Zalotay Péter DIGITÁLIS TECHNIKA

Zalotay Péter DIGITÁLIS TECHNIKA

3oldal BEVEZETÉS 5 DIGITÁLISTECHNIKA ALAPJAI 7 LOGIKAI ALAPISMERETEK 7 2 A LOGIKAI ALGEBRA 8 2 Logikai változók, és értékük 8 22 A Boole algebra axiómái 9 23 Logikai műveletek 9 24 Algebrai kifejezések 4 25 Logikai feladatok leírása igazságtáblázattal és logikai vázlattal 6 26 Logikai függvény felírása az igazság-táblázatból 8 27 Teljes logikai függvények egyszerűsített felírású alakjai 2 28 A logikai függvények egyszerűsítése 23 2 EGYSZERŰ LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK 3 LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK 3 A logikai érték villamos jelhordozói 32 2 Terhelési viszony 34 22 Jelterjedési idő 34 INTEGRÁLT ÁRAMKÖRI KAPUK 35 TTL rendszerű kapuk 37 CMOS rendszerű kapuk 46 3 ÖSSZETETT FELADATOKAT MEGVALOSITÓ LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK 50 3 DEKÓDOLÓ ÁRAMKÖRÖK 50 3 Bináris dekódoló 50 32 BCD dekódoló 52 33 Dekódolók alkalmazása 53 32 KÓDOLÓ ÁRAMKÖRÖK 55 33 KIVÁLASZTÓ ÁRAMKÖRÖK (MULTIPLEXEREK) 57 34 ELOSZTÓ ÁRAMKÖR (DEMULTIPLEXER) 58 35 NAGYSÁG-KOMPARÁTOROK 60 4 TÁROLÓK 64 4 TÁROLÓ ALAPÁRAMKÖRÖK 64 4 Flip-flop típusok 64 42 Statikus billentésű flip-flop -ok 65 43 Közbenső tárolós (ms) flip-fiop 68 44 Dinamikus billentésű flip-flopok 72 45 CMOS flip-flop -ok 74 5 SORRENDI LOGIKAI HÁLÓZATOK 76 5 SORRENDI HÁLÓZATOK LOGIKAI LEÍRÁSA 78 5 Állapotgráf 79 52 Állapottáblázat 80 53 Állapottáblázat használata tervezésnél 8 52 SZÁMLÁLÓK 84 52 A számlálók csoportosítása 84 522 Bináris számlálók 85 523 BCD kódolású számlálók 9 524 Preset számlálók 96 525 Integrált áramköri számlálók 97 526 A számlálók alkalmazása 99 527 Változtatható modulusú számlálók alkalmazása 03 53 LÉPTETŐREGISZTEREK 05 53 A léptető regiszterek fajtái 06 532 Integrált áramköri léptető regiszterek 08 533 A léptetőregiszterek alkalmazása 09

4oldal

5oldal Bevezetés A digitális technika módszereivel az információ leképzés, műveletvégzés és az eredmények továbbítása kétértékű elemi információk (bitek) sorozatával, digitális szavakkal történik A különböző műveletvégzések egyszerű logikai döntések sorozatára vezethetők vissza Ugyancsak logikai műveleteket kell végezni, pl két - különböző mennyiség értékét hordozó - információ közötti viszony (kisebb, nagyobb, egyenlő) megállapításához Mielőtt a digitálistechnika alapjairól írnánk, röviden ismerkedjünk meg a teljesség igénye nélkül az e technikát megalapozó legjelentősebb személyek munkásságával George Boole (85-864) angol matematikus foglakozott legelőször a formális logika algebrai szintű leírásával és alkotta meg a róla elnevezett algebrát, melyet 847-ben a " The Mathematical Analiysis of Logic " című könyvében tett közzé C Shannon mérnök-matematikus 938 -ban megjelent 'Switching Theory' című könyvében adaptálta először G Boole algebráját, kétállapotú kapcsolóelemeket tartalmazó logikai rendszerek leírására Az információelmélet megalapítása is nevéhez fűződik, az információ alapegységét is tiszteletére róla nevezték el Azóta hihetetlen mértékű fejlődés következett be a technika és ezen belül is a logikai rendszerek fejlődésében és alkalmazásában Ez a fejlődés mind az elmélet, a rendszertechnika mind pedig a technológia területén igen gyors volt és természetesen ma is még az A technológia fejlődésén természetesen itt elsősorban az áramköri elemek és az ehhez kapcsolódó logikai illetve áramköri rendszerek szerelésének automatizálásra lehet gondolni Érdekes megfigyelni - véleményem szerint a technika fejlődésében egyedülálló módon - hogy voltak időszakok, amikor a technológia fejlődése - konkrétan a nagy bonyolultságú integrált áramkörök, a mikroprocesszorok megjelenése - készületlenül érte az elméletet, szinte lehagyva azt A következő felsorolás teljesen önkényes, de mindenképpen olyan tudománytörténeti neveket tartalmaz akik igen nagy mértékben elősegítették a logikai rendszerek elméletének kidolgozását, fejlődését, Evarist Galois (82-832 ) Francai matematikus a modern algebra egyik ágának megalapítója Az általa létrehozott és róla elnevezett csoportelmélet adja a kódolás elmélet, a kriptográfia elméleti hátterét Rövid élete alatt hozta létre ezt a nem éppen könnyen elsajátítható elméletet, még egyetemista korában párbajban meghalt Wilkes angol matematikus aki 954 es években kifejlesztette a mikro-programozás elméletét, amelyet a technológia akkori szintjén még igen költséges lett volna alkalmazni Ez az elmélet többek között a számítógépek központi vezérlőegységének tervezéshez adott univerzális megoldást Első alkalmazásai között az igen népszerű IBM 360 -as számítógép is szerepelt 964-65 években Mealey és Moore mérnökök a logikai rendszerek tervezésének egy olyan zárt jól alkalmazható elméletét adták meg, mely a kor eszközbázisának megfelelő alkalmazását tette lehetővé Az 97-es évre tehető az integrált áramköri gyártástechnológia olyan mértékű fejlődése, hogy lehetőséggé vált a számítógépek központi egységének megvalósítása egy vagy több tokban, vagyis megjelent a mikroprocesszor Azóta a fejlődés még inkább felgyorsult és szinte nincs az iparnak, a szórakoztató-iparnak, a kereskedelemnek, a mezőgazdaságnak, a szolgáltatásoknak olyan területe, ahol a nagy integráltságú és olcsó digitális rendszerek ne terjedtek volna el Kis túlzással azt mondhatnánk, hogy az utolsó egy két évtized a digitális technika korszaka volt és talán még marad is Az integrált áramkörök gyártástechnológiájának

6oldal fejlődését igen jól mutatja az, hogy az 972-es évek közkedvelt I8080 típusú mikroprocesszora még csak megközelítően 4700 tranzisztort tartalmazott, míg ma a kereskedelemben lehet kapni olyan Pentium alapú mikroprocesszort és egyéb rendszertechnikai elemeket tartalmazó chipet mely 50 millió tranzisztorból épül fel Természetesen nem csak mikroprocesszorokat fejlesztettek ki, de más univerzálisan, vagy nagy sorozatban használható áramköri készletek is kialakultak: Memóriák programozhat logikai elemek: FPGA, stb berendezés orientált integrált áramkörök céláramkörök, pl Quarz órák Az integráltsági fok növekedésével egyre több funkció került egy tokba ( chipbe ), amely jelentősen megnövelte a kivezetések számát is Ezeknek a nyomtatott áramköri lemezre való beültetésére a hagyományos technológia nem volt alkalmas, ezért kifejlesztették a felületszerelési technológiákat ( angolul Surface Mount Technology = SMT) és alkatrészeket ( angolul Surface Mountage Devices ) SMD Az egy chip -ben leintegrált logikai funkciók olyan bonyolultakká váltak, hogy tesztelésükre már a hagyományos módon nem volt lehetőség, ezért ki kellett fejleszteni új megoldásokat erre a feladatra, és ezek a ma oly közkedvelt szimulációs programok illetve hardware leíró nyelvek ( VHDL) Nagyon kevés műszaki szakterületet lehet találni, amelynek csak megközelítően is akkora irodalma volna mint a digitális technikának illetve rendszereknek Ugyanakkor és ez talán ellentmondásnak tűnik, hogy ritka az olyan szakterület is amelyben olyan rövid idő alatt lehet olyan tudásra szert tenni, mellyel már egész komoly logikai rendszerek építhetők fel Az ellentmondást az oldja fel, hogy ma már nem elegendő ha egy rendszer működik, ez csak egy alapkövetelmény, de annak számos esetben igen nagy megbízhatósággal, könnyű szervizelhetőséggel, versenyképes áron kell megvalósulnia És az ilyen "hiba tűrő" rendszerek tervezése és szervizelése nagy tudást igényel

7oldal DIGITÁLISTECHNIKA ALAPJAI Logikai alapismeretek Halmazelméleti alapfogalmak Halmazon valamilyen közös tulajdonsággal rendelkező dolgok összességét értjük A halmazhoz tartozó "dolgok összességét" a halmaz elemeinek nevezik Az adott tulajdonságokkal nem rendelkező dolgok összessége alkotja a komplemens vagy kiegészítő halmazt A halmazok lehetnek végesek vagy végtelenek a halmazt alkotó elemek számától függően Két speciális halmazt is definiálnak: üres halmaz melynek egyetlen eleme sincs, és a teljes vagy univerzális halmazt, amelyet valamely halmaz és ennek komplemens - e alkot Egy halmaz általában további részekre úgy nevezett részhalmazokra is oszthatunk, mely úgy jön létre, hogy az adott halmazhoz még további szűkítő feltételt is rendelünk Például vegyük egyszerűség kedvéért a természetes számok halmazát, ezeknek részhalmazai lehetnek a prímszámok, a 2-vel vagy 3-mal osztható számok stb Azon részhalmazt mely minden eleme része két vagy több halmaznak, azt a két halmaz közös részének (metszet) vagy latin kifejezéssel élve a két halmaz konjunkció - jának mondjuk Előbbi példánkban az A halmaz a 2-vel a B halmaz a 3-mal osztható számokat jelentse, akkor azon számok melyek 2-vel és 3-mal is oszthatók a két halmaz közös részét más szóval metszetét képezik Általánosan tehát az A halmaz elemei 2i ahol i [, ], a B halmazé 3j ahol j [, ], és így a közös rész halmazát a 6k ahol k [, ] számok képezik A közös rész jelölésére halmazelméletben, L vagy jelet, illetve a Boole algebrában a logikai szorzást és ennek jelét használják Tehát: A Λ B = A B=A B Azon elemekből felépülő halmazt mely tartalmazza mind az A mind pedig a B ( vagy esetleg több halmaz ) elemeit a két halmaz egyesített halmazának vagy uniójának nevezik Latin szóval ezt a műveletet diszjunkció - nak nevezik Előbbi példánknál maradva az egyesített halmaz elmei 6i, 6i-2,6i-3,6i-4 ( i=,2,3) Az egyesített halmaz jelölésére az U vagy V szimbólumot illetve a Boole algebrában a logikai összeadást és ennek jelét használják: A U B = A V B = A + B A halmazok és a rajtuk értelmezett műveletek jól szemléltethetők (a J Venn és Veitch matematikusról elnevezett) diagramokkal is A teljes halmazt egy négyzettel, míg a részhalmazokat egy zárt alakzattal célszerűen egy körrel (Venn diagramban) vagy egy téglalappal (Veitch diagramban) jelölik

8oldal A B Venn diagram részhalmazok metszete részhalmazok egyesítése A A A D C D C D C B Veitch diagram B Metszet _ ABCD B Egyesítés _ A+B+C+D A Veitch diagramban minden változóhoz a teljes halmaz (esemény-tér) fele, míg a másik térfél a változó tagadottjához tartozik Az ábra négyváltozós halmazt ábrázol A peremezésnél vonalak jelzik, hogy az egyes változók melyik térfelén IGAZ értékűek Az ábrán a metszésnek (ÉS művelet) azt a változatát szemlélteti, amelyik mindegyik változó valamelyik értékének közös területe Ez metszi ki a legkisebb elemi területet, ezért nevezik ezt minterm - nek A másik ábrán az összes változó valamely értékeihez tartozó együttes terület Az egyesített terület a legnagyobb részterület, amelyet maxterm - nek neveznek Mind a két kitüntetett területből 2 n en darab van, ahol n a változók száma 2 A logikai algebra A logikai algebra a Boole algebra axióma rendszerét veszi alapul, de kiegészítésekkel a digitális rendszerek tervezésére, elemzésére alkalmas algebrává fejlődött A továbbiakban összefoglaljuk a logikai algebra alapjait A logikai áramkörök később sorra kerülő ismertetésénél, valamint azok működésének megértéséhez az algebrai alapok biztos ismerete elengedhetetlen 2 Logikai változók, és értékük A logikai algebra csak kétértékű logikai változók halmazára értelmezett A logikai változók két csoportba oszthatók, úgymint - független-, és - függő változókra Mindkét csoport tagjait a latin ABC nagy betűivel (A, B, C X, Y, Z) jelöljük Általában az ABC első felébe eső betűkkel a független, az utolsó betűk valamelyikével pedig a függő változókat jelöljük A változók két logikai értéke az IGAZ, ill a HAMIS érték Ezeket -el, ill 0-val jelöljük (IGAZ: ; HAMIS: 0)

9oldal 22 A Boole algebra axiómái Az axiómák olyan előre rögzített kikötések, alapállítások, amelyek az algebrai rendszerben mindig érvényesek, viszont nem igazolhatók Ezen állítások a halmaz elemeit, a műveleteket, azok tulajdonságait stb határozzák meg A tételek, viszont az axiómák segítségével bizonyíthatók A Boole algebra a következő axiómákra épül: Az algebra kétértékű elemek halmazára értelmezett 2 A halmaz minden elemének létezik a komplemens -e is, amely ugyancsak eleme a halmaznak 3 Az elemek között végezhető műveletek a konjunkció (logikai ÉS), illetve a diszjunkció (logkai VAGY) 4 A logikai műveletek: Kommutatív ak ( a tényezők felcserélhetők ), Asszociatív ak (a tényezők csoportosíthatók), Disztributív ak ( a két művelet elvégzésének sorrendje felcserélhető ) 5 A halmaz kitüntetett elemei az egység elem ( értéke a halmazon belül mindig IGAZ ), és a Nulla elem (értéke a halmazon belül mindig HAMIS) A logikai algebra a felsorolt axiómákra épül A logikai feladatok technikai megvalósításához a halmaz egy elemének komplemens - ét képező művelet is szükséges Ezért a műveletek között a logikai TAGADÁS (NEM) is szerepel 23 Logikai műveletek A változókkal végezhető logikai műveletek az: - ÉS (konjunkció) - logikai szorzás; - VAGY (diszjunkció) - logikai összeadás; - NEM (negáció, invertálás) - logikai tagadás A felsorolt műveletek közül az ÉS, ill a VAGY logikai művelet két-, vagy többváltozós Ez azt jelenti, hogy a változók legalább két eleme, vagy csoportja között értelmezett logikai kapcsolatot határoz meg A tagadás egy változós művelet, amely a változók, vagy változócsoportok bármelyikére vonatkozhat 23 Az ÉS ( AND ) művelet A logikai változókkal végzett ÉS művelet eredménye akkor és csak akkor IGAZ, ha mindegyik változó értéke egyidejűleg IGAZ A logikai algebrában az ÉS kapcsolatot szorzással jelöljük (logkai szorzás) ( Megj a logikai szorzás jelet - akár csak az Euklideszi algebrában - nem szokás kitenni, így a továbbiakban mi is eltekintünk ettől) Az AB = K algebrai egyenlőségben A és B a független változók, és K a függő változó, vagy eredmény Jelentése pedig az, hogy a K akkor IGAZ, ha egyidejűleg az A és a B is IGAZ

0oldal Mint a későbbiekben látni fogjuk a logikai függvénykapcsolatok több féle képen is megadhatók, az egyik általánosan használt a táblázatos megadási mód Mivel minden változó csak két értéket vehet fel ezért n változó esetén összesen 2 n különböző kombináció különböztethető meg (2 elemből álló n-ed osztályú ismétléses variáció! ) Így két változó esetén az összes lehetséges kombinációk száma négy Az igazságtáblázat bal oldalán adjuk meg a bemeneti vagy független változók értékét, míg jobb oldalán a kimentei vagy függő változó értékei szerepelnek Az ÉS műveletet leíró táblázat tehát az alábbi: B A K=A B 0 0 0 0 0 0 0 Az algebrai alaknál sokkal áttekinthetőbb a művelet szimbolikus jellel történő megadása Az ÉS művelet szimbolikus jele: A B & K A művelet értelmezéséhez vegyünk egy nagyon hétköznapi példát Ahhoz, hogy egy szobában a lámpa világítson, alapvetően két feltételnek kell teljesülni: - legyen hálózati feszültség; - a kapcsoló bekapcsolt állapotban legyen Szóban megfogalmazva: ha van hálózati feszültség és a kapcsoló bekapcsolt, akkor a lámpa világít (Az egyéb követelmények teljesülését, hogy az áramkör elemei jók feltételezzük) Ebben az egyszerű technikai példában a hálózati feszültség és a kapcsoló állapota a független-, a lámpa működése pedig a függő változó Mindhárom tényező kétértékű 232 A VAGY ( OR ) művelet A logikai változókkal végzett VAGY művelet eredménye akkor IGAZ, ha a független változók közül legalább az egyik IGAZ Algebrai formában ezt a független változók összegeként írjuk le (logikai összeadás) Az A + B = K alakú algebrai egyenlőségben a K eredmény akkor IGAZ, ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkettő IGAZ A VAGY műveletet leíró táblázat tehát az alábbi:

oldal A művelet szimbolikus jele: B A K=A + B 0 0 0 0 0 A B K Erre a logikai kapcsolatra ismert technikai példa egy gépkocsi irányjelzőjének működését ellenőrző lámpa A vezető előtt a műszerfalon levő lámpa világít, ha a külső irányjelzők közül vagy a jobb oldali, vagy a bal oldali jelzőlámpacsoport világít Azt az állítást, hogy jobb oldali jelzés van, jelölje J és azt, hogy bal oldali a jelzés pedig B Az eredményt, hogy a belső ellenőrző lámpa világít, jelöljük L-lel A működést leíró logikai egyenlőség: alakú lesz B + J = 233 A tagadás ( INVERS ) művelete L A logikai tagadást egyetlen változón, vagy csoporton végrehajtott műveletként értelmezzük Jelentése pedig az, hogy ha a változó IGAZ, akkor a tagadottja HAMIS és fordítva Algebrai leírásban a tagadást a változó jele fölé húzott vonallal jelöljük Ezek szerint a K = A egyenlőség azt jelenti, hogy a K akkor IGAZ, ha az A HAMIS ( Szóban A nem - nek, A felülvonásnak vagy A tagadottnak mondjuk) Táblázatban is megadható: A művelet szimbolikus jele: A K 0 0 A K Az A * B = K

2oldal összefüggés azt írja le, hogy az eredmény (K) csak akkor igaz, ha az A*B logikai ÉS művelet eredménye HAMIS értéket ad A tagadás műveletének előzőek szerinti értelmezése alapján abban a példában, amelyet az ÉS művelet magyarázatára hoztunk az A (A nem) azt jelenti, hogy nincs hálózati feszültség, ill a B (nem) jelenti azt, hogy a kapcsoló nincs bekapcsolva Az eredmény tagadása (K) azt fejezi ki, hogy a lámpa nem ég Az előzőek alapján a gépkocsi irányjelzését ellenőrző lámpa működését leíró összefüggésben is értelmezhetjük a J-t (jobb oldali jelzés nincs),a B-t (bal oldali jelzés nincs) és az L - t (ellenőrző lámpa nem világít) jelölések technikai tartalmát 234 A logikai műveletek tulajdonságai A következőkben a logikai ÉS, valamint logikai VAGY műveletek tulajdonságait elemezzük Kommutativitás ( tényezők felcserélhetősége ) A leírt szemléltető példákat vegyük ismét elő Azt állítottuk, hogy ha van hálózati feszültség, és a kapcsoló kapcsolt, akkor a lámpa világít Az eredmény változatlan, ha az állítások sorrendjét felcseréljük, vagyis ha a kapcsoló be van kapcsolva és van hálózati feszültség, akkor világít a lámpa Ez a látszólagos szójáték arra utal, - ami általánosan igaz - hogy az ÉS műveletekben a változók sorrendje felcserélhető, amely algebrai formában az azonossággal írható le AB = BA Az előzőekhez hasonlóan meggyőződhetünk arról is, hogy a VAGY műveletekben is felcserélhető -ek az egyes állítások Érvényes a azonosság J + B = B + J Tehát mind az ÉS, mind pedig a VAGY művelet kommutatív Asszociativitás ( a tényezők csoportosíthatósága) A két logikai művelet további tulajdonsága a műveleti tényezők csoportosíthatósága is, vagyis az asszociativitás Algebrai alakban az ill az ABC = A( BC) = ( AB) C = B( AC) A + B + C = A + ( B + C) = ( A + B) + C = B + ( A + C) azonosságok írják le az asszociatív tulajdonságot A zárójel - a matematikai algebrához hasonlóan - a műveletvégzés sorrendjét írja elő Eszerint a háromváltozós ÉS, ill VAGY műveletet úgy is elvégezhetjük, hogy előbb csak két változóval képezzük az ÉS, ill a VAGY kapcsolatot, majd annak eredménye és a harmadik változó között hajtjuk végre az előírt műveletet Disztributivitás ( a műveletek azonos értékűek )

3oldal A harmadik jelentős tulajdonság, hogy a logikai ÉS, valamint a logikai VAGY azonos értékű művelet Mindkettő disztributív a másikra nézve Algebrai formában ez a következőképpen irható le: A ( B + C) = AB + AC A + BC = ( A + B)( A + C) Az első azonosság alakilag megegyezik a matematikai algebra műveletvégzés szabályával A második azonosság csak a logikai algebrában érvényes Kifejezi azt, hogy egy logikai szorzat (ÉS kapcsolat) és egy állítás VAGY kapcsolata úgy is képezhető, hogy először képezzük a VAGY műveletet a szorzat tényezőivel és az így kapott eredményekkel hajtjuk végre az ÉS műveletet A logikai műveletek megismert tulajdonságai segítségével a logikai kifejezések algebrai átalakítása hajtható végre, és így lehetőség van a legegyszerűbb alakú kifejezés megkeresésére Ezt a későbbiekben még részletesebben fogjuk tárgyalni 235 A logikai algebra tételei A továbbiakban felsoroljuk a fontosabb tételeket, azok részletes bizonyítása nélkül A kitüntetett elemekkel végzett műveletek: * = 0*0 = 0 *A = A 0*A = 0 + = 0+0 = 0 +A = 0+A =A Az azonos változókkal végzett műveletek: A*A = A A+A = A A * A = 0 A + A = Meg kell jegyezni, hogy az A-val jelzett logikai változó nem csak egy változó, hanem egy logikai műveletsor eredményét is jelentheti A logikai tagadásra vonatkozó tételek: A = A A = A Általánosan: a páros számú tagadás nem változtatja meg az értéket, míg a páratlan számú tagadás azt az ellenkezőjére változtatja ( A + B) = A * B A * B = A + B Az előző két tétel az un De Morgan - tételek, amelyek általánosan azt fogalmazzák meg, hogy egy logikai kifejezés tagadása úgy is elvégezhet, hogy az egyes változókat tagadjuk, és a logikai műveleteket felcseréljük (VAGY helyett ÉS, ill ÉS helyett VAGY műveletet végzünk) Általános tételek:

4oldal A ( A + B) = A A + AB = A E két tétel a műveletek disztributív tulajdonsága és a már felsorolt tételek segítségével a következőképpen bizonyítható: További általános tételek A ( A + B) = AB A ( A + B) = AA + AB = A( + B) = A A + AB = ( A + A)( A + B) = A( A + B) = A A + AB = A + B AB + AB = B ( A + B)( A + B) = B AB + BC + AC = AB + AC ( A + B)( A + C) = AC + AB A legutóbb felsorolt tételek is bizonyíthatók az alaptulajdonságok segítségével 24 Algebrai kifejezések A továbbiakban ismertetünk néhány módszert, amelyeket az algebrai kifejezések átalakításánál gyakran használunk Az algebrai kifejezés bővítése Egy logikai szorzat nem változók, ha -el megszorozzuk, vagyis AB = AB* Az -et pedig felírhatjuk, pl ( C + C) alakban Tehát: AB = AB( C + C) = ABC + ABC Egy logikai összeadás nem fog megváltozói, ha 0-t hozzáadunk: A 0-t kifejezhetjük azonosságot kapjuk D + E = D + E + 0 F * F alakban A bővítést végrehajtva az D + E = ( D + E) + F * F = ( D + E + F)( D + E + F) Ennél a bővítésnél felhasználtuk a disztributivitást leíró egyik algebrai összefüggést, mely szerint A + BC = ( A + B)( A + C) Az előzőben ismertetett bővítési szabály megfordítva egyszerűsítésre is felhasználható

5oldal Példa: Igazoljuk a tételek között felsorolt AB + BC + AC = AB + AC azonosságot! Első lépésként a baloldal mindhárom tagját kibővítjük úgy, hogy szerepeljen bennük mind független változó (A,B,C) AB (C + C) + BC(A + A) + AC(B + B) = = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Az így kapott hat szorzatot tartalmazó kifejezésben kettő - kettő azonos Ezek közül egy - egy elhagyható az A + A = A tétel analógiájára (pl ABC + + ABC = ABC) Ezeket jelöltük egyszeres, illetve kettős aláhúzással Második lépésként a bővítés fordítottját végezzük, vagyis ahol lehet az azonos tényezőket kiemeljük ABC + ABC + ABC + ABC = AB(C + C) + AC(B + B) = AB + AC A zárójelekben levő kifejezések értékűek Ezzel igazoltuk az eredeti azonosságot 2 Algebrai kifejezés tagadása ( a De Morgan - tételek alkalmazása) ABC + ABC + ABC = (ABC)(ABC)(ABC) = = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) = (AA + AB + AC + AB + BB + BC + AC + BC + CC)(A + B + C) = Az átalakításnál először a De Morgan - tételt használtuk A következő lépésként az első két zárójeles kifejezés logikai szorzatát (ÉS művelet) képeztük (az eredmény aláhúzva) Az aláhúzott részt célszerű tovább egyszerűsíteni az A A = 0, és a B B = 0 tényezők elhagyásával, illetve a C C = C helyettesítéssel Majd tovább is egyszerűsíthető a C kiemelésével ( AB + AC + AB + BC + AC + BC + C) = AB + AB + C(A + B + A + B + ) = = AB + AB + C A zárójelben levő kifejezés azonosan, mert a logikai összeadás egyik tagja Térjünk vissza az eredeti kifejezéshez, amelynél a zárójelbe tett kifejezések összeszorzása, majd a lehetséges további átalakítás után ( pl az aláhúzott kifejezések értéke 0 stb) kapjuk meg a végeredményt

6oldal = (AB + AB + C)(A + B + C) = ABA + ABA + AC + ABB + ABB + CB + + ABC + ABC + CC = AB + 0 + AC + AB + 0 + CB + ABC + ABC + 0 = = AB( + + C) + C(A + B + AB) = AB + C Példa: Igazoljuk a azonosságot! Első megoldás: Második megoldás: DF + EF = F + DE D F + EF = (D + E)F = (D + E) + F = DE + F DF + EF = (DF)(EF) = (D + F)(E + F) = DF + FF + DE + EF = DF + F + DE + EF = F(D + + E) + DE = F + DE 25 Logikai feladatok leírása igazságtáblázattal és logikai vázlattal A logikai formában megfogalmazható, műszaki, számítási és irányítási feladatokban mindig véges számú elemi állítás szerepel Ezek mindig csak két értéket vehetnek fel, vagy IGAZ - ak, vagy HAMIS - ak Ebből következik, hogy a független változók lehetséges érték-variációinak a száma is véges Minden egyes variációhoz a függő változó meg határozott értéke tartozik A logikai kapcsolat leírásának táblázatos formája az igazságtáblázat, amely felírását az alapműveletek tárgyalásánál már ismertettük A táblázat tartalmazza a független változók összes érték-variációját és az egyes variációkhoz rendelt függvényértéket Az igazságtáblázatban minden logikai változó IGAZ értékét -gyel, míg a HAMIS értéket 0-val jelöljük Összefoglalva: az igazságtáblázat oszlopainak száma az összes logikai változó számával (függő változók száma + független változók száma), sorainak száma pedig a független változók lehetséges értékvariációinak számával egyezik meg A lehetséges értékvariációk számát (V-t) általánosan a V=2 n összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol n az összes független logikai változó száma A logikai szimbólumokkal ábrázolható egy összetett logikai kapcsolat is Ezt nevezzük logikai vázlatnak A logikai vázlat a hálózat tervezésénél hasznos segédeszköz Ezzel a későbbi fejezetekben még részletesen foglalkozunk Megjegyezzük, hogy általában csak egy függő változót tartalmazó igazságtáblázatot írunk fel Azokban az esetekben, ha egy logikai kapcsolat-rendszerben több függő változó van, célszerűbb mindegyikre külön-külön felírni az igazságtáblázatot Ezzel áttekinthetőbb képet kapunk

7oldal Példa: Írjuk fel a Z = AB + AB logikai függvény igazságtáblázatát! Első lépésként az igazságtáblázat oszlopainak és sorainak a számát határozzuk meg Mivel két független-, (A, B) és egy függő változó (Z) van, az oszlopok száma 3 A sorok száma a független változók számából (n=2) a összefüggésből számolható V = 2 n = 2 2 = 4 B A Z Második lépésként az értékvariációkat írjuk be Célszerű ezt úgy végrehajtani, hogy az egyik oszlopban (A) soronként váltjuk a 0, és az beírását A következő oszlopban (B) párosával váltogatjuk az értékeket (Nagyobb sorszámnál a következő oszlopoknál négyesével, majd nyolcasával variálunk sit) A beírásnak ez a rendszeressége biztosítja, hogy egyetlen variáció sem marad ki B A Z 0 0 0 0 Harmadik lépés az egyes sorokba írandó Z érték meghatározása Ezt úgy végezhetjük el, hogy a független változóknak értékeket adunk, s az adott függvényt kiszámítjuk sorban: A = 0, B = 0 Z = 0* + *0 = 0 2 sorban: A =, B = 0 Z = * + 0*0 = 3 sorban: A = 0, B = Z = 0*0 + * = 4sorban: A =, B = Z = *0 + 0* = 0

8oldal A teljesen kitöltött igazságtáblázat: B A Z 0 0 0 0 0 0 2 Rajzoljuk fel a példában szereplő logkai függvénykapcsolat logkai vázlatát! A felrajzolást a Z-től érdemes kezdeni A függvény Z = (AB) + (AB) alakjából látjuk, hogy Z-t két kifejezés VAGY művelete határozza meg Az egyes kifejezések (zárójelbe tett mennyiségek) két változó (egyenes és tagadott alakú) ÉS kapcsolata Az A, ill B állításokból a negált alakok egy-egy tagadással állíthatók elő A megismert szimbólumokkal megrajzolt logikai vázlat az ábrán látható A B & & Z Az előző példa egy sokszor használt függvény-kapcsolat, az un KIZÁRÓ-VAGY ( XOR) művelet ( Nevezik moduló összegnek is ) A művelet eredménye akkor, ha a két változó közül az egyik Több változóval is végezhető moduló - összegzés, és eredménye akkor, ha páratlan számú változó értéke A műveletnek a következő szimbólumok valamelyikét használják = A KIZÁRÓ-VAGY tagadottja az EGYENLŐ (Equivalencia) művelet, amely akkor ad IGAZ értéket, ha az állítások egyformák 26 Logikai függvény felírása az igazság-táblázatból Az előző pontban megismerkedtünk az igazság-táblázattal, amely a logikai kapcsolatrendszer leírásának egyik módszere Példa segítségével mutattuk be, hogy ismert logikai függvényből hogyan írható fel a táblázatos alak Ebben a részben azt fogjuk tárgyalni, hogy ha ismert az igazságtáblázat, hogyan lehet abból felírni a logikai függvényt

9oldal Az igazságtáblázat egy sora a független változók adott kombinációját és az ehhez tartozó függvény értékét adja Az egy sorban levő értékeket az ÉS művelettel lehet összekapcsolni A különböző sorok pedig különböző esetnek megfelelő variációkat írnak le Tehát egy adott időpillanatban vagy az egyik sor vagy egy másik sor variációja érvényes A sorok logikai kapcsolata VAGY művelettel írható le Az igazságtáblázatból két módszerrel lehet felírni a feladat teljes alakú logikai függvényeit Az alábbi példa kapcsán ismerkedjünk meg a módszerekkel, valamint a teljes alakú ( diszjunkt, ill konjunkt ) függvény-formákkal A diszjunkt - alakú függvény felírása C B A K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az igazságtáblázat tartalmát a következőképpen olvassuk ki A K jelű függő változó értéke (IGAZ), ha C=0 és B=0 és A= (2sor),vagy ha C=0 és B =l és A=0 (3sor),vagy ha C=0 és B= és A= (4sor),vagy ha C=l és B=l és A=0 (7sor) Az A,B,C és K változók közötti logikai kapcsolat az előbbiek szerint alakban is leírható A felírás szabálya a következő: K = ABC + ABC + ABC + ABC azokat a sorokat kell figyelembe venni, amelyeknél a függő változó értéke ; 2 az egy sorban levő független változók között ÉS műveletet kell végezni, ahol a független változó igaz (egyenes, más kifejezéssel ponált) alakban írandó, ha értéke és tagadott (negált) alakban, ha értéke 0; 3 az egyes sorokat leíró ÉS műveletű rész-függvények VAGY művelettel kapcsolódnak egymáshoz

20oldal Nézzük most meg az igazságtáblázatból felírt logikai függvény általános jellemzőit A függvény rendezett ÉS-VAGY alakú Az ÉS művelettel összekapcsolt részekben mindegyik változó szerepel egyenes vagy tagadott alakban, vagyis a Veitch diagramnál definiált minterm Az egyes minterm -ek között pedig VAGY műveleteket kell végezni Az ilyen függvényalakot idegen szóval diszjunktiv kanonikus alaknak (teljes diszjunktiv normál formának) nevezzük A konjunkt alakú függvény felírása Az igazságtáblázatból más módszerrel is felírhatunk logikai függvényt Azt nézzük meg, hogy mikor nem IGAZ (HAMIS) a következtetés A K = 0 ha C=0 és B=0 és A=0 (sor) vagy ha C= és B=0 és A=0 (5sor) vagy ha C= és B=0 és A= (6sor) vagy ha C= és B= és A= (8sor) A leírt logkai kapcsolatot a K = ABC + ABC + ABC + ABC függvénnyel írhatjuk le Ebből a K értékét mindkét oldal tagadásával nyerhetjük K = ABC + ABC + ABC + ABC A bal oldalon K-t kapunk A jobb oldal átalakítását a de Morgan - tételek alkalmazásával végezhetjük el K = (ABC)(ABC)(ABC)(ABC) = = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) A kapott függvényt elemezve, megállapíthatjuk, hogy annyi tényezőt (zárójeles mennyiséget) kaptunk, ahány helyen 0 értékű a K A zárójeles mennyiségek mindhárom független változót (A,B,C) tartalmazzák egyenes vagy tagadott alakban, és VAGY művelet változói Ezek maxterm -ek, melyeket a Veitch diagramnál definiáltunk Az első maxterm az igazságtáblázat első sora szerinti állítás - vagyis, hogy az A=0 és B=0 és C=0 - tagadása A további tagokat vizsgálva látjuk, hogy ezek is egy-egy olyan sornak a tagadásai, melyben K=0 Az előzőek alapján most már megfogalmazhatjuk, hogy az igazságtáblázatból úgy is felírhatjuk a feladatot leíró logikai függvényt, hogy azokat a sorokat vesszük figyelembe, melyekben a függő változó értéke 0; 2 az egy sorban levő független változók között VAGY kapcsolatot írunk elő; 3 a független változót egyenes alakban írjuk, ha értéke 0 és tagadott alakban, ha értéke ; 4 az egyes sorokat leíró VAGY függvényeket ÉS művelettel kell összekapcsolni Azt a logikai függvényt, amely maxtermek logikai szorzata idegen szóval konjunktív kanonikus alakúnak, rendezett VAGY-ÉS függvénynek (teljes konjunktív normál alakúnak) nevezzük

2oldal 27 Teljes logikai függvények egyszerűsített felírású alakjai Mivel a logikai változónak két értéke 0, illetve lehet, ezért ezt tekinthetjük egy bináris számjegy -nek is 27 A term ek helyettesítése A függvény egy maxtermjét, vagy mintermjét, bináris szám-ként is felírhatjuk Ehhez először megadjuk a változókhoz rendelt nagyságrend - et, és a ponált változó helyére -t, míg a negált helyére 0-t írunk Ez a szám lesz az adott maxterm, vagy minterm sorszám-a (súlya) Például: Legyen az 2 C 2,B 2,A 2 0 súlyozású Ekkor a 2 0 C BA minterm súlya: 2 + 0 2 + 2 = 0 = 5 B 2 0 C + B + A maxterm súlya: 2 + 2 + 0 2 = 00 = 2 v mi 0 B A mintermek az kifejezéssel is felírhatók, ahol az m jelzi, hogy minterm, a felső index v a változók számát, az alsó index i pedig a sorszámot jelenti Hasonlóan a maxtermek is helyettesíthetők a kifejezéssel Az indexek (v,i) jelentése ugyan az, míg az M jelzi, hogy maxterm A leírtakat a példában szereplő kifejezésekre ( ugyanazon változó súlyozásnál) a és a helyettesítéseket alkalmazhatjuk C BA 3 m 5 C + B + A 3 M 2 v M i 272 Függvények helyettesítése Az ismertetett helyettesítésekkel a diszjunktív, valamint konjunktív kanonikus alakú függvények is rövidebben írhatók Vegyük példának az előzőekben felírt 2 0 függvények alaki helyettesítését az A 2,B 2,C 2 változó súlyozás alkalmazásával: K = ABC + ABC + ABC + ABC K = m + 3 3 3 3 4 + m2 + m6 m3 K = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) K = M * 3 3 3 3 7 * M6 * M2 M0 273 Indexelt felírás: A függvények felírása tovább is egyszerűsíthető oly módon, hogy

22oldal megadjuk a függvény alak -ot a változók számát, és a függvényben szereplő term ek sorszámait A diszjunktív alakot a v (),a konjunktív alakot a v () formában írjuk A két minta függvény egyszerűsített felírása ( ugyanazon változó-súlyozást alkalmazva): 3 K = (2,3,4,6), K = 3 (7,6,2,0) 274 Kanonikus függvény-alakokok közötti átalakítás Az előzőekben megismertük, hogyan lehet a logikai feladat igazságtáblázatából felírni a logikai függvény két kanonikus alakját Az egyik kanonikus alakú függvény egyszerűsített formája alapján nagyon egyszerűen felírható a másik rendezett alak egyszerűsített formája Az átalakítás menete a következő: az ismert függvény alapján felírjuk az inverz függvényt (amely az alap függvény tagadottja), ezt a hiányzó indexű term ek alkotják, ha ismert a diszjunktív alak: 3 K = (2,3,4,6) K = 3 (0,,5,7) ismert a konjunktív alak: 3 K = (7,6,2,0) K = 3 (5,4,3,) az inverz függvény tagadásával nyerjük a másik alakú rendezett függvényt A tagadáskor a függvény - típusjele az ellenkezője lesz, és mindegyik index (i) kiegészítőjét ( i) kell vennünk a következő számítás alapján: i = (2 v - ) - i A tagadások elvégzése után 3 K = (0,,5,7) K = 3 (7,6,2,0)

23oldal 3 K = (5,4,3,) K = 3 (2,3,4,6) megkaptuk a keresett alakú függvényeket 28 A logikai függvények egyszerűsítése Az igazságtáblázat alapján felírt kanonikus alakú függvények a legtöbb esetben egyszerűsíthetőek Az egyszerűsítés azt jelenti, hogy a logikai algebra megismert tételeinek felhasználásával olyan alakot nyerhetünk, amelyben kevesebb művelet, és vagy kevesebb változó szerepel Az egyszerűsítésre azért van szükség, mert ez után a feladatot megvalósító logikai hálózat kevesebb áramkört, vagy programozott rendszer ( mikrogép ) programja kevesebb utasítást tartalmaz Az algebrai módszer mellett kidolgoztak grafikus, illetve matematikai egyszerűsítési eljárásokat is A felsorolt egyszerűsítési (minimalizálási) eljárásokat az 26 fejezetben bemutatott igazságtáblázattal leírt logikai feladat segítségével ismertetjük A feladat igazságtáblázata: C B A K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28 Algebrai egyszerűsítés A logikai algebra tárgyalásakor már bemutattunk néhány átalakítási eljárást Itt egy újabb példa segítségével végezzük el a feladat legegyszerűbb alakjának megkeresését a Egyszerűsítés a diszjunktív alakú függvényből K = ABC + ABC + ABC + ABC Először keressük meg, hogy vannak-e közös részeket tartalmazó mintermek És ezeket emeljük ki! K = AB(C + C) + AC(B + B)

24oldal A zárójelekben lévő mennyiségek értéke, ezért azok a logikai szorzatból elhagyhatók A keresett, legegyszerűbb függvényalak a következő: K = AB + AC b Egyszerűsítés konjunktív alakú rendezett függvényből K = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) Hasonlóan az előző egyszerűsítéshez itt is végezhetünk a disztributív tulajdonság alapján - kiemeléseket a maxtermek -ből K = (A + B + CC)(A + C + BB) A C C és B B tényezők értéke 0 és ezért a logikai összegekből elhagyhatók A keresett legegyszerűbb függvényalak tehát: K = (A + B)(A + C) c Igazoljuk a két alakból kapott függvények azonosságát, vagyis hogy igaz az A B + AC = (A + B)(A + C) egyenlőség Végezzük el a jobb oldalon a beszorzást! ( A + B)(A + C) = AA + AB + AC + BC A kapott kifejezésben az első tényező 0 A negyedik tényezőt szorozzuk -el 0 + AB + AC + BC(A + A) = AB + AC + BCA + BCA A közös részek kiemelése után A B( + C) + AC( + B) = AB + AC a zárójeles kifejezések elhagyhatók, mivel értékük A kapott eredménnyel igazoltuk az eredeti egyenlőség azonosságát Ezzel bizonyítottuk, hogy az igazságtáblázatból a két - ismertetett - módszer bármelyikével ugyanazt a függvényt kapjuk Összefoglalva: megállapíthatjuk, hogy az igazság- táblázatból rendezett ÉS- VAGY (diszjunktiv kanonikus) alakú vagy rendezett VAGY-ÉS (konjunktív kanonikus) alakú logkai függvényt írhatunk fel A két alak azonos függvényt ír le 282 Grafikus egyszerűsítés Karnaugh táblázattal A logikai függvények grafikus ábrázolásainak közös jellemzője, hogy az elemi - egy műveletes - logikai függvényekhez (minterm, maxterm) sík-, vagy térbeli geometriai alakzatot rendelünk A lehetséges egyszerűsítések közül csak a Karnaugh (ejtsd: karnó) táblázatos eljárással foglalkozunk A Karnaugh táblázat formailag a Veitch diagramból származtatott A különbségek a változók megadásának (a peremezésnek) módjában, valamint abban van, hogy egy elemi négyszög mintermet, vagy maxtermet is jelképezhet Egy n változós függvény n 2 db elemi négyzetből álló táblázatban szemléltethető

25oldal Az eljárás az ábra alapján követhető A halmazt egy négyszögben ábrázoljuk Minden változó értékéhez a teljes terület egyik felét, míg a 0 értékéhez pedig a másik felét rendeljük Az értékeket a négyszög szélére irt kódolással, adjuk meg Több változó esetén a felezést úgy forgatjuk, hogy a változókhoz rendelt területeket jól meg lehessen különböztetni Az a, és b ábrákon szemléltettük a 3 és 4 változós elrendezéseket A változók kódolását úgy kell végezni, hogy az egymás melletti oszlopok, ill sorok mindig csak egy változóban térjenek el egymástól C BA 00 0 0 0 a A három-változós Karnaugh - táblázat oszlopai a BA változó-pár lehetséges értékkombináció vannak rendelve Az oszlop-peremezést úgy kell végezni, hogy a szomszédos oszlopok csak egyetlen változó-értékben különbözzenek A harmadik változó C értéke szerint két sora van a táblázatnak Az egyikben C=0,a másikban pedig C= Az egyes elemi négyszögekhez tehát a változók különböző értékvariáció tartoznak A peremezés megváltoztatható, de csak úgy, hogy a szomszédos sorok, oszlopok egy változóban különbözhetnek ( A táblázat szélső oszlopai, illetve sorai mindig szomszédosak ) b BA DC 00 0 0 00 0 0 A négy-változós Karnaugh - táblázatra is érvényesek az előző meghatározások Az ábrázolási mód legfeljebb 6 változóig alkalmazható szemléletesen A következő ábrákon az 5, illetve a 6 változós táblázatot láthatjuk ED CBA 00 0 0 000 00 0 00 00 0 0 Az öt-változós táblázatot célszerű két négy-változós táblázatból úgy kialakítani, hogy a két rész peremezése csak az egyik változóban - itt pl a C tér el egymástól

26oldal CBA FED 000 00 0 00 000 00 0 0 00 0 00 00 0 0 A 6 változós táblázatnál függőlegesen duplázzuk meg a táblázat elemeit Így négy 4 változós egységet kapunk Az egyes rész-táblázatokban négy változó (ABED) azonosan variált Az eltérés vízszintesen a C, míg függőlegesen az F változó Az eddigiekben csak az ábrázolás formai részével foglalkoztunk Nézzük most meg a logikai tartalmat is A két hozzárendelés szerint beszélünk Kp ill Ks diagramról A Kp jelölés az ÉS-VAGY (vagyis a mintermek logikai összege), míg a Ks a VAGY-ÉS (maxtermek logikai szorzata) műveletes összerendelést jelenti A leírt kikötések betartásával - az előző fejezetben megismert - mindkét logikai függvényalak (diszjunktiv, ill konjunktív) ábrázolható, és egyszerűsíthető Karnaugh diagram segítségével Először nézzük meg, hogyan tölthető ki a Karnaugh diagram közvetlenül az igazságtáblázatból Példaként a három-változós az előzőekben már megismert feladat igazságtáblázata: C B A K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a Kp diagram használata A Karnaugh diagram egyes celláiba kell beírni a független változók (A,B,C) megfelelő kombinációihoz tartozó függő változó (K) értéket Az A=0,B=0,C=0 kombinációnál a K értéke 0, tehát a BA=00 oszlop és C=0 sor által meghatározott cellába 0-t kell írni és így tovább

27oldal C BA 0 00 0 0 0 Kp 0 0 0 A 0 értékeket nem fontos beírni, ugyanis az egyszerűsítésnél csak az értékű cellákat vesszük figyelembe Vizsgáljuk meg a diagram utolsó (BA=0) oszlopában lévő két cella tartalmát A felső cella tartalma az A BC, míg az alsó celláé A BC minterm Mivel mindkét cella értéke, azt jelenti, hogy mindkét minterm a függvény tagja, és közöttük VAGY kapcsolat van A két minterm -ből álló függvényrész egyszerűsíthető A BC + ABC = AB(C + C) = AB A példa alapján is bizonyítottnak tekinthetjük, hogy ha két élben érintkező cellában van, akkor ezek összevonhatók, vagyis az a változó amelyikben különböznek a cellák kiesik Az összevonhatóságot lefedő hurokkal szokás jelölni: C BA 0 00 0 0 Kp AC A B A lefedett (összevont) cellák VAGY kapcsolata adja az egyszerűsített függvényt: b Ks diagram használata K = AB + Az egyszerűsített függvényalakoknál tárgyaltakhoz hasonlóan a Kp és a Ks diagramok is felrajzolhatók egymásból Az átrajzolásnál a peremezés, és a cella-értékek komplemens -ét kell írni, vagyis 0 helyett -e, és fordítva A példa Ks diagramja: AC

28oldal C BA 0 00 0 Ks 0 A + B A + C A cellák most maxtermeket tartalmaznak, ezért az egyszerűsített függvény az összevonások (lefedések) közötti ÉS művelettel írható le: K = (A + B)(A + B) c Több cella összevonása A logikai függvények között vannak olyanok is, melyeknél többszörös algebrai összevonás is végezhető Keressük meg a következő négy (A,B,C,D) változós logikai függvény legegyszerűbb alakját! 0 2 3 A változókat súlyozzuk az A 2,B 2,C 2,D 2, szerint A függvény egyszerűsített alakja: F = 4 (8,0,2,3,4,5) Rajzoljuk meg a függvény Karnaugh táblázatát AB (0) () (3) () CD 00 0 0 (0) 00 (8) 0 (2) (4) 0 A Karnaugh diagram egyszerűsített alakú függvény alapján történő felrajzolását könnyíti, ha az egyes sorok és oszlopok súlyát decimálisan is jelöljük Ezt tettük a zárójelbe írt számokkal Először írjuk fel a harmadik sor rész-függvényét algebrai alakban, mivel mindegyik cellában értékű a függvény ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = ACD(B + B) + ACD(B + B) = = ACD + ACD = CD(A + A) = CD Az algebrai sorozatos kiemelések után két változó (A,B) kiesett Ugyanezt kövessük végig a Karnaugh diagramon is

29oldal CD AB 00 00 0 0 0 0 DC A DCA Mindkét lefedésnél kiesett a B változó A két, három változós rész-függvényben közös a DC rész, tehát összevonható A grafikus módszernél ez egy közös lefedéssel jelölhető CD AB 00 00 0 0 0 0 DC Hasonló négyes csoportot alkotnak a 8,0,2,4 sorszámú mintermek is, tehát összevonhatók CD AB 00 00 0 0 0 0 D A DC Az egyszerűsített függvény a két részfüggvény logikai összege, amely még algebrailag tovább egyszerűsíthető: F = DA + DC = D(A + C)

30oldal Az utolsó egyszerűsítés eredményeként kaptuk a legkevesebb művelettel megvalósítható alakot A logikai vázlata: C A D & F Összefoglalás: A grafikus függvényegyszerűsítés szabályi: 2 páros számú hatványa darab cella fedhető le (vonható össze, ha azok kölcsönösen szomszédosak, a kölcsönösen szomszédos meghatározást úgy kell érteni, hogy a kiinduló cellától indulva a szomszédos cellákon keresztül (2 páros számú lépés után) az kiindulóhoz jutunk vissza, a lefedett cellákból a kitevőnek megfelelő számú változó esik ki, amelyek a lefedés alatt változnak, minden -t tartalmazó cellát legalább egyszer le kell fedni

3oldal 2 EGYSZERŰ LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK Az előző fejezetben áttekintést adtunk azokról az alapvető matematikai és logikai ismeretekről, amelyek segítenek megérteni a digitális módon való műveletvégzés és jeltovábbítás módszereit, ill az automatikus irányítóberendezések működésének elvét Ebben a fejezetben a logikai műveleteket megvalósító alapvető logikai áramkörökkel ismerkedünk meg Részletesen fogúk ismertetni a félvezetős kapu áramkörök fizikai működését, logikai funkcióját és ezen elemi egységek egymáshoz csatlakoztatásának lehetőségeit, feltételeit A tárgyalás során alapozunk a tanult elektromosságtani ismeretekre Logikai áramkörök A megismert logikai műveletek (ÉS, VACY, NEM) technikai megvalósítása ma szinte kizárólag a félvezető alapú digitális áramkörökkel történik Ezek részletesebb megismerése előtt célszerű a technikai fejlődést röviden összefoglalni Az elektronikus logikai áramköröket az alkalmazott áramköri elemek és az előállítási technológia alapján különböző generációkba soroljuk Ez a besorolás egyúttal fejlődéstörténeti csoportosítás is Az első generációs áramkörök diszkrét passzív áramköri elemekből (ellenállások, kondenzátorok, diódák stb), valamint elektroncsövekből épültek fel Felhasználásúkra elsősorban a negyvenes évek közepétől az ötvenes évek közepéig terjedő időszakban került sor A második generációs áramkörök ugyancsak diszkrét passzív áramköri elemeket tartalmaznak, de aktív elemeik már a tranzisztorok Ezek az áramkörök a hatvanas évek közepéig voltak egyeduralkodók Az áramkörök gyártástechnológiájára az alkatrészek nyomtatott áramköri lapokra szerelése a jellemző Az egyszerű logikai funkciókat (ÉS, VAGY,NEM,TÁROLÁS) ellátó áramkörök egységes felépítésű - sorozatban gyártott - kártyákon (pl EDS - kártyák) vagy térbeli elrendezésű, műgyantával kiöntött kockákban (pl Terta kockák) kerültek forgalomba Ezekből építették a különböző irányítóberendezéseket, mint pl a forgalomirányító lámpák automatikus vezérléseit A harmadik generációs áramkörök csoportját alkotják kis és közepes bonyolultságú logikai (digitális ) integrált áramkörök (IC- Integrated Circuit) (logikai kapuk, flipflop -ok, regiszterek, számlálók stb) alkalmazásával épített rendszerek Az integrált áramkörök kb cm 3 -es térfogatban (tokozással együtt) olyan nagyságrendű áramköri funkciót látnak el, amelyet a második generációs logikai áramkörökkel -2 dm 2 -es nyomtatott áramköri lapon lehetett megvalósítani A rendszerépítés az IC-kel is nyomtatott lapon történik Ez a technika a hetvenes években vált egyeduralkodóvá, és napjainkban is ezt alkalmazzuk A negyedik generációs áramkörök közé a nagy bonyolultságú integrált áramkörök (a mikroprocesszor, kiegészítő rendszerelemek, memóriák stb) tartoznak A nagymértékű integrálás révén egyetlen tokban teljes rendszertechnikai egység (pl központi egység) állítható elő Néhány ilyen elem segítségével építhető egy teljes intelligens berendezés (mikroszámítógép, irányítástechnikai berendezés stb) A logikai áramkörök és egységek működésének megértéséhez elengedhetetlenül szükséges a diszkrét elemes félvezetős (második generációs), valamint a kis és közepes bonyolultságú integrált áramkörök (harmadik generációs) ismerete

32oldal A digitális hálózatban az alapáramkörök végzik a logikai ÉS, VAGY, NEM (esetleg ezek kombinációjából álló) műveleteket, a tárolást, valamint a hálózat működését kisegítő, nem logikai funkciókat (időzítés, jelgenerálás, jelformálás stb) Ezek alapján a következő logikai alapáramköröket különbözetjük meg: kapu áramkörök, tároló áramkörök (flip-fopok), jelgenerátorok, késleltető áramkörök, jelformáló, illesztő áramkörök Az áramkörök elemzésénél használt gondolatmenet: az áramkör működésének, logikai funkciójának, csatlakoztatási feltételeinek megismertetése lesz A legfontosabb fogalmak közül, mint a villamos jelhordozók, terhelési viszony, jelterjedési idő meghatározását előzetesen tárgyaljúk Külön kell még néhány mondatot szánni a passzív, ill aktív áramköri elem fogalmának A passzív elemek - mint pl az ellenállás, kondenzátor, dióda - csak villamos teljesítményt fogyasztanak Az aktív áramköri elemek - elektroncső, tranzisztor - villamos teljesítmény átalakítására is felhasználhatók Önmaguk villamos energiát nem állítanak elő A teljesítmény átalakításhoz (pl erősítéshez) szükséges energiát a tápforrásból nyerik A logikai érték villamos jelhordozói A különböző villamos áramkörökben a jelet - az információt - a villamos feszültség vagy áram hordozza Amikor folytonosan változók az információ - pl hangerő - a villamos jel minden egyes értéke (pl nagysága) más és más információtartalmat képvisel Az ilyen jelátvitelt nevezzük analógnak A digitális technikában - mint ahogyan ezt már megismerték - az elemi információnak csak két értéke lehet (IGAZ, HAMIS) Amikor a logikai információt az áram hordozza, akkor az egyik értékhez rendeljük, hogy folyik áram, a másikhoz, pedig azt hogy nem folyik áram Ez a jelhordozó-választás elsősorban az elektromechanikus relékkel megvalósított un relélogikai áramkörökben szokásos Ez a téma terület nem anyaga a tantárgynak A félvezetős logikai áramkörökben (tananyagúnk témája) a logikai értéket hordozó villamos jellemző leggyakrabban a villamos feszültség Mindkét logikai értékhez - egymástól jól elválasztva - egy-egy feszültségtartományt rendelünk A logikai értékhez rendelt feszültségértékeket logikai feszültségszinteknek vagy rövidebben logikai szinteknek nevezzük Az egyes logikai értékekhez rendelt szintek egy-egy feszültségsávot jelentenek E sávon belüli bár-mely feszültségérték ugyanazon elemi információt (logikai értéket) jelenti Ez biztosítja azt, hogy az áramköri elemek tényleges értékének különbözősége (szórása) és a különböző környezeti feltételek (hőmérséklet, terhelés stb) változósa az

33oldal információtartalmat nem módosítja Ez is biztosítja a digitális jelfeldolgozás nagyobb zavarvédettségét az analóg módszerrel szemben A logikai IGAZ értékhez rendelt szintet szintnek, vagy IGEN szintnek nevezik A logikai HAMIS értékhez rendelt szint pedig a 0 vagy NEM szint Az angol eredetű áramköri leírásokban a pozitívabb logikai feszültségszintet magas vagy H (High) szintnek, a negatívabb feszültségszintet pedig alacsony vagy L (Low) szintnek is szokás nevezni A választott feszültségszintek egymáshoz viszonyított elhelyezkedése, valamint a megengedett feszültségsáv (szint tűrés) nagysága szerint többféle logikai szintrendszerről beszélünk A szintek egymáshoz való viszonya szerint megkülönböztetünk: - pozitív és - negatív logikai szintrendszert Pozitív logikai szintrendszerről akkor beszélünk, ha az IGAZ értékhez rendeljük a pozitívabb feszültségsávot A HAMIS értéknek tehát a negatívabb feszültségsáv felel meg A negatív logikai szintrendszerben a negatívabb feszültségsávhoz (szinthez) tartozik az IGAZ érték és a pozitívabb szinthez, rendeljük a HAMIS értéket A technikai gyakorlatban az egyik szint mindig az áramköri rendszer közös 0 potenciálú értékét is magában foglaló feszültségsáv A ábra szemlélteti a pozitív, ill negatív szintrendszer egy lehetséges elhelyezkedését a függőleges feszültségtengely mentén Látható, hogy mindkét rendszerben a 0 logikai szint része a 0 feszültségérték A szintek tűrésének nagysága alapján megkülönböztetünk: - szabad és - kötött szintű logikai áramköri rendszereket Szabad szintű a logikai áramköri rendszer, ha legalább az egyik feszültségszint széles határok között változhat Általában ez a tűrés a tápfeszültség felével, egyharmadával egyezik meg Kötött szintű a logikai rendszer, ha mind az, mind pedig a 0 értékhez tartozó szint tűrése kicsi Ennek értéke rendszerint a nyitott félvezető elemen (dióda, tranzisztor) eső feszültség két-háromszorosa A továbbiakban sorra kerülő áramköri elemzéseknél a logikai szintek és tűrések szélső értékeinek jelölésére mint statikus jellemzőkre -a következő jelöléseket használjuk U - logikai szint névleges értéke, U H - logikai szint nagyobb abszolút értékű szélső értéke, U L - logikai szint kisebb abszolút értékű szélső értéke, U 0 - logikai 0 szint névleges értéke, U 0H - logikai 0 szint nagyobb abszolút értékű szélső értéke, U 0L - logikai 0 szint kisebb abszolút értékű szélső értéke