A várható érték és a standard hiba

Átírás

1 17. fejezet A várható érték és a standard hiba Hisz Ön a csodákban? Irány a kenózó! JIMMY THE GREEK 1. A VÁRHATÓ ÉRTÉK Zajlik egy véletlen folyamat. Eredménye egy szám. Most egy másik. Megint egy másik. Lassacskán belefulladunk a véletlen számok özönébe. A matematikusok felfedeztek ebben a káoszban némi rendet. A folyamat során kiadott számok a várható érték körül ingadoznak, attól nagyjából standard hibányival térnek el. Vegyünk egy példát, képzeljük el, hogy a következő véletlen folyamattal hozunk létre számokat: megszámoljuk, hogy 100 érmedobásból mennyi fej. Kaphatunk például 57 fejet. Ez 7-tel az 50-es várható érték fölött van, tehát +7 a véletlen hiba. Ha megint dobnánk 100-at, más lenne a fejek száma, talán 46. Így 4 lenne a véletlen hiba. Harmadszorra esetleg megint más számot kapnánk, mondjuk 47-et, akkor 3 lenne a véletlen hiba. Számaink a véletlentől függően hol ennyivel, hol annyival térnek el az 50- től; az eltérések körülbelül akkorák, mint a standard hiba (ez esetünkben éppen 5- tel egyenlő; lásd az 5. szakaszban). A várható érték és a standard hiba képletei függenek attól a véletlen folyamattól, ahonnan a számainkat nyerjük. Ebben a fejezetben dobozból végzett húzások összegével foglalkozunk, és egy példán fogjuk bemutatni a várható érték képletét: nézzük 100 húzás összegét az dobozból véletlenszerűen, visszatevéssel húzunk. Körülbelül mekkora lesz ez az összeg? A válaszhoz gondoljuk meg, hogyan illenék e húzásoknak lezajlaniuk. A dobozban 4 lap van, így a húzásoknak körülbelül egynegyedében számíthatunk 5 -ösre, s háromnegyedében 1 -esre. 100 húzásból tehát körülbelül öst és körülbelül est várhatnánk. A húzások összegének = 200 körül kellene lennie. Ez a várható érték

2 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba 329 A várható érték képlete gyorsabban ad eredményt. Két összetevője van: a húzások száma a dobozban lévő számok átlaga (röviden: a doboz átlaga ) Egy dobozból véletlenszerűen, visszatevéssel végzett húzások összegének várható értéke egyenlő (húzások száma) (doboz átlaga) Hogy lássuk a képlet mögötti logikát, térjünk vissza a példához. A doboz átlaga Minden egyes húzás átlagosan körülbelül 2-t ad az összeghez. Tehát 100 húzásból az összegnek 200 körül kell lennie. 1. példa. Las Vegasban kenózunk. Kedvenc tétünk: egy dollárt teszünk egyetlen számra. Ha nyerünk, visszakapjuk a dollárt, és nyerünk hozzá még két dollárt. Ha veszítünk, elveszítettük a dollárunkat. A nyerési esélyünk 1 a 4-hez. 1 Várhatóan mennyit nyerünk (vagy veszítünk) 100 játékon, ha minden alkalommal ezt a tétet játsszuk? Megoldás. Először készítsünk dobozmodellt. Minden egyes játékban vagy két dollárral nő, vagy 1 dollárral csökken a tiszta nyereségünk. Arra, hogy nőjön, 1 a 4-hez az esélyünk; 3 a 4-hez arra, hogy csökkenjen. Tehát a 100 játékból a tiszta nyereségünk olyan, mint 100 véletlenszerű, visszatevéses húzás összege a =2. 2$ 1$ 1$ 1$ dobozból. A doboz átlaga 2$ 1$ 1$ 1$ 4 = 0,25$. Átlagosan minden játék negyed dollárba kerül. Arra számíthatunk, hogy 100 játék során körülbelül 25 dollárt veszítünk. Ha folytatjuk, 1000 játékból körülbelül 250 dolláros veszteséget várhatunk. Mennél tovább játszunk, annál többet vesztünk. Érdemes volna másik játék után néznünk.

3 330 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS A feladatsor 1. Állapítsa meg 100 véletlenszerű, visszatevéses húzás összegének a várható értékét a következő dobozokból: (a) (b) (c) (d) Állapítsa meg, hogy a Monopolyban (l. 16. fejezet 3. szakasza) mennyi az első játékos által az első lépés során megtett mezők számának a várható értéke. 3. Valaki 100-szor rulettezik úgy, hogy mindig a 17-es számra tesz egy dollárt. Állapítsa meg, mekkora a tiszta nyereség várható értéke. (Lásd a 16. fejezet 4. szakasz 3. ábráját.) szor rulettezünk, mindig vagy pirosra vagy feketére fogadunk. Állapítsa meg a tiszta nyereség várható értékét. (Ez a tét egy az egyhez fizet; nyerési esélyünk 18 a 38-hoz.) 5. Ugyanaz, mint a 4. feladat, de most 1000 játékra. 6. Tisztességes egy játék, ha a tiszta nyereség várható értéke 0: a játékosok átlagosan nem is nyernek, de nem is veszítenek. Egy nagylelkű kaszinó 1 dollárnál valamivel nagyobb nyereményt ajánl, ha egy játékos 1 dollárt tesz pirosra vagy feketére, és nyer. Mennyit fizessen, ha azt szeretné, hogy a játék tisztességes legyen? (Útmutatás: jelölje x, amennyit fizetniük kellene. A dobozban 18 x -es lap lesz és 20 1$ -os lap. Írja fel x segítségével a várható érték képletét, majd tegye 0-val egyenlővé.) 7. Ha a Királyi Tölgyes (Royal Oak) játékában egy Kalandor 1 fontot tett egy égtájra és nyert mennyit kellett volna fizessen neki a Golyóbis Mestere, hogy tisztességes legyen a játék? (A játék szabályait a 14. fejezet 4. szakasz 6. példájában magyaráztuk el.) 2. A STANDARD HIBA Tegyük fel, 25 húzást végzünk találomra, visszatevéssel a dobozból. (A számoknak nincs különösebb jelentőségük; úgy választottuk őket, hogy későbbi számolásokban kerek számokat kapjunk.) Mind az öt lapnak a húzások körülbelül egyötödében illik kijönnie, azaz ötször. Az összegnek így = 75

4 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba 331 körül kell lennie. Ennyi az összeg várható értéke. Persze minden lap nem fog pontosan a húzások egyötödében kijönni, ahogy Kerrich sem kapott pontosan a dobások felében fejet. Az összeg a véletlen hibával el fog térni a várható értéktől: összeg = (várható érték) + (véletlen hiba). A véletlen hiba az, amennyivel a várható értéknek fölötte (+) vagy alatta (-) vagyunk. Ha például 70 az összeg, akkor 5 a véletlen hiba. Körülbelül milyen nagy lesz a véletlen hiba? A választ a standard hiba (rövidítése SH; angolul S.E. /Standard Error/) adja meg. Valószínű, hogy az összeg a várható érték közelében lesz, és hogy eltér tőle valamekkora a standard hibához hasonló nagyságú véletlen hibával. Van egy formula olyan esetekre, amikor dobozból véletlenszerűen, visszatevéssel végzett húzások összegének standard hibáját kell kiszámítanunk. Négyzetgyökszabálynak nevezik, mert a húzások számának négyzetgyöke szerepel benne. A könyv hátralévő részében ismertetendő statisztikai eljárások mind építenek erre a formulára. 2 A négyzetgyökszabály. Ha egy dobozból, melyben számozott lapok vannak, véletlenszerűen, visszatevéssel húzunk, akkor a húzások összegének standard hibája: húzások száma doboz szórása. A képlet két összetevője: a húzások számának négyzetgyöke, és a dobozban lévő számok listájának a szórása (a továbbiakban ezt röviden a doboz szórásá -nak is fogjuk nevezni). A doboz szórása azt méri, hogy mekkora a dobozban lévő számok terjedelme. Amikor a számok között nagyok az eltérések, azaz amikor nagy a szórás, olyankor nehéz a húzások eredményét megjósolni. Azaz, ilyenkor a standard hiba is nagy. Most nézzük a húzások számát. Két húzás összegének nagyobb az ingadozása, mint egyetlen húzásnak; száz húzás összegének még nagyobb. Az összeg bizonytalanságához minden egyes húzás hozzátesz valamit mert nem tudjuk, hogy mi lesz a kimenetele. Ahogy a húzások száma nő, egyre nehezebb megjósolni az összeget; egyre nőnek a véletlen hibák, és nő a standard hiba is. Igaz, a standard hiba lassan nő, csak a húzás-szám négyzetgyökének megfelelő tényezővel. Például 100 húzás összegének csak 100 =10-szer akkora az ingadozása standard hibája, mint egyetlen húzásnak. Szórás és standard hiba nem azonosak. A szórás egy számsor terjedelmére vonatkozik, és a 4. fejezet 6. szakaszában ismertetett módon lehet kiszámítani. A standard hiba a véletlen ingadozás mértékére vonatkozik például a húzások összegében tapasztalható véletlen ingadozáséra.

5 332 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS A szórás: számsoré A standard hiba: véletlen folyamaté A szakasz elején 25 húzás összegét néztük (véletlenszerűen, visszatevéssel húztunk) a dobozból. Az összeg várható értéke 75: azaz az összeg 75 körül lesz, de eltér tőle valamekkora véletlen hibával. Mekkora lesz körülbelül a véletlen hiba? Hogy ezt megtudjuk, számítsuk ki a standard hibát. A dobozbeli számok átlaga 3. Eltéréseik az átlagtól: A doboz szórása ( 3 +( ) ) = = = Ez a dobozbeli számok különbözőségének a mértéke. A négyzetgyökszabály szerint a 25 húzás összegének ennél nagyobb az ingadozása, méghozzá 25 = 5-ször nagyobb. A 25 húzás összegének standard hibája 5 2 = 10. Másként fogalmazva, a véletlen hiba valószínű mértéke 10. Azaz a húzások összege 75 körül valószínű, 75-től körülbelül plusz mínusz 10-re. Általában, az összeg a várható értéke körül valószínű, attól nagyjából plusz mínusz standard hibányira. Hogy mindezt a gyakorlatban is láthassuk, beprogramoztunk egy számítógépet arra, hogy húzzon 25-ször, véletlenszerűen, visszatevéssel a dobozból. Ez az eredmény adódott: E 25 húzásnak 71 az összege. Ez 4-gyel a várható érték alatt van, tehát a véletlen hiba 4. A számítógép elvégzett újabb 25 húzást, s az összegüket kiszámítva 76-ot kapott. Most +1 volt a véletlen hiba. A harmadik összeg 86 lett, +11-es véletlen hibával. Végeredményben 100 összeget állíttattunk elő a géppel az 1. táblázatban mind látható. Mindannyian 75, azaz a várható érték körül vannak. Az ettől mért eltérések (a véletlen hibák) nagysága 10, vagyis a standard hiba körüliek.

6 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba 333 A húzások összege valószínűleg körül lesz, attól nagyjából plusz mínusz -nyira. Az első kihagyott helyre az összeg várható értéke kerül. A második kihagyott helyre az összeg standard hibája kerül. Egy kis terminológia: a 71 az 1. táblázatban a húzások összegének a megfigyelt értéke; a 76 egy másik megfigyelt érték. Összességében tehát a táblázat 100 megfigyelt értéket tartalmaz a húzások összegére vonatkozóan. A megfigyelt értékek különböznek a 75-ös várható értéktől. A különbség a véletlen hiba. A 71-ben például 4 a véletlen hiba, mert = 4. A 76-ban +1 a véletlen hiba, mert = 1. És így tovább. Figyelemre méltó, hogy milyen kevéssé szóródnak a várható érték körül az 1. táblázatbeli megfigyelt értékek. Elvileg lehetne sokkal kisebb, akár 0, és sokkal nagyobb, akár 25 6 = 150 is az összeg. Mégis, egyetlen kivétellel valamennyien 50 és 100 közé esnek, azaz a standard hiba 2,5-szeresénél közelebbre. A megfigyelt értékek ritkán esnek a standard hiba 2-3-szorosánál távolabb a várható értéktől. 1. TÁBLÁZAT. Számítógépes szimuláció: 25 véletlenszerűen, visszatevéssel végzett húzás összege a dobozból, 100 esetben. Esetszám Összeg Esetszám Összeg Esetszám Összeg Esetszám Összeg Esetszám Összeg

7 334 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS B feladatsor 1. Százszor húzunk véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. (a) Állapítsa meg az összeg várható értékét és standard hibáját. (b) A húzások összege körül lesz, tőle úgy plusz mínusz eltéréssel. (c) Tegyük fel, meg kell tippelnie, mennyi lesz az összeg. Mit tippelne? És mit gondol, körülbelül mennyit fog tévedni: 2-t, 4-et vagy 20-at? 2. Fej vagy írást játszunk, százszor. Amikor fej jön ki, 1 dollárt nyerünk. Amikor írás jön ki, 1 dollárt veszítünk. Tiszta nyereségünk nagyjából lesz, attól nagyjából plusz mínusz -nyira. Töltse ki az üresen hagyott helyeket; a lehetőségek: -10 $ -5 $ 0 $ +5 $ +10 $ 3. Egy összegnek 50 a várható értéke, 5-ös standard hibával. Tízszer megismételjük az összeget előállító véletlen folyamatot. Az alábbi három sor közül melyikben láthatók a megfigyelt értékek? Miért? (i) 51, 57, 48, 52, 57, 61, 58, 41, 53, 48 (ii) 51, 49, 50, 52, 48, 47, 53, 50, 49, 47 (iii) 45, 50, 55, 45, 50, 55, 45, 50, 55, Ötven húzást végzünk találomra, visszatevéssel, az dobozból; az összeg 157. Az összeg várható értéke, megfigyelt értéke, véletlen hibája, standard hibája pedig. Töltse ki az üresen hagyott helyeket; röviden indokoljon! 5. Véletlenszerűen, visszatevéssel húzunk egy számozott cédulákat tartalmazó dobozból. 25 húzás összegének 50 a várható értéke, 10-es standard hiba mellett. Ha lehetséges, adja meg, mennyi 100 húzás összegének a várható értéke és a standard hibája. Vagy kevés az információ? 6. Száz húzást végzünk, véletlenszerűen, visszatevéssel, a dobozból. Igaz vagy hamis? Indokoljon: (a) A húzások összegének várható értéke 300. (b) A húzások értékének várható értéke 300, plusz mínusz körülbelül 20. (c) A húzások összege 300 lesz. (d) A húzások összege 300 körül lesz, attól nagyjából 20 eltéréssel. 7. Ha tovább futott volna a számítógépen az 1. táblázat (333. oldal) számait előállító program mit gondol, igaz-e, hogy előbb-utóbb adódott volna a várható értéktől 3 standard hibányinál távolabb eső összeg is? Indokoljon!

8 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba A NORMÁLIS ELOSZLÁSGÖRBE HASZNÁLATA Sok húzást végzünk véletlenszerűen, visszatevéssel egy dobozból. Mekkora valószínűséggel esik a húzások összege egy adott tartományba? Ilyen típusú feladatokon dolgoztak azok a matematikusok, akik a normális eloszlásgörbét felfedezték. A görbe hátterében meghúzódó törvényszerűségekről a következő szakaszban esik szó. Ebben a szakaszban mindössze vázolni szeretnénk a módszert, amely minden olyan esetben alkalmazható, amikor kellőképpen nagy a húzások száma. A módszer lényegében standard egységekre való átváltásból áll (ehhez a várható értéket és a standard hibát fogjuk használni), majd abból, hogy ezek alapján kiszámítjuk a megfelelő görbe alatti területet pontosan úgy, ahogy az 5. fejezetben láttuk. Nézzünk egy példát. Tegyük fel, hogy egy számítógépet beprogramoztunk arra, hogy képezze 25 véletlenszerű, visszatevéses húzás eredményének összegét a mágikus dobozból. A gép kiírja az eredményt és újra meg újra megismétli az egész eljárást. A megfigyelt értékeknek körülbelül hány százaléka fog 50 és 100 közé esni? Az összegek mind 0 és 25 6=150 közé esnek a vízszintes tengelyen. Összeg 0 Egy lehetséges érték 150 A feladat az, hogy megmondjuk, milyen eséllyel lesz az összeg 50 és 100 között. Összeg Az esély kiszámításához átváltunk standard egységekre, és a normálgörbét fogjuk használni. A standard egységek megmondják, hány standard hibányira van egy szám a várható értéktől. 4 Példánkban a 100, standard egységekben kifejezve, 2,5 lesz. Ugyanis az összeg várható értéke 75, a standard hiba 10, a 100 tehát 2,5 standard hibányira van a várható értéktől felfelé. Ugyanígy lesz az 50-ből 2,5 standard egység. Összeg Várható érték Esély vonalkázott terület 99%

9 336 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS Az 50 és 100 közötti intervallum megegyezik a várható érték körüli plusz és mínusz 2,5 standard hiba közötti intervallummal az összegnek tehát az esetek körülbelül 99%-ában ide kell esnie. Ezzel befejeztük a számítást. Most nézzünk adatokat. Az előbbi 1.táblázatban láthattuk az összeg 100 megfigyelt értékét. Közülük 99-nek kellene az 50 és 100 közötti intervallumba esnie, s valóban, 99-en vannak ott. Vagy, hogy egy kevésbé szélsőséges tartományt nézzünk, a megfigyelt értékek körülbelül 68%-ának illene a (75 10)-től (75+10)-ig tartó intervallumba esnie. Valójában 73-at találunk. S végül, az 1. táblázatbeli megfigyelt értékek körülbelül 95%-ának illene a 75±20 sávban lennie s 98-an vannak ott. Az elmélet nem tűnik rossznak. (A tartományokba a végpontjaikat is beleértjük; ±, olvasd: plusz mínusz.) 2. példa. Egy kaszinó egy bizonyos rulettkerekén egy hónapban független játékot játszanak. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a játékosok minden egyes játékban csak 1 dollárt tesznek, és mindig a pirosra. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy a bank ezekben a játékokban 250 dollárnál többet nyer. 5 (A piros vagy fekete 1 az 1-hez fizet, a banknak 20 a 38-hoz a nyerési esélye.) Megoldás. A feladat: meghatározni annak a valószínűségét, hogy a bank tiszta nyeresége meghaladja a 250 dollárt. Tiszta nyereség 250 $ Készítsünk először dobozmodellt. A doboz: 20 lap 18 lap A bank tiszta nyeresége olyan, mint húzás összege ebből a dobozból. A tiszta nyereség várható értéke annyi, mint a dobozbeli számok átlaga, szorozva a húzások számával. Az átlag: 20 lap 18 lap } } 1$ $ 1$... 1$ 38 +1$ 1$ 20$ 18$ 2$ = = 0,05$ Minden egyes húzás átlagosan 0,05 dollárral növeli az összeget. A húzásnak ,05$ = 500$ a várható értéke. A bank játékonként átlagosan 5 centet keres, tehát arra számíthat, hogy a játékon 500 dollár körüli összeget fog nyerni. (A játékos és a bank a doboz átellenes oldalán ülnek: a banknak 20 lap jó, a játékosnak 18 lap jó; lásd a 16. fejezet 4. szakaszát. Most jön a tiszta nyereség standard hibájának meghatározása. Ehhez szüksé-

10 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba 337 günk van a dobozban lévő számok szórására. Az átlagtól mért eltérések mind 1 dollár körüliek, mivel maga az átlag körülbelül nulla. Tehát a doboz szórása körülbelül 1 dollár. Ez az 1 dollár a dobozon belüli ingadozás. A négyzetgyökszabály szerint a húzás összegének nagyobb lesz az ingadozása, méghozzá = 100-szor ekkora. A húzás összegére a standard hiba (SH) tehát 100 1$ = 100$. A bank arra számíthat, hogy nyerni fog, körülbelül 500 dollárt, illetve annál úgy 100 dollárral többet vagy kevesebbet. És most használhatjuk a normálgörbét. Tiszta nyereség 250 $ 500 $ Várható érték Esély vonalkázott terület 99% Ezzel kész a megoldás. A fő gondolat: a tiszta nyereség olyan, mint húzások összege egy dobozból; erre a logikai alapra épül a négyzetgyökszabály. A banknak körülbelül 99% az esélye, hogy 250 dollárnál többet nyerjen. Ez nem feltétlenül tűnik soknak érdemes ugyanakkor észben tartanunk, hogy egy kaszinóban sok rulettkerék dolgozik, hogy gyakran minden rulettkerék mindegyik pörgetésénél szinte tülekednek a játékosok, és hogy a tétek gyakran nagyobbak egy dollárnál. A bank számíthat rá, hogy az asztalra kerülő összes tétek 5%-a az övé lesz kockázatát pedig a négyzetgyökszabály szinte teljesen kiküszöböli. Példaképp tegyük fel, hogy egy kaszinó 25 rulettkereket üzemeltet. Legyünk mértéktartóak, s feltételezzük, hogy mindegyik kereket a 2. példában látott feltételek szerint használják. E feltevésekkel a kaszinó várható nyeresége teljes 25-szörösére, azaz $ = $-ra nő, ugyanakkor, amikor az összeg standard hibája csak 25 = 5-tel szorzódik, tehát csak 500$ra nő. A kaszinó most már jóformán biztosra veheti mert 99% valószínűségű, hogy legalább dollár nyeresége lesz. Egy kaszinónak éppúgy nagybani üzlet a rulett, mint a Tesconak az élelmiszerek. C feladatsor Száz húzást végzünk véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. (a) A lehetséges legkisebb összeg, a lehetséges legnagyobb összeg. (b) A húzások összege körül lesz, nagyjából plusz-mínusz -re. (c) Annak esélye, hogy az összeg nagyobb lesz 250-nél, egészen közel van %-hoz.

11 338 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS Százszor húzunk véletlenszerűen, visszatevéssel, az 3 9 dobozból. (a) Mennyire lehet nagy az összeg? Mennyire lehet kicsi? (b) Mennyi a valószínűsége, hogy az összeg a 370 és 430 közötti tartományba fog esni? szer vagy 100-szor húzhatunk a 1 1 dobozból, véletlenszerűen, visszatevéssel. Hányszor húzzunk, (a) ha 5-ös vagy magasabb összeggel 1 dollárt nyerünk egyébként meg semmit? (b) ha -5-ös vagy alacsonyabb összeggel 1 dollárt nyerünk egyébként meg semmit? (c) ha -5 és 5 közé eső összeggel 1 dollárt nyerünk egyébként meg semmit? 4. Két lehetőség közül választhatunk: (i) Száz húzás, véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. (ii) Huszonöt húzás, véletlenszerűen, visszatevéssel, a dobozból. Melyikük az előnyösebb, ha (a) 1 dollárt kapunk, ha az összeg 550 vagy több; egyébként semmit. (b) 1 dollárt kapunk, ha az összeg 450 vagy kevesebb; egyébként semmit. (c) 1 dollárt kapunk, ha az összeg 450 és 550 közötti; egyébként semmit. 5. Tegyük fel, hogy egy bizonyos héten egy bizonyos kaszinóban független játékra kerül sor a ruletten. Mindegyik játékban a játékos 1 dollárt tesz pirosra. Melyikhez van közelebb annak a valószínűsége, hogy a kaszinó 1000 dollárnál többet fog keresni ezen a játékon: 2%-hoz, 50%-hoz, vagy 98%-hoz? Röviden indokoljon! 6. Tegyük fel, hogy ruletten valaki egyetlen játékban dollárt tesz fel piros vagy feketére. Melyikhez van közelebb annak a valószínűsége, hogy a kaszinó 1000 dollárnál többet fog keresni ezen a játékon: 2%-hoz, 50%-hoz, vagy 98%-hoz? Röviden indokoljon! 7. Egy játékos ruletten egyetlen alkalommal játszik, mégpedig úgy, hogy minden egyes számra (a 0-ra és a 00-ra is) 1000 dollárt tesz fel. Tehát összesen dollárral játszik. Mi fog történni? Röviden indokoljon! 8. Egy dobozban 10 lap van. Mindegyiken egy 5 és 5 közötti egész szám. A számok nem mind egyformák; az átlaguk 0. Két lehetőség közül választhatunk: (A) 100 húzás a dobozból; ha az összegük 15 és 15 között van, 1 dollárt nyerünk. (B) 200 húzás a dobozból; ha az összegük 30 és 30 között van, 1 dollárt nyerünk. Válasszon egyet az alábbi négy válaszlehetőség közül; indokolja meg a választását. 6 (i) (A) adja a jobb nyerési esélyt (ii) (B) adja a jobb nyerési esélyt (iii) (A) és (B) egyforma nyerési esélyt adnak. (iv) Nem lehet a doboz szórása nélkül megmondani.

12 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba SZÁMÍTÁSI RECEPT A szórás kiszámítása meglehetősen fáradságos de e fáradság egy részét megtakaríthatjuk, ha olyan dobozzal van dolgunk, amelyben csak kétfajta lap van Vegyük például az 1 5 dobozt. Csak kétféle szám van benne, 1 és 5, használhatjuk a receptet. A doboz szórása 1 3 (5 1) 1, Ez a képlet lényegesen kevesebb számolást igényel, mint az átlagtól való eltérések négyzetes közepének a megállapítása, és ugyanazt az eredményt adja. 3. példa. Egy játékos 100-szor rulettezik: mindannyiszor a 10-es számra tesz 1 dollárt. A tét 35 az 1-hez fizet, 38-ból 1 a nyerési esély. Egészítsük ki az üresen hagyott helyeket: A játékos dollárt (plusz mínusz $) fog nyerni. Megoldás. Először dobozmodellt kell készítenünk a tiszta nyereségre. A játékos tiszta nyeresége olyan, mint 100 véletlenszerű, visszatevéses húzás összege az 1 lap 37 lap dobozból. Mekkora a várható tiszta nyereség? A doboz átlagának 100-szorosával egyenlő. A doboz átlaga annyi, mint a benne lévő számok összege, osztva 38-cal. A nyerő lap 35 dollárral növeli az összeget, míg a 37 vesztes lap összesen 37 dollárral csökkenti. Így az átlag Másként fogalmazva a játékos arra számíthat, hogy a 100 játékon körülbelül 5 dollárt veszít. Következő lépésként a húzások összegének standard hibáját kell megállapítanunk: ez a doboz szórásának 100-szorosával lesz egyenlő. Használhatjuk a receptet, a doboz szórása: Nagy Nagy Kicsi Kicsi Ha a dobozbeli lapokon csak kétféle szám van ( nagy és kicsi ), akkor a doboz szórása: nagy kicsi nagy szám kicsi szám ( szám szám ) részaránya részaránya +35$ 1$ 35$ 37$ 2$ = 0, 05$ szórás = [35$ ( 1$)] 36$ 0,16 5, 76$

13 340 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS A húzások összegének standard hibája tehát 100 5,76$ 58$ A játékos körülbelül 5 dollárt (plusz mínusz körülbelül 58 dollár) veszít. Ezzel kész a megoldás. A nagy standard hiba komoly esélyt ad a játékosnak arra, hogy sokat nyerjen nagy vonzerő. Persze átlagban a játékos veszít; és a nagy SH azt is jelenti, hogy a játékos sokat is veszíthet. D feladatsor 1. Megadja-e a számsor szórását a képlet? Indokoljon! Számsor Képlet (a) 7, 7, 7, -2, -2 (b) 0, 0, 0, 0, 5 (c) 0, 0, 1 (d) 2, 2, 3, 4, 4, 4 5 3/5 2/5 5 1/5 4/5 2/3 1/3 2 1/6 2/6 3/6 2. Tegyük fel, hogy kenón egy játékos mindig egyetlen számra egy dollárt tesz. 100 játékból a játékos tiszta nyeresége dollár lesz, úgy plusz mínusz dollár. 3. Van a nevadai rulettnél egy extra tét, A főnök kedvence (House special): ilyenkor a játékos a 0, 00, 1, 2 és 3-as számokra fogad; a tét 6 az 1-hez fizet, 38-ból 5 a nyerési esély. (a) Nevadai rulettnél a bank az összes többi tétnél arra számíthat, hogy az asztalra kerülő minden dollárból 5 cent az övé. Mennyire számíthat, dolláronként, A főnök kedvencéből? (b) Valaki 100-szor rulettezik, és minden alkalommal A főnök kedvencét teszi meg 1 dollárral. Becsülje meg, körülbelül mekkora rá az esély, hogy nyereséggel fejezze be a száz játékot. 4. Egy játékos 100-szor játszik a ruletten. Két lehetőség közül választhat: (i) Minden alkalommal valamelyik tucatra (lásd a 16. fejezet 4. szakaszának 3. ábráját) tesz 1 dollárt. (ii) Minden alkalommal a pirosra tesz 1 dollárt. A tucat 2 az 1-hez fizet, nyerési esélye 38-ból 12. A piros 1 az 1-hez fizet, nyerési esélye 38-ból 18. Igaz vagy hamis? Indokoljon is: (a) Annak, hogy a játékos végül is pluszban legyen, (i) és (ii) esetén ugyanakkora az esélye. (b) Arra, hogy 10 dollárnál többet nyerjen, (i) esetén nagyobb az esély. (c) Arra, hogy 10 dollárnál többet veszítsen, (i) esetén nagyobb az esély.

14 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba OSZTÁLYOZÁS ÉS DARABSZÁMOK Bizonyos véletlen folyamatokban darabszámokról van szó. Darabszámok standard hibájának kiszámításához is használhatjuk a négyzetgyökszabályt, de ügyelni kell a doboz helyes összeállítására. A következő példán bemutatjuk, hogyan kell ezt csinálni. 4. példa. Dobókockával 60-szor dobunk. (a) A pontok összege körül lesz, tőle nagyjából plusz mínusz -ra. (b) A 6-osok száma körül lesz, tőle nagyjából plusz mínusz -ra. Illusztrációként a 2.táblázatban bemutatjuk 60 kockadobás eredményét; az első dobás 4-es volt, a második 5-ös, és így tovább. 2. TÁBLÁZAT. Hatvan dobás egy dobókockával Megoldás:(a) Ez a rész ismerős. Összeadásról van benne szó. Minden egyes dobás valahány pontot eredményez, ezeket összeadjuk. A pontszámok összege a 60 dobásból olyan, mint 60 húzás összege az dobozból. A doboz átlaga = 3,5; szórása = 1,71. Az összeg várható értéke 60 3,5 = 210; az összeg standard hibája SH = 60 1,71 13 A pontszámok összege 210 körül lesz, attól körülbelül plusz mínusz 13-ra. És tényleg, a 2. táblázatban 212 a számok összege. Az összeg körülbelül 1/6 SH-nyi távolságra esik a várható értékétől. (b) Egyszerű addig, hogy mit írjunk be az első üres helyre. A kockának mind a hat lapja körülbelül a dobások egyhatodában lesz felül, így 60 1/6 = 10 a hatosok számának várható értéke. Nehezebb, hogy mi kerüljön a második helyre. Új fajta dobozra van szükség, mert az dobozból végzett húzások összege itt nem alkalmas. Most nem összeadjuk, hanem osztályozzuk a dobásokat: hatos vagy nem hatos? (Mindössze két osztályról van szó: ide a hatosok, oda meg az összes többi.) Utána megszámláljuk a hatosokat. Tessék megfigyelni, a hatosok száma minden egyes dobásnál vagy megnő 1- gyel, vagy marad, amennyi volt: 1-et adunk az összeghez, ha a dobás 6-os; 0-t adunk az összeghez, ha bármi mást dobunk. 6-ból 1 (tehát 1/6) arra az esély, hogy a hatosok száma megnőjön 1-gyel, és 6-ból 5 (tehát 5/6) arra, hogy változatlanul maradjon. Tehát az összegnek is 1/6 eséllyel nőnie kell 1-gyel, és 5/6 eséllyel változatlannak kell maradnia. Ehhez alkalmas doboz:

15 342 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS A valószínűségek tekintetében ugyanolyan a hatosok száma 60 dobásból, mint 60 húzás összege ebből az új dobozból. És itt már alkalmazhatjuk a négyzetgyökszabályt. Az új dobozban öt 0 és egy 1 van. Szórása 1/6 5/6 0,37, az egyszerűsítő recepttel. A húzások összegének standard hibája pedig 60 0,37 3. Tehát, ha hatvanszor dobunk egy dobókockával, a hatosok száma 10 körül lesz, körülbelül tőle 3-ra. Valóban, a 2.táblázatban 11 hatos van. A hatosok számának megfigyelt értéke a várható értékétől 1/3 standard hibányival tért el. A régi nóta, csak a doboz másfajta. A példa rámutat valami fontosra. Véletlen folyamatoknál nem ritka, hogy két feladatot, bár egészen különbözőnek látszanak, mégis ugyanúgy lehet megoldani. Ezekben a feladatokban valamilyen lapokat húzunk véletlenszerűen egy dobozból. A húzások eredményein elvégzünk valamilyen műveletet, s a feladat annak valószínűségét kérdi, hogy az eredmény egy bizonyos intervallumba esik. A húzásokon végzett művelet ebben a fejezetben kétféle lehet: összeadjuk őket; osztályozzuk őket, majd megállapítjuk az egyik fajta darabszámát. A lényeg az, hogy a két műveletet kezelhetjük ugyanúgy ha nem feledkezünk meg arról, hogy dobozt váltsunk. Amikor húzások osztályozásáról és megszámlálásáról szól a feladat, írjunk 0-kat és 1-eseket a lapokra. Legyen 1-es azokon a lapokon, amelyeket öszszeszámolunk, 0 pedig a többin. Ha összeadjuk a dobásokat, a doboz: Ha a 6-osokat számoljuk, a doboz: Ne feledkezzünk meg a lapok kicserélésérõl! 5. példa. 100-szor dobunk egy érmével. Állapítsuk meg a fejek számának várható értékét és standard hibáját. Becsüljük meg, milyen valószínűséggel lesz a fejek száma 40 és 60 között. Megoldás. Először is készítsünk dobozmodellt. A feladat szerint fejekre és írásokra kell osztályoznunk a dobásokat, majd össze kell számlálnunk a fejeket. Tehát a dobozba csak 0-k és 1-esek kellenek. Fej dobására 50% az esély, tehát a doboz legyen 0 1. A fejek száma 100 érmedobásból éppen olyan, mint 100 véletlenszerűen, visszatevéssel végzett húzás összege a 0 1 dobozból. (Az érme még egysze-

16 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba 343 rűbb is a 4. példa dobókockájánál: minden egyes dobásnál 50% az esélye, hogy egygyel megnő a fejek száma, és 50%, hogy változatlan marad.) Ezzel megvan a modell. Mivel a fejek száma olyan, mint a húzások összege, alkalmazhatjuk a négyzetgyökszabályt. A doboz szórása 1/2. Tehát 100 húzásból a húzások összegének standard hibája 100 1/2 = 5. A fejek száma 50 körül lesz, tőle úgy plusz-mínusz 5 eltéréssel. A as tartomány megfelel a várható érték körüli plusz mínusz 2 SHnyi tartománynak. Az esély körülbelül 95%. Ezzel kész a megoldás. A 95%-os valószínűség értelmezéséhez képzeljük el, hogy mindig megszámoljuk, hány fejet kapunk 100 dobásból. Először, mondjuk 44-et kapnánk. Megint dobnánk 100-at; most 54 lenne közülük fej. Harmadszorra megint más szám jönne ki, mondjuk 48. Ezt sokáig folytatnánk. Hosszú távon az így kapott számoknak körülbelül 95%-a esne a 40 és 60 közötti tartományba. John Kerrich ténylegesen elvégezte ezt a kísérletet. Az eredményeket a 3. táblázat mutatja, Kerrich dobását egymás utáni százas csoportokra bontva. A 100 csoportból éppen 95 esett a 40 és 60 közti tartományba (a végpontokat is hozzászámítva). Az elmélet jónak tűnik. 3. TÁBLÁZAT. Kerrich érmedobálós kísérlete: az egymást követő 100-dobásos szakaszok közül melyikben hány fejet kapott. 100 dobásos Fejek 100 dobásos Fejek 100 dobásos Fejek 100 dobásos Fejek szakasz száma szakasz száma szakasz száma szakasz száma

17 344 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS Ideje, hogy összekapcsoljuk a négyzetgyökszabályt a nagy számok törvényével. Tegyük fel, hogy sokszor dobunk egy érmével. Ekkor nagyjából a dobások számának felében fogunk fejeket kapni: fejek száma = (dobások számának fele) + (véletlen hiba). Körülbelül mekkora lesz a véletlen hiba? Kerrich segítője először azt gondolta, hogy nagyon kicsi lesz. Az adatokból aztán kiderült számára, hogy tévedett. A hosszan tartó dobálás során a véletlen hiba abszolút értelemben egyre nőtt, viszont a dobások számához viszonyítva egyre csökkent épp, ahogy a matematika előrejelzi. (Lásd a 16. fejezet 1. szakaszában az 1. és 2. ábrát.) A négyzetgyökszabály szerint dobások száma 1/2 a véletlen hiba valószínű mértéke dobásnál például /2 = 50 a standard hiba. Ha a dobások száma megnő ra, megnő a standard hiba is, de csak 500-ra a négyzetgyök miatt. Ahogy a dobások száma egyre nő, abszolút mértékben a fejek számának standard hibája is egyre nő, a dobások számához viszonyítva viszont egyre csökken. Emiatt lesz 50%-hoz egyre közelebb a fejek százalékaránya. A nagy számok törvényének a négyzetgyökszabály a matematikai magyarázata. E feladatsor 1. Egy érmével 16-szor dobunk. (a) A fejek száma olyan, mint 16 véletlenszerű, visszatevéses húzás összege az alábbi dobozok valamelyikéből. Melyikből, és miért? (i) Fej Írás (ii) (iii) (b) A fejek száma körül lesz, tőle körülbelül -re. 2. Száz húzást végzünk véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. Mennyire valószínű, hogy az 5 -ös jelű lapok száma 8 és 32 között lesz? 3. A legegyszerűbb genetikai modell szerint a gyermek neme véletlenszerűen dől el, úgy, mint ha a Fiú dobozból húznánk véletlenszerűen egy lapot. Mi az esély arra, hogy a következő születésből (az ikerszülésektől eltekintünk) 1275-nél több lesz leány? 4. Ez a feladat a következővel együtt Kerrich érmedobálós kísérletén (lásd 17. fejezet 5. szakasz 3. táblázat) alapul. Például az dobásban 44 volt a fejek megfigyelt száma, 50 volt a várható érték, így a véletlen hiba = 6. Töltse ki az üresen hagyott helyeket. Leány

18 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba dobásos szakasz Megfigyelt érték Várt érték Véletlen hiba Standard hiba Hánynak kellene a 17. fejezet 5. szakasz 3. táblázatában a darabszámok közül a tartományba esnie? És hány esik oda? (A végpontokat is odaszámítva.) 6. (a) Egy érmével szer dobunk. Mi annak a valószínűsége, hogy a fejek száma a tartományba fog esni? (b) Egy érmével szor dobunk. Mi annak a valószínűsége, hogy a fejek száma a tartományba fog esni? Ötvenszer húzunk véletlenszerűen, visszatevéssel, a dobozból; 33 húzás lesz 1 -es. Az 1 -esek számának várható értéke volt, a megfigyelt számuk, a véletlen hiba, a standard hiba (SH) pedig. 8. Számítógépes program készült a következő feladatra: van egy doboz, tíz üres lappal. Az ember megmondja a programnak, milyen számokat írjon a lapokra és hány húzást végezzen. Ezután a számítógép elvégez a dobozból ennyi húzást, véletlenszerűen, visszatevéssel, a húzott számokat összeadja, és kinyomtatja az összeget a húzásokat nem. Érmedobálásról a programnak fogalma sincs. Mégis használhatjuk arra, hogy szimulálja nekünk a fejek számát 1000 érmedobásból. Vajon hogyan? 9. Százszor dobunk egy dobókockával. Az egyesek számának várható értékét valaki 100 1/6 = 16,67-nak számolja, standard hibáját pedig 100 1/6 5/6 3,73-nak. Jó ez így? Feleljen igennel vagy nemmel, és indokoljon! 6. ISMÉTLŐ FELADATSOR 1. Száz húzást végzünk véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. (a) Mennyire lehet kicsi a húzások összege? Mennyire lehet nagy? (b) Arra, hogy az összeg 650 és 750 közé essék, körülbelül 1% 10% 50% 90% 99% az esély. Indokoljon! Egy játékos 100-szor játszik ruletten mindannyiszor valamelyik oszlopot teszi meg 1 dollárral. E tét 2 az 1-hez fizet, nyerési esély 38-ból 12. Töltse ki az üresen hagyott helyeket; a részeredményeket is írja le.

19 346 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS (a) A 100 játékból a játékos tiszta nyeresége dollár körül lesz, ettől úgy plusz mínusz dollárra. (b) A 100 játékból a játékosnak alkalommal kellene nyernie, plusz mínusz alkalom eltéréssel. (c) Előnyös vagy hátrányos-e a kenóban az egyetlen számra fogadáshoz (lásd a 17. fejezet 1. szakasz 1. példáját) képest rulettben az oszlop tét? 3. Állítsa párba a számsorokat és a szórásokat. Magyarázza el, hogyan okoskodott. (a) 1, 2, 2 (b) 15, 15, 16 (c) 1, 1, 1, 1 (d) 0, 0, 0, 1 (e) 0, 0, 2 (i) (ii) (iii) (iv) (v) 1/3 2/3 2 1/3 2/3 3 1/3 2/3 1/4 3/4 2 1/4 3/4 4. Összegyűlik egy nagy csomó ember. Mindenki dob 180-at egy dobókockával, és számolja az egyeseket. Ezeknek az embereknek körülbelül hány százaléka kap a 15 és 45 közötti tartományba eső számot? 5. Dobókockával dobunk valahányszor; a dobott pontszámok összegét kellene megtippelni. Minden pontnyi tévedésért 1 dollár büntetés jár. Mondjuk, ha 200-at tippelünk, de 215 lesz az összeg, 15 dollárt veszítünk. Mi jobb nekünk, 50 dobás vagy 100? Indokoljon! 6. Száz húzást végzünk, véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. Az eredmény: es, es és as. Az alábbi számok mindegyikéhez keresse ki az őt megfelelően leíró megfogalmazást. Szám Megfogalmazás 12 a húzások összegének megfigyelt értéke 45 a 3-asok számának megfigyelt értéke 187 az 1-esek számának megfigyelt értéke 25 a húzások összegének várható értéke 50 a 3-asok számának várható értéke 175 az 1-esek számának várható értéke 5 a húzások összegének véletlen hibája 32 az 1-esek számának standard hibája 7. Véletlenszerűen, visszatevéssel, 100 húzást végzünk az dobozból. (a) Ha 321 a húzások összege, mennyi az átlag? (b) Ha 3,78 a húzások átlaga, mennyi az összeg? (c) Becsülje meg, mennyire valószínű, hogy a húzások átlaga 3 és 4 között legyen.

20 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba Százszor dobunk egy érmével. (a) A (fejek száma) (írások száma) különbség éppen olyan, mint 100 húzás összege az alábbi dobozok egyikéből. Melyikből, és miért? (i) (ii) (iii) (iv) (v) Fej Írás (b) Állapítsa meg a különbség várható értékét és standard hibáját. 9. Egy játékos 1000-szer játszik ruletten. Két lehetőségből választhat: (i) Mindannyiszor valamelyik oszlopot játssza meg 1 dollárral. (ii) Mindannyiszor valamelyik számot játssza meg 1 dollárral. Az oszlop tét 2 az 1-hez fizet és 38-ból 12 a nyerési esélye; az egy szám 35 az 1-hez fizet, nyerési esélye 38-ból 1. Igaz vagy hamis: (a) Arra, hogy összességében ne veszítsen, (i) és (ii) egyforma esélyt ad. (b) Arra, hogy 100 dollárnál többet nyerjen, (ii) ad nagyobb esélyt. (c) Arra, hogy 100 dollárnál többet veszítsen, (ii) ad nagyobb esélyt. Indokoljon! 10. Egy dobozban számozott lapok vannak. Húzásokat végzünk a dobozból, véletlenszerűen, visszatevéssel. Három állítás következik erről a bizonyos dobozról; (i) és (ii) igazak. Igaz-e (iii) vagy hamis? Indokoljon! (i) Egy bizonyos számú húzásnál 400 az összeg várható értéke. (ii) Ugyanennyi húzásnál körülbelül 75% annak az esélye, hogy az összeg 350 és 450 közé fog esni. (iii) Kétszer ennyi húzásnál körülbelül 75% annak az esélye, hogy az összeg 700 és 900 közé fog esni. 11. Százszor húzunk véletlenszerűen, visszatevéssel, a dobozból. A pozitív számok összege körül lesz, attól körülbelül plusz-mínusz -re.

21 348 V. RÉSZ: VÉLETLEN INGADOZÁS Százszor húzunk véletlenszerűen, visszatevéssel, az dobozból. (a) A húzások összege 431. Az összeg várható értéke volt, a megfigyelt érték, a véletlen hiba, a standard hiba pedig. (b) A húzások összege 386. Az összeg várható értéke volt, a megfigyelt érték, a véletlen hiba, a standard hiba pedig. (c) A húzások összege 417. Az összeg várható értéke volt, a megfigyelt érték, a véletlen hiba, a standard hiba pedig. 7. UTÓIRAT Szomorú tanulsága van ezeknek a feladatoknak: az ember mennél többet játszik, annál többet veszít. Aminek döntően az az oka, hogy a tétek egyike sem tisztességes a játékos várható tiszta nyeresége mindnél negatív. A nagy számok törvénye így a banknak dolgozik, nem nekünk. Igaz, ebben a fejezetben mi csak egyszerű stratégiákat vizsgáltunk, noha rulettre, lottóra, kockajátékra és egyebekre bonyolult stratégiák is léteznek. De matematikai tétel, hogy keverjük akármilyen rendszer szerint a téteket, ha ezek mind tisztességtelenek, akkor a várható tiszta nyereség nem fordulhat pozitívra. A tétel bizonyításához két előfeltevés elég: nem vagyunk látnokok; anyagi lehetőségeink végesek. A huszonegyes kártyajáték kivételes: ebben bizonyos játékhelyzetekben előfordulnak pozitív várható tiszta nyereségű tétek is. 8 Voltak is, akik hatalmas pénzeket kerestek a huszonegyes szerencsejátékon. 8. ÖSSZEFOGLALÁS 1. A megfigyelt érték valahol a várható érték körül szokott lenni; amennyivel eltér tőle, az a véletlen hiba. A véletlen hiba valószínű mértékét a standard hiba mondja meg. Például, dobozból való húzáskor, a húzások összege a várható érték körül lesz, attól körülbelül plusz-mínusz standard hibányira. 2. Ha véletlenszerűen, visszatevéssel húzunk egy számozott lapokat tartalmazó dobozból, akkor az összeghez minden egyes húzás egy, a doboz átlaga körüli menynyiséget ad. Az összeg várható értéke ennek megfelelően (húzások száma) (a doboz átlaga) 3. Ha véletlenszerűen, visszatevéssel húzunk egy számozott lapokat tartalmazó dobozból, akkor az összeg standard hibája Ez a négyzetgyökszabály. SH = húzások száma dobozok szórása

22 17. fejezet: A várható érték és a standard hiba Ha egy dobozban csak kétfajta szám van a lapokon (egy nagy és egy kicsi ), akkor a doboz szórása egy egyszerűbb recept alapján is számítható: ( ) nagy kicsi nagy szám kicsi szám szám szám részaránya részaránya 5. Amikor húzások osztályozásáról és megszámlálásáról van szó, írjunk a lapokra 0-kat és 1-eseket: 1-eseket azokra, amelyeket össze akarunk számolni, 0-t pedig a többire. 6. A húzások összegére vonatkozó valószínűségeket a normálgörbe segítségével lehet kiszámítani, feltéve, hogy a húzások száma elég nagy.