IV. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "IV. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában"

Átírás

1 4.0 Bevezetés IV. fejezet Analitikus táblázatk a kijelentéslgikában A következtetések helyességének indiekt ellenőzések a következőkéen játunk el: (1 feltételeztük, hgy a knklúzió hamis, a emisszák edig igazak; (2 a kijelentések lgikai szekezetét egészen az atmi kijelentésekig visszakövetve megvizsgáltuk, milyen következményekkel já feltevésünk a emisszákat és a knklúziót alktó atmi kijelentések igazságétékée nézve; (3 megvizsgáltuk, hgy az atmi kijelentések igazságétékével szembeni elváásainkban felbukkant e ellentmndás. Ha igen, akk a következtetés helyesnek minősült; ha nem, akk helytelennek. Ennek az eljáásnak a sán tehát a emisszákból és a knklúzió tagadásából álló fmulahalmaz ejtett ellentmndását igyekeztünk exlicitté tenni. Ehhez mindenekelőtt hitetikusan igazságétéket tulajdnítttunk a emisszáknak és a knklúziónak. Ee a léése aznban vltakéen nincs szükség. A ejtett ellentmndást anélkül is feltáhatjuk, hgy hivatkznunk kellene a fmulák igazságétékée; elég, ha megvizsgáljuk, mit tudunk meg a emisszákból és a knklúzió tagadásából. A ejtett ellentmndás akk válik exlicitté, ha a megtudtt kijelentések között felbukkan egy fmula és annak negációja. A helyesség ellenőzésének módszeét így a következőkéen módsíthatjuk: (1 a kijelentések lgikai szekezetét egészen az atmi kijelentésekig visszakövetve megvizsgáljuk, milyen atmi infmációkat tudunk meg a emisszákból és a knklúzió tagadásából (infmáción kijelentést, atmi infmáción edig egy atmi kijelentést vagy annak tagadását étjük; (2 ha az eljáás sán báhl felbukkan egy fmula és annak negációja, akk az adtt iányban nem flytatjuk tvább a vizsgálódást; (3 ha minden iányban felbukkant legalább egy exlicit ellentmndás, akk a következtetést helyesnek minősíthetjük; ha nem, akk helytelennek. A következő szakaszkban az itt vázlt módszet fgjuk ntsítani és kitejeszteni. 4.1 Számazékk; a táblázatszekesztés alaléései Vizsgáljuk meg, hgy az összetett kijelentésekben megfgalmaztt kmlex infmációt hgyan tudjuk felbntani egyszeűbb kijelentésekben megfgalmaztt, elemibb infmációka! Milyen elemi infmációkat tudunk meg abból, hgy Jáns nálunk ját, és megkóstlta a feleségem almás itéjét? Egyészt azt, hgy Jáns nálunk ját; másészt azt, hgy megkóstlta a feleségem almás itéjét. Mit tudunk meg tehát általában egy A & B fmájú kijelentésből? Egyészt azt, hgy A; másészt azt, hgy B. Ha egy kijelentésből egy vagy több másik kijelentést megtudunk, ezt úgy jelezzük, hgy azt, amit megtudtunk, a táblázatban a kijelentés alá íjuk. A & B A B Az ilyen esetekben azt mndjuk, hgy kijelentésünknek knjunktív számazékai vannak: A & B ből mind A t, mind B t megtudjuk. Flytassuk vizsgálódásunkat a negációval! Mit tudunk meg abból, hgy Jáns nem ment el a megnyitóa? Semmi lyat, ami az eedetinél egyszeűbb szekezetű infmáció vlna. Általában: a A fmájú kijelentéseknek csak A belső szekezete ismeetében tudjuk megadni a számazékait. Ha A elemi kijelentés, akk A nak egyáltalán nincsenek számazékai., stb. éúgy elemi infmációnak minősül, mint, stb. Ha visznt A összetett, akk a számazékk A belső szekezetétől függenek. 1

2 A & B hez hasnlóan knjunktív számazékai vannak éldául a (A B fmájú kijelentéseknek; a nem igaz, hgy ha idejében daéek, mindent el tudk intézni kijelentésből a kndicinálisa adtt sajáts ételmezésünk alaján egyészt megtudjuk, hgy idejében daéek, másészt azt is megtudjuk, hgy nem tudk mindent elintézni. Az ilyen fmájú kijelentések számazékai tehát: (A B A B De nem minden kijelentésfma számazékai knjunktívak. Mit tudunk meg éldául abból, hgy júliusban vagy augusztusban lesz az esküvő? Vagy azt tudjuk meg, hgy júliusban lesz az esküvő, vagy azt, hgy augusztusban lesz az esküvő. Az ilyen esetekben altenatív számazékkól beszélünk, és a számazékkat nem egymás alá íjuk, hanem egymás mellé, vnallal elválasztva. A A B B Ha altenatív számazékk bukkannak fel, az egész táblázat kettéágazik; minden lyan fmulát, amely a kettéágazás fölött, a fő ágban szeeel, az altenatív ágak mindegyikében figyelembe kell venni; és ha a fő ágban nem vettük még fel a számazékait, akk azkat az altenatív ágak mindegyikében fel kell venni. Hasnlóan altenatív számazékai vannak éldául a (A & B fmájú kijelentéseknek is. Abból, hgy nem igaz, hgy Kati szé és buta, vagy azt az infmációt tudjuk meg, hgy Kati nem szé, vagy azt, hgy Kati nem buta. (A & B A B Sajáts helyzetbe keülünk az A B fmájú kijelentésekkel; az ilyeneknek a számazékai ugyanis egyszee knjunktívak és altenatívak. Abból a kijelentésből, hgy Kati akk és csak akk kedves a féjéhez, ha az ajándékt vesz neki, a bikndicinálisa adtt sajáts ételmezésünk alaján vagy egyészt azt tudjuk meg, hgy Kati kedves a féjéhez, másészt azt, hgy a féje ajándékt vesz Katinak, vagy egyészt azt, hgy Kati nem kedves a féjéhez, másészt azt, hgy a féje nem vesz ajándékt Katinak. A B A B A B Külön figyelmet édemel az az eset, amik egy tagadtt kijelentés maga is tagadtt kijelentés. Abból, hgy nem igaz, hgy nem mentem be az előadása, temészetesen azt tudjuk meg, hgy bementem az előadása. A számazéka tehát A. A A Miután láttuk a számazékk fő tíusait, összefglaljuk az összes mndatknnektívumhz és azk tagadásaihz tatzó számazékkat. A fentebb nem tágyalt számazékk ellenőzését az lvasóa bízzuk. A & B A B A B A B A A A B A B A A A B B B (A & B (A B (A B (A B A B A A A A 2

3 B B B B Egy vagy több kijelentés analitikus táblázatának nevezzük azt az ábát, amit a kiinduló kijelentésből vagy kijelentésekből a számazékk módszees kifejtésével kaunk. A számazékk felíását a táblázat minden egyes ágán addig flytatjuk, amíg fel nem bukkan egy fmula és a tagadása, vagy amíg fel nem vettük az adtt ágn szeelő összes összetett kijelentés minden egyes számazékát. A táblázatszekesztés nts menetét néhány éldán mutatjuk meg. 4.2 Táblázatk szekesztése és kiétékelése Az analitikus táblázat szekesztésének első éldája legyen a legalavetőbb következtetési sémánk, a mdus nens. Az egyszeűség kedvéét helyettesítsünk a sémába atmi kijelentéseket: {, }. A következtetés akk helytelen, ha a emisszákból és a knklúzió tagadásából ellentmndó infmációkat tudunk meg. Táblázatunkat szekesztését tehát a két emisszával és a knklúzió tagadásával kezdjük: (1 (2 (3 A hám s közül csak az elsőnek vannak számazékai; a másdikban atmi kijelentés, a hamadikban atmi kijelentés tagadása áll. Az első s számazékait felvéve a táblázat két ága bmlik: (1 (2 (3 (4 (1 ből Itt és a következőkben a jbb szélső szlban jelezzük, hgy melyik s számazékai szeeelnek az adtt sban. Mivel a táblázat kettéágaztt, ha lennének tvábbi számazékk, azkat má az egyes ágakban külön külön kellene felvenni. Mivel aznban esetünkben má sem az eedeti fmuláknak, sem maguknak a számazékknak nincsenek tvábbi számazékai egyik ágn sem, mindkét ággal készen vagyunk; az ágak befejezettek. Háta van még a táblázat kiétékelése. A bal ágn megtaláljuk t és t is, a jbb ldaln edig t és t; ezek jelzik a számunka, hgy a emisszákból és a knklúzió tagadásából ellentmndása jutunk. Ha egy analitikus táblázat valamely ágán egy adtt fmulát és annak tagadását is megtaláljuk, akk ezt az ágat zátnak mndjuk. Ha nem találunk ilyen át, akk az ágat nyíltnak mndjuk. Egy fmulahalmaz akk és csak akk ejt magában ellentmndást vagyis kielégíthetetlen, ha kész (csua befejezett ágat tatalmazó analitikus táblázatának minden ága zát. És megfdítva: fmulahalmaz akk és csak akk nem ejt magában ellentmndást vagyis kielégíthető, ha kész analitikus táblázatának van nyílt ága. A zát ágat csillaggal jelöljük: (1 (2 (3 (4 (1 ből Ha egy táblázat minden egyes ágának alján csillagt látunk, akk megállaíthatjuk, hgy a táblázat kiinduló fmulahalmaza kielégíthetetlen. Ha ez a fmulahalmaz egy következtetés emisszáiból és knklúziójából áll, akk megállaíthatjuk, hgy a következtetés helyes. Mint mst, mdus nens sémájú következtetésünk esetében. 3

4 4.2.2 Temészetesen semmi nem kötelez bennünket aa, hgy az analitikus táblázatkban knkét fmulákat és ne sémákat szeeeltessünk. Az iménti táblázat alábbi váltzata általánsságban is igazlja a mdus nens sémáját: (1 A B (2 A (3 B (4 A B (1 ből A következőkben az analitikus táblázatkat elsősban fmulákkal és nem sémákkal fgjuk használni. Ennek aznban nincsenek elvi kai: a két használat szabályai megegyeznek Ellenőizzünk mst egy a kábbi fejezetekből szintén jól ismet helytelen következtetést: {, }. A számazékk a mdus nens táblázatáhz hasnlóan két ágban helyezkednek el: (1 (2 (3 (4 (1 ből A táblázat mindkét ága nyílt. A nyílt és befejezett ágakat köel jelezzük: (1 (2 (3 (4 (1 ből Mivel a táblázatban van nyílt ág, a kiinduló fmulahalmaz kielégíthető; tehát nem lehetetlen, hgy a emisszák igazak, a knklúzió visznt hamis legyen. A táblázatból még azt is kilvashatjuk, hgy mik fdul elő ez a helyzet: akk, amik hamis, visznt igaz Az analitikus táblázat eddig tehát megnyugtató eedményeket adtt: a mdus nenst helyesnek, megfdítását helytelennek mutatta. Nézzünk mst egy ányalattal összetettebb éldát! Ellenőizzük analitikus táblázattal a láncszabály egy esetét: {, }. A táblázat elején, mint mindig, a emisszák és a knklúzió tagadása állnak: (1 (2 (3 ( A flytatása hám lehetőségünk is van: felvehetjük bámelyik emissza vagy a knklúzió tagadása számazékait. Melyiket válasszuk? Édemes a hamadikkal kezdeni, met ennek a számazékai még nem elágazók, és így némileg egyszeűbb lesz a táblázatunk: (1 (2 (3 ( 4

5 (3 ból A számzást itt és a következőkben má csak addig a sig flytatjuk, ahnnan utljáa veszünk fel számazékkat. Mst st keíthetünk éldául az első emissza számazékaia: (1 (2 (3 ( (3 ból (1 ből Végül a másdik emissza számazékait temészetesen mindkét ágban fel kellene vennünk; a bal ágat aznban fölösleges tvább íni, hisz az a, ellentmndó áal má lezáult: (1 (2 (3 ( * (3 ból (1 ből (2 ből Mindkét újabb ágn ellentmndás léett fel, így ezek az ágak is zátak. (1 (2 (3 ( * (3 ból (1 ből (2 ből Minden ág zát, tehát a emisszák ellentmndanak a knklúzió tagadásának. Az analitikus táblázatk módszee a láncszabályn is jól vizsgáztt. Temészetesen más sendben is felvehettük vlna a számazékkat; éldául felülől lefelé haladva: (1 (2 (3 ( 5

6 (1 ből (2 ből * (3 ból * Szigúan véve tehát nem lehet azt mndani, hgy egy fmulahalmaznak egy analitikus táblázata van; a nem tiviális fmulahalmazk analitikus táblázatát általában száms váltzatban megszekeszthetjük. Ee a kédése a fejezetben még visszatéünk Gyakan előfdul, hgy nem kell minden ágn egészen az atmi számazékkig elmenni a táblázat megszekesztésében ahhz, hgy az ág lezáuljn. Egy kicsit szélsőséges éldaként tekintsük ezt a következtetést: {( ( s, ( s} (. Ennek analitikus táblázatát a fentiek alaján má igen egyszeűen megszekeszthetjük: (1 ( ( s (2 ( s (3 ( ( s (1 ből Itt egyik ág sem befejezett. Ez nem megleő, ha észevesszük, hgy a következtetés a mdus tllens séma egy esete. Ha nem vettük vlna figyelembe, hgy az ágak má lezáultak, és végigvezettük vlna őket az atmi számazékkig, éldául meglehetősen összetett táblázatt katunk vlna Az analitikus táblázatkat nem csak következtetések helyességének ellenőzésée használhatjuk, hanem bámely lyan feladata, amely véges fmulahalmaz kielégíthetőségének vizsgálatát igényli. Az előző fejezetben láttuk, hgy a lgika centális fgalmai kivétel nélkül definiálhatók a kielégíthetőség fgalmáa támaszkdva. Az ellentmndásk éldául kielégíthetetlen fmulák; a lgikai igazságk tagadása ellentmndás. Az ekvivalens fmulák közül edig bámelyik kielégíthetetlen fmulahalmazt alkt a másik tagadásával. A 4.3 alfejezetben ilyen éldákat is adunk majd az analitikus táblázat módszeének alkalmazásáa Az analitikus táblázatk szekesztése és kiétékelése sán hallgatólagsan elfgadtuk az alábbi metatételeket (vagyis a lgikai eszköztáunk tulajdnságaia vnatkzó tételeket: (1 Egyazn fmulahalmaz analitikus táblázatainak kiétékelése kivétel nélkül ugyanazt az eedményt adja. (2 Minden véges fmulahalmaz tetszőleges analitikus táblázatának véges sk ága van, és ezek az ágak véges sk léés után befejeződnek. (3 Egy véges fmulahalmaz akk és csak akk kielégíthető, ha analitikus táblázatainak van nyílt és befejezett ága. E tételek meghatázásaink alaján a szemlélet számáa nyilvánvalóak, és szabats biznyításuk sem különösebben nehéz; itt és mst aznban eltekintünk tőle. 4.3 Alkalmazási éldák Helyes e a {( ( & s, ( & ( s} ( ( következtetés? (1 ( ( & s 6

7 (2 ( & ( s (3 (( ( (4 (3 ból (5 ( (6 (4 ből (7 (7 ből (5 ből Mindkét ág zát; a következtetés tehát helyes Kielégíthető e a {( ( s, & s, } fmulahalmaz? (1 ( ( s (2 & s (3 (4 (2 ből (5 s (6 (3 ból (7 (8 ( ( (9 s ( s s ( s * s * Minden ág zát; a fmulahalmaz tehát nem kielégíthető. s * (1 ből (8 ból (9 ből Lgikai igazság e a ( ( (( fmula? (1 (( ( (( (2 ( ( (1 ből (3 ( (4 (2 ből (5 ( (6 (5 ből (7 (6 ból (8 (3 ból (8 ból 7

8 Van nyílt és befejezett ág, tehát a fmula tagadása nem ellentmndás; maga a fmula edig nem lgikai igazság Ekvivalensek e a ( és a ( fmulák? A két fmula akk és csak akk ekvivalens, ha kölcsönösen következnek egymásból. (1 ( (2 ( ( (3 (2 ből (4 ( (5 (4 ből (6 (7 ( (1 ből * (7 ből * Mindkét ág zát; a ( ( következtetés tehát helyes. (1 ( (2 (( (3 (2 ből (4 (5 (3 ból (6 (1 ből Van nyílt és befejezett ág; a ( ( következtetés tehát helytelen. A táblázatból kilvasható, hgy ha is hamis és is, akk igazságétékétől függetlenül a emissza igaz, a knklúzió visznt hamis. A két fmula nem ekvivalens. 4.4 Feladatk Fennáll e a {, } következményviszny? Fennáll e a {, & } következményviszny? Fennáll e a { (, } következményviszny? Fennáll e a {( ( s,, s} ( következményviszny? Lgikai igazság e a (( ( ( fmula? Ellentmndás e a ( ( ( fmula? Kielégíthető e a {( &,,, } fmulahalmaz? Kielégíthető e a { (, ( s, s ( &, } fmulahalmaz? Ekvivalensek e a ( és a & fmulák? Ekvivalensek e a ( és a ( fmulák? Megldásk 8

9 4.4.1m (1 (2 (3 ( * (3 ból (1 ből (2 ből Van nyílt és befejezett ág; a következtetés tehát helytelen. A táblázatból kilvasható, hgy ha igaz, hamis és is hamis, akk a emisszák igazak, de a knklúzió hamis m (1 (2 & (3 (2 ből (1 ből Mindkét ág zát; a következtetés tehát helyes. Az ellentmndó ák között egyik ágn sem szeeel. Ebből is látható, hgy má a emisszák ellentmndanak egymásnak m (1 ( (2 (3 ( * (3 ból (2 ből * (1 ből Minden ág zát; a következtetés tehát helyes m (1 ( ( s (2 9

10 (3 s (4 ( (5 (4 ből (6 ( s (1 ből (7 * (6 ból (8 s s (2 ből s * s s (3 ból * * * * * * (5 ből Van nyílt ág; a következtetés tehát helytelen. A táblázatból kilvasható: ahhz, hgy a emisszák igazak, a knklúzió visznt hamis legyen, elég, ha mind, mind hamis, valamint és s igazságétéke megegyezik m (1 ((( ( ( (2 ( ( (1 ből (3 ( (4 (3 ból (5 (6 ( (2 ből (6 ból * Két ág is nyílt és befejezett; a fmula tehát nem lgikai igazság m (1 ( ( ( (2 ( (1 ből (3 ( (4 (2 ből (3 ból Mindkét ág zát; a fmula tehát ellentmndás. 10

11 4.4.7m (1 ( & (2 (3 (4 (5 (6 (7 * (2 ből (3 ból (8 * ( & (1 ből * (8 ból Minden ág zát; a fmulahalmaz tehát nem kielégíthető m (1 ( (2 ( s (3 s ( & (4 (5 ( s (2 ből (6 (5 ből (7 (8 * s & (3 ból (9 * (8 ból (10 (11 * (1 ből (11 ből Van nyílt ág; a fmulahalmaz tehát kielégíthető. A táblázatból kilvasható, hgy ha igaz, hamis, igaz, s edig hamis, akk mind a négy fmula igaz m (1 ( (2 ( & (1 ből (2 ből 11

12 Mindkét ág zát; tehát fennáll a ( & következményviszny. (1 & (2 ( (3 (2 ből (1 ből (3 ból Mindkét ág zát; tehát a & ( következményviszny is fennáll. A két fmula ekvivalens m (1 ( (2 ( ( (3 ( (1 ből (4 (5 (3 ból (6 (7 (2 ből (8 ( ( ( ( Minden ág zát; a ( ( következtetés tehát helyes. (1 ( (2 (( (8 ból (3 (1 ből (4 ( (5 (4 ből (6 (7 ( ( ( (8 * * ( (2 ből (7 ből Minden ág zát; tehát a ( ( következtetés is helyes. Mivel mindkét iányban fennáll a következményviszny, a két fmula ekvivalens. 12

4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik.

4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik. 4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik. Az egyik az igazságtáblázatok módszere, amelyet az előző fejezetekben

Részletesebben

3. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK GRAFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS REALIZÁLÁSA

3. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK GRAFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS REALIZÁLÁSA 3. LOGIKI FÜGGVÉNYEK GRFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS RELIZÁLÁS tananyag célja: a többváltzós lgikai függvények grafikus egyszerűsítési módszereinek gyakrlása. Elméleti ismeretanyag: r. jtnyi István: igitális

Részletesebben

Verzió 1.2 2009.11.27. CompLex Officium Felhasználói kézikönyv

Verzió 1.2 2009.11.27. CompLex Officium Felhasználói kézikönyv Verzió 1.2 2009.11.27. CmpLex Officium Felhasználói kézikönyv CmpLex Officium felhasználói kézikönyv Tartalmjegyzék 1 Bevezetés... 3 1.1 Rendszerkövetelmények... 3 1.2 Fgalmtár... 3 2 Officium lehetőségek...

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk

Részletesebben

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei 1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban

Részletesebben

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő.

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő. 1. Bevezetés A logika a görög,,logosz szóból származik, melynek jelentése gondolkodás, beszéd, szó. A logika az emberi gondolkodás vizsgálatával foglalkozik, célja pedig a gondolkodás során használt helyes

Részletesebben

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c

Részletesebben

Akkor már a számítóközpont üzemeltetésére toborzott munkatársaimmal túl voltunk a 4004/45-ös

Akkor már a számítóközpont üzemeltetésére toborzott munkatársaimmal túl voltunk a 4004/45-ös Vlt egyszer egy SzKI írm, nekem néhány hónap híján, 20 évig nem csak munkahelyem vlt az SzKI, hanem egy lyan közösség is, amelyhez minden egyes tagjáhz meleg érzelmi kapcsl ejezni. A másik megjegyzésem:

Részletesebben

IV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.

IV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon. 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

IV. rész. Az élettársi kapcsolat

IV. rész. Az élettársi kapcsolat IV. rész Az élettársi kapcslat Napjaink egyik leggyakrabban vitattt jgintézménye úgy tűnik kimzdult az évtizedeken át tartó jgi szabályzatlanságból, sőt az újnnan megjelenő jgszabályk és az azk által generált

Részletesebben

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

Alapvető formázási műveletek a Word 2003 programban

Alapvető formázási műveletek a Word 2003 programban Frmázás Nagy Balázs Tamás Alapvető frmázási műveletek a Wrd 2003 prgramban Frmázás A begépelt, nyers szövege egyes részeit frmázzuk. A frmázás mindig a kijelölt szövegrészre vnatkzik. A szöveg frmájának,

Részletesebben

Mozgás centrális erőtérben

Mozgás centrális erőtérben Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének

Részletesebben

JELENTÉS. az önkormányzatok 1993. évi normatív állami hozzájárulás igénybevételének és elszámolásának ellenőrzési tapasztalatairól. 1994. július 212.

JELENTÉS. az önkormányzatok 1993. évi normatív állami hozzájárulás igénybevételének és elszámolásának ellenőrzési tapasztalatairól. 1994. július 212. JELENTÉS az önkrmányzatk 1993. évi nrmatív állami hzzájárulás igénybevételének és elszámlásának ellenőrzési tapasztalatairól 1994. július 212. Állami Számvevőszék V-1006-52/1994. Témaszám: 221 Jelentés

Részletesebben

Inczeffy Szabolcs: Lissajoux görbék előállítása ferdeszögű rezgések egymásra tevődésével

Inczeffy Szabolcs: Lissajoux görbék előállítása ferdeszögű rezgések egymásra tevődésével Inczeffy Szablcs: Lissajux görbék előállítása ferdeszögű rezgések egymásra tevődésével I. Lissajux görbék Mint ismeretes a Lissajux görbék merőleges rezgések egymásra tevődéseként jönnek létre. Váltztatva

Részletesebben

Példák. Ismert a római számok halmaza, amely intuitív szintaxissal rendelkezik, hiszen pl.

Példák. Ismert a római számok halmaza, amely intuitív szintaxissal rendelkezik, hiszen pl. A 10. óra vázlata: Példák Ismert a római számk halmaza, amely intuitív szintaxissal rendelkezik, hiszen pl. IIV-t VX-et vagy IIII-t nem fgadjuk el római számnak (habár v.ö. tarkk-kártya vagy némely óra

Részletesebben

5CG. számú előterjesztés

5CG. számú előterjesztés Budapest Fővárs X. kerület Kőbányai Önkrmányzat Plgármestere 5CG. számú előterjesztés Bizalmas az előterjesztés 2. mellékletének 2. és 211. melléklete! Előterjesztés a Képviselő-testület részére a Körösi

Részletesebben

ZÁRÓ VEZETŐI JELENTÉS TEVÉKENYSÉGELEMZÉS ÉS MUNKAKÖRI LEÍRÁSOK KÉSZÍTÉSE SZÁMÍTÓGÉPES ADAT- BÁZIS TÁMOGATÁSÁVAL

ZÁRÓ VEZETŐI JELENTÉS TEVÉKENYSÉGELEMZÉS ÉS MUNKAKÖRI LEÍRÁSOK KÉSZÍTÉSE SZÁMÍTÓGÉPES ADAT- BÁZIS TÁMOGATÁSÁVAL TEVÉKENYSÉGELEMZÉS ÉS MUNKAKÖRI LEÍRÁSOK KÉSZÍTÉSE SZÁMÍTÓGÉPES ADAT- BÁZIS TÁMOGATÁSÁVAL Kerekegyháza Várs Önkrmányzata részére ÁROP szervezetfejlesztési prjekt 2010. 04. 30. 2 / 34 Tartalmjegyzék 1.

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI A szükséges mintaszám krlát elemzése Pataki Béla BME I.E. 414, 463-26-79 pataki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/pataki Mit is jelent az eredmény, ha pnts lenne

Részletesebben

Kurzus eredményei meghívásokkal

Kurzus eredményei meghívásokkal Kurzus eredményei meghíváskkal Riprtelemző segédlet Az alábbi táblázat röviden bemutatja az e-mailben megküldött Kurzus eredményei meghíváskkal nevű, Excel frmátumú riprt szlpait. A magyarázat segítséget

Részletesebben

Az anyagok mágneses tulajdonságainak leírásához (a klasszikus fizika szintjén) az alábbi összefüggésekre van szükségünk. M m. forg

Az anyagok mágneses tulajdonságainak leírásához (a klasszikus fizika szintjén) az alábbi összefüggésekre van szükségünk. M m. forg 4. MÁGNESES JELENSÉGEK ANYAGBAN (Mágneses mmentum, Mágnesezettség, Mágneses térerősség, Mágneses szuszceptibilitás, Relatív és Abszlút permeabilitás, Lenztörvény, Diamágnesesség, Paramágnesesség, Curie-törvény,

Részletesebben

2006. március, - Solymár, Waldorf képzés. GRAVITÁCIÓ LEVITÁCIÓ A közösségekre ható gyógyító és megbetegítő erőkről

2006. március, - Solymár, Waldorf képzés. GRAVITÁCIÓ LEVITÁCIÓ A közösségekre ható gyógyító és megbetegítő erőkről GRAVITÁCIÓ LEVITÁCIÓ A közösségekre ható gyógyító és megbetegítő erőkről Mint tudjuk, Rudlf Steiner a társadalm fejlődésével kapcslats minden reményét a Waldrf mzgalmba helyezte és úgy gndlta, hgy egyetlen

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez

Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez lméleti összefoglaló a I. éves vegyészhallgatók oláis molekula dipólusmomentumának meghatáozása című mééséhez 1.1 ipólusmomentum Sok molekula endelkezik pemanens dipólus-momentummal, ugyanis ha a molekulát

Részletesebben

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy

Részletesebben

Kristályszerkezetek és vizsgálatuk

Kristályszerkezetek és vizsgálatuk Kristályszerkezetek és vizsgálatuk Az anyagk tulajdnságait atmjaik fajtája, kémiai kötésük jellege és kristályszerkezete együttesen határzza meg. A fentiekre a szén egy tipikus példa. A tiszta szén gyémánt

Részletesebben

SARKÍTOTT FÉNNYEL A VIKINGEK NYOMÁBAN AZ ÉSZAKI-SARKVIDÉKEN A polarimetrikus viking navigáció légköroptikai feltételeinek kísérleti vizsgálata

SARKÍTOTT FÉNNYEL A VIKINGEK NYOMÁBAN AZ ÉSZAKI-SARKVIDÉKEN A polarimetrikus viking navigáció légköroptikai feltételeinek kísérleti vizsgálata neutrncsillagk száma 8 7 6 5 4 3 2 1 ( dm/ dt ) 10 = 1 0 0 200 400 600 800 1000 1 n (s ) 10. ábra. A milliszekundums neutrncsillagk frekvencia szerinti elszlásának összehasnlítása Glendenning és Weber

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Á ű ő ö Í é é ő Ö Ö é ő Ö ő ö é é Ö ü é ó Ő é é ó é ó é é é é Ö ó ó ő é Ü é ó ö ó ö é é Ő ú é é é é ő Ú é ó Ő ö Ő é é é é ű ö é Ö é é ó ű ö é ő é é é é é é é é é Ö é Ö ü é é é é ö ü é ó é ó ó é ü ó é é

Részletesebben

ű Ő ű Ü Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú Ü Ő ű Ö ű Ü ű Ö ű Ú ű ű Ű É É ű ű ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű É Ű É Ü Ü Ú É É ű ű ű Ü ű É É Ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű ű Ö É Ó É É É Ü

Részletesebben

ó ó ú ú ó ó ó ü ó ü Á Á ü É ó ü ü ü ú ü ó ó ü ó ü ó ó ú ú ú ü Ü ú ú ó ó ü ó ü ü Ü ü ú ó Ü ü ű ű ü ó ü ű ü ó ú ó ú ú ú ó ú ü ü ű ó ú ó ó ü ó ó ó ó ú ó ü ó ó ü ü ó ü ü Ü ü ó ü ü ü ó Ü ó ű ü ó ü ü ü ú ó ü

Részletesebben

:.::-r:,: DlMENZI0l szoc!0toolnl ránsnnat0m A HELYI,:.:l:. * [:inln.itri lú.6lrl ri:rnl:iilki t*kill[mnt.ml Kilírirlrln K!.,,o,.r*,u, é é é ő é é é ő é ő ő ú í í é é é ő é í é ű é é ő ő é ü é é é í é ő

Részletesebben

Ü Ö Á Á Á Á Á É ű Ü Ú ű ű Á É ű Ú Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Ü Ü Ü Ö Ö Ú Ö Ü Ö ű ű ű ű ű Á ű Ú ű ű ű ű ű É Á Ö Ö Ö ű ű ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ü Ö Ü Ó Ö ű ű ű

Részletesebben

Ü Éü É ü í í Í ö Ü Ú ú Ó í ő í Ö ű ö Ó ú Ű ü í Ó ö Ó Ü Ó Ó í í ú í Ü Ü ő Ú Ó Ó í ú É ÉÉ É Á Ü Ü Ü Ú ő í Ő Ó Ü ő ö ü ő ü ö ú ő ő ő ü ö ő ű ö ő ü ő ő ü ú ü ő ü ü Í ü Í Á Ö Í É Ú ö Í Á Ö í É ö í ő ő í ö ü

Részletesebben

Ö Ó ú É ű É Ö Ö Ö Ü Ó Ú É ú É Ü Ú ú Ü ű ú Ü Ö Ö ú ű Ú ű ű ú Ö Ö Ö Ö É ú ú Ő Ö ú Ü Ó ú Ú Ü Ö ű ű ű Ö ű ú Ó ű Ö Ü ű ú ú ú ú É ú Ö ú ú Ü ú Ó ú ú ú ú ú ú ű ű ú ű ú ú ű Ö ú ú ú ű Ö ú ű ú ű Ü Ö Ü ű Ü Ö ú ú Ü

Részletesebben

ú Ú Ö É ú ü í í ü í í í í ü Ú í ű í ú ü ü í í ü ü í ü ü ú Í í ű í ü ü Ü í í ü í ú ű ú ú í í ü ú í ü É ü Ö í í ü ú ű í í ü í ű í í Í Ö í í ü Ö ú É Í í í í ü ű ü ű ü ü ü ü í í í í ú í ü í ú É ü ü ü ü í ü

Részletesebben

Á Á Ó É ö ó ó ó ő ő ó ö ő ő ű ó ú ö ó ó ő ó ü ó ó ő ó ó ő ó ü ó ő ő ő ó ő ő ö ó ó ó ö ö ü ö Á Á Ó ü ó ö ó ő ó ő ő Á É Á Ó ű ü ö ó ő ó ú ÉÉ ó ú ő ö ó ó ó ó ó ö ö ő ü ó ö ö ü ó ű ö ó ó ó ó ú ó ü ó ó ö ó

Részletesebben

É É É ü É ó ó É ű ó ÉÉ ó É ó É É ó É ü ó ó Ó ű ó ó ó ó ü É ü ű ó É É É É ü ü ó ó ó ü É ó É ó É ó ó ó ü ü ü ü ó ü ü ü ü ó ű ű É Í Ó Ü Ö ó ó ó Ó ó ü ü ü ű ó ü ü ű ü ü ó ü ű ü ó ü ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó ó ű

Részletesebben

A KÓS KÁROLY ÁLTALÁNOS ISKOLA PEDAGÓGIAI PROGRAMJA

A KÓS KÁROLY ÁLTALÁNOS ISKOLA PEDAGÓGIAI PROGRAMJA A KÓS KÁROLY ÁLTALÁNOS ISKOLA PEDAGÓGIAI PROGRAMJA Tartalmjegyzék 1. Az iskla nevelési prgramja... 5 1.1. A nevelő-ktató munka pedagógiai alapelvei, céljai, feladatai, eszközei, eljárásai... 5 1.1.1. Az

Részletesebben

Velem községi Önkormányzat 2010. évi költségvetési koncepciója

Velem községi Önkormányzat 2010. évi költségvetési koncepciója E L Ő T E R J E S Z T É S Velem községi Önkrmányzat Képviselő-testületének 2009. nvember 27-ei testületi ülésére Tárgy: Előterjesztő: Összeállíttta: Melléklet: Velem községi Önkrmányzat 2010. évi költségvetési

Részletesebben

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Csak a fantázia szab határt...

Csak a fantázia szab határt... wdream Csak a fantázia szab határt... www.pannnfalap.hu 2013/1. szám Belsőépítészeti tervezőknek, kivitelezőknek és bútrgyártóknak Ajánlatunk MDF lap két ldaln alapzó filmbevnattal Vízálló MDF lap Tűzálló

Részletesebben

ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre

ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE Íta: Hajdu Ende Egy pénzémének vagy egyéb lemezidomnak saját síkjában töténő elmozgathatósága meggátolható oly módon, hogy a lemez peeme mentén, alkalmasan megválasztott

Részletesebben

Kurzuseredmények statisztikai adatokkal

Kurzuseredmények statisztikai adatokkal Kurzuseredmények statisztikai adatkkal Riprtelemző segédlet Az alábbi táblázat röviden bemutatja az e-mailben megküldött, Kurzuseredmények statisztikai adatkkal nevű, Excel frmátumú riprt szlpait. A magyarázat

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS 197/2011. sz. i Szerencsejáték Zrt. Adatvédelmi, adatbiztnsági, valamint a érdekű adatigénylés teljesítési rendjére vnatkzó Szabályzatáról Szerencs^.K ö r ű e n ílíöi'"' M ű k ő i'» * -' 197/ 2011. sz.

Részletesebben

A törzsszámok sorozatáról

A törzsszámok sorozatáról A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel

Részletesebben

Gépi tanulás. A szükséges mintaszám korlát elemzése. Pataki Béla (Bolgár Bence)

Gépi tanulás. A szükséges mintaszám korlát elemzése. Pataki Béla (Bolgár Bence) Gépi tanulás A szükséges mintaszám krlát elemzése Pataki Béla (Blgár Bence) BME I.E. 414, 463-26-79 pataki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/pataki A Russell-Nrvig könyv n=10 bemenetű lgikai

Részletesebben

VirtualLibrary-1.0 Fontos tudnivalók

VirtualLibrary-1.0 Fontos tudnivalók VirtualLibrary-1.0 Fnts tudnivalók Dr. Hatvany Béla Csaba, 2018 Előzmények A családkutató manapság munkája srán nagy mennyiségű digitális adatfrrást használ: filmeket, képeket, könyveket, kleveleket, webldalakat,

Részletesebben

L E V E G Ő M U N K A C S O P O R T

L E V E G Ő M U N K A C S O P O R T L E V E G Ő M U N K A C S O P O R T S T R A T É G I A 2 0 1 2 15 Budapest, 2012. május 24. IFUA Nnprfit Partner Közhasznú Nnprfit Kft. H-1119 Budapest Fehérvári út 79. A prjekt megvalósulását az IFUA Hrváth

Részletesebben

MIRE KELL ÜGYELNI A SZAKDOLGOZAT ÖSSZEÁLLÍTÁSAKOR (Ismertető Bodó Barna)

MIRE KELL ÜGYELNI A SZAKDOLGOZAT ÖSSZEÁLLÍTÁSAKOR (Ismertető Bodó Barna) MIRE KELL ÜGYELNI A SZAKDOLGOZAT ÖSSZEÁLLÍTÁSAKOR (Ismertető Bdó Barna) Ütemterv segédlet a dlgzat összeállításáhz 1. Kutatási/elemzési terv beadási határideje: 5-8 ldal Irdalmgyűjtés (cédulázás) flyamatsan

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

1. Logikailag ekvivalens

1. Logikailag ekvivalens Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.

Részletesebben

Nők szolgálata. Tehát úgy teremtette Isten a férfit és a nőt, hogy személyükben egyenlőek, de sorrendiségükben és szerepükben eltérőek legyenek.

Nők szolgálata. Tehát úgy teremtette Isten a férfit és a nőt, hogy személyükben egyenlőek, de sorrendiségükben és szerepükben eltérőek legyenek. Nők szlgálata A nők szlgálatának a kérdése az elmúlt évtizedekben sk vitára adtt kt. Egyes közösségekben egyáltalán nem engedik a nők szlgálatát, míg más közösségekben, főleg a XX. század női egyenjgúsági

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja MATEMATIKA C. évflyam 5. mdul Ismétlés a tudás anyja Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási

Részletesebben

Esztergom Város integrált településfejlesztési stratégiája

Esztergom Város integrált településfejlesztési stratégiája Esztergm Várs integrált településfejlesztési stratégiája II. STRATÉGIA KDOP-6.2.1/K-13-2014-0002 Közép-Dunántúli Operatív Prgram Fenntartható településfejlesztés a kis- és középvárskban Integrált Településfejlesztési

Részletesebben

III. Differenciálszámítás

III. Differenciálszámítás III. Diffeenciálszámítás A diffeenciálszámítás számunka elsősoban aa való hogy megállaítsuk hogyan változnak a (fizikai) kémiában nagy számban előfoló (többváltozós) függvények. A diffeenciálszámítás megadja

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Prototípus, termék-, technológia- és szolgáltatásfejlesztés

Prototípus, termék-, technológia- és szolgáltatásfejlesztés Tanácsadás Pályázatírás Támgatás lehívása Utókövetés Prttípus, termék-, technlógia- és szlgáltatásfejlesztés Gazdaságfejlesztési és Innvációs Operatív Prgram KÓDSZÁM GINOP-2.1.7-15 A pályázati kiírás a

Részletesebben

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le Analitika című művében, Kr.e. IV. században. LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

I. Adatok, adatgyűjtés

I. Adatok, adatgyűjtés I. Adatk, adatgyűjtés Adatgyűjtés adatk minőségének értékelése. Gazdasági adatkról lesz szó! Adat: rögzített ismeret. Számszerű adatkkal fgunk fglalkzni. Általában az adatk nem teljes körűek (kmplettek).

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Kurzus- és tananyageredmények

Kurzus- és tananyageredmények Kurzus- és tananyageredmények Riprtelemző segédlet Az alábbi táblázat röviden bemutatja az e-mailben megküldött, Kurzus- és tananyageredmények nevű, Excel frmátumú riprt szlpait. A magyarázat segítséget

Részletesebben

A fogyasztói tudatosság növelése. az elektronikus hírközlési piacon

A fogyasztói tudatosság növelése. az elektronikus hírközlési piacon A fgyasztói tudatsság növelése az elektrnikus hírközlési piacn A Nemzeti Hírközlési Hatóság szakmai tájékztató anyaga 2008. szeptember A fgyasztók körébe meghatárzás szerint valamennyien beletartzunk,

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM PÉNZ-, ÉS ÉRTÉKKEZELÉSI SZABÁLYZAT

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM PÉNZ-, ÉS ÉRTÉKKEZELÉSI SZABÁLYZAT NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM PÉNZ-, ÉS ÉRTÉKKEZELÉSI SZABÁLYZAT SOPRON 2013 TARTALOMJEGYZÉK Általáns rendelkezések... 3 Készpénz kezelése, pénztárak működése... 4 Pénzkezelő helyek és pénzfrgalmának szabályzása...

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

A felmenők és az oldalrokonok törvényes öröklése: a parentéláris öröklés

A felmenők és az oldalrokonok törvényes öröklése: a parentéláris öröklés A felmenők és az ldalrknk törvényes öröklése: a parentéláris öröklés A Ptk. a felmenő egyenes ági rknk törvényes öröklési jgát krlátlanul elismeri. Az ldalrknk törvényes öröklési jgát a nagyszülői leszármazók

Részletesebben

EGT FINANSZÍROZÁSI MECHANIZMUS 2009-2014 ENERGIAHATÉKONYSÁG PROGRAMTERÜLET BESZÁLLÍTÓI WORK-SHOP EMLÉKEZTETŐ

EGT FINANSZÍROZÁSI MECHANIZMUS 2009-2014 ENERGIAHATÉKONYSÁG PROGRAMTERÜLET BESZÁLLÍTÓI WORK-SHOP EMLÉKEZTETŐ EGT FINANSZÍROZÁSI MECHANIZMUS 2009-2014 ENERGIAHATÉKONYSÁG PROGRAMTERÜLET BESZÁLLÍTÓI WORK-SHOP EMLÉKEZTETŐ Dátum és időpnt: 2013. június 25. 10:00 Helyszín: NFÜ tárgyalója RÉSZTVEVŐK Meghívtt vendégek

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

10XONE Szoftver és szolgáltatási szerződés Általános Szerződési Feltételek (ÁSzF) 3.3. 10XONE V3.3 SZERZŐDÉS

10XONE Szoftver és szolgáltatási szerződés Általános Szerződési Feltételek (ÁSzF) 3.3. 10XONE V3.3 SZERZŐDÉS 10XONE Sftware and Services Agreement General Terms and Cnditins V3.3 Szftver és Szlgáltatási Szerződés Általáns Szerződési Feltételek V3.3 Jelen Szftver és Szlgáltatási szerződés (tvábbiakban Szerződés

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logika szó hétköznapi jelentése: rendszeresség, következetesség Ez logikus beszéd

Részletesebben

thermotop plus fali gázkészülékek turbotop plus fali gázkészülékek

thermotop plus fali gázkészülékek turbotop plus fali gázkészülékek i Utasítás thermtop plus fali gázkészülékek turbtop plus fali gázkészülékek VU HU -5 VU/VUW HU -5 VU/VUW HU 4-5 VU/VUW HU 8-5 VU HU -5 VU/VUW HU -5 VU/VUW HU 4-5 VU/VUW HU 8-5 HU Tartalmjegyzek; Általáns

Részletesebben

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai D Geőcs László Számadó László MATEMATIKA A tankönv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acbat Reade pgam szükséges, amel ingenesen letölthető az intenetől (például: adbelahu webldalól)

Részletesebben

Tájékoztató a évre vonatkozó építésügyi valamint építésfelügyeleti hatósági statisztikai adatszolgáltatás módjáról és tartalmáról

Tájékoztató a évre vonatkozó építésügyi valamint építésfelügyeleti hatósági statisztikai adatszolgáltatás módjáról és tartalmáról Tájékztató a 2015. évre vnatkzó építésügyi valamint építésfelügyeleti hatósági statisztikai adatszlgáltatás módjáról és tartalmáról 1. BEVEZETÉS Az adatszlgáltatás jgszabályi hátterét az e-epites.hu nyitóldalán

Részletesebben

Mottóm erre az évre: urban-eve.hu Minden jog fenntartva!

Mottóm erre az évre: urban-eve.hu Minden jog fenntartva! 2013 Mttóm erre az évre: E napló tulajdnsa Nevem: Lakcímem: Telefnszámm: _ E-mail címem: Ezt kell rólam tudni 2013-ban leszek éves. Kedvenc színem a. Kedvenc könyvem:. Kedvenc filmem:. Kedvenc színésze(i)m:.

Részletesebben

ú ü Ü Á É ü ű ú ő Á Á ú ú ő ű Á Á Á ü Á ú É Ü Ó Á ü ú ő ű ü ú Á ő ő ú ü ű ű ú ű ű ű ú ü ő ü ú É ú Á ú Á ü ü ÉÉ ú É Ü Ó Á Á ü Ú Á Á ü ü ü ü ú Á Á ú Ú ü ű ú Á ő Á Ú Á Á ú É ő ő ő ő ú ő ő ő ő ő ő Ü ő ő ő

Részletesebben

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f 0. A fény visszaveődése és töése göbült hatáfelületeken, gömbtükö és optikai lencse. ptikai leképezés kis nyílásszögű gömbtükökkel, és vékony lencsékkel. A fő sugámenetek ismetetése. A nagyító, a mikoszkóp

Részletesebben

Pályáza' kiírás, részvételi és szavazási szabályzat - Let s Colour 2016

Pályáza' kiírás, részvételi és szavazási szabályzat - Let s Colour 2016 Pályáza' kiírás, részvételi és szavazási szabályzat - Let s Clur 2016 A Let s Clur Településszépítő Egyesület, a 2011. óta minden évben megszervezed magyarrszági Let s Clur Prjekt flytatásaként 2016-ban

Részletesebben

SZABÁLYZAT ÉRTÉKESÍTÉS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK

SZABÁLYZAT ÉRTÉKESÍTÉS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK Az Oktatási Hivatal (székhely: 1055 Budapest, Szalay u. 10-14., adószám: 15329729-2-41, államháztartási nyilvántartási száma: 229726, értesítési cím: 1055 Budapest, Szalay utca 10-14., képviseli: Dr. Maruzsa

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Az elsőrendű logikai nyelv interpretációja L interpretációja egy I-vel jelölt függvénynégyes,

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,

Részletesebben

A felülvizsgálatok során feltárt hibákat a döntések tartalmához igazodó sorrendben csoportosítottuk.

A felülvizsgálatok során feltárt hibákat a döntések tartalmához igazodó sorrendben csoportosítottuk. 1 Jegyző helyi környezet- illetve természetvédelemmel kapcslats hatáskörében hztt I. fkú szakhatósági állásfglalásk és eljárásk felülvizsgálatának tapasztalatairól Cél meghatárzása: - a hatóságk közötti

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Ö Á Í Í ű ű ú ű ű ű ű ú ú ú ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ú ű ú ú ú ű ú Á ú ű ű Ó ú ű ű ű ú Ó ú ű ú É ú ú ú ű ű ú ű ú Ú Á ú É ú Ó ú ú ú ú ű ű ű ú É Á É É ű ű Í ú ú Ó Í ű Í ű ű ú ű ű ű É ű ú Á ű ű ú Í ű Á ű ú ú É

Részletesebben

ö ö ö ö ö ö ö ű ű ö ö ö ö ö Ő ö Ó Ú ö Ö ö ö ö ö Ö Ő ö ö Í Ó Ó Ő ö ö ö ö ö Ő Ő Ó Ő É ö Ú ö ö Ő ö ö ö ö ö ö ö Ő ö Ő É ö Ő ö ö Ő ö ö ö Ó ű ö ö ö Ő ö ö ö Í Ő Ó Í ö ö ö ö Ő Ő Ő Ő Í Ó Ő Ő Í Ő ö ö ö ö ö Ő Ő ö

Részletesebben

Ú ű ü ü Ü ű É É Ö Ö Á ü ü ü ű É ú Á Ö Ü ü ü ű É Á É Ű ű Ü Ü ű ü ű ü ű ü Ü ü ü Ű Á Á Á ű ú ű Á Ó Ó É Á Ó Á Ó ű ü ü ű ű ü ú ú ü ü ü ű ü ű Ü ű ü ü ú ü Ö ü ú ú ü ü ü ü ű ú ü Ó ü Ó Ó ü ü Ó ü ü Ó ű ű ú ű ű ü

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Szervezeti és Működési Szabályzata

Szervezeti és Működési Szabályzata Szügyi Dániel Refrmátus Általáns Iskla Szervezeti és Működési Szabályzata Akinek skat adtak attól skat kívánnak és akire skat bíztak attól többet kérnek számn. /Lukács 12,48/ Dévaványa, 2013. Tartalmjegyzék

Részletesebben

cato II. rész: Protokollok és Terápiatervek

cato II. rész: Protokollok és Terápiatervek cat Felhasználói kézikönyv II. rész: Prtkllk és Terápiatervek 2.0.3.2 verzió 2008 Cat Sftware Slutins GmbH www.cat.eu Frgalmazza: Premier G. Med Onk Kft. 1026 Budapest, Hidász u. 1 +36 1 391-4030 2008

Részletesebben

LUDA SZILVIA. sikerül egységnyi anyagból nagyobb értéket létrehozni, gyorsabban nő a GDP, mint az anyagfelhasználás.

LUDA SZILVIA. sikerül egységnyi anyagból nagyobb értéket létrehozni, gyorsabban nő a GDP, mint az anyagfelhasználás. A GAZDASÁGI NÖVEKEDÉS ÉS A PAPÍRFELHASZNÁLÁS ALAKULÁSA NÉHÁNY OECD ORSZÁG PÉLDÁJÁN KERESZTÜL Bevezetés LUDA SZILVIA A tanulmány az ök-hatéknyság fgalmának értelmezését bemutatva, felhívja a figyelmet annak

Részletesebben

HALÁSZTELKI TÜNDÉRKERT ÓVODA

HALÁSZTELKI TÜNDÉRKERT ÓVODA HALÁSZTELKI TÜNDÉRKERT ÓVODA PEDAGÓGIAI PROGRAM TARTALOM Intézményünk pedagógiai prgramjának elkészítésénél figyelembe vett dkumentumk:... 5 1.AZ INTÉZMÉNY ÁLTALÁNOS JELLEMZŐI... 5 1.1. Az óvda alaptevékenysége:...

Részletesebben