Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok

Géczi-Papp Renáta Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok

Autoregresszív folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha Y t = α 1 Y t 1 + + α k Y t k + ε t Ahol: α i konstansok ε t fehér zaj (várható értéke 0, szórása σ y ) 2

Autoregresszív folyamat Alapkifejezés nagyon hasonló a többváltozós regresszióhoz regresszív Saját késleltetett értékeivel magyarázzuk az Y változásait auto Az AR folyamatokkal általában azokat az idősorokat modellezhetjük, amelyekről feltehetjük, hogy jelen idejű értékeik alakulásában a közvetlen múlton kívül a véletlen hiba is beleszól (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011)) 3

http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosmsc/het_7_stacionarius.pdf 4

Mozgóátlag-folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatot k-ad rendű mozgóátlag folyamatnak nevezzük, ha Y t = β 0 U t + β 1 U t 1 + + β k U t k Ahol β k konstansok U t diszkrét fehér zaj (várható érték 0, szórás σ u ) 5

Mozgóátlag-folyamat MA folyamat várható értéke és autokovarianciája t -től független konstansok Gyenge stacionárius folyamat 6

http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosmsc/het_7_stacionarius.pdf 7

AR és MA folyamatok A két típusú folyamatok ki lehet egymásból fejezni Mindkét esetben különböző rendeket különböztethetünk meg AR(p) MA(q) Ahol p és q a folyamat rendjét jelenti 8

ARMA modellek Autoregresszív és Mozgóátlag modellek (autoregressive and moving-average) Sztochasztikus idősorelemzés legegyszerűbb és leginkább elterjedt módszere AR és MA folyamatokat egyesít Paraméterek megállapítása általában empirikus idősor alapján 9

ARMA (p,q) Y t = α 1 Y t 1 + α 2 Y t.2 + + α p Y t p + ε t + β 1 ε t 1 + + β q ε t q, Ahol ε t fehér zaj p és q az autoregresszív és mozgóátlag folyamat rendje 10

ARMA(p,q) Az AR tag arra utal, hogy Y t részben saját, véges múltjának lineáris regressziójaként írható fel A MA tag arra utal, hogy a lineáris regresszió hibatagja az εt fehérzaj mozgó átlaga, vagyis a jelen és a véges múlt lineáris kombinációja (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011)) 11

ARMA (p,q) modellezés Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011) 12

Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011) 13

Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)14

http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2008/200806/ 15

Identifikáció Paraméterek becslésére több lehetőség is van, a feltételektől függően (pl. momentumok módszere, OLS, stb.) Autokorrelációs és parciális autokorrelációs fv. árulkodó Folyamat ACF PACF AR(p) 0 ha τ>p akkor =0 MA(q) ha τ>q akkor =0 0 16

Takarékosság elve Principle of parsimony Mindig a legegyszerűbb modell kialakítására kell törekedni, vagyis azt a reprezentációt kell keresni, amely a legkevesebb paramétert tartalmazza 17

Modellválasztás p max és q max meghatározása (ökölszabály: ne legyen 3-nál nagyobb) Minden ARMA modell becslése Egy információs kritérium minimalizálása (takarékosság elve) Kiválasztott modell helyességének ellenőrzése Forrás: Rappai Gábor 18

Információs kritériumok 1. Előrejelzés végső hibája (final prediction error) 2. Akaike 3. Schwarz 4. Hannan - Quinn 19

ARIMA (p,d,q) Autoregresszív Integrált Mozgóátlag modell Legáltalánosabb, megengedi a stacionárius transzformációkat (differenciálás, logaritmizálás) p= autoregresszió rendje d= differenciák száma (nem szezonális különbségek) q= mozgóátlag rendje 20

Ismert ARIMA modellek ARIMA (p, d, q) ARIMA (0,1,0)=véletlen bolyongás ARIMA (1,1,0)=módosított elsőrendű autoregresszív modell ARIMA (0,1,1) egyszerű exponenciális simítás ARIMA (0,2,1) és (0,2,2) lineáris exponenciális simítás A vegyes modell - ARIMA (1,1,1) Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011) 21

Autokorreláció tesztelése Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)22

AR és MA rendjének meghatározása információs kritériumok segítségével saját számítás, EViews programmal 23

ARMA modell becslése saját számítás, EViews programmal 24

Előrejelzés ARMA modellel saját számítás, EViews programmal 25

Köszönöm a figyelmet! stgpren@uni-miskolc.hu 26