A Maxwellegyenletek Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció. Milyen általános, a konkrét szituációtól (pl. közeg anyagi összetétele) független összefüggések, 'téregyenletek' állnak fenn a térjellemz k között? Elektromágneses mez forrásai az elektromos töltések és áramok, melyek eloszlását a ρ( r, t) töltés- és J( r, t) árams r ségek jellemzik (nem függetlenek, összekapcsolja ket a lokális töltésmegmaradást kifejez kontinuitási egyenlet).
1 A KONTINUITÁSI EGYENLET 1 A kontinuitási egyenlet Tekintsünk egy ρ( r, t) s r ség folytonos töltéseloszlást, és jelölje J( r, t) az árams r ség vektorát. A lokális töltésmegmaradás következtében egy, az id során nem változó térbeli tartomány belsejében található Q(t) = ρ( r, t) d 3 r töltés id egység alatti megváltozása egyenl a határán id egység alatt áthaladó J( r, t) d s töltéssel (a negatív el jel J deníciójának következménye), azaz dq dt = ˆ ρ r d3 = J( r, t) d s
1 A KONTINUITÁSI EGYENLET Innen, a Gausstétel felhasználásával ˆ ˆ ρ r d3 = div J d 3 r tartomány tetsz leges integrandusok egyenl ek ρ + div J = 0 kontinuitási egyenlet Észrevétel. Kontinuitási egyenlet általános alakja ϱ A + div j A = σ A ahol ϱ A a térfogati és j A az árams r sége az A mennyiségnek, míg σ A jelöli annak forráss r ségét, azaz az egységnyi térfogatban egységnyi id alatt termel d mennyiségét (megmaradó mennyiségekre σ A zérus).
2 A MAXWELLEGYENLETEK 2 A Maxwellegyenletek Kvázi-stacionárius jelenségek alaptörvényei div D = 4πρ rot H = 4π c J Gausstörvény Ampèretörvény div B = 0 rot E = 1 c B mágneses Gausstörvény Faradaytörvény Ampèretörvény és kontinuitási egyenlet ρ = div J = c 4π div rot H = 0 miatt csak id ben állandó töltéss r ség esetén kompatibilis egymással.
2 A MAXWELLEGYENLETEK Maxwell felismerése: Ampèretörvény kiegészítése! Kontinuitási egyenlet következtében div ( rot H 4π c J ) = 4π c div J= 4π c ρ = 1 c (div D) =div ( 1 c D ) ezért rot H = 4π c J + 1 c D Korrekciós tag: eltolási áram (kvázi-stacionárius esetben elhanyagolható). Nem csak a mozgó töltések, de az id ben változó elektromos mez is lehet a mágneses mez forrása forrásoktól távol is létezhet elektromágneses mez (elektromágneses hullámok).
2 A MAXWELLEGYENLETEK ektoriális Maxwellegyenletek: rot H = 4π c J + 1 c rot E = 1 c Skaláris Maxwellegyenletek: B D Ampèretörvény Faradaytörvény div D = 4πρ div B = 0 elektromos Gausstörvény mágneses Gausstörvény Kompatibilitási feltétel ρ + div J = 0 kontinuitási egyenlet
2 A MAXWELLEGYENLETEK Források: ρ( r, t) skalár- és J( r, t) vektormez (nem függetlenek, összeköti ket a kontinuitási egyenlet). Ismeretlenek: H( r, t), E( r, t), B( r, t) és D( r, t) vektormez k, összesen 12 független vektorkomponenssel. Két vektoriális + két skaláris Maxwellegyenlet összesen 6 + 2 = 8 egyenlet 12 ismeretlen függvény között (alulhatározott egyenletrendszer) egyértelm megoldáshoz szükség van a közeg tulajdonságait leíró D = D( E, H) B = B( E, H) anyagi összefüggések gyelembevételére.
2 A MAXWELLEGYENLETEK Marad 8 összefüggés 6 független vektorkomponens között (túlhatározott egyenletrendszer), de és ( ) div B ( B ) = div = c div rot E = 0 ( ) div D 4πρ ( D ) ρ = div 4π = div ( c rot H 4π J ) + 4πdiv J = 0 a kontinuitási egyenlet következtében skaláris Maxwell-egyenletek kezdeti feltételek szerepét játsszák (elég egyetlen pillanatban teljesülniük, hogy mindig teljesüljenek).
2 A MAXWELLEGYENLETEK A Maxwellegyenletek egy els rend lineáris parciális dierenciálegyenletrendszert alkotnak, ez az elektromágneses mez alaptörvényeinek lokális (pontról pontra teljesül ) alakja. Érvényességi feltétel: térjellemz k hely- és id függése sima (folytonosan dierenciálható), és az elektromágneses kölcsönhatás lokális, azaz a környezet hatása csak a vizsgált térrész határán jelentkezik ('közelhatás', ellentétben pl. a gravitációs er vel). Mér berendezések véges kiterjedés ek kísérletileg csak integrális összefüggések vizsgálhatók. Kapcsolat lokális és integrális megfogalmazás között: integráltételek.
2 A MAXWELLEGYENLETEK Alaptörvények integrális alakja S S H( r, t) d r = 4π c I + 1 ˆ d D( r, t) d s c dt S E( r, t) d r = 1 ˆ d B( r, t) d s c dt S D( r, t) d s = 4πQ B( r, t) d s = 0 ahol I a S felületen id egység alatt keresztülfolyó töltés mennyisége, míg Q a tartományban található teljes elektromos töltés.
2 A MAXWELLEGYENLETEK Különböz közegek határán térjellemz k nem folytonosak. Térjellemz k ugrását leíró illesztési feltételek az alaptörvények integrális alakjából (speciálisan választott S és révén). n ( H + H ) = 4π J c f n ( E + E ) = 0 n ( D + D ) = 4πη n ( B + B ) = 0
3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 3 Elektromágneses potenciálok és mértékinvariancia Maxwell-egyenletek rot H = 4π c J + 1 c div D = 4πρ D Ampèretörvény Gausstörvény rot E = 1 c div B = 0 B Faradaytörvény mágneses Gausstörvény
3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK div B=0 mágneses Gauss-törvény következtében létezik olyan A( r, t) vektormez (vektorpotenciál), amelyre B( r, t) = rot A Innen, a Faradaytörvény alapján rot E = 1 c B = 1 c ( ) ( rot A = rot 1 c A ) vagyis ( rot E 1 + c A ) = 0 létezik olyan Φ( r, t) skalármez (skalárpotenciál), amellyel E( r, t) = grad Φ 1 c A
3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK Elektromágneses mez jellemzése Φ és A elektromágneses potenciálokkal. Mértékinvariancia: tetsz leges ψ( r, t) skalármez re Φ = Φ 1 ψ c A = A + grad ψ ugyanazt az elektromágneses mez t írják le, mint Φ és A! és E = grad Φ 1 ( A c = grad Φ 1 ) ψ c 1 c = grad Φ 1 c A = E ( A+ grad ψ ) B = rot A =rot ( A + grad ψ ) =rot A+rot grad ψ = B Elektromágneses potenciálok nem egyértelm ek!
3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK Észrevétel. Ha ψ( r, t) kielégíti a ψ α c 2 ψ 2 = div A α Φ parciális dierenciálegyenlet, ahol α tetsz leges konstans paraméter (ilyen ψ mindig létezik), akkor div A ( ) + α Φ =div A+grad ψ +α ( Φ 1 c mindig el írható a ψ ) =0 div A + α Φ = 0 Lorentzmértékl
4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS 4 Elektromágneses dualitás Forrásmentes rot H = 1 D c rot E = 1 B c div D = 0 div B = 0 Maxwellegyenletek szimmetrikusak a térjellemz k E H D B cseréjére. Források asszimmetriája mágneses monopólusok hiánya miatt!
4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS Szimmetria visszaállítható ktív mágneses töltések bevezetésével: rot H = 4π c J e + 1 c rot E = 4π c J m 1 c D B div D = 4πρ e div B = 4πρ m szimmetrizált egyenletek alakja nem változik E H Je J m D B ρ e ρ m csere során, ahol ρ m ( r, t) a mágneses töltéss r ség és J m ( r, t) a mágneses árams r ség.
4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS Szimmetrizált egyenletek invariánsak a sokkal általánosabb E cos(ξ) E sin(ξ) H H sin(ξ) E + cos(ξ) H Je cos(ξ) J e sin(ξ) J m Jm sin(ξ) J e + cos(ξ) J m D cos(ξ) D sin(ξ) B B sin(ξ) D + cos(ξ) B ρ e cos(ξ) ρ e sin(ξ) ρ m ρ m sin(ξ) ρ e + cos(ξ) ρ m dualitási transzformációkra (ξ valós paraméter)! Ha minden elemi részecske (elektron, proton, stb.) mágneses és elektromos töltésének κ hányadosa ugyanakkora, akkor ρ m ( r, t) = κρ e ( r, t), és ξ = arctan(κ) paraméter dualitási transzformáció eltünteti ρ m -et és Jm -et Maxwell-egyenletek szokásos alakja. Kísérleti korlát: κ proton < 10 24.
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE 5 Az elektromágneses mez energias r sége Energiamegmaradás: különböz energiafajták (mechanikai, kémiai, termikus, elektromágneses, stb.) összege egy adott térbeli tartomány belsejében csak a határon keresztülfolyó energiamennyiséggel változhat meg. izsgáljunk egy ρ( r, t) s r ség folytonos töltéseloszlást vákuumban, amely egy küls elektromágneses mez ben v( r, t) sebességgel mozog. Nincs jelen anyagi közeg csak két energiafajta jöhet számításba: mechanikai (töltéshordozók kinetikus energiája) és elektromágneses. E = E kin + E em
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE Egységnyi térfogatban található töltéshordozókra kifejtett er f = ρ E + ρ c v B Egységnyi térfogatban található töltéshordozókon t id alatt végzett munka W = f r = ρ { E + 1 c v B } v t = (ρ v) E t Töltésáramlás vákuumban tisztán konvektív, így ρ v = J konv = J, és ezért W = J E t Energiamegmaradás: töltéshordozók kinetikus energiájának megváltozása = elektromágneses mez által rajtuk végzett munka. E kin = ˆ ˆ W d 3 r = t J E d3 r
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE kinetikus energia változási sebessége de kin dt = ˆ J( r, t) E( r, t) d3 r Az Ampèretörvény alapján J E = { c 4π rot H 1 4π felhasználva a D } E = c E rot 4π H 1 E 4π D = c H rot 4π E c 4π div ( E H) 1 E 4π E E rot H = H rot E div ( E H) vektoranalitikai összefüggést.
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE A Faradaytörvényb l így c H rot 4π E = 1 H 4π B c J E = 4π div ( E H) 1 E 4π D 1 H 4π B Mivel vákuumban (vagy bármely más izotrop közegben) D és E, valamint B és H párhuzamos egymással, végül ahol és J E = u div S u = 1 8π ( E D + H B) S = c 4π E H energiamérleg
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE Észrevétel. vákuumban u = E 2 + H 2 8π 0 és általában is belátható, hogy u nemnegatív. Tekintsünk egy olyan, az összes töltést tartalmazó tartományt melynek határán az elektromágneses mez elt nik. Mivel a belsejében található töltések nem hatnak kölcsön se mechanikailag, se elektromágnesesen a külvilággal (zárt rendszert alkotnak), ezért a -ben tárolt teljes E = E kin + E em energia megmarad: de em dt = de kin dt ˆ = ˆ J E d3 r = ( ) u + div S d 3 r
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE A Gausstétel alapján ˆ div S d 3 r = S d s és a felületi integrál zérus, mivel a térer sségek elt nnek a határon de em = d ˆ u( r, t) d 3 r dt dt Egy id t l független tag erejéig u( r, t) d 3 r adja a -ben tárolt elektromágneses energiát u( r, t) az elektromágneses mez energias r sége! Tekintsünk most egy olyan tartományt, amely egyetlen töltést sem tartalmaz, és ezért a belsejében J = 0. Mivel, a fentiek alapján, u az elektromágneses energias r ség, ezért a -ben tárolt elektromágneses
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE energia változási sebessége de em = d {ˆ } ˆ u( r, t) d 3 r = dt dt ˆ u r d3 = div S d 3 r = S d s De mivel belsejében nincsenek töltések, ezért az elektromágneses energia csak úgy változhat, ha energia áramlik át a határon S d s az id egység alatt -n átfolyó elektromágneses energia S = c 4π E H Poyntingvektor az elektromágneses mez energiaáram-s r sége.
5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE Teljes általánosságban, amikor mind konvektív, mind konduktív áramokat megengedünk, az energiamérleget integrálva -re de kin + de em + dt dt Jkonv E + u + div S = J kond E S d s = ˆ ( J kond E) d 3 r Baloldalon a mechanikai és elektromágneses energia változási sebességének, valamint a határon id egység alatt átáramló energiának az összege áll jobb oldali tag a fenti energiafajták képz dését vagy elt nését, más szóval azok disszipációját, a véletlen h mozgás kinetikus energiájává való átalakulását írja le (Joule-h ).
6 A FESZÜLTSÉGTENZOR 6 A Maxwell-féle feszültségtenzor és az impulzusmérleg Tekintsük a T = 1 { } E D + H B 1 { } E D + H B 1 4π 8π Maxwell-féle feszültségtenzort. A diadikus szorzatok divergenciájára vonatkozó általános összefüggések révén belátható, hogy vákuumban div T = 1 { (div E) 4π E E rot E + (div H) H H rot H }
6 A FESZÜLTSÉGTENZOR Figyelembe véve a rot H = 4π c J + 1 c rot E = 1 c H E div H = 0 div E = 4πρ vákuumbeli Maxwellegyenleteket, adódik a div T=ρ E + 1 E 4πc H 1 H c J 1 H 4πc E = f + g impulzusmérleg: itt f = ρ E + 1 c J H az egységnyi térfogatra ható Lorentzer, és g = 1 4πc E H
6 A FESZÜLTSÉGTENZOR izsgáljunk egy tartományt, amely az összes forrást töltéseket és áramokat tartalmazza, és amely el van szigetelve a környezett l (az elektromágneses mez elt nik a határán). A divergencia-tétel alapján ˆ f d3 r + d dt (ˆ ) g d 3 r = ˆ (div T) d 3 r = T d s = 0 mivel T zérus a határán. De F= f d3 r az elektromágneses mez által a -re kifejtett teljes er, vagyis az egységnyi id alatt az elektromágneses mez által a -beli forrásoknak átadott impulzus impulzusmegmaradás miatt g( r, t) d 3 r az elektromágneses mez impulzusa, így g az elektromágneses mez impulzuss r sége!
6 A FESZÜLTSÉGTENZOR Ha a mez nem t nik el határán, akkor a fentiek alapján T d s a -beli teljes (mechanikai + elektromágneses) impulzus a T tenzor az elektromágneses mez impulzusáram-s r sége. Elektromágneses impulzus kísérleti kimutatása: fénynyomás (pl. üstökösök csóvája). Észrevétel. A g impulzuss r ség és az S energiaáram-s r ség (Poynting vektor) közti g = 1 c 2 S összefüggés az elektromágneses kölcsönhatás végtelen hatótávolságával kapcsolatos.
7 TOÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK 7 További megmaradási tételek Noethertétel: zikai rendszer szimmetriái megmaradó mennyiségek. id homogenitása tér homogenitása tér izotropiája mértékinvariancia energia impulzus impulzusmomentum töltés Elektromágneses mez impulzusmomentum-s r sége l = r g míg a forgatónyomaték-s r ség r f.
7 TOÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK Izotrop közegben, az impulzusra vonatkozó mérlegegyenletb l l = div( r T) r f Az impulzusmomentum megmarad, és árams r sége r T. Sok más további megmaradó mennyiség, pl. az elektromágneses kiralitás, melynek s r sége χ = E rot E + H rot H és árams r sége X = E E + H H