Az emelt szintű érettségi vizsgán előforduló tananyagokat zölddel és apró betűvel jelöltük.

Átírás

1 5 Jelmagyarázat Az A pont és az e egyenes távolsága: d(a; e) vagy Ae Az A és B pont távolsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pont összekötő egyenese: e(a; B) Az f 1 és f 2 egyenesek szöge: ( f1; f2) B vagy A C csúcspontú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a B pont található: ACBB A C csúcspontú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcsokkal rendelkező háromszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s a b c = A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e= f Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasonlóság aránya: m Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB Azonosan egyenlő: /; B ( f1; f2) Egyenlő, nem egyenlő: =,!; a = 2, b! 5 a+ b / 5 Közelítőleg egyenlő:.; a. 2,3; 8,54. 8,5 Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; 2 < 3, 5 # x Nagyobb, nagyobb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ 2 A természetes számok halmaza: N; {0; 1; 2; } Az egész számok halmaza: Z; { ; 2; 1; 0; 1; 2; } A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z +, Z ; {1; 2; 3; }, { 1; 2; 3; } A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q * A pozitív, a negatív racionális számok halmaza: Q +, Q A valós számok halmaza: R A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, -2 g Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz: 3, 1; A 3 R, N 1 Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazok uniója, metszete:,, +; Halmazok különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, { } Az A halmaz komplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a; b[ Balról nyílt, jobbról zárt intervallum: ]a; b] Nyílt intervallum: ]a; b[ Az x szám abszolút értéke: x ; Az x szám egész része, tört része: [x], {x}; [2,3] = 2, {2,3} = 0,3 Az a osztója b-nek: a b; A, B, A+ B " 012,,, = 3-31, = 3,1 Az a és b legnagyobb közös osztója: (a, b); (4, 6) = 2 Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] =12 Az f függvény hozzárendelési szabálya: f: x 7 f] xg; f: x 7 2x+ 3 vagy fx ] g= y; fx ] g= 2x+ 3 Az f függvény helyettesítési értéke az x 0 helyen: fx0 ( ); f(5), ha x0 = 5

2 6 Bevezetés A tankönyv célja a középszintű érettségire történő felkészítés. A matematikai szemlélet fejlesztése a definíciókhoz és fogalmakhoz kapcsolódó tananyagelemek kidolgozásával történik. Kidolgozott példák segítik az új ismeretek bevezetését, a tananyag megértését. A fejezetek végén gyakorlófeladatokat találunk, melyek segítik a középszintű érettségire való felkészülést. A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. Kidolgozzuk a különböző témakörökben megismert összefüggések más témakörökben való felhasz - nálhatóságának felismerését, a matematika alkalmazását gyakorlati problémák megoldása során. Illusztrációkkal, fényképekkel segítjük a tananyagban a matematikai összefüggések megértését. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A tankönyvben a definíciók és a tételek fejléccel ellátott keretbe kerültek. Abban az esetben, amikor nincs fejléc, fontos gondolatokat emeltünk ki. A margóra kiírt definíciók a tájékozódást segítik. középszint, könnyebb; középszint, nehezebb; emelt szint, könnyebb; emelt szint, nehezebb feladat. K1 K2 E1 E2 Kékkel emeltük ki a szövegben a matematikatörténeti és egyéb matematikai érdekességeket. A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Az érettségire való felkészítést a négy évfolyamon végigfutó kidolgozott példák és nehézségük szerint szintezett feladatok segítik: Az emelt szintű érettségi vizsgán előforduló tananyagokat zölddel és apró betűvel jelöltük. A leckék végén lévő feladatok részletes megoldása megtalálható a kiadó weboldalán. Az érdeklődők, vagy gyakorolni vágyók számára a leckék végén még további feladatokat is ajánlunk, amelyeket a kiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény családjából jelöltünk ki. Gerőcs László Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit: 16125/NAT (+ CD-n a megoldások) Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűjte mény I /NAT (+ CD-n a megoldások) Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűjte mény II. Czapáry Endre Czapáry Endréné Csete Lajos Hegyi Györgyné Iványiné Harró Ágota Morvai Éva Reiman István: 16127/NAT (+ CD-n a megoldások) Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűj temény III., Geometriai feladatok gyűjteménye

3 _Metematika9_1_ :50 Page 7 I. Halmazok A matematika története több ezer évre nyúlik vissza. Az ókortól kezdve mindig is művelték, fejlesztették. Az elmúlt körülbelül év alatt viszont egészen döbbenetes mértékben fejlődött a matematika mennyiségi és minőségi szempontból egyaránt. E robbanásszerű növekedéssel erősödött az az igény, hogy bebizonyítsák, a matematikai állítások között nincs ellentmondás. Ezek a törekvések hívták életre a halmazelméletet, amelynek segítségével a logika eszközeit is felhasználva igyekeztek minden egyes matematikai eredményt precízen, szemlélettől függetlenül megfogalmazni, bebizonyítani.

4 _Metematika9_1_ :51 Page 8 I. HALMAZOK 1. Halmazok, jelölések Raffaello Santi: Az athéni iskola A matematika fogalmakat és állításokat használ. Ezek között vannak olyan fogalmak, úgynevezett alapfogalmak, amelyeket a szemlélet alapján rögzítünk, például a pont, az egyenes fogalma. A szemlélet alapján elfogadott állításokat axiómáknak nevezzük, például ilyen az az állítás, hogy két pontra mindig illeszthető egy és csak egy egyenes. A legtöbb fogalmat azonban pontosan meghatározzuk, definiáljuk; az állításokat, más szóval tételeket pedig megengedett logikai eszközökkel igazoljuk. HALMAZ? NEM HALMAZ? A halmaz alapfogalom. El tudjuk képzelni, hogy mi az, de nem definiáljuk. Más szóval mondhatnánk rá, hogy dolgok összessége akkor azt kellene definiálni, hogy mi az a dolog, mi az az összesség. Mondhatnánk, hogy valami olyan, aminek vannak elemei. Akkor azonban azt kellene definiálnunk, hogy mi az, hogy elemének lenni. Ez is definiálatlan alapfogalom, a szemlélet alapján tudjuk, hogy mire gondolunk. Azt mégis meg tudjuk mondani, hogy valami halmaz-e, vagy sem. Halmaz, halmaz eleme Halmaz, halmaz eleme Egy halmaz akkor van meghatározva, ha bármiről el tudjuk dönteni, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem. Eszerint nincs értelme arról beszélni, hogy egy elem hányszor van benne a halmazban, csak arról, hogy benne van-e vagy sem. 9. É VFOLYA M

5 I. HALMAZOK 9 1. példa Halmaz-e: a) Az okos emberek összessége. b) Az osztály 180 cm-nél alacsonyabb tanulóinak összessége. c) A ma élő, magyar állampolgársággal rendelkező emberek összessége. d) A ma élő hétfejű sárkányok összessége. a) Azt, hogy ki okos és ki nem, még egyes embereknél sem tudjuk eldönteni, mert lehet, hogy egyvalamiben okos, másvalamiben nem. Nem tudjuk pontosan, hogy mit jelent okosnak lenni. Ez nem halmaz. b) Bármelyik tanulóról el tudjuk dönteni egy egyszerű méréssel, hogy alacsonyabb-e 180 cmnél. Ez tehát halmaz. c) Nem tudjuk pontosan, hogy kik rendelkeznek magyar állampolgársággal, de bárkiről el tudnánk dönteni, hogy rendelkezik-e vele. Ez tehát halmaz. d) Bármiről el tudjuk dönteni, hogy élő hétfejű sárkány-e. (Mert semmi nem az.) Tehát az élő hétfejű sárkányok halmaza is halmaz. Nincs egyetlen eleme sem. Halmazok egyenlősége Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemei. Halmazok egyenlősége Véges, végtelen halmaz Ha egy halmaz elemszáma valamely természetes szám, akkor a halmaz véges. Például: {1, 2, 3}. Ha a halmaz nem véges, akkor végtelen. Például a természetes számok halmaza végtelen. A halmazokat általában nagy latin betűkkel szokás jelölni, például A, B, C, X, Y. Azt, hogy egy x elem az A halmazban van, így jelöljük: x! A, és úgy olvassuk, hogy x eleme A-nak vagy x A- beli elem vagy x benne van A-ban. Ha x nincs az A halmazban, akkor azt mondjuk, hogy x nem eleme A-nak, és így írjuk: x " A. Véges, végtelen halmazok Véges pl.: {1, 2, 3}. Végtelen pl.: N. x! A x " A HALMAZOK JELÖLÉSE, MEGADÁSA A halmazokat többféleképpen is megadhatjuk. 1. Elemei felsorolásával: ekkor kapcsos zárójelek közé tesszük őket. Például: A = {1, 2, 3, 4, 5}. Felsoroláskor egy halmaz elemeit tetszőleges sorrendben megadhatjuk. Előfordulhat, hogy egy halmaznak nem tudjuk felsorolni minden elemét, mert nem érne véget. Ekkor elkezdjük a felsorolást, és utalunk arra, hogy az elemek sora hogyan folytatódik. Például: B = {1, 3, 5, 7, 9, }. 2. Egy jellemző közös tulajdonsággal: például: B a páratlan természetes számok halmaza, X az 1-nél nagyobb vagy vele egyenlő, 6-nál kisebb valós számok halmaza. Ezt a kapcsos zárójelek közé tett megadási móddal együtt is szokás alkalmazni. Például: Az A = {x x természetes szám és 1 # x < 6} és A = {x : x természetes szám és 1 # x < 6} ugyanazt a halmazt jelöli. Így olvassuk: A halmaz elemei azon x természetes számok, amelyek 1-nél nagyobbak vagy vele egyenlők és 6-nál kisebbek.

6 10 I. HALMAZOK 1. A Ábrán szemléltetve: Halmazábrán úgynevezett Venn-diagramon. (1. ábra) Számegyenesen ponthalmazként. (2. ábra) Intervallumként. (3. ábra) ,5 2,5 A Venn-diagramot akkor szokás használni, ha a feladatban szereplő halmazoknak csak kevés elemük van, vagy ha a halmazokról általánosságban akarunk beszélni. Ponthalmazokat, intervallumokat egyaránt szemléltethetünk számegyenesen, ez a fajta szemléltetés azonban intervallumok esetén lesz majd különösen hasznos a [0,5; 2,5] intervallum SZÁMHALMAZOK A történelem során először a számlálás számai alakultak ki: 1, 2, 3, 4, Ezeket eleinte rovásokkal jegyezték le. A római számírás is egyfajta rovásírásból fejlődött, a mi rovásírásunk számjeleihez hasonlóan. A könnyebb kiolvasás érdekében a rovásokat csoportosítva jegyezték fel, mégpedig az egy kézen látható ujjaknak megfelelően, ötösével. A két összeolvasott kéz szolgált a tízes számrendszer alapjául. Később ezekkel a számokkal műveleteket is végeztek. Számolás közben szükségessé vált a használt számok reciprokának lejegyzése, így alakultak ki az egyiptomi matematikában egységtörteknek nevezett számok: ; ; ; A 0 a hinduktól, arab közvetítéssel került Európába. A negatív számok csak jóval később, a vagyon nyilvántartásával kapcsolatban, az adósságok feljegyzésére alakultak ki. Korábban tanult számhalmazok 4. N 0, 1, 2,... Természetes számok A természetes számok: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,. A természetes számok halmazának jelölése: N. N = {0, 1, 2, 3, } (4 5. ábra) 5. A természetes számok halmazának jelölése: N Egész számok Az egész számok halmaza a természetes számokból és az ellentettjeikből áll. Az egész számok halmazának jelölése: Z. Z = {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, } (6 7. ábra) 7. Az egész számok halmazának jelölése: Z.

7 I. HALMAZOK 11 Racionális számok Azok a számok a racionális számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Vagyis r racionális, ha van olyan a, b! Z, (b 0), amelyekre r a =. b Például: 3, 2, 5, 4, 1, 0 - stb Ezek tört alakban írt racionális számok. A racionális számok halmazának jelölése: Q. (8 9. ábra) A racionális számok halmazának jelölése: Q A törtet bővíthetjük, egyszerűsíthetjük (a számlálójukat és nevezőjüket ugyanazzal a nem 0 számmal szorozhatjuk, oszthatjuk), attól még ugyanaz a szám marad. A racionális számok hányadost fejeznek ki. Az osztást elvégezve egész számot vagy tizedes törtet kapunk. Egész szám például a fenti számok közül: 4 2, 1 1, 0 = - = = A kapott tizedes tört lehet véges, például 3 0,75, 2 = = 0,4, és lehet végtelen szakaszos, 4 5 például 5 = 0, f. 6 A végtelen szakaszos tizedes törteket úgy írhatjuk le, hogy a szakaszt csak egyszer írjuk le, a szakasz kezdetét és végét a számjegyek fölé írt ponttal jelöljük. 0,83333 = 0,83., 3, = = 3,1. 4. = 3, stb. Egyjegyű szakasz esetén egyetlen pontot írunk. A véges tizedes törtet is lehet végtelen szakaszos tizedes törtként írni, például: 3,2 = 3,20.. A szakaszos tizedes törtnek a szakasz kezdete után bármely, a szakasszal megegyező hosszúságú szelete szakasz. Olyan végtelen szakaszos tizedes törtet is felírhatunk, amelynek szakasza egy jegyből áll, például: 2,19.. Ez a tizedes tört azonban egyenlő a 2,2 tizedes törttel, mert nincs olyan szám, amely e két szám közé esne. Amikor tizedestört-alakban keressük két egész szám hányadosát, akkor az osztás során kapott maradékok legfeljebb annyifélék lehetnek, mint amennyi az osztó, ezért ha nem jutunk el a 0 maradékhoz a maradékok egyszer csak ismétlődni fognak. Ezzel együtt a hányados számjegyei is egy helytől kezdve periodikusan ismétlődnek. Így kapjuk a végtelen szakaszos tizedes törteket. Találkoztunk olyan számmal is, amelyet nem tudtunk két egész szám hányadosaként felírni. 2. példa Mutassuk meg, hogy az egység oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza nem racionális szám! A Pitagorasz-tételből következik, hogy az egység oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza olyan szám, amelynek a négyzete 2, jelölése: 2 (négyzetgyök kettő). (10. ábra) A 2 nem racionális szám, mert nem írható fel két egész szám hányadosaként. Ha fel lehetne írni a 2 -t két pozitív egész szám hányadosaként, akkor ennek a tovább már nem egyszerűsíthető alakja lehet például 2 a. Vagyis 2 a =, ekkor 2 a =. 2 b b b 10.

8 12 I. HALMAZOK Mivel ez tovább már nem egyszerűsíthető alak, nem lehet a is, b is páros. A hányadosuk 2, tehát a 2 páros, b 2 páratlan. De mivel páros szám négyzete páros, páratlané páratlan, ezért a páros, b páratlan. Ha a páros, akkor valamilyen d természetes számnak a kétszerese: a = 2d. Tehát ] 2dg 4d 2 2 =. Eszerint. 2-vel osztva azt 2 = 2b 4d 2 = b b kapjuk, hogy b = 2d. Ez viszont lehetetlen, mert a jobb oldalon páros szám áll, viszont b 2 páratlan volt! Vagyis 2 2 a 2 nem lehet racionális szám. Általánosan is igaz: ha egy természetes szám négyzetgyöke nem egész szám, akkor biztosan nem racionális. Kb. 300 évvel ezelőttig a tudósok nem tudták, hogy a r nem racionális szám. Racionális számnak hitték, és tört alakban keresték. A és a két, a r-t közelítő tört Csak az algebra és az analízis fejlődése során derült fény arra, hogy a r nem írható fel két egész szám hányadosaként, vagyis nem racionális. Ennek a bizonyítása nem egyszerű. A r nem racionális szám Az r sugarú kör kerülete 2rr. Az ebben a kifejezésben szereplő r szám nem racionális szám. Azon tizedes törtek, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Ezeket ebben az alakjukban nem lehet felírni, csak egy-egy jelöléssel, utalással tudjuk megadni (a 2, a r egy-egy ilyen rövidített jelölés), vagy csak közelítő tizedestört-alakban: 2 = 1, f, r = 3, f Irracionális számok Irracionális számok Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük példa Bizonyítsuk be, hogy az a tizedes tört, amelyet úgy képezünk, hogy a természetes számokat egymás után leírjuk (a 0 után írva a tizedesvesszőt), irracionális! Bizonyítás A 0, számról van szó. Ha ez a szám valamely tizedesjegytől kezdve szakaszos lenne, akkor innen számítva keresünk egy olyan 10-hatványt, amelyben már több 0 szerepel, mint amekkora a szakasz hossza. Mivel ilyen biztosan van, emiatt a szakasz csupa nullából áll, vagyis a tizedes tört innentől kezdve csupa nullából áll, valójában tehát véges. Ez azonban lehetetlen, mert végtelen sok természetes szám van! Vagyis a kérdéses szám végtelen, nem szakaszos tizedes tört, egy szóval: irracionális. A valós számok halmazának jelölése: R. Valós számok A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. A valós számok halmazának jelölése: R. ( ábra) 12. A valós számokat számegyenesen ábrázoljuk. A számegyenes minden pontja egy-egy valós számnak felel meg.

9 I. HALMAZOK 13 VALÓS SZÁMOK ABSZOLÚT ÉRTÉKE Egy pozitív valós szám abszolút értéke önmaga, egy negatív valós szám abszolút értéke az ellentettje. A 0 abszolút értéke 0. Az a valós szám abszolút értékének jelölése: a. A nem nulla valós számok abszolút értéke pozitív. (Szemléletesen már régebben is láttuk, hogy a nem nulla valós számok abszolút értéke pozitív, mert azt a számegyenesen a 0-tól mért távolságaként szemléltettük.) A valós számok abszolút értékével később még részletesebben foglalkozunk. Abszolút érték Feladatok 1. K1 Döntsük el, hogy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban! a) A páros természetes számok. b) A barátságos emberek. c) A kerek számok. d) A kis törtek. e) Az 1-nél kisebb pozitív törtek. 2. K1 Írjuk fel, hogy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazok! A = {a pozitív egyjegyű páros számok}; B = {a nem 0 páros számjegyek}; C = {a páros számjegyek}; D = {0, 2, 4, 6, 8}; E = {2, 4, 6, 8}; F = {2 egyjegyű többszörösei}. 3. K1 a) Adjuk meg elemei felsorolásával a következő halmazokat! A: a 3-nál nagyobb, 10-nél nem nagyobb egész számok; B: a 0 többszörösei; C: 2 egyjegyű pozitív többszörösei; D: 30 pozitív osztói; E: a 18 és a 30 legkisebb közös többszöröse. b) Szemléltessük a fenti halmazokat kétféle módon! 4. K1 Adjuk meg elemei egy közös tulajdonságával a következő halmazokat! A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; B = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, }; C = {3, 9, 27, 81, 243, 729, }; D = {0, 1}. 5. E1 Igazoljuk, hogy két racionális szám a) összege; b) külöbsége; c) szorzata; d) hányadosa (ha van) is racionális szám! 6. E2 Lehet-e egy racionális és egy irracionális szám a) összege; b) külöbsége; c) szorzata; d) hányadosa racionális, illetve irracionális szám? 7. E2 Lehet-e két irracionális szám a) összege; b) külöbsége; c) szorzata; d) hányadosa racionális, illetve irracionális szám? További feladatok: Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I

10 14 I. HALMAZOK 2. Speciális halmazok, intervallumok SPECIÁLIS HALMAZOK Egy feladat megoldása során rendszerint megadjuk, hogy mely halmaz elemei között keressük a feladat megoldásait. Alaphalmaz Alaphalmaz Azt a halmazt, amelynek elemein vizsgálódunk, alaphalmaznak (vagy más néven univerzumnak) nevezzük. A feladathoz mindig hozzátartozik az alaphalmaza. Amennyiben ezt nem jelölik, akkor a legbővebb lehetséges halmazt kell az alaphalmaznak tekinteni. 1. példa Oldjuk meg az x 1 } feladatot a) a valós számok halmazán; b) a pozitív valós számok halmazán; c) az 5-nél nagyobb valós számok halmazán! Ha x 1 }, akkor x < 2 és x > 2 egyszerre teljesül, azaz 2 < x < 2. a) Az egész számok körében a megoldások halmaza: { 1; 0; 1}. b) A pozitív valós számok halmazán a megoldások halmaza a ]0; 2[ intervallum. c) Az 5-nél nagyobb számok körében a feladatnak nincsen megoldása, a megoldások halmaza üres. Ugyanannak a feladatnak különböző alaphalmazon különböző megoldása lehet. halmaz halmaz Azt a halmazt, amely egy feladat megoldásaiból áll, a feladat megoldáshalmazának nevezzük. Üres halmaz jelölése: 4 vagy { }. Üres halmaz Az üres halmaz olyan halmaz, amelynek nincsen egyetlen eleme sem. Jelölése: 4 vagy { }. Említettük, hogy két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemei. Így hát hiába írjuk fel többféleképpen az üres halmazt, az csak az üres halmaz. Vagyis egyetlen üres halmaz van. Részhalmaz Valódi részhalmaz Nem valódi részhalmaz Részhalmaz Egy A halmaznak részhalmaza minden olyan B halmaz, amelynek minden eleme az A-ban is benne van. Azt, hogy a B halmaz az A halmaz részhalmaza, így jelöljük: B 3 A vagy A 4 B. Ha B 3 A, de a két halmaz nem egyenlő és B nem üres halmaz, akkor azt mondjuk, hogy a B valódi részhalmaza A-nak, illetve az A 4 B tartalmazás valódi. A halmaznak B halmaz nem valódi részhalmaza, ha B = A vagy B üres halmaz.

11 _Metematika9_1_ :51 Page 15 I. HALMAZOK Eszerint az A részhalmazaiban nincs olyan elem, amely ne lenne az A-ban. Azok a halmazok, amelyekben van olyan elem, amely nincs az A-ban, nem részhalmazai az A-nak. Ha B részhalmaza az A-nak, azt úgy is mondhatjuk, hogy A tartalmazza a B-t. (13.a és 13.b ábrák) Ha mindeközben A B, akkor B valódi részhalmaza A-nak, a tartalmazás is valódi a A B B részhalmaza A-nak 13.b A B B nem részhalmaza A-nak 2. példa Legyen az A halmaz az {1, 2, 3} halmaz! Melyek részhalmazai az A halmaznak az alábbiak közül? B = {1, 3}, C = {4, 6}, D = {1, 3, 4, 6}, E = {1, 2, 3}, F = { }, G = {0, 1, 2, 3, 4}. A B halmaz minden eleme az A-nak is eleme, ezért részhalmaza A-nak. A C halmaz elemei nincsenek az A-ban, ezért C nem részhalmaza A-nak. A D halmazban vannak olyan elemek, amelyek A-ban vannak, de nem mind ilyen. Ezért a D nem részhalmaza A-nak. Az E halmaz minden eleme az A halmazban van, tehát részhalmaza az A-nak. Az E halmaz egyenlő az A halmazzal. Az F halmazban nem található olyan elem, amely nincs benne az A-ban. Vagyis az F halmaz részhalmaza A-nak. A G halmaz nem részhalmaza az A halmaznak, mert van olyan eleme, amely A-nak nem eleme. Figyeljük meg, hogy minden halmaz részhalmaza saját magának. Az is könnyen belátható, hogy az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. 3. példa Keressük meg az egész számoknak azt a részhalmazát, amelynek elemeire teljesül, hogy egyszerre párosak és páratlanok! Mivel minden egész szám vagy páros, vagy páratlan (de nem mindkettő), ilyen egész szám nincs. Az a halmaz, amelynek nincs eleme, az üres halmaz. Tehát azon egész számok halmaza, amelyek egyszerre párosak és páratlanok, az üres halmaz. 9. ÉV FOLYA M

12 16 I. HALMAZOK INTERVALLUMOK Az intervallumok is halmazokat jelölnek. Ezeket azonban olyan gyakran használjuk, hogy speciális jelöléseket alkalmazunk rájuk. Intervallum Nyílt intervallum Balról zárt, jobbról nyílt intervallum Balról nyílt, jobbról zárt intervallum Zárt intervallum Intervallum A valós számoknak egy részhalmazát intervallumnak nevezzük, az alábbiak szerint: Ha a < x < b, akkor jelölése ]a; b[, elnevezése: nyílt intervallum. Ha a # x < b, akkor jelölése [a; b[, elnevezése: balról zárt, jobbról nyílt intervallum. Ha a < x # b, akkor jelölése ]a; b], elnevezése: balról nyílt, jobbról zárt intervallum. Ha a # x # b, akkor jelölése [a; b], elnevezése: zárt intervallum. Megjegyzés: Azt is intervallumnak nevezzük, ha egy a valós számnál kisebb; kisebb vagy egyenlő; nagyobb; nagyobb vagy egyenlő valós számokat vesszük bele egy halmazba. A 3 nem szám. A végtelen jele: 3. Ez nem szám, hanem egy jel. Azt jelenti, hogy minden valós számnál nagyobb. A 3 a mínusz végtelen jele, a 3 ellentettje. Minden valós számnál kisebb. Ez sem szám. Sem a 3, sem a 3 nincs rajta a számegyenesen. 4. példa Jelöljük és szemléltessük számegyenesen a következő halmazokat: a) A = {x 2 < x < 3, x valós szám}; c) C = {x 2 < x # 3, x valós szám}; b) B = {x 2 # x < 3, x valós szám}; d) D = {x 2 # x # 3, x valós szám}! a) Az A halmaz a 2 és a 3 közötti számok halmaza, de a 2 és a 3 nem tartozik hozzá. (Ilyenkor azt mondjuk, hogy az A intervallum nyílt.) Jelölése: A = ] 2; 3[. Szemléltetése (14. ábra): 14. b) A B halmaz is a 2 és a 3 közötti számok halmaza, a 2 hozzátartozik, de a 3 nem. (Ezt úgy mondjuk, hogy a B intervallum balról zárt, jobbról nyílt.) Jelölése: B = [ 2; 3[. Szemléltetése (15. ábra): 15. c) C is a 2 és a 3 közötti számok halmaza. A 3 hozzátartozik, de a 2 nem. (Azt mondjuk, hogy a C intervallum balról nyílt, jobbról zárt.) Jelölése: C = ] 2; 3]. Szemléltetése (16. ábra): 16.

13 I. HALMAZOK d) A D is a 2 és a 3 közötti számok halmaza, beleértve a 2-t és a 3-at is. (Azt mondjuk, hogy a D intervallum zárt.) Jelölése: D = [ 2; 3]. Szemléltetése (17. ábra): Az egyik oldalról zárt, másik oldalról nyílt intervallumokat szokás félig zárt vagy félig nyílt intervallumoknak is nevezni. 5. példa Szemléltessük a számegyenesen a következő intervallumokat! a) A = {x x < 3, x valós szám}; b) B = {x x # 3, x valós szám}; c) C = {x x > 2, x valós szám}; d) D = {x x $ 2, x valós szám}. a) Az A halmaz a 3-nál kisebb valós számok halmaza. Jelölése: ] 3; 3[. Szemléltetve (18. ábra): 18. b) A B halmaz a 3-nál kisebb vagy azzal egyenlő valós számok halmaza. Jelölése: ] 3; 3]. Szemléltetve (19. ábra): 19. c) A C halmaz a 2-nél nagyobb valós számok halmazát jelenti. Jelölése: ] 2; 3[. Szemléltetve (20. ábra): 20. d) A D halmaz a 2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő valós számok halmazát jelenti. Jelölése: [ 2; 3[. Szemléltetve (21. ábra): 21.

14 18 I. HALMAZOK Feladatok 1. K1 Ábrázoljuk számegyenesen a következő intervallumokat! a) ] 10; 6]; b) ] 3; 10[; c) ] 3; 5]; d) ]4,5; 3[; e) [ 2,25; 7,5]; f) ] 6; 3[. 2. K1 Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számok; B) az egész számok; C) a nemnegatív valós számok halmaza! a) x < 10; b) x > 5; c) x $ 3; d) 2x < E1 Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz. A megoldáshalmazokat írjuk olyan sorrendben, hogy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) x 2 > 5; b) x 10 $ 15; c) x < 10; d) 25 < x; e) x K2 Írjuk fel az ábrával adott intervallumokat, illetve azt a halmazt, amely azon elemekből áll, amelyek nincsenek az adott halmazban! (22. ábra) További feladatok: Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I , a) b) c) d) e) x x x x x 3. Halmazok uniója, metszete 23. Az általános iskolában már megismerkedtünk a halmazokkal, a halmazok közötti egyszerűbb műveletekkel. Most az ezen a téren szerzett ismereteinket fogjuk gazdagítani, elmélyíteni. Mint később látni fogjuk, e műveletek biztos ismerete és alkalmazása sokat segít majd nekünk a későbbi algebrai, függvénytani vagy éppen geometriai tanulmányaink során. A halmazok szemléltetésével, a műveletek alkalmazásával bizonyos nehéznek tűnő logikai feladatok is jóval egyszerűbbé, kezelhetővé válnak. Halmazok uniója Az unió jele: U. Két halmaz uniója (egyesítése) Két halmaz uniója (vagy más néven egyesítése) az a halmaz, amelynek az elemei mindazok az elemek, amelyek az A halmaznak vagy a B halmaznak az elemei. Az unió jele:,. (23. ábra) Tehát az A, B halmaz tartalmazza mindazokat az elemeket, melyek vagy az A, vagy a B halmazba beletartoztak (így természetesen azokat az elemeket is, melyek mindkét halmazba beletartoznak).

15 Ha például az A halmaz a 10-nél nem nagyobb pozitív páros számok halmaza, a B halmaz pedig a 20-nál nem nagyobb pozitív 3-mal osztható számok halmaza, akkor az A, B halmaz elemei: A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, A, B = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18}. A fenti definícióból egyenesen következnek az unióképzés mint művelet tulajdonságai. I. HALMAZOK 19 Az unióképzés kommutatív (felcserélhető) művelet: A, B = B, A. Az unióképzés asszociatív (csoportosítható) művelet: A, (B, C) = (A, B), C. A, B = B, A A, (B, C) = (A, B), C Nyilvánvaló, hogy bármely A halmaz esetében A, A = A, továbbá, ha B 3 A, akkor A, B = A. Mivel az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, így ebből az is következik, hogy A, Q = A. Két halmaz metszete (közös része) Az A és B halmaz metszete (más néven közös része) az a halmaz, amelynek az elemei mindazok az elemek, amelyek az A halmaznak és a B halmaznak is elemei. A metszet jele: +. (24. ábra) Az A + B halmaz tehát olyan halmaz, melynek elemei az A halmazba is és a B halmazba is beletartoznak. Ha például az A halmaz a 10-nél nem nagyobb pozitív páros számok halmaza, a B halmaz pedig a 20-nál nem nagyobb pozitív 3-mal osztható számok halmaza, akkor az A + B halmaznak egyetlen eleme van: A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, A + B = {6}. Az unióképzéshez hasonlóan: A metszetképzés kommutatív művelet: A + B = B + A. A metszetképzés asszociatív művelet: A + (B + C) = (A + B) + C. 24. A metszet jele: + A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C 25. Bármely A halmaz esetében A + A = A. Ha valamely B halmazra B 3 A, akkor A + B = B. Ebből az is következik, hogy A + Q = Q. Kimutathatók az alábbi halmazazonosságok. A B Az unió a metszetre nézve disztributív művelet, azaz A, (B + C) = (A, B) + (A, C). (25. ábra) A metszet az unióra nézve disztributív, azaz A + (B, C) = (A + B), (A + C). (26. ábra) A műveletek alkalmazására nézzünk néhány kidolgozott példát! A, (B + C) = (A, B) + (A, C) 26. C 1. példa Adottak az A, B, C halmazok: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {1, 3, 6, 9, 10}. Határozzuk meg az (A + B), C halmaz elemeit! A B Az A + B halmaz elemei: A + B = {2, 4}. Így az (A + B), C halmaz elemei: (A + B), C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 10}. C A + (B, C) = (A + B), (A + C)

16 20 I. HALMAZOK 2. példa Legyen A halmaz azon x valós számoknak a halmaza, melyekre 2 # x # 4, a B halmaz azoknak az x valós számoknak a halmaza, melyekre x $ 1, végül a C halmaz azon x valós számoknak a halmaza, melyekre x < 3. Határozzuk meg az A + B + C halmaz elemeit! Érdemes mindhárom halmazt egy számegyenesen szemléltetni, majd onnan leolvasni a három halmaz közös részét. (27. ábra) A B C Az ábra alapján A + B + C = { 2 # x # 1 vagy 1 # x < 3}. 3. példa Legyen A halmaz a 24 pozitív osztóinak a halmaza, B halmaz a 32 pozitív osztóinak a halmaza, C halmaz pedig a 36 pozitív osztóinak a halmaza. Készítsünk halmazábrát, és határozzuk meg az (A, C ) + B halmaz elemeit! Az (A, C ) + B halmaz elemei: (A, C ) + B = {1, 2, 4, 8}. (28. ábra) Feladatok 1. K1 Egy sporttagozatos osztály létszáma 24 fő. Az osztályban mindenki atletizál vagy kosárlabdázik. 16-an atletizálnak, 14-en kosaraznak. Hány olyan tanuló van az osztályban, aki csak kosarazik? 2. K1 Egy osztály minden tanulója elment a tanév három iskolai koncertjének valamelyikére. Az első koncerten 12-en voltak, a második koncerten ugyancsak 12-en vettek részt, a harmadik koncerten pedig 13-an. Mindhárom koncerten 3 diák vett részt. Azok száma, akik csak egy koncerten voltak: 14. Mennyi az osztálylétszám? 3. K2 Legyen A halmaz a 2-vel, B halmaz a 3-mal, C halmaz a 4-gyel osztható számok halmaza. Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számokat: 0, 4, 6, 8, 12, 15, 18, 27, 162, 300! 4. E1 Adjunk meg 5 halmazt úgy, hogy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üres halmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen! 5. K2 Egy zeneiskola egyik évfolyamának 56 diákja hegedülni, zongorázni vagy csellózni tanul. (Mindenki játszik valamelyik hangszeren.) Azok száma, akik pontosan két hangszeren játszanak, négyszer, akik pedig pontosan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azok száma, akik mindhárom hangszeren játszanak. Hányan vannak azok, akik csak egy hangszeren játszanak? 6. E1 Az iskolai túraszakosztály mind a 42 tagja részt vett az idei három túra valamelyikén. A második kiránduláson 1-gyel, a harmadikon pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn. Azok száma, akik két túrán vettek részt, 3-szor, akik pedig egy túrán vettek részt, 10-szer annyi, mint azok száma, akik mindhárom túrán részt vettek. Hányan vettek részt az első, a második, illetve a harmadik kiránduláson?