OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

OPERÁCIÓKUTATÁS No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 2002

Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem, Operációkutatás Tanszék gondozásában Budapest, 2002

Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Lektorálta: Medvegyev Péter

4

Tartalomjegyzék 1. Valószín ségszámítási összefoglaló 7 1.1. A valószín ségi változó várható értéke és szórása............ 7 1.2. Nevezetes eloszlások........................... 11 1.2.1. Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás............. 11 1.2.2. Binomiális eloszlás:........................ 12 1.2.3. Normális eloszlás......................... 12 1.2.4. Lognormális eloszlás....................... 14 1.3. Központi határeloszlás tétel....................... 16 1.4. Kovariancia és korreláció......................... 19 2. Geometriai Brown-mozgás 25 2.1. A geometriai Brown-mozgás deníciója................. 25 2.2. A geometriai Brown-mozgás paraméterei................ 27 2.3. Közelítés egy egyszer modellel..................... 29 2.4. A Brown-mozgás............................. 31 3. Opciók 35 3.1. Az opciók alapvet típusai........................ 35 3.2. Opciós stratégiák............................. 39 3.2.1. Egy opciót és egy részvényt tartalmazó stratégia........ 40 3.2.2. Különbözeti stratégiák...................... 41 3.2.3. Kombinációs stratégiák...................... 45 3.3. A Put-Call paritás............................ 47 5

6 TARTALOMJEGYZÉK 3.4. Egzotikus opciók............................. 51 3.5. Az opciók értékének lehetséges tartományai.............. 52 3.5.1. Alsó korlátok........................... 53 3.5.2. Fels korlátok........................... 54 3.6. Az opciók árazása............................. 54 3.6.1. Binomiális opcióárazási modell.................. 55 3.6.2. A részvényárfolyam-változás mértékének meghatározása.... 65 3.6.3. A részvényárfolyam volatilitásának mérése........... 66 3.7. Black-Scholes formula........................... 67 3.8. Az opciós ár tulajdonságai........................ 75

1. fejezet Valószín ségszámítási összefoglaló E rövid összefoglaló nem terjed ki a valószín ségszámítás alapvet fogalmainak, mint az eseménytér, elemi esemény, valószín ség, valószín ségi változó, eloszlásfüggvény, s r ségfüggvény valamint az alapvet en fontos sztochasztikus függetlenség fogalmának ismertetésére. Feltételezzük, hogy az olvasó ezeket jól ismeri. Célszer nek láttuk azonban, hogy ezen fogalmakkal kapcsolatos és a kés bbiekben s rün használt formulákat megismételjük és példákkal is illusztráljuk ket. 1.1. A valószín ségi változó várható értéke és szórása A gyakorlati alkalmazásoknál gyakran el fordul, hogy egyetlen vagy néhány számadattal kell jellemezni a valószín ségi változót ill. annak eloszlását. A legfontosabb jellemz k a várható érték és a szórás (ill. variancia). A várható érték fogalma: Ha az X diszkrét valószín ségi változó lehetséges értékei x 1, x 2, x 3... és ezeket rendre p 1, p 2, p 3... valószín séggel veszi, akkor az X várható értéke E(X) = i p i x i, ha X folytonos valószín ségi változó és s r ségfüggvénye f(x), akkor az X várható érték E(X) = 7 xf(x)dx.

8 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ A variancia és a szórás fogalma: Ha az X E(X) valószín ségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor ezt az X varianciájának nevezzük, azaz V ar(x) = E([X E(X)] 2 ), ennek négyzetgyöke az X valószín ségi változó szórása. A variancia számítható az X 2 és az X valószín ségi változók várható értékének segítségével is, azaz V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Míg a várható érték az X valószín ségi változó eloszlásának centrumát adja meg, addig a variancia ill. a szórás az eloszlásnak a centrum körüli ingadozását méri. Az alábbiakban a várható érték és a variancia néhány fontos, az alkalmazásokban hasznos tulajdonságát ismertetjük: 1. Ha az X valószín ségi változónak létezik várható értéke és szórása, akkor E(aX + b) = ae(x) + b, V ar(ax + b) = a 2 V ar(x). 2. Legyenek X 1, X 2,..., X n tetsz legesvalószín ségiváltozók, amelyekneklétezik a várható értékük, ekkor az összegük várható értéke megegyezik a várható értékük összegével, azaz ( ) E X i = E(X i ). 3. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószín ségi változók, amelyeknek létezik a várható értékük, ekkor a szorzatuk várható értéke megegyezik a várható értékük szorzatával, azaz ( n ) E X i = n E(X i ). 4. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószín ségi változók, amelyeknek létezik a szórásuk, ekkor az összegük varianciája megegyezik a varianciájuk összegével, azaz ( ) V ar X i = V ar(x i ).

1.1. A VALÓSZÍN SÉGI VÁLTOZÓ VÁRHATÓ ÉRTÉKE ÉS SZÓRÁSA 9 Példa: Az alábbi példa jól illusztrálja a várható értékkel és a varianciával (szórással) kapcsolatos összefüggéseket. Legyenek X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású valószín ségi változók, a közös várható érték és variancia legyen E(X i ) = m és V ar(x i ) = σ minden i- 2 re. Legyen Y valószín ségi változó ezeknek a valószín ségi változóknak a számtani átlaga, amelyet mintaátlagnak hívunk, legyen továbbá s valószín ségi változó a 2 minta varianciája. A mintaátlag és a minta variancia az alábbi képletekkel adottak: Y = X i n, s2 = a) Mutassuk meg, hogy E (Y ) = m. b) Mutassuk meg, hogy V ar (Y ) = σ 2 /n. c) Mutassuk meg, hogy E (s 2 ) = σ 2. (X i Y ) 2 n 1 Megoldás: A várható értékre és a varianciára vonatkozó tulajdonságokat alkalmazzuk. a) b) E (Y ) = E n X i ( ) = 1 n E X i = 1 n V ar (Y ) = V ar n = 1 n 2 X i. E(X i ) = 1 n nm = m ( ) = 1 n V ar X 2 i V ar(x i ) = 1 n 2 nσ2 = σ2 n c) E kérdés megválaszolását több lépésben végezzük. (X i Y ) 2 ( ) E(s 2 ) = E n 1 = 1 n 1 E (X i Y ) 2

10 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Most az összeget írjuk át más alakra (X i Y ) 2 = = (Xi 2 2X i Y + Y 2 ) = Xi 2 2Y ny + ny 2 = Xi 2 2Y Xi 2 ny 2 X i + ny 2 = Ennek a várható értékét a várható értékre vonatkozó addiciós összefüggés felhasználásával számítjuk ki. ( ) E (X i Y ) 2 ( ) ( = E Xi 2 ny 2 = E = E(Xi 2 ) ne(y 2 ) X 2 i ) ne(y 2 ) = A következ lépésben az Y valószín ségi változó négyzetének várható értékét számítjuk ki, felhasználva többek között a független valószín ségi változók szorzatára vonatkozó összefüggést. E(Y 2 ) = E n X i 2 = 1 n 2 E [ ] 2 X i = ([ ] [ ]) ( = 1 n E X 2 i X j = 1 n E 2 j=1 ( ) = 1 n E X 2 2 i + X i X j = = 1 n 2 [E ( X 2 i = 1 n 2 [ E(X 2 i ) + = 1 n 2 [ E(X 2 i ) + j i ) X i X j = j=1 ) ( )] + E X i X j = j i ] E(X i X j ) = j i ] E(X i )E(X j ) j i Legutoljára pedig a varianciára megismert V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 )

1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 11 összefüggést alkalmazzuk az E(X 2 i ) számítására. E(s 2 ) = 1 n 1 ( ) E(Xi 2 ) ne(y 2 ) = ( [ ]) 1 = E(Xi 2 ) n 1 E(X 2 n 1 n 2 i ) + E(X i )E(X j ) = j i ( = 1 ) E(Xi 2 1 ) E(X i )E(X j ) = n n(n 1) j i ( ) = 1 V ar(x i ) + (E(X i )) 2 n ( ) 1 E(X i )E(X j ) n(n 1) j i = 1 n (nσ2 + nm 2 1 ) n(n 1) (n2 n)m 2 = = σ 2 + m 2 m 2 = σ 2 1.2. Nevezetes eloszlások Az alábbiakban négy eloszlást ismertetünk, ezek az eloszlások játszák a legnagyobb szerepet a további vizsgálódásainkban. 1.2.1. Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás Legyen A tetsz leges esemény, amelynek bekövetkezési valószín sége p (0 p 1). Ha az X valószín ségi változó csak a 0 és az 1 értékeket veheti fel az alábbiak szerint X = 1, ha az A esemény bekövetkezik, 0, ha az A esemény nem következik be, akkor az A esemény X karakterisztikus valószín ségi változójáról beszélünk. Tehát a P (X = 1) = p és a P (X = 0) = 1 p számok alkotják a karakterisztikus eloszlást. Jellemz i: E(X) = p, V ar(x) = p(1 p).

12 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ 1.2.2. Binomiális eloszlás: Tekintsünk n független kísérletet az A esemény meggyelésére és jelölje X valószín ségi változó a kísérletsorozat során az A esemény bekövetkezéseinek számát. Ha X i az i-edik kísérletre vonatkozó karakterisztikus valószín ségi változó, akkor a kísérletsorozatra jellemz X valószín ségi változót az alábbiak szerint írhatjuk X = X i. Legyen p az A esemény bekövetkezésének valószín sége, ekkor felhasználva a karakterisztikus eloszlás jellemz it és az összegre vonatkozó összefüggéseket, az X valószín ségi változó várható értéke szórása pedig a függetlenség miatt E(X) = np, V ar(x) = np(1 p). A binomiális eloszlás valószín ségeloszlása P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k (k = 0, 1, 2,..., n). 1.2.3. Normális eloszlás A normális eloszlásnak központi szerepe van az eloszlások között, az egyik leggyakrabban alkalmazott eloszlás. A X valószín ségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, jele N(m, σ), ha s r ségfüggvénye a következ alakú f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, ( < x < ) ahol m valós, σ pedig pozitív állandó. Az eloszlásfüggvényt az alábbiak szerint számíthatjuk ki F (x) = x f(t)dt.

1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 13 A normális eloszlású X valószín ségi változó várható értéke és varianciája E(X) = m, V ar(x) = σ 2. Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek várható értéke 0, szórása pedig 1, azaz m = 0, σ = 1. Az ilyen eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük, jele N(0; 1). Ha X normális eloszlású valószín ségi változó, akkor az ax + b valószín ségi változó is normális eloszlású. Ezt a tényt felhasználva minden N(m, σ) eloszlást a Z = X m σ transzformációval N(0; 1) eloszlásba vihetünk. A két eloszlás eloszlásfüggvénye között az alábbi a kapcsolat ( ) x m F (x) = Φ, σ ahol Φ(z) az N(0; 1) ún. standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, azaz Φ(z) = z 1 2π e t2 2 dt. Így elegend a standard normális eloszlás Φ(x) eloszlásfüggvény értékeit táblázatba foglalni, mert erre visszavezethet tetsz leges paraméter normális eloszlás. S t elegend csupán a pozitív x-ekre közölni a táblázatokat, mivel igaz, hogy Φ( x) = 1 Φ(x). A normális eloszlás alkalmazásakor táblázatot kell használnunk a Φ(x) standard normális eloszlásfüggvény értékének meghatározására. Táblázat hiányában az alábbi, nagy pontosságú közelít képletet szokták használni Φ(x) számítására. Ez az összefüggés van beépítve számos statisztikai programcsomagba is: Φ(x) 1 1 2π e x2 /2 (a 1 y + a 2 y 2 + a 3 y 3 + a 4 y 4 + a 5 y 5 ),

14 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ ahol y = 1 1 + 0.2316419x, a 1 = 0.319381530, a 2 = 0.356563782, a 3 = 1.781477937, a 4 = 1.821255978, a 5 = 1.330274429. Végül egy fontos összefüggést ismertetünk a független, normális eloszlású valószín ségi változók összegére vonatkozóan. Legyenek X 1, X 2,..., X n független, normális eloszlású valószín ségi változók, amelyeknek várható értéke és varianciája legyen E(X i ) = m i és V ar(x i ) = σi. Az 2 X 1 + X 2 +... + X n összeg szintén normális eloszlású valószín ségi változó, amelynek várható értéke és varianciája E(X 1 + X 2 +... + X n ) = m 1 + m 2 + + m n, V ar(x 1 + X 2 +... + X n ) = σ 2 1 + σ 2 2 + + σ 2 n. 1.2.4. Lognormális eloszlás A X valószín ségi változót m és σ paraméter lognormális eloszlásúnak nevezünk, ha az Y = log X valószín ségi változó normális eloszlású m várható értékkel és σ szórással. A lognormális eloszlás s r ségfüggvénye f(x) = 1 (log x m)2 e 2σ 2, (x > 0). 2πσx A lognormális eloszlású X valószín ségi változó várható értéke és varianciája σ2 m+ E(X) = e 2, ( V ar(x) = e 2 2 m+ σ2 ) (e σ2 1).

1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 15 Az alábbiakban a normális és a lognormális eloszlás alkalmazására egy példát mutatunk be. Példa: Legyen egy bizonyos részvény ára az n-edik hét végén S(n), ahol n 1. Tegyük fel, hogy az S(n)/S(n 1) árarány minden n 1 értékre független és azonos eloszlású lognormális valószín ségi változó. Legyen a szóbanforgó lognormális valószín ségi változó két paramétere m = 0.0165 és σ = 0.0730. a) Mi a valószín sége, hogy a részvény ára egyik hétr l a másikra növekedik? b) Mi a valószín sége, hogy a részvény ára három héttel kés bb nagyobb lesz, mint az induló ár? Megoldás: a) A keresett valószín ség P (S(n) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. Mivel a feladatban megfogalmazott feltevés minden n-re azonos, így elegend az n = 1 esetre elvégezni a számítást, azaz a keresett valószín ség P (S(1) > S(0)). Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(1) > S(0) egyenl tlenség ekvivalens a log S(1) > log S(0) ill. a log S(1) S(0) tudva, hogy az X=log S(1) S(0) > 0 egyenl tlenséggel. Ezt felhasználva, és valószín ségi változó m = 0.0165 várható érték és σ = 0.0730 szórású normális eloszlású valószín ségi változó, valamint a Z = X m σ valószín ségi változó m = 0 várható érték és σ = 1 szórású standard normális eloszlású valószín ségi változó, így a keresett valószín ség ( P (S(1) > S(0)) = P log S(1) ) ( log S(1) S(0) > 0 S(0) = P m σ ( = P Z > 0.0165 ) = P (Z > 0.2260) 0.0730 = 1 P (Z < 0.2260) = 1 Φ( 0.2260) = 1 (1 Φ( 0.2260)) ) > 0 m σ = Φ(0.2260) = 0.5894. b) A keresett valószín ség P (S(n + 2) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. A feltevés szerint minden n-re azonosak a viszonyok, így az n = 1 esetre végezzük el a számítást, azaz a keresett valószín ség P (S(3) > S(0)).

16 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(3) > S(0) egyenl tlenség ekvivalens a log S(3) > log S(0) ill. a log S(3) > 0 egyenl tlenséggel. Ez utóbbi további alakítás- S(0) sal log S(3) log S(1) S(0) S(2) S(1) S(2) S(1) S(0) S(3) S(2) > 0 és ebb l a számunkra már használható log + log + S(2) S(1) S(3) S(2) S(1) > 0 egyenl tlenség adódik. A Z=log + log + log valószín ségi S(2) S(1) S(0) változó három darab független normális eloszlású valószín ségi változó összege, amelyr l tudjuk, hogy szintén normális eloszlású valószín ségi változó. A Z várható értéke 3m, azaz 3 0.0165 = 0.0495, varianciája pedig 3σ, így szórása 2 σ 3, azaz 3 0.0730 = 0.12644. Hasonlóanaza)részbenimegoldáshoz, akeresettvalószín ség ( P (S(3) > S(0)) = P log S(3) ) S(2) S(1) + log + log S(2) S(1) S(0) > 0 ( Z 3m = P σ > 0 3m ) 3 σ 3 ( = P Z > 0.0495 ) = P (Z > 0.39149) = 0.12644 = Φ(0.39149) = 0.6517. 1.3. Központi határeloszlás tétel Legyenek X 1, X 2,...azonoseloszlású, függetlenvalószín ségiváltozók, mközösvárható értékkel és σ közös szórással és legyen S n valószín ségi változó az els n darab X i valószín ségi változó összege S n = X i. Mint tudjuk az S n valószín ségi változó várható értéke nm, szórása pedig σ n. A központi határeloszlás azt montja ki, hogy bármely x valós számra lim P n ( Sn nm σ n ) x = Φ(x). Szavakban ez azt jelenti, hogy elég nagy n esetén az valószín ségi változó Sn nm σ n eloszlása közel standard normális eloszlás. A normális eloszlásnak a tétel adja meg a valószín ségszámításban játszott központi szerepét. Példa:

1.3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL 17 Tekintsük egy részvény ármozgására az alábbi modellt. Ha egy adott id ben a részvény ára s, akkor egy id periódus után a részvény ára vagy p valószín séggel us vagy pedig (1 p) valószín séggel ds (u > 1, 0 < d < 1). Tegyük fel, hogy az egymás utáni id periódusokban az ármozgás független. Határozzuk meg közelít leg annak a valószín ségét, hogy a következ 1000 id periódus után a részvény ára legalább 30 %-kal nagyobb lesz, mint az induló ár! Megoldás: Jelölje az S i valószín ségi változó a részvény árát az i-edik periódusban. Ekkor a keresett valószín ség P ( ) S1000 1.30. S 0 Elemi számolással a keresett valószín séget átalakítva kapjuk, hogy P ( ) S1000 1.30 S 0 ( = P log S ) 1000 log 1.3 = S ( 0 = P log S ) 1000 S 999 S2 S 1 log 1.3 = S 999 S 998 S 1 S 0 ( 1000 ) = P log S i log 1.3. S i 1 Legyen X i = log S i S i 1 valószín ségi változó az i-edik és a közvetlen megel z periódusbeli ár hányadosának logaritmusa. El ször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. Az X i lehetséges értékei: log u ill. log d. m = E(X i ) = p log u + (1 p) log d = p log u d + log d, σ 2 = V ar(x i ) = p (log u) 2 + (1 p)(log d) 2 [p log u + (1 p) log d] 2 = ( = p(1 p) log u 2. d) Ha u = 1.1, d = 0.9, p = 0.55, akkor m = 0.005 ill. σ = 0.1. A keresett valószín ség kiszámítására most a központi határeloszlás tételt alkalmazzuk. Mivel n = 1000 elég nagy és az összegben szerepl X i valószín ségi változók azonos eloszlásúak és függetlenek, így a tétel feltételei fennállnak, a kere-

18 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ sett valószín ség közelít értékét az alábbi szerint határozhatjuk meg P ( 1000 ) X i log 1.3 = P 1000 X i 1000m σ 1000 ( ) log 1.3 1000m = 1 Φ σ 1000 = 0.932 96. log 1.3 1000m σ 1000 Példa: Egy bizonyos részvény minden id periódusban vagy 0.39 valószín séggel 1-el csökken, vagy 0.20 valószín séggel nem változik, vagy pedig 0.41 valószín séggel 1-el növekszik. Feltéve az egymás utáni id periódusok árváltozásainak függetlenségét, mennyi annak a valószín sége, hogy a következ 700 id periódus után a részvény ára legalább 10-el nagyobb lesz az induló árnál? Megoldás: Jelölje az X i valószín ségi változó a részvény árának megváltozását az i-edik periódusban. El ször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. E(X i ) = ( 1) 0.39 + 0 0.2 + 1 0.41 = 0.02, V ar(x i ) = [( 1) 2 0.39 + 0 2 0.2 + 1 2 0.41] 0.02 2 = 0.7996, amelyb l a közös várható érték m = 0.02 és a szórás σ = 0.8942. A kezd és a 700 id periódus utáni árváltozást az X i valószín ségi változók összege adja, így a keresett valószín ség P ( 700 ) X i 10. Ennek kiszámítására alkalmazhatjuk a központi határeloszlás tételt, mivel n = 700 elég nagy és az összegben szerepl X i valószín ségi változók azonos eloszlásúak és

1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 19 függetlenek. A tétel szerint P ( 700 ) X i 10 700 X i 700 0.02 = P 0.8942 10 700 0.02 700 0.8942 700 = 700 X i 700 0.02 = P 0.8942 0.16907 700 = = Φ(0.16907) = 0.5675. 1.4. Kovariancia és korreláció A gyakorlatban nagyon sokszor kell két valószín ségi változó egymástól való függ ségét, kapcsolatának szorosságát vizsgálni. Azt vizsgáljuk, hogy a saját várható értékeik körüli ingadozásuk milyen kapcsolatban van egymással. Ennek az ún. sztochasztikus kapcsolatnak a mérésére két mutatót is szokás használni, egyik a kovariancia, másik a korrelációs együttható. Az X és az Y valószín ségi változók kovarianciája alatt az alábbi várható értéket értjük Cov(X, Y ) = E ([X E(X)][Y E(Y )]). Az X és az Y valószín ségi változók korrelációs együtthatója alatt a kovariancia és a szórások hányadosát értjük, azaz ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). Az alábbiakban a fogalmakra vonatkozó néhány fontos tulajdonságot ismertetünk. 1. Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) 2. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), szimmetria 3. Cov(X, X) = V ar(x) 4. Cov(aX, Y ) = acov(x, Y ) 5. Cov(a, Y ) = 0 6. Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ), linearitás

20 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ 7. Cov(X 1 + X 2, Y 1 + Y 2 ) = Cov(X 1, Y 1 ) + Cov(X 2, Y 1 ) +Cov(X 1, Y 2 ) + Cov(X 2, Y 2 ) 8. Cov(aX + b, Y ) = acov(x, Y ) 8. 1 ρ(x, Y ) 1 9. Ha lineáris a kapcsolat X és Y között, azaz Y = ax + b, akkor ρ(x, Y ) = sgn(a), vagyis 1, ha a > 0 és 1, ha a < 0. Most néhány fontos általánosítást ismertetünk: 10. A 7. tulajdonság általánosításai több valószín ségi változó összegére ( m Cov X i, ( m Cov a i X i + b i, ) Y j = j=1 m ) c j Y j + d j = j=1 Cov (X i, Y j ), j=1 m a i c j Cov (X i, Y j ). 11. A 3. tulajdonság általánosításai n darab valószín ségi változóra ( ) V ar X i ( = Cov X i, = = ) X j = j=1 Cov (X i, X i ) + V ar (X i ) + j=1 Cov (X i, X j ) = j=1 Cov (X i, X j ) j i Cov (X i, X j ). j i ( ) V ar a i X i + b i ( = Cov a i X i + b i, = = = ) a j X j + b j = j=1 a i a j Cov (X i, X j ) = j=1 a 2 i Cov (X i, X i ) + a 2 i V ar (X i ) + a i a j Cov (X i, X j ) j i a i a j Cov (X i, X j ). Ha Cov(X, Y ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy az X és az Y valószín ségi változók korrelálatlanok. j i

1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 21 A korrelálatlanságot nem szabad összekeverni a függetlenséggel. Mint korábbról tudjuk, ha X és Y valószín ségi változók függetlenek, akkor E(XY ) = E(X)E(Y ). E fontos összefüggést felhasználva állítható, hogy ha X és Y valószín ségi változók függetle-nek, akkor Cov(X, Y ) = ρ(x, Y ) = 0, vagyis a függetlenségb l következik a korrelálatlanság, fordítva nem. Több valószín ségi változó esetén ezek páronkénti kovarianciáit és korrelációs együtt-hatóit a tömörebb leírás végett egy-egy mátrixba foglalhatjuk össze. Legyen X 1, X 2,..., X n n darab valószín ségi változó és legyen c ij = Cov(X i, X j ) és r ij = ρ(x i, X j ). A c ij ill. r ij számokból alkotott C ill. R mátrixot kovariancia-mátrixnak ill. korreláció mátrixnak nevezzük. A C és az R mátrixok szimmetrikusak és pozitív szemidenit mátrixok, továbbá c ii = V ar(x i ) = σi és 2 r ii = 1. Független valószín ségi változók esetén a C egy diagonális mátrix, az R pedig egységmátrix. Ha bevezetjük az S diagonális mátrixot, amelynek f átlójában az egyes valószín ségi változók szórása szerepel, akkor az ismert c ij = σ i r ij σ j összefüggés a C = SRS, ill. R = S 1 CS 1 alakban írható. Gyakran van szükségünk arra, hogy több valószín ségi változó súlyozott számtani átlagát vizsgáljuk. Legyenek X 1, X 2,..., X n valószín ségi változók és legyenek w 1, w 2,..., w n súlyok ( w i = 1 és w i 0 minden i-re). Jelölje Y valószín ségi változó a súlyozott számtani átlagot, azaz Y = w i X i, ennek várható értéke és varianciája a korábban megismert összefüggésekb l E(Y ) = V ar(y ) = w i E (X i ), w i w j Cov (X i, X j ). j=1

22 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Ha a súlyokat és a várható értékeket egy-egy vektorba foglaljuk úgy, hogy m = (E (X 1 ), E (X 2 ),..., E (X n )) és w = (w 1, w 2,..., w n ), akkor a fentieket vektormátrix m veletek segítségével tömörebb formában is írhatjuk. E(Y ) = w T m, V ar(y ) = w T Cw = w T SRSw. Ha a valószín ségi változók függetlenek, akkor V ar(y ) = w T SSw = (Sw) T (Sw), ahol T a transzponálás jele. Példa: Tegyük fel, hogy egy adott id periódusban egy bizonyos részvény ára egyenl valószín -séggel n vagy csökken 1 egységgel és különböz id periódusok kimenetele egymástól független. Jelölje az X valószín ségi változó az els periódusbeli változást, az Y valószín ségi változó pedig az els három periódusbeli változás összegét. Határozzuk meg az X és Y valószín ségi változók közötti kovarianciát és a korrelációs együtthatót! Megoldás: Az egyszer bb számolás kedvéért készítsünk egy táblázatot a lehetséges esetek vizsgálatára. A +, jelekkel az értékpapír árának növekedését ill. csökkenését jeleztük. A 2. oszlopban az X valószín ségi változó, a 2. sorban pedig az Y valószín ségi változó lehetséges értékeit tüntettük fel. A táblázat belseje az XY szorzat valószín ségi változó valószín ség eloszlását mutatja. Az utolsó sor és oszlop az X és az Y valószín ségi változó lehetséges értékeihez tartozó valószín ségeket mutatja.

1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 23 + + + + + - + - + + - - X Y 3 1 1-1 1-1 -1-3 + 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 0 0 0 1/2 - -1 0 0 0 0 1/8 1/8 1/8 1/8 1/2 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1 - + + - + - - - + - - - E(X) = 1 1 2 + ( 1) 1 2 = 0, E(Y ) = 3 1 8 + 1 1 8 + 1 1 8 + ( 1) 1 8 + 1 1 8 + ( 1) 1 8 + ( 1) 1 8 + ( 3) 1 8 = 0, E(XY ) = 1 3 1 8 + 1 1 1 8 + 1 1 1 8 + 1( 1) 1 8 + +( 1)1 1 8 + ( 1)( 1) 1 8 + ( 1)( 1) 1 8 + ( 1)( 3) 1 8 = 1, V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 1 2 1 2 + ( 1)2 1 2 02 = 1, V ar(y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 = 1 8 [32 + 1 2 + 1 2 + ( 1) 2 + +1 2 + ( 1) 2 + ( 1) 2 + ( 3) 2 ] 0 2 = 3. A kovariancia és a korrelációs együttható Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 1, ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) = 1 = 0.577 V ar(x)v ar(y ) 1 3. Bemutatunk egy másik megoldási módot is.

24 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Jelöljék az X 1, X 2, X 3 valószín ségi változók az 1., a 2. és a 3. periódusbeli változást. (Az X 1 azonos az el z megoldásban szerepl X-el.) Ezek a valószín ségi változók függetlenek. A feladat értelmében az X 1 és az X 1 + X 2 + X 3 valószín ségi változók kovarianciáját kell meghatározni, amelyet az alábbiak szerint végezhetünk, felhasználva a kovariancia additivitását és a függetlenséget Cov(X 1, X 1 + X 2 + X 3 ) = Cov(X 1, X 1 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov(X 1, X 3 ) = = Cov(X 1, X 1 ) = V ar(x 1 ) = 1. A korrelációs együttható számításához szükségünk van a három független valószín ségi változó összegének varianciájára, amely az alábbiak szerint számítható V ar(x 1 + X 2 + X 3 ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + V ar(x 3 ) = ρ(x 1, X 1 + X 2 + X 3 ) = = 3V ar(x 1 ) = 3, Cov(X 1, X 1 + X 2 + X 3 ) V ar(x1 )V ar(x 1 + X 2 + X 3 ) = 1 3 = 0.577.

2. fejezet Geometriai Brown-mozgás 2.1. A geometriai Brown-mozgás deníciója Jelölje S(y) egy értékpapír árát y id elteltével a jelent l. Az S(y), 0 y < értékpapír árak együttese m és σ paraméter geometriai Brown-mozgást követ az alábbi két feltétel fennállása esetén: 1. ha minden nemnegatív y és t értékre az S(t + y) S(y) valószín ségi változó független az y id pont el tti áraktól, 2. a ( ) S(t + y) log S(y) valószín ségi változó mt várható érték és σ 2 t varianciájú (σ t szórású) normális eloszlású valószín ségi változó. Más szavakkal: az árak sorozata akkor követ geometriai Brown-mozgást, ha az árak hányadosa nem függ a múltbeli áraktól és lognormális valószín ség-eloszlású mt és σ t paraméterekkel. A geometriai Brown-mozgást tehát két paraméter meghatározza. Az m paramétert drift (növekedési) paraméternek, a σ paramétert pedig volatilitási (változékonysági) paraméternek szokás nevezni. A feltevés szerint egy adott t hosszúságú id szakban az árak hányadosa ugyanolyan eloszlást követ, 25

26 2. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS függetlenül attól, hogy mi az id szak kezdete. Eszerint tehát egy értékpapír árának pl. egy hónap alatti megduplázódása ugyanakkora valószín ség mintha 10-r l vagy 25-r l duplázódott volna meg. Haakezd ár S(0), akkoratid beliárvárhatóértékeésvarianciájaalognormális eloszlásra megismert összefüggések alapján E [S(t)] = S(0)e t(m+σ2 /2), V ar [S(t)] = [S(0)] 2 e 2t(m+σ2 /2) (e tσ2 1). Példa: Tegyük fel, hogy egy értékpapír S(y), y 0 ára geometriai Brown mozgást követ, m=0.01 és σ=0.2 paraméterekkel. Ha S(0) = 100, akkor t = 10 esetén a) E [S(10)] =?, V ar [S(10)] =?, b) P (S(10) > 100) =?, c) P (S(10) < 120) =? Megoldás: a) A várható értékre és a varianciára adott képletekbe behelyettesítve kapjuk, hogy E [S(10)] = 100e 10(0.01+0.22 /2) = 134.99, V ar [S(10)] = 100 2 e 2 10(0.01+0.22 /2) (e 10 0.22 1) = 8961.6. b) A keresett valószín séget áralakítva kapjuk, hogy P (S(10) > 100) = P (S(10) > S(0)) = P (log S(10) > log S(0)) ( = P log S(10) ) S(0) > 0. Az X = log S(10) valószín ségi változó tm várható érték és tσ varianciájú 2 S(0) normális valószín ségi változó, azaz a várható érték = 0.1, a szórás = 0.63246. A keresett valószín ség ( X 0.1 P (S(10) > 100) = P (X > 0) = P 0.63246 > 0.1 ) 0.63246 ( ) X 0.1 = P 0.63246 > 0.15811 = Φ (0.15811) = 0.5636.

2.2. A GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS PARAMÉTEREI 27 c) A keresett valószín séget átalakítva kapjuk, hogy ( P (S(10) < 120) = P S(10) < S(0) 120 ) ( = P log S(10) < log S(0) ( = P log S(10) < log S(0) + log 120 ) S(0) ( = P log S(10) ) 120 < log. S(0) 100 [ S(0) 120 ]) S(0) Az X = log valószín ségi változó S(10) 0.1 várható érték és 0.63246 szórású S(0) normális valószín ségi változó, így a keresett valószín ség ( P (S(10) < 120) = P X < log 120 ) = P (X < 0.18232) 100 ( ) X 0.1 0.18232 0.1 = P < 0.63246 0.63246 ( ) X 0.1 = P 0.63246 < 0.13016 = Φ (0.13016) = 0.5517. 2.2. A geometriai Brown-mozgás paraméterei Az m drift paraméter, a σ volatilitási paraméter értéke attól függ, hogy milyen mértékegységben mérjük az id t. A gyakorlat az id t évben mérik, így éves driftr l és éves volatilitásról szokás beszélni. Mit fejeznek ki e paraméterek, ezt szeretnénk néhány szóban bemutatni. A részvény két árfolyamának hányadosát Jelöljük X valószín ségi változóval a ) ) denícióban szerepl log valószín ségi változót, azaz X = log, amelyb l ( S(t+y) S(y) ( S(t+y) S(y) S(t + y) = S(y)e X. Ezen összefüggés szerint az X valószín ségi változó a részvény hozamát jelenti t id tartam alatt, azaz a részvényárfolyam folytonos növekedési üteme X. A deníció szerint tehát a részvény hozama normális eloszlást követ mt várható értékkel és

28 2. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS σ 2 t varianciával (ill. σ t szórással). Amennyiben t értékét 1-nek választjuk, úgy az m drift paraméter a részvény várható éves hozamát, a σ volatilitási paraméter pedig részvény éves hozamának szórását jelenti. A várható hozamot és a szórást százalékosan szokták megadni. Példa: Egy részvény árfolyamának várható éves hozama 16 %, volatilitása évi 30 %. A részvényárfolyam egy adott nap végén 1000 Ft. a) Mennyi a várható részvényárfolyam a következ nap végén? b) Mennyi a részvényárfolyam várható szórása a 2. nap végén? c) Mi a valószín sége, hogy a részvényárfolyam a 10. nap végén 950 és 1100 között lesz? Megoldás: Az adataink alapján m = 0.16, σ = 0.30, S(0) = 1000. Az árfolyamoknál keresked i napokban számolnak, ami 252 nap, így 1 nap évnek felel meg. 1 252 a) t = 1 252 0.004, E [S(0.004)] = 1000e 0.004(0.16+0.32 /2) = 1000.8. b) t = 2 252 0.008, V ar [S(0.008)] = 1000 2 e 2 0.008(0.16+0.32 /2) (e 0.008 0.32 1) = 722.63, szórás = 722.63 = 26.88. c) t = 10 S(0.04) 0.04, és tudjuk, hogy az X = log 252 S(0) normális eloszlású, várható értéke és szórása valószín ségi változó E(X) = mt = 0.16 0.04 = 0.0064, V ar(x) = σ t = 0.3 0.04 = 0.06.

2.3. KÖZELÍTÉS EGY EGYSZER MODELLEL 29 A keresett valószín ség ( 950 P (950 < S(0.04) < 1100) = P S(0) < S(0.04) S(0) ( log 950 1000 < 1100 ) S(0) S(0.04) = P < log < log 1100 S(0) 1000 = P ( 0.0513 < X < 0.0953) ( = P 0.9617 < X 0.0064 ) < 1.4817 0.06 = Φ(1.4817) Φ( 0.9617) = 0.76269. ) 2.3. Közelítés egy egyszer modellel Az alábbiakban egy egyszer modellt mutatunk be, amely ugyan pontatlanul, de elfogadható interpretálását adja a geometriai Brown-mozgásnak. Tekintsünk egy t hosszúságú id tartamot, amelynek a kezd ideje y, befejez ideje t + y. Legyen egy bizonyos részvény ára a két id pontban S(y) ill. S(t+y). Osszuk fel a t id tartamot n egyenl részre és tegyük fel, hogy a részvény ára csak a részintervallumok végén változik. Minden részintervallum végén a részvény ára vagy p valószín séggel u- szorosára változik (u > 1, tehát növekszik), vagy (1 p) valószín séggel d-szorosára változik (0 < d < 1, tehát csökken), ahol u = e σ t p = 1 2 n, ( 1 + m σ t d = e σ ) t. n Legyen X i egy Bernoulli valószín ségi változó, amelynek értéke 1, ha az árfolyam növekszikés0, haazárfolyamcsökkenaz i-edikrészintervallumban. Az X i valószín ségi változók mindegyikének ugyanaz a várható értéke és varianciája, mégpedig E(X i ) = p, V ar(x i ) = p(1 p). Ekkor az Y = X i valószín ségi változó mutatja, hogy a lejárati id alatt hányszor növekedett a részvény árfolyama. Az n Y valószín ségi változó pedig a lejárati id alatt a részvényárfolyam csökkenéseinek számát mutatja. szorosára vál- Ezt gyelembevéve az id tartam alatt a részvény árfolyama u Y d n Y tozik, azaz S(t + y) = S(y)u Y d n Y. n,