1. LEMEZHENGERLÉS FOLYAMATAINEK ELEMZÉSE

Átírás

1 LEMEZHENGERLÉS 1 1. LEMEZHENGERLÉS FOLYAMATAINEK ELEMZÉSE Hengerléskor a munkadarab két ellentétes irányban forgó henger között halad miközben kersztmetszete csökken és hosszúsága növekszik. F keresztül, b A D h v v k n v 1 A 1 hengerrés h 1 v k b 1 F 1.1 ábra Lemezhengerlés elrendezési sémája A kiinduló darabból a legtöbb esetben nem lehet egyetlen szúrással a kívánt méretű és alakú terméket előállítani. Ilyenkor a hengerlés több szúrással történik. A lemez és a henger geometriai viszonyaitól függően előállhat olyan eset, amikor a munkadarab szélessége a hengerlés során gyakorlatilag nem változik. b 2, b (1.1) l d b - a próbatest szélessége, ld - a nyomott ív hossza Ebben az esetben az alakváltozási folyamatokat sík alakváltozási állapotban lehet vizsgálni, ami azt jelenti, hogy a próbatest szélességirányú alakváltozása zérus Lemezhengerlés vizsgálata az energetikai módszerrel Az energetikai módszer alkalmazásakor a belső erők teljesítményét ( W bel ) a szakadófelületi ( szak W ) és a surlódő erők ( sur W ) teljesítményét, a külső kényszerek teljesítményét ( k W ) kell meghatározni. Fontos megjegyezni, hogy a munkadarab gyorsításából származó teljesítményét jelen esetben elhanyagoljuk.az elemzéshez szükséges, hogy a kinematikai peremfeltételeket és az összenyomhatatlanság feltételét kielégítő sebességmezőt használjunk az alakváltozás zónájában.a fenti feltételeket kielégitő sebességmezők közül a feladat megoldása minimalizálja az alábbi kifejezést.

2 LEMEZHENGERLÉS 2 J Wbel Wszak Wsur Wk (1.2) 1.2 ábra Lemezhengerlés sebességi viszonyai A v h sebességgel forgó hengerek közé a h vastagságú lemez v sebességgel érkezik és h 1 vastagsággal, valamint v 1 sebességgel távozik. Feltételezésünk szerint a hengerek közé belépő tengelyre merőleges keresztmetszetek merőlegesek maradnak az alakváltozás során, vagyis a sík keresztmetszetek síkok maradnak a teljes folyamat alatt. Ennel megfelelően az x tengelyirányú sebesség és alakváltozási sebesség a következő egyenlettel írható fel. v1 vx v1 dh vx x h1, xx h1 2 h x h dx Amennyiben kihasználjuk, hogy sík alakváltozási állapotban lévő, összenyomhatatlan testet vizsgálunk, felírható vy v1 dh xx yy yy xx vy x, y h1 y C 2 y h dx A fenti egyenletből látható, hogy a míg a v x sebesség az y koordinától független, a v y sebesség változik az y mentén valamely rögzített keresztmetszetnél.az integrálási állandót abból a feltételből lehet meghatatározni, hogy a munkadarab hengerrel érintkező pontjának v k sebességvektora a henger érintőjének az irányába mutat. Estünkben C=. Az henger és a munkadarab érinkező tartományában van egy olyan felületi pont illetve hozzákapcsolódó keresztmetszet (semleges pont illetve semleges keresztmetszet) amely két részre bontja az alakváltozási zónát, a visszamaradási és az előresietési tartományra. Ebben a pontban (keresztmetszetben) a henger és a munkadarab közötti relatív sebesség zérus. vx h1 v1 h1 v 1 h1 v1 vrel vh vh 1, vrel vh 1 1 cos h cos hn cos n hn cos n Az alakváltozási sebességtenzor vegyes tagja a sebességmező ismeretében az alábbi egyenlettel számítható ki. 1 v v x y xy 2 y x (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)

3 LEMEZHENGERLÉS 3 A fenti kifejezés első tagja zérus, a második tag az (1.4) egyenlet alapján határozható meg, és igy az alakváltozási sebesség 1 h h 2hh xy h1v 1y (1.7) 4 2 h 2 2 ahol h dh / dx, h d h / dx.a sebességmező és az alakváltozási sebességmező meghatározásához szükség van a hengerrés egyenletére, amely a következő alakban írható fel. 2 2 R x h h1 1 2R R ahol x ld x, R- a henger sugara. Amennyiben ismert a semleges keresztmetszet helyzetét jellemző x n koordináta, az (1.8) egyenlet alapján a h n résmagasság is ismert. A számítások elvégzéséhez szükség van még az és n szögekre, amit az alábbi egyenletek alapján lehet meghatározni a geometriai adatokból. h h h h cos 1, cos 1 2R 2R (1.8) 1 n 1 (1.9) Az alakváltozási sebességek ismeretében az egyenértékű alakváltozási sebesség és az alakváltozás mértéke a következő xx xy, dt, 3 t x dx v (1.1) Fontos aláhúzni, hogy az integrálást az anyagi pont pályája mentén kell végrehajtani. A fenti egyenletben a t az időt jelöli. Az áramvonal egyelete x h y y (1.11) h ahol y, h - a belépő keresztmetszetben kijelölt anyagi pont y koordinátája és a lemez kezdeti vastagsága. Az alakváltozás mértéke jól közelíthető a logaritmikus alakváltozással, 2 y ln 3 y (1.12) és a továbbiakban az anyag keményedésének kifejezésérere ezt a mennyiséget használjuk. Feltételezésünk szerint a folyamat elemzés egy adott pillanatában ismert a semleges keresztmetszet helyzete. Ekkor egyértelmű kapcsolat írható fel a hengersebesség és a lemez ki valamint a belépő sebessége között. h h v v v v n 1 1 hcos n, 1 (1.13) h1 h Az eddigi elemzések alapján megállapítható, ha ismert a semleges kereszmetszet helyének x n koordinátája a henger sebessége és a hengerlés elrendezésének geometriai adatai, a feladat sebességi viszonyai egyértelműen meghatározhatók. Az energetikai módszer alkalmazásával lehetőség van a ténylegesen ismeretlen x n koordináta kiszámítására. A szakirodalomban gyakran használt állandó alakítási szilárdsággal rendelkező anyag helyett figyelembe vesszük a keményedés hatását. A belső erők teljesítményét az alábbi kifejezés írja le.

4 LEMEZHENGERLÉS 4 h/2 W k dv 2b k dxdy ld (1.14) bel f f V x A k f alakítási szilárdság esetünkben a logaritmikus alakváltozástól függ, amelyet az anyagi pont pályájának pillanatnyi helyzete határoz meg, ez vonatkozik az egyenértékű alakváltozási sebességre is. Az y és az y változó közötti kapcsolatot az (1.11) egyenlet írja le. Ennek dy dy h / h, így a belső erők teljesítménye megfelelően ld h /2 h x W 2 b k x, y x, y dxdy bel (1.15) x f h A sebességmezőben a belépő keresztmetszetnél van szakadás. Az anyagi pontok ezen való áthaladása többlet teljesítményt igényel, ami a következő egyenlettel írható fel. W szak k f v da (1.16) A 3 szak A fenti egyenletben v a sebességmező szakadását jelöli, ami a szakadófelület érintőjének irányába mutat, k f a szakadófelelületen áthaldó anyagi pont átlagos alakítási szilárdsága, ami az alakváltozás növekedés miatt van. v (1.17) 3v n ahol v n - a szakadó felületen áthaladó anyagi pont normális irányú sebessége. Feladatunknál v v, v v. A szakadófelület átlagos alakítási szilárdsága az alábbi kifejezéssel n y x határozható meg. k f 1 k fd (1.18) Az (1.16) egyenletbe behelyettesítve az (1.17) és (1.18) egyenleteket a szakadófelületi nyírófeszültségek teljesítménye h /2 k f Wszak 2b vy dy (1.19) 3 x A henger és a lemez érintkező felületén (A surl ) ébredő surlódás hatásának legyőzésére a súrlódó feszültségek teljesítményt kell az alakításkor befektetni. k f W m v da 3 (1.2) surl rel surl Asurl ahol m-a surlódási tényező, amely a következő egyenlettel határozható meg. m 2 v arctan rel C m m,c- állandók. Az adott feladatnál a surlódó feszültségek teljesítménye (1.21)

5 LEMEZHENGERLÉS 5 l d k f Wsurl 2b m v 3 dx cos rel (1.22) Lemezhengerlésnél, a technológiai folyamat pontos megvalósítása, valamint a hengernyomás csökkentése érdekében a kilépő keresztmetszetre a mozgás irányába mutató ismert nagyságú x1 feszültség hat, mig a belépő keresztmetszetnél a mozgásirányával ellentétesen ható ismert nagyságú x feszültség hat. Az első esetben az adott külső kényszer teljesítménye W T v da bh v k1 1 1 x1 1 1 A1 Míg a belépő keresztmetszetnél fellépő külső kényszer teljesítménye W T v da bh v k 1 x A Összegezve az egyes teljesítmény tagokat, a következő kifejezést kapjuk bel szak sur k k1 (1.23) (1.24) J W W W W W (1.25) Mechanikailag igazolható, hogy a fenti kifejezés jobb oldalának minimális értéke mellett meghatározott kinematikailag lehetséges sebességmező, a feladat megoldását adja. Feladatunknál a J mennyiség - adott anyag és adott geometriai, sebességi és surlódási feltételek esetén - a semleges keresztmetszet helyétől (x n ) függ, és minimális értékét J*-gal jelöljük. A minimum meghatározására eljárást dolgoztunk ki. A minimum ismeretében a hengérlési erő és nyomaték a következő módon határozható meg. R R F J, M J (1.26) l v v d h A fentiekben ismertetett számítások elvégzésére Maple programot dolgoztunk ki, amely adott kiinduló adatok mellett a hengerlési erőt és nyomatékot határozza meg merevnek feltételezett henger esetén. Az alakváltozás mértékének kezelése az alábbiak szerint történik. Az alakváltozás zónája elött a vizsgált anyagi pont kezdeti alakváltozással rendelkezik. Ez adott esetben zérus is lehet. Az anyagi pont deformációs zónába történő belépésekor a szakadófelülen való áthaladáskor az (1.17) egyenlettel meghatározott alakváltozás történik, amelyhez hozzáadódik az (1.12) egyenlettel meghatározott mennyiség. Így az alakváltozás mértéke, amit a vizsgált pont pályája mentén lehet meghatározni a következő összefüggéssel határozható meg. 2 y xy, ln 3 y x h (1.27) A kilépő kereszmetszetnél a sebességmezőnek nincs szakadása, emiatt nincs járulékos alakváltozás növekedés az anyagi pont áthaladásakor Lemezhengerlés feszültségi vizsgálata Az előző fejezetrészben elvégzett elemzés alapján meghatároztuk sik alakváltozási állapothoz tartozó egyszerűsített sebességmezőt, a henger és a lemez közötti relatív sebességet, valamint az alakváltozás mértékét. A vizsgálat során alapvető hipotézis volt, hogy a kezdeti állapotban tengelyre merőleges sík keresztmetszetek síkok maradnak az alakváltozás során.

6 LEMEZHENGERLÉS 6 Az átlagfeszültség módszerét használjuk a feszültségek meghatározására. Az előző fejezethez képest annnyi változás történik, hogy az 1.2 ábra x tengelyét használjuk a továbbiakban x jelöléssel.az alakváltozási zónában kijelölt dx szélességű testre ható erők egyensúlyát írjuk fel a tengely és a tengelyre merőleges tartományban, elhanyagolva a lemezvastagság mentén a nyírófeszültségeket (1.3 ábra). Mivel a súrlódó feszültség előjelet vált a semleges pontban, ezért külön egyenletek írják le az erők egyensúlyát az előresietés és a visszamaradás tartományában. A tengelyirányú erők egyensúlya a visszamaradás tartományában: Fx xxh xxh d xxh 2 dacos 2pdAsin (1.28) 1.3 ábra Lemezhengerlés elrendezési sémája a feszültségek számitásához A tengelyirányú erő egyensúly az előresietés tartományában: Fx xxh xxh d xxh 2 dacos 2pdAsin (1.29) Figyelembe véve, hogy da 1 dx / cos, az x irányú feszültségi egyenlet a visszamaradás (-) és az előresietés (+) tartományában d xxh 2 ptan dx (1.3) A probléma megoldásához szükség van még egy egyensúlyi egyenletre. Először a visszamaradás tartományában vizsgáljuk az erők egyensúlyát az alábbi egyenlet alapján. F pdacos dasin dacos y p tan yy Az előresietés tartományában vizsgálva az erők egyensúlyát, az alábbi összefüggés adódik F pdacos dasin dacos y p tan yy yy yy (1.31) (1.32)

7 LEMEZHENGERLÉS 7 A feszültségek (,,, ) nem függetlenek egymástól, ezért további összefüggések írhatók xx yy p fel közöttük.a henger és a lemez felületén ébredő csusztató feszültség különböző surlódási törvényszerűségek alkalmazásával határozható meg. Coulomb surlódás esetén Kudó surlódás esetén p (1.33) k f m (1.34) 3 Mivel sík alakváltozási állapotról van szó, és a koordináta tengelyek irányába mutató normális feszültségekről feltételezzük, hogy főfeszültségek, ezért a folyási feltétel alkalmazásával még egy egyenlet írható fel xx yy kf yy xx kf (1.35) 3 3 A továbbiakban külön foglalkozunk a két súrlódási esettel. Először nézzük a Coulomb -féle surlódás esetét az előresietés tartományában. Az (1.3) egyenletbe helyettesítsük be az (1.32) és (1.33) és (1.35) egyenleteket. d dx 2 tan 2 d tan dx 3 h k h k C xx xx f xx xx f 1 A fenti egyenlet átrendezése után egy elsőrendű lineáris differenciál egyenletet kapunk. (1.36) dxx 1 2 C1 dxx xx tan C1 k f, xx f1 x f2 x (1.37) dx h 3 h dx A Kudo-féle surlódás esetén is vizsgáljuk az előresíetés tartományában. Ehhez felhasználjuk az (1.3), (1.32), (1.34) és (1.35)egyenleteket. d 2 kf kf xxh 2 xx k f m tan m dx Az átrendezés után a következő elsőrendű lineáris differenciál egyenlet adódik. (1.38) dxx tan 1 2 dxx xx k f tan 2 m, xxg1 x g2x (1.39) dx h h 3 dx Az m és surlódási tényezők relatív sebességfüggő alkalmazásakor az alakváltozás zónájában nem kell külön az előresietés és a hátramaradás tartományban a differenciál egyenletet megoldani, mivel a relatív sebesség előjel váltása a surlódó feszültség előjel váltását is bíztosítja. 2 dv 2 dv mm arctan, arctan C C (1.4) A számítások során az anyag keményedését figyelembe vettük, ehhez az (1.26) egyenlettel megadott alakváltozást használtuk. Az (1.37) és az (1.39) egyenletek numerikus megoldása során figyelembe vettük a peremfeltételeket, ami szerint az 1. xx x xx 1, x xx xl d A peremfeltételek teljesülése esetén kiadódik a neutrális keresztmetszet helye x n. Ennek ismeretében kiszámitható a p nyomás és a surlódó feszültség. A nyomás és a súrlódó feszültség eloszlás ismeretében a hengerlés erő és nyomatékigénye egységnyi szélességű lemezre vonatkoztatva az alábbi egyenletekkel határozható meg.

8 LEMEZHENGERLÉS 8 l l l l d d d d cos sin F p dx dx pdx tan dx cos cos (1.41) dx M R d R cos l d (1.42) A hengerlési erő hatására a rugalmas henger változtatja méretét és egyszerűsített feltételezés szerint egy megváltozott méretű, de szintén kör alakű henger jön létre, amelynek Rsugara a következő egyenlettel határozható meg: F R R 1 E bh (1.43) ahol F-hengerési erő, E-rugalmassági modulusz,v-poisson szám, b-lemezszélesség, h - magasságcsökkenés. Az első számítás után a következő számítást a modosított hengersugárral végeztük el, majd ezt a folyamatot addig ismételtük, amig az egymást követő lépéseknél az erőváltozás egy megadott korláton belül esett. Az anyag a TÁMOP B-1/2/KONV-21-1 projekt keretében készült.

9 LEMEZHENGERLÉS 9 Mellékletek 1. Az 1.1 ponthoz tartozó Maple program restart;with(curvefitting): with(plots): fajlagos_teljesitmenyek:=proc(r,h,h1,y,vh,xn,ld,m,c1,x,eps_,sig_,sig_1) local xv,xv_n,h_v,exx,eyy,y,dh,cos_alf_n,h_n,q,f,vy_h,v_k,eps_h1,dv h,d_eps_h,ep s_h,m; global vx,vy,exy,eps,ep,dv_,v,cos_alf,w_belso,w_szak,p,p1,p2,n,munka,d_eps,v1,kf,kf_szak,w_sur,kf_k,dv,h,wk,wk1; P:=128: P1:=234: P2:=1: f:=p+p1*(1-exp(-p2*(s+eps_))):#f:=p+p1*s^n: munka:=int(f,s=..s): xv:=ld-x;dh:=h-h1:xv_n:=ld-xn: h_n:=h1+(1-sqrt(r^2-xv_n^2)/r)*2*r; cos_alf_n:=1-(h_n-h1)/(2*r): cos_alf:=1-(h-h1)/(2*r): v1:=vh*cos_alf_n*h_n/h1:v:=v1*h1/h: h:=h1+(1-sqrt(r^2-xv^2)/r)*2*r: h_v:=diff(h,x): y:=h/h*y: vx:=h1*v1/h: vy:=h1*v1/h^2*h_v*y: vy_h:=subs(y=h/2,vy): v_k:=sqrt(vy_h^2+vx^2): dv:=v_k-vh: exx:=diff(vx,x): eyy:=-exx: exy:=1/2*diff(vy,x): dv_:=abs(subs(x=,vy)): d_eps:=abs(dv_/v)/sqrt(3): ep:=2/sqrt(3)*sqrt(exx^2+exy^2): eps:=2/sqrt(3)*ln(y/y)+d_eps: eps_h1:=subs(y=h/2,2/sqrt(3)*ln(y/y)): dv h:=abs(subs(x=,vy_h)): d_eps_h:=abs(dv_/v)/sqrt(3): eps_h:=eps_h1+dv h: kf_k:=subs(s=eps_h,f): kf:=subs(s=eps,f):#p+p1*(1-exp(-p2*eps)): w_belso:=kf*ep: kf_szak:=subs(s=d_eps,munka/d_eps): m:=m*2/pi*arctan(dv/c1): w_szak:=kf_szak/sqrt(3)*dv_: w_sur:=subs(y=h/2,m*kf_k/sqrt(3)*dv/cos_alf): Wk:=sig_*h*v: Wk1:=sig_1*h1*v1: end proc: SZAMITASOK B:=1:mm:=.1:R_heng:=15:h_:=.9:h_1:=.75:v_heng:=1:d_h:=h_- h_1:l_d:=sqrt(r_heng*d_h+(d_h/2)^2);ns:=2:c1:=v_heng/1: for i from 1 by 1 to ns do par:=(1/ns)*i: x_n:=par*l_d:xn(i):=x_n: fajlagos_teljesitmenyek(r_heng,h_,h_1,y_,v_heng,x_n,l_d,mm,c1,x,,,):

10 LEMEZHENGERLÉS 1 W_szak:=2*B*evalf(Int(w_szak,y_=..h_/2)):W_belso:=2*B*evalf(Int(h/h_*w_be lso,y_=..h_/2,x=..l_d,method = _Gquad)):W_sur:=2*B*evalf(Int(w_sur,x=..l_d,method = _Gquad)): WW(i):=W_szak+W_belso+W_sur+Wk-Wk1; end do: W_m:=min(WW(1),WW(2),WW(3),WW(4),WW(5),WW(6),WW(7),WW(8),WW(9),WW(1),WW(11), WW(12),WW(13),WW(14),WW(15),WW(16),WW(17),WW(18),WW(19),WW(2)); for i from 1 by 1 to ns do #print(i_=i,xn_=xn(i),ww_=ww(i)/w_m): if (WW(i)/W_m)=1 then a:=i end if: end do: print(min_i=a,par_=par*1/ns*a);force:=w_m*r_heng/(l_d*v_heng); Torque:=W_m*R_heng/v_heng; 2.Az 1.2 ponthoz tartozó Maple program merev henger esetén restart; with(linalg): with(plots): with(detools): Függvénykönyvtárak betöltése flow_stress:=proc(eps,eps) local C1,C2,n: C1:=15:C2:=234:n:=.251: C1*(1+C2*(eps+eps))^n end proc: friction_factor:=proc(mm,t,tn,tk,rr,cc,vhh) local dv,q,qn; dv:=vhh*(qn*tn/t-q): q:=1-(t-tk)/(2*rr):qn:=1-(tn-tk)/(2*rr): -mm*2/pi*arctan(dv/cc): end proc: # INPUT t_ki:=.75: # lemezvastagsag kilepesnel [mm]: t_be:=.9: # lemezvastagsag belepesnel [mm]: C:=vh/2: vh:=1: # hengersebesség [mm/sec]: R:=15: # hengersugár [mm]: m:=.5: # friction factor sigh_be:=: # elofeszites belepesnel [MPa] sigh_ki:=: # elofeszites kilepesnel [MPa] eps_:=: # kezdeti alakváltozás eps:=.1:

11 LEMEZHENGERLÉS 11 ff:=1: t1:=t_ki: t2:=t_be: for i from 1 by 1 while ff eps do tn:=(t1+t2)/2: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be: perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plot-m*kf/sqrt(3)*q1: tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): ss:=sigma1_be(.): sigma_ki_szam:=op(2,op(2,ss)): if sigma_ki_szam<=sigh_ki then t1:=tn: else t2:=tn end if; #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): ff:=abs(sigh_ki-sigma_ki_szam): end do: print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): i_ 14, tn_ , ff_ xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*rt_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be:perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plotm*kf/sqrt(3)*q1:tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): display({odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]),plot(

12 LEMEZHENGERLÉS 12 p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]),plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]),plot(1*phi,x=..xb,thickness=1,color=blue, legend=["1*strain"]),plot(kf,x=..xb,thickness=1,color=black, legend=["kf"])}); ero és nyomaték szamitas patl:=evalf(int(p,x=..xb,method =_Gquad))/(xb):print(xb_=xb,"mm"); xb_ , "mm" M1:=2*R*evalf(Int(tau/q,x=..xb,method =_Gquad)):Fb:=evalf(Int(p,x=..xb,method =_Gquad)):Ft:=evalf(Int(tau*q1,x=..xb,method =_Gquad)): S:=tn/t_ki*(1-(tn-t_ki)/(2*R))-1:F:=Fb+Ft: Strain:=evalf(2/sqrt(3)*ln(t_be/t_ki)): print(slip_=s, Force_=F,"MPa/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain);

13 LEMEZHENGERLÉS 13 Slip_ , Force_ , "MPa/mm", Torgue_ , "Nm/mm", Strain_ Az 1.2 ponthoz tartozó Maple program rugalmas henger esetén restart; with(plots): with(detools): Függvénykönyvtárak betöltése Függvénykönyvtárak betöltése flow_stress:=proc(eps,eps) local C1,C2,n: C1:=15:C2:=234:n:=.251: C1*(1+C2*(eps+eps))^n end proc: friction_factor:=proc(mm,t,tn,tk,rr,cc,vhh) local dv,q_,qn_; dv:=vhh*(qn_*tn/t-q_): q_:=1-(t-tk)/(2*rr):qn_:=1-(tn-tk)/(2*rr): -mm*2/pi*arctan(dv/cc): end proc: szamolas:=proc(t_ki,t_be,vh,r,m,sigh_be,sigh_ki,c,eps_,c1,c2,n ) local eps,ff,t1,t2,xn,xb,q,q1,i,t,m,ab1,phi,kf,de,perem_be,perem_ki,si gma_be_plot,p,tau,sigma_ki_szam,sigma1_be,ss,x:global tn: eps:=.1: ff:=1: t1:=t_ki: t2:=t_be: for i from 1 by 1 while ff eps do tn:=(t1+t2)/2: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: m:=-2*m/pi*arctan(vh*((1-1/2*(tn-t_ki)/r)*tn/t-1+1/2*(tt_ki)/r)/c): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=c1*(1+c2*(phi+eps_))^n: Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): DE:=diff(sigma(x),x)+Ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be: perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plot-m*kf/sqrt(3)*q1: tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): ss:=sigma1_be(.): sigma_ki_szam:=op(2,op(2,ss)): if sigma_ki_szam<=sigh_ki then t1:=tn: else t2:=tn end if;

14 LEMEZHENGERLÉS 14 #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): ff:=abs(sigh_ki-sigma_ki_szam): end do: #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): end proc: t_ki:=.82: # lemezvastagsag kilepesnel [mm]: t_be:=.958: # lemezvastagsag belepesnel [mm]: vh:=1: C:=vh/2: # hengersebesség [mm/sec]: R:=125: # hengersugár [mm]: m:=.51: # friction factor sigh_be:=: # elofeszites belepesnel [MPa] sigh_ki:=: # elofeszites kilepesnel [MPa] eps_:=: # kezdeti alakváltozás C1:=15:C2:=234:n:=.251:# kf gorbe adatok E:=2: nu:=.3: R1:=R:R2:=2*R: dh:=t_be-t_ki: fff:=1:epss:=.5: for k from 1 by 1 while fff epss do R:=(R1+R2)/2: # print(r_=evalf(r),k_=k); qq:=szamolas(t_ki,t_be,vh,r,m,sigh_be,sigh_ki,c,eps_,c1,c2,n) ; xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=-2*m/pi*arctan(vh*((1-1/2*(tn-t_ki)/r)*tn/t-1+1/2*(tt_ki)/r)/c):phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=c1*(1+c2*(phi+e ps_))^n: Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be:perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plotm*kf/sqrt(3)*q1:tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): display({odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]),plot( p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]),plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]),plot(1*phi,x=..xb,thickness=1,color=blue, legend=["1*strain"]),plot(kf,x=..xb,thickness=1,color=black, legend=["kf"])}); patl:=evalf(int(p,x=..xb,method =_Gquad))/(xb):M1:=2*R*evalf(Int(tau/q,x=..xb,method =_Gquad));Fb:=evalf(Int(p,x=..xb,method

15 LEMEZHENGERLÉS 15 =_Gquad)):Ft:=evalf(Int(tau*q1,x=..xb,method =_Gquad)):S:=tn/t_ki*(1-(tn-t_ki)/(2*R))- 1:F:=Fb+Ft:Strain:=evalf(2/sqrt(3)*ln(t_be/t_ki)): #print(slip_=s, Force_=F,"MPa/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain): Ff:=evalf(1/16*Pi*E*dh*(R-R)/R/(-1+nu^2)):#print(R_=R,Rv_=R): if Ff<=F then R1:=R: else R2:=R end if; print(k_=k); fff:=abs(f-ff):#print(fff_=fff,rv_=evalf(r),f_=f,ff_=ff); end do: print(slip_=s, Force_=F,"MPa/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain); print(r_=r,rv_=evalf(r)); display({odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]),plot( p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]),plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]),plot(1*phi,x=..xb,thickness=1,color=blue, legend=["1*strain"]),plot(kf/sqrt(3),x=..xb,thickness=1,colo r=black, legend=["tau_f"])}); k_ 1 k_ 2 k_ 3 k_ 4 k_ 5 k_ 6 k_ 7 k_ 8 k_ 9 k_ 1 k_ 11 k_ 12 k_ 13 Slip_ , Force_ , "MPa/mm", Torgue_ , "Nm/mm", Strain_ R_ 125, Rv_

16 LEMEZHENGERLÉS 16 4.Az 1.2 ponthoz tartozó Maple program többlépéses hengerlés esetén (merev henger) restart;with(plots):with(detools): flow_stress:=proc(eps,eps) local C1,C2,n: C1:=15:C2:=234:n:=.251: C1*(1+C2*(eps+eps))^n end proc: friction_factor:=proc(mm,t,tn,tk,rr,cc,vhh) local dv,q,qn; dv:=vhh*(qn*tn/t-q): q:=1-(t-tk)/(2*rr):qn:=1-(tn-tk)/(2*rr): -mm*2/pi*arctan(dv/cc): end proc: t_k:=[.75,.6,.5]: # lemezvastagsag kilepesnel [mm]: t_b:=[.9,.75,.6]: # lemezvastagsag belepesnel [mm]: C_:=[v_h[1]/2,v_h[2]/2,v_h[3]/2]: v_h:=[1,1,1]: # hengersebesség [mm/sec]: R_h:=[15,15,15]: # hengersugár [mm]:

17 LEMEZHENGERLÉS 17 m_:=[.5,.5,.5]: # friction factor sigh_b:=[1,1,1]: # elofeszites belepesnel [MPa] sigh_k:=[5,5,5]: # elofeszites kilepesnel [MPa] eps_:=: # kezdeti alakváltozás B_:=[5,5,5]: # szélesség [mm] for j from 1 by 1 to nops(t_k) do t_ki:=t_k[j]:t_be:=t_b[j]:c:=c_[j]:vh:=v_h[j]:c:=c_[j]:r:=r_h[j] :m:=m_[j]:sigh_be:=sigh_b[j]:sigh_ki:=sigh_k[j]:b:=b_[j]: eps:=.1: ff:=1: t1:=t_ki: t2:=t_be: for i from 1 by 1 while ff eps do tn:=(t1+t2)/2: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be: perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plot-m*kf/sqrt(3)*q1: tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): ss:=sigma1_be(.): sigma_ki_szam:=op(2,op(2,ss)): if sigma_ki_szam<=sigh_ki then t1:=tn: else t2:=tn end if; #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): ff:=abs(sigh_ki-sigma_ki_szam): end do:#i: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be:perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plotm*kf/sqrt(3)*q1:tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb):

18 LEMEZHENGERLÉS 18 sigma1_plot j :=odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]): p_plot j :=plot( p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]): tau_plot j :=plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]): patl:=evalf(int(p,x=..xb,method =_Gquad))/(xb):print(j_=j,xb_=xb,xn_=xn, "mm"); M1:=2*R*evalf(Int(tau/q,x=..xb,method =_Gquad)):Fb:=evalf(Int(p,x=..xb,method =_Gquad)):Ft:=evalf(Int(tau*q1,x=..xb,method =_Gquad)): S:=tn/t_ki*(1-(tn-t_ki)/(2*R))-1:F:=Fb+Ft: Strain:=evalf(2/sqrt(3)*ln(t_be/t_ki)):eps_:=eps_+Strain: print(slip_=s, Force_=F,"N/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain,Total_Strain_=eps_);prin t(force_=f*b/1,"kn", TORGUE_=M1*B/1,"Nm"); end do:#j: j_ 1, xb_ , xn_ , "mm" Slip_ , Force_ , "N/mm", Torgue_ , "Nm/mm", Strain_ , Total_Strain_ FORCE_ , "KN", TORGUE_ , "Nm" j_ 2, xb_ , xn_ , "mm" Slip_ , Force_ , "N/mm", Torgue_ , "Nm/mm", Strain_ , Total_Strain_ FORCE_ , "KN", TORGUE_ , "Nm" j_ 3, xb_ , xn_ , "mm" Slip_ , Force_ , "N/mm", Torgue_ , "Nm/mm", Strain_ , Total_Strain_ FORCE_ , "KN", TORGUE_ , "Nm" print("1.szúrás");display({sigma1_plot1,p_plot1,tau_plot1}); print("2.szúrás");display({sigma1_plot2,p_plot2,tau_plot2}); print("3.szúrás");display({sigma1_plot3,p_plot3,tau_plot3}); "1.szúrás"

19 LEMEZHENGERLÉS 19 "2.szúrás"

20 LEMEZHENGERLÉS 2 "3.szúrás"

21 LEMEZHENGERLÉS 21