Fizika informatikusoknak I.

Átírás

1 Fizika iformatikusokak I. Hullámta, hagta és optika Ajálott irodalom. Budó Á.: Kísérleti fizika I. (Taköyvkiadó). Deméy A. Erostyák J. Szabó G. Trócsáyi Z.: Fizika I. (Nemzeti Taköyvkiadó) 3. Budó Ágosto Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. (Taköyvkiadó) 4. Ábrahám Gy.: Optika (Paem-McGraw-Hill) 5. A. Nussbaum, R.A.Phillips: Moder optika (Műszaki Köyvkiadó) Iformációk, tételek a kurzussal kapcsolatba: Oktatás/Kurzusok meüpot A hullám fogalma. A síkhullám matematikai alakja. Irodalom []: 7-7, []: 9-9 Kísérletek Rugalmas közegbe keltett deformáció a közegbe tovaterjed, amely például szemléltethető vékoy kifeszített gumikötléllel [:8], vékoy kifeszített drótszállal (Julius-féle hullámgép.) [:] vízhullámokkal, stb. Hullám: Valamilye közeg kis tartomáyába keltett zavar tovaterjed a közeg más potjaira is.

2 A hullámok osztályozása (több szempot lehetséges!) A rezgő fizikai meyiség típusa alapjá a hullám lehet például elektromágeses hullám (pl. féy, rádióhullám), rugalmas hullám (pl. hag, földregéshullám), vízhullám, (stb). A közeg dimeziója alapjá beszélhetük egyees meté (általáosabba potsoro) terjedő hullámokról, (pl. rezgő húr) felületi hullámokról (pl. vízhullámok), térbeli hullámokról (pl. hag, féy). A rezgő meyiség iráya és a terjedési sebesség iráyáak viszoya alapjá beszélük logitudiális és traszverzális hullámról, logitudiális hullám eseté a rezgés a terjedési iráy meté megy végbe, traszverzális hullám eseté a rezgés iráya a terjedési iráyra merőleges. A hullámfelületek alakja alapjá beszélhetük például síkhullámról, gömbhullámról, Hegerhullámról, stb. A tér- és időbeli lefutás alapjá a hullám lehet például periodikus hullámok sziuszos vagy mookromatikus hullám, háromszög, égyszög, fűrészfog, stb. em-periodikus hullámok csupá éháy periódust tartalmazó hullámcsomag (impulzus), zaj

3 Síkhullám matematikai alakja (haladó sziuszos hullám) A hullámterjedés térbe és időbe lejátszódó folyamat, így a jeleséggel kapcsolatos fizikai meyiség(ek) helyek és időek a függvéye(i): Ψ Ψ( x, y, z, t). Mi a matematikai alakja eek a hullámot leíró függvéyek? Az egyszerűség kedvéért tekitsük egy olya síkhullámot, amely az x tegely iráyába terjed. Ekkor az x tegelyre merőleges síkokba (azaz az x álladó helyeke!) Ψ ugyaazokat az értékeket veszi fel, azaz em függ az y és z koordiátáktól: Ψ Ψ( x, t). Ugyacsak az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a hullám sziuszos, azaz mid térbe, mid időbe Ψ a sziusz függvéyel írható le: Ψ x, t) A si( ωt kx + ϕ ). ( Ez a kifejezés azoba em midig ír le x iráyba c sebességgel haladó hullámot! Ha a hullám c sebességgel terjed, az azt jeleti, hogy a rezgési állapot (fázis) c sebességgel terjed. Így, ha a t időpotba az x síko Φ a fázis, akkor t + t időpotba az x + x síko szité Φ a fázis és yílvá a terjedési sebességre fe áll a c x/ t. Φ ωt kx + ϕ ω t + t) k( x + x) ( + ϕ ωt kx + ϕ + ω t k x x ω t k x c t Ψ( x, t) A si( ωt kx + ϕ) ω c k π T π λ ω k időbeli periódus: térbeli periódus: λ c vagy c λν T T π ω π λ k, ahol ν π ω T k π λ T Azaz a keresett matematikai alak: Ψ x, t) A si( ωt kx + ϕ ) ( x A si ω t + ϕ c t A si π T x + ϕ λ Megjegyzés: általába a hullámot leíró függvéy megoldása a Ψ t c Ψ x Ψ + y Ψ + z hullámegyeletek. Eek megoldása például bármely x Ψ( x, t) f t c alakú függvéy, ahol f(t) tetszőlegese válaszható!

4 Hullámterjedés (visszaverődés, törés, iterferecia és elhajlás). Huyges- és Huyges-Fresel-féle elv. Irodalom []: 74-78, []: A hullámterjedés sorá fellépő fotos fizikai jeleségek: Visszaverődés Ha a hullám olya határfelülethez érkezik, amelyek a mérete sokkal agyobb, mit a hullámhossza, akkor a határfelülete visszaverődés lép fel. Törés Ha a hullám olya határfelülethez érkezik, ahol a terjedési sebessége ugrásszerűe megváltozik, akkor a határfelülete átlépő hullám hullámhossza és a merőleges beeséstől eltekitve, a terjedési iráya is megváltozik. Emellett a határfelülete visszaverődés is fellép! si α si α λ λ α α α λ c si α si α T c T c λ c si α c α si α c Visszaverődés és törés szemléltetése gumikötél [:8], gömbtükör [:6], sík-párhuzamos lemez [:], áthaladás csatorá [:], lecse [:6]. Elméleti értelmezése: Huyges-féle elv A hullámok terjedése sorá a hullámfelület mide potja elemi gömbhullámok forrásáak tekithető, a hullámfelületet egy későbbi időpotba eze elemi hullámok burkolója adja meg. α α' AF CE d τ d c c AG cτ c d CE AG AE si α si β si α si β c c si α si β CE AG d d c c

5 Ha a terjedési sebesség em ugrásszerűe változik, haem fokozatosa (vagyis folytoosa), akkor a hullámterjedési iráya és hullámhossza fokozatosa változik meg. A terjedés egyees voalak (pl. féysugarak) helyett görbékkel szemléltethető. (Fermat-féle elv). Ezzel magyarázható például, hogy a vízhullámok sokszor a part felé fordulak és merőlegese érik el azt. Iterferecia Hullámok találkozásáál fellépő jeleség. A szuperpozíció elvével értelmezhető: A hullámok egymás terjedését em befolyásolják, a megfigyelhető hullámhatást a két hullám összege (szuperpozíciója) határozza meg. (T. Youg) időbe változó hullámhossz!!! Ψ P, t) Ψ ( P, t) + Ψ ( P, ) ( t A si( ωt kr ) + A si( ωt kr ) ϕ ϕ A si( ωt + ϕ) ([]: 8, []: 87 ) A A + A + A A cos( ϕ ) ϕ tg ϕ A si ϕ + A A cosϕ + A si ϕ cosϕ π δ ϕ ϕ k ( r r ) ( r r ) λ m π δ (m + ) π maximális erősítés maximális gyegítés r r m λ m λ (m + ) λ maximális erősítés maximális gyegítés m, ±, ±,K

6 Elhajlás (diffrakció) Ha a hullám terjedését olya tárgy akadályozza, melyek mérete összemérhető a hullámhosszal, akkor az egyees voalú terjedéstől elérések mutatkozak! A hullám olya tartomáyba is behatol, ahova az egyees voalú terjedést követve em juthata el. A jeleség a Huyges-Fresel-féle elvvel értelmezhető. Elhajlás rése Elhajlás éle Az elhajlás és az iterferecia között ige szoros kapcsolat áll fe! Ez külööse jól szemléltethető a híres Youg-féle kétréses kísérlettel. Értelmezése: Huyges-Fresel-féle elv A hullámok terjedése sorá egy hullámfelület mide potja elemi hullámforrás. Egy későbbi időpotba megfigyelhető hatást eze elemi hullámforrások iterfereciája határozza meg. H Rés F 4 s 4 s3 F 3 s P F F s Diszperzió A hullám fázissebessége függ a frekveciától (vagy a hullámhossztól). Hatására egy véges hosszúságú hullám (hullámcsomag, impulzus) terjedési sebessége, az u.. csoportsebesség külöbözik a fázissebességtől, és az impulzus kiszélesedik a terjedés sorá (szétfolyik a hullámcsomag). Csoportsebesség: v g c c λ λ

7 A hag és terjedése. A hagérzet jellemzői. Az emberi fül. Irodalom []: 79-8, 8., 84., []:., 3., 5-6, 8. A hag fogalma rugalmas közegbe terjedő hullám; füllel érzékelhető külső iger, hagérzet; hagélméy (értelmi és érzelmi hatás); fizikai jeleség élettai jeleség lélektai jeleség HANG rugalmas közegbe terjedő hullám idegi vezetés érzékszerv agyműködés HANG- ÉRZET itezitás rezgésszám szíkép időtartam iráy hagosság hagmagasság hagszí érzékelt időtartam érzékelt iráy A hagta a hag keletkezésével (hagforrásokkal) terjedésével észlelésével, más fizikai folyamatokkal (fizikai meyiségekkel) való kapcsolatával foglalkozó tudomáy. Rugalmas közegbe a terjedési sebességet a közeg rugalmas tulajdoságai határozzák meg. yújtással és összeyomással kapcsolatos Youg-féle modolus (E), harát összehúzódás kapcsolatos Poisso-féle szám (µ), yírással (éritő iráyú deformálással) kapcsolatos yírási modolus (G), mide oldalú egyeletes összeyomással kapcsolatos kompresszió modolus (K). Az E, µ, G és K álladók az ayagi miőségre jellemzők. Homogé és izotróp szilárd közegbe közülük csak kettő függetle, ugyais közöttük a E K 3 µ és a E G + µ összefüggések állak fe. Rugalmas közegbe terjedhet az éritőleges yíró mechaikai feszültséggel kapcsolatos traszverzális hullám, és a yomó és húzó mechaikai feszültséggel kapcsolatos logitudiális hullám is. Ha külö em említik, akkor hago midig a logitudiális hullámot értik!

8 A közegbe terjedő rugalmas hullám Ψ kitéréséek hely és idő függését a Ψ c t megoldásával határozhatjuk meg. Ψ Ψ Ψ + + x y z hullámegyelet A hullámegyeletbe szereplő c álladó a hullám terjedési sebességét adja meg! logitudiális hullámra c c l E µ ρ ( + µ ) ( µ ) traszverzális hullámra c c t G ρ E ρ ( + µ ) ahol ρ a közeg sűrűsége c l > c t A hag terjedési sebessége Mide iráyba agy kiterjedésű szilárd ayagba: c E µ ρ ( + µ ) ( µ ) Vékoy rúdba: c E ρ Folyadékba: c K ρ Gázokba: c p κ ρ c κ c p v a két fajhő háyadosa. Hőmérséklettől való függés ideális gázokba: T c c, ahol T az abszolút hőmérséklet c T c(t ).

9 A hullámterjedés eergiaviszoyait jellemző fizikai meyiségek Eergiasűrűség: w A közeg (kicsi) V térfogatú részébe lévő W eergia és a V háyadosa: w W/ V. Eergiaáramlás erőssége: P (hagtaba: hagteljesítméy ) Az eergiaáramlás iráyára merőleges kicsiy q felülete kicsiy t idő alatt átáramló W eergia és a t háyadosa: P W/ t. Eergiaáramlás sűrűsége: I Az eergiaáramlás iráyára merőleges kicsiy q felületre voatkozó P eergiaáramlás erősség és a q háyadosa: I P/ q W/( t q). A hullám itezitása: I Az eergiaáramlás (átlagos) sűrűsége. W I q t A síkhullám itezitása Ψ t x A si + π ϕ T λ Ψ w ρ t + ρc Ψ x q 8 c T x t x w ρa ω + ρa ω cos + π ϕ 4 34 T λ w w ρa ω ρv max P W T wv T w q ct T wc q I P q I w c I ρc A ω ρcv max I A

10 Hagtér: a térek haghullámokkal kitöltött része A hag terjedése sorá fizikai meyiségek rezgést végezek. A hagteret jellemző fizikai mezők (terek) a részecskék kitérése: s s(r, t) (vektor) a részecskék sebessége: v v(r, t) (vektor) hagyomás (yomásigadozás): p p(r, t) p p (skalár) sűrűségigadozás: ρ ρ(r, t) ρ ρ (skalár) hőmérsékletigadozás: T T(r, t) T T (skalár) Ψ t x A si + π ϕ T λ síkhullám terjedése eseté a tér egy adott helyé a feti a meyiségek mid harmoikus rezgést végezek, melyek amplitúdói a a mozgási amplitúdó: A a sebességi amplitúdó: v m a yomási amplitúdó: p m Ezek az amplitúdóik egymástól em függetleek: v m A ω, p m ρc v m I ρcω A ρcv m pm ρc A decibel skála (db) A hagteljesítméy és a hagitezitás több agyságredbe változhat, ezért ige elterjedt a logaritmikus skálá való összehasolítás! Az összehasolításhoz yílvá alappotok szükségesek! Az Hz frekveciájú tisztahagra voatkozó igerküszöböt veszik alapul: I Wm P W p µpa hagteljesítméyszit: hagitezitásszit: L P lg L I lg P P I I db db hagyomásszit: L p lg p p db

11 Az emberi hallástartomáy Az azoos hagosság görbéi, hagosságszitek

12 Hallás, az emberi fül felépítése a: fülkagyló b: külső hallójárat c: dobhártya d: középfül a hallócsotokkal (kalapács, üllő és kegyel) e: kegyel az ovális ablakba f: fülkürt a szájüreg felé h: agyvelő i: csarok j: félkörös ívjáratok k: csiga (voalas rész: csotos labiritus) l: hallóideg Közép és belső fül

13 A letekert csiga vázlata

14 Féytai alapfogalmak, a féy terjedési sebességéek mérése. Irodalom [3]: Az optika felosztása Geometriai optika Fizikai optika (hullámoptika) Kvatum optika A mai ismereteik szerit a féy elektromágeses hullám Elektromágeses szíkép rádióhullámok mikrohullámok ifravörös féy látható féy (38 m < λ < 78 m) ultraibolya féy rötge sugárzás gamma sugárzás kozmikus sugárzás

15 Az elektromágeses tér jellemzői (vektor meyiségek) Elektromos térerősség, E [V/m] Elektromos eltolás, D [As/m ] Mágeses idukció, B [T (tesla) N/Am] Mágeses térerősség, H [A/m] Lieáris és izotróp közegbe D ε ε E és B µ µ H, r ε a vákuum permittivitása (dielektromos álladója), µ a vákuum permeabilitása, ε r a közeg relatív permittivitása (dielektromos álladója), µ r a közeg relatív permeabilitása. r c c, ahol c ε ε µ µ ε µ ε µ c c r r r r ε µ r r (Maxwell - féle reláció) Féytai alapfogalmak féyforrás féyyaláb féysugár + F D! Egyees voalú terjedés áryékjeleségek ap- és holdfogyatkozás lyukkamera

16 Nap- és holdfogyatkozás Lyukkamera (Camera obscura)

17 A kép itezitása és élessége függ a yílás átmérőjétől. Nagyobb átmérő eseté az egyees voalú terjedésből is érhetőe agyobb folt felel meg a tárgy egy potjáak. Azt várák, hogy csökketve az átmérőt a kép élesség javul. Egy ideig ez így is va. Azoba kis átmérők eseté az egyees voalú terjedéstől eltérések mutatkozak (elhajlás lép fel), amely lerotja a kép élességét! A féysebesség mérése Römer módszere, 675.

18 Römer módszere (csillagászati módszer) Fizeau módszere (fogaskerék-módszer), 849. a fogaskerék fordulatszáma N 7 l 8633 m t N l c t c 4l N A legtöbb mai moder módszer elve ugyaez, csak a féyszaggatás módja más (pl. Kerr-cella).

19 A féytörés és visszaverődés törvéyei. A Fermat-elv és alkalmazása Irodalom [3]: 47-48, 5. Kísérleti vizsgálata: Hartl-féle korog Visszaverődés A visszavert féysugár a beesési síkba va. Más szavakkal: a beeső féysugár, a beesési merőleges és visszavert féysugár egy síkba esik. A visszaverődési szög egyelő a beesési szöggel. Törés A megtört féysugár a beesési síkba va. Más szavakkal: a beeső féysugár, a beesési merőleges és a megtört féysugár egy síkba esik. Sellius-Descartes-törvéy: a beesési szög (α) sziuszáak és a törési szög (β) sziuszáak háyadosa álladó, si α siβ a () közeg () közegre voatkozó relatív törésmutatója. c c c c c, ahol és c c c c c az () és a () közeg vákuumra voatkozó törésmutatója, más éve abszolút törésmutatója. si α siβ " $ () () A féysugarak megfordíthatók

20 A visszaverődés és törés következméyei és felhaszálásai Visszaverődések és törések megváltoztatják a terjedési iráyt, következésképpe a tárgyak más iráyból látszaak. Tükrök (sík, gömbi, parabolikus, stb) Síkpárhuzamos lemez Optikai prizma Lecsék, összetett leképező eszközök Optikai kábel Törésmutató meghatározás A legrövidebb idő elve fuldokló mető Milye pályá haladjo a mető, hogy a leghamarabb elérje a fuldokló embert?

21 Tegyük fel, hogy α-t megváltoztatjuk agyo kicsiy α értékkel! A d hossz övekméye: A szárazföldö való tartózkodási idő övekméye: Hasolóa a megmutatható, hogy a vízbe való tartózkodási idő övekméye: A miimumot eredméyező elredezésre fe áll a δt y ' δtsz + δtv feltétel! Amiből kapjuk, hogy a si α siβ v v feltétel teljesülése jelöli ki a legrövidebb időt biztosító pályát!

22 Fermat elve A féy két adott ( A és B ) pot között előírt feltételek mellett (például visszaverődés, törés, stb) azo a görbé terjed, amelye a terjedési idő extrémális (többyire miimális). A P P ÿ P i- P i ÿ P B A P i- P i r i O i G AB tg ( ) AB B )s i P i- P i () r ds G AB ( ri ) si ( r) ds ( GAB ) G AB c A G G tg ( ) t AB G B si c( ) i i i r i c( ri ) ( ri ) ( ri ) c c( ri ) c tg ( AB ) ( r ) si c i optikai úthossz i si max i Az optikai úthossz egyelő azzal a geometriai hosszal, melyet a féy vákuumba tee meg t(g AB ) idő alatt. Homogé és izotróp közegbe: AB s AB Következméyek: a féy (optikailag) homogé és izotróp közegbe egyees voalba terjed a féysugarak megfordíthatók visszaverődés törvéye törés törvéye (Sellius-Descartes törvéy) képalkotásál a tárgypot és a képe között az összes sugárra azoos az optikai úthossz T t t " L L L 3 k D L k K t k

23 A teljes visszaverődés. A féyvezető szálak működése Irodalom [3]: 49. < < A határszög meghatározása si α si 9 si α si α Féyvezető szálak A féyvezető szál umerikus apertúrája 3 o siβ si( 9 β) cosβ siα siβ siα cos β siα 3 siα 3 NA si θ m k

24 A féyvezető szálak alkalmazásai edoszkóp Optikai távközlés

25 Optikai távközlésél a legfotosabb téyező az adat átviteli sebesség A agy sebességhez az szükséges, hogy a biteket reprezetáló (féy)impulzusok miél sűrűbbe követhessék egymást, ami viszot csak akkor lehetséges, ha maguk az impulzusok rövidek. Ebből következőe végül is a sebességet az határozza meg, hogy milye hosszú az a legrövidebb impulzus, amely a szálba törtéő terjedés sorá még megtartja időtartamát, vagyis em szélesedik ki. A féysugár a szálba agyo sokféle úto terjedhet. A legrövidebb úto a szál tegelyével párhuzamosa beeső sugár halad, míg a leghosszabb utat yilvávalóa a θ szög alatt beeső sugár teszi meg. Ha a két sugármeet megtételéhez szükséges idők közötti külöbség eléri, vagy meghaladja a beküldött féyimpulzus időtartamát, akkor a kimeete impulzus kiszélesedést észlelük. NA si θ m k Az optikai szálba külöböző szög alatt terjedő sugarakat módusokak is szokás evezi, a köztük fellépőδt L időbeli késés ezért a módusok közötti, azaz itermodális diszperzió. Nézzük meg, hogy mit jelet ez a gyakorlatba! Optikai szál: magja m,5 törésmutatójú üveg, köpeye k,49 törésmutatójú műayag. Az km hosszra eső itermodális diszperzióra ekkor 33,5 s. Bármilye rövid impulzust is küldük be az optikai szálba, az km megtétele utá 33,5 sra kiszélesedik! Milye korlátot jelet ez a kommuikációs sebességre? Ahhoz hogy a jelek a kimeete megkülöböztethetőek legyeek, az impulzusok közötti követési idő em lehet kisebb, mit a (kiszélesedett) impulzushossz kétszerese. Ebből az következik, hogy másodpercekét /6,7. 8 jel vihető át, tehát a kommuikációs sebesség 5 Mbit/s, ami em túl agy! Az ilye ú.. multimódusú optikai szálak ige olcsók, és a agy magátmérő 5- µ miatt haszálatuk ige egyszerű.

26 Az ú.. egymódusú optikai szálak haszálatával sokkal agyobb átviteli sebesség érhető el! Az egymódusú optikai szálak olya kicsiy a magátmérőjük kisebb mit µm hogy csak a tegellyel párhuzamos módus képes beük terjedi. Ebbe az esetbe itermodális diszperzió em lép fel, így a kommuikációs sebességet csak a később tárgyaladó ayagi diszperzió korlátozza. Ezek a szálak sokkal drágábbak, és csak lézerek segítségével működtethetők, de a kommuikációs sebesség elérheti a 4 Gbit/s os értéket is!