1. A csoport fogalma 1.1. Szimmetriák leszámlálása A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a k

Átírás

1 . A csoport fogalma.. Szimmetriák leszámlálása A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a következ}o elemi geometriai kérdés megválaszolásával szemléltetjük: Hány olyan egybevágósága vanatérnek, ami sajátmagába visz egy rögz tett kockát? Jelölje G atér azon egybevágóságainak halmazát, amelyek sajátmagába viszik a kijelölt kockát. Egybevágóságon a tér sajátmagába men}o távolságtartó leképezését értjük. Egybevágóságoknak képezhetjük akompoz cióját, továbbá egy egybevágóságnak bijekt v leképezés lévén van inverze, ami szintén egybevágóság. Nyilvánvaló, hogy f;g 2 G esetén f ffi g 2 G és f 2 G. Számozzuk meg a kocka csúcsait az ;::: ;8számokkal. Osztályozzuk G elemeit aszerint, hogy hova viszik az csúcsot. Legyen G = fg 2 G j g() = g. Könnyen látható, hogy tetsz}oleges i csúcshoz létezik olyan f i 2 G, amire f i () = i (ugyanis egy rögz tett lapon belül a lapközépponton átmen}o, a lapra mer}oleges egyenes körüli 90 fokos forgatásokkal akármelyik csúcsot akármelyikbe el tudjuk vinni, a kocka középpontjára való tükrözés pedig a laphoz tartozó négy csúcsot kicseréli a másik négy csúcsra). Könny}u belátni, hogy G azon elemeinek halmaza, amelyek az csúcsot i-be viszik f i ffi G := ff i ffi h j h 2 G g. (Valóban, tegyük fel, hogy g() = i. Ekkor g() = f i (), tehát f i (g()) =, azaz h = f i ffi g eleme G -nek, gy g = f i ffi h 2 f i ffi G. Ford tva, ha g = f i ffi h valamely h 2 G -re, akkor g() = (f i ffi h)() = f i (h()) = f i () = i.) Továbbá f i ffi G elemszáma megegyezik G elemszámával, hiszen az f i ffi g = f i ffi h (g; h S 2 G ) egyenl}oséget balról f i -zel komponálva kapjuk, hogy g = h. Összefoglalva azt 8 kaptuk, hogy G = i= f i ffig páronként diszjunkt, jg j elemszámúrészhalmazokkal való befedése G-nek. Következésképpen jgj =8jG j. Most már elég G elemszámát meghatározni. Alkalmazzuk újra az el}oz}o gondolatmenetet: legyenek az csúcs szomszédai a 2; 3; 4csúcsok. Osztályozzuk G elemeit aszerint, hogy hova viszik a 2-es csúcsot. Mivel fixen marad, a szomszédai egymás közt permutálódnak. Másfel}ol az csúcson átmen}o testátló körüli 20 fokos forgatásokkal 2 elvihet}o a 2; 3; 4 mindegyikébe. Ezért ugyanúgy, mint fenn, kapjuk, hogy jg j =3jG ;2 j, ahol G ;2 = fg 2 G j g(2) = 2g. Az ; 2csúcsokat helybenhagyó egybevágóság 3; 4-et egymás közt permutálja, másfel}ol az 2 élen és akocka középpontján átmen}o s kra való tükrözés valóban kicseréli a 3; 4csúcsokat. Ezért az el}obbiekhez hasonló érveléssel kapjuk, hogy jg ;2 j = 2jG ;2;3 j, ahol G ;2;3 = fg 2 G ;2 j g(3) = 3g. Viszont G tetsz}oleges eleme fixálja a kocka középpontját, így G ;2;3 elemei fixen hagynak négy nem egys kú pontot. Elemi geometriábol tudjuk, hogy ilyen egybevágóság csak egy van, az identitás. Tehát az eredeti kérdésre a válasz: jgj =8 jg j =8 3 jg ;2 j =8 3 2 jg ;2;3 j =8 3 2 =48: A kés}obbi absztrahálás érdekében megjegyezzük, hogy az el}obbi számolásban a következ}oket használtuk ki lényegesen: ffl G elemeinek lehet a kompoz cióját képezni; ffl A kompoz c ó képzése asszociat v; ffl Az identikus leképezés benne van G-ben; ffl Bármely G-beli leképezés inverze benne van G-ben. Ezenk vül hivatkoztunk arra is, G elemei permutálják egy véges halmaz (a csúcsok halmaza) elemeit..2. Absztrakt csoportok.2.. Defin ció. Legyen G egy halmaz, amelyenadott egy kétváltozós m}uvelet, azaz adott egy G G! G leképezés. Az (a; b) 2 G G pár képét jelölje a b, és nevezzük ezt az elemet a és b szorzatának. Azt mondjuk, hogy G a m}uveletre nézve csoportot alkot, ha teljesülnek a következ}ok: (i) Am}uvelet asszociat v, azaz tetsz}oleges a; b; c 2 G esetén (a b) c = a (b c).

2 (ii) Létezik egységelem G-ben, azaz létezik egy olyan elem G-ben jelölje ezt az elemet, amelyre fennáll, hogy tetsz}oleges a 2 G esetén a = a. (iii) G minden elemének van inverze, azaz tetsz}oleges a 2 G elemhez létezik egy olyan elem jelölje ezt az elemet a, amelyre a a ==a a. Könnyen látható, hogy a fenti axiómákból következik az egységelem és az inverz egyértelm}usége. Hagyományos elnevezések és jelölések:. Azt mondjuk, hogy G Abel-csoport, ha a m}uvelet kommutat v, azaz tetsz}oleges a; b 2 G esetén a b = b a. Abel-csoport esetén szokás a m}uveletet összeadásnak nevezni és + jellel jelölni. Ezen addit v rásmód esetén az egységelem bevett elnevezése nullelem, azinverz elnevezése ellentett, jele a. 2. Hacsak nem lesz rá külön okunk, mi csoportról beszélve a.2. Defin cióban használt ún. multiplikat v rásmódot alkalmazzuk. Gyakran elhagyjuk a m}uvelet jelét, és a b helyett ab-t runk. Példák. I. A V euklideszi tér egybevágóságai a kompoz ció m}uveletével, jelölje ezt a csoportot O(V ). Itt az egységelem az identikus leképezés, és egy elem csoportbeli inverze egybeesik a leképezéskénti inverzével. II. A tér azon egybevágóságai, amelyek sajátmagába visznek egy rögz tett kockát. III. Szimmetrikus csoport: Tetsz}oleges X halmaz esetén jelölje S(X)azX halmaz összes permutációinak (azaz az X! X bijekcióknak) a halmazát. S(X) csoportot alkot a kompoz ció m}uveletére nézve, egységelem az identikus permutáció, csoportbeli inverz a leképezéskénti inverz. Speciális eset: az n-edfokú szimmetrikus csoport S n = S(f;::: ;ng). Pl. legyen n = 6, ekkor S egy eleme ß =, ahol az i alatti szám ß(i). Könnyen látható, hogy tetsz}oleges permutáció felbontható atényez}ok sorrendjét}ol eltekintve egyértelm}uen páronként diszjunkt elemhalmazokat mozgató ciklusok szorzataként. Például ß =(43) (5 6), ahol (i i d ) jelöli azt a permutációt, amelynél az i képe i 2, i 2 képe i 3, stb., i d képe i,és az alaphalmaz többi eleme fixen marad (az ilyen permutációneve d-ciklus). IV. (C ; ), azaz a nem-nulla komplex számok a szorzással Defin ció. Legyen G csoport, és H nem-üres részhalmaz G-ben. Ha tetsz}oleges a; b 2 H esetén a b 2 H és a 2 H, akkor a G-beli m}uvelet megszor tható H-ra, és gy csoportot kapunk. Ilyenkor azt mondjuk, hogy H részcsoport G-ben (jele: H» G). Például, legyen X a tér pontjainak halmaza. Ekkor az I. pontban szerepl}o csoport, a tér egybevágóságainak csoportja részcsoport S(X)-ben. A II. pontban szerepl}o csoport pedig egy véges részcsoport atér egybevágóságainak csoportjában Defin ció. Legyen A tetsz}oleges részhalmaz G-ben. Ekkor az A elemeib}ol és inverzeikb}ol képzett véges szorzatok nyilvánvalóan részcsoportot alkotnak G-ben, ez az A által generált részcsoport, jele: hai. Azt mondjuk, hogy az A generálja G-t, ha hai = G. Speciálisan, egyetlen g elem által generált (rész)csoport: hgi = f::: ;g 2 ;g ; ;g;g 2 ;g 3 ;:::g Az egyetlen elem által generált csoportokat ciklikusnak nevezzük. Ha g i = g j csak i = j esetén áll fenn, akkor végtelen ciklikus csoportot kapunk. Ezek "ugyanolyanok" (ennek jelentését mindjárt prec zen megfogalmazzuk), mint (Z; +) azaz az egész számok a szokásos összeadásra nézve. Amennyiben van olyan i<j hogy g i = g j, akkor ezt az egyenl}oséget (g i ) = g i -vel szorozva nyerjük, hogy g j i =. Jelölje n a legkisebb olyan pozit v egészet, amelyre g n =. Ekkor hgi = fg; g 2 ;::: ;g n ;g n =g n elem}u ciklikus csoport. összeadással. Ez olyan, mint (Z=n; +), azaz a modulo n maradékosztályok a szokásos.2.4. Defin ció. Egy g 2 G csoportelem rendje o(g) =jhgij. 2

3 A rend szerepét mutatja az alábbi triviális áll tás:.2.5. Áll tás. Legyen g véges rend}u elem a G csoportban. Ekkor valamely n egészre g n =akkor és csak akkor teljesül, ha o(g) osztója n-nek. Az. alfejezetben szerepl}o csoport elemeit beosztottuk azonos elemszámú részhalmazokba. Ez a fajta osztályozás megfogalmazhatóáltalában, tetsz}oleges csoport esetén. Legyen H részcsoport a G csoportban, g 2 G. A g elem H szerinti baloldali mellékosztálya gh := fgh j h 2 Hg. Mivel 2 H, ezért g 2 gh, azaz minden elem benne van az }o baloldali melékosztályában. Ford tva, az is igaz, hogy egy baloldali mellékosztály képviselhet}o bármelyik elemével, azaz ha f 2 gh, akkor fh = gh. Valóban, el}oször nézzük meg az mellékosztályát, azaz H-t. Legyen h 2 H, ekkor hh = fhh 0 j h 0 2 Hg H, mivel H részcsoport. Másfel}ol tetsz}oleges h 0 2 H fel rható h(h h 0 ) alakban, és h h 0 2 H miatt kapjuk, hogy h 0 2 hh. Tehát hh = H tetsz}oleges h 2 H esetén. Legyen most f 2 gh, azaz f = gh valamely h 2 H-ra. Ekkor fh =(gh)h = g(hh) =gh. Beláttuk tehát, hogy két H szerinti baloldali mellékosztályvagy diszjunkt, vagy egybeesik (ui. tegyük fel, hogy x 2 gh fh,akkor gh = xh = fh). Tehát a H szerinti baloldali mellékosztályok páronként diszjunkt részhalmazokkal való befedését adják G-nek. A H szerinti baloldali mellékosztályok számát H indexének nevezzük, és [G : H]-val jelöljük. Ebb}ol az egyszer}u észrevételb}ol azonnal er}os aritmetikai feltételt kapunk egy véges csoport részcsoportjának elemszámára:.2.6. Tétel (Lagrange tétele). Legyen G véges csoport. Ekkor G bármelyik H részcsoportjának elemszáma osztója G elemszámának. Pontosabban szólva, fennáll a jgj = jhj [G : H] egyenl}oség. Bizony tás. Legyen H részcsoport G-ben, és tekintsünk egy gh baloldali mellékosztályt. Mivel a gh = gh 2 egyenl}oségb}ol (balról g -zel szorozva) következik h = h 2, azért a g-vel való balról szorzás megad egy H! gh bijekciót, gy jghj = jhj. Tehát a H szerinti baloldali mellékosztályok [G : H] darab, páronként diszjunkt, jhj elemszámú részhalmazzal való befedését adják G-nek, következésképpen jgj = jhj [G : H] Következmény. Véges csoport tetsz}oleges elemének a rendje osztója a csoport elemszámának. Térjünk vissza az I. Példában szerepl}o O csoporthoz. Atér egybevágóságaihoz szokás el}ojelet rendelni. Legyen sgn : O! f; g az a leképezés, amelyik az irány tástartó egybevágóságokhoz (mozgásokhoz) -et, az irány tásváltókhoz -et rendel. A f ; g halmaz is csoport a szokásos szorzással (részcsoportja a IV. Példában szerepl}o csoportnak). A sgn leképezés jól ismert alapvet}o tulajdonsága, hogy bármely két elem szorzatának képe a képek szorzata, azaz pl. irány tásváltó egybevágóságok kompoz ciója irány tástartó, stb. Kimondatlanulbár,de lényeges szerepet játszottak az. alfejezetben is csoportok közötti m}uvelettartó leképezések. Legyen G az ott szerepl}ocsoport, és legyen ffi : G! S 8 az a leképezés, ami egy a kockát sajátmagába képez}o egybevágósághoz hozzárendeli azt a permutációt, ahogyan g permutálja az f; 2;::: ; 8g csúcsokat. Világos, hogy egybevágóságok kompoz ciója úgy permutálja a csúcsokat, ahogyan a megfelel}o permutációk kompoz ciója Defin ció. Egy ffi : G! H csoportok közötti leképezést homomorfizmusnak nevezünk, ha m}uvelettartó, azaz tetsz}oleges a; b 2 G esetén fennáll, hogy ffi(a b) =ffi(a) ffi(b). A ffi homomorfizmust izomorfizmusnak nevezzük, ha injekt v és szürjekt v. Azt mondjuk, hogy G és H csoportok izomorfak, ha létezik G! H izomorfizmus. Legyen ffi : G! H homomorfizmus. A defin ciókból azonnal adódik, hogy ffi( G )= H és ffi(g )= ffi(g). Továbbá, ffi(a) =ffi(b), ffi(a) ffi(b) =, ffi(a b)=. A G-beli részhalmazt a ffi magjának, m g az ker(ffi) :=fg 2 G j ffi(g) =g im(ffi) :=fh 2 H j9g 2 G : ffi(g) =hg H-beli részhalmazt a ffi képének nevezzük. Nyilvánvaló, hogy im(ffi)részcsoport H-ban és ker(ffi)részcsoport G-ben. S}ot, ker(ffi) rendelkezik egy olyan tulajdonsággal is, ami nem teljesül minden részcsoportra. Nevezetesen, ha ffi(g) =, akkor tetsz}oleges x 2 G esetén ffi(xgx )=ffi(x)ffi(g)ffi(x )=ffi(x) ffi(x) =. 3

4 .2.9. Defin ció. Legyen N részcsoport a G csoportban. Azt mondjuk, hogy N normálosztó (vagy normális részcsoport) G-ben (jele: N /G), ha tetsz}oleges n 2 N és g 2 G esetén gng is benne van N-ben. Ezen fogalom bevezetése után az el}obbi meggondolásunk a következ}oképpen fogalmazható:.2.0. Áll tás. Homomorfizmus magja normálosztó, azaz tetsz}oleges ffi : G! H homomorfizmusra ker(ffi) /G. A H részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokhoz hasonlóan definiálhatjuk a jobboldali mellékosztályokat is: a g 2 G elem H szerinti jobboldali mellékosztálya Hg := fhg j h 2 Hg. A normálosztóság tulajdonsága úgy is jellemezhet}o, hogy tetsz}oleges elem baloldali illetve jobboldali mellékosztálya megegyezik (a kérdéses részcsoport szerint):.2.. Áll tás. A G csoport N részcsoportjára az alábbiak ekvivalensek: (i) N normálosztó G-ben. (ii) Tetsz}oleges g 2 G-re gn = Ng. (i) ) (ii): gn = fgn j n 2 Ng = f(gng )g j n 2 Ng Ng. Hasonlóan kapjuk, hogy Bizony tás. Ng gn. (ii) ) (i): Tetsz}oleges n 2 N esetén gn 2 gn = Ng,tehát van olyan n 0 2 N, amelyre gn = n 0 g. Innen gng = n 0 2 N, gy N/G. Legyen N/G,és g N, g 2 N két N szerinti melékosztály. Vegyünk egy-egy elemet mindkét mellékosztályból: g 0 = g n és g 0 2 = g 2 n 2,aholn ;n 2 2 N. Képezzük a szorzatukat: g 0 g0 2 =(g n )(g 2 n 2 )=g (n g 2 )g 2 = g (g 2 (g 2 n g 2 ))n 2 =(g g 2 )(n 0 n 2 ) 2 (g g 2 )N. Azt kaptuk tehát, hogy rögz tvekét N szerinti mellékosztályt, bármely két bel}olük vett elempár szorzatának ugyanaz az N szerinti mellékosztálya. Ezért értelmes a következ}o defin ció:.2.2. Defin ció. Legyen N normálosztó G-ben. A G=N factorcsoport elemei az N szerinti mellékosztályok, és az an, bn mellékosztályok szorzata (an) (bn) :=abn: (Az el}obbi megfigyelésünk szerint abn csak az a és b N szerinti mellékosztályától függ.) Világos, hogy G=N a megadott m}uvelettel csoport; az egységelem az N mellékosztály, m g az an mellékosztály inverze a N. Példa. Legyen G = Z, az egész számok addit v csoportja, és n pozit v egész. Jelölje nz az n-nel osztható egészek halmazát. Könny}u ellen}orizni, hogy nz részcsoport Z-ben, s}ot, minthogy Z Abel-csoport, nz automatikusan normálosztó. Így képezhetjük az Z=nZ faktorcsoportot. Ez nem más, mint a modulo n maradékosztályok addit v csoportja. A faktorcsoport defin ciójából azonnal következik, hogy az : G! G=N, g 7! gn leképezés szürjekt v homomorfizmus, és ker( ) = N. Ezt a homomorfizmust természetes homomorfizmusnak szokás nevezni. Az alábbi áll tás azt mondja, hogy bizonyos értelemben minden csoporthomomorfizmus ilyen:.2.3. Áll tás (Homomorfizmus-tétel). Legyen ffi : G! H homomorfizmus. Akkor im(ffi) ο = G= ker(ffi). Bizony tás. Korábban már meggondoltuk, hogy két G-beli elemnek akkor és csak akkor ugyanaz a képe, ha megegyezik a ker(ffi) szerinti mellékosztályuk. Így tetsz}oleges h 2 im(ffi) esetén ffi (h) egyker(ffi) szerinti mellékosztály. Tekintsük az ff : im(ffi)! G= ker(ffi), h 7! ffi (h) leképezést. A ffi m}uvelettartóságából adódik, hogy ff homomorfizmus. Triviális, hogy ff bijekt v, azaz ff izomorfizmus. 4

5 .3. Csoporthatások Egy tér szimmetriáin azon önmagára való bijekt v leképezéseit szoktuk érteni, amelyek meg}oriznek az adott környezetben lényegesnek min}osül}o mennyiségeket vagy tulajdonságokat. A csoportelmélet jelent}osége abban áll, hogy egy tér szimmetriáinakösszessége rendelkezik természetes csoport-struktúrával. Ennek megfelel}oen amint arra az. alfejezet ésatovábbi példáink többsége is vallott, a csoportok általában egy halmazon való permutációs hatással együtt jelennek meg a matematikában..3.. Defin ció. Legyen G egy csoport, X pedig egy halmaz. Tegyük fel, hogy adott egy s : G! S(X) homomorfizmus. Ekkor azt mondjuk, hogy G hat az X halmazon, és használjuk a következ}o jelölést: g 2 G és x 2 X esetén g x := (s(g))(x). Az, hogy s csoporthomomorfizmus,egyenérték}u azzal, hogy a fenti jelölésre érvényes a (gh) x = g (h x) (g; h 2 G, x 2 X) azonosság. További elnevezések: ffl G x := fg x j g 2 Gg az x pályája. (A különböz}o pályák part cióját azaz páronként diszjunkt részhalmazokkal való befedését alkotják X-nek.) ffl G x := fg 2 G j g x = xg az x stabilizátora. (Nyilvánvaló, hogy G x részcsoport G-ben.) ffl G-nek az X-en való hatása h}uséges, ha s injekt v. (Ilyenkor G izomorf im(s)-sel, azaz S(X) egy részcsoportjával.) ffl G-nek az X-en való hatása tranzit v, ha csak egy pálya van, azaz tetsz}oleges x; y 2 X-hez létezik olyan g 2 G, amelyre y = g x Áll tás. Tegyük fel, hogy G hat X-en, és legyen x 2 X. Ekkor az x pályájának elemei kölcsönösen egyértelm}u megfeleltetésben állnak G-nek a G x szerinti baloldali mellékosztályaival. Bizony tás. Tetsz}oleges g; h 2 G-re g x = h x, (h g) x = x, h g 2 G x, gg x = hg x. Ez azt jelenti, hogy y 7! fg 2 G j g x = yg (y 2 G x) ak vánt megfeleltetés. Ebb}ol és Lagrange tételéb}ol adódik a következ}o formula:.3.3. Következmény. Tegyük fel, hogy a G véges csoport hat az X halmazon. Ekkor tetsz}oleges x 2 X esetén fennáll, hogy jgj = jg x j jg xj: Megjegyezzük, hogy az. alfejezetben éppen ennek a formulának az ismételt alkalmazásával határoztuk meg a kocka szimmetriáinak számát. 2. Lineáris csoportábrázolások 2.. Ábrázoláselméleti alapfogalmak Legyen V egy vektortér a K test felett (K = R vagy K = C ). Jelölje GL(V ) a lineáris transzformációk részcsoportját S(V )-ben. Ez az általános lineáris csoport Defin ció. A G csoport V vektortéren való ábrázolásán egy ρ : G! GL(V ) homomorfizmust értünk. Adott ábrázolásra használjuk a g v := ρ(g)(v) (g 2 G; v 2 V ) jelölést. (Mivel ρ(g) lineáris, azért g ( v + 2 v 2 )= (g v )+ 2 (g v 2 ) tetsz}oleges g 2 G, v ;v 2 2 V és ; 2 2 K esetén.) Az ábrázolás dimenziója dim(v ). Komplex ábrázolásról beszélünk, ha K = C, és valós ábrázolásról, ha K = R Defin ció. A ρ : G! GL(V ) és ρ 2 : G! GL(V 2 ) ábrázolások közötti kapcsoló operátorok azon T : V! V 2 lineáris leképezések, amelyekre T ffi ρ (g) =ρ 2 (g) ffi T bármely g 2 G esetén. Ha ráadásul T bijekt v, akkor izomorfizmusnak nevezzük. A ρ és ρ 2 ábrázolások izomorfak (jele: ρ ο = ρ2 ), ha létezik köztük izomorfizmus. 5

6 Legyen : G! GL(V ) egyábrázolás. A V vektortér W alterét invariáns altérnek nevezzük, ha bármely g 2 G-re és w 2 W -re g w 2 W. Ekkor a ρ(g) transzformációmegszor tható W -re, az gy kapott ρ W : G! GL(W ), g 7! ρ(g)j W ábrázolás neve részábrázolás. Tekintsük most a V=W faktorteret, ennek elemei a v +W mellékosztályok. W invariáns altér, ezért v +W = v 0 +W -b}ol következik, hogy g v +W = g v 0 +W. Így definiálhatjuk a ρ V=W : G! GL(V=W) faktorábrázolást a ρ V=W (g)(v + W ):=g v + W formulával. Tegyük fel, hogy V a V és V 2 invariáns altereinek direkt összege. Ez azt jelenti, hogy tetsz}oleges v 2 V egyértelm}uen el}oáll v = v + v 2 alakban, ahol v 2 V, v 2 2 V 2, gy ρ(g)(v) = ρ V (g)(v )+ρ V2 (g)(v 2 ). Ekkor azt mondjuk, hogy ρ a ρ V és ρ V2 ábrázolások összege, ennek jele: ρ = ρ V + ρ V2. Ebben az esetben ρ V=V ο = ρv2. Ford tva, ha adottak a ρ i : G! GL(V i )(i =; 2) ábrázolások, akkor definiálhatunk egy ρ + ρ 2 -vel jelölt ábrázolást a V és V 2 vektorterek direkt összegén a (ρ + ρ 2 )(g)(v ;v 2 ) := (ρ (g)(v );ρ 2 (g)(v 2 )) formulával. Azt mondjuk, hogy a ρ ábrázolás irreducibilis, ha nincs valódi (azaz a f0g-tól és az egész tért}ol különböz}o) invariáns altér. Ha W valódi invariáns altér, akkor ρ bizonyos értelemben a ρ W és a ρ V=W ábrázolásokból épül fel (látni fogjuk azonban, hogy ρ W és ρ V=W nem mindig határozza meg egyértelm}uen ρ-t). Ezért az ábrázolások osztályozásában az els}o lépés az irreducibilisek áttekintése Abel-csoportok véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolásai Lemma (Schur-lemma I.). Egy csoport irreducibilis ábrázolásai közti kapcsoló operátor vagy izomorfizmus, vagy a nulla leképezés. Bizony tás. Legyenek ρ i : G! GL(V i ), i =; 2 irreducibilis ábrázolásai G-nek, és legyen T : V! V 2 kapcsolóoperátor. ker(t )invariáns altér V -ben, u.i. T (v) = 0-ból következik, hogy 0 = g T (v) =T (g v), azaz g v 2 ker(t ). Hasonlóan im(t )invariáns altér V 2 -ben. Következésképpen ha T 6= 0,akkor ker(t )= f0g és im(t )=V 2, tehát T izomorfizmus Lemma (Schur-lemma II.). Legyen ρ : G! GL(V ) véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolás. Ekkor ρ bármely endomorfizmusa, azaz bármely T : V! V kapcsoló operátor (ρ és ρ között) skalárral való szorzás. Bizony tás. Legyen 2 C sajátértéke T -nek. Világos, hogy a T 0 = T id V : V! V leképezés is endomorfizmus. T 0 nem izomorfizmus, hiszen ker(t 0 ) tartalmazza a -hoz tartozó sajátalteret. Így Schur-lemma I. szerint T 0 = 0, azaz T = id V Tétel. Abel-csoport véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolása -dimenziós. Bizony tás. Legyen G Abel-csoport, és ρ : G! GL(V ) véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolás. Rögz tsünk egy tetsz}oleges g elemet G-ben. Bármely x 2 G-re fennáll, hogy ρ(g) ffi ρ(x) = ρ(gx) = ρ(xg) = ρ(x) ffi ρ(g). Ez azt jelenti, hogy ρ(g) endomorfizmusa ρ-nak, gy Schur-lemma II. szerint skalárral való szorzás. Tehát bármely g 2 G skalárral való szorzásként hat V -n, következésképpen V minden altere invariáns altér. Ezért ρ csak úgy lehet irreducibilis, hogy dim(v ) =. Példa. A fenti tételben lényeges feltétel, hogy komplex ábrázolásról van szó. Legyen ugyanis V a 2- dimenziós valós euklideszi tér, és G =(R; +), a valós számok addit v csoportja. Legyen ρ : G! GL(V )az a leképezés, ami a ff valós számhoz hozzárendeli az origó középpontú ff szög}u forgatást. Ez egy 2-dimenziós valós irreducibilis ábrázolása egy Abel-csoportnak Mátrix ábrázolások Jelölje GL(n; K) az n n-es nem-nulla determinánsú K feletti mátrixok halmazát, ez csoport a mátrix szorzással Defin ció. Egy G! GL(n; K) homomorfizmust a G csoport n-edfokú mátrix ábrázolásńak nevezzük. (Ezt felfoghatjuk a K n oszlopvektorok terén való ábrázolásnak, azonos tva egyn n-es mátrixot avele való szorzással, mint K n! K n lineáris leképezéssel.) 6

7 Legyen V n-dimenziós K-vektortér. V -beli bázis választása meghatároz egy GL(V )! GL(n; K) izomorfizmust. Valóban, rögz tsünk egy b =(b ;::: ;b n )bázist V -ben. Tetsz}oleges v 2 V egyértelm}uen fel rható v = v b + + v n b n alakban (v i 2 K), jelölje v b a V koordináta-mátrixát, azaz a (v ;::: ;v n ) t oszlopvektort. Véve egya 2 GL(V ) lineáris transzformációt, legyen A b az az n n-es mátrix, amelynek i-edik oszlopa A(b i ) b. Ezt az A transzformáció b bázisbeli mátrixának nevezik, mert minden v 2 V -re teljesül az A(v) b = A b v b összefüggés. Következésképpen az A! A b leképezés egy GL(V )! GL(n; K) izomorfizmus. Ennek megfelel}oen, a ρ : G! GL(V ) n-dimenziós ábrázoláshoz a b bázis választása hozzárendeli a ρ b : G! GL(n; K), g 7! ρ(g) b mátrix ábrázolást. Legyen b 0 egy másik bázis, és T a bázisáttérés mátrixa, azaz T i-edik oszlopa a (b 0 i) b. Ekkor a ρ b és a ρ b 0 mátrix ábrázolások között az a kapcsolat, hogy ρ b 0(g) =T ρ(g)t minden g 2 G-re. Ez motiválja az alábbi defin ciót: Defin ció. Azt mondjuk, hogy a ρ : G! GL(n; K) és ρ 0 : G! GL(n; K) mátrix ábrázolások ekvivalensek, halétezik olyan T 2 GL(n; K), amelyre ρ 0 (g) =T ρ(g)t minden g 2 G-re. Lineáris algebrai trivialitás a következ}o: Áll tás. A G csoport n-dimenziós ábrázolásainak izomorfia osztályai kölcsönösen egyértelm}u megfeleltetésben állnak G n-edfokú mátrix ábrázolásainak ekvivalencia osztályaival, méghozzá úgy, hogy a ρ : G! GL(V ) ábrázolás izomorfia osztályának megfelel a ρ b mátrix ábrázolás ekvivalencia osztálya, ahol b tetsz}oleges bázis V -ben. Érdemes meggondolni, hogyan jelennek meg a rész illetve faktor ábrázolások a mátrix ábrázolásban. Legyen ρ : G! GL(V )véges dimenziós ábrázolás, W» V invariáns altér, ~ b =(b ;::: ;b k )bázis W -ben, ezt egész tsük ki V b =(b ;::: ;b n )bázisává, gy μ b =(b k+ + W;::: ;b n + W )bázis V=W-ben. Ekkor a ρ b mátrix ábrázolás a következ}o alakú: ρw (g) ρ b (g) = ~ b 0 ρ V=W (g)μb Amennyiben a W invariáns altérnek létezik U invariáns direkt kiegész t}oje, azaz ρ = ρ W + ρ U, akkor válszthatjuk a b bázist úgy, hogy ^b =(b k+ ;::: ;b n )bázis legyen U-ban, és ekkor ρ b (g) = ρw (g) ~ b 0 : 0 ρ U (g)^b 3. Teljesen reducibilis ábrázolások 3.. Irreducibilis ábrázolások összegei 3... Defin ció. A ρ : G! GL(V ) ábrázolás teljesen reducibilis, ha tetsz}oleges U» V invariáns altérnek létezik invariáns direkt kiegész }oje, azaz létezik olyan W invariáns altér, amelyre V V = U + W, U W = f0g). = U Φ W (azaz Példa. Tekintsük C a komplex számok csoportját az összeadással, és legyen ρ : C! GL(2; C ), t 7! t 0. Az t 0 t 0 0 t + t 0 = 0 egyenl}oség mutatja, hogy ρ ábrázolása (C ; +)-nak a C 2 vektortéren. Megmutatjuk, hogy csak egy valódi invariáns altér van. Vegyünk ugyanis egy U valódi invariáns alteret. Ez szükségképpen -dimenziós, mondjuk az u 2 U generálja. Az, hogy C u invariáns altér, azt jelenti, hogy u közös sajátvektora az összes ρ(t)-nek. Ebb}ol következik, hogy U = f x j x 2 C g. Ez valóban invariáns altér, és az elmondottakból 0 nyilvánvaló, hogy nincs invariáns direkt kiegész t}oje. 7

8 3..2. Áll tás. Teljesen reducibilis ábrázolás része, faktora is teljesen reducibilis. Bizony tás. Legyen ρ : G! GL(V ) teljesen reducibilis ábrázolás, U» V invariáns altér. Ekkor a feltevés szerint tetsz}oleges W» U invariáns altérhez létezik olyan W invariáns altér, amelyre V = W ΦW. Ekkor U = W Φ (W U), és nyilvánvaló, hogy W U is invariáns altér. A faktor esete a visszavezethet}o a rész esetére, mivel ρ V=U ο = ρu, ahol U az U invariáns direkt kiegész t}oje Lemma. Legyen ρ : G! GL(V ) ábrázolás, és tegyük fel, hogy V = V + + V m, ahol V i minimális invariáns altér V -ben (i =;::: ;m), azaz ρ Vi irreducibilis. Ekkor tetsz}oleges U» V invariáns altérhez létezik fi ;::: ;i p g f;::: ;mg úgy, hogy V = U Φ V i Φ ΦV ip. Speciálisan, irreducibilis ábrázolások összege teljesen reducibilis. Bizony tás. Legyen fi ;::: ;i p g maximális olyan részhalmaza f;::: ;mg-nek, hogy az U; V i ;::: ;V ip alterek bármelyike diszjunkt a többi összegét}ol. Jelölje ezen alterek összegét W,nyilván W = U Φ V i Φ ΦV ip. Megmutatjuk, hogy W = V. Ehhez elég belátni, hogy W V j (j =;::: ;m). Ez j 2fi ;::: ;i p g esetén triviális. Legyen j ezekt}ol az indexekt}ol különböz}o. A V j W invariáns altér V j -ben, és nem-nulla, mert különben j hozzávehet}o lenne fi ;::: ;i p g-hez. Így V j minimalitása miatt V j W = V j, azaz V j» W Tétel. (i) Véges dimenziós ábrázolás akkor és csak akkor teljesen reducibilis, ha irreducibilisek összege. (ii) Tegyük fel, hogy ρ = ρ + + ρ m, ahol ρ i irreducibilis. Ekkor ρ tetsz}oleges része vagy faktora ρ ;::: ;ρ m közül néhánynak az összegével izomorf. (iii) Tegyük fel, hogy a ρ : G! GL(V ) ábrázolásra fennáll, hogy ρ + + ρ m = ρ = ff + + ff p, ahol ρ i ;ff j irreducibilis ábrázolásai G-nek. Ekkor m = p, és ρ i ο = ffi (i =;::: ;m) alkalmas indexelés esetén. Azaz egy ábrázolás irreducibilisek összegére való felbontása izomorfia erejéig egyértelm}u (feltéve, hogy létezik). Megjegyzés. A teljesen reducibilis ρ ábrázolás irreducibilisek összegére való felbontásában természetesen egymással izomorf tagok is szerepelhetnek, mondjuk ρ = ρ + ρ ρ m + ρ ρ k + + ρ m k k ; ahol ρ j i ο= ρ i, i = ;::: ;k, j = ;::: ;m i, és ρ ;::: ;ρ k pároként nem-izomorf irreducibilisek. Ekkor azt mondjuk, hogy ρ irreducibilis komponensei ρ ;::: ;ρ k (itt ρ i egy P izomorfia osztályt képvisel, és csak izomorfia erejéig meghatározott), és a ρ i multiplicitása m i ; jele: ρ ο k = i= m iρ i. A 3..4 Tétel (iii) szerint az irreducibilis komponensek izomorfia t pusa és multiplicitásuk jól definiált (és persze csak ρ izomorfia t pusától függ), továbbá nyilvánvaló, hogy izomorfia erejéig meghatározzák ρ-t. Bizony tás. (i) (: Következik a 3..3 Lemmából, U = f0g választással. ): Legyen ρ teljesen reducibilis ábrázolás a V véges dimenziós vektortéren. Alkalmazzunk indukciót dim(v )-re. Ha ρ irreducibilis, akkor készen vagyunk. Ha U egy valódi invariáns alér, akkor ρ = ρ U + ρ W, ahol W az U invariáns direkt kiegész t}oje, és a 3..2 Áll tás szerint ρ U ;ρ W teljesen reducibilisek. Az indukciós feltevés szerint ρ U ;ρ W irreducibilisek összege, tehát ugyanez igaz ρ-ra is. (ii) A feltevés szerint azábrázolás tere V = V Φ ΦV m, ahol ρ i = ρ Vi, azaz V i minimális invariáns altér. Legyen U tetsz}oleges invariáns altér V -ben. A 3..3 Lemma alapján V = U Φ V i Φ ΦV ip, tehát ρ V=U = ρ Vi Φ ΦV ip = ρ i + + ρ ip. A részre vonatkozó áll tás visszavezethet}o erre, a már látott módon. (iii) A feltevés szerint V Φ ΦV m = U Φ ΦU p,aholρ Vi = ρ i és ρ Uj = ff j. Alkalmazzunk indukciót m-re. Az m = eset triviális. Legyen m>. A 3..3 Lemma szerint V = U Φ V i Φ V ik. Jelölje fj ;::: ;j m k g az fi ;::: ;i k g halmaz komplementerét f;::: ;mg-ben. Ekkor ff = ρ U = ρ V=Vi Φ ΦV ip ο = ρvj Φ ΦV jm k = ρ j + + ρ jm k ; 8

9 amib}ol m k = és ff = ρ j következik. Feltehet}o, hogy j =. Kijött, hogy ff ο = ρ és V = U ΦV 2 Φ ΦV m. Innen ρ V=U ο = ρ2 + +ρ m. Másfel}ol ρ V=U ο = ρu2φ ΦU p = ff 2 + +ff p. Az indukciós feltevést alkalmazva aρ V=U ábrázolásra nyerjük a k vánt áll tást. Az alábbi következmény felfogható azon jól ismert lineáris algebrai tény általános tásának, miszerint egy lineáris transzformáció különböz}o sajátértékeihez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek Következmény. Legyenek V ;::: ;V m minimális invariáns alterek a ρ ábrázolás terében úgy, hogy ρ V ;::: ;ρ Vm páronként nem-izomorfak. Ekkor a V ;::: ;V m alterek lineárisan függetlenek. Bizony tás. Tegyük fel, hogy valamely k 2f;::: ;m g-re V ;::: ;V k lineárisan független, de V ;::: ;V k+ lineárisan összefügg}o, azaz f0g 6= V k+ (V + + V k ) =: W. Mivel W nem-nulla invariáns altér, és benne van a V k+ minimális invariáns altérben, azért W = V k+, tehát V k+» V + + V k. Tehát a ρ V + + ρ Vk ábrázolásnak (ami a 3..3 Lemma szerint teljesen reducibilis) van ρ Vk+ -gyel izomorf részábrázolása. Ez ellentmond a 3..4 Tétel (ii) áll tásának. A fenti 3..4 Tétel az irreducibilisek összegeként való el}oáll tásnak csak az izomorfia erejéig való egyértelm}uségét áll tja, de nem mondja azt, hogy az ábrázolás terének minimális invariáns alterek összegeként való el}oáll tása egyértelm}u. Ez utóbbi általában nem igaz: tekintsük például egy akármilyen csoportnak a triviális hatását egy legalább 2-dimenziós vektortéren. Ekkor minden altér invariáns, és az egész tér végtelen sokféleképpen el}oáll -dimenziósak összegeként. Van azonban egy fontos olyan eset, amikor igaz ez az er}osebb értelemben vett egyértelm}uség, err}ol szól a következ}o lemma Lemma. Tegyük fel, hogy a ρ : G! GL(V ) ábrázolásra fennáll, hogy V = V Φ ΦV m, ahol V i minimális invariáns alterek, és a ρ Vi irreducibilis ábrázolások páronként nem-izomorfak. Ekkor V tetsz}oleges invariáns altere V ;::: ;V m közül néhánynak az összege. Bizony tás. Elég belátni, hogy tetsz}oleges U minimális altér egybeesik V ;::: ;V m valamelyikével. A 3..4 Tétel szerint ρ U ο = ρvi valamelyik i-re, feltehetjük, hogy ρ U ο = ρv. Tekintsük a P : V! V 2 + +V m projekciót, melyre ker(p ) = V. Világos, hogy Pfi U : U! V V m kapcsoló operátor a ρ U és a ρ V2+ +V m ábrázolások között. Ha Pfi U 6= 0, akkor az U képén egy ρ V -gyel izomorf részábrázolást kapunk ρ V2+ +V m ο = ρv2 + + ρ Vm -ben, ami lehetetlen a 3..4 Tétel szerint. Tehát U» ker(p ) = V, és V minimalitása miatt gy U = V Unitér ábrázolások Defin ció. Azt mondjuk, hogy a ρ : G! GL(V ) ábrázolás unitér, halétezik olyan ( ; ) :V V! K skaláris szorzat V -n, ami G-invariáns, azaz tetsz}oleges g 2 G és v; w 2 V esetén (gv; gw) =(v; w). (K = R esetén az unitér ábrázolást ortogonális ábrázolásnak szokás nevezni.) A kés}obbiekben ha adott unitér ábrázolásról beszélünk, akkor azt automatikusan úgy értjük, hogy az ábrázolás terén rögz tettünk egy invariáns skaláris szorzatot, gy az ábrázolás tere nem csak vektortér, hanem komplex (ill. valós) euklideszi tér, és használjuk a szokásos euklideszi térben értelmezett fogalmakat. Legyen ρ : G! GL(V )véges dimenziós unitér ábrázolás, és legyen b =(b ;::: ;b n ) ortonormált bázis V -ben, tehát (x; y) =x b y b,aholjelöli a megfelel}o mátrix transzponáltjának a komplex konjugáltját. Akkor x b y b = (x; y) = (gx; gy) = (ρ(g) b x b ) (ρ(g) b y b ) = x b (ρ(g) b ρ(g) b)y b minden x; y 2 V -re. Ebb}ol következik, hogy ρ(g) b = ρ(g) b, azaz ρ(g) b unitér mátrix. Jelölje U n (C )=fa 2 GL(n; C ) j A = A g az unitér mátrixok részcsoportját GL(n; C )-ben. Azt kaptuk, hogy ρ b : G! U n (C ) unitér mátrixábrázolás. A K = R speciális esetben ez azt jelenti, hogy ortogonális ábrázoláshoz ortonormált bázisban fel rt mátrixábrázolás ortogonális mátrixokból áll, azaz ρ b : G! O n (R) =fa 2 GL(n; R) j A = A t g Lemma. Véges dimenziós unitér ábrázolás teljesen reducibilis. 9

10 Bizony tás. Legyen U» V invariáns altér a V véges dimenziós térben, amelyen unitéren hat egy G csoport. Ekkor U-nak létezik invariáns direkt kiegész t}oje, méghozzá U? = fv 2 V j 8u 2 U : (u; v) = 0g. A V véges dimenziósságából következik, hogy V = U Φ U?, és tetsz}oleges v 2 U?, g 2 G, u 2 U esetén (u; gv) =(g u; v) =0,mertg u is benne van az U invariáns altérben. Tehát U? invariáns altér. Látni fogjuk a kés}obbiekben, hogy az érdekes csoportábrázolások széles osztálya unitér, gy a fenti Lemma garantálja a teljes reducibilitásukat. Ennek illusztrálására szolgáljon a következ}o: Tétel. Véges csoport tetsz}oleges véges dimenziós ábrázolása unitér. Bizony tás. Rögz tsünk egy tetsz}oleges skaláris szorzatot az ábrázolás terén, V -n, majd ezt "átlagoljuk ki" a G csoportra, és gy kapjuk a k vánt invariáns skaláris szorzatot: Legyen [ ; ] :V V! K tetsz}oleges skaláris szorzat, és definiáljuk a ( ; ) :V V! K függvényt az (x; y) := X g2g[gx; gy] P g2g [g(hx);g(hy)] = P g2g [(gh)x; (gh)y] =P g2g formulával. Rutin ellen}orzés mutatja, hogy ( ; ) skaláris szorzat, ráadásul bármely h 2 G-ra (hx; hy) = [gx; gy] =(x; y), azaz ( ; ) invariáns is Kompakt csoportok ábrázolásainak unitérsége Az alkalmazásokban leggyakrabban el}oforduló csoportok topologikus struktúrával is rendelkeznek. Emlékeztetünk a topológia fogalmára: azt mondjuk, hogy az X halmazon adott egy topológia, ha adott X úgynevezett ny lt részhalmazainak rendszere úgy, hogy ny ltak véges metszete és tetsz}oleges egyes tése is ny lt, továbbá az ;;X ny ltak. Egy topologikus terek közti leképezést folytonosnak nevezünk, ha ny lt halmazok }osképe is ny lt. Egy részhalmazt zártnak nevezünk, ha a komplementere ny lt. Adott X; Y topologikus terek esetén az X Y teret ellátjuk az ún. szorzattoplógiával. Itt a ny lt halmazok rendszerének bázisát alkotják az U V halmazok, ahol U X, V Y ny ltak Defin ció. Legyen G csoport, amelyen adott egy topológia. Azt mondjuk, hogy G topologikus csoport, ha a csoportm}uveletek folytonosak, azaz a G G! G, (g; h) 7! g h és G! G, g 7! g leképezések folytonosak. Példák.. GL(n; K) a K n n euklideszi topológiája által indukált topológiával. (Megjegyezzük, hogy GL(n; K) ny lt részhalmaz K n n -ben.) 2. K n addit v csoportja az euklideszi topológiával. 3. Bármely topologikus csoport részcsoportja az indukált topológiával. 4. Tetsz}olges G csoport a diszkrét topológiával. (Ebben az esetben persze a topológia semmilyen extra információt nem tartalmaz, hiszen G minden részhalmaza ny lt, következésképpen minden G-n értelmezett függvény folytonos. Néha az analógia vagy a motivációkedvéért mégis érdemes lesz általános csoportokról szóló témyeket topologikus csoportra vonatkozó áll tásként megfogalmazni.) A kés}obbiekben ha egy topologikus csoportnak az X topologikus téren való hatásáról beszélünk, automatikusan feltételezzük, hogy a hatás folytonos, azaz a G X! X, (g; x) 7! g x leképezés folytonos. Hasonlóan, topologikus csoport ρ : G! GL(V ) ábrázolásról beszélve feltételezzük, hogy V topologikus vektortér (pl. bármely véges dimenziós vektortér az euklideszi topológiával, vagy egy Hilbert-tér az er}os topológiával), és G-nek a V -n való lineáris hatása folytonos. Topologikus csoport véges dimenziós ábrázolásán tehát olyan ρ : G! GL(V ) homomorfizmust értünk, amelyre (valamely bv-beli bázisra) a ρ b : G! GL(n; K) mátrixábrázolás koordináta függvényei folytonos G! K függvények (K = R vagy K = C ellátva a szokásos topológiával). A bázisáttérés számolási szabálya mutatja, hogy ez független a bázis választásától Defin ció. Kompakt csoporton olyan topologikus csoportot értünk, ami mint topologikus tér kompakt, azaz tetsz}oleges ny lt fedéséb}ol kiválasztható véges fedés. 0

11 Példák.. Az unitér mátrixok U(n; C ) csoportja. 2. Az ortogonĺis mátrixok O(n; R) csoportja. 3. Kompakt csoport zárt részcsoportja. 4. Tetsz}oleges véges csoport a diszkrét topológiával. A Tétel analógiájára érvényes a következ}o általánosabb tétel: Tétel. Kompakt csoport véges dimenziós ábrázolása unitér. Bizony tás. Az egyszer}ubb fogalmazás kedvéért feltesszük, hogy K = R. Legyen G kompakt csoport, ρ : G! GL(V ) véges dimenziós ábrázolás. Ez indukál egy ábrázolást a szimmetrikus bilineárisfüggvények B + (V )valós euklideszi terén, mégpedig fi : V V! R esetén (g fi)(x; y) :=fi(g x; g y)(x; y 2 V ). Jelölje P a pozit v definit szimmetrikus bilineáris függvények (azaz a skaláris szorzatok) részhalmazát. A P halmaz ny lt (ez következik a pozit v definit mátrixok sarokaldeterminánsokkal való jellemzéséb}ol). Továbbá P konvex, és G-invariáns (Ellen}orizzük!). Vegyünk egy C 0 pozit v mérték}ukompakt részhalmazt P -ben (például egy tetsz}oleges P -beli pontkörüli kell}oen kis sugarúzárt gömböt). Legyen C := S g2g g C 0, R x2c azaz C a G C 0 kompakt halmaz képe a (g; c) 7! g c folytonos leképezésnél, gy a Bolzano-Weierstrass tétel szerint kompakt. Tekintsük a C halmaz» := μ(c) xdμ(x) tömegközéppontját (ebben a képletben μ jelöli a szokásos Lebesgue-mértéket a B + (V ) euklideszi téren). Megmutatjuk, hogy» egy G-invariáns skaláris szorzat. Az integrál defin ciója szerint» el}oáll mint a limesze egy μ(c) P n i= μ(c i)x i alakúpontokból álló sorozatnak, ahol C = S n i= C i kompakt részhalmazokra valópart ciója C-nek, és x i 2 C i. Ebb}ol azonnal következik, hogy» benne van a conv(k) =f P i x i j x i 2 C; P i =; i 0g konvex burok lezártjában. Mivel C kompakt, azért conv(c) zárt, és P konvexitása miatt conv(c) ρ P. Tehát» 2 P. Végül, C konstrukciója miatt tetsz}oleges g 2 G-re fennáll, hogy g C = C. Másfel}ol, a g C halmaz»(g C) tömegközéppontja»(g C) = Z μ(g C) x2g C = j det(g)jμ(c) Z = g ( μ(c) Z x2c xdμ(x) = x2c Z j det(g)jμ(c) x2c gxj det(g)jdμ(x) = μ(c) xdμ(x)) = g»; Z gxdμ(gx) x2c gxdμ(x) tehát g» =» minden g 2 G-re, ami éppen azt jelenti, hogy» invariáns skaláris szorzat V -n Megjegyzés. A Tétel a következ}o általánosabb formában is igaz: kompakt csoport er}osen folytonos ábrázolása egy H Hilbert-téren unitér. Továbbá minden ilyen irreducibilis ábrázolás véges dimenziós. 4. Irreducibilis ábrázolások konstrukciója 4.. Ábrázolások szorzata A V és W K-vektorterek tenzorszorzata egy V Ω W -vel jelölt K-vektortér, melynek elemei a P v Ω w alakú véges formális összegek (ahol v 2 V, w 2 W ), melyekre a következ}o számolási szabályok érvényesek: tetsz}oleges 2 K, v; v ;v 2 2 V, w; w ;w 2 2 W esetén (v Ω w) =( v) Ω w = v Ω ( w), (v + v 2 ) Ω w = v Ω w + v 2 Ω w, v Ω (w + w 2 )=v Ω w + v Ω w 2. (Röviden: a Ω : V W! V Ω W,(v; w) 7! v Ω w leképezés bilineáris.) A v Ω w elemeket elemi (vagy -rangú) tenzoroknak nevezzük, V Ω W általános eleme elemi tenzorok összege (de ez az el}oáll tás nem egyértelm}u). Ha b = (b ;::: ;b k ) bázis V -ben és c =(c ;::: ;c m )bázis W -ben, akkor b Ω c := (b i Ω c j j i =;::: ;k; j =;::: ;m)bázis V Ω W -ben. Tehát V ΩW egy dim(v ) dim(w ) dimenziós vektortér. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a V ΩW tenzorszorzatnak a vektortér struktúra mellett lényeges alkotóeleme a Ω : V W! V Ω W leképezés. Ez rendelkezik a következ}o univerzalitási tulajdonsággal: Tetsz}oleges p : V W! U bilineáris leképezés átvezethet}o Ω-on, azaz létezik egyetlen q : V Ω W! U lineáris leképezés, amelyre p = q ffiω.

12 Példák.. Legyen V = K n, az n hosszúságú oszlopvektorok tere, W = (K m ), az m hosszúságú sorvektorok tere. Ekkor a v Ω w 7! v w leképezés megad egy K n Ω (K m )! K n m izomorfizmust. (Az elemi tenzorok -rangú mátrixoknak felelnek meg.) 2. Tenzorszorzatok leggyakrabban akkor kerülnek el}o, amikor a V;W vektorterek elemei függvények, mert ilyenkor képezhetjük ezen függvények szokásos értelemben vett szorzatát. Legyenek V;W alterek az X! R függvények R-vektorterében. Legyen U a v w függvények által kifesz tett altér. Mivel a p : V W! U, (v; w) 7! v w leképezés bilineáris, ezért létezik egy q : V Ω W! U lineáris leképezés, amelyre p = q ffiω. Igen gyakran q izomorfizmus, azaz U ο = V Ω W, ahol a v w f ggvény av Ω w elemi tenzornak felel meg Defin ció. Legyenek ρ ;ρ 2 a G csoport ábrázolásai a V illetve V 2 vektortereken. Ekkor könnyen ellen}orizhet}o, hogy a g (v Ω v 2 ):=(gv ) Ω (gv 2 ) () képlet G-nek a V Ω V 2 -n való ábrázolását adja meg. Ezt a ρ ρ 2 : G! GL(V Ω V 2 ) ábrázolást nevezzük a ρ és ρ 2 szorzatának. (Ugyan a fenti () képlet csak (ρ ρ 2 )(g) elemi tenzorokon való hatását adja meg, de ennek létezik egyértelm}u lineáris kiterjesztése V Ω V 2 -re. Az egyértelm}uség következik abból, hogy az elemi tenzorok generálják V Ω V 2 -t, a létezés pedig a tenzorszorzat univerzalitási tulajdonságának következménye.) Koordinátákban, ha b =(b ;::: ;b k )bázis V -ben, c =(c ;::: ;c n )bázis V 2 -ben, akkor ρ ρ 2 (g) bωc = ρ (g) b Ωρ 2 (g) c, ahol Ω a megfelel}omátrixok Kronecker-szorzatát jelöli. Az A =(a ij ) k i;j= és B =(b ij) n i;j= 0 C A kn kn-es mátrix. b A b n A mátrixok Kronecker-szorzata az A Ω B =..... b k A b kk A Példa. Jelölje W a G csoport triviális ábrázolását a W vektortéren, azaz tetsz}oleges g 2 G-re W (g) a W identikus transzformációja. Ekkor bármely ρ : G! GL(V ) ábrázolásra ρ W = ρ + + ρ; ahol a tagok száma dim(w ): Valóban, rögz tve egy (b ;::: ;b n ) bázist W -ben, V Ω W = V Ω b Φ ΦV Ω b n (ahol értelemszer}uen V Ωb i = fvωb i j v 2 V g). Nyilvánvaló, hogy V Ωb i invariáns a ρ W ábrázolásra nézve, és (ρ W ) V Ωbi ο = ρ Áll tás. Legyen ρ : G! GL(V ) irreducibilis komplex ábrázolás, W n-dimenziós vektortér, és tekintsük a ρ W ábrázolást. Ekkor tetsz}oleges minimális invariáns altér V Ω w alakú alkalmas w 2 W vektorral. Bizony tás. Az el}obb láttuk, hogy ff := ρ W a ρ irreducibilis ábrázolás n példányának összege, tehát a 3..3 Lemma szerint teljesen reducibilis, ésa3..4tétel szerint bármely U minimális invariáns altérre ff U ο = ρ. Rögz tsünk egy T : U! V izomorfizmust ffu és ρ között. Rögz tve egy (b ;::: ;b n ) bázist W -ben, bármely u 2 U egyértelm}uen el}oáll u = u Ω b + + u n Ω b n alakban, jelölje T i : U! V az u 7! u i leképezést (i =;::: ;n). Világos, hogy T i kapcsoló operátor ff U és ρ között (hiszen ff(g)(u) = ρ(g)(u )Ωb + +ρ(g)(u n )Ωb n ), ezért T i = i T alkalmas i 2 C -vel (alkalmazzuk a Lemmát T i ffit - re). Tehát u = T (u)ωb + + n T (u)ωb n = T (u)ω( b + + n b n ), és U V Ω( b + + n b n ). Nyilvánvaló, hogy ez utóbbi altéren való hatása G-nek izomorf ρ-val, tehát ez egy minimális invariáns altér, gy egyenl}o U-val Duális ábrázolás Egy V vektortér duálisa a V 0 = fο j ο : V! K lineárisg vektortér. A ρ : G! GL(V ) ábrázolás duálisának nevezzük a (g ο)(v) :=ο(g v)(g2g, ο 2 V 0, v 2 V )formulával megadott ρ 0 : G! GL(V 0 )ábrázolást. A b =(b ;::: ;b n ) V -beli bázishoz tartozó duális bázis fi =(fi ;::: ;fi n ), ahol ( ; ha i = j; fi i (b j )= 0; ha i 6= j: 2

13 Erre érvényes a ο(v) =ο t fi v b összefüggés. Nézzük meg, mi lesz a duális ábrázoláshoz tartozó mátrixábrázolás. Mivel minden ο 2 V 0 és v 2 V -re, azért ο t fiρ 0 fi(g) t ρ b (g)v b =(ρ 0 fi(g)ο fi ) t (ρ b (g)v b ) =(gο) fi (gv) b =(gο)(gv) =ο(g gv) = ο(v) =ο t fi v b ρ 0 fi(g) =(ρ b (g) ) t : (2) Ha ρ unitér és b ortonormált, akkor a fenti formulából azt kapjuk, hogy ρ 0 fi (g) =ρ b(g) (ahol a felülvonás komplex konjugáltat jelöl). Speciálisan, ha K = R és ρ ortogonális, akkor ρ ο = ρ Áll tás. A ρ véges dimenziós ábrázolás akkor és csak akkor irreducibilis, ha ρ 0 irreducibilis. Bizony tás. Tetsz}oleges ρ : G! GL(V ) ábrázolásra a v 7! (ο 7! ο(v)), V! (V 0 ) 0 természetes izomorfizmus a ρ és (ρ 0 ) 0 ábrázolások közti izomorfizmus. Ezért elegend}o aztmegmutatni, hogy ρ 0 irreducibilitásából következik ρ irreducibilitása. Legyen W invariáns altér V -ben. Ekkor W? := fο 2 V 0 j οfi W =0g nyilvánvalóan invariáns altér V 0 -ban, gy W? = f0g, vagy W? = V 0. Az els}o esetben W = V, a másodikban W = f0g Direkt szorzat ábrázolásai A G és H csoportok direkt szorzata G H = f(g; h) j g 2 G; h 2 Hg, ellátva a(g; h) (g 0 ;h 0 ):=(gg 0 ;hh 0 ) m}uvelettel. Világos, hogy ez csoport. A (g; H ) alakú elemek egy G-vel izomorf normálosztót alkotnak G H-ban. Hasonlóan, a ( G ;h) alakú elemek egy H-val izomorf normálosztót alkotnak. Ez a két normálosztó diszjunkt (azaz az egységelemen k vül nincs közös elemük), és generálják G H-t. Ford tva, tegyük fel, hogy a D csoportnak van két normálosztója, G és H úgy, hogyg H = fg és D = hg; Hi. Ekkor D ο = G H. Valóban, tekintsük a ß : G H! D, (g; h) 7! gh leképezést. Mivel G és H elemei páronként felcserélhet}ok (ld. /6 feladat), azért ß homomorfizmus. A ß képe tartalmazza G-t és H-t, tehát tartalmazza a generátumukat, vagyis az egész D-t. A gh =-b}ol következik g = h 2 G H, tehát g = h =, azaz ß injekt v. Így a Homomorfizmus-tétel szerint ß izomorfizmus G H és D között Defin ció. Tegyük fel, hogy adott a G és G 2 csoportok egy-egy ábrázolása, legyenek ezek ρ i : G! GL(V i )(i =; 2). Ekkor tekintsük a G G 2 direkt szorzatnak a (g ;g 2 ) v Ω v 2 := (g v ) Ω (g 2 v 2 ) képlettel definiált ρ Ω ρ 2 : G G 2! GL(V Ω V 2 ) ábrázolását. Ezt nevezzük a ρ és ρ 2 ábrázolások tenzor-szorzatának. Ne tévesszük össze ezt a fogalmat az ábrázolások szorzatának fogalmával, ahol egyetlen csoport két ábrázolásából konstruáltuk ugyanazon csoport újabb ábrázolását. Legyenek ρ ;ρ 2 a G csoport ábrázolásai. A ρ Ω ρ 2 a G G csoport ábrázolása. Tekintsük a d : G! G G, g 7! (g; g) homomorfizmust. A ρ és ρ 2 szorzata és direkt szorzata közti kapcsolatot fejezi ki a (ρ Ω ρ 2 ) ffi d = ρ ρ 2 formula Tétel. Véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolások direkt szorzata is irreducibilis. Bizony tás. Legyenek ρ i : G i! GL(V i )(i =; 2) véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolások. Mint korábban megjegyeztük, G és G 2 azonos tható G G 2 egy-egy részcsoportjával, és G G 2 tetsz}oleges ábrázolását megszor thatjuk G -re illetve G 2 -re. Nyilvánvaló, hogy mint G ábrázolása, (ρ Ω ρ 2 )fi G = ρ V2 ο = ρ + + ρ. Legyen W minimális G G 2 -invariáns altér V Ω V 2 -ben. A W tartalmaz egy minimális G -invariáns alteret, legyen U ilyen. A 4..2 Áll tás szerint U = V Ω w valamely w 2 V 2 -re. Tetsz}oleges v 2 V esetén tekintsük az U(v ):=fv 2 2 V 2 j v Ω v 2 2 W g részhalmazt V 2 -ben. Ez egy G 2 -invariáns altér, ugyanis ha v Ω v 2 2 W és h 2 G 2, akkor ( G ;h)v Ω v 2 = v Ω hv 2. Másrészt U(v ) 6= f0g, hiszen w 2 U(v ). Ezért ρ 2 irreducibilátásából következik, hogy U(v )=V 2 minden v 2 V -re, ami éppen azt jelenti, hogy W = V Ω V 2. 3

14 4.4. Ábrázolás mátrix elemei Jelölje C [G] a G! C fügvények halmazát, ez egy C -vektortér a pontonkénti összeadásra és skalárral való szorzásra nézve, a dimenziója jgj Defin ció. Legyen ρ : G! GL(V ) véges dimenziós komplex ábrázolás, b = (b ;::: ;b n ) bázis V -ben. Jelölje ρ ij (g) a ρ(g) b mátrix (i; j)-edik elemét. A ρ ij 2 C [G] (» i; j» n) függvényeket a ρ ábrázolás (b bázisra vonatkozó) mátrix-elemeinek nevezzük. Tekintsük az M(ρ) :=f P a ij ρ ij j a ij 2 C g alteret C [G]-ben. Ez a ρ ábrázolás mátrix-elemeinek a tere. P Az M(ρ) már nem függ a bázis választásától. Ugyanis tetsz}oleges f = a ij ρ ij 2 M(ρ) esetén jelölje A azt a V! V lineáris leképezést, amelynek a b bázisra vonatkozómátrixa A b =(a ji ) n i;j=. Ekkor fennáll, hogy f(x) =Tr(A b ρ(x) b )=Tr(A ffi ρ(x)), tehát M(ρ)-t megadhatjuk a b bázira való hivatkozás nélkül akövetkez}o módon: M(ρ) =fx 7! Tr(A ρ(x)) j A 2 L(V )g; ahol L(V ) jelöli a V! V lineáris leképezések halmazát, és a szokásnak megfelel}oen az L(V )-beli ffi operációt szorzásnak rjuk Áll tás. (i) Ha ρ ο = ρ2,akkor M(ρ )=M(ρ 2 ). (ii) Ha ρ = ρ + +ρ m,akkor M(ρ) =M(ρ )+ +M(ρ m ) (itt a jobboldalon C [G] megfelel}o altereinek az összegér}ol van szó). Bizony tás. (i) Izomorf ábrázolásokhoz alkalmas bázisokat választva ugyanaz a mátrix ábrázolás tartozik. (ii) Az 2.3 alfejezetben már láttuk, hogy alkalmas bázist választva aρ ábrázolás terében, a megfelel}o nem-nulla mátrixelemek halmaza éppen az egyes tése a ρ i ábrázolások mátrix-elemeib}ol álló halmazoknak Defin ció. Tetsz}oleges G csoport esetén az R : G G! GL(C [G]) ((g ;g 2 ) f)(x) :=f(g 2 xg ) g ;g 2 ;x2 G; f 2 C [G] formulával megadott ábrázolást a kétoldali reguláris ábrázolásnak nevezzük Tétel. A ρ : G! GL(V ) véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolás mátrix-elemeinek M(ρ) tere G G-invariáns altér C [G]-ben, és mint G G ábrázolása, R M(T ) ο = ρ Ω ρ 0. A fenti tétel bizony tása el}ott nézzük meg az alábbi, gyakran használatos lemmát: Lemma. Legyen ρ : G! GL(V ) véges dimenziós ábrázolás. Tekintsük az Ad : G G! GL(L(V )), Ad(g; h)(a) :=ρ(g)ffiaffiρ(h ),(g; h 2 G, A 2 L(V )) ábrázolást. Ekkor a ν : V ΩV 0! L(V ), ν(v Ωο)(w) =ο(w)v (v; w 2 V;ο 2 V 0 ) leképezés egy izomorfizmus a G G csoport ρωρ 0 és Ad ábrázolásai között. Bizony tás. Tetsz}oleges g; h 2 G, v; w 2 V, ο 2 V 0 esetén fennáll, hogy ν((g; h) v Ω ο)(w) =ν(gv Ω hο)(w) =(hο)(w)gv = ο(h w)gv (3) = g(ο(h w)v) = (Ad(g; h) ν(v Ω ο))(w); ami éppen azt jelenti, hogy ν kapcsoló operátor a megfelel}o ábrázolások között. Egy kapcsoló operátor magtere mindig invariáns altér. Ezért ker(ν) invariáns altér V Ω V 0 -ben, és világos, hogy ν 6= 0, azaz ker(ν) 6= V Ω V 0. A Tételb}ol tudjuk, hogy ρ Ω ρ 0 irreducibilis. Ezért ker(ν) =f0g, azazν injekt v. A V Ω V 0 és az L(V ) dimenzióinak egyezése miatt ν szükségképpen szürjekt v is. Beláttuk tehát, hogy ν egy izomorfizmus ρ Ω ρ 0 és Ad között. 4

15 A Tétel Bizony tása. Tekintsük a μ : L(V )! M(ρ), μ(a)(x) := Tr(A ρ(x)) (A 2 L(V ), x 2 G) lineáris leképezést, korábban már láttuk, hogy ez szürjekt v. A következ}o számolás mutatja, hogy M(ρ) G G-invariáns, és μ kapcsoló operátor a Lemmában definiáltadés a R M(ρ) ábrázolások között: bármely g; h 2 G-re, μ((g; h) A)(x) =μ(ρ(g) A ρ(h ))(x) =Tr(ρ(g)Aρ(h ρ(x)) (4) = Tr(Aρ(h )ρ(x)ρ(g)) = Tr(Aρ(h xg) =μ(a)(h xg) =(R(g; h) μ(a))(x): A Tételb}ol és a Lemából tudjuk, hogy G G irreducibilisen hat L(V )-n, gy ker(μ) csak a f0g triviális altér lehet. Tehát μ injekt v is. Beláttuk tehát, hogy μ egy izomorfizmus Ad és R M(T ) között, gy a Lemma mutatja a k vánt áll tást. A G csoport kétféleképpen is beágyazható G G-be, a : G! G G, g 7! (g; ), illetve a2 : G! G G, g 7! (;g) homomorfizmusok által. A G csoport J := R ffi : G! GL(C [G]) ábrázolását jobboldali reguláris ábrázolásnak, m g a B := R ffi 2 : G! GL(C [G]) ábrázolást baloldali reguláris ábrázolásnak nevezzük Következmény. Az alábbiakban ρ; ρ i : G! GL(V ) véges dimenziós komplex irreducibilis ábrázolások.. M(ρ) invariáns a G jobboldali reguláris ábrázolására nézve, és J M(ρ) ο = ρ + + z ρ } dim(v ) darab 2. M(ρ) invariáns a G baloldali reguláris ábrázolására nézve, és 3. dimc (M(ρ)) = dim(v ) 2 B M(ρ) ο = ρ ρ z } 0 : dim(v ) darab 4. G minden irreducibilis ábrázolása megjelenik C [G] részeként. 5. R M(ρ) ο = R M(ρ2) ) ρ ο = ρ2 6. Ha ρ ;::: ;ρ q páronként nem-izomorfak, akkor M(ρ );::: ;M(ρ q ) lineárisan független alterek C [G]- ben. Bizony tás.. J M(ρ) = R M(ρ) ffi ο = (ρ Ω ρ 0 ) ffi = ρ V 0 ο = ρ + + ρ. 2. bizony tása hasonló. 3. és 4. azonnal következnek a Tételb}ol. 5. R M(ρ) ο = R M(ρ2)-b}ol az. szerint következik ρ + + ρ ο = ρ2 + + ρ 2, ahonnan az 3..4 Tétel (iii) alapján ρ ο = ρ2. 6. A és Tételekb}ol tudjuk, hogy G G páronként nem-izomorfan és irreducibilisen hat a C [G] tér M(ρ );::: ;M(ρ q ) alterein. Ezért ezek az alterek szükségképpen lineárisan függetlenek (ld. 3..5). 5. Véges csoportok komplex ábrázolásai 5.. A reguláris ábrázolás felbontása Ebben a fejezetben végig G véges csoport, ekkor C [G] véges dimenziós. A Lemma és a Tétel szerint J : G! GL(C [G]) teljesen reducibilis. Bontsuk irreducibilisek összegére, a Következményb}ol tudjuk, hogy ezen véges sok összeadandó között G irreducibilis ábrázolásainak minden izomorfia t pusa megjelenik. Jelölés: Legyen ρ k : G! GL(V k ), k =;::: ;qa G véges csoport irreducibilis komplex ábrázolásainak izmorfia erejéig teljes (és természetesen ismétlés nélküli) listája, n k := dim(v k ). : 5