Kvantitatív problémamegoldás Minkowski-diagramon

Átírás

1 Kvantitatív problémamegoldás Minkowski-diagramon Nagy Péter fizikus fıiskolai docens Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék A speciális relativitáselmélet (a józan ész számára sokszor oly furcsa) alapfogalmainak és alapjelenségeinek megértését jelentısen segíti a Minkowski-diagramok készítése hiszen a szemléltetés (kvalitatív) lehetıségét adják. A Minkowski-diagramban történı kvantitatív problémamegoldást azonban nagymértékben nehezíti a téridı hiperbolikus geometriájából eredı mérték-torzulás: a mozgó vonatkoztatási rendszer koordináta-tengelyeinek léptékét egy hiperbola jelöli ki így sajnos számszerő információt szolgáltató rajz elkészítése nem nyilvánvaló. Jelen dolgozat megmutatja hogy a Minkowski-geometria és az Euklidészigeometria invariáns skalárjainak összeegyeztetésével származtatható egy skálafaktor amely zárt alakban megadja a lépték torzulását így a szerkesztések vonalzóval is könnyen elvégezhetık.. Bevezetés A speciális relativitáselmélet alapvetı összefüggései matematikailag igen egyszerőek. Például egy tetszıleges esemény különbözı vonatkoztatási rendszerekben megfigyelhetı térés idı-koordinátáit összekapcsoló ún. (egydimenziós) Lorentz-transzformáció: x = γ x β ( ct) (.) ct = γ β x + ( ct ) illetve az inverz Lorentz-transzformáció: x = γ x ( ct ) + β (.) ct = γ x + ( ct ) β ahol: γ = β és v β =. (.3) c A Lorentz-transzformációból levezethetı további összefüggések (mint például a sebességösszeadódás törvénye a hosszkontrakció az idı-dilatáció és a Doppler-effektus stb.) sem bonyolultak de hétköznapi szemléletünktıl idegenek nehezen érthetık. Mint sok más esetben itt is igaz hogy a szemléltetés megkönnyítheti a megértést és ezáltal a problémamegoldást is. E célra a relativitáselméletben az ún. Minkowski-diagramot használjuk amely egy ábrán jelenít meg két (vagy több) vonatkoztatási rendszert így az anyagi világ eseményeihez rendelhetı fizikai tulajdonságok különbözı vonatkoztatási rendszerekben mérhetı értékeit egyszerő (a megfelelı koordináta-tengelyre való) vetítésekkel olvashatjuk le. A téridı hiperbolikus geometriájából eredıen azonban a

2 választott nyugalmi rendszerhez képest mozgó további vonatkoztatási rendszerek koordinátatengelyei az ábrán torzulnak: mind a szögek mind a léptékek megváltoznak. A tengelyek felvétele a relatív sebesség illetve egy tetszıleges esemény mindkét vonatkoztatási rendszerben mért adatainak ismeretében könnyen elvégezhetı (lásd a kidolgozott mintapéldát a 3. részben). Gondot jelent azonban a tengelyek léptékeinek kalibrálása. Az alábbi idézet (az egyik legjobb relativitáselmélet tankönyvnek tekinthetı) [] könyvbıl származik: Kalibráljuk a K vonatkoztatási rendszer tengelyeit! Rajzoljuk meg a t x = hiperbolát. Azon a helyen ahol a hiperbola metszi a K rendszer t-tengelyét (ahol x=0) t= m. De a t x mennyiség invariáns ezért ugyanekkor t x =. Így azon a helyen ahol a hiperbola metszi a K vonatkoztatási rendszer t -tengelyét (ahol x = 0 ) ott t = m tehát megkaptuk a K vonatkoztatási rendszer léptékét. Mindez igen világos a kérdés csupán az hogy miként rajzoljuk meg azt a bizonyos hiperbolát pontosan?! Továbbgondolva a dolgot a válasz persze az hogy valójában nem rajzoljuk meg a hiperbolát a fenti megfogalmazás csak egy lehetséges definíciót ad a léptékre vonatkozóan. Ezek után viszont a didaktikus lépés az lenne hogy egyszerő és gyakorlati utasítást adjunk a skálázás manuális elkészítésére. Furcsa hogy ezen a problémán a tankönyvek átsiklanak pedig e nélkül a pontos rajz nem készíthetı el s így a Minkowskidiagram kvantitatív információk kinyerésére alkalmatlan. Több mint egy tucat tankönyvet jegyzetet valamint több száz (a Google keresı által Minkowski-diagram kulcsszóra talált) internetes anyagot átböngészve sem leltem erre vonatkozó konkrét javaslatot. Nyilvánvaló pedig hogy a K vonatkoztatási rendszer tengelyeinek léptéke a relatív sebesség által meghatározott tehát léteznie kell egy a továbbiakban η -val jelölt skálafaktornak amely megadja hogy a nyugalmi rendszer léptékéhez képest hányszorosára kell nyújtanunk az új η β. Végül Hraskó Péter tengelyek léptékét és hogy ez csak a relatív sebesség függvénye: ( ) nagyszerő új könyvében [3] találtam egy feladatot amely erre vonatkozott de a Minkowskidiagramon való problémamegoldást ı sem vitte tovább.. A skálafaktor meghatározása Készítsük el egy egydimenziós mozgás Minkowski-diagramját a szokásos módon: a K vonatkoztatási rendszer vízszintes tengelyén az idıt (pontosabban a c t mennyiséget) a függıleges tengelyén pedig a távolságot (az x mennyiséget) vesszük fel; a két tengely léptékét válasszuk azonosnak (lásd. ábra). Keressük meg most az ábránkon a K vonatkoztatási rendszer x -tengelyét. Ezt könnyen megtehetjük ha észrevesszük hogy az x -tengely nem más mint a t = 0 pontok mértani helye tehát az (.) Lorentz-transzformáció második összefüggése alapján az x = ( ct ) β egyenletre jutunk amely a diagrammunkon egy tan ϑ = β meredekségő egyenest jelöl ki (most az általánosság megszorítása nélkül a két vonatkoztatási rendszer origóját azonosnak vesszük fel a 3. részben tárgyalt példában bemutatjuk hogy miként kell dolgozni ha a két origó nem esik egybe). Jegyezzük meg hogy a legutóbbi összefüggésünkbıl következik hogy: sinϑ = + β. (.)

3 . ábra Az a kérdés hogy milyen kapcsolat van a vesszıtlen tengelyek U léptéke és vesszıs tengelyek U léptéke között a Minkowski-diagramon. (Szemléltetésül az. ábrán megrajzoltuk a hiperbolát de a levezetésben nem támaszkodunk rá.) Vegyünk fel az x ' - tengelyen egy tetszıleges L ' ( t ' = 0 ) szakaszt majd tekintsük ezen szakasz x -tengelyre vetített L hosszát. A két vonatkoztatási rendszerben mérhetı hosszadatok: L x = U. (.) L ' x ' = U ' A hosszadatok között az (.) elsı összefüggése teremt kapcsolatot: x = γ x ' (mivel t ' = 0 ). (.3) Olvassuk még le az ábráról azt az egyszerő trigonometriai kapcsolatot hogy: L = L 'sinϑ. (.4) A (.) (.3) és (.4) felhasználásával: L L L' = x = γ x' = γ = γ sinϑ U U ' U ' azaz: γ U ' = U = η U sinϑ ahol (.3) és (.) felhasználásával a keresett skálafaktor: γ + β η = = sin ϑ β. (.5) Ez utóbbi eredményünk azt az egyszerő és praktikus utasítást jelenti a Minkowskidiagram készítıje számára hogy a K vonatkoztatási rendszer tengelyein a K rendszer tengelyein használt lépték η -szorosát kell felvenni így minden további szerkesztés számszerően pontos eredményeket szolgáltat! 3

4 . megjegyzés: a skálafaktort természetesen levezethetjük a hiperbola és a tengely metszetére vonatkozó definíció alapján koordináta-geometriai számolással de didaktikusabbnak tőnik a fenti út amely a Lorentz-transzformációból indul ki.. megjegyzés: a (.5) skálafaktort sokkal rövidebb (de sokkal kevésbé szemléletes) teoretikus úton is levezethetjük: a Minkowski-diagramon a lépték-torzulás tulajdonképpen annak a következménye hogy tér-idı hiperbolikus geometriáját erıszakoljuk bele a diagram euklidészi geometriájába így lényegileg a hiperbolikus geometria ( ) c t x metrikáját skálázzuk át az euklidészi ( ) c t + x metrikába azaz: η ( c t) x = ( c t) + x tehát: ( ) ( c t) ( x ) ( x ) ( v ) ( v ) c t + x + + c t c + β η = = = = x β. c t c 3. Egy kidolgozott példa Gondor városa fölött kétely és félelem csüngött. Uruk meghalt megégett Rohan királya ott feküdt holtan a Fellegvárban s a király aki eljött hozzájuk egy éjszaka reggelre elvonult hogy megvívjon a sötét és rettentı hatalommal azt pedig nincs erı nincs vitézség ami legyızhetné. (Tolkien) Napjaink egyik mozislágere Tolkien remekmívő meséje a Győrők Ura. A történet helyszíne Középfölde különös világ talán egyik legkülönösebb vonása melyet Tolkien nem említ lévén nyelvész és nem fizikus! hogy a fény terjedési sebessége mindössze 00 km/h. Trufa a történet egyik fıszereplıje csodálatos lovat kap Rohan (Lovasvég) királyától e táltos varázslatosan gyors: 75 km/h sebességgel (a fénysebesség háromnegyedével!) képes száguldani. A döntı csatában melyet a Győrő Szövetsége vívott meg a Sötét Úrral Minas Tirith falai alatt Trufa az álló Lidérc Király mellett elvágtatva tündekardjával levágja annak fejét (nevezzük ezt profán egyszerőséggel A eseménynek). (a) Rajzolja fel a Lidérc Királyhoz rögzített K vonatkoztatási rendszer Minkowski-diagramját úgy hogy mindkét tengelyen [00 km] = [45 mm] léptéket használ! Ábrázolja ezen a diagramon a vágtató Trufához rögzített K vonatkoztatási rendszer tengelyeit léptékhelyesen ha tudjuk hogy A esemény K (Lidérc Király) órája szerint 9 7 órakor K' (Trufa) órája szerint 00 pedig órakor történt! 85 (b) A Lidérc Király halála (A esemény) után nem sokkal Trufa órája szerint pontosan 09 órával összedılt legyen ez a B esemény Minas Morgul (a Győrőlidércek Tornya) amelynek K rendszerbeli helykoordinátája x B = -50 km. A Lidérc Király órája szerint mennyi idı telik el a Lidérc Király halála és a torony összeomlása között? (Számolással és szerkesztéssel is!) (c) Középfölde népe persze meg van gyızıdve arról hogy a Lidérc Király halála okozta Minas Morgul összeomlását. Önnek mi a véleménye errıl? 4

5 (d) A csatába igyekezvén Trufa kénytelen volt átvágtatni a Halottak Völgyén. Trufa saját óráját éppen a völgy bejáratánál indította amely szerint pontosan 0 perc alatt ért át a völgyön. Milyen hosszú valójában a Halottak Völgye? (Számolással és szerkesztéssel is!) (e) Milyen színőnek látta Trufa a Lidérc Király vérvörös színő pajzsát mikor felé vágtatott? (Számolással és szerkesztéssel is!) Megoldás (a) β 5 β = ; γ = = = 5 ; η = = = 89 ; L =89*45 mm 85 mm a 4 β 7 β 7 lépték. Tehát a K vonatkoztatási rendszer idı-tengelye β = 3 meredekségő és áthalad az 4 ( x 0; t 7 / 9) = = koordinátákkal adott A ponton (lásd a. ábrán). A K vonatkoztatási rendszer origóját abból az információból határozhatjuk meg hogy az ábrán felvett A pont x x 00 idıkoordinátája K szerint óra 85 tehát a már kiszámolt lépték birtokában az idıtengelyen 00 visszamérve a egységet (azaz A 85 - jelen esetben 00 millimétert) megkapjuk a keresett origót melyen keresztül pedig meghúzhatjuk az 4 β = 3 - Ezzel a Minkowski-diagramon pontosan ábrázoltuk a két vonatkoztatási rendszer tengelyeit. ábra készen állunk arra hogy tetszıleges információt leolvashassunk az ábránkról. (b) x = 50 km ; t ' = 09 óra ; A Lorentz-transzformáció (.) képlete szerint: v t ' = γ x + t amibıl: 0 óra c t =. Másrészt a Minkowski-diagramon (lásd a 3. ábrát) az x = 50 km (c t -tengellyel párhuzamos) egyenes és a t ' B = t ' A+ 09 óra ( x '-tengellyel párhuzamos) egyenes metszéspontjával adódó B pontot a c t -tengelyre vetítve A és B események K vonatkoztatási rendszerben mért idıkülönbségére (a c t -tengelyen megvastagított szakasz hossza 0mm ) 0mm t = óra = 0 óra adódik. 45mm B ct ct 5

6 (c) A Minkowski-diagramon jól látszik hogy az A és B eseményeket összekötı szakasz meredeksége abszolút értékben nagyobb egynél (kb. -5 értékő). Így a két esemény között nem lehet ok-okozati kapcsolat (mivel a fénysebességnél gyorsabb hatásnak vagy információnak kellene összekapcsolni a két eseményt melyet viszont a speciális relativitáselmélet nem enged meg) tehát csupán ezek alapján kijelenthetjük hogy a Lidérc Király halála semmiképpen sem okozhatta Minas Morgul pusztulását. f - 3. ábra (d) km Trufa vonatkoztatási rendszerében a megtett távolság: x ' = óra 75 = 5 km de ez 6 óra völgy valódi (K-beli nyugalmi) hosszánál kisebb mivel a hosszkontrakció jelensége szerint: x x ' = amibıl: x = 89 km. γ Másfelıl a Minkowski-diagramon a megoldás roppant egyszerő: a feladat megfogalmazása szerint felvéve a VE (Völgy Eleje) illetve VV (Völgy Vége) eseményeket (természetesen mindkét pont a c t ' -tengelyen van hiszen Trufa helyét jelölik a VE pont idıkoordinátája t ' = 0 a VV ponté pedig t = 0 perc = óra = 85 mm = 4 mm ) az intervallumot mm az x-tengelyre vetítve (a megvastagított szakasz) x = 85 mm = 00 km = 89 km 45 mm adódik. (e) A Doppler-effektus relativisztikus képlete szerint a hullámhossz (és vele azonosan a periódusidı) torzulása: VE β λ ' = λ = 0378λ így ha a vörös szín hullámhossza 700 nm akkor mintegy 80 nm + β értéket kapunk tehát kevéssel alatta van a látható tartománynak. Az ábráról ugyanezt az arányt például a következıképpen olvashatjuk le: tekintsük a K vonatkoztatási rendszerben a fény periódusidejét egységnyinek (ezt megtehetjük hiszen úgyis csak az arány érdekel bennünket). Vegyük fel az idı-tengelyen periódusidınyi távolságban két fényjel (az ábrán f és f pontozott egyenesek) világvonalát (ezek - meredekségőek hiszen Trufával szemben kell hogy haladjanak) és keressük meg ezek metszéspontját a K vonatkoztatási rendszer idı-tengelyével. A metszéspontok távolsága (a c t ' -tengelyen megvastagított szakasz) a K -ben mért periódusidı ami jelen esetben 3 mm mm = szerese az egységnek tehát ez a torzulás aránya. 6 VV x f - A x B t B = t A + 09h ct ct x B =-50 km

7 4. Gyakorló feladat Annak vizsgálatára hogy a Minkowski-diagram ismerete és használata hatékonyan segíti-e adott feladattípusok megoldását a diákok számára egy összehasonlító vizsgálatot végeztünk. Két hallgató csoport teljesítményét vetettük össze ugyanazon feladat(ok) megoldása során. Az A. csoport elsajátította a Minkowski-diagramok használatát míg a B. csoportnak nem tanítottuk ezt a módszert. Olyan (összetett) feladatot adtunk fel amely(ek) megoldhatók képletekkel is és csupán szerkesztéssel is. A feladat szövege: A Roxfort Boszorkány- és Varázslóképzı Szakiskola számunkra sok tekintetben különös világ. A számtalan egyéb furcsaság mellett a mi szempontunkból kiemelendı hogy az iskola területén például a fény terjedési sebessége csak 00 m/s. Most éppen kviddics-mérkızés zajlik a Griffendél-Mardekár rangadó. Madam Hooch a mérkızés játékvezetıje a kör alakú pálya középpontja felett lebeg amikor közvetlenül mellette (pont a lelátó tanári páholyának irányában) elhúz az aranycikesz (az egyik labda melynek elkapása 50 pontot ér) szorosan a nyomában Madam Hooch órája szerint csupán fél másodperc hátránnyal Harry Potter száguld csaknem lelökve a seprőjérıl szegény repüléstan tanárt. Madam Hooch szerint az aranycikesz sebessége 60 m/s míg Harry Potter Tőzvillám seprője a 80 m/s végsebességével halad így Harry hamarosan elkapta a cikeszt nevezzük ezt a továbbiakban A eseménynek. Legyen a Madam Hooch-hoz rögzített rendszer a K vonatkoztatási rendszer a Harry Potter-hez rögzített rendszer pedig a K' vonatkoztatási rendszer. Madam Hooch óráját indítsuk abban a pillanatban amikor az aranycikesz elhalad mellette Harry Potter óráját pedig a cikesz elkapásának pillanatától. (a) Az A esemény után kevéssel Harry órája szerint pontosan 5 másodperccel a tanári páholyban ülı Piton professzort megüti a guta (B esemény). Madam Hooch szerint a B esemény 50 méterrel távolabb történt hozzá képest mint az A esemény (tehát Harry még a tanári páholy elıtt 50 méterrel kapta el a cikeszt). Madam Hooch órája szerint mennyivel késıbb következett be B esemény mint A esemény? (b) Lehetséges-e hogy Piton professzort (aki köztudomásúlag ki nem állhatja Harry Pottert) azért ütötte meg a guta mert Harry elkapta az aranycikeszt? (c) Harry órája szerint a Tőzvillám seprőjén 5 másodperc alatt teszi meg a pálya középpontjától a pálya széléig az utat. Mekkora a kviddics-pálya sugara? (d) Mekkora az aranycikesz sebessége Harry szerint? A két csoport ponteredményeit (az (a) kérdés 6 pont értékő volt a (b) pont a (c) és a (d) kérdések szintén 6 pontot értek) az alábbi táblázat tartalmazza: A. csoport (84 hallgató) (Minkowski-diagram ismeretével) B. csoport (67 hallgató) (Minkowski-diagram ismerete nélkül) a (6) b () c (6) d (6) Σ (0) a (6) b () c (6) d (6) Σ (0) átlag szórás Mint minden statisztikai elemzés a fenti táblázat is értelmezhetı több féleképpen annyi talán mégis kijelenthetı hogy néhány kérdéstípus esetén a Minkowski-diagram használata szignifikáns segítséget adhat. 7

8 5. Összefoglalás A (.5) összefüggéssel adott skálafaktor meghatározása lehetıvé teszi bármilyen a speciális relativitáselmélet keretei között megválaszolható egydimenziós probléma pontos számszerő megoldását a Minkowski-diagramon való ábrázolással tulajdonképpen egyetlen további képlet ismerete nélkül csupán geometriai szerkesztéssel (az így elkészített Minkowski-diagram szerkezetébe bele van kódolva a Lorentz-transzformáció és ezen keresztül minden abból származtatható összefüggés). A kidolgozott példa során nem került bemutatásra de természetesen a sebesség-összeadódási probléma is kezelhetı (a mozgó objektum világvonalát az egyik vonatkoztatási rendszerben ábrázolva leolvassuk a meredekségét a másik vonatkoztatási rendszerben) illetve tetszıleges dinamikai probléma is (az idı-tengelynek az energia-tengelyt a távolság-tengelynek pedig az impulzus-tengelyt feleltetve meg). Mindez didaktikai szempontból kettıs haszonnal jár: egyfelıl megkönnyíti a speciális relativitáselmélet megértését másfelıl minden problémát két teljesen eltérı módon oldhatunk meg (képletekkel illetve szerkesztéssel) így az önmegerısítés (egy diák számára igen fontos) lehetıségét nyújtja. IRODALOM [] E. F. Taylor-J. A. Wheeler: Téridı-fizika (Gondolat Kiadó Budapest 974) [] Vermes Miklós: A relativisztikus távolságmérés (KÖMAL 973/.) [3] Hraskó Péter: Relativitáselmélet (TypoTex Budapest 00) 8