MATEMATIKA A 10. évfolyam
|
|
- Krisztina Bognár
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 MATEMATIKA A 0 évfolam 6 modul Másodfokúra visszavezethető problémák Készítette: Darabos Noémi Ágnes
2 Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok Különböző típusú másodfokúra visszavezethető egenletek megoldása Gakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egenletekkel 8 óra 0 évfolam Tágabb körnezetben: Fizika, kémia Valóságos problémák matematikai megoldása Szűkebb körnezetben: Függvének Egenletek grafikus megoldása Paraméteres egenletek (emelt szint) Ajánlott megelőző tevékenségek: Törtes kifejezések közös nevezőjének meghatározása, nevezetes azonosságok használata Másodfokú egenletek megoldása, megoldóképlet, gökténezős alak ismerete Másodfokú függvének jellemzése Ajánlott követő tevékenségek: Négzetgökös egenletek Számtani és mértani közép, szélsőérték feladatok
3 Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: Alapműveletek biztonságos elvégezése (zsebszámológéppel is) Műveletek sorrendjének ismerete Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmének becslése és a kapott eredmén visszakonvertálása az eredeti szövegbe Szöveges feladatok, metakogníció: A szövegértés tudatos fejlesztése, a hétköznapi szöveg lefordítása a matematika nelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése A kapott megoldások ellenőrzése és adaptációja az eredeti szövegkörnezetbe Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lénegkiemelő képesség fejlesztése Szöveges, másodfokúra visszavezethető egenletek megoldásakor a felvetett problémának nem megfelelő hamis gök kiszűrése, a diszkusszió igénének fejlesztése A korábbi matematikai ismeretek beépítése, a lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése, a rendszerező szemlélet alakítása Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése) Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése) A tananag javasolt órabeosztása Óraszám Óracím I Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egenletek Gakorlás II Törtet tartalmazó egenletek Gakorlás III 6 Szöveges feladatok 7 Gakorlás 8 Összefoglalás
4 Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató Érettségi követelmének: Középszint: Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát Alkalmazza a különböző egenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következménegenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb Ismerje az egismeretlenes másodfokú egenlet általános alakját Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet Használja a teljes négzetté alakítás módszerét Alkalmazza feladatokban a gökténezős alakot Tudjon törtes egenleteket, másodfokú egenletre vezető szöveges feladatokat megoldani Másodfokú egenletrendszerek megoldása Egszerű, másodfokúra visszavezethető egenletek megoldása Emelt szint: Igazolja a másodfokú egenlet megoldóképletét Igazolja és alkalmazza a gökök és egütthatók közötti összefüggéseket Másodfokú paraméteres feladatok megoldása Tudjon másodfokúra visszavezethető egenletrendszereket megoldani Értelmezési tartomán, illetve értékkészletvizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható feladatok, összetett feladatok megoldása
5 Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató MODULVÁZLAT Lépések, tevékenségek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gűjtemén I Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egenletek Mindenkinek adunk eg kártát, melen másodfokú egenletek, diszkriminánsuk, gökténezős alakjuk, valamint a gökeik szerepelnek Az összetartozó kárták tulajdonosai alkotnak eg csoportot Ezen az órán ők dolgoznak egütt Magasabb fokszámú egenletek megoldása Közösen megbeszéljük a feladatokat Minden csoport egedül dolgozik a feladatokon A csoporton belül kiosztjuk az A, B, C, D jelű kártákat, mindenki húz eget A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport számát és betűjelét kihúzza a tanár Rendszerezés, kombinatív gondolkodás Kombinatív gondolkodás 6 kártakészlet és feladat,,, 6 és 7 feladat
6 Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató 6 Gakorlás Minden csoportnak adunk eg csomag kártát, melen magasabbfokú egenletek szerepelnek Feladatuk összepárosítani azokat az egenleteket, meleknek azonosak a gökeik Minden csoport egedül dolgozik a feladatokon A feladat megoldását ismertetik a táblánál Rendszerezés, kombinatív gondolkodás Kombinatív gondolkodás 6 kártakészlet 8, 9 és 0 feladat II Törtet tartalmazó egenletek Minden csoport egedül dolgozik a feladatokon A feladat megoldását ismertetik a táblánál 6, 7, 8 és 9 feladat Gakorlás A kijelölt feladatok egéni vag csoportos megoldása A megoldások ellenôrzése, megbeszélése Mindenkinek adunk eg kártát, amelen eg egenlet szerepel Felírjuk a táblára a következő nég egenletet:, 6, ( ), valamint nitunk eg egik sem rovatot is Minden tanuló feladata az, hog elhelezze a saját kártáját az alá az egenlet alá, amelikkel a kapott egenlete megegezik, vag ha nem talál ilet, akkor az egik sem rovat alá Közösen beszéljük meg, hog minden kárta jó helre került-e Disszkussziós készség fejleztése,,, és feladat 6 kártakészlet
7 Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató 7 Gakorlás Bonolultabb feladatok feldolgozása, különös tekintettel az értelmezési tartomán megállapítására A feldolgozás módja lehet egéni, csoportos vag frontális, 6, 7 és 8 feladat III Szöveges feladatok Szövegértés; a szöveg matematikai formába öntése A probléma tartalma és matematikai formai mondanivalójának megbeszélése Legalább feladat megoldása táblánál Minden csoportba osszunk ki A, B, C, D jelű kártákat, differenciálva a tanulók képességei szerint Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most egütt Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszameg a saját csoportjába, és a többieknek elmondja a feladatának a megoldását A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport számát és betűjelét kihúzza a tanár A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lénegkiemelő képesség fejlesztése 0,, és feladat 8 Összefoglalás Matematikai TOTÓ Minden tanuló egedül dolgozik a feladatokon Ha elkészültek, mindenki átadja a padtársának a feladatlapját, aki kijavítja azt a frontális megbeszélésnek megfelelően Rendszerezés, kombinatív gondolkodás, 6 és 7 feladat
8 8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egenletek A matematikusok különösen nag erőfeszítést tettek, hog a másodfokú egenlet megoldóképletéhez hasonlóan megtalálják a magasabb fokszámú egenletek megoldóképletét is Girolamo Cardano (0 76) olasz matematikus, -ben megjelent könvében közölte a harmadfokú egenletek megoldóképletét Utólag kiderült, hog a megoldóképletet a bolognai egetem professzora, Ferro találta meg elsőként, aki azonban ezt titokban tartotta, és csak halála előtt adta tovább egik tanítvánának, Fiore-nak Ebben az időben azonban eg másik tehetséges olasz matematikus Nicolo Tartaglia is önállóan megtalálta a megoldóképletet, és elmondta Cardanonak Cardano ekkor már dolgozott a könvén, és íg került bele Tartaglia bizonítása Cardano könvébe Cardano becsületére legen mondva, a felfedezést soha nem tartotta magáénak Az ő érdeme azonban, hog Tartaglia képletét általánosította, illetve megmutatta, hog minden általános harmadfokú egenlet megoldása visszavezethető az b c alakúéra Mindenesetre a harmadfokú egenletek megoldóképletét Cardanoról nevezték el Evariste Galois (8 8) francia matematikus, őt tartják a modern algebra megalapozójának Rövid munkássága során megmutatta, hog melek azok az egenlettípusok, melek csupán a nég alapművelettel és gökvonással megoldhatók Niels Henrik Abel (80 89) norvég matematikus bebizonította, hog az ötöd-, vag annál magasabb fokszámú egenletekre általában nem létezik megoldóképlet Mi most az olan speciális magasabbfokú egenletekkel foglalkozunk, melek bizonos átalakítások és helettesítések során, az egenletek fokszámát csökkentve másodfokú egenletekre vezethetők vissza Módszertani megjegzés: Keresd a csoportod! Mindenkinek adunk eg kártát a 6 kártakészletből, melen másodfokú egenletek, diszkriminánsuk, gökténezős alakjuk, valamint a gökeik szerepelnek Ez a kiosztás lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak eg-eg kártát a tanári asztalról, lehet tudatos: figelünk arra, hog kinek melik kártát adjuk Az összetartozó kárták tulajdonosai alkotnak eg csoportot Ezen az órán ők dolgoznak egütt
9 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 9 6 kártakészlet 9 D ( )( ) 0 D ( )( ) D ( )( ) D ( 7 )( ) D ( )( ) D ( )( ) D ( 6 )( 8) Mintapélda Oldjuk meg a 6 egenletet a negatív egész számok halmazán! Alaphalmaz: Z Vegük mindkét oldal negedik gökét: Ebből két megoldás adódik:, A feladat alaphalmazába csak az tartozik A megoldás helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg a megoldáshalmaz { ; } M Mintapélda Oldjuk meg a következő egenleteket! a) 6 0 ; b) 0
10 0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a) Amenniben nem teszünk megszorítást az alaphalmazra vonatkozóan, a megoldásokat mindig a valós számok körében, R-ben keressük Mivel ( ) ezért célszerű eg új ismeretlent bevezetni: Ekkor az egenlet a következő alakba írható: 6 0, ahol 0 Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldó képlet, két megoldást kapunk:, 9 Ebből felhasználva, hog, ha,, ha 9, 9 Tehát az egenletnek nég megoldása van: { ; ; ; } M A feladat alaphalmazába mind a nég megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg b) Vezessük be az új ismeretlent, ahol 0 Ekkor az egenlet a következő alakba írható: 6 0 Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldóképletet, két megoldást kapunk:, Tekintve, hog, ha,, ha, akkor az egenletnek nincs valós megoldása, hiszen 0 Tehát az egenletnek két megoldása van: { ; } M A feladat alaphalmazába mind a két megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Megjegzés: Eg n-edfokú algebrai egenletnek legfeljebb n darab valós megoldása lehet Mintapélda Oldjuk meg az 8( ) 7( ) 0 6 egenletet a valós számok halmazán! Célszerű új ismeretlent bevezetni: ( ) Ekkor az új egenletünk: ± 9,, 6 8
11 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Ebből felhasználva, hog ( ), ha ( ) ; 8 8 ha ( ) Tehát az egenletnek két megoldása van: M ; A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Mintapélda Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) b) 0 9 c) Egszerűsítsük az törtet! 0 9 a) ( ) ( )( ), mert a 0 másodfokú egenlet gökei, b) Legen, íg gökténezős alakja: ( )( ), ekkor az ( )( 9), mert az másodfokú egenlet gökei, 9, íg gökténezős alakja: ( )( 9), ( )( 9) ( )( )( )( ) 0 9 c) Minthog a nevező nem lehet nulla, 0 9 0, ±,, ± ezért az értelmezési tartomán: R \{ ; ; ; } 0 9 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
12 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Oldjuk meg az ( 7 9)( 7 7) egenletet a negatív számok halmazán! Megjegzés: A műveletek elvégzése után a negedfokú egenlet adódik, amit eddigi módszereink segítségével nem tudunk megoldani, íg más megoldási utat kell keresnünk Alaphalmaz: R Célszerű új ismeretlent bevezetni: 7 9 Ekkor az új egenletünk: ( ) 0, Figelembe véve, hog 7 9, ha ,, ha , 6 Tehát az egenletnek nég megoldása van: { ; ; ; 6} M A feladat alaphalmazába mind a nég megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Megjegzés: Új ismeretlen bevezetésekor célszerű az egenletben szereplő változók egmáshoz való viszonát megvizsgálni Ennél a feladatnál három lehetőség is adódik az új ismeretlen bevezetésére: ha 7 9 akkor 0 ; ha 7 7 akkor 0 ; ha 7 akkor egenletek adódnak Mintapélda 6 Oldjuk meg a 8 0 egenletet a pozitív számok halmazán! Alaphalmaz: R Célszerű az egenlet mindkét oldalát elosztani -tel, hiszen 0 : 8 0
13 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Csoportosítsuk az egenlő egütthatójú tagokat: 8 0 Emeljük ki az egenlő egütthatókat: 8 0 Vezessük be az új ismeretlent, ekkor Íg az új egenletünk: ( ) 8 0 0, ±,, Ebből felhasználva, hog, ± 0, ±, 7, 0 7 ;, ± 7 0, A diszkrimináns negatív, íg innen nem kapunk megoldást Tehát az egenletnek két valós megoldása van: { ; } M A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Megjegzés: Az a b c b a 0 alakú negedfokú egenleteket szimmetrikus vag reciprok egenleteknek nevezzük; ezekben ha eg szám megoldás, akkor annak a reciproka is az Feladatok Oldd meg a következő egenleteket: a) 6 8; b) 6 ; c) 6 ; d) 79 0 a) M { ; } ; b) { } M ; c) M ; d) { ; } M
14 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Oldd meg a egenletet! Legen Ekkor M ; ; ; , 6 Oldd meg az egenletet! Legen M { ; } Ekkor , Oldd meg a 9 egenletet! Legen M { ; } Ekkor 6 Oldd meg a egenletet! Legen 9 0, 9 7 Ekkor 7 8 0, M ; 6 Oldd meg az 8 6 egenletet! Legen M { ; } Ekkor 6 0 6, 6 7 Oldd meg a 8 9 egenletet! Legen M ; Ekkor 8 9 0, 8
15 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Módszertani megjegzés: Keresd a párját! Minden csoportnak adunk eg csomag kártát, melen magasabbfokú egenletek szerepelnek Feladatuk összepárosítani azokat az egenleteket, meleknek azonosak a gökeik A csoporton belül kiosztjuk az A, B, C, D jelű kártákat, mindenki húz eget A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport számát és betűjelét kihúzza a tanár 6Kártakészlet Oldd meg a 8( ) ( ) 7 0 egenletet! Legen ( ) ( ) 7, ( ) 8 Tehát az egenletnek két megoldása van: M ; 9 Oldd meg az ( ) 0 6( ) egenletet! Legen Ekkor 6 0 0, 0, 7 0, M { ; ; ; 7}
16 6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 0 Oldd meg a ( ) ( ) egenletet! Legen Ekkor 0, 0, 0 6, { } ; ; ; M Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 6 ; b) ; c) ; d) 6 ; e) ; f) a) ( ) ( )( ) 6 6 ; b) ( )( ) ( )( )( )( ) ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), vag nevezetes azonossággal: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ; d) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( )( ) ; e) ( ) ( )( ) ; f) ( ) ( )( ) Legen 6 és pozitív szám Az értékének kiszámítása nélkül adjuk meg az, ill kifejezések az értékét!
17 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 7 6, hiszen Oldd meg a 0 egenletet! 0 -val való osztás és kiemelés után: 0 Legen ekkor ( ) 0 0, 0 nincs valós gök 0 ±,, M Oldd meg az 0 9 egenletet! 0 -val való osztás és kiemelés után: 0 9 Legen ekkor ( ) 0 0 9
18 8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 7, 0 ±, ± ±, 7 7 ; ; ; M Oldd meg az ( ) ( ) ( ) egenletet a valós számok halmazán! Legen b a, ekkor b a Ekkor az előző egenlet felírható a következő alakban: ( ) b a b a Ebből következik ( ) 0 b a ab ab b a Eg szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla: , b a, b a Íg az egenlet megoldáshalmaza: ; ; M Megjegzés: az egenletnek -szeres göke Az eredeti egenlet ( ) 0 alakban is írható
19 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 9 II Törtet tartalmazó egenletek Mintapélda 7 0 Oldjuk meg az egenletet! Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ } 0 ( )( ) 0 0 Azonosság, tehát az értelmezési tartomán minden eleme megoldás Mintapélda 8 0 Oldjuk meg az egenletet! Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ } 0 ( )( ), 0 6, A ( ) nem eleme az egenlet értelmezési tartománának, íg az egenletnek nincs megoldása Megoldáshalmaz: M { } Mintapélda 9 Oldjuk meg az 6 egenletet! 6 Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -től és -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ ; } Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( )( ) 6 tal!
20 0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ ( )( ) ( )( ) A ( ) eleme az egenlet alaphalmazának Ellenőrzés: Bal oldal értéke: Jobb oldal értéke: Az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 ( ) 6 valóban megoldás Megoldáshalmaz: { } M Mintapélda 0 Oldjuk meg az egenletet! Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -tól és -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ ;} Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( )( ) ( )( ) ( ) 0 8, Megoldáshalmaz: { 8; } M A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződünk meg -mal! Mintapélda 8 Oldd meg a egenletet! 7 6 Minthog a nevező nem lehet nulla, 6 0, 6 ezért az értelmezési tartomán: R \{ ; 6} ( 7 6) ,
21 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 7 Megoldáshalmaz: M ; A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződünk meg Feladatok 6 Oldd meg az egenletet! 7 0 0, Megoldáshalmaz: M { ; } 7 Oldd meg a egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ 0 } A közös nevező: 6 0, 6 Megoldáshalmaz: M ; Oldd meg az 6 egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ 0 } 6 0, Megoldáshalmaz: M ; 6 6( ) 9 Oldd meg az egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ 0 } 0, Megoldáshalmaz: M ;
22 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 0 Oldd meg az egenletet! 7 Az értelmezési tartomán: R \ ; 7 6 0, Megoldáshalmaz: M ; Megjegzés: Másik megoldási lehetőség: -re mindkét számláló 0, ha, akkor 7, innen 8 9 Oldd meg a egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ ;} 0, 6 Megoldáshalmaz: M ; 6 Oldd meg az 0 egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ ;} 6 0, Megoldáshalmaz: M { } Oldd meg az 0 egenletet! 9 Az értelmezési tartomán: R \{ ; } A közös nevező: ( )( ) 9 6, Megoldáshalmaz: M { ; }
23 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 6 Oldd meg az egenletet! 6 Az értelmezési tartomán: R \ 0; 6 ( ) ( ) A közös nevező: ( ) 0, Megoldáshalmaz: M ; Oldd meg az Az értelmezési tartomán: R \{ ; } egenletet! A közös nevező: ( )( ) , Megoldáshalmaz: M { 6; } 6 Oldd meg az 0 Az értelmezési tartomán: R \{ ; } egenletet! Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 0 ( )( ) ( ) 8 0 6, Megoldáshalmaz: M { 6; } 9 tel! 7 Oldd meg a egenletet! Az értelmezési tartomán: R, mert a nevező mindig pozitív ( ) Megoldáshalmaz: M { }
24 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 Oldd meg a 8 8 egenletet! Az értelmezési tartomán: R, mert a nevező mindig pozitív ( ) Megoldáshalmaz: M { } Módszertani megjegzés: Keresd meg a helét! Mindenkinek adunk eg kártát, amelen eg egenlet szerepel Felírjuk a táblára a következő nég egenletet:,, 6, ( ) valamint nitunk eg egik sem rovatot is Minden tanuló feladata az, hog elhelezze a saját kártáját az alá az egenlet alá, amelikkel a kapott egenlete megegezik, vag ha nem talál ilet, akkor az egik sem rovat alá Közösen beszéljük meg, hog minden kárta jó helre került-e 6 kártakészlet 6 8 0, 0 9 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) Törtet tartalmazó egenletek megoldásakor gakran végzünk olan átalakításokat, amikor hamis gököt kapunk, vag gököt vesztünk (például egszerűsítés, vag ismeretlennel való szorzás, osztás) Ezekre fokozottan figeljünk!
25 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK III Szöveges feladatok Az aranmetszés (olvasmán) Aranmetszésnek nevezik eg szakasz két olan részre való felosztását, melek közül a kisebb (rövidebb) szakasz hossza úg aránlik a nagobbikhoz, mint az egészhez Jelölje az aranmetszési arán szerint felosztandó AB szakasz hosszát a, és legen C az aranmetszésnek megfelelő olan osztópont, melre az AC a hosszabb, CB pedig a rövidebb szakasz Ekkor a következő aránpárt írhatjuk fel: a, ahonnan a( a ) a a a Az egenlet változó szerint rendezett redukált alakja a a 0 a ± a a( ± ) Innen, Mivel a > > 0, íg a nagobbik szakasz hossza a( ) Az aranmetszésnek megfelelő arán a középkorban legfőképpen a templomok méretaránaiban jelentkezett Ez a nevezetes arán azonban sok esetben nem csupán az alapméretekre, hanem ez épület más részeinek viszonára is vonatkozott Az aranmetszésnek megfelelő arán alkalmazását a reneszánsz építészei is átvették A római Szent Péter Bazilika, mel több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonában hordoz aranmetszésnek megfelelő aránokat A reneszánsz mesterek legtöbb alkotásán az aranmetszési arán kiemelkedő szerepet játszik E képszerkesztésnek egik példája Leonardo: Angali üdvözlet című alkotása A képen a könvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a vízszintes helzetű kép terét pontosan aranmetszés szerint osztja Mária, illetve az angal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranmetszésnek megfelelően
26 6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ helezkedik el úg, hog mindkettő az adott térrész uganazon oldalára esik Ezzel olan aszimmetria jön létre, mel a kép egensúlát biztosítja A kép függőleges terét két vízszintes egenes vonal az aranmetszésnek megfelelő aránban osztja, melek közül a felső a kertben húzódó alacson építmén fedőlapjának felső élén halad át, az alsó pedig a kerti utat a pázsittól választja el Ha a két nőalak mozdulatait követő vonalakat gondolatban meghosszabbítjuk, azok metszéspontja szintén az aranmetszés szerint osztó, az asztal középvonalán áthaladó egenesre esik Ez az egbeesés is arra utal, hog ez a kép valódi főtengele Auguste Renoir: Nő a Békástanán című képe is jól átgondolt kompozíciós törvéneknek engedelmeskedik Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egenes pontosan a kép szélességi méretének az aranmetszetébe kerül Az erkél korlátjának felső széle, melen a hölg karja, illetve keze is nugszik, a kép széléhez annak aranmetszetében illeszkedik Az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egenes egúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad Forrás: Hámori Miklós: Aránok és talánok További internetes oldalak:
27 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 7 Módszertani megjegzés: A tanulóktól elvárjuk, hog a szöveges feladatok elolvasása és megértése után jegzeteljék ki a szükséges adatokat (esetleges mértékegség átváltással egütt) Írják le, hog a bevezetett ismeretlenek miket jelölnek (és mi a mértékegségük) A megoldás végén adjanak szöveges választ, a szóba jöhető gökö(ke)t az eredeti szöveg szerint ellenőrizzék A szöveges feladatok jelentős része felírható másodfokú egenletrendszerrel is ha a diákok ezt a megoldást követik, nem kell eltéríteni őket Frontális megbeszéléskor törekedjünk az egismeretlenes megoldás ismertetésére Mintapélda Eg áruszállító csónak a víz folásával eg iránban halad 0 km-t, ott kiteszi a rakománt, majd megfordul és visszaindul a kiindulási ponthoz Az indulástól a megérkezésig órát töltött vízen a csónak, ha a kirakodási időt elhanagoljuk Mekkora a csónak sebessége állóvízben, ha a folóvíz sebessége km/h? Legen a csónak sebessége km/h, akkor a vízben lefelé km/h, felfelé km/h sebességgel halad 0 Íg lefelé a 0 km-es utat, felfelé 0 óra alatt tette meg 0 0 0, 9 ( ) 0( ) ( )( ) A negatív göknek itt nincs értelme, a csónak sebessége állóvízben 9 km/h Ha a csónak a víz folásával eg iránban halad, akkor a sebessége km/h íg a 0 km-t óra 00 perc alatt teszi meg, visszafelé a sebessége 6 km/h íg a 0 km-t 00 perc alatt teszi meg Ez összesen 00 perc, azaz óra, Feladatok 9 Két város, A és B távolsága 78 km A-ból B-be elindul eg kerékpáros óra múlva B- ből A-ba elindul eg másik, aki óránként km-rel többet tesz meg, mint az első, íg B-től 6 km-re találkoznak Menni ideig mentek a találkozásig és milen sebességgel?
28 8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha az első kerékpáros a találkozásig órán át ment, akkor a második óráig haladt, íg a sebességük km, illetve h első kerékpáros sebessége 6 km h A feladat szerint km km, a másodiké 8 h h Az indulástól a találkozásig az első órát, a második órát kerekezett 6, innen, vagis az Módszertani megjegzés: Szakértői mozaik: A tanulók a következő feladatot fős csoportokban dolgozzák fel, szakértői mozaik módszerrel Minden csoportnak adjunk kártát (A, B, C, D jelűeket), differenciálva a tanulók képességei szerint A továbbiakban a tanulók elhagják a csoportjukat, és az azonos jelűek dolgoznak egütt: megoldják a saját feladatukat Ha elkészültek, mindenki visszameg a saját csoportjába, és a többi csoporttagnak elmondja a feladatának a megoldását Ha végeztek, a csoporton belül összekeverik az A, B, C, D jelű kártákat és mindenki húz eget A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek csoportját és betűjelét kisorsolja a tanár Az A jelűek feladata: 0 Eg pozitív számnak és a reciprokának a különbsége,7 Melik ez a pozitív szám? a, 7 a Ez a szám a a, 7a 0 a, a 0, A B jelűek feladata: A Nagi karácsonra 0 Ft-ért vett narancsot Ha uganenni pénzért kilónként 8 Ft-tal drágább mandarint vásárolt volna, akkor eg kilóval kevesebbet kapott volna Hán kg narancsot vásárolt a Nagi az ünnepekre? A Nagi kg narancsot vett Eg narancs ára , 0 kg narancsot vett a Nagi az ünnepekre 9
29 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 9 A C jelűek feladata: Ádám és Dávid testvérek Ádám a lakást órával tovább takarítja, mint Dávid Egütt óra alatt végeznek Menni időre van szükségük a lakás kitakarításához különkülön? Ádám Dávid Egütt Egedül (óra) óra alatt a kitakarított része a lakásnak 6 0, Dávid, Ádám 6 óra alatt végez a takarítással, egedül A D jelűek feladata: Eg teremben téglalap alakba rendeztek 80 széket Másnap minden sorba székkel többet tettek, de a sorok számát csökkentették 7-tel, ekkor összesen 00 szék van a teremben Eredetileg hán szék volt eg sorban? Jelöljük -szel a sorokban eredetileg lévő székek számát Ekkor Ha ( ) ( ) 80 sor keletkezik 80 szék van soronként, akkor 7 sor lesz A felírható egenlet: , 80 A teremben eredetileg szék volt eg sorban és sor volt 60 7 Házi feladat javaslat: feladat Anti és fia egütt a füvet óra perc alatt nírja le A fiúnak két órával több időre van szüksége, mint apjának, ha egedül dolgozik Menni idő alatt nírja le a füvet Anti? óra perc, óra
30 0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Anti Fia Egedül (óra) óra alatt Egütt 6 0, Anti, fia 6 óra alatt végez egedül a fűnírással Eg derékszögű háromszög területe cm, átfogója cm Mekkorák a befogói? A háromszög egik befogója a, a másik 08 a 08 Pitagorasz-tétellel: a, ezt rendezve a következő egenlethez jutunk: a Mivel ( a ) a a 66 0 a ezért célszerű eg új ismeretlent bevezetni: a Ekkor az egenlet a következő alakba írható: 66 0 Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldóképletet:, ±, 8 66 Ebből felhasználva, hog a, ± 6, innen két megoldást kapunk: ha a a (negatív érték nem lehet), ha a 8 a 9 (negatív érték nem lehet) Tehát a háromszög befogói 9 és cm hosszúak Valóban, 9 6 Eg amatőr futó minden nap uganannit fut le a kitűzött km-ből Ha minden nap fél kilométerrel többet futna, akkor két nappal hamarabb teljesítené a távot Hán nap alatt futotta le eredetileg a maratoni hosszúságot?
31 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK s vt Eredetileg Sebesség (km/nap) Szükséges idő (napokban) Több futáskor 0, (, ) 0,, 0 nem lehet megoldás Ezért A futó eredetileg napi kilométert futott napon keresztül Ez utóbbi 7 Eg tört számlálójának és nevezőjének szorzata Ha a számlálóját eggel növeljük, nevezőjét eggel csökkentjük, akkor az eredeti tört reciprokát kapjuk Melik ez a tört? Legen a számláló, ekkor a nevező ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Eg szorzat akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla: Ha, akkor ellentmondást kapunk Ha 0, Az eredeti tört, Házi feladat javaslat: 8 feladat
32 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 Levente kitalálta, hog ha a 600 oldalas kötelező olvasmánból minden nap uganannit olvas el, akkor pont befejezi a könvet a megadott határidőre Azonban a könvtárból a könvet csak hat nappal később tudta kikölcsönözni, íg minden nap oldallal többet kell olvasnia a könvből, hog azt időben befejezze Hán oldalt kell íg elolvasnia eg nap? Eredetileg napig olvas és minden nap oldalt olvas el ( ) , 0 6 Naponta oldalt kell elolvasnia 9 Marci téglalap alakú kertet vásárolt A szomszédos oldalak felezőpontjai által határolt területet virágokkal ültette be A virágos rész területe 0 m, kerülete m Mekkora Marci egész kertjének a kerülete? Jelöljük a téglalap oldalait a-val és b-vel A virágágás rombusz alakú, jelöljük a rombusz oldalát -szel K A rombusz átlói épp a téglalap oldalai T ab 0 0 a b a b Alkalmazva a Pitagorasz-tételt: a b Az első egenletből a, ezt visszahelettesítve a második egenletbe: b 0 b 676 b 676b 0 b 0 Célszerű új ismeretlent bevezetni: b 676 ± 76, Ha 00 b 00 b 0 (negatív érték nem lehet) Ha 76 b 76 b (negatív érték nem lehet)
33 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Íg Marci kertjének oldalai 0 és m hosszúak, tehát a kerülete 68 m Megjegzés: ab 0 Az egenletrendszer egszerűbben is megoldható, ha nevezetes a b 676 azonosságot használunk: ( a b) a b ab a b ( a ) 68 K b Marci kertjének a kerülete 68 m, mert a és b pozitív számok
34 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Összefoglalás Matematikai TOTÓ Az egenlet 6 0 Megoldáshalmaz X { ; } { ; } { ; ; ; } { } { ; } { ; ; ; } { ; ; ; ; 0} { 0 ;; } { ; ; ; } { ; } { ; ; ; } 7 { ; } { ;} { ; } { ; } { ; } Két szám összege, négzeteik összege Melik ez a két szám? Eg 6 m területű téglalap alakú telket 80 m hosszú kerítéssel vettek körül Mekkorák a telek méretei? Derékszögű háromszög területe 80 cm, átfogója cm, mekkorák a befogói? Eg osztál mozijegei összesen 7 0 Ft-ba kerül Két gerek megbetegedett, íg ők nem fizettek, de a többieknek még Ft-ot kell fizetni Hánan járnak az osztálba? ; 6 { 6 } 6 ; { } { ; } { 0, } { } { } { 7 ; } { 7 ; 8} { 9 ; 6} { ; } { ; } { ; 6} { ; } { 0 ; } { 0 ; 8} { 0 ; 8} { } { 9 } { 7 }
35 6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK,,, X,, 6, 7, 8 X, 9, 0,,, X
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A 9. évfolyam. 17. modul: EGYENLETEK,
Részletesebben16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenMATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA
MATEMATIK A 9. évfolyam 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA Matematika A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Halmazokkal
Részletesebben5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
MATEMATIK A 9. évfolyam 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
Részletesebben11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenMatematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
Részletesebben13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
Részletesebben9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok
Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
Részletesebbena.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
RészletesebbenAlgebrai egész kifejezések (polinomok)
Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul
Részletesebben12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK!
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK! MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 1. modul:gondolkodjunk, RENDSZEREZZÜNK! Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
Részletesebben4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN
MATEMATIK A 9. évfolyam 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret
RészletesebbenMATEMATIKA A 10. évfolyam
MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
RészletesebbenKidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
RészletesebbenEXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
RészletesebbenMatematika A 10. szakiskolai évfolyam 1. modul Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása
Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Készítette Csákvári Ágnes Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek
RészletesebbenMATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR
MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A
RészletesebbenMódszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-
. modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az
Részletesebben5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr.
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 11. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
Részletesebben4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul: EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben18. modul: STATISZTIKA
MATEMATIK A 9. évfolyam 18. modul: STATISZTIKA KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA, GIDÓFALVI ZSUZSA MODULJÁNAK FELHASZNÁLÁSÁVAL Matematika A 9. évfolyam. 18. modul: STATISZTIKA Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 15. modul SÍKIDOMOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 15. modul: SÍKIDOMOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 16. modul: EGYBEVÁGÓSÁGOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenMásodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és
RészletesebbenNegyedik epochafüzet
Negedik epochafüzet Matematika 9. évfolam Tulajdonos:... Tartalom Ismétlés I.... Algebrai kifejezések... Egenletek, egenlőtlenségek... 6 Algebrai törtek, szorzattá alakítás... 8 Törtes egenletek, egenlőtlenségek...
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 13. modul SZÖVEGES FELADATOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 13. modul: SZÖVEGES FELADATOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
Részletesebben1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
RészletesebbenEGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával
RészletesebbenMatematika. 1. évfolyam. I. félév
Matematika 1. évfolyam - Biztos számfogalom a 10-es számkörben - Egyjegyű szám fogalmának ismerete - Páros, páratlan fogalma - Sorszám helyes használata szóban - Növekvő, csökkenő számsorozatok felismerése
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója
SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva
RészletesebbenKészítette: Vidra Gábor. 7. modul Koordinátageometria 2 A kör
Készítette: Vidra Gábor 7. modul Koordinátageometria A kör Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok A
RészletesebbenA kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba
A kompetencia alapú matematika oktatás tanmenete a 9. osztályban Készítette Maitz Csaba Szerkesztési feladatok 1. Síkgeometriai alapfogalmak 2. Egyszerűbb rajzok, szerkesztések körző, vonalzó használata
RészletesebbenSokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót
Részletesebben9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra
9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
Részletesebben3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek IX.
Egyenletek, egyenlőtlenségek IX. Szöveges feladatok megoldása: A szöveges feladatok esetén írjunk fel egyenletet a korábban tanultak alapján, majd a kapott másodfokú egyenletet oldjuk meg a megoldóképlet
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenMATEMATIKA A 10. évfolyam
MATEMATIKA A 10 évfolyam modul A négyzetgyök fogalma, azonosságai Készítette: Gidófalvi Zsuzsa MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI TANÁRI ÚTMUTATÓ MODULVÁZLAT A modul célja
Részletesebben18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,
RészletesebbenAnalízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret
RészletesebbenHalmazok Egész számok
Halmazok.. Egész számok A,,,,,,,, számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
Részletesebben0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA
0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
Részletesebben