Számítógépes Számelmélet

Átírás

1 Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg (a támogatás száma TÁMOP 4.2.1/B-09/1/KMR ).

2 Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg (a támogatás száma TÁMOP 4.2.1/B-09/1/KMR ).

3 Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg (a támogatás száma TÁMOP 4.2.1/B-09/1/KMR ).

4 Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg (a támogatás száma TÁMOP 4.2.1/B-09/1/KMR ).

5 Vázlat 1 A probléma számítógépes vizsgálata Elliptikus görbés prímtesztelés

6 A probléma megfogalmazása 1931-ben vizsgálta azt a kérdést [?], van e olyan N összetett egész szám, hogy k ϕ(n) = N 1, (1) ahol ϕ az Euler-féle függvény? A probléma máig megoldatlan, azt sejtette, hogy a válasz nemleges. A továbbiakban számnak nevezzük az (1)-et kielégítő N egész számot, k pedig az N indexe.

7 Elemi tények 1. Tény Ha N -szám, akkor 2 N és N négyzetmentes 2. Tény Minden -szám Carmichael-szám 1 3. Tény Ha 3 p 1 < p 2 <... p n különböző prímek és N = p 1 p 2 p n -szám, akkor 1 i n esetén p i p j 1, ahol i < j n 4. Tény Ha N -szám és 3 N, akkor k 1( mod 3) 1 N Carmichael szám, ha a Z, (a, N) = 1 esetén a N 1 1( mod N)

8 Elemi tények 1. Tény Ha N -szám, akkor 2 N és N négyzetmentes 2. Tény Minden -szám Carmichael-szám 1 3. Tény Ha 3 p 1 < p 2 <... p n különböző prímek és N = p 1 p 2 p n -szám, akkor 1 i n esetén p i p j 1, ahol i < j n 4. Tény Ha N -szám és 3 N, akkor k 1( mod 3) 1 N Carmichael szám, ha a Z, (a, N) = 1 esetén a N 1 1( mod N)

9 Elemi tények 1. Tény Ha N -szám, akkor 2 N és N négyzetmentes 2. Tény Minden -szám Carmichael-szám 1 3. Tény Ha 3 p 1 < p 2 <... p n különböző prímek és N = p 1 p 2 p n -szám, akkor 1 i n esetén p i p j 1, ahol i < j n 4. Tény Ha N -szám és 3 N, akkor k 1( mod 3) 1 N Carmichael szám, ha a Z, (a, N) = 1 esetén a N 1 1( mod N)

10 Elemi tények 1. Tény Ha N -szám, akkor 2 N és N négyzetmentes 2. Tény Minden -szám Carmichael-szám 1 3. Tény Ha 3 p 1 < p 2 <... p n különböző prímek és N = p 1 p 2 p n -szám, akkor 1 i n esetén p i p j 1, ahol i < j n 4. Tény Ha N -szám és 3 N, akkor k 1( mod 3) 1 N Carmichael szám, ha a Z, (a, N) = 1 esetén a N 1 1( mod N)

11 Történet Jelölés: ω(n) az N prímfaktorainak száma 1931: ω(n) 7, 1970: ω(n) 11, Lieuwens 1977: ω(n) 13, Kishore 1980: ω(n) 14, az első számítógépes eredmény, Cohen és Hagis 2004: ω(n) 15, Renze 2004: N > 10 30, R. Pinch

12 Történet Jelölés: ω(n) az N prímfaktorainak száma 1931: ω(n) 7, 1970: ω(n) 11, Lieuwens 1977: ω(n) 13, Kishore 1980: ω(n) 14, az első számítógépes eredmény, Cohen és Hagis 2004: ω(n) 15, Renze 2004: N > 10 30, R. Pinch

13 Történet Jelölés: ω(n) az N prímfaktorainak száma 1931: ω(n) 7, 1970: ω(n) 11, Lieuwens 1977: ω(n) 13, Kishore 1980: ω(n) 14, az első számítógépes eredmény, Cohen és Hagis 2004: ω(n) 15, Renze 2004: N > 10 30, R. Pinch

14 Történet Jelölés: ω(n) az N prímfaktorainak száma 1931: ω(n) 7, 1970: ω(n) 11, Lieuwens 1977: ω(n) 13, Kishore 1980: ω(n) 14, az első számítógépes eredmény, Cohen és Hagis 2004: ω(n) 15, Renze 2004: N > 10 30, R. Pinch

15 Történet Jelölés: ω(n) az N prímfaktorainak száma 1931: ω(n) 7, 1970: ω(n) 11, Lieuwens 1977: ω(n) 13, Kishore 1980: ω(n) 14, az első számítógépes eredmény, Cohen és Hagis 2004: ω(n) 15, Renze 2004: N > 10 30, R. Pinch

16 Történet Jelölés: ω(n) az N prímfaktorainak száma 1931: ω(n) 7, 1970: ω(n) 11, Lieuwens 1977: ω(n) 13, Kishore 1980: ω(n) 14, az első számítógépes eredmény, Cohen és Hagis 2004: ω(n) 15, Renze 2004: N > 10 30, R. Pinch

17 Eredmények I A továbbiakban a p 1 = 3 esettel foglalkozunk Lieuwens: ω(n) 212 és N > Subarao: ω(n) 1850 Hagis: ω(n) és N > Mi: ω(n) és N > tény Ha 3 N, akkor k legalább 4

18 Eredmények I A továbbiakban a p 1 = 3 esettel foglalkozunk Lieuwens: ω(n) 212 és N > Subarao: ω(n) 1850 Hagis: ω(n) és N > Mi: ω(n) és N > tény Ha 3 N, akkor k legalább 4

19 Eredmények I A továbbiakban a p 1 = 3 esettel foglalkozunk Lieuwens: ω(n) 212 és N > Subarao: ω(n) 1850 Hagis: ω(n) és N > Mi: ω(n) és N > tény Ha 3 N, akkor k legalább 4

20 Eredmények I A továbbiakban a p 1 = 3 esettel foglalkozunk Lieuwens: ω(n) 212 és N > Subarao: ω(n) 1850 Hagis: ω(n) és N > Mi: ω(n) és N > tény Ha 3 N, akkor k legalább 4

21 Eredmények I A továbbiakban a p 1 = 3 esettel foglalkozunk Lieuwens: ω(n) 212 és N > Subarao: ω(n) 1850 Hagis: ω(n) és N > Mi: ω(n) és N > tény Ha 3 N, akkor k legalább 4

22 Eredmények II Sequence p estω log 10 (estn) bound for minω bound for minn [3] [3, 5] [3, 11] [3, 17] [3, 23] > > [3, 29+] > > [3, 5, 17] [3, 5, 23] > > [3, 5, 29+] > > [3, 11, 17 ] > > [3, 11, 29] > > [3, 11, 41+] > > [3, 17, 23] > > [3, 17, 29+] > > [3, 23, 29] > > [3, 23, 41+] > >

23 Egy N szám N = Módszer p 1 p 2 p n 1 (p 1 1) (p 2 1) (p n 1) p i alakú. A szorzat helyett a p i 1 alakú számok logaritmusait Maple-ben legeneráltuk, eltároltuk és egy C programban állítottuk elő összegeiket.

24 Az y 2 = x 3 + ax + b görbét elliptikus görbének nevezzük, 4a b 2 0 és a, b, x, y valamilyen nem 2 és 3 karakterisztikájú test elemei.

25 , Speciális esetek: ha a két pont azonos, illetve, ha egy függőleges egyenesen vannak.

26 Ha n prím nincs probléma Ha (n, b) = 1 akkor is csoport Jelölés: E n (a, b) = { } {(x, y) : y 2 x 3 + ax + b (mod n)} 1. Megjegyzés Ha P 1 (x 1, y 1 ) és P 2 (x 2, y 2 ) összegét akarjuk kiszámolni, tudni kell invertálni x 2 x 1 et. 2. Megjegyzés Ha x 2 x 1 nem invertálható, akkor x 2 x 1 n, vagyis n nem prím.

27 Ha n prím nincs probléma Ha (n, b) = 1 akkor is csoport Jelölés: E n (a, b) = { } {(x, y) : y 2 x 3 + ax + b (mod n)} 1. Megjegyzés Ha P 1 (x 1, y 1 ) és P 2 (x 2, y 2 ) összegét akarjuk kiszámolni, tudni kell invertálni x 2 x 1 et. 2. Megjegyzés Ha x 2 x 1 nem invertálható, akkor x 2 x 1 n, vagyis n nem prím.

28 Ha n prím nincs probléma Ha (n, b) = 1 akkor is csoport Jelölés: E n (a, b) = { } {(x, y) : y 2 x 3 + ax + b (mod n)} 1. Megjegyzés Ha P 1 (x 1, y 1 ) és P 2 (x 2, y 2 ) összegét akarjuk kiszámolni, tudni kell invertálni x 2 x 1 et. 2. Megjegyzés Ha x 2 x 1 nem invertálható, akkor x 2 x 1 n, vagyis n nem prím.

29 Ha n prím nincs probléma Ha (n, b) = 1 akkor is csoport Jelölés: E n (a, b) = { } {(x, y) : y 2 x 3 + ax + b (mod n)} 1. Megjegyzés Ha P 1 (x 1, y 1 ) és P 2 (x 2, y 2 ) összegét akarjuk kiszámolni, tudni kell invertálni x 2 x 1 et. 2. Megjegyzés Ha x 2 x 1 nem invertálható, akkor x 2 x 1 n, vagyis n nem prím.

30 Ha n prím nincs probléma Ha (n, b) = 1 akkor is csoport Jelölés: E n (a, b) = { } {(x, y) : y 2 x 3 + ax + b (mod n)} 1. Megjegyzés Ha P 1 (x 1, y 1 ) és P 2 (x 2, y 2 ) összegét akarjuk kiszámolni, tudni kell invertálni x 2 x 1 et. 2. Megjegyzés Ha x 2 x 1 nem invertálható, akkor x 2 x 1 n, vagyis n nem prím.

31 Tétel Legyen n N, gcd(6, n) = 1, E n elliptikus görbe Z n fölött, továbbá m, s N, s m. Ha létezik olyan P E n, amelyre m P 0, továbbá m q P 0 az s minden q prímosztójára, akkor n minden p prímosztójára E p 0 (mod s). Ha még s > ( 4 n + 1) 2, akkor n prím.

32 2 megvalósítása többtízezer jegyű prímek keresésére 3 hosszú elsőfajú Cunningham láncokból 3 világcsúcs felállítása 2 Elliptic Curve Primality Proving 3 n hosszúságú elsőfajú Cunningham lánc prímszámok egy olyan (p 1, p 2,..., p n) sorozata, hogy 1 i < n esetén p i+1 = 2p i + 1

33 2 megvalósítása többtízezer jegyű prímek keresésére 3 hosszú elsőfajú Cunningham láncokból 3 világcsúcs felállítása 2 Elliptic Curve Primality Proving 3 n hosszúságú elsőfajú Cunningham lánc prímszámok egy olyan (p 1, p 2,..., p n) sorozata, hogy 1 i < n esetén p i+1 = 2p i + 1