próbálja ezeket elvégezni, 97

98 akkor a szakszerőtlen végrehajtás mellett a garancia elvesztésével is számolnia kell, amelynek súlyos anyagi következményei is lehetnek Mőszerhibák A szálferdeség Szálferdeségrıl akkor beszélünk, ha a szállemez a diafragma győrőben úgy helyezkedik el, hogy az állószál nem merıleges a fekvıtengelyre (6.5. ábra). A szálferdeség, a pontban tárgyalandó kollimáció hibával együtt azt eredményezi, hogy az álló iránysík nem merıleges a fekvıtengelyre ábra. A szálferdeség igazítás elıtt és igazítás után A szálferdeséget a szállemez igazításával szüntetjük meg, bár hatása számítással is figyelembe vehetı, de ez a megoldás a gyakorlatban nem terjedt el. A szálferdeség fennállásáról úgy gyızıdhetünk meg, ha megirányzunk egy távoli vagy pontszerően jól irányozható objektumot a szálkereszt középpontjával, majd a magassági irányítócsavar forgatásával a távcsövet a fekvıtengely körül addig forgatjuk, amíg a pont képe a látómezı alsó vagy felsı szélébe kerül. Ha a pont képe az állószálról nem mozdult le, akkor az állószál a fekvıtengelyre merıleges. A szálferdeség annak a következménye, hogy a szállemez a saját síkjában elfordult. Ezért ha a pontokat a szálak metszéspontjával irányozzuk, akkor ez a hibahatás kiküszöbölhetı. Ha a szálak metszéspontja helyett az irányzást a fekvıszál felett végezzük, akkor a ábra szerinti elrendezés alapján könnyő belátni, hogy a ténylegesnél nagyobb irányértéket mérünk. Ha a távcsövet áthajtjuk a fekvıtengely, majd átforgatjuk az állótengely körül 180 -kal ismételten megirányozva a pontot, de most a fekvıszál alatt ugyanakkora távolságra, mint az áthajtás és az átforgatás elıtt felette, akkor így a ténylegesnél kisebb irányértéket kapunk. A két eltérés azonos nagyságú, de ellentétes elıjelő, így az áthajtás elıtti és utáni leolvasások középértékét képezve a szálferdeség hatása kiküszöbölhetı. Azt a szögmérési módszert, amikor egy pontot ismételten megirányzunk úgy, hogy elıtte a távcsövet a fekvıtengely körül áthajtjuk, majd az állótengely körül átforgatjuk, két távcsıállásban történı mérésnek nevezzük. Röviden fogalmazva tehát a szálferdeség hatása két távcsıállásban végzett méréssel is kiküszöbölhetı, ha az irányzást a szálak metszéspontjával, vagy a fekvıszálhoz képest szimmetrikusan ugyanakkora távolságban végezzük. Mint látni fogjuk, a két távcsıállásban végzett mérési technológiának további szabályos hibák kiküszöbölésében is fontos szerepe van ábra. A szálferdeség kiküszöbölése két távcsıállásban történı méréssel 98

99 A szálferdeséget a diafragma győrőben lévı igazítócsavarok segítségével lehet megszüntetni (6.54. ábra). Az igazítás végrehajtásához egy igazítótüske tartozik, amelyek az igazítócsavarokba illeszthetık ábra. A diafragmagyőrő négy igazítócsavarja: egy felül, egy alul, valamint egy-egy a bal és a jobb oldalon A kollimáció hiba A kollimáció hiba azt jelenti, hogy a geodéziai távcsı irányvonala nem merıleges a fekvıtengelyre. A ábrán a vízszintes kört felülnézetben látjuk. Kollimáció hiba-mentes esetben az I irányvonal merıleges a h fekvıtengelyre. A P pont irányzását követıen az index az i I helyzetben látható, az ehhez tartozó leolvasás L I. Hajtsuk át képzeletben a távcsövet, majd forgassuk át pontosan 180 kal. Ekkor az index az i I helyzettel átellenes i I helyzetbe kerül, a P pont pedig a P pontba. A P pont ismételt irányzásához második távcsıállásban az alhidádét az ábra szerinti elrendezésben még szöggel az óramutató járásával egyezı értelemben el kell forgatni. Ennek eredményeként az i I index az i II helyzetet foglalja el, a két távcsıállásban végzett leolvasás így szögértékkel tér el egymástól ( L II - L I 180 ). A ábrának megfelelıen az L I leolvasáshoz tartozó helyzetben képzeljük el a kollimációhiba mentes irányvonalat. Ahhoz, hogy a hibátlan irányvonal a P pontra mutasson az alhidádét még szöggel az óramutató járásával egyezı értelemben el kell forgatnunk, ekkor a ábra. A kollimáció hiba szemléltetése hibátlan L I leolvasás értéke: L + (6.9.) I L I A második távcsıállásban viszont az alhidádét az óramutató járásával ellentétesen kell szöggel elforgatni ahhoz, hogy az I hibátlan irányvonal a P pontba mutasson. A hibátlan leolvasás a második távcsıállásban tehát: L (6.10.) II L II A (6.9.) és (6.10.) összefüggésekbıl könnyő belátni, hogy a két leolvasás összege mentes a kollimáció hibától: L L + L (6.11.) I+ L II I II Ha tehát a méréseket két távcsıállásban végezzük, akkor a két távcsıállásban végzett leolvasások számtani középértéke is mentes lesz a kollimáció hibától, az L irányérték tehát: 99

100 L + LII ± 180 LI + LII ± 180 L I (6.1.) Ha a méréseket csak egy távcsıállásban végezzük, akkor ismernünk kell a kollimáció hiba irányértékre gyakorolt hatását, így számítással lehetıségünk van figyelembe venni az értékét. Ennek megértéséhez tekintsük a ábrát. Vegyünk fel egy olyan térbeli matematikai koordinátarendszert, ahol az X tengely a fekvıtengely irányával, a Z tengely pedig az állótengely irányával esik egybe. A térbeli irányt jelöljük egységnyi hosszúságú l egységvektorral. Jelölje ε a kollimáció hibát 90 -os zenitszög mellett, valamint a kollimáció hiba hatását egy tetszıleges ζ zenitszögő térbeli irány esetén. Ha a mért irány zenitszöge 90, akkor az benne fekszik az X és Y tengelyek által kifeszített síkban. Legyen ez a vektor l(ε), amelynek koordinátái: sinζ sinε l ( ε) sinζ cos ε (6.13.) 0 Mivel ε kis szög, ezért sin ε ε és cos ε 1, így ε sinζ l ( ε) sinζ (6.14.) 0 Z I I ( ) ábra. A kollimáció hiba hatása A térbeli irányt jelölı l ( ) vektor az l (ε) vektor α szöggel történı és X tengely körüli negatív értelmő forgatásaként állítható elı. Ehhez (5.41.) alapján a következı forgatómátrix tartozik: R (6.15.) ( α) 0 cos α sinα 0 cos( 90 ζ) sin( 90 ζ) 0 sinζ cos ζ ( ) ( ) 0 sinα cos α 0 sin 90 ζ cos 90 ζ 0 cos ζ sinζ A (6.14.) és (6.15.) összefüggések alapján: X( ) ε sin ζ l ( ) Y( ) R( α) l( ε) sin ζ (6.16.) ( ) ζ ζ Z sin cos A ábra alapján: állótengely ζ ε α X ( ) fekvıtengely X( ) tan (6.17.) Y( ) Y I (ε) Y ( ) X 100

101 Alkalmazva (6.16.)-ot és (6.17.)-et: ε sinζ tan sin ζ ε sinζ (6.18.) Mivel kis szögérték, ezért tan, így viszont (6.18.) mindkét oldalát ρ -cel szorozva, az ε kollimáció hiba hatása adott zenitszög esetén: ε' ' ' ' (6.19.) sinζ A (6.19.) összefüggés alapján elmondható, hogy adott ε kollimáció hiba hatása 90 -tól eltérı zenitszög esetén mindig növekszik, de hatása 90 -nál a legkisebb, mivel sin A fekvıtengely merılegességi hibája A fekvıtengely merılegességi hibája alatt azt értjük, ha a fekvıtengely nem merıleges az állótengelyre. A fekvıtengely merılegességi hibájának hatását szemlélteti a ábra, amelyet szintén egy olyan térbeli matematikai koordinátarendszerben vizsgálunk, ahol az X tengely a fekvıtengelylyel, a Z tengely pedig az állótengellyel esik egybe. Z ε I I ( ) állótengely ζ Y X( ) fekvıtengely Y ( ) ε X ábra. A fekvıtengely merılegességi hibájának hatása Ha a fekvıtengely merılegességi hibája nem áll fenn, akkor a ζ zenitszögő térbeli irány az Y és Z tengelyek által kifeszített síkban helyezkedne el és egységvektorának koordinátái: 0 l sinζ (6.0.) cos ζ Az ε nagyságú fekvıtengely merılegességi hibája felfogható a koordinátarendszer Y tengely körüli ε szöggel történı forgatásának. Ehhez (5.9.) alapján a következı forgatómátrixot rendelhetjük: R ( ε) cos ε 0 sinε sinε 0 cos ε (6.1.) A (6.0.) és (6.1.) alattiakat alkalmazva: 101

102 X( ) sin ε cos ζ l ( ) Y( ) R( ε) l sin ζ (6..) ( ) ε ζ Z cos cos Hasonlóan (6.17.)-hez, írhatjuk, hogy: X( ) sinε cos ζ tan (6.3.) Y( ) sinζ Mivel kis szögértékekrıl van szó, ezért sinεε -el, végeredményben: ' ' ε' ' cot ζ (6.4.) A (6.4.)-es összefüggésben a negatív elıjel a (6.1.) által adott forgatás forgatási értelmébıl következik, és azt mutatja, hogy a mért irányértéket ennek az értelmezésnek megfelelıen csökkenteni kell ahhoz, hogy a fekvıtengely merılegességi hibájától mentes értéket kapjuk. Egyes szakirodalomban a negatív elıjel feltüntetésétıl el szoktak tekinteni. Ha a mérést két távcsıállásban végezzük, akkor a második távcsıállásban a fekvıtengely dılése ellentétes elıjelő lesz, így adott zenitszög mellett a hibahatás is ellentétes elıjelő lesz (6.4.)-hez képest. Két távcsıállásban végzett méréssel tehát a fekvıtengely merılegességi hibája kiküszöbölhetı. A (6.4.)-et elemezve látható, hogy a fekvıtengely merılegességi hibájának a hatása 90 -os zenitszög esetén nulla, más esetben pedig a zenitszög kotangensével arányosan növekszik, éppen ezért veszélyes hibaforrás lehet, ha a méréseket csak egy távcsıállásban végezzük, de nem ismerjük a merılegességi hiba nagyságát, vagy nem megfelelı pontossággal. A fekvıtengely merılegességi hibájának az igazítását ma kizárólag laboratóriumokban végzik Az irányvonal külpontossági hibája Az irányvonal külpontossági hibája azt jelenti, hogy az irányvonal nem metszi az állótengelyt. Gyakran ezt a hibát a távcsı külpontossági hibájának is szokás nevezni. A ábra felülnézetben mutatja a külpontossági hiba esetét, ha az irányvonal az e külpontosság következtében nem metszi a V állótengelyt, így a VP külpontossági hibától mentes irány helyett az elsı távcsıállásban az E I P, a második távcsıállásban az E II P irányt mérjük. Ennek megfelelıen az elsı távcsıállásban ε I szögértékkel nagyobbat, a másodikban pedig ε II értékkel kisebb szöget mérünk. A hiba hatása azonos nagyságú, de ellentétes elıjelő, így két távcsıállásban végzett méréssel ez a hibahatás kiküszöbölhetı. P ε I ε II t E I e V e E II ábra. Az irányvonal külpontossági hibája 10

103 A külpontosság következtében az E I P és az E II P irányok az e külpontosságnak megfelelı sugarú kör érintıi, így ha ismerjük az irányzott pont t távolságát, akkor tekintettel arra, hogy a külpontosság mértéke és az ε szög kicsi (tehát tgεε ), továbbá az érintési pontba húzott sugár mindig merıleges az érintıre, ezért: e '' ρ' ' t ε (6.5.) Az irányvonal külpontosságának a hatása tehát az irányhossznak is a függvénye, így egy távcsıállásban végzett méréssel ismeretlen t távolság esetén ez a hibahatás nem küszöbölhetı ki. A külpontosság és a távolság ismeretében viszont (6.5.) alapján számítással figyelembe vehetı. A 6.1. táblázatban e0.1 mm-es külpontosság és 100, 500 valamint 1000 m-es irányhosszak esetén tüntettük fel a külpontossági hiba hatását. A táblázatban szereplı értékekbıl jól látható, hogy a mérnöki gyakorlat 1 5 pontossági igényeinek megfelelıen a hibahatás nem számottevı, ráadásul a távolság értékével arányosan csökken, így az irányvonal külpontossági hibájától egy távcsıállásban végzett méréskor is el szoktunk tekinteni táblázat t (m) ε A vízszintes kör külpontossági hibája A vízszintes kör külpontossági hibája azt jelenti, hogy az állótengely nem esik egybe a vízszintes kör középpontjával (6.59.ábra). A hiba hatása kiküszöbölhetı, ha nem egy, hanem két, egymástól 180 -ra elhelyezkedı indexet alkalmaznak. A külpontosság következtében ugyanis az i 1 index a vízszintes körhöz viszonyítva az i 1 helyzetbe kerül, így a ábrának megfelelıen az L 1 leolvasásból a külpontosság következtében fellépı hibahatást le kell vonni, a helyes szögérték tehát: L L 1 (6.6.) 1 ' P i 1 L 1 i 1 V L O 0 i i ábra. A vízszintes kör külpontossági hibájának hatása 103

104 Az átellenes indexen azonban -val kisebb szögértéket olvasunk le, így ott a leolvasáshoz a szöget hozzá kell adni: L L + (6.7.) ' A két indexen tett leolvasások összege, így számtani középértékük is, a limbuszkör külpontossági hibájának a hatását már nem tartalmazza. A körleolvasások éppen ezért nem egy, hanem két átellenes, úgynevezett diametrális indexdiódán történik (6.60. ábra). A limbuszkör külpontossága számottevı hibaforrás, mert például egy R40 mm sugarú vízszintes kör esetén OV mm külpontosságot feltételezve a hibahatás értéke: OV R mm ρ' ' ρ' ' 40 mm 5.' ' ábra. Diametrálisan elhelyezett érzékelık A vízszintes kör merılegességi hibája A vízszintes kör merılegességi hibája azt jelenti, hogy a vízszintes kör síkja nem merıleges az állótengelyre (6.61. ábra). A ábrán az OM pontok által meghatározott egyenes mutatja az elméleti és a merılegességi hiba következtében keletkezı körök metszésvonalát. Az ε merılegességi hiba hatása függ az indexnek az OM metszésvonallal bezárt szögétıl. Ezért az i index úgy tekinthetı, mintha az a merılegességi hiba következtében az i pontba kerülne. A hibahatás nagyságának vizsgálatához vegyünk fel egy térbeli koordinátarendszert úgy, hogy az Y tengely essen egybe az OM metszésvonallal, a Z tengely pedig az állótengellyel. V Z X i O i L ε L M ε Y ábra. A vízszintes kör merılegességi hibájának hatása Jelöljük L betővel az index metszésvonallal bezárt szögét. A választott koordinátarendszerben az i indexnek, mint helyvektornak a koordinátái: 104

105 sinl i cosl (6.8.) 0 A merılegességi hibát úgy tekintjük, mintha a vízszintes kört az Y tengely körül ε szöggel elforgatnánk. Ehhez (5.43.) alapján a következı forgatómátrixot írhatjuk: R ( ε) cos ε 0 sinε sinε 0 cos ε (6.9.) Az i vektor transzformált koordinátái pedig cos ε 0 sinε sinl cos ε sinl i ' R( ε) i cosl cosl (6.30.) sinε 0 cos ε 0 sinε sinl A hibahatást az i és i vektorok vektoriális szorzatából (mátrixszorzásként elıállítva) kapjuk. Mivel a hibahatás szempontjából csak az XY síkban bezárt szög értéke az érdekes a számunkra, ezért (6.30.)-ban a harmadik komponenst nullának tekintjük, így írhatjuk, hogy: cos ε sinl cosl sin L sin i ' i cos ε sinl cosl cosl sinl ( cos ε 1) (6.31.) sinl cosl Mivel a szög kicsi, ezért (6.31.)-bıl a hibahatás másodpercben kifejezve: sin L '' ρ' ' ( cos ε 1) (6.3.) Vizsgáljuk meg most a hibahatás szélsıértékeit adott merılegességi hiba mellett. Könnyő belátni, hogy (6.3.) nullával egyenlı, ha L 0, 90, 180, 70, valamint maximális, ha L a 45,135,5,315 értékeket veszi fel. A 6.. táblázatban négy különbözı merılegességi hibához tartozó és a (6.3.) alapján számított maximális hibahatások vannak feltüntetve. Látható, a hibahatás értéke még 10 merılegességi hiba esetén sem éri el a 0.5 szögmásodpercet. A mőszer szerkesztésekor a vízszintes kör és az állótengely merılegességét a megfelelı pontossággal biztosítják, így a vízszintes kör merılegességi hibájának a hatását figyelmen kívül hagyhatjuk. ε 6.. táblázat ( L45 ) A vízszintes kör osztáshibái A vízszintes kör osztáshibái alatt a névleges és a tényleges osztás szögtartománya közötti eltérést értjük. Az indexdióda szerkezeti felépítésébıl adódóan a kódok leolvasása és összehasonlítása abszolút módszer esetén több, például a Leica mőszereknél 60 helyen, a diametrális elhelyezés 105

106 miatt így összesen 10 helyen történik (ld ábra). A nagyszámú kódkiolvasás következtében az esetleges osztáshibák hatásának az összege az indexdióda egy adott helyzetében gyakorlatilag nullának tekinthetı. Ha a csonkaleolvasás fázisinterpolációval történik, akkor az osztáshiba az interpoláció elvébıl adódóan nincsen hatással a csonkaleolvasás értékére A mőszer felállításából származó hibák A pontraállás hibája A pontraállás hibáját, az észlelıtıl függı személyi hibáktól eltekintve, az optikai vetítı és a lézervetítı pontossága és igazítottsága együttesen határozza meg. Igazított optikai vetítı esetén a pontraállás mm, lézervetítı alkalmazása esetén 1 3 mm pontossággal végezhetı el. Optikai vetítı esetén az igazítási hiba azt jelenti, hogy a szálkereszt vagy a szálkör középpontjának tükörképe és az objektív optikai középpontja nem esik az állótengelyre. Az utóbbi hatása mőszerszerkesztési szempontok következtében elhanyagolható. Ha a szálkereszt S tükörképe nem esik az állótengelyre, akkor az optikai vetítı irányvonala a körbeforgatása során egy hengerpalástot, vagy kúppalástot, esetleg egy hiperboloid felületet ír le, amely felületeknek az állótengelyre merıleges síkmetszetei körök lesznek (6.6.ábra). V S S O 6.6. ábra. Az optikai vetítı igazítási hibája Az állótengely függılegessé tétele után mindig ellenırizzük az optikai vetítı igazítottságát úgy, hogy az alhidádét 180 -kal átforgatjuk és ellenırizzük, hogy a szálkereszt vagy a szálkör középpontja a ponton maradt vagy sem. Ha nem, akkor az optikai vetítı igazítatlan. Az optikai vetítı igazítására a fejezetben még visszatérünk, de elöljáróban megemlítjük, hogy a pontraállás közel igazított optikai vetítıvel is elvégezhetı a következıképpen. Elıször elvégezzük a pontraállást a 6.4. fejezetben leírtaknak megfelelıen igazított optikai vetítıt feltételezve. Ezt követıen az alhidádét 180 -kal átforgatjuk és megállapítjuk a szálkereszt középpontja és a pont közötti távolságot, majd a mőszert az optikai vetítıbe nézve az állványfejezeten óvatosan elcsúsztatjuk úgy, hogy a szálkereszt középpontja az eltérés felezıpontjába kerüljön. Rögzítjük a mőszert az állványfejezethez, majd az optikai vetítıbe nézve az alhidádét lassan körbeforgatjuk. Helyes végrehajtás esetén a szálkereszt középpontja kört ír le az álláspont központja körül. A pontraállás hibájának körleolvasásra gyakorolt hatása függ a pontraállás hibájának nagyságától, azaz a külpontosságtól, valamint a külpontosság irányától, vagy más néven a külpontosság szögétıl. A ábrán a pontraállás hibája következtében a V állótengely nem az A központban helyezkedik el. Az e pontraállás hibájának hatása a ábra alapján a következıképpen számítható: 106

107 e arcsin sin ω (6.33.) t Tekintettel arra, hogy a pontraállás hibája igazítatlan vetítı esetén legfeljebb néhány mm, ezért az ω külpontosság szögének meghatározása gyakorlatilag kivitelezhetetlen. Éppen ezért ez hibahatás a vetítı igazításával vagy a fentebb leírt pontraállás végrehajtásával küszöbölhetı ki. P t A e ω V ábra. A pontraállás hibája és hatása Az állótengely ferdeségi hibája Az állótengelyt sem csöves, sem elektronikus libellával nem lehet tökéletesen függılegessé tenni, így az állótengely függılegessel bezárt szögével, az állótengely ferdeségi hibájával mindig számolnunk kell. A hiba hatásának a vizsgálatához vegyünk fel egy olyan térbeli derékszögő koordinátarendszert, ahol a Z tengely egybeesik a helyi függılegessel, az YZ sík pedig a vízszintes kör képzeletbeli nulla osztásához tartozó helyi függıleges síkkal (6.64. ábra). A ferde állótengelyt V-vel, dılésszögét α-val jelöltük, valamint a dılés síkjához tartozó irányértéket L α -val. Legyen l egy tetszıleges ζ zenitszögő térbeli irány helyvektorának egységvektora. Az állótengely dılése felfogható két egymást követı forgatás eredıjeként elıálló helyzetnek, ahol a forgatást elıször a Z tengely körül végezzük az óramutató járásával egyezı értelemben L α, majd pedig az X tengely körül szintén az óramutató járásával egyezı értelemben α szöggel. Mivel a koordinátarendszer forgatása és a vektor forgatása egyenértékő mővelet, ezért a koordinátarendszer forgatására vonatkozóak igazak a vektor forgatására is, így a fentebb leírt mőveletek eredményeként az l vektor forgatásaként az l (α) vektort kapjuk. Így az állótengely dılésének a hatása az l és l (α) vektorok vízszintes vetületei által bezárt szög értékében mutatkozik meg, amely a ábrán az a -a szögek különbségét jelenti. Az l vektor koordinátái a Z tengely körüli L α szöggel elforgatott koordináta rendszerben: ( Lα ) ( L ) sinζ sin L I sinζ cos L α (6.34.) cos ζ 107

108 Z V Z (α) I I (α) α ζ Y L Y (α) L α a a X X (α) ábra. Az állótengely ferdeségének a hatása A dılés következtében az l vektort elforgatjuk a dılés síkjára merıleges tengely körül α szöggel. Ez egy X tengely körüli forgatásnak felel meg, amelynek forgató mátrixa: R ( α) 0 cos α sinα (6.35.) 0 sinα cos α Az elforgatott vektor koordinátái: ( ) ( ) sin ζ sin L Lα sin ζ sin L Lα l ( α) R( α) l 0 cos α sinα sin ζ cos( L Lα ) cos α sin ζ cos( L Lα ) sin α cos ζ ( ) (6.36.) 0 sin α cos α cos ζ sinα sin ζ cos L Lα + cos α cos ζ Mivel α kis szögérték, ezért: ( ) X( α) sinζ sin L Lα l ( α) Y( α) sinζ cos( L Lα ) α cos ζ ( ) ( ) (6.37.) Z α α sinζ cos L Lα + cos ζ Az a szög tangense tehát: ( ) X( α) sinζ sin L Lα sinζ sina sina tan a' (6.38.) Y( α) sinζ cos( L Lα ) α cos ζ sinζ cosa α cos ζ cosa α cot ζ Írjuk fel az a és az a szögek különbségét addíciós tétel alkalmazásával tangens szögfüggvényt alkalmazva: tan sina sina tana' tana cosa α cot ζ cosa tan (6.39.) 1+ tana' tana sina sina 1+ cosa α cot ζ cosa ( a' a) Elvégezve a kijelölt mőveleteket, (6.39.) tovább írható a következıképpen: 108

109 sina cosa cosa sina ( cosa α cot ζ) cos a ( cosa α cot ζ) ( cos a α cot ζ) + sina sina cos a ( cosa α cot ζ) sina cosa cos a sina ( cos a α cot ζ) ( cosa α cot ζ) + sina sina sina ( cosa α cot ζ) α cot ζ sina α sina ( cosa α cot ζ) + 1 cos a 1 α cot ζ cosa 1 α cosa sina cosa (6.40.) cosa cot ζ Tekintettel arra, hogy a dılés α szögértéke kicsi, ezért (6.40.) nevezıjének második tagja közelítıleg nullának tekinthetı. Ezért összeségében írhatjuk,hogy '' α' ' cot ζ sina (6.41.) Ha összevetjük a (6.41.)-es összefüggést a (6.4.) által adott fekvıtengely merılegességi hibájával, akkor láthatjuk, hogy az állótengely ferdeségi hibája egy változó nagyságú fekvıtengely merılegességi hibának felel meg, az arányossági tényezı sin a, azaz a mért irány függıleges síkjának és a dılés síkja által bezárt szög szinusza. Abban az esetben, ha a zenitszög 90, akkor az állótengely ferdeségi hibájának a hatása (6.41.) alapján nulla. Szintén nulla a hibahatás, ha a mért irány a dılés síkjában fekszik, mert akkor a0, és így sin a 0. Adott ζ zenitszög mellett a hibahatás akkor maximális, ha a mért irány álló iránysíkja merıleges a dılés síkjára, azaz ha a 90 vagy a 70, és így sin a 1 vagy - 1. Az állótengely ferdeségi hibája mérési módszerrel nem küszöbölhetı ki, mert a (6.41.)-gyel adott korrekció az α szöget mindig tartalmazza, akár elsı, akár második távcsıállásban mérünk. Az állótengely ferdeségi hibáját tehát csakis az állótengely gondos függılegessé tételével küszöbölhetjük ki. Az elektronikus teodolitok és a mérıállomások kompenzátorai miután meghatározták a dılés nagyságát és irányát, a vízszintes körleolvasást (6.41.) alapján javítással látják el, így tulajdonképpen a hibahatás valós idıben történı számítással figyelembe vehetı. A mőszer kijelzıjén tehát már az állótengely ferdeségi hibájától mentes szögérték látható Külsı körülményekbıl adódó hibák A mőszerállvány elcsavarodásából származó hiba A mőszerállványok anyaga fa vagy fém, amelyek elsısorban az egyenlıtlen felmelegedés hatására kis mértékben elcsavarodhatnak. Ez bekövetkezhet hirtelen idıjárás változás következményeként is, ha például erısebb szél éri a mőszerállványt. Tapasztalatok szerint az állványelcsavarodás többé-kevésbé egyenletesnek tekinthetı rövid idı alatt. Ha az elcsavarodást egyenletesnek tételezzük fel, akkor a mért irányértékek az idı haladtával kisebbek és kisebbek lesznek, ha az állványelcsavarodás az óramutató járásával egyezı értelemben történik, ellentétes értelmő elcsavarodás esetén pedig nagyobbak (6.65.ábra). Nézzük meg, hogy ennek a hibahatásnak az értékét hogyan lehet csökkenteni, esetleg kiküszöbölni. 109

110 ábra. Az állványelcsavarodás hatása Tételezzük fel, hogy a ábrának megfelelıen egy állásponton négy irányt mérünk, legyenek ezek 1,, 3, és 4 számokkal jelölve. Tételezzük fel ezen kívül azt is, hogy két egymást követı irány mérése között pontosan azonos idı telik el, amely alatt az állvány szöggel elcsavarodik. Ezen kívül az irányokat az óramutató járásával egyezı sorrendben mérjük az elsı távcsıállásban sorrendnek megfelelıen. Azért, hogy az állványelcsavarodásról meggyızıdjünk, az elsı pontot az elsı távcsıállás végén ismételten megmérjük. A hibátlan ^ L irányértékek, valamint a mért elcsavarodás között elsı távcsıállásban az alábbi összefüggések írhatók fel: ^ L 1,I L 1,I i Li irányértékek és a ^ L,I L, I + ^ L ^ L 3,I 4,I L + 3, I L + 3 4, I ^ L 1,I(H) 1,I(H ) L + 4 (6.4.) A (6.4.) utolsó egyenletében H indexszel különböztettük meg az elsı irány ismételt mérését. Hajtsuk át a távcsövet és ismételjük meg a pontok mérését, kezdve megint az 1-es számú ponttal, majd a többit is megirányozva, de az óramutató járásával ellentétesen. Ekkor a második távcsıállás mérési eredményei az irányzás sorrendjének megfelelıen a következık: ^ L 1,II(H) 1,II(H ) ^ L ^ L ^ L 4,II 3,II,II L + 5 L + 6 4, II L + 7 3, II L + 8, II ^ L 1,II L + 9 1, II Képezzük most minden irányra a két távcsıállásban végzett leolvasások középértékét: (6.43.) 110

111 _ L _ L _ L _ L ^ 1,I L ^,I L ^ 3,I L L ^ 4,I + L ^ 1,II + L + L ^,II ^ 3,II + L ^ 4,II L 1,I L L L + L1,II + 9 L,I 3,I 4,I + L + L,II 3,II + L 4,II 1,I + 9 L + 9 L + 9 L + L,I 3,I 4,I 1,II + L + L + L 9 +,II 3,II 4,II (6.44.) Látható, hogy a középértékek tartalmazzák az állványelcsavarodás hatását, de képezve bármely két irány különbségét, ez a hatás kiesik, azaz az irányok egymáshoz viszonyított helyzete mentes a hiba hatásától. Az állványelcsavarodásból származó hibát tehát két távcsıállásban végzett méréssel kiküszöbölhetjük, ha az elsı távcsıállásban a pontokat az óramutató járásával egyezı értelemben, a másodikban pedig azzal ellentétes sorrendben irányozzuk. Az irányok két távcsıállásban történı mérését fordulónak nevezzük. A fordulóban történı mérés másik jellemzıje, hogy a kezdıirányt az adott távcsıállásban ismételten megmérjük. Ezt nevezzük horizontzárásnak. A horizontzárás eredményeként kapott értéket általában az állványelcsavarodás vizsgálatára használjuk, a további feldolgozásban a horizontzárás eredménye nem vesz részt. A (6.4.) (6.44.) összefüggések alapján szintén igazolható, ha horizontzárást nem végzünk, akkor is mentes lesz az irányok relatív helyzete az állványelcsavarodás hatásától, mert értéke független a horizontzárás mérési eredményétıl. Ha az irányokat fordulóban mérjük, akkor a feltételezésnek megfelelıen, törekedjünk a mérések egyenletes és megfelelı sebességő végrehajtására. Mivel az elcsavarodás mértéke csak feltételezett és csak jó közelítéssel igaz, ezért az állványelcsavarodás szabatos értelemben nem küszöbölhetı ki teljesen, de hatása a fentebb leírtaknak megfelelıen csökkenthetı. A mőszerállvány egyoldalú felmelegedése ellen úgy védekezhetünk, ha a mőszert mőszerernyıvel védjük. Az egy fordulóban végzett mérés esetén a horizontzárás eredménye nem mutatja egyértelmően az elcsavarodás fennállását vagy annak idıbeli alakulását. Ezért figyelni kell a két távcsıállásban kapott leolvasások különbségének az alakulását is. A 6.3. táblázatban négy irány egy fordulóban történı mérési eredményei láthatók, az elcsavarodás az óramutató járásával megegyezıen történt. eltételezzük természetesen itt is, hogy további hibahatások a mérés során nem léptek fel táblázat I. távcsıállás II. távcsıállás II.-I A táblázat utolsó oszlopa tartalmazza a két távcsıállás mérési eredményeinek a különbségét. Látható, a mérés elırehaladtával a különbségek egyre nagyobbak, amely egyértelmően az állványelcsavarodásra utal. Természetesen ez a valóságban nem jelentkezik ilyen jellegzetesen, de a példával akartuk szemléltetni, hogyan kell vizsgálni az állványelcsavarodás idıbeli alakulását. A gyakorlatban ma legtöbbször egy távcsıállásban mérünk, így elcsavarodást kimutatni csak akkor van lehetıségünk, ha horizontzárást is végzünk, és esetleg számítással vesszük figyelembe a 111

112 mért irányokhoz tartozó javításokat. Ha egy állásponton részletmérést is végzünk egyidejőleg, akkor elıfordulhat, hogy az állásponton hosszabb idıt töltünk. Ilyenkor lehetıség szerint 30 percenként mérjünk ismételten távoli, jól irányozható azonos pontokat A légköri sugártörés hatása az oldalrefrakció A fizikából jól ismert, hogy a fény csak homogén közegben végez egyenes vonalú terjedést. A légkör azonban nem homogén, eltérı összetételő a vízpára és a porszemcsék következtében, valamint különbözik a részecskék mozgásállapota is. A légkört alkotó részecskék optikailag apró prizmák halmazának tekinthetı, amely a fényt megtöri. Ezt a jelenséget nevezzük refrakciónak. A refrakció következtében a tárgypontokat a refrakciógörbe érintıje mentén látjuk, azaz az irányvonal tulajdonképpen megegyezik a refrakciógörbe álláspontbeli érintıjével. A refrakciógörbe egy térgörbe, amelynek vízszintes vetülete a vízszintes, függıleges síkvetülete pedig a magassági szögmérésre van hatással. Az elıbbit oldalrefrakciónak, az utóbbit magassági refrakciónak nevezzük. A ábra az oldalrefrakciót szemlélteti. A refrakciógörbe érintıje és a húrja által bezárt szöget refrakciós szögnek (δ) nevezzük (6.66. ábra). refrakciógörbe P δ ábra. Az oldalrefrakció A gázok egyesített gáztörvénye alapján a p nyomás, a T hımérséklet és a ρ sőrőség között a p ρ T állandó (6.45.) összefüggés áll fenn. Ez azt jelenti, hogy a melegebb légrétegek sőrősége kisebb, a hidegebbeké nagyobb. A refrakciós szöget a légrétegek hımérséklete, légnyomása és páratartalma határozza meg elsısorban, valamint oldalrefrakció esetén ezek vízszintes értelmő változása, amelyek általában nagyságrendekkel kisebbek, mint a függıleges értelmő változásuk. Az oldalrefrakció elsısorban a klasszikus háromszögelésen alapuló hálózatok mérésekor játszott szerepet, ahol a mért irányok hossza néhány kilométertıl 0 30 kilométerig is terjedt. Az oldalrefrakciót elsısorban a hımérséklet vízszintes értelmő változása befolyásolja. A vízszintes szögmérésre a hımérséklet oldalirányú változása akkor van hatással, ha az irányvonal erısen változó hımérséklető felület felett halad. Ilyen fordul elı szélesebb vízfelületeken való átméréskor. Nappal ugyanis a vízfelület felett a hımérséklet alacsonyabb, így a vízfelület közeli rétegek kisebb áramlásoktól eltekintve, sőrőbbek. Ilyen esetekben, ha lehetıség van rá, a pontokat úgy válasszuk meg, hogy a vízfelület felett az irányvonal a lehetı legrövidebb legyen (6.67. ábra). Belterületen elsısorban a felmelegedett épületek okozhatnak jelentısebb oldalrefrakciót. Ilyenkor kerüljük az olyan eseteket, amikor az irányvonal az épületek falához közel haladna, a pontokat a falsíkoktól távolabb állandósítsuk akkor, ha a méréseket alappontmeghatározás céljából végezzük. Tekintettel arra, hogy a refrakció 11

113 elsısorban a magassági szögmérésnél jelentıs, ezért ennek tárgyalására a fejezetben még visszatérünk ábra. Mérési elrendezés az oldalrefrakció hatásának csökkentése érdekében: mérés szélesebb vízfelület felett (bal), valamint belterületen az épületek falsíkjaitól távolabb (jobb) A jel megvilágítottságának és alakjának a hatása Az irányzás pontosságát alapvetıen meghatározza az alkalmazott jeleknél fellépı fényviszonyok, valamint a jelek alakja. A fényviszonyokat a Nap állása, a fényerısség és a különbözı árnyékhatások határozzák meg. Ha az irányvonal közelítıleg a Nap irányába esik, akkor az objektívet érı napsugarak a pont képének a kontrasztját jelentısen megváltoztatják, bizonytalanabbá téve az irányzást. Ez ellen a távcsıre az objektív felıli oldalra könnyen felhelyezhetı napellenzıt használjunk. Zavaró, ha az irányzott jel nem emelkedik ki a hátterébıl. Ilyen helyzet fordul elı, ha például a jel hátterében erdı található és a Nap is közel ebben az irányban helyezkedik el. Ilyenkor a hátteret gyakorlatilag szürkének látjuk, és függetlenül a jel színétıl, nem érzékeljük a szükséges kontraszt különbségeket. Prizmákra történı irányzás méter feletti távolságok esetén bizonytalan. Rövid irányok mérésekor is zavaró, ha a jelre árnyék vetıdik. Ilyen esettel belterületen mindig számolnunk kell, ahol az épületek és a fák kiterjedt és idıben gyorsan változó fényerısségő árnyékot vetnek. Prizma esetén mindig használjunk prizmára erısíthetı jeltáblát, illetve közeli irányoknál irányozzuk a mőszer prizmában látható tükörképét. A jelek alakja akkor megfelelı, ha azok szimmetrikusak. A geodéziában különbözı ék alakú jeleket alkalmaznak (6.68. ábra). Az ék alakú jelek kialakítása olyan, hogy azok mind a vízszintes, mind a magassági értelmő irányzás helyét egyértelmően jelölik. Egyes jeltárcsák mögé izzót lehet elhelyezni, így azok hátulról megvilágíthatók. Döntı tényezı a jelek színe. A jelek általában piros-fehér, fekete-fehér, piros-sárga vagy fekete-sárga összeállításúak. Legcélszerőbb fluoreszkáló jeleket alkalmazni, mert ezek a környezetüktıl jól eltérnek és könnyő ıket észrevenni, illetve pontosan irányozni. Magaspontok irányzásakor szintén döntı szempont a jel kiterjedése és környezetétıl való megkülönböztethetısége. Tornyok esetén kedvezıen lehet irányozni világos színőre festett toronysisakkal rendelkezıket. Mivel a Nap állása mindig jelentısen befolyásolja az irányzás pontosságát, ezért nagy pontosságú mérések idıbeli tervezésénél mindig vegyük figyelembe a fentebb leírt szempontokat ábra. Különbözı típusú jeltáblák önállóan és prizmára erısítve 113

114 6.6. A magassági szögmérés szabályos hibaforrásai A magassági szögmérés hibaforrásai és ezek hatásai egyes esetekben sok hasonlóságot, esetleg teljes egyezıséget mutatnak a vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásainál bemutatott hibaforrások hatásával. Részleteiben ezért nem foglalkozunk azok tárgyalásával, amelyek jellegükben a zenitszögmérés eredményére ugyanolyan hatást gyakorolnak, mint a vízszintes szögmérésre. A magassági szögmérésnél is megkülönböztetünk mőszerhibákat, a mőszer felállításából és a külsı körülményekbıl eredı szabályos hibaforrásokat. A vízszintes szögmérésnél megismert kollimáció hiba és a fekvıtengely merılegességi hibája nem okoz mértékadó hibát a zenitszögben, ezért ezekkel a hibaforrásokkal nem kell foglalkoznunk. Egyébként ez matematikailag is könnyen bizonyítható a (6.16.) és a (6..) összefüggések alapján. Az irányvonal külpontosságát a zenitszög mérésekor a fekvıtengelyre vonatkoztatjuk. Hatása a zenitszögre ugyanaz, mint a vízszintes szögmérésnél az állótengelyre vonatkozó külpontosság, így hatása és kezelése megegyezik a fejezetben leírtakéval. Ugyanez mondható el a magassági kör külpontossági és merılegességi hibájával kapcsolatban is. Az elıbbi azt jelenti, hogy a fekvıtengely külpontos a magassági kör középpontjára vonatkozóan, az utóbbi pedig, hogy a magassági kör síkja nem merıleges a fekvıtengelyre. A vízszintes szögmérésnél tett megállapítások itt ugyanúgy érvényesek: a magassági körnél is diametrálisan elhelyezett indexdiódákat alkalmaznak, valamint a magassági kör merılegességi hibája is elhanyagolható. A magassági kör osztáshibáira szintén érvényesek a vízszintes kör osztáshibáinál leírt szempontok. A pontraállás hibája magassági szögmérésnél más értelmezést kap, ezért ezzel részletesebben is foglalkozunk, hasonlóan az állótengely ferdeségi hibájának a hatásával. A légköri sugártörés a magassági szögmérésre nézve veszélyes hibaforrás, ezért ezt részletesebben tárgyaljuk. A jel megvilágítottságára és alakjára vonatkozó megállapítások szintén megegyeznek a fejezetben leírtakéval Mőszerhibák az indexhiba A fejezetben ismertettük a magassági kör szerkezetét és a kompenzátorok mőködési elvét. A kompenzátor a beállás pontosságának a következtében nem mindig ugyanazon a helyen képezi le az indexvonás képét, az indexvonás képének helyzetétıl függıen alul vagy túl kompenzál. Az index képe így a ábrának megfelelıen nem a helyi függıleges irányában helyezkedik el. Az ábrán ezt a szögeltérést k -val jelöltük, amelyet a kompenzátor kompenzálási hibájának nevezünk. Mivel a távcsövet és a magassági kört egymáshoz ékelik, további követelmény, hogy a osztások által meghatározott irány a geodéziai távcsı irányvonalával essen egybe. Mőszerszerkesztési okokból ez a feltétel nem teljesül maradéktalanul, hanem úgynevezett ékelési hiba lép fel. Az ékelési hibát a ábrán é - vel jelöltük. A kompenzálási és az ékelési hiba együttes következményeként nem a tényleges zenitszöget mérjük, hanem attól kis mértékben eltérıt ábra. A kompenzátor kompenzálási hibája és az ékelési hiba k Index képe 0 é 114

115 Tételezzük fel, hogy sem kompenzálási hiba, sem ékelési hiba nem áll fenn (6.70.ábra). Ebben az esetben az elsı távcsıállásban a ζ I szöget mérjük. Ez az eset látható a ábra bal oldalán. Ha a távcsövet áthajtjuk és átforgatjuk, akkor második távcsıállásban a ζ II -vel jelölt szöget mérjük. Könnyő belátni, hogy a két távcsıállásban végzett leolvasások összegének 360 -nak kell lenni: ζ1 + ζ 360 (6.46.) index képe index képe ζ I ζ II ábra. A két távcsıállásban végzett zenitszögmérés szemléltetése Ez a feltétel azonban a kompenzálási és az ékelési hiba következtében nem teljesül. A valódi zenitszöget így a leolvasás, a kompenzálási hiba és az ékelési hiba összegeként írhatjuk fel. Elsı távcsıállásban (6.71. ábra) : ζ (6.47.) I ζ' I+ k + é Az áthajtás és átforgatás után a második távcsıállásban: ζ (6.48.) II ζ' II + k + é Képezve (6.47.) és (6.48.) összegét, (6.46.) alapján: ( + ) ζi + ζii ζ' I+ζ' II + k é 360 (6.49.) Amibıl: ( ζ' +ζ' ) 360 I II k + é (6.50.) A két távcsıállásban végzett leolvasások összegébıl tehát a kompenzálási hiba és az ékelési hiba elıjeles összegét meg tudjuk határozni. Valójában tehát az egyedi értékük ismeretére nincsen szükségünk. A kompenzálási és az ékelési hibát együttesen indexhibának nevezzük: ( ζ' + ζ' ) 360 I II (6.51.) Az indexhiba (6.51.) alapján történı számítását követıen a tényleges zenitszöget megkapjuk, ha (6.51.)-et elıjelhelyesen hozzáadjuk az elsı távcsıállásban végzett mérés eredményéhez: ζi ζ' I+ (6.5.) Látható tehát, hogy a két távcsıállásban végzett méréssel az indexhiba hatása kiküszöbölhetı. Ezen kívül megállapítható az is, hogy az indexhiba független a mért zenitszög értékétıl, így az állásponton 115

116 ζ I Dr. sepregi Szabolcs, Gyenes Róbert, Dr. Tarsoly Péter: Geodézia I. mért irányokra vonatkozóan a mérési hibáktól eltekintve az indexhiba értéke elvileg ugyanaz. Azért fontos kihangsúlyozni, hogy elvileg, mert az alhidádé forgatásának és az ismételt beállás pontosságának következtében ez nem teljes mértékben igaz. De ez az eltérés figyelmen kívül hagyható. Ez a tény lehetıvé teszi az indexhiba számítással történı figyelembevételét, ha azt a mérések elıtt már meghatároztuk és értékét a mőszerben tároltuk. Az indexhiba vizsgálatára a fejezetben még visszatérünk. k Index képe Index képe k é é ζ II ábra. A kompenzálási hiba és az ékelési hiba figyelembevétele A mőszer felállításából származó hibák A mőszermagasság hibája Zenitszögmérésnél a vízszintes pontraállás hibája nem játszik szerepet, azonban figyelembe kell vennünk, hogy a zenitszögmérést tulajdonképpen külpontosan végezzük, azaz a zenitszög csúcsa nem a központra vonatkozik, hanem a központ felett a fekvıtengely magasságára. A magasságok meghatározásához tehát ismernünk kell a fekvıtengely központ feletti magasságát, az úgynevezett mőszermagasságot. Leggyakrabban a mőszermagasságot közvetlenül mérıszalaggal mérjük. A fekvıtengelyt az alhidádé oszlopon mőszertıl függıen egy kis furat, vízszintes vonal vagy egyéb jel jelzi. Ha azonban a jel a mőszer szerkesztési hibája következtében nem pontosan a fekvıtengely meghosszabbításában helyezkedik el, akkor tulajdonképpen a zenitszög csúcsát nem a megfelelı helyre vonatkoztatjuk. Ez gyakorlatilag analóg a vízszintes szögmérésnél az optikai vetítı igazítási hibája következtében végzett hibás pontraállással. A mőszermagasság hibája elsısorban nagy pontosságú mérnökgeodéziai alkalmazásokban zavaró, ahol a mőszermagasságot néhány milliméter (esetleg tizedmilliméter) pontossággal kell ismerni. Ilyenkor a mőszermagasságot vagy közvetett mérési módszerrel határozzuk meg, vagy speciális U-alakú felfüggesztéső szalaggal, vagy egy tangensosztású szalaggal Az állótengely ferdeségi hibája Az állótengely ferdeségének a térbeli irány függıleges síkjába esı vetülete a zenitszögmérésre jelentıs hibahatást gyakorol. A 6.7. ábrán az állótengely térbeli irány függıleges síkjába esı vetületét V -vel jelöltük. Az állótengely ferdesége következtében ezért a ζ -vel jelölt szöget mérjük ζ helyett. A fejezetben levezettük a térbeli irány egységnyi helyvektorának koordinátáit az állótengely dılésének és a dılés irányának a függvényében, amelyeket a (6.37.) által adott koordi- 116

117 náták fejeznek ki. Egységvektorról lévén szó a Z(α) koordináta nem más, mint a dılés következtében mért ζ zenitszög koszinusza, azaz (6.37.) alapján: Z cos ' sin cos L L cos (6.53.) ( α) ζ α ζ ( α ) + ζ V helyi függıleges ζ ζ ζ P h 6.7. ábra. Az állótengely ferdeségi hibájának a hatása A ζ szög koszinusza viszont a cosζ analízisbıl jól ismert differenciális összefüggést: növekményeként kapott függvényérték, így alkalmazhatjuk az dcos ζ cos ζ' cos ζ + ζ (6.54.) dζ A (6.53.) és (6.54.)-es összefüggések egyenlısége következtében írhatjuk, hogy: dcos ζ cos ζ + ζ α sin ζ cos( L Lα ) + cos ζ (6.55.) dζ Viszont: dcos ζ sin ζ dζ Így (6.55.), miután cosζ -t mindkét oldalból kivonjuk, a következıképpen alakul: ( L ) sin ζ ζ α sinζ cos L (6.57.) α (6.56.) Egyszerősítve ζ Vagy sin ζ ( L L ) α -val, végeredményben: α cos (6.58.) ( L ) ζ' ' α' ' cos L (6.59.) α A (6.59.)-es összefüggés alapján látható, hogy az állótengely ferdeségi hibájának a hatása maximális, ha L L α 0, amikor a mért irány éppen a dılés síkjába esik. Ezt az esetet szemlélteti valójában a ábra is. A dılés hatása nulla, ha L L α 90 vagy L L α 70, amikor a térbeli irány függıleges síkja a dılés síkjára merıleges. Az is látható, hogy a dılés hatása független a zenitszög értékétıl. Az állótengely ferdeségi hibájának a hatása mérési módszerrel nem küszöbölhetı ki. Hatása csökkenthetı az állótengely gondos függılegessé tételével, valamint (6.59.) összefüggés 117

118 alapján valós idejő számítással figyelembe vehetı, miután a kompenzátor meghatározta a dılés nagyságát és irányát Külsı körülményekbıl adódó hibák a magassági refrakció A fejezetben ismertettük a légköri sugártörés vízszintes szögmérésre gyakorolt hatását. A légkör fizikai állapotának és annak változásának következtében a refrakció zenitszögmérésre gyakorolt hatása számottevıbb, mint a vízszintes szögmérésre vonatkozóan. Zenitszögméréskor a refrakció következtében a refrakciógörbe térbeli irány függıleges síkjába esı érintıjét mérjük (6.73. ábra). A valódi és a mért térbeli irány által bezárt szög a refrakciószög, vagy más néven refrakciós szög, amelyet δ-val jelöltünk. A refrakciószög függ a levegı hımérsékletétıl, a légnyomástól, a levegı páratartalmától, valamint helyi, idıben gyorsan változó körülményektıl, például a szél erısségétıl. A refrakciós szög és a meteorológiai változók közötti kapcsolatot közvetett úton, a levegı törésmutatójának ismeretében lehet megadni. A refrakciógörbe alakját az egyes rétegek sőrősége (törésmutatója) határozza meg. A gyakorlatban legtöbbször elıforduló esetben mind a mőszerállás, mind az irányzott pont a labilis alsó rétegben található, azaz amikor a melegebb levegı helyezkedik el alul, és a hımérséklet a talajfelszíntıl távolodva csökken. Ennek a rétegvastagságnak a középértéke 0 5 méter körüli, de elérheti a métert is. A refrakciógörbe ebben a rétegben felülrıl nézve homorú görbe, mivel a hidegebb és sőrőbb rétegek felül helyezkednek el (6.74. ábra). δ ábra. A magassági refrakció szemléltetése A talaj közelségére való tekintettel, a hımérsékleti gradiens (hımérséklet változása egy függıleges vektor mentén) értéke a refrakciószöget jelentısen befolyásolja. A hımérséklet napi alakulásának a következményeként általában a óra között végzett mérések a legalkalmasabbak magassági szögmérésre, ugyanis a refrakció idıbeli változása ekkor a legkisebb. Késıbbi tanulmányaink során a trigonometriai magasságméréssel kapcsolatban látni fogjuk, hogy a refrakciószög helyett egy másik mennyiséget, a refrakciós együtthatót fogjuk bevezetni a magasságkülönbségek meghatározásakor ábra. A refrakciógörbe alakja a labilis alsó rétegben 118

119 6.7. A teodolit vizsgálata A 6.5. és a 6.6. fejezetben ismertettük a vízszintes és a magassági szögmérés szabályos hibaforrásait. Az egyes hibaforrások tárgyalásánál feltételeztük, hogy egyszerre csak egy létezik, a többit az egyszerőség érdekében figyelmen kívül hagytuk. Egyes hibaforrások hatásairól megállapítottuk, hogy figyelmen kívül hagyhatók, ilyen volt például a vízszintes kör merılegességi hibája, vagy az osztáshibák hatása. A többi, úgynevezett mértékadó szabályos hibát mérési módszerrel küszöböltünk ki vagy összefüggéseket vezettünk le a hiba forrása és a hatása között. A mértékadó szabályos mőszerhibák vizsgálati módszereinek ismerete fontos a felhasználó számára, elsısorban azért, mert ezeket ma már elsısorban számítással vesszük figyelembe. Ezen kívül a mőszerek rendszeres vizsgálata a felhasználó részérıl szükséges feladat, mert a mőszer szabályos hibák a használat következtében idıvel kis mértékben változnak. Ha a felhasználó úgy ítéli meg, hogy a szabályos hiba egy már nem elfogadható értéket meghalad, akkor a megfelelı laboratóriumban az igazítást el kell végeztetni. A mértékadó szabályos hibák vizsgálata közül a következıket tárgyaljuk: - kollimáció hiba vizsgálata, - az irányvonal vízszintes külpontossági hibájának a vizsgálata, - a fekvıtengely merılegességi hibájának a vizsgálata, - indexhiba vizsgálata, - irányvonal magassági külpontossági hibájának a vizsgálata, - az optikai vetítı vizsgálata A kollimáció hiba vizsgálata A kollimáció hibát a fejezetben ismertettük. Tetszıleges ζ zenitszögő irány esetén a hatását a (6.19.)-es összefüggés írja le. Megállapítottuk, hogy a hiba hatása 90 -os zenitszög mellett a legkisebb, így kézenfekvı olyan módszert választani, amelynél 90 -os zenitszögő irányokat mérünk két távcsıállásban. Tekintettel arra, hogy a kollimáció hiba a geodéziai távcsı irányvonalához kapcsolódik, az irányvonal definíciójából következıen az értékét szabatosan csak akkor tudjuk meghatározni, ha végtelen távoli pontot irányzunk. Ennek az oka, hogy belsı képállítású távcsınél a képállító lencsét a parallaxis csavarral mozgatjuk, így tulajdonképpen a képállító lencse optikai középpontja parányi mértékben változik az optikai tengelyhez viszonyítva, ezáltal tehát változik az irányvonal helyzete is. Ez a hibahatás az irányzott pont távolságától függ, éppen ezért azt mondjuk, hogy létezik a távcsı irányvonalának egy távolságtól függı elhajlása. Ez az elhajlás tulajdonképpen egy járulékos kollimáció hibának tekinthetı, amely két távcsıállásban végzett méréssel kiküszöbölhetı. Az irányvonal elhajlás értéke csekély, általában egy-két tizedmásodperc, amely gyakorlatilag egy nagyságrenddel a szögmérés pontossága alatt van, így ezzel a hibával számottevıen egy távcsıállásban végzett méréskor sem kell foglalkozni. Laboratóriumi körülmények között végtelen távoli tárgyat kollimátor segítségével tudunk elıállítani úgy, hogy a tárgyat, amely nem más, mint egy megvilágított szállemez, a kollimátor objektívjének a fókusztávolságában helyezünk el (6.75. ábra). A képalkotás törvényének megfelelıen a tárgyból érkezı fénysugarak az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak, miután áthaladtak az objektíven. Így a kollimátorral egy olyan helyzet állítható elı, mintha a kollimátor szállemezén lévı szálkereszt egy végtelen távoli tárgy képe lenne. 119

120 f ábra. A kollimátor képalkotása A kollimátor speciálisan kiképzett asztalon fekszik, amellyel szemben az objektív felıli oldalon kényszerközpontosan lehet elhelyezni a vizsgálandó mőszert. A ábra az OS 3 (Optical ollimator System) optikai kollimátor rendszert mutatja. A rendszer három, egymással 30 -os szöget bezáró kollimátorból áll, amelyeknek a fókusztávolsága 440 mm. A mőszer elhelyezésére szolgáló asztal magassága változtatható, és alkalmas nem csak teodolitok vagy mérıállomások, de szintezımőszerek vizsgálatára is ábra. Az OS 3 optikai kollimátor rendszer három darab kollimátorral felszerelve Kollimátor helyett használhatunk végtelen irányzási távolságra állított mőszert is, amelynek szálkeresztjét irányozzuk a vizsgálat végrehajtásakor. Ebben az esetben ügyeljünk arra, hogy a vizsgálandó és a kollimátor szerepét betöltı mőszer fekvıtengelye 1- mm-en belül azonos magasságban legyen. A vizsgálat során többszörös ismétléssel megirányozzuk a kollimátor szálkeresztjének középpontját mind elsı, mind második távcsıállásban. Általában a vizsgálati méréseket 5 10-szeres ismétléssel végezzük. Képezzük ezután az elsı és a második távcsıállásban végzett leolvasások átlagértékeit, amelyek különbségének a fele lesz a kollimáció hiba értéke: k L II L I LI és LII ε (6.60.) Általában a kollimáció hibát számítással vesszük figyelembe mindaddig, amíg értéke nem haladja meg a ± 15 0 szögmásodpercet. Ennél nagyobb kollimáció hiba esetén a mőszert igazíttatni célszerő. Az igazítás során a szállemezt a diafragmagyőrő igazítócsavarjaival a kollimáció hiba értékének megfelelıen a saját síkjában eltolják. Az igazítás helyességét ismételt mérési sorozattal ellenırzik. Az igazítás elfogadható, ha az igazítás utáni maradék kollimáció hiba értéke nem haladja meg a mőszerrel elérhetı szögmérés pontosságának a háromszorosát Az irányvonal vízszintes külpontossági hibája Az irányvonal vízszintes külpontossági hibája a fejezetben leírtak szerint két távcsıállásban végzett méréssel kiküszöbölhetı. Tekintettel arra, hogy a hibahatás az irányzott pont távolságától függ, ezért a külpontosság vizsgálatához ismernünk kell az irányzott pont távolságát. Mivel a külpontossági hiba hatása (6.5.) alapján a távolsággal fordítottan arányos, ezért a két távcsıállásban 10

121 végzett mérések különbségeként akkor tudjuk a külpontosságot megbízhatóan meghatározni, ha annak hatása a mőszer által elérhetı szögmérés pontosságának a többszöröse, legalább 3 5-szöröse. Tételezzük fel, hogy e min 0.05 mm-es külpontosságot már ki szeretnénk mutatni egy 1 másodperces pontosságú mőszer esetén. Összhangban a fentebb leírtakkal, a hibahatásnak legalább 3 5 másodpercnek kell lenni. Tételezzük fel az utóbbi értéket. Ekkor (6.5.)-öt rendezve az ehhez szükséges vizsgálati távolság: t emin 0.05mm ρ' ' ρ' ' 063 mm (6.61.) ε 5' ' vizsg min Látható, hogy a vizsgálati távolság a minimális irányzási távolságtól alig nagyobb, azaz a külpontosság vizsgálatához az irányzandó jelet helyezzük el a minimális irányzási távolságtól néhány dm-rel távolabb, de úgy, hogy zenitszöge 90 legyen azért, hogy a fekvıtengely merılegességi hibájának a hatása ne jelentkezzen. Irányozzuk meg a jelet elsı és második távcsıállásban többszörös ismétléssel, majd képezzük a leolvasások ε k kollimáció hibát, valamint az e külpontossági hiba ε e hatását: L II L I ( ε + ε ) k e LI és LII középértékeit. A kettı különbsége azonban tartalmazza az (6.6.) De mivel az ε k kollimáció hibát már elızıleg a fejezetben leírtak szerint már meghatároztuk, ezért (6.6.)-ben már csak ε e értéke az ismeretlen, amelyet a következıképpen számolhatunk: L II L I ε e ε k (6.63.) Ennek alapján a vízszintes külpontosság értéke (6.5.) alapján számolható: εe ' e ' H t (6.64.) ρ'' A fekvıtengely merılegességi hibájának a vizsgálata A fekvıtengely merılegességi hibájának a hatása (6.4.) alapján a mért irány zenitszögétıl függ, de a hibahatás értéke 90 -os zenitszög mellett nulla. A vizsgálati mérés elrendezésének tervezéséhez induljunk ki a (6.4.)-es összefüggésbıl, de a negatív elıjelet hagyjuk figyelmen kívül. A fekvıtengely ε h merılegességi hibáját akkor tudjuk megbízhatóan kimutatni, ha annak értéke a fejezetben leírt szempontokat figyelembe véve a vízszintes szögmérés pontosságának a 3 5- szöröse, de hatása egy adott ζ zenitszögő irány esetén szintén 3 5-szöröse a fekvıtengely merılegességi hibájának. Azaz a megbízható vizsgálathoz szükséges zenitszöget megtervezhetjük az merılegességi hiba és annak ( ζ) hatása függvényeként, amely a leírtak alapján: ( ζ ) : ε h 3 : 1 vagy ( ) : ε h 5 : 1 ζ Vegyük figyelembe a 3:1 arányt, ekkor ζ arc cot Az 5:1 arány esetén pedig ζ arc cot εh 11

122 A fekvıtengely merılegességi hibájának a meghatározásához tehát meredek irányt kell mérni. Ez viszont azt jelenti, hogy az irányzott pont távolsága rövid, ezért a két távcsıállásban végzett méréseket és azok különbségét mindhárom mértékadó szabályos hiba, azaz az ε k kollimáció hiba, az irányvonal vízszintes külpontossági hibája és a fekvıtengely ε h merılegességi hibája is terheli: ( ) L II L I ε k( ζ ) + ε e + ε h( ζ ) (6.65.) Amibıl: ε h L II L I ( ε + ε ) ( ζ ) k( ζ ) e (6.66.) Ahol: ε h ( ζ) a fekvıtengely merılegességi hibájának zenitszögtıl függı hatása, ε k ( ζ) a kollimáció hiba zenitszögtıl függı hatása. A (6.4.)-et (6.66.)-ba helyettesítve, valamint felhasználva (6.19.)-et és (6.5.)-öt, végeredményben a fekvıtengely merılegességi hibája a következı: ε L II L I ε k e + ρ' ' tan ζ sin ζ t h (6.67.) A fekvıtengely merılegességi hibájának a meghatározásához tehát többszörös ismétléssel mérjünk meg egy meredek, ζ zenitszögő irányt két távcsıállásban, majd képezzük a leolvasások LI és LII középértékeit. Mivel elızetesen a kollimáció hibát és a külpontossági hibát már meghatároztuk, (6.81.)-et alkalmazva a fekvıtengely merılegességi hibája számolható. A meredek irány mérését többféleképpen biztosíthatjuk. A legegyszerőbb, ha a mőszer minimális irányzási távolságától néhány méterrel távolabb egy függıt függesztünk fel, amelyet kis olajedénybe lógatunk a lengés csillapítása érdekében. A függı zsinórja lehetıleg vékony, néhány tizedmilliméter átmérıjő damil legyen. Ennek az elrendezésnek az elınye, hogy a függı mentén több meredek irányt is tudunk mérni, így végeredményben (6.81.) felhasználásával egy átlagos értéket számolunk. Másik lehetıség a ábrán is látható speciális elrendezéső vagy ehhez hasonló kollimátor rendszer. Ilyen eszközök csak laboratóriumokban találhatók Az indexhiba vizsgálata ε e Az indexhiba vizsgálatát a kollimáció hiba vizsgálatánál leírt feltételek mellett végezzük, azaz mind elsı, mind második távcsıállásban többszörös ismétléssel megirányozzuk egy kollimátor vagy egy végtelen irányzási távolságra állított geodéziai távcsı fekvıszálát. Ezután képezzük a mérési sorozatok ζi és ζii átlagát, majd kiszámoljuk az indexhibát a (6.51.)-es összefüggés alapján: ( ζ + ζ ) 360 I II i (6.68.) Tekintettel arra, hogy az indexhiba független a zenitszög értékétıl, ezért az indexhiba vizsgálatára erre vonatkozóan nincsen megkötés. Mivel a vizsgálati feltétel azonos a kollimáció hiba vizsgálatával, ezért az indexhiba vizsgálatát célszerőségi okokból a kollimáció hiba vizsgálatával párhuzamosan végezzük. 1

123 Az irányvonal magassági külpontossági hibájának a vizsgálata A vizsgálati módszer hasonló a vízszintes külpontossági hiba vizsgálatához. Miután a i indexhibát (6.68.) alapján meghatároztuk, a minimális irányzási távolságnál valamivel távolabb két távcsıállásban többszörös ismétléssel megirányzunk egy pontot. Az e v magassági külpontosság következtében fellépı v hibahatás az indexhibával együtt jelentkezik. Szintén ζi és jelölve a két távcsıállásban végzett leolvasások átlagát, (6.46.) alapján írhatjuk, hogy: ζii szimbólumokkal ζi + i + v + ζii + i + v 360 (6.69.) Amibıl: ( ζ + ζ ) 360 I II v i (6.70.) Az irányzott pont t távolságának ismeretében a magassági külpontosság értéke (6.64.)-hez hasonlóan számolható: ' e V' V t (6.71.) ρ'' Az optikai vetítı vizsgálata Az optikai vetítı igazítási hibájának vizsgálatához felhasználjuk a fejezetben leírtakat. eltételezzük, hogy a vetítı az alhidádéval együtt elforgatható. A vizsgálathoz mm osztású réz- vagy bronzlemezt, esetleg fekete-fehér színő mm osztású papír- vagy mőanyaglapot használunk. Elsı lépésben a szokásos mőszermagasságban elvégezzük a mőszer felállítását. Az optikai vetítı látómezejében leolvassuk a szálkör vagy a szálkereszt metszéspontjának a helyzetét az osztásvonalak által meghatározott derékszögő koordinátarendszerben. Ezt követıen az alhidádét 90, 180, majd 70 -kal elforgatjuk, de minden egyes helyzetben elvégezzük az optikai vetítı irányvonalának a leolvasását. x y ábra. Az optikai vetítı vizsgálata az irányvonal négy különbözı helyzetében végzett leolvasása alapján Képezzük ezután a négy érték számtani középértékét és a számtani középértéktıl való távolságeltéréseket. Ha a négy távolságeltérés egyike sem haladja meg a ± 0.5 mm-t, akkor az optikai vetítı igazított, különben az igazítást el kell végezni. Az optikai vetítı diafragma győrőjének igazító csavarjaival. Az igazítás végrehajtásának módja jelentısen függ az optikai vetítı típusától, így a mőszerkezelési könyv ezen fejezetét mindig olvassuk el, mielıtt az igazítást elvégeznénk. Ha szükséges, akkor a vetítıt lehetıleg laboratóriumban igazíttassuk. 13

124 KÉRDÉSEK, ELADATOK 1. Mit nevezünk alapfelületnek?. Mit nevezünk vízszintes szögnek? 3. Mit nevezünk megassági szögnek és zenitszögnek, és hogyan értelmezzük ıket? 4. Mit nevezünk teodolitnak? 5. Ismertesse a következı fogalmakat: vízszintes kör, magassági kör, állótengely, fekvıtengely, szállemez, fekvıszál, állószál, geodéziai távcsı, objektív, okulár, irányvonal, kötıcsavar, irányítócsavar? 6. Melyek a teodolit tengelyfeltételei? 7. Mit nevezünk alhidádénak és melyek a részei? 8. Mit nevezünk parallaxisnak és legrövidebb irányzási távolságnak? 9. Mi a különbség a tengelyes és a kerületi kötés között? 10. Ismertesse a szervomotoros meghajtás elvét! 11. Mi a feladata a mőszertalpnak és a kényszerközpontosítónak? 1. Ismertesse a következı fogalmakat: csöves libella, szelencés libella, tengelylibella, talpaslibella, kötött libella, szabad libella, libella állandó, libella igazítási hiba! 13. Melyek a libella nevezetes pontjai? 14. Melyek a libellával végezhetı mőveletek? 15. Ismertesse az állótengely függılegessé tételének a menetét! 16. Ismertesse a geodéziai célra használt vetítıberendezéseket! 17. Ismertesse a vízszintes körök szerkezetét! 18. oglalja össze az optikai leolvasóberendezések legfontosabb jellemzıit! 19. oglalja össze az elektronikus körleolvasások jellemzıit! 0. Milyen szerkezeti elemei vannak egy mőszerállványnak? 1. Ismertesse a magasssági kör szerkezetét és a kompenzátorokat!. Ismertesse a teodolit felállításának menetét! 3. oglalja össze a vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásait! 4. oglalja össze a magassági szögmérés szabályos hibaforrásait! 5. Hogyan történik a teodolit vizsgálata? 14

125 7. A vízszintes mérések alapmőveletei A vízszintes mérés feladata, hogy a földi pontok vízszintes vetületét egymáshoz viszonyítva meghatározza, a pontokat és a pontokkal jellemzett alakzatokat ábrázolja, továbbá a tervezett létesítmények elıre meghatározott helyét a terepen kijelölje. Az elsı feladatot felmérésnek, a másodikat térképezésnek a harmadikat pedig kitőzésnek nevezzük. A földi pontok a terepen meglévı, illetve kijelölt idomok alakjelzı pontjai. Ezeket a pontokat részletpontoknak nevezzük. A részletpontokat az alappontokra támaszkodva határozzuk meg. A vízszintes mérések tehát két nagy csoportra oszthatóak: alappontok és részletpontok meghatározására. A vízszintes méréseknél elıször a meghatározandó pontokat meg kell jelölni, majd azok relatív helyzetét mérésekkel meg kell határozni. A mérési eredményekbıl számítással határozzuk meg a pontok helyét jellemzı koordinátákat. A vízszintes mérések alapmőveletekbıl tevıdnek össze: pontok jelölése, egyenes vonalak kitőzése, állandó nagyságú szögek kitőzése, távolságok meghatározása, szögek mérése. A pontok jelölésérıl már egy korábbi fejezetben volt szó, így most folytassuk a leírást az egyenes vonalak kitőzésével Egyenes vonalak kitőzése A vízszintes mérések szempontjából a függıleges sík és az egyenes vonal ekvivalens fogalmak. Ha például két függılegesen álló kitőzırudat tüzünk le, akkor azok egy függıleges síkot, de egyben egy egyenest is kijelölnek. Egyenesek kitőzése alatt azt a mőveletet értjük, amelynek során az egyenes két végpontját összekötı egyenes vonalon vagy a végpontok között, vagy valamelyik végpont kihosszabbításán egy vagy több további pontot jelölünk meg. A mőveletnek két alapesete van: a beintés és a beállás Kitőzırúd A legegyszerőbb iránykitőzı eszköz a kitőzırúd, amellyel nemcsak a megirányzandó pontot jelölhetjük meg, hanem kitőzhetjük a két kitőzırúddal már kijelölt egyenes szakasz közbülsı pontjait vagy az egyenes szakasz folytatását. A kitőzırúd 3-6 cm átmérıjő kör vagy háromszög keresztmetszető, -3 m hosszú egyenes fém-vagy impregnált farúd. A kitőzırúd egyik végét kemény heggyel látják el, a másik végét gyakran további kitőzırúd csatlakoztatására alkalmasra készítik. Általában 0 vagy 50 cm közökben váltakozva piros-fehérre, vagy fekete-fehérre festik, hogy messzirıl is látható legyen. A jelzırúdat kétféleképpen használjuk: vagy a földbe szúrva vagy a pont fölé helyezve. Mindkét esetben a rúdnak függılegesnek kell lennie. A jelzırúd függılegesé tételét vagy függıvel végezzük, vagy két egymásra merıleges irányból kell nézni, hogy a rúd függıleges-e, de megoldás lehet a karóállító libella használata is. Kemény talajon vagy betonon elterjedt a csíptetıs állvány vagy a háromlábú vasállvány használata Egyenes vonalak kitőzése beintéssel vagy beállással Beintéskor a kitőzést irányító személy nem tartózkodik a kitőzendı ponton, míg beálláskor a kitőzendı ponton végrehajtott mővelettel ı maga végzi el a pont kitőzését. Az egyenesek kitőzése kisebb pontossággal különféle egyszerő eszközökkel (kitőzırúd, zsineg, huzal, szögprizma), szabatosan pedig teodolittal vagy mérıállomással végezhetı el. 15

126 Beintéskor, miután az egyenes két végpontját egy-egy jelzırúddal megjelöltük, elmegyünk az egyenes valamelyik végpontja mögé mintegy 5-6 méterrel. A beintendı rudat a segédmunkás az egyenes megfelelı helyén függılegesen lógatva tartja.(7.1.ábra) A két végpont érintısíkján át nézve addig intjuk a beintendı rudat, amíg annak széleit fedésbe nem látjuk a két végponttal. A beintést mindig a tılünk legtávolabbi rúddal kell kezdeni ábra A beintés mővelete Ha a kitőzendı pont az egyenes meghosszabbításában van, és nem törekszünk szélsı pontosságra, akkor a feladatot az egyenesbe állással is megoldhatjuk. Ekkor a beállítandó kitőzırudat magunk elé tartva könnyedén lógatjuk a levegıben és addig visszük jobbra vagy balra, amíg a széleit a két végmindig a legközelebb álló pont érintısíkjában nem látjuk.(7.. ábra) A kitőzést egyenesbe állásnál rúddal kell kezdeni. 7..ábra Az egyenesbe állás mővelete Egyenesek közbülsı pontjainak a kitőzését végezhetjük fokozatos közelítéssel is abban az esetben, ha valamilyen ok miatt nem tudunk elmenni a két végpont mögé, vagy terepakadály miatt a beintés nem végezhetı el közvetlenül. Ebben az esetben mindig két rudat kell használni, az egyiket közelítıleg leg az egyenesbe állítva, mögüle nézve a másik kitőzırúd beinthetı a végpont és az elsı rúd egyenesébe, majd a másik végpont és az utólag beintett rúd egyenesébe az elsı ı rúd. Ezt a folyamatot addig kell ismételni, ameddig a kitőzırudak egymás mögül szemlélve egy egyenesbe nem esnek.(7.3. ábra) 16

127 7.3. ábra Egyenes kitőzése fokozatos közelítéssel 7.. Távolságok meghatározása Két pont távolságán a két pont összekötı egyenesén mért hosszúságot értjük. Ezt ferde távolságnak nevezzük. A vízszintes méréseknél a térszíni pontok természetes vetületét az alapfelületen összekötı legrövidebb vonal hosszúságára van szükségünk. Két alapfelületi pontot összekötı végtelen sok felületi görbe közül azt, amelyiknek a két pont közé esı ívhossza a legkisebb, geodéziai vonalnak nevezzük. Két térszíni pont természetes vetületét az alapfelületen összekötı geodéziai vonal hosszúságát a két pont alapfelületi távolságának nevezzük.(7.4.ábra) 7.4.ábra Az alapfelületi távolság értelmezése A terep felszínén végrehajtott méréseink a ferde távolságot eredményezik, amennyiben a mérımőszeren megtettük a távmáráshez szükséges alapbeállításokat (összeadóállandó, szorzóállandó, meteorológiai korrekció). Amennyiben nem állítjuk be ezeket a korrekciókat, úgy terepen csak egy nyers távolságot kapunk, amelyet utólag mauálisan kell redukálnunk a ferde távolság meghatározásához. A ferde távolságból számítással kell levezetnünk az alapfelületi távolságot, a mért hosszakat redukciókkal kell ellátnunk. A ferde távolságból elıször redukálással a vízszintes távolságot, majd az alapfelületi 17

128 távolságot tudjuk számítani. A redukáláshoz ismernünk kell a mért távolság, mint térbeli irány magassági vagy zenitszögét, továbbá az átlagos tengerszint feletti magasságot. A távolságot közvetlen vagy közvetett módszerrel tudjuk számítani. Közvetlennek mondjuk az olyan mérést, amelynél a távolságot ismert hosszúságú mérıeszköznek a vonalon való ismételt végigfektetésével kapjuk meg. Ezt a módszert hosszmérésnek nevezzük, és leggyakrabban használt eszköze a mérıszalag. A geodéziai gyakorlatban kézifogantyús, keretes, 0-50 méter hosszúságú mérıszalagokat alkalmaznak. Szélességük 1-0 mm, vastagságuk mm, anyaguk pedig mőanyag, üvegszál, acél vagy inváracél. Nagyobb pontosságú mérésekhez indokolt az inváracél mérıszalagok használata, ugyanis ezek hıtágulási együtthatója nagyon kedvezı, így az inváracél szalagok hımérséklet okozta hosszváltozása elhanyagolható. Minden mérıszalaghoz általában tartozik egy 11 jelzıszegbıl és két fémkarikából álló készlet. A szalagmérés a mérendı távolság két végpontját összekötı egyenes kitőzésével kezdıdik. Kisebb pontosságú mérésnél kb méterenként kitőzırudakkal, szabatos szalagmérésnél zsinórral vagy teodolittal és legalább a mérıeszköz hosszának megfelelı távolságokban jelöljük meg az egyenes közbülsı pontjait. Kisebb pontosságú mérésnél az egyenes kitőzése után két mérıszemély kihúzza a szalagot. A hátsó a szalag végét közelítıleg a kezdıpontra illeszti és a szalag másik végét az egyenes vonalba beinti. Az elöl lévı a szalag végének lehelyezése elıtt a szalagot egyenesre igazítja (csapatja), hogy az egész hosszában az egyenesbe illeszkedjen. Ezután a hátsó a szalagot pontosan a kezdıpontra illeszti, az elöl lévı megfeszíti és a végvonásnál egy jelzıszeget szúr a talajba. Ezután az elızı lépések szerint addig haladnak elıre, amíg a távolság végpontját el nem érik. Közben az elmaradó jelzıszegeket a hátul lévı ember a nála lévı üres karikára főzi. Amikor a mérendı távolság végpontja az utoljára leszúrt mérıszeghez illesztett mérıszalag hosszán belülre került, leolvassuk a távolság végpontjának a helyét a szalagon.(maradék leolvasás) A teljes szalagfekvések száma megegyezik a hátul lévı ember karikáján lévı szegek és a földben lévı szeg összegével. A mért ferde távolságot megkapjuk, ha a mérıszalag hosszát megszorozzuk a teljes szalagfekvések számával és ezt összevonjuk a maradék leolvasással. Nagyobb pontosság elérése érdekében a távolságot két irányban, oda-vissza szokás megmérni. A hosszúság közvetett megmérését távmérésnek, eszközeit távmérıknek nevezzük. A távmérést az jellemzi, hogy nem magát a keresett távolságot, hanem vele összefüggésben lévı más mennyiséget mérünk meg, és a keresett mennyiséget azután a megmért mennyiséggel fennálló öszszefüggésbıl számítjuk ki. Aszerint, hogy a keresett távolsággal összefüggı milyen mennyiséget mérünk meg, a távmérési eljárásokat két fıcsoportra osztjuk: 1. távmérés geometriai alapon,. távmérés fizikai alapon. A geometriai távmérés alapelve bármely mérési módszer esetén visszavezethetı egy vagy két háromszög megoldására. Tételezzünk fel egy ABP háromszöget, amelynél az AP háromszögoldal hosszát, mint távolságot szeretnénk meghatározni. Ha ismerjük az AB háromszögoldal hosszát, valamint a rajta, mint alaponfekvı két szöget; akkor a vele szemben lévı P pontnál lévı szög, majd ezt követıen az AP oldal hossza számítható. Ezt a módszert korábban gyakrabban használták a mindennapi mérnöki gyakorlatban olyan pontok távolságának meghatározására, amelyekhez közvetlen hosszméréssel nem lehetett hozzáférni. A háromszög megmért oldalát alapvonalnak, vagy más néven bázisnak nevezzük, az alapvonallal szemközti szöget pedig távmérı szögnek, vagy más néven parallaktikus, disztométeres szögnek. Az alapvonal lehet földön kitőzött (rendszerint hosszabb) vagy mőszeren lévı (viszonylag rövid), és helyzete alapján lehet vízszintes vagy függıleges. Belsınek nevezzük, ha egyik végpontja az a pont, amelyrıl a távmérést végezzük (tehát ahol a távmérı mőszer áll), külsınek pedig akkor, 18

129 ha az alapvonal egyik végpontja azonos a meghatározandó távolság másik végpontjával. Ezen az alapon megkülönböztetünk: 1. belsı alapvonalú távmérıket és távmérési eljárásokat,. külsı alapvonalú távmérıket és távmérési eljárásokat. További osztályozási lehetıséget nyújt az a körülmény, ha valamely távmérési eljárásban a távmérıszög állandó, akkor az alapvonal hossza a meghatározandó távolságtól függıen változik, ha pedig az alapvonal hosszát vesszük állandónak, akkor a távmérıszög változó. Eszerint vannak: 1. állandó távmérıszögő, változó hosszú távmérık és távmérési eljárások,. változó távmérıszögő, állandó hosszú alapvonalú távmérık és távmérési eljárások. Az elsı esetben a távmérési eljárás az állandó távmérıszöghöz tartozó alapvonal hosszának a meghatározásából, a második esetben pedig az állandó alapvonalhoz tartozó távmérıszög meghatározásából áll. A gyakorlati méréseknél a háromszög egyik szögét célszerően 90 -nak választották. A fizikai alapú távolságmérésekre elektromágneses hullámokat használunk. A távolság egyik végpontján elhelyezett energiaforrás (adóberendezés) hullámokat bocsát ki, a távolság másik végpontján elhelyezett visszaverıberendezés pedig a hullámokat visszaveri az adó felé. Ha az adót felszerelik olyan berendezéssel is, amelyik alkalmas a hullám által oda-vissza meg tett utat meghatározó valamilyen fizikai jellemzı (például az út megtételéhez szükséges idınek, vagy a kibocsátott és visszaérkezett hullám fáziseltolódásának stb.) mérésére, a berendezés távmérésre alkalmassá válik. A fizikai alapú távmérıkészülékeket a felhasznált elektromágneses hullámok hossza szerint két csoportba sorolhatjuk. Az elsıbe tartoznak a fényhullámokkal mőködı készülékek, vagy más néven elektooptikai távmérık, a másodikba pedig azok, amelyeknél a rádióhullámok cm-es nagyságrendő mikrohullámok. Ez utóbbit rádiótávmérésnek nevezzük. Mára már elvesztették gyakorlati jelentıségüket. Az elektrooptikai távmérés esetén a hullámhossz mikrométer nagyságrendő, az infravörös sugárzás tartományába esik. Két alapvetı típusa alakult ki: 1. idıméréses távmérés: amelynél a mérıjel kétszeres futási idejét mérjük meg,. fázisméréses távmérés: amelynél a kibocsátott és beérkezı mérıjel fázisát (rezgésállapotát) mérjük, majd ezt a ciklusszámot távolsággá alakítjuk. Az elektrooptikai távmérı berendezésekkel, valamint a különbözı távmérési módszerekkel, a mért eredmények redukálásával részletesen fogunk foglalkozni a Geodézia II, és a Geodéziai hálózatok címő tantárgyakban Állandó nagyságú szögek kitőzése Vízszintes szögek kitőzésére minden szögmérı mőszer alkalmas, mégis szerkesztettek olyan egyszerő szerkezető külön mőszereket is, amelyekkel csak egy bizonyos, állandó nagyságú szöget lehet kitőzni. Ezekkel az egyszerő szögkitőzı eszközökkel 90, 180 és 45 -os szögeket lehet kit őzni. A szögkitőzı mőszereket két nagy csoportba lehet osztani: dioptrás és tükrözı mőszerekre. Ezeket az eszközöket ma már csak elvétve alkalmazzák a gyakorlatban, ezért részletes ismertetésüktıl eltekintünk, leírásuk megtalálható bármely régebbi szakirodalmi mőben. Ebben a fejezetben egyedül a tükrös szögkitőzı mőszerek egy fajtájával, a szögprizmák közé tartozó kettıs szögprizmákkal fogunk röviden megismerkedni. A kettıs szögprizmák olyan mőszerek, amelyekkel az egyenes közbülsı pontjainak a kitőzése egyenesbeállással, illetve egy az egyenesen kívül fekvı pont merıleges talppontjának a megkeresése segédrúd nélkül megvalósítható. Kettıs szögprizmát úgy állíthatunk elı, hogy két Bauerfeind-féle háromszögprizmát megfelelı elrendezésben egymás fölé helyezünk. A két prizma nem fekszik közvetlenül egymáson, hanem köz- 19

130 tük kb. 1.5mm-es rés van, amelyen keresztül az egyenesre merıleges irányban nézhetünk. A kettıs szögprizmák Magyarországon legjobban elterjedt fajtája a MOM-féle duplex prizma, melynek semati- kus felépítését és sugármenetét mutatja a 7.4.ábra. 7.4.ábra A MOM-féle duplex prizma sematikus felépítése és sugármenete A szögprizmákat vetítıbotra szerelve használjuk.a prizma látómezeje függıleges irányban három részre osztható.az alsó és felsı ı részben az egyenes két végpontján lévı kitőzırudat lehet szemlélni kicsinyített képként, míg középen valódi nagyságban az egyenesre merılegesen elhelyezett kitőzırúd szemlélhetı.(7.5.ábra) Kettıs szögprizmákkal két mővelet végezhetı el: az egyenesbeállás és a talp- pontkeresés (derékszög kitőzése ennek a mőveletnek az inverze). Egyenesbeállásnál a feladatunk az, hogy a két végpontján kitőzırúddal jelölt egyenesbe a megfelelı helyen beálljunk pl. egy pont talppontjánál. Az egyenesbeállás mőveleténél a vonalra merıı részében látható kicsi- legesen elıre hátra kell mozogni egészen addig, amíg a prizma alsó és felsı nyített kitőzırúd képek fedésbe nem kerülnek. Talppontkeresésnél, már az egyenes mentén kell morészében látható valódi kitőzırúd fedésbe nem kerül a prizma alsó és felsı részében látható kitőzırúd képekkel. zognunk jobbra-balra balra egészen addig, amíg a szögprizma középsı (7.5.ábra) 7.5.ábra Egyenesbeállás és talppontkeresés mővelete 7.4. Derékszögő koordinátamérés A derékszögő koordinátamérés (vagy másképpen ortogonális koordinátamérés) alapelve az, hogy a részletpontok közelében lévı két ismert alappont egyenesén, az ugynevezett mérési vonalon megkeressük a részletpont talppontját,, majd a mérési vonalon megmérjük az egyik ismert ponttól a talppontig terjedı távolságot (aabszcissza), valamint a talpponttól a részletpontig terjedı távolságot(bordináta).(7.6.ábra) 130

131 b (s) V a - T K 7.6.ábra A derékszögő koordinátamérés elve A derékszögő koordinátamérés a mérési vonal kitőzésével kezdıdik, amit a már ismertetett módon végezhetünk el. A mérési vonal kitőzése után ennek egyenesébe fektetünk egy mérıszalagot úgy, hogy kezdıpontja egybeessen a mérési vonal kezdıpontjával. A lefektett szalag mellett a kettıs szögprizmával a mérési iránynak megfelelıen felkeressük azoknak a részletpontoknak a talppontját, amelyek az elsı szalagfekvésen belül esnek. Végre kell hajtanunk az egyenesbe állás és a talppontkeresés mőveletét is, majd meg kell mérnünk a pont abszcissza és ordináta méretét. A mérési eredményeket mérési jegyzeten, mérési vázlaton és tömbrajzon tüntetjük fel (7.3.ábra). Ha az elsı szalagfekvésen belül esı valamennyi részletpont talppontját megkerestük és a szükséges méreteket feljegyeztük, a mérıeszközt a szalagmérés szabályainak megfelelıen visszük tovább. Amikor a szalaggal a mérési vonal végpontjához érünk, itt leolvassuk az un. végméretet. Szükség esetén a bemérést a mérési vonal meghosszabbításában is elvégezhetjük, de a meghosszabbítás legfeljebb a mérési vonal 1/3-a lehet. A meghosszabbításon végzett leolvasásokat is a kezdıponttól kiindulva folytatólagosan végezzük. A részletpontokat mindig a legközelebbi mérési vonalról, tehát minnél rövidebb ordinátával kell megmérni. Ugyanannak a tereptárgynak a pontjait lehetıleg ugyanarról a mérési vonalról kell lemérni, ellenörzı mérésekre azonban szükség van. Az egyenes vonalba esı részletpontok beméréséhez csak az egyenes kezdı és végpontját szabad derékszögő koordinátaméréssel bemérni, az egyenesben lévı többi pontot pedig ezek között mérjük be folytatólagos méréssel. Ezzel biztosítjuk azt, hogy ami egyenes a valóságban, az egyenes marad a térképen is. Épületeknek mindig a hoszszabbik oldalát kell megmérnünk. Épületeknél mindig csak annyi pontot szabad megmérni, amely a tárgy képének a megszerkesztéséhez okvetlenül szükséges. Ha az épületen több ki-beugrás van, akkor csak az uralkodó falsík végpontjait mérjük be, a többi pontot pedig ezen pontok között határozzuk meg. öldfelszín feletti pontokat le kell vetíteni a földfelszínre, és a levetített ponthelyeket kell bemérni. Íves vonalak esetében annyi pontot kell megmérni, hogy a szomszédos pontokat egyenes vonallal összekötve az ívet a megkívánt pontossággal ábrázolni tudjuk. A derékszögő koordinátamérés számítása lényegében síkbeli hasonlósági transzformáció. A forrás-rendszer egy helyi rendszer (a,b), a cél-rendszer pedig az országos koordináta-rendszer (Y,X). A síkbeli hasonlósági transzformáció alapképleteit ismertnek tekintjük az 5.4 alfejezet alapján. 131

132 7.7.ábra A derékszögő koordinátamérés számítása A 7.7. ábrán K jelöli a mérési vonal kezdıpontját, V pedig a végpontot, mely pontok az országos koordináta rendszerben Y és X koordinátával adottak. A P pont abszcissza és ordináta mérete a és b. Az YX koordinátatengelyek a geodéziai koordinátarendszert szemléltetik. A feladat az, hogy határozzuk meg a P pont Y és X koordinátáját, ha terepen mértük a-t és b-t. A síkbeli hasonlósági transzformáció paraméterei: eltolás (Y K, X K ), elforgatás (α) valamint egy s méretaránytényezı. Az s értelmezését a 7.8. ábra mutatja. A terepen mért végméret és a koordinátákból számított végméret nem egyeznek meg egymással, mert a mérést mérési hibák, a koordinátákat pedig kerethibák terhelik. A kettı hányadosa adja a méretarány tényezıt. A számításhoz a már ismert mátrixos megoldást írjuk fel: A forgatómátrix elemei 7.8.ábra A méretaránytényezı értelmezése cosα R sinα sinα cos cosα sin ( 90 δ ) sin( 90 δ ) sinδ cosδ ( 90 δ ) cos( 90 δ ) cosδ sinδ (7.1) 13

133 133 A transzformáció alapképlete (7..) Kifejtve (7.3) (7.4) Összefoglalva (7.5) Méretaránytényezı számítása paraméterekbıl (7.6) Derékszögő koordináta mérés végrehajtásakor nagy hangsúlyt kell fektetnünk az abszcissza és az ordináta méretek elıjelére. Ha a mérési vonal kezdıpontjára képzeljük magunkat és a végpont felé nézünk, akkor a végpont felé értelmezzük az abszcissza méreteket pozitív elıjellel, a hátunk mögött pedig negatív elıjellel. Az ordináta méretek jobb kéz felé negatívak, bal kéz felé pedig pozitívak. (7.9.ábra) δ δ δ δ + b a sin cos cos sin s X Y X Y K K P P b m a r Y b t X X a t Y Y Y b t X X t t a t Y Y t t Y b cos s a sin s Y Y K m K V m K V K K V m K V m K K P δ δ + b r a m X b t Y Y a t X X X b t Y Y t t a t X X t t X b s a s X X K m K V m K V K K V m K V m K K P δ cosδ sin + b a r m m r X Y X Y K K P P ( ) ( ) δ δ δ δ cos sin cos sin s s s m r s 7.9.ábra Az abszcissza és ordináta elıjelek értelmezése

134 134 A gyakorlati mérések során elıfordul, hogy nem tudunk mérési vonalat létesíteni közvetlenül a K és V országos koordinátákkal adott pontok között. Ebben az esetben a mérési vonalat eltolva kell felvennünk. Ezt a vonalat nevezzük szabad vonalnak. Ebben az esetben a kezdı-és végpont kijelölése tetszıleges lehet, azonban a részletpontok abszcissza és ordináta méretein kívül a K és V pont adatait is meg kell mérnünk. A számítás hasonló az egyszerő derékszögő koordinátaméréshez, és a ábra és az alábbi képletek magyarázzák: (7.7) (7.8) (7.9) (7.10) ( ) ( ) (7.11) (7.1) (7.13 a 7.11-bıl) 7.13-at 7.1-be helyettesítve (7.14 a 7.1-bıl) A szabad mérési vonal értelmezése V V X V V V Y V K K X K K K Y K b r a m T X b m a r T Y b r a m T X b m a r T Y ( ) ( ) ( ) ( ) K V K V K V K V K V K V b b r a a m X X b b m a a r Y Y + b r a m X b m a r Y + b Y a r m b b r a Y a r b r a b Y a r X + + ( ) a Y b a r b r a Y a r b X + + b a b X a Y r + +

135 7.14-et a 7.13-ba helyettesítve Y a + X b Y a + X b a a Y Y m a + b a + b b b Y a + X b a Y Y a + X b a Y b b b Y a ( a + b ) + X b a Y a Y b ( a + b ) ( a + b ) b a + b X a Y b ( a + b ) A gyakorlatban számítjuk minden egyes pont kezdıpontra vonatkozó abszcissza és ordináta különbségét, majd az r és m paramétereket, valamint a mérési vonal hosszát a mérési eredményekbıl és a koordinátákból (7.11 ábra) A szabad mérési vonal gyakorlati számítása 7.5. Derékszögő kitőzési méretek meghatározása A kitőzés feladata a tervezés eredményeként kapott részletpontok terepen való kijelölése. A kitőzések sokféle megoldása közül ebben a fejezetrészben a legegyszerőbb kitőzési módszert, az ortogonális kitőzést tárgyaljuk. Korlátozott pontossága és a ma már rendelkezésünkre álló jobb mérıfelszerelés miatt jelentıségébıl sokat veszített, háttérbe szorult. Egy pont kitőzése a terepen már megjelölt pontokhoz viszonyított helymeghatározók, un. kitőzési méretek alapján történik. Az egyes pontokat a terepen megjelölt pontokhoz viszonyítva vagy derékszögő adatokkal vagy poláris adatokkal (irányszög és távolság) tőzzük ki. Egy pont derékszögő adatokkal való kitőzése lényegében egy pont derékszögő koordinátaméréssel történı bemérésének fordított mővelete. Ebben az esetben a transzformáció forrás-rendszere az országos rendszer (Y,X), cél-rendszere pedig a helyi rendszer (a,b). Minden kitőzendı pontnak adottak tehát az országos rendszerbeli koordinátái, és keressük a helyi rendszerbeli koordinátáikat. A kitőzendı pont talppontjánál (tehát az abszcissza méretnél) be kell állni az egyenesbe, majd be kell inteni a kitőzırudat a merılegesbe. Ezután a kitőzırúd mellé kell fektetni egy szalagot, és azon kitőzni az ordináta méretet. 135

136 A 7.1-ik ábra és az alábbi képletek alapján tekintsük át az ortogonális kitőzési méretek számításának menetét: 7.1. Ortogonális kitőzési méretek számítása A KV vonalnak csak számított hossza van, a mért hossza a kitőzés szempontjából nem lényeges, ezért s1, tehát YP X P Y X a Y X P P Y K X K K K a sinδ b cosδ b sinδ + s cosδ sinδ cosδ cosδ Y sinδ X cosδ a sinδ b cosδ a sinδ b P P Y K X ( YP YK ) sinδ + ( X P X K ) cos ( Y Y ) cos+ ( X X ) sinδ P K P K K δ (7.15) (7.16) 7.6. A vízszintes szögmérés módszerei A vízszintes szögmérés feladata az álláspontból kiinduló irányok egymáshoz viszonyított (relatív) helyzetének a meghatározása. A vízszintes szögmérés végrehajtására alapvetıen két módszer alakult ki. Ezek az - iránymérés, - tulajdonképpeni szögmérés Az iránymérés Iránymérés esetén a mérendı irányokat iránysorozatba foglaljuk. A mérés elıkészítéseként az irányzandó pontokat ideiglenesen megjelöljük, irányzás céljából láthatóvá tesszük. Erre a célra leggyakrabban mőszerállványra helyezett prizmát, jeltáblát, vagy prizmát jeltáblával kiegészítve alkalmazunk. Ha a növényzet a jelet takarná, akkor a középrészre egy irányzó toldatot szerelünk fel, amelynek a hossza általában méter, így a jeltáblát és a prizmát a toldat végére erısítjük (

137 ábra). Ha az iránysorozatba magaspontokat is belefoglalunk, akkor az elıkészítés során a pontleírást felhasználva (4.5. fejezet) gyızıdjünk meg a központ helyérıl ábra. Prizma irányzó toldatra helyezve A mőszer felállítása során az álláspont körül a talajt tisztítsuk meg, a főcsomókat a fémsaruk helyén távolítsuk el. A mőszer felállítását követıen ellenırizzük a pontok láthatóságát azért, hogy a keresésükkel a tényleges mérés folyamán felesleges idıt ne töltsünk. A szálkereszt képét a távcsı elıkészítéseként állítsuk élesre (7.14. ábra). Ellenırizzük az objektív és az okulár tisztaságát, szükség esetén a mőszerdobozban található törlıkendıvel tisztítsuk meg ıket. A pontok láthatósága alapján döntsük el, melyiket választjuk kezdıiránynak. Ez a mérendı pontok közül a legjobban látható, és legegyértelmőbben irányozható legyen. A mőszer felállítását és bekapcsolását követıen adjuk meg a mérési jegyzıkönyv-állomány nevét, ahová a mérési adatokat és az egyéb kiegészítı információkat rögzítjük. A mőszerekben található beépített programoktól és a felhasználói beállításoktól függıen végezzük el az álláspont adatainak a rögzítését. Adjuk meg az álláspont számát, jelölését, az észlelést végzı személy nevét vagy egyéb, a késıbbiekben egyértelmően az észlelıre utaló azonosítót. Egyes mőszerek lehetıvé teszik az idıjárásra vonatkozó megjegyzések bevitelét. Ilyen például a napos, szélcsendes, vagy borult enyhén szeles idıjárás, stb ábra. Az okulár elıkészítése: a szálkereszt beállítása az éleslátás távolságának megfelelıen Az adott feladat mőszaki elıírásaitól vagy egyéb követelményeinek megfelelıen az iránymérést végezhetjük egy vagy több fordulóban vagy távcsıállásban. A fordulóban történı mérést a mai gyakorlatban ritkán alkalmazzuk. Ennek fı oka, hogy a mértékadó szabályos hibák a méréssel valós idıben, számítással figyelembe vehetık. Ha azonban a szabályos hibákra vonatkozóan nem rendelkezünk friss információval, akkor a méréseket fordulóban végezzük. A forduló mérését elsı távcsıállásban kezdjük. Elsı távcsıállásról akkor beszélünk, ha a távcsövet az okulár felıl szemlélve a magassági kör a balkéz felıl helyezkedik el. Egyes mőszerek a kijelzın az adott távcsıállást római számokkal jelenítik meg, vagy esetleg más szöveges/képi formátumban. Az elsı távcsıállást a kezdıirány mérésével kezdjük, majd sorban irányozzuk a többi pontot az óramutató járásával egyezı 137

138 értelemben. Az elsı távcsıállás befejezéseként a mőszerállvány elcsavarodásának ellenırzése érdekében a kezdıirányt ismételten mérjük, azaz horizontzárást végzünk. Ezután a távcsövet áthajtjuk és átforgatjuk, majd a kezdıirány ismételt mérésével elkezdjük a pontokat a második távcsıállásban az óramutató járásával ellentétes irányban irányozni. A második távcsıállást is horizontzárással fejezzük be, azaz a kezdıirányt ismételten megmérjük. Az egy fordulóban végzett iránysorozat-mérés végrehajtását a ábra szemlélteti. kezdıirány I. II ábra. Az iránysorozat mérése egy fordulóban A pontok irányzását két lépésben hajtjuk végre. Elıször az irányzó kollimátorral közelítı irányzást (durva irányzást) végzünk, amelynek eredményeként a távcsı látómezejében megjelenik a pont képe. Ezt követıen a kötıcsavarokkal rögzítjük az alhidádét és a távcsövet. Szervomotoros mőszerek esetén ez a mővelet természetesen elmarad. A parallaxis csavar forgatásával megszüntetjük a parallaxist, majd a paránycsavarok segítségével elvégezzük a pontos irányzást. Ha csak vízszintes értelmő helymeghatározást végzünk, akkor az állószálat a pont képével hozzuk fedésbe (7.16. ábra). A jel képének méretétıl függıen a pontosabb irányzás érdekében gyakran úgynevezett biszektoros irányzást végzünk a pont képének kettıs szállal történı közrefogásával ábra. A vízszintes értelmő irányzás végrehajtásának módszerei A 7.17 ábrán látunk példát jeltáblával kiegészített prizma, valamint magaspontok helyes irányzásának végrehajtására ábra. Irányzás végrehajtása: prizma jeltáblával, valamint magaspontok vízszintes értelmő irányzása 138

139 7.18. ábra. Kémény bal-jobb irányzása Kémények esetén az irányzást a kémény két szélén végezzük, úgynevezett bal-jobb irányzást végrehajtva (7.18. ábra). Az irányok mérésekor ügyeljünk az irányzott pont adatainak helyes bevitelére. Ha lehetıség van rá, akkor az irányzandó pontra vonatkozó kiegészítı adatokat a durva irányzás végrehajtása elıtt adjuk meg. Egyes mőszerek programjai azonban fordítva gondolkodnak, a kiegészítı adatokat a leolvasás végrehajtására szolgáló utasítást követıen kell bevinni. Tipikusan ilyen megoldást találunk a Sokkia mőszereknél. A kiegészítı adatok bevitelét és a leolvasás végrehajtását követı utasítás után ne feledkezzünk meg az adatok rögzítésérıl. Egyes mőszereknél a leolvasás elvégzése és rögzítése egyetlen funkciógomb megnyomásával történik (pl. Leica mőszer), de ez gyakran függ a felhasználó által elvégzett beállításoktól is (pl. Topcon). Az álláspont mérésének befejezését követıen ellenırizzük az adatrögzítés helyességét. Tekintsük meg a rögzített adatokat, elsısorban a pontok azonosítóira vonatkozó adatokat. Ezt elegendı általában valamilyen listamővelettel elvégezni. Szintén a mérés befejeztével ellenırizzük a két távcsıállásban végzett leolvasások különbségeit. Elsısorban a kollimáció hiba következtében egyes irányokra vonatkozóan a két távcsıállás leolvasásainak különbségének közel azonos értékőnek kell lennie. A mérés elfogadható, ha a leolvasások különbségének átlagtól való eltérésének abszolút értéke nem haladja meg a mőszerrel elérhetı és az adott feladatra vonatkozó vízszintes szögmérés pontosságának a négyszeresét. A horizontzárás ellenırzésére vonatkozóan szintén ez a hibahatár az érvényes. Például a Zeiss Theo 010A jelő mőszer leolvasóképességese 1, így a hibahatár a kollimációhibák abszolút értékének átlagtól való eltérésére illetve a horizontzárásra a hibahatár 4. Ha a szabályos hibákat valós idıben számítással vesszük figyelembe, a mőszerállvány elcsavarodásának ellenırzésére vonatkozóan horizontzárást kell végezni. A horizontzárás szükségességét a mérendı irányok száma is meghatározza. Horizontzárást általában csak négynél több irány mérése esetén végzünk. Megfelelı elıkészítés esetén egy pont mérése, beleértve az irányzást, az adatbevitelt és az adatrögzítést, 1.5 perc, átlagos mérési körülményeket figyelembe véve. A mérés idıszükséglete egyben meghatározza az iránysorozatba foglalható irányok számát. Egy forduló mérése lehetıleg ne tartson tovább 30 percnél, ami azt jelenti, hogy 8-10 iránynál többet ne foglaljunk egyetlen iránysorozatba. Ha a mérendı irányok száma az említett értéknél több, akkor csonkasorozatot alakítunk ki. sonkasorozat esetén az irányokat szektorokba foglaljuk, amelyeknek közös szárait minden csonkasorozatban megmérünk. A csonkasorozatok egy fordulóban történı mérésének menetét szemlélteti a ábra két szektor esetén. A mai földi alappontmeghatározási gyakorlatban csonkasorozatokban történı mérést nem alkalmazunk. Alkalmazására elsısorban speciális mérnökgeodéziai feladatok esetében kerülhet sor. 139

140 . szektor 1. szektor ábra. sonkasorozat kialakítása Egyes feladatok pontossági követelményei több fordulóban végzett iránymérés végrehajtását igénylik. Többfordulós mérés esetén a pontraállást minden forduló megkezdése elıtt meg kell ismételni a pontraállás hibájának véletlen jellegővé tétele érdekében. Ennek megfelelıen akkor járnánk el helyesen, ha ugyanezt az irányzandó pontoknál elhelyezett jelekre is elvégeznénk. Ettıl a gyakorlatban ennek idıigényessége miatt el szoktak tekinteni, de a pontraállás helyességét minden egyes forduló megkezdése elıtt ellenırizzük. Többfordulós mérés esetén a kezdıirány leolvasására a könnyebb ellenırizhetıség érdekében minden egyes forduló megkezdése elıtt egy kerek értéket, általában 0 00' 00'' vagy attól néhány másodperccel nagyobb értéket állítanak be. ontos, hogy minden megkezdett forduló elıtt az álláspont adatait ismételten rögzítsük. Ha a már említett mértékadó szabályos hibákat valós idıben számítással vesszük figyelembe, akkor egyfordulós mérés helyett csak egy távcsıállásban végezzük a mérést. A mérések végrehajtására vonatkozó szabályok egyébként ugyanazok, mint a fordulóban történı méréskor. Az irányokat a kezdıirány mérését követıen szintén az óramutató járásával egyezı irányban mérjük, és szintén végzünk horizontzárást is. Több fordulóban történı mérés helyett több, egy távcsıállásban végrehajtott mérést végzünk, de minden egyes sorozat megkezdése elıtt az álláspontra vonatkozó adatok rögzítését el kell végezni, valamint ellenırizni kell a pontraállás és az állótengely függılegességének a helyességét is Az egyszerő szögmérés Ebben az esetben mindig csak két irányt vonunk be a mérésbe, függetlenül attól, hogy az állásponton a mérendı irányok száma kettınél több is lehet. A mérés elıkészítése megegyezik az iránymérésnél leírtakéval. Az egyszerő szögmérés (más néven tulajdonképpeni szögmérés) esetén az egy fordulóban történı mérést a következıképpen végezzük. Létesítünk egy új, vagy választunk egy meglévı jegyzıkönyv-állományt, és rögzítjük az álláspontra vonatkozó adatokat. Miután az elıkészítés során eldöntöttük, mi legyen a mérendı szög bal szára és jobb szára, elsı távcsıállásban megirányozzuk a választott bal szárhoz tartozó pontot és rögzítjük a mérési eredményeket. Ezt követıen elsı távcsıállásban mérjük a jobb szárhoz tartozó pontot, rögzítjük az adatokat, majd második távcsıállásban ismét a jobb szögszárat, végül pedig a bal szögszárhoz tartozó pontot mérjük. Szakmatörténeti okokból megemlítjük az egyszerő szögmérés alkalmazásának azt az esetét, amikor egy állásponton n számú irány mérése volt a feladat, amelyet minden kombinációban végzett szögméréssel oldottak meg (7.0.ábra). A minden kombinációban végzett szögmérés esetén az n számú irány között n (n-1)/ számú szög mérhetı a tulajdonképpeni szögmérés módszerével úgy, hogy a kiegészítı szögeket nem mérjük. A minden kombinációban végzett szögmérést a mai földi vízszintes 140

141 helymeghatározásban már nem alkalmazzuk. Korábban az úgynevezett felsırendő háromszögelésben alkalmazták ennek a módszernek egy továbbfejlesztett változatát, amelyet Schreiber-féle minden kombinációban végzett szögmérésnek neveztek ábra. Minden kombinációban végzett szögmérés esete Poláris mérés Ma a poláris részletmérés a részletmérés egyik leggyakoribb módszere, mivel ennek korszerő eszközei a mérıállomások széles körben elterjedtek. A mérés pontossága centiméteres kategóriába esik, a mérés hatótávolsága több száz méter, így jó kilátású helyrıl nagy terület felmérhetı. Poláris mérés alatt azt a mérési módszert értjük, amikor az új pontokat poláris koordinátáikkal (δ, t) határozzuk meg. A mérés úgy történik, hogy egy mérıállomással felállunk egy adott koordinátájú ponton és mérünk tájékozó irányokat (adott koordinátájú pontról adott koordinátájú pontra menı irányokat) azért, hogy a limbusz kört tájékozni tudjuk. Ezzel lényegében meghatározzuk a limbuszkör nulla osztásvonásának az északi iránnyal bezárt szögét. Ezután minden egyes részletpontra irányt, távolságot és zenitszöget mérünk. Ezekbıl az adatokból a pont két vízszintes koordinátája és a pont magassága is számítható. A mérés során az adatokat a mőszer adattárolójába rögzítjük. A rögzítendı adatokat két fıbb csoportba oszthatjuk: az adminisztrációs adatok és a mérési eredmények adatai. Az adminisztrációs adatok közül legfontosabbak a munkaterület nevének megadása, mőszer száma, észlelı neve, mérés idıpontja. Ide tartoznak még a meteorológiai adatok, úgy, mint hımérséklet és légnyomás. Leíró adatnak kell még tekintenünk az álláspont számát és jellegét, azaz az állandósítás módját, a mőszermagasságot, a részletpontok számát és jellegét, valamint a jelmagasságot. A rögzítendı adatok másik csoportja közvetlenül a méréshez tartozik. Minden egyes bemért pontnál rögzítjük az irányértéket, zenitszöget és ferde távolságot. Ezek az adatok lehetıvé teszik majd, hogy a következı fejezetben megismert poláris koordinátamérés számításával minden egyes bemért pontnak koordinátát adjunk A magassági szögmérés módszerei A magassági szögmérést a mai gyakorlatban a vízszintes szögméréssel egyidejőleg hajtjuk végre. Ennek az oka, hogy csak magasságkülönbség-meghatározást ma elektronikus teodolitokkal és mérıállomásokkal nem végzünk, hanem azt mindig kombináljuk a vízszintes helymeghatározással. Ennek megfelelıen a pont irányzását a ábra jobb oldali, valamint a ábra bal oldali képén látottaknak megfelelıen végezzük el. Ha a méréseket egy fordulóban végezzük, akkor a pontok irányzási sorrendjére a fejezetben leírtak a mérvadók. Ennek a magassági szögmérésre vonatkozó hátránya az, hogy a refrakciós viszonyok egy pont két távcsıállásban történı mérése között jelentısen változhatnak. igyelembe véve, hogy a magassági szögmérésen alapuló magasságkülönbség- 141

142 meghatározást ma már elsısorban olyan pontok meghatározására alkalmazzuk, ahol az irányzási távolság néhány száz méter, így a refrakciós viszonyok megváltozása a pontosságot jelentısen nem befolyásolja. Ha az indexhiba értékét elızetesen tároltuk és számítással figyelembe vesszük, akkor a méréseket csak egy távcsıállásban végezzük. A magasságkülönbségek meghatározása érdekében magassági szögméréskor mérni kell a mőszermagasságot és a jelmagasságot. Abban az esetben, ha a refrakció hatását számítással akarjuk figyelembe venni, akkor a törésmutató és annak változásához mérnünk kell a hımérsékletet, a légnyomást és a fizikai modelltıl függıen a páranyomás értékét is A vízszintes és magassági szögmérés eredményeinek elızetes feldolgozása A vízszintes és a magassági szögmérés eredményeinek elızetes feldolgozásán az irányérték és a zenitszög számítását értjük. A feldolgozás lehet valós idejő vagy utólagos. Valós idejő feldolgozásról akkor beszélünk, amikor a 6.5 és a 6.6. fejezetben bemutatott szabályos hibákat a mérések során számítással vesszük figyelembe, így a rögzített adatok már a megfelelı javításokkal el vannak látva. Utólagos feldolgozás során a mérési eredmények számítógépre történı kiolvasását követıen számoljuk az irányértéket és a zenitszöget. ordulóban végzett méréskor az irányértéket a két távcsıállás számtani középértékeként, a zenitszöget pedig a (6.5.)-es összefüggés alapján számoljuk. Tekintettel arra, hogy minden egyes mőszergyártónak más és más az adatformátuma, ezért a kiolvasott adatokat mőszertıl független, mindenki számára értelmezhetı formátumba kell konvertálni és megjeleníteni. A nyomtatott formátumú jegyzıkönyvnek vagy jegyzıkönyv-állománynak tartalmaznia kell minden, a mérésre vonatkozó és a további feldolgozás alapjául szolgáló adatot. Ezek a következık: mérés helye és ideje, az észlelést végzı személy neve, idıjárási körülményekre vonatkozó utalások, álláspont száma, jelölése, valamint a mőszermagasság értéke, irányzott pont száma, jelölése, valamint a jelmagasság értéke, vízszintes és magassági körleolvasások, szabályos hibák figyelembevételére utaló megjegyzések. Két távcsıállásban történı mérés során a két távcsıállás mérési eredményeit egymás mellett tüntetjük fel, és nem a mérés végrehajtásának megfelelıen egymás alá felsorolva. Az irányérték számítása elıtt kiszámoljuk a vízszintes körleolvasások elsı és második távcsıállásbeli különbségeit (kollimáció hiba), valamint a magassági körleolvasások összegét és 360 -tól való eltérésüket (indexhiba) és azok átlagát. Az átlagtól való eltérés abszolút értékben nem haladhatja meg a vízszintes és a magassági szögmérés adott mérésre vonatkozó pontosságának négyszeresét. Több fordulóban végzett mérés esetén kiszámoljuk a nullára forgatott irányértékeket, amelyet nullára forgatásnak is szokás nevezni. A nullára forgatás az egyes irányok kezdıiránnyal bezárt szögének a számítását jelenti, azaz a kezdıirány irányértékét levonjuk a többi mért irány irányértékébıl. A nullára forgatást minden egyes fordulóra el kell végezni. Egyazon iránysorozat többszöri, egy távcsıállásban történı mérésekor szintén kiszámoljuk a nullára forgatott irányértékeket. Abban az esetben, ha a kezdıirány irányértékére az iránysorozat ismételt mérése elıtt mindig egy adott és ugyanazt az értéket adjuk meg, akkor a nullára forgatás számításától el szoktak tekinteni. Többfordulós, vagy több egy távcsıállásban történı mérés során végleges irányértéknek az egyes fordulók irányértékeinek a számtani középértékét fogadjuk el. A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy a nullára 14

143 forgatást, valamint a csonkasorozatok klasszikus összeforgatását a mai gyakorlatban elhagyják akkor, ha a méréseket a késıbb tanulandó kiegyenlítı számítások módszereivel dolgozzák fel Mérési jegyzet, mérési vázlat, tömbrajz A terepi részletmérés eredményét a könnyebb szemlélhetıség érdekében rajzi munkarészeken tüntetjük fel. Kint a terepen nehéz lenne méretarány helyes rajzot készíteni, ezért a bemérés végrehajtásakor mérési jegyzetet (manuálét) készítünk. Az irodában a mérési jegyzetbıl egy méretarányhelyes mérési vázlatot vagy tömbrajzot szerkesztünk. Ebben a fejezetben a mérési jegyzet, mérési vázlat és a tömbrajz szerkesztésének szabályait tekintjük át Mérési jegyzet A terepi részletmérések eredményeit mérési jegyzeten, vagy másképpen manuálén ábrázoljuk. A helyzeti vagy másnéven geometriai adatok győjtése mellett általában leíró, attribútum adatok győjtésével is foglalkozunk. A mérési jegyzetet ceruzával, szabadkézzel, alakhelyesen kell megrajzolni. Készítésénél arra kell törekedni, hogy a tereptárgyak alakhelyes ábrázolása mellett a rájuk vonatkozó mérési eredmények hovatartozását minden kétséget kizáróan meg lehessen állapítani. A következı felsorolásban röviden összefoglaljuk a mérési jegyzet legfontosabb tulajdonságait: Általában terepen végzett felmérések adataiból készül, Helyzeti (geometriai) adatok meghatározása: felmérések mérıállomással, felmérések GPS-vevıkkel, fotogrammetriai felmérések, ortogonális felmérések, meglévı digitális térképek átvétele, Attribútum (leíró) adatok győjtése: terepi adatgyőjtés, meglévı leíró adatokat tartalmazó adatbázisok átvétele. Tulajdonságai: ceruzával, alakhelyesen, szabadkézzel rajzoljuk, tartalmazza a község nevét, északi irányt, mérési jegyzet azonosítóját, idıpontot, felmérési egységenként össze kell főzni, az eredeti mérési jegyzetet mindenkor meg kell ırizni! Mérési vázlat A belterületek (települések állandó lakhatás céljára szolgáló részei) és külterületek (települések mezı-vagy erdıgazdasági mővelés alatt álló részei) felmérésekor a manuálékról olyan egységes vázlatot készítünk, amely a felmért területet a térkép szelvénybeosztásának megfelelıen ábrázolja. Ezt a rajzi munkarészt nevezzük mérési vázlatnak. A mérési vázlatok általában a térkép méretarányában készülnek (1:1000, 1:000,1:4000), azonban olyan felmérendı területeken, ahol sok mérendı részletpont van, készülhet a térkép méretarányának a többszörösében is. (1:500, 1:50) A mérési vázlat a mérés módszerétıl függıen poláris vagy ortogonális részletmérések eredményeit tartalmazza. Ezen mérési eredmények ábrázolásának hosszú idı óta kialakult hagyományai vannak, amelyek ismerete és betartása nagyon fontos a szak- 143

144 mai hitelesség szempontjából. A következı felsorolásban röviden összefoglaljuk a mérési vázlatok legfontosabb tulajdonságait, továbbá az ortogonális és poláris részletmérés ábrázolásának szabályait ( ábra). Tulajdonságai:,érési vázlatot a terepen készült mérési jegyzetbıl szerkeszthetjük, esetleg a mérési vázlat közvetlen a terepen is elkészülhet, legyen áttekinthetı, világos, a térképezés és bemérés minden mozzanata követhetı legyen, készülhet tussal vagy számítógépes térképezı szoftverrel, ételemzavaró, téves térképezésre vezetı elrajzolásokat nem szabad elkövetni, szelvényhatárral párhuzamosan készül, számozása is a szelvényszámhoz kötıdik, be kell jegyezni a mővelési ágakat pl. kert, rét stb., lakóházakba be kell írni a házszámot, a lakóház és gazdasági épület elválasztó vonalát mérni és ábrázolni kell, meg kell írni az épületek rendeltetését, vasúti vonalaknak a középvonala ábrázolandó, vonalas létesítmények feliratait és a helyrajziszámokat a hossztengellyel párhuzamosan kell megírni, kelet-nyugati szelvényvonallal párhuzamosan kell megírni: dőlık, puszták, majorok, középületek, gyárak, romok, erdık, hegyek, völgyek nevét, a vízfolyások irányát nyillal kell megjelölni, település vagy országhatárnál meg kell írni a csatlakozó település vagy ország nevét, minden szelvényre: felül középen a méretarányt, jobboldalon a község nevét továbbá a térképszelvény számát, több csatlakozó mérési vázlatról célszerő átnézeti vázlatot készíteni, az ábrázolt területrész kerületvonalának és a csatlakozó mérési vázlat számainak feltüntetésével. Részletes szabályok-ortogonális felmérésnél mérés kezdıpontját és irányát nyillal kell megjelölni, az ordinátát jelzı pontozott vonal elé a részletponttal egyezı oldalra merılegességet jelzı jelet kell tenni, a végméretet zárójelbe kell tenni, jól olvasható számokat kell használni, értékük és hovatartozások kétséget kizáróan megállapítható legyen, a méretek a mérési vázlat elfordítása nélkül olvashatóak legyenek, az alappontok számát a keleti-nyugati szelvényvonallal párhuzamosan kell megírni, abszcissza méretet a folytatólagos mérést jelzı jellel a merılegességet jelzı jel elé kell írni a mérési vonallal párhuzamosan, sok abszcissza méret esetén egymás fölött kell ıket megírni, 144

145 ha kihosszabbításon mérünk, akkor a végméret utáni utolsó méretet szögletes zárójelbe kell tenni, kihosszabbító jel használata, az ordináta méretet a mérési vonalra merılegesen, a merılegességi jellel azonos oldalra, lehetıleg a vonal közepére kell elhelyezni, minden felirat dél-délnyugatról olvasható legyen. Részletes szabályok-poláris felmérésnél 7.1. Mérési vázlat (részlet) Az álláspont az állandósításnak megfelelı jelkulccsal legyen feltüntetve. A bemért poláris részletpontokra poláris mérés irányát jelölı jelkulcs (15 mm) kerül, mindig az álláspont felé fordulva; a részletpontok számát meg kell írni. 7..Mérési vázlat (részlet) 145

146 Tömbrajz Városi belterületek vagy városias jellegő telepéülések belterületeinek felmérésérıl tömbrajzot szokás készíteni. A tömbrajz szerkesztési szabályai megegyeznek a mérési vázlat szerkesztési sza- bályaival, azonban míg a mérési vázlatot a térképszelvény határolja, addig a tömbrajzot az úgyneve- zett tömbhatár. Tömböknek nevezzük a közterületekkel l határolt település részeket, tehát a legtöbb esetben a tömböket utak, utcák vagy terek határolják (7.3 ábra). A tömbrajz méretaránya tetszıleges lehet, általában 1:00, 1:50 vagy 1:500; mindenképpen célszerő azonban olyan méretarányt válaszpapírlapon helyezkedjen el. A következı felsorolásban összefoglaljuk a tömbrajz mérési vázlattól eltérı, egyedi tani, hogy a kész tömbrajz kezelhetı mérető tulajdonságait: Tulajdonságai: tömbrajz általában városias, zsúfolt belterület esetén készül, szerkesztési szabályai megegyeznek a mérési vázlat szerkesztési szabályaival, vonalas létesítmények illetve a belterület határa határolja, a tömbrajzot 1:00, 1:50-es vagy 1:500-as méretarányban szerkesztjük tussal, a számítógépes térképezı szoftverrel készített tömbrajz lényegében mérési vázlat szerepet tölt be ábra Tömbrajz 146

147 KÉRDÉSEK, ELADATOK 1. Ismertesse az egyenes vonalak kitőzésének módszereit!. Mit értünk távolság alatt? 3. Hogyan történik a szalagmérés végrehajtása? 4. oglalja össze a geometriai és fizikai alapokon történı távmérés legfontosabb jellemzıit! 5. Hogyan történik az állandó nagyságú szögek kitőzése? 6. Ismertesse a derékszögő koordinátamérés menetét és összefüggéseit! 7. Ismertesse a derékszögő kitőzési méretek meghatározását! 8. Melyek a vízszintes szögmérés módszerei? 9. Mi a különbség iránymérés és szögmérés között? 10. Ismertesse a következı fogalmakat: iránysorozat, csonkasorozat kezdıirány, horizontzárás, forduló, távcsıállás. 11. Hogyan történik az iránysorozat mérés végrehajtása? 1. Hogyan történik a poláris mérés? 13. Mit értünk vízszintes, magassági és egyértelmő irányzás alatt? 14. Milyen módszerei vannak a magassági szögmérésnek? 15. Ismertesse a vízszintes és magassági szögmérés eredményeinek elızetes feldolgozását! 16. Ismertesse a következı fogalmakat: mérési jegyzet, mérési vázlat, tömbrajz! 17. Melyek a szabályai a mérési jegyzet készítésének? 18. Milyen tulajdonságai vannak a mérési vázlatnak? 19. Melyek a szabályai az ortogonális részletmérés mérési vázlaton történı feltüntetésének? 0. Melyek a szabályai a poláris részletmérés mérési vázlaton történı feltüntetésének? 1. Melyek a tömbrajz tulajdonságai, és szerkesztésének legfontosabb szabályai? 147

148 8. Geodéziai számítások A geodéziai számítások nagyon fontos szerepet játszanak a mindennapos földmérési tevékenységben. A legegyszerőbb számításoktól a legbonyolultabb számításokig ma már mindezeket számítógéppel, de legalább is számológéppel végezzük; azonban mégis szükséges a számítások elméleti hátterének ismerete, hiszen pontosan tudnunk kell, egy-egy számítás végrehajtásakor mi történik a háttérben. sak ilyen módon tudjuk garantálni a számítások helyességét, hiszen a gép csak végrehajtja az utasításokat, a helyes számítási metódus meghatározása igazi mérnöki feladat Álláspont tájékozása és poláris pont számítás Az álláspont tájékozása az egyik legalapvetıbb feladat a geodéziában. Méréseinket az álláspont tájékozásával illesztjük be egy adott rendszerbe (országos vagy helyi rendszerbe). A tájékozásnál két típusú irányt különböztetünk meg: 1. tájékozó irányok (ismert koordinátájú pontról ismert koordinátájú pontra menı irányok),. meghatározandó irányok (ismert koordinátájú pontról ismeretlen koordinátájú pontra menı irányok). A tájékozásnál a tájékozó irányok segítségével levezetünk a meghatározandó irányokra egy-egy tájékozott irányértéket, majd számítjuk az új pontok koordinátáit az adott rendszerben. Tulajdonképpen az ismert irányszögek (tájékozó irányokra számított) és a mért irányértékek alapján levezethetı a limbuszkör nulla osztásához tartozó irány koordinátarendszerbeli helyzete, az ún. tájékozási szög, amelynek ismeretében az ismeretlen koordinátájú pontokra menı irányok tájékozott irányértékei számíthatók. (8.1 ábra) 8.1.ábra A tájékozás értelmezése egy tájékozó irány esetén A 8.1 ábrát szemlélve adottak az A álláspont koordinátái és a tájékozáshoz felhasznált T pont koordinátái. Az A ponton állva mőszerrel mérjük az l T és az l P irányértékeket, amelyek lényegében az adott irányoknak a limbuszkör nulla osztávonásával bezárt szögei. A koordinátákból számíthatjuk δ AT irányszöget és a t AT távolságot, amely a tájékozó iránynak az északi iránnyal bezárt szöge, valamint a T pontnak az állásponttól számított távolsága. Képezzük a δ AT - l T z tájékozási szöget, amely a limbuszkör nulla osztásvonásának az északi iránnyal bezárt szöge. A tájékozási szög egy 148

149 olyan szög, amelynek a bal szára mindig az északi irány, jobb szára pedig a limbuszkör nulla osztásvonása. Ezt követıen már le tudjuk vezetni a P pont tájékozott irányértékét a δ AP -t, amely geometriai értelmezésben megegyezik az irányszöggel. Az elmondottakat az alábbi képletekkel lehet összefoglalni: δ AT 1 tan y x T T y x A A (8.1) z δ δ AT l T z + ' AP l P (8.) (8.3) Ebben az esetben a P pont egyértelmően meghatározható. A gyakorlati életben azonban az adott pontok kerethibái és a mérési hibák miatt nemcsak egy tájékozó irány mérendı, hanem több is. A számítás ebben az esetben is hasonló, azonban a megoldás már nem lesz matematikailag egyértelmő. Tekintsük a 8. ábrát, amely a több tájékozó irány esetét mutatja be. 8..ábra Tájékozás több tájékozó irány esetén A megoldás elsı lépéseként irányszöget és távolságot kell számítanunk a tájékozó irányokra, amelyek az ábrán T i -ként kerültek jelölésre. A következı lépésben számítanunk kell minden egyes tájékozó irányra vonatkozóan a tájékozási szöget a következı összefüggéssel: z Ti δ ATi l Ti (8.4) Mivel a mérési eredményeket métési hibák, az adott pontok koordinátáit pedig kerethibák terhelik, azért a z Ti értékek egymástól kis mértékben különbözni fognak. Az ellentmondás feloldása a súlyozott középtájékozási szög fogalmának a bevezetésével oldható meg, amelyhez elıbb számítanunk kell az iránysúlyokat, vagyis a tájékozó irányok km egységben vett értékét: 149

150 t ATi p Ti 1000 (8.5) Az iránysúlyok számítása után képezhetjük a súlyozott középtájékozási szöget: z k n Ti i 1 n ( p z ) i 1 p Ti Ti (8.6) A súlyozott középtájékozási szög számítása után minden egyes tájékozó irányra le kell vezetnünk az irányeltérés és a lineáris eltérés értékét. Az irányeltérés azt mutatja meg, hogy az irányszög által definiált irány, illetve a súlyozott középtájékozási szög felhasználásával az ismert koordinátájú pontra számított tájékozott irányérték által meghatározott irány mekkorra szöget zárnak be egymással. A gyakorlatban ezt az értéket a tájékozási szög és a középtájékozási szög különbségeként lehet számítani: e i z Ti z K (8.7) A számításban elkövetett kerekítési hibák ellenörzésére pedig a következı képlet alkalmas: n ( p e ) Ti i 1 n i 1 p Ti (8.8) A lineáris eltérés azt mutatja meg, hogy a tájékozott irányérték által meghatározott irány, mekkora merıleges távolságban haladna el az ismert koordinátájú pont mellett. i E i '' ei t ' ρ ' (8.9) A súlyozott középtájékozási szög ismeretében már számíthatjuk az egyes meghatározandó irányok tájékozott irányértékét, továbbá a meghatározandó pontok koordinátáját az elsı fejezetben megismert összefüggések szerint (8.3ábra). δ ' AP z + l K P (8.10) 150

151 8.3.ábra A P pont koordinátáinak a meghatározása 8.. Külpontos mérések Az elıbbiekben olyan mérésekrıl volt szó, amikor az állásponton központosan fel tudtunk állni. Elıfordul azonban, hogy valamilyen okból a mőszert nem lehet a központon felállítani, (pl. templomtorony a központ vagy nem látszódnak onnan a mérendı irányok) ebben az esetben külpontos méréseket kell végrehajtani. A külpontos mérés azt jelenti, hogy valahol a központ közelében egy arra alkalmas helyen állítjuk fel a mőszert, és a tájékozó és meghatározandó irányokon kívül mérünk a központra is. A gyakorlatban a külpontosságnak három esete fordul elı: 1. az álláspont külpontos,. az irányzott pont külpontos, 3. mind az álláspont mind az irányzott pont külpontos. A következı fejezetekben csak az elsı esettel fogunk találkozni, a második és a harmadik mára már elvesztette a gyakorlati jelentıségét. Mielıtt hozzákezdenénk a külpontos számítások részletesebb ismertetésének, meg kell ismerkednünk a külpontosság elemeivel (8.4 ábra): r-a külpontosság lineáris mértéke, azaz a külpont és a központ távolsága milliméter élességgel megadva, ε-a külpontosság tájékozási szöge, azaz a külpontról a központra menı irány és a mért irány által bezárt szög, bal szára a központra menı irány, jobb szára a mért irány, η-a központosítási javítás Külpontos iránymérések központosítása Külpontos iránymérések központosításánál az iránymérést egy adott koordinátájú K pont tetszıleges E külpontján végezzük el (8.4 ábra). A limbuszt ezután képzeletben toljuk el az E külpontból a K központba. A 8.4 ábra a tájékozó irányok központosítását mutatja be. 151

152 8.4. ábra Külpontos iránymérések központosítása Az ε külpontosság tájékozási szöge (εl i -l k ) után meg kell határoznunk az η központosítási javítást egy szinusz-tételbıl a következıképpen: sin sin ö l központos l külpontos +ηi (8.11) A meghatározandó irányok esetében is hasonlóan számítjuk a központos irányértéket, azonban ebben az esetben elıtte még központosítani kell a távolságokat is egy koszinusz tétellel (8.5 ábra). (8.1) 8.5.ábra A távolságok központosítása 15

153 A tájékozó és a meghatározandó irányok központosítása után a feladat megoldása a tájékozás számításával történik. Külpontos iránymérések végrehajtásánál a mérés a következı módon történik: Külpontos iránymérés végrehajtása külpont-központ távolság mérése, I. távcsıállás mérése a központ kivételével, horizontzárás, központ mérése I. távcsıállásban, központ mérése II. távcsıállásban, II. távcsıállás mérése a központ kivételével, horizontzárás Külpont koordinátáinak a meghatározása Az elızı fejezetben azt a megoldást tárgyaltuk, amikor a külpont koordinátáját nem kellett meghatározni. Ekkor minden irányt központosítanunk kellett. A gyakorlatban elıfordul azonban, hogy meg kell határoznunk a külpont koordinátáját is. Ennél a megoldásnál elegendı csak a tájékozó irányokat központosítani, a meghatározandó irányok koordinátáit majd a külpontból fogjuk számítani (8.6 ábra) ábra A külpont koordinátáinak meghatározása A tájékozó irányok központosítása után el kell végezni a tájékozást a központosított irányértékek alapján. Ekkor lehetıségünk nyílik arra, hogy levezessük a központról a külpontra menı tájékozott irányértéket a következıképpen: δ ' KE zk + lk ± 180 o (8.1) ahol a z K a súlyozott középtájékozási szög, l K pedig a külpontról a központra mért irányérték. A 8.6 ábra a feladat geometriai értelmezését mutatja olyan módon, hogy képzeletben eltoljuk a limbuszkört az E pontból a K pontba, majd az ellentett irányszög számításának szabályai szerint képezzük a keresett tájékozott irányértéket. A központból polárisan ki tudjuk számítani a külpont koordinátáit, majd ezt követıen tudjuk képezni a meghatározandó irányokra menı tájékozott irányértéket, és végül a pontok koordinátáit. 153

154 8.3 Pontkapcsolások számítása Nagyobb területek felmérése során a részletpontok meghatározásának összhangját alappontok létesítésével biztosítjuk. Az ország területére földi- és csillagászati mérésekkel egy felsırendő alapponthálózatot hoztak létre. Ezt további pontmeghatározással tovább sőrítették. Ezek meghatározása után egy-két kilométer távolságban alappontok létesültek az ország egész területén. Ezek meghatározásával a késıbbi tanulmányainkban, különbözı tantárgyakban foglalkozunk részletesen. A meghatározás során létrejött egy olyan alapponthálózat, melyben az egyes pontok koordinátáit ismerjük és a pontok a terepi helyét is megjelölték valamilyen állandósítási móddal. A részletes felmérések az alapponthálózat pontjai között csak újabb pontok meghatározásával végezhetık. Ezeket a pontokat általában különbözı pontkapcsolások segítségével végezzük. Pontkapcsolások alatt azokat a geometriai feladatokat értjük, melyek segítségével ismert koordinátájú pontok felhasználásával, irány- és távolságmérések elvégzésével új pont koordinátáját határozhatjuk meg. Pontkapcsolások során az ismert koordinátájú pontok, mint adott pontok szerepelnek. A mérési eredmények irány, szög és távolságadatok lehetnek. Ezek ismeretében kell egy - kivételesen több - új meghatározandó pont koordinátáját számítani. A pontkapcsolások esetén mindig annyi adatot, ismert koordinátájú pontot és mérési eredményt veszünk figyelembe, amennyi az új pont koordinátájának egyértelmő meghatározásához matematikailag szükséges. Egy új pont adott pontokhoz viszonyított, egyértelmő ellentmondásmentes meghatározsához két geometriai adatra van szükség. Ez lehet két szög, vagy két távolság, vagy egy szög és egy távolság. Attól függıen, hogy ezek a helymeghatározó adatok milyenek, milyen adatokat mérünk meg a pont meghatározása érdekében, különbözı pontkapcsolási alapesetekrıl beszélünk. A különbözı pontmeghatározásokat a mérésekre utaló névvel jelöljük. A pontkapcsolások egy pont meghatározására csak matematikai szempontból elégségesek. Geodéziai szempontból egy új pont meghatározását csak úgy végezhetjük, ha a mérésekre is ellenırzésünk van. Ezt újabb mérések a matematikailag szükséges és elégséges méréseken kívül további mérések végrehajtásával végezzük. Ezek a meghatározás szempontjából fölös mérések. A fölös mérésekre geodéziai okok miatt van szükség. Geodéziai meghatározásnál biztosítani kell, hogy a mérési eredmények ne legyenek durva hibával terheltek. Ezt csak úgy érhetjük el, ha a matematikailag szükséges mérések felett, további méréseket végzünk. Egy pont meghatározásánál arra törekszünk, hogy az új pont koordinátáját, két egymástól független (közös adatot nem tartalmazó) pontkapcsolással határozzuk meg. Kivételesen nehezebb terepi körülmények között megelégszünk azzal, hogy a két pontkapcsolás közös adatot tartalmazzon. Ekkor közös oldalú pontkapcsolásról beszélünk. A pontkapcsolások megoldása matematikai-geometriai feladat megoldását jelenti. Ezek megoldására több lehetıségünk van. A különbözı lehetıségek közül a legegyszerőbbet célszerő alkalmazni. Ennek kiválasztása nem egyértelmő. A számítási segédeszköz, a számítási lehetıségek lényegesen befolyásolják, hogy melyik megoldást tekintjük legegyszerőbbnek, legalkalmasabbnak. A számítási segédeszközök változása, fejlıdése idırıl-idıre szükségessé teszi, hogy megvizsgáljuk, melyik megoldást célszerő alkalmazni. Más-más számítási lehetıség, más számítási segédeszköz, újabb megoldás keresését teszi szükségessé. Ezért alkalmaztak más összefüggéseket logaritmus könyv használatakor a század elején, és más összefüggéseket a mechanikus számológépek alkalmazásakor a század közepén és megint másokat alkalmaznak ma, a számológépek és számítógépek korában. Nagyobb programok részeként, a pontkapcsolási feladatok megoldásánál - a megoldás módjának kiválasztásánál - a programnyelv sajátosságait kell figyelembe venni. 154

155 Kézi számoláskor nem programizható zsebszámológépeken végzett számoláskor különös gondot kell fordítani a számítás ellenırzésére. A számítás ellenırzésére több lehetıségünk van. Az ellenırzés módjának olyannak kell lenni, hogy a teljes számítási folyamatot ellenırizze. Nem jó az, az ellenırzési mód, mely ugyanakkora számítást jelent, mint magának a feladatnak a megoldása. Az ellenırzéskor már ismerjük az új pont koordinátáit, melyet a megoldás során meghatároztak. Az ellenırzést a már ismert koordináta felhasználásával végezzük. Az ellenırzéssel a teljes feladatot, nemcsak annak egy részét kell ellenırizni. Közvetlenül a kiinduló adatokat, koordinátákat, mérési eredményeket kell ellenırizni, azt, hogy az új pont koordinátája kielégíti-e a mérési eredmények által meghatározott feltételt. Pontkapcsolások esetén - mikor nincs fölös mérés - az ellenırzésnek teljesen a számítási élességnek megfelelıen teljesülni kell. Programmal végzett számítás esetén szükséges, hogy speciális feladatok esetén különleges adat-elrendezés esetén is jó megoldást adjon. Lehetıleg ne fordulhasson elı 0-val való osztás, vagy végtelennel való szorzás. Ilyen esetekre a programot belsı vizsgálattal fel kell készíteni. Igen kellemetlen lehet, ha a programban ilyen eset fellép. A pontkapcsolások során mindig új pontot határozunk meg. A kiinduló adatok az adott pontok koordinátái és a mérési eredmények is, kis mértékben hibával terheltek. Az adott pontok koordinátái nem teljesen felelnek meg a pontjelölésnek megfelelı terepi helynek. A pontoknak ezt a hibáját kerethibának nevezzük. A mérési eredmények a mőszer szerkezeti hibái, a mérés külsı körülményei miatt, a mérıszemély nem tökéletes mőszer kezelése miatt, a mérési eredmények hibásak. Az adott pontok kerethibái és a mérési eredmények hibái, bizonytalanságai, a meghatározott pont koordinátáiban is bekerülnek. Az adott pontok elhelyezkedésétıl a mérési eredmények által meghatározott alakzattól függ az új pont koordinátájának megbízhatósága. Ugyanolyan mérési hibák esetén, egyes alakzatoknál az új pont pontosabban határozható meg. Ezért foglalkoznunk kell, hogy az egyes pontkapcsolások esetén, mely alakzatot tekintjük legkedvezıbbnek. Általában azt a geometriai alakzatot, amikor a mérési eredmények egységnyi, kismértékő megváltoztatása esetén kisebb eltéréssel kapjuk meg az új pont koordinátáját. Ha a mérési eredmények kismértékő megváltoztatása esetén nagyobb koordináta eltérést kapunk, azt az alakzatot kedvezıtlennek nevezzük. A pont terepen történı kitőzésekor, amikor az új pont helyét és a mérendı adatokat kiválasztjuk, erre az alakzatra figyelemmel kell lennünk A pontkapcsolások csoportosítása A pontkapcsolások során irány- és távmérési eredményeket használunk fel. A méréseket ismert koordinátájú pontokon és az új ponton is végezhetjük. A meghatározások során annyi ismert pontot és annyi mérést használunk fel amennyi a pont meghatározásához matematikailag szükséges. A meghatározásokat a szerint csoportosítjuk, hogy milyen méréseket használunk fel. A mérést végezhetjük adott ponton az új pontok felé, ezt a mérést elıre mérésnek (külsı irány) nevezzük. Ha a mérést az új ponton mérjük adott pont felé, akkor hátra mérésrıl (belsı irány) beszélünk. A meghatározás elsı csoportját azok a pontkapcsolások adják, melyeknél csak iránymérést végzünk. Ezek lehetnek: Elımetszés: ekkor két adott ponton végzünk iránymérést és mérünk az új pontra is. Ennek két változata van. Az egyik, amikor a két adott ponton mérjük a szomszédos adott pontra menı irány és az új pontra menı irány közötti két szöget, ezt belsıszöges elımetszésnek nevezzük. A másik, amikor a két adott ponton tájékozó irányokat mérünk, és mérjük az új pontra is az irányértéket. A két adott ponton elvégezzük az álláspont tájékozását, és levezetjük az új pontra a tájékozott irány értéket. Ezt nevezzük tájékozott irányértékkel végzett elımetszésnek (8.7. ábra és 8.8. ábra). 155

156 8.7. ábra belsıszöges elımetszés 8.8. ábra elımetszés tájékozott irányértékekkel Oldalmetszés: az egyik adott ponton tájékozó irányokat mérünk és mérünk az új pontra is, a másik mérést az új ponton végezzük, itt mérünk vissza az ismert pontra és mérünk egy újabb adott pontra is (8.9 ábra). Hátrametszés: csak az új ponton végzünk iránymérést három adott pontra. Ez csak egy ponton kívánja meg a mérést (8.10. ábra) ábra oldalmetszés ábra hátrametszés Távolságméréssel pontkapcsolást ívmetszéssel végezhetünk. Ekkor két adott pontra mérünk távolságot az új pontról. A távolságokat mérhetjük az adott pontokról is (8.11. ábra). A pontkapcsolások egy újabb változata, amikor csak az új ponton végzünk mérést két adott pontra, az egyikre irányt és távolságot mérünk, a másikra csak irányt. Ezt nevezzük szabad álláspontnak is, vagy a pont geometriáját tekintve nevezzük a külpont speciális esetének is, mert a mérések azonosak a külpont mérési eredményekkel. Szokásos elnevezése még ennek a pontkapcsolásnak az ív-oldalmetszés (8.1. ábra) ábra ívmetszés 8.1. ábra Ív-oldalmetszés meghatározása 156

157 Pontkapcsolások esetén csak annyi mérést végzünk amennyi a pont meghatározásához szükséges. Ezzel a pont koordinátáját egyértelmően ki tudjuk számítani, de a mérési eredmények hibáját nem tudjuk meg adni. Ha valamelyik mérés hibás, akkor hibás koordinátát kapunk. A mérések hibájára csak akkor tudunk következtetni, ha további méréseket végzünk és a pontot más módon, más mérésekkel is meghatározzuk. A matematikailag szükséges mérések feletti további méréseket nevezzük fölös méréseknek. A pontkapcsolások ellenırzı számításakor csak a számítási hibát tudjuk meghatározni, a mérések hibájára nem tudunk következtetni. Ezt csak fölös, további mérésekkel tudjuk felismerni. Ezt látjuk a ábrán. Az ábrán azt is látjuk, hogy az új P pontot az A és B pontokból határoztuk meg elıször, majd a második meghatározás során az új pontot a és D pontokból metszettük elı. A második elımetszésbıl egy másik a korábbitól jelentısen eltérı P pontot kapunk eredményül. De az ábrából azt is látjuk, hogy a két elımetszés az miatt tér el, hogy a pontról mért irány jelentısen hibás (8.13. ábra). A geodéziai gyakorlatban mindig fontos feladat a mérési durva hibák megkeresése ábra egy pont meghatározása két független pontkapcsolással 8.3. Elımetszés belsı szögekkel A pontkapcsolásoknál elımetszésnek nevezzük azokat a feladatokat, amikor két adott pontról az új pontra végzett irány, vagy szögméréssel határozzuk meg az új pontot. Belsıszöges elımetszésen azt a pontkapcsolást értjük, amikor két adott ponton egy-egy szög mérésével határozzuk meg az új pontot. Belsıszöges elımetszésen két adott pont ismert. Mérési eredményeink mindkét adott ponton mért, a szomszédos adott pontra és az új pontra menı irányok közötti szög. Belsıszöges elımetszésnél szükség van a két adott pont összelátására, mert mind a két adott pontról végzünk irányzást a másik adott pontra ábra Belsıszöges elımetszés 157

158 Az új pontokra menı irányokat elegendı csak az adott pontról látni ábra.a két adott ponton mért α és β szög nem határozza meg egyértelmően a P pontot. A P pont ugyan ezekkel az adatokkal matematikailag az AB egyenesre tükörképként is meghatározható. A 8.14 ábrán ezt a helyzetet is felrajzoltuk. Geodéziai szempontból az új pont kitőzésekor biztosítjuk a feladat egyértelmőségét úgy, hogy a kitőzéskor készített vázlat egyértelmővé teszi az új pont helyét. Számításkor a háromszög körbejárásának megkötésével biztosítjuk az egyértelmőséget úgy, hogy megkötjük: azt a P pontot számítjuk, melynél a háromszög A-B-P körbejárása pozitív, az óramutató járásával egyezı. A számítás végrehajtását a 8.15 ábra alapján, a következıképpen végezhetjük. Elıször számítjuk az A és B adott pontok közötti irányszöget és távolságot. Ehhez a koordináta különbségeket a következıképpen képezzük: y Y Y X X AB B A és AB B A (8.13) Az irányszöget és távolságot poláris átalakítással számíthatjuk zsebszámológépeken: x (8.14) A következı lépésben meghatározzuk az AP oldal irányát és távolságát. Az AP irányszöge összegzéssel számítható: A távolságot szinusz-tétellel határozzuk meg: tap (8.15) sin β tab (8.16) sin( α + β ) A fenti összefüggésben az AB oldallal szemben fekvı szög, a γ szinusza az α+β mért szögek összegének szinuszával egyenlı, ezért célszerően ezt használjuk: γ sin( α + β ) sin. Az új pontra menı irányszög és távolság ismeretében már polárispontként számíthatjuk a P pont koordinátáit (8.15 ábra). Elıször számítjuk a vetületeket: y t sin xab yab x t cosδ (8.17) AP AP δ AP és AP AP AP A derékszögő (rectangulár) átalakításnak megfelelıen számológépen: Ezután meghatározhatjuk a P pont koordinátáit: tap δ POL (8.18) YP YA + y AP és X P X A + xap (8.19) összegzéssel. Ezzel a feladatot megoldottuk. A számítás során egyes részeredményeket (különösen tab δ δ δ + α AP AP AB RE AB xab yab ábra Belsıszöges elımetszés számítása 158

159 kisebb kapacitású) számológépeken ki kell írni. Ha lehetıségünk van rá, célszerő ezeket tárolni valamelyik tároló regiszterben. Kiíráskor és tároláskor is megfelelı a szögadatokat, például δ AB és δ AP irányszögeket fok, tizedfok egységben megırizni és nem szükséges pozitív szöggé átalakítani. A továbbszámolás szempontjából ez kedvezıbb, mert késıbb közvetlenül felhasználható. A számítás ellenırzésénél legyünk tekintettel arra, hogy az ellenırzésnek a teljes számítást kell ellenıriznie és nemcsak egy részét. Ekkor már ismerjük a kiszámított P pont koordinátáit is. Az ellenırzéshez számítjuk ki a koordinátákból a háromszög oldalainak irányszögét. Ezekbıl számítjuk a mért α és β szögeket: α δ AP δ AB és β δ BA δ BP (8.0) A két számított szögnek egyezni kell az α és a β mért szögekkel. Az eltérés csak a számítási kerekítési hibák miatt következhet be, ez általában nem lehet több mint 1 szögmásodperc. Ennél nagyobb eltérés számítási hibát jelent. A mérési eredmények hibáira egyetlen belsıszöges elımetszés megoldásából nem lehet következtetni. A mérési hibák csak fölös mérések (az új pontra végzett további irány vagy távmérések) alapján mutathatók ki. Az új pont meghatározásának megbízhatósága függ az alakzattól, a háromszög alakjától is. A pont megbízhatóságát azzal a területtel jellemezhetjük, mely akkor keletkezik, ha a mérési eredményeknek felvett nagyságú, kis értékő hibát, eltérést tételezünk fel, és ezzel a mért értékektıl eltérı eredményekkel határozzuk meg az új pont koordinátáit. A ábrán a pontok koordináta hibáira m k nagyságú hibát vettünk fel. A szögek hibáira az m sz értéket vettünk fel. Az új pont a megrajzolt szélsı irányok által meghatározott négyszögön belül helyezkedhet el a felvett m k és m sz hibáknál kisebb eltérések esetén. A négyszög kis hibák esetén jó közelítéssel paralelogrammának tekinthetı. A legkedvezıbb alakzat az, mely esetén ez a négyszög hiba a legkisebb lesz. Ezt akkor érhetjük el, ha az új pontnál keletkezı γ metszıszög derékszög lesz, és két új pontra menı irányok egyenlı hosszúak. Gyakorlatban ez nem valósítható meg szabatosan, így megelégszünk az ezt megközelítı alakzatokkal is. A metszıszög 30 -nál nagyobb és 150 -nál kisebb esetben megfelelınek tekintjük a háromszöget. Ennek betartására a feladat kitőzésekor az új pont és az adott pontok kiválasztásánál kell figyelemmel lenni. B a szögmérés hibája a BA irány hibája a B pont hibája ábra Belsıszöges elımetszés pontossága Elımetszés tájékozott irányértékekkel A P Tájékozott irányértékekkel végzett elımetszésnek nevezzük azt az elımetszést, amikor a két adott ponton végzett iránymérés tájékozása után, az új pontra menı tájékozott irányérték segítségével határozzuk meg az új pont koordinátáit. Ennél az elımetszésnél mindkét adott ponton iránysorozatot mérünk. Ebben az iránymérésben szerepelnek adott pontra mért irányok, melyeket tájékozó irányoknak nevezünk, és az új pontra mért irány is (8.17. ábra). 159

160 8.17. ábra Elımetszés tájékozott irányértékekkel A számítás elıkészítéseként tájékozzuk az iránysorozatot a korábban megismert módon. Tehát képezzük az ismert koordináták alapján az ismert koordinátájú álláspontról az ismert koordinátájú tájékozó irányok végpontjára menı irányszögeket. Az ugyanarra a pontra számított irányszög és a mért irányérték különbségeként számítjuk az irány tájékozási szögét. A gyakorlatban több, általában három tájékozó irányt mérünk. A tájékozási szögek súlyozott középértékét képezzük, súlyként az irányok km-ben kifejezett hosszát használva. Ezt a középtájékozási szöget hozzáadva az új pontra mért irányértékhez, kapjuk az új pontra mért irány tájékozott irányértékét. Mindkét adott ponton mért iránysorozat tájékozása után a levezetett tájékozott irányértéket tekintjük mérési eredménynek. Az új pont koordinátáinak számításához adott két pont koordinátáival és ezekrıl az új pontra levezetett két tájékozott irányérték. Tájékozott irányértékekkel végzett elımetszésnél nem szükséges, hogy a két adott pontot összelássuk. Ez elınyt jelent a belsıszöges elımetszéssel szemben. Elıny az is, hogy a tájékozó irányok biztosítják az iránymérés ellenırzését is, és lehetıvé teszik, hogy az új pont több adott ponthoz illeszkedjen. Természetesen, ha a tájékozó irányok jók a tájékozás alapján, még nem biztosítják, hogy az új pontra mért irány is jó legyen, de ritkán fordul elı, hogy jó tájékozás ábra A tájékozott irányértékes elımetszés számítása eseten hibás legyen az új pontra mért irány. A tájékozás lehetıvé teszi, hogy az új pont több adott ponthoz illeszkedjen. Az új pont koordinátáinak számításához adott két pont koordinátáival és ezekrıl az új pontra levezetett két tájékozott irányérték. sorrendben célszerő végezni a ábra alapján. Elıször A számítást a következı meghatározzuk a két adott pont közötti irányszög és távolság értéket B pontról az A pontra értelemben. Ehhez számítjuk a y BA és xba koordináta különbségeket: 160

161 Az irányszöget és távolságot poláris átalakítással számíthatjuk: yba YA YB és xba X A X B (8.1) Az ABP háromszög B és P pontnál lévı belsı szögét különbségként számíthatjuk: β δbp δ BA és δap δbp Az A és P távolságát szinusz tétellel határozhatjuk meg: t AP ( δbp δba ) sinβ t AB ( δ δ ) sin γ. (8.) γ (8.3) sin t AB (8.4) sin AP BP Végezetül számíthatjuk a P pont koordinátáit poláris számítással. A vetületeket a yap t AP sinδap és X AP x AP t AP cosδap xba yba tap δ AP POL (8.5) RE tba δ BA xap yap képletekkel vagy zsebszámológépeken, célszerően (8.6) derékszögő (rectangular) átalakítással számíthatjuk. Ezután az új pont koordinátáit az formában határozhatjuk meg. YP YA + y AP és X P X A + xap (8.7) ábra. Durva hiba helyének megkeresése elımetszésnél A számítás ellenırzését ugyanazzal végezhetjük, hogy a P pont új koordinátái és az A, B adott pontok koordinátáiból számítjuk a δ AP ésδ BP irányszögeket, és ezeknek a számítás élességén belül egyezni kell a mért δ AP és δ BP tájékozott irányértékekkel. A mérési eredmények helyességét természetesen csak fölös mérések végzésével ellenırizhetjük. Gyakorlatban általában azt kívánjuk meg, hogy az új pont koordinátáit két független háromszögbıl számítsuk (8.19. ábra). Ez alatt azt értjük, hogy az új pont meghatározásához négy adott ponton végzünk iránymérést és ebbıl négy adott pontról vezetjük le az új pont felé a tájékozott irányértékeket. Ebbıl, két egymástól független adat felhasználásával két elımetszést végzünk. A pont végleges koordinátájának a két koordinátapár számtani középértékét tekintjük. A P pont koordinátáinak meghatározására közvetlen képleteket is felírhatunk. Az elızıekben felírt összefüggések felhasználásával 161

162 és sin( δ δ ) BP BA y AP t AB sin δ AP (8.8) sin( δ AP δ BP ) sin( δ δ ) BP BA x AP t AB cos δ AP (8.9) sin( δap δ BP ) A két egyenletben felbontva a számláló zárójelét, majd felhasználva, hogy t AB sinδ BA YA YB és t AB cosδ BA X A X B (8.30) azonosságokat, a következı kifejezéseket kapjuk a vetületek meghatározására rendezés után a Y ( YB YA ) cos δ BP ( X B X A ) sin( δ AP δ BP ) ( YB YA ) cos δ BP ( X B X A ) sin( δ δ ) sin δ BP P YA + sin δ AP (8.31) X sin δ BP P X A + cos δ AP (8.3) AP BP ezekbıl az új pont koordinátáit az A pont koordinátáival összevonva, közvetlenül a P új pont koordinátáit kapjuk. a tájékozott irányérték hibája a pont hibája 8.0. ábra. Tájékozott irányértékekkel elımetszett pont pontossága A legkedvezıbb alakzatot a belsıszöges elımetszéshez hasonlóan határozzuk meg ebben az esetben is. A pontok koordinátáinak m k az adott pontokon levezetett tájékozott irányértékeknek m i nagyságú hibát tételezünk fel. Az adott pontokon felrajzolva az m k koordináta hibákat, a mért irányokat ezekhez a körökhöz húzott érintıkkel és ezek m i nyílású szélesedı sávjával jellemezzük (8.0. ábra). Az új pont megbízhatóságát, hibájának nagyságát a két szélesedı vonal (sáv) közös területe jellemzi. Ha a két elımetszı irány metszési szöge kicsi, akkor a keletkezı hiba terület hoszszan elnyúló négyszög lesz. A legkisebb területet akkor kapjuk, ha a két irány merıleges egymásra. Elımetszésnél azért, hogy az új pont meghatározásánál ne keletkezzen kedvezıtlen (elnyúló) hibanégyszög, ezért megkötjük, hogy az elımetszı irányok metszési szöge ne legyen 30 -nál kisebb és 150 -nál nagyobb. Ezt a feltételt már a terepen történı kitőzés során vesszük figyelembe az új pont helyének és a meghatározandó irányok kiválasztásánál. Az elımetszés tájékozott irányértékekkel a geodéziai pontmeghatározások közül a leggyakrabban alkalmazott Oldalmetszés számítása Oldalmetszés esetén két adott pontot ismerünk. Iránymérést két ponton végzünk. Az egyik adott ponton a tájékozó irányokon kívül mérjük az új pontra menı irányt is. Az új ponton két irányt mérünk. Az egyiket arra az adott pontra, melyrıl az új pontra mértünk, ezt az irányt tehát oda-vissza mérjük. A másik irányt egy másik adott pontra mérjük. Ezt az irányt nevezzük oldalmetszı iránynak. 16

163 8.1. ábra. Oldalmetszés számítása majd meghatározzuk a háromszög B pontjánál lévı belsı szögét: β δ BA δ AP γ A számításhoz tehát ismerjük az A és B pontok Y és X koordinátáit. Mérési eredményként az A pontról a P pontra levezetett δ A tájékozó irányértéket és az új ponton mért γ szöget, melynek szára az A pontra és a B pontra mért irány (8.1. ábra). A számítást az elımetszéshez hasonlóan a következı lépésekben végezhetjük. Elıször számítjuk a két adott pont közötti irányszöget és távolságot. x y BA BA POL t δ BA BA (8.33) amibıl az A pontról az új P pontra menı távolság szinusz tétellel számítható. tap tab sin β sinγ (8.34) Ezután a P pont koordinátáit poláris pontként számíthatjuk. Y P Y A + t AP sinδ AP (8.35) X P X A + tap cosδ AP (8.36) Természetesen zsebszámológépen célszerően a rectangulár átalakítást használjuk a vetületek számítására.a számítás ellenırzését az új pont koordinátáinak ismeretében végezzük. Számítsuk ki a P pontról az A és B pontra az irányszöget. Az A pontra számított irányszög 180 eltéréssel egyezni kell az A pontról mért tájékozott irányértékekkel. A két irányszög különbségnek a γ szöggel kell egyezni. A számítás másik formájában már ismert feladat számítására vezethetjük vissza az oldalmetszés megoldását. A 8.. ábra alapján B pontról az új pont felé mutató tájékozott irányértéket számítjuk a 8.. ábra Oldalmetszés visszavezetése elımetszésre δ BP δ AP + γ (8.37) összefüggésnek megfelelıen az oldalmetszés mérési eredményeibıl. Ezzel a feladatot visszavezettük tájékozott irányértékekkel végzett elımetszés számítására. Tehát az oldalmetszést ugyanazzal a számítással, és programmal számíthatjuk egy kis elıkészítı számítás után, mint az elımetszést. Az oldalmetszés pontosság szempontjából kedvezıtlenebb, mint az elımetszés számítása. Ez azzal magyarázható, hogy a B 163

164 pontról számított tájékozott irányérték gyengébb, mint a közvetlen tájékozással levezetett tájékozott irányérték. Ebben az eseten ugyanis az új ponton végzett mérést csak oda-vissza irány alapján tudjuk tájékozni. Az oldalmetszés esetén is legkedvezıbb, ha a két irány metszıszöge közel 90. Ezen kívül jó, ha az oda-vissza mért irány hosszabb, mint az oldalmetszı irány (8.3. ábra). a pont hibája tájékozott irányérték hibája a szögmérés hibája a PA szögszár hibája P B A A 8.3. ábra. Az oldalmetszés pontossága Hátrametszés Hátrametszés és a veszélyes kör Hátrametszésnek azt a pontkapcsolást nevezzük, amikor csak az új pontról mért belsı irányok alapján határoznak meg egy új pontot. Az egyértelmő meghatározáshoz 3 adott pontra A, B és pontokra kell iránymérést végezni az új pontról (8.4. ábra) ábra Hátrametszés A három irány három szöget határoz meg, ezeket α l l B β la l (8.38) γ l B l A formában képezhetjük. A három szögbıl kettı független, mert a három szög összege o α + β + γ 360, ami csak hibás számítás esetén nem teljesül. A B húrhoz tartozó α kerületi szög egy kört határoz meg, mely átmegy a és B pontokon és bármely pontjáról ez a húr α szög alatt látszik. Hasonlóan a A húrhoz szintén tartozik egy kör, melynek kerületérıl a A szakasz β szög alatt látszik. A feladat megoldása a két kör metszéspontja. A P pont az AB szakaszhoz tartozó γ szög alatt látszik. A hátrametszés feladata az elızıek alapján két kör metszéspontjának meghatározását jelenti. Ez egy kétismeretlenes másodfokú egyenlet megoldását jelenti. Ezt közvetlenül megoldani körülményes. A megoldásokat a másodfokú egyenlet közvetlen felírása nélkül végezzük el. Ez egyszerőbb, mint a másod- 164

165 fokú két ismeretlenes egyenlet megoldása. Ennek megfelelıen adódó különbözı megoldások igen sokfélék. Többféle megoldás alakult ki, melyek közül a legjobb megoldást kiválasztani nem lehet egyértelmően. A hátrametszés egy különleges esetben megoldhatatlanná válik. Ez a helyzet akkor áll elı, mikor az újpont a veszélyes körre esik. Veszélyes körnek nevezzük a három adott pontra, és az új pontra illeszkedı kört. Ha az új pont a veszélyes körre esik, akkor a feladat nem oldható meg matematikailag. A megoldás valamelyik lépésében jelentkezik egy 0-val való osztás, mely nem értelmezhetı. A veszélyes körön lévı P pont a veszélyes kör bármely pontjáról az AK húrt α, a AB húrt β szög alatt látja. Tehát a feladat kiinduló feltételét a veszélyes kör bármely pontja kielégíti (8.5. ábra). K A P Matematikai szempontból csak azt kell elkerülni, hogy az új pont a veszélyes körre essen, minden más esetben van a feladatnak matematikai megoldása. Geodéziai szempontból azonban az is kellemetlen, ha az új pont a veszélyes kör közelébe esik. A veszélyes kör közelében az új pont meghatározásának pontossága jelentısen lecsökken. Ez abban jelentkezik, hogy a mért szögek kis hibája esetén (például 1 szögmásodperc eltérése esetén) már jelentıs koordinátaváltozások következnek be, melyek a méteres eltérést is elérhetik. A veszélyes körtıl lehetıség szerint távol kell felvenni az új pontot. A 8.6. ábra alapján a veszélyes körtıl akkor vagyunk távol, ha az új pont a három pont által meghatározott háromszögén belül vagyunk. Hasonló a helyzet bár a meghatározás szempontjából kedvezıtlenebb, ha az új pont a háromszög valamely csúcsa mögött van. Ha a háromszög valamely oldala mellett választjuk az új pontot, akkor különös figyelemmel kell lenni arra, hogy a veszélyes kört elkerüljük, és az új pont annak közelébe se essen. A meghatározás szempontjából legkedvezıbb az a helyzet, ha az új pontról mért 3 irány fokos szöget zár be egymással és az irányok hossza is közel azonos. számítási segédeszközök esetén is jól alkalmazhatók. A hátrametszés számítása nem egyszerő feladat. Ezért a többféle megoldás alakult ki, melyek között nem lehet határozott különbséget tenni abból a szempontból, hogy melyik az egyszerőbb. Különbözı számítási segédeszközök esetén más-más megoldás a kedvezıbb. A hátrametszés története során igen sokféle megoldás alakult ki. Ezek azonban csak néhány jelent alapelvében különbözıt. A következıkben ezek közül ismertetünk néhányat, melyek a mai A hátrametszés ellenırzése legegyszerőbben úgy végezhetı el, hogy a kiszámított új pont koordinátáinak ismeretében elvégezzük az iránymérés tájékozását. B P ábra A veszélyes kör A 8.6. ábra A veszélyes kör és a mérésre alkalmas területek B l z l z l z δ A A A δ B B B δ (8.39) 165

166 Jó számítás esetén a három tájékozási szögnek meg kell egyezni, a számítási élességen belül. Ha az eltérés nagyobb akkor az számítási hibából adódik Hátrametszés megoldása egy segédkörrel (ollins-féle megoldás) Geometriai szempontból a ollins-féle megoldás az egyik legjobban áttekinthetı. Ma zsebszámológépeken is jól számítható megoldás. A három adott pont közül válasszunk egy középsı pontot, ezt jelöljük K-val. A másik két pontot A-val és B-vel jelöljük. A szögeket is ennek megfelelıen értelmezzük l K l A α l B l β l l γ (8.40) a harmadik szöget csak ellenırzés miatt számítjuk, mert a három szög összege 360º-kal egyenlı. A megoldás a 8.7. ábrán bemutatott szerkesztés alapján érthetjük meg. Rajzoljuk meg az A-B adott pontok és az új P pont által meghatározott kört. Az új pont és a K középsı adott pont által meghatározott egyenes és a kör metszéspontja határozza 8.7. Hátrametszés számítása egy segédkörrel meg a segédpontot. Az A B P pontok egy húrnégyszög pontjai. A B húrhoz tartozó kerületi szög a mért β szög. Az A pontnál úgy helyezkedik el, hogy az egyik szára az ismert AB oldal másik szára az A oldal lesz. Hasonlóan az A húrhoz tartozó mért α szög a B pontnál a BA és a B egyenesek közötti szög. Ezzel az AB háromszögben ismerjük az AB oldalt és a rajta fekvı α és β szögeket, amibıl a pont koordinátája belsıszöges elımetszéssel számítható. Ha ismerjük a pont koordinátáit, akkor a PK egyenesnek meghatározhatjuk az irányszögét, mert a K pont eredetileg adott és a pont koordinátáit az elızıekben számítottuk. A P ponton végzett iránymérés ezzel tájékozható, amivel a feladatot elımetszésre vezethetjük vissza. Az AP háromszög pontnál lévı α* szögét az ismert A irány és a számítható K irányszög különbségeként határozhatjuk meg. Ezután a P távolság hosszát az α + α* szög képzésével szinusz tétellel számíthatjuk a BP háromszögbıl. A P iránya a K irányával azonos a pont szerkesztése miatt. Végezetül a pontból polárisan számíthatjuk a meghatározandó P pont koordinátáit. A számítás elvi áttekintése után nézzük meg részletesen, milyen lépésekben határozhatjuk meg a P pont koordinátáit. Számítsuk ki az A és B adott szélsı pontok alapján az δ AB AB irányszöget és távolságát. Ezt zsebszámológépen X B X A POL YB YA és t (8.41) formában poláris átalakítással számíthatjuk. Számítsuk ki az APB pontokon áthaladó ollins-féle segédkör átmérıjét (a sugár kétszeresét) K A tab δ AB B 166

167 szinusz tétel segítségével. Határozzuk meg az A oldal irányát és távolságát δ δ β és t R sinα A AB A (8.43) A következı lépésben számíthatjuk a segédpont koordinátáit. Y y t sinδ X cosδ A + A A A + A A (8.44) A vetületeket természetesen rectangulár átalakítással célszerő számítani. X t (8.4) A K egyenes irányszögét, ami azonos a P egyenes irányával is, irányszög számítás segítségével határozhatjuk meg, poláris átalakítással. X Y K K X Y t POL δ K K (8.45) A t K távolságra közvetlenül nincs szükségünk, azonban ez a távolság jellemzı a veszélyes körtıl való távolságra. Az α* segédszöget α* δ δ irányszögek különbségével számíthatjuk. Határozzuk meg a P távolság értékét. Ezt a kifejezéssel számíthatjuk. A K (8.46) t P R sin( α + α*) (8.47) Végezetül polárispontként számíthatjuk a P koordinátáit Y X Y t sinδ P + P K (8.48) X t cosδ P + P K (8.49) Az elızı fejezetben láttuk, hogy a hátrametszés esetén legkedvezıbb a helyzet, ha az új pont a három adott ponton belül van. Ebben az esetben a számítás az alakzatnak megfelelıen változik K P B A * t R AB sin( α + β ) 8.8. ábra ollins hátrametszés a három ponton belül ábra egy ilyen helyzetet mutat. Az elıbbi megoldást követve, ebben az esetben részben más összefüggéseket kell felírni. A feladat azonban ebben az esetben is számítható az elızı alakzatnak megfelelı összefüggésekkel is, de figyelnünk kell néhány változásra. Már a. lépésben a kétszeres sugár értékére negatív számot kapunk, és ezzel összhangban negatív lesz a 3. lépésben számított t P távolság is. Az ugyanekkor számított irány, a vázlattal ellentétesen 180 fokkal eltérı lesz. E két változás együttesen mégis azt teszi lehetıvé, hogy a koordinátáját helyesen kapjuk meg a poláris számítás után, a 4. lépésben. Hasonló eset áll fenn az α* számí- 167

168 tásakor is, és ennek következtében a 7. lépésben számított t P távolságot helyes eredménnyel kapjuk, mert mindkét tényezı (a R és a sin(α+α*) is negatív. A felírt összefüggések tehát más alakzat esetén is jó megoldást adnak. Egyes gépeknél azonban figyelembe kell venni, hogy a poláris átalakítás negatív távolság esetén nem értelmezett. Ezt a hibát a poláris átalakítás képleteinek felírásával kerülhetjük el. A ollins-féle hátrametszés esetén, a veszélyes körön lévı új pont számításakor, a ollins-féle segédpont és a K pont egybeesik. Ez azt jelenti, hogy határozatlanná válik a K irányszög értéke, mert a K koordináta különbsége 0-val egyenlı y és x irányban is. A veszélyes kör közelében a és K pont távolsága kicsi és a P pontot a K egyenes kihosszabbításában lehet meghatározni. Ez (hasonlóan a mérési vonalakhoz) ebben az esetben is bizonytalanságot okoz. Ha a háromszögön belül vagyunk, akkor a K távolság nagy lesz és a P pont a K szakasz belsı részére esik. A K távolság a P pont veszélyes körtıl való távolságával egyenesen (de nem lineárisan) arányos. A K távolság, mind a veszélyes körtıl való távolság, mind a meghatározás megbízhatóságának értékelésekor figyelembe kell venni a mért irányok hosszát is, tehát önmagában még nem jellemzı, csak az egész feladat alapján tekinthetı, mint a meghatározás megbízhatóságát jellemzı mérıszám. A számítás ellenırzését (és hasonlóan más megoldások ellenırzését is) úgy végezhetjük legegyszerőbben, hogy új pont koordinátái alapján elvégezzük az álláspont tájékozását. Tehát irányszöget számítunk az új P pontról az A, K és B adott pontokra. Az irányszögek és a mért irányértékek különbségeként számított tájékozási szögeknek azonosaknak kell lenni. Eltérés csak a számítás kerekítési hibáiból adódnak. Tehát a megszokott számítási élességnek megfelelıen legfeljebb 1 eltérések lehetnek. Ezzel ellenırizzük az α és β szögek számítását és a feladat teljes megoldását is Hátrametszés megoldása két segédkörrel (Sossna-féle eljárás) A megoldás során ebben az esetben is választunk egy középsı pontot. A pontokat és a szögeket ugyanúgy jelöljük, mint azt a ollins-féle hátrametszésnél tettük. ábra Sossna-féle hátrametszés 8.9. A megoldás menetét a 8.9. ábrán szemléltetjük. Rajzoljuk meg az A, K és P pontokon, valamint a K, B és P pontokon átmenı kört. Ezután szerkesszük meg az A 1 segédpontot úgy, hogy az AK egyenesre merılegest állítunk az A pontban. Ez a merıleges egyenes az a segédkörbıl kimetszi az A 1 segédpontot. 168

169 Hasonlóan megszerkeszthetjük a B 1 segédpontot is, úgy, hogy a KB egyenesre merılegest állítunk a B pontban. Ez a b körbıl a B 1 segédpontot metszi ki. Az A 1 A K háromszög A pontban lévı szöge 90 fok, ezért a kör átmérıje, az A 1 K szakasz. Ennek következtében az A 1 K P háromszög is derékszögő. A P pontnál lévı szög 90 fok. Ugyanígy belátható, hogy K B B 1 háromszög szintén derékszögő és a b kör átmérıje a K B 1 szakasz. Hasonlóan derékszög a K B 1 P háromszög P pontnál lévı szöge is. Mivel a P pontnál az A 1 P K szög és a K P B 1 szög is derékszög, ezért az A 1 P és B 1 pontok egy egyenesre esnek. De következik az is, hogy az A 1 P B 1 egyenes merıleges a KP egyenesre is. Ezek ismeretében a P pont az A 1 és K pontból elımetszhetı. Az A 1 pont koordinátáit az A K A 1 háromszögbıl számíthatjuk, mert ennek A 1 pontnál lévı szöge a mért α szöggel egyenlı. Y A1 Y ( X X )ctgα és X X + (Y Y )ctgα A hasonlóan számítható Y B1 A K A1 A A K (8.50) Y + ( X X )ctgβ és X X (Y Y )ctgβ B B K B1 B B K (8.51a) Az A 1 és B 1 segédpontok koordinátáinak ismeretében A 1 - B 1 irányszöggel és a K pontból A 1 - B 1 -re merıleges irányszöggel elımetszhetı a P pont két iránytangenses egyenes egyenletének a felírásával. Ha az új pont a veszélyes körre esik, akkor a két segédpont azonos lesz. Ennek következtében az A 1 - B 1 irányszög számítása 0/0 mőveletre vezet, ami értelmetlen. Ez a megoldás elsısorban mechanikus számológépek esetén volt jól alkalmazható. Ma kevésbé használatos. A Sossna-hátrametszés befejezı lépése megoldható az általános magasságtétel segítségével is. Az A 1 B 1 K háromszög A 1 B 1 oldalához tartozó magassága a meglévı geomteriai összefüggések miatt KP-lesz. Az általános magasságtételnek megfelelıen a KP távolság az alábbi összefüggések segítségével számítható (A 1 B 1 ; A 1 K éa B 1 K távolságok koordinátákból számíthatók): (8.51b) A KP oldal irányszöge az A 1 B 1 oldal irányszögébıl egy 90 fokos irányszögátvitellel számítható, így a KP távolság ismeretében a P pont koordinátáját a K-ból polárisan lehet számítani Hátrametszés megoldása a koordináták súlyozott középértékének számításával (Ansermet-féle megoldás) B B A A 8.30 ábra. Ansermet-féle megoldás A számításhoz az adott pontokat A, B, nagy betőkkel jelöljük. A pontok mindegyike azonos módon szerepel a meghatározás során. A mért irányok közötti szögeket, úgy jelöljük, hogy az α szög az amelyiknél nem szerepel az A pontra mért irány, a β és γ szögeket is ugyanígy képezzük. α l l B β la l (8.5) γ l B l A Természetesen a szögek összege 169

170 360. A késıbbiek miatt még jelöljük az adott pontok háromszögének belsı szögeit rendre A, B, nagy betőkkel, ezek összege 180 (8.30 ábra). Hátrametszésnél az új pont koordinátáit az adott pontok súlyozott középértékeként is számítjuk. Ekkor + + PAY A PB YB P Y Y P és PA + PB + P + PA X A PB X B P X X P (8.53) PA + PB + P A súlyokat a 8.30 ábra jelöléseinek megfelelıen P A P B P (8.54) ctga ctgα ctgb ctgβ ctg ctgγ összefüggésekkel kell számolni. A képletek helyességét következıképpen láthatjuk be. A súlyok legyenek a háromszögek területei. A súlyok összege ebben az esetben az adott pontok által meghatározott háromszög területe. A P A P B és P súlyok pedig rendre a BP; AP és az ABP háromszögek területei, figyelve, hogy minden háromszöget az ábra szerint pozitív irányba járjunk körbe. A háromszögek területét determináns formában felírva, a következıt írhatjuk az Y P képlete alapján. Y P X A 1 1 X Y 1 Y X Y 1 + Y X Y 1 + Y X Y 1 (8.55) X B Y Y A B 1 A X X B P Y Y B P 1 B ennek baloldalát és jobboldalát átírva, a következı (8.56) két negyedrendő determinánst kapjuk. A bal oldalon a determinánshoz egy sort és egy oszlopot írtunk, úgy, hogy értéke ne változzon. A determinánst az elsı oszlop szerint kifejtve azonnal látjuk, hogy értéke azonos az elızı képlet bal oldalával. (A 4. sor 1. oszlopába a negatív elıjel a sakktábla szabály miatt került.) A 4. sor többi elemét tetszılegesen beírhatnánk, az késıbbi egyezés miatt került be a P pont sora. A jobb oldat az elızı egyenlet jobb oldalából kapjuk. Az alábbi egyenlet jobb oldalát az elsı oszlop szerint kifejtve az elızı egyenlet jobb oldalát kapjuk. (figyeljünk a pontok sorrendjére és a sakktábla szabályra) Y P X X X X A B P Y Y Y Y A B P 1 Y X X 1 Y 1 Y A B 1 0 A P X X X X Y Y B P A P A 1 1 Y Y Y Y A B P X X A B P Y Y A B P (8.56) A két determináns értéke pedig egyenlı, mert a baloldali determináns 1. és 3. oszlopát összeadva a jobboldali determinánst kapjuk. Ezzel a súlyozott középként történı számítás helyességét beláthatjuk. A súlyozott középérték számításához azonban elegendı a súlyok arányos ismerete is. Esetünkben elegendı a területekkel arányos számértékek ismerete. A 8.31 ábra alapján a területekkel arányos súlyok más módon is felírhatók. Rajzoljuk meg a három adott ponton átmenı kört, a veszélyes kört. A P egyenest hosszabbítsuk ki a veszélyes körig. Ez adja a pontot. A T A terület a BP háromszög területe, a T B terület a AP háromszög területe. A két terület meghatározásához válasszuk a közös alapot és a háromszögekhez tartozó különbözı magasságokat. A magasságok számításához vegyük a P alapú háromszögekbıl számítható magasságokat. Ez azonos a P háromszögek magasságával. A háromszög magassága: t t m m ' P ' P P P' (8.57) ctga + ctgα' ctga ctgα 170

171 formában írható fel, mert az α és β szögek kotangense az α és β kotangensével egyezik, ellenkezı elıjellel, és ebbıl következik, hogy 1 TA ma ctga ctgα PA (8.58) TB m 1 B PB ctgb ctgβ hányadossal egyenlı. Területek hányadosa a megadott súlyképletek hányadosával egyezik. Ez alapján belátható, hogy a 8.31 ábra. Súlyok és területek aránya T : T : T P : P : P A B területek aránya azonos a korábban megadott súlyok arányával. Ezzel bizonyítottuk az elıször felírt képletek helyességét. A súlyok értéke pozitív, ha az új pont a háromszögön belül van. Ha az új pont a háromszögön kívül van, akkor az egyes súlyok negatívvá válnak. Ez azonban nem jelent számítási problémát. Számítás megoldásánál elıny, hogy nincs kiválasztott középsı pont. Mindkét koordináta ugyanazzal a képlettel és ugyanezzel a súlyokkal számítható. Hátrányt jelent azonban, hogy számítani kell a három adott pont által meghatározott háromszög A B és belsı szögeit. Azonban, ha ugyanabból a három pontból több új pontot kell hátrametszeni, ez nem jelent lényeges hátrányt. Az Ansermet hátrametszés jól alkalmazható a jelenlegi számítógépek esetén is. Ha az új pont a veszélyes körre esik, akkor természetesen ez a megoldás sem ad eredményt. A súlyok értéke a veszélyes kör közelében egyre nı és a veszélyes körön végtelenné válik. A veszélyes körön az A α B β és γ egyenlıségek állnak fenn, így a súlyok számításánál 0-val való osztás történik A hátrametszés pontossága A B A korábbi feladatoknak megfelelıen a hátrametszés pontosságára is bemutatunk egy ábrát. A 8.3 ábrán az új pontot a ponton mért kerületi szögek alapján szerkesztettük meg. Az szerkesztésnél az adott pontok hibáit és a szögmérés hibáit vettük figyelembe. Az új pont bizonytalanságát a megszerkesztett hatszög mutatja. Az ábra a pont meghatározása szempontjából a legkedvezıbb helyzetben a három adott ponton belül van. Ha az új pont az adott pontok háromszögén kívül van, akkor a kedvezıtlenebb ábrát kapnánk. Az új pont meghatározásánál az a legkedvezıbb helyzet, ha a pont a három adott pont által meghatározott háromszögön belül van, és a mért szögek közel 10 fokosak és a távolságok is közel egyenlık. A pontkapcsolások közül a hátrametszés az legkedvezıtlenebb a pontosság szempontjából. Egyedüli elınye, hogy csak az új ponton kell mérést végezni, és emiatt fordul elı gyakrabban. 171

172 8.3 A hátrametszés pontossága Ívmetszés Az ívmetszés távolságmérésen alapuló pontkapcsolás. Egy pont tisztán távolságméréssel történı meghatározásához az új pontról két adott pontra kell távolságot ismerni. A számítás szempontjából mindegy, hogy a távolságot az új pontról mértük az adott pontok felé, vagy az adott pontokról mértünk az új pontra (8.33 ábra). A két mért távolság nem ad matematikailag egyértelmő meghatározást az új pontra. Az új pont a mért távolságokból az A és B pontokra szimmetrikusan is megszerkeszthetı, meghatározható (8.33 ábra). A pont matematikailag egyértelmő meghatározásához még egy további adat szükséges. Ez azt fejezi ki, hogy az új pont az AB 8.33 ábra Ívmetszés egyenes melyik oldalára esik. Ezt a számítás szempontjánál a háromszög körbejárásának megadásával kötjük meg. Azt a P pontot számítjuk, amelyik az A, B, P sorrendben a körbejárás az óramutató járásának megfelelı, azaz pozitív. A számítás végrehajtását a 8.34 ábrának megfelelıen végezhetjük el. A számítás szempontjából olyan háromszöget kell megoldani, melyben mindhárom oldalt ismerjük. A két adott pont közötti oldalt is ismert oldalnak kell tekinteni. A három oldal alapján meghatározzuk a 17

173 háromszög egyik AB oldal mellett fekvı belsı szögét és ezután számíthatjuk a P pontra menı irányszöget, majd a P pont koordinátáját polárisan határozhatjuk meg. A számítás lépései: elıször számítjuk a két adott pont közötti irányszöget és távolságot, poláris átalakítással. A AB AP t AB c t AP b B P t BP a 8.34 ábra Ívmetszés számítása A háromszög A pontjánál lévı belsı szögét koszinusz tétellel számíthatjuk: b + c a tap + tab t cosα BP (8.59) bc tap tab A belsı szög számítható más módon is, a félszögekre vonatkozó képletek segítségével. sin α ( s b)( s c) α s( s a) α ( s b)( s c) cos tg bc bc s( s a) (8.60) 1 ahol s ( a + b + c ) (8.61) A számítás szempontjából kedvezıbbek a félszögekre felírt összefüggések, mert a koszinusz tétel számlálójában a távolság négyzetek különbsége szerepel, ami esetén jegyveszteség léphet fel. Ez azonban a mai zsebszámológépek esetén nem jelent kimutatható hátrányt. Ezért a gyakorlati feladatok esetében megfelelı a koszinusz tétel alkalmazása. Elınye ennek, hogy a koszinusz tételt jól ismerjük, míg a félszögekre vonatkozó összefüggések ritkábban használatosak. Az AP oldal irányszögét a δ vetületeit: δ + α AP AB képlettel számíthatjuk.ezután meghatározhatjuk az A és P pontok közötti oldal y t AP sin δ AP δ AP x t AP cos (8.6) amit természetesen zsebszámológépeken rectangulár átalakítással végzünk. Az új pont koordinátáit az A pont és a területek összegezésével kapjuk meg. Y P Y + y és X X + x A P A (8.63) A számítás ellenırzésére számítsuk ki az új pont és az A, valamint az új pont és a B adott pont távolságait. E két távolságnak meg kell egyezni a mért távolság értékekkel, a számítás élességén belül. Ennél nagyobb eltérés esetén a számítási hibát meg kell keresni. 173

174 A B A mérési hibák értékére természetesen csak további, fölös mérések végzésével kapunk utalást. Legegyszerőbb, ha az új pontról további távolságokat is mérünk. A meghatározás szempontjából legkedvezıbb, ha a két távolság egymásra merıleges. Ezt a ábra alapján láthatjuk be, m A ma amelyen felrajzoltuk a t A és t B új pontra mért távolságokat és a hozzájuk tartozó köríveket. Bejelöltük a távolságokhoz tartozó m A és m B hibákat is a távolságok koncentrikus köríveként. A legkedvezıbb x hibanégyszög akkor alakul ki, ha a két távolság merıleges egymásra (8.35 ábra) Ív-oldalmetszés P m m B B 8.35 ábra Az ívmetszés pontossága A mai mőszerekkel a távolságmérés ugyanolyan könnyen elvégezhetı, mint az iránymérés. Ezért gyakran úgy határozunk meg új pontot, hogy csak az új ponton végzünk mérést. Az eddig bemutatott pontkapcsolási feladatok közül a hátrametszés és A távolság köre t A P B t A P' kerületi szög köre 8.36 ábra Ív-oldalmetszés meghatározása az ívmetszés olyan, hogy csak az új ponton végzünk mérést. Van azonban még egy megoldás, amikor csak az állásponton mérünk. Korábban már megismertük a külpontos mérést, amit korábban legfeljebb csak néhány méteres távolság méréssel használtunk. A korszerő távmérık lehetıvé teszik, hogy több száz méteres külpontosságot létesítsünk. Ez azonban, már nem tekinthetı külpontosságnak, hanem, önálló pontmeghatározásnak felfogni. Az új pontot csak az állásponton végzett mérésbıl határozzuk meg, az egyik adott pontra irányt és távolságot mérünk, a másik adott pontra csak irányt mérünk. A feladat vázlatát a 8.37 ábrán mutatjuk be. A feladat egy olyan háromszög megoldását jelenti, amelyben ismert két oldal (a mért távolság és a két adott pontot összekötı oldal) és egy szög (az új ponton mért szög). Geometriából ismerjük, hogy ebben az esetben csak akkor van egyértelmő megoldás, ha az ismert szög a nagyobbik oldallal szemben fekszik. 174

175 Más esetben két megoldása van a feladatnak, ami egyes esetekben nehezen szétválasztható. Ezt a következı képletekkel oldjuk meg. Elıször számítjuk az A és B adott pontok koordinátáiból a δ AB és t AB irányszöget és távolságot, majd a t sin β AP sinγ tab (8.64) összefüggéssel meghatározhatjuk a β szöget. A β szög visszakeresésékor két értéket kapunk az egyik kisebb, mint 90, a másik nagyobb. Ha t AP kisebb, mint t AB távolság, akkor biztos, hogy a β szög kisebb, mint 90, így egyértelmően meghatározható. A háromszög harmadik szögét ( β γ ) α (8.65) a belsı szögek összegébıl számíthatjuk. Az A pontról az új pontra a tájékozott irányértéket a AP AB (8.66) δ δ + α képlettel számíthatjuk. És ezután a P pont polárisan számítható az A pontból. Az ív-oldalmetszés pontosságát szintén a P pontnál jelentjezı hibanégyszöggel jellemezhetjük. Ennek a hibanégyszögnek a kialakításában részt vesz az adott pontok kerethibája, a távolságmérésnek és az iránymérésnek a hibája is. A hibanégyszög területe akkor lesz a legkisebb, azaz az ívoldalmetszés akkor lesz a legpontosabb, ha az AP és BP irányok közel derékszögben metszıdnek. érintı érintı A t AP P a távolság köre ábra. Ív-oldalmetszés számítása B szög köre érintı A érintı t AP O B P ábra. Ív-oldalmetszés pontossága 175

176 8.4 A területszámítás A területszámítás az egyik legfontosabb geodéziai számítási feladat. A geodézia által szolgáltatott mérési adatokból számított területek részét képezik a közhiteles ingatlannyilvántartási térképnek, ezért a területszámítás helyes végrehajtása az egyik legalapvetıbb feladat a mindennapi geodéziai tevékenységben. A kataszteri térkép területi adatai a múltban térképrıl levett méretek alapján születtek, ma digitalizált koordinátákból vagy terepi mérésbıl származó koordinátákból számítjuk a területeket. Ebben a fejezetben a területszámítás elvével és a leggyakrabban használt területszámítási eljárásokkal fogunk megismerkedni A területszámítás megoldási lehetıségei Trapézokra bontás A területet legegyszerőbben trapézokra bontással határozhatjuk meg. A pontokon keresztül húzzuk meg az x tengellyel párhuzamos egyeneseket, az így kialakuló trapézek területét írjuk fel, az óramutató járásával azonos körbejárás mellett ábra. Területszámítás trapézokra bontással ábra. A koordináták felcserélése y1 x + x1 + y3 y x3 + x + y4 y3 x4 + x3 + y5 y4 x5 + x4 + y1 y5 x1 x5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) T y + Általánosan a következı módon írhatjuk fel: T ( y y )( x + x ) (8.67) i+ 1 i i+ 1 i 176

177 ( y + y )( x x ) T i+ 1 i i+ 1 i (8.68) A trapézokra bontást az y tengellyel párhuzamos egyenesekkel is elvégezhetjük. Ekkor a területet azonos (vagyis az óramutató járásával egyezı) körbejárás esetén negatív elıjellel kapjuk meg. Ez megfelel annak, hogy a koordinátákat felcseréljük, a 8.40 ábrán láthatjuk, hogy az idom körbejárása ellenkezıre változik. Ebbıl következik, hogy minden területszámítási képletnek két változata van, ami egymásnak ellenkezı elıjellel adja a területet ábra. Trapéz módszer az y tengely eltolásával Ezeket a képleteket jó használhatjuk programokon belül vagy kézi számoláskor is zsebszámológépek esetén. Nagy számértékő koordináták esetén célszerő az elsı képletnél minden x koordinátából az 1 pont x koordinátáját kivonni, a második képlet esetén minden y koordinátából az 1 pont y koordinátáját levonni. Ekkor a képletek a következı módon alakulnak: ( yi+ 1 yi )( xi 1 + xi x1 ) ( yi+ 1 + yi y1)( xi 1 xi ) T + (8.69) T + (8.70) Ezt azért célszerő megtenni, mert, egyébként a trapézok területe nagy lesz és ez a számítás során igen nagy értékre nıhet fel, és ez jegyveszteséget okozhat Gauss-Elling féle elrendezés 8.4. ábra. Gauss-Elling elrendezés A levezetést folytatva, bontsuk fel az x-t tartalmazó zárójeleket: 177

178 178 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y T (8.71) az x kiemelése után: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y x y y x y y x y y x y y T (8.7) Amit általánosan a következıképpen írhatunk fel: ( ) + i 1 i 1 i x y y T (8.73) Ugyanezt, felírhatjuk az y és x koordináták felcserélésével is. ( ) + i 1 i 1 i y x x T (8.74) Ezek a képletek a mechanikus gépek esetében voltak jól alkalmazhatók, amikor ennek, Gauss-tól eredı képleteknek, Elling-féle elrendezését használták. Ezeknél a képleteknél is szokás volt a koordináták közös részének az elhagyása, a jegyveszteség elkerülése miatt. A 8.4. ábra alapján láthatjuk, hogy a számított részterületek, az egyes szorzatok nehezen követhetı területeket adnak, amíg kialakul az idom területe. Ha az 1 pont koordinátáját levonjuk, minden pont koordinátájából, akkor a fenti képletek az alábbiak szerint alakulnak, ( )( ) + n i 1 i 1 i 1 i x x y y T ( )( ) + n i 1 i 1 i 1 i y y x x T (8.75) A képletek sajátossága, csak koordináta különbségek szerepelnek benne, így a szorzat összegek nem növekednek túlságosan. Az eredetihez képest egy szorzat kiesik, mert értéke mindig 0 lesz, így a ciklus csak (n-1) szorzatból áll. Ezekkel a képletekkel, csak (n-1) különbségképzést és csak (n-1) szorzást kell elvégezni Háromszögekre bontás A területszámítás megoldható még háromszögekre bontással is. A sok töréspontú idomot bontsuk fel egy pontból kiinduló egyenesekkel háromszögekre, egy háromszög területét a következı determináns adja: ábra. Háromszögekre bontás ( )( ) ( )( ) y y x x y y x x 0 y y x x 0 y y x x 1 y x 1 y x 1 y x 1 y x T (8.76) A képlet elınye hogy mindig csak koordináta különbségek szerepelnek.