Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből

Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből Rebák Örs 2013. november 26. 1. Bevezetés A bevezetésben tárgyaltakat ismertnek teszem fel, közlésük csupán a teljesség kedvéért történik, illetve mert az irodalomban sokszor elveszhetünk a különböző elnevezések miatt, így legalább érthető az olvasó számára, hogy a fogalmakat milyen értelemben használom. Az előkerülő fogalmak kapcsán próbáltam azokat a tulajdonságokat kiemelni, illetve azokat az újabb fogalmakat bevezetni, amiket a szavazási eljárások tárgyalásakor használunk is. Binér relációk és a preferenciarendezés Binér relációk. Egy halmazt binér relációnak vagy kétváltozós relációnak nevezünk, ha minden eleme rendezett pár. Ha R egy binér reláció, akkor az (x, y) R helyett gyakran xry jelölést írunk, és azt mondjuk, hogy x és y között fennáll az R reláció. Ha valamely X és Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R egy X-beli binér reláció. Legyen R egy X-beli binér reláció. Azt mondjuk, hogy R reflexív, ha minden x X esetén (x, x) R; tranzitív, ha minden x, y, z X-re (x, y) R és (y, z) R esetén (x, z) R; dichotom vagy teljes, másoknál univerzális, ha minden x, y X esetén (x, y) R vagy (y, x) R (esetleg mindkettő) teljesül, azaz bármely két elem összehasonlítható. Preferenciarendezés. Egy X halmazbeli preferenciarendezés egy reflexív, tranzitív és teljes X-beli binér reláció. A preferenciarendezést P szimbólummal fogjuk jelölni, és ezután a könnyebb olvashatóság kedvéért az (x, y) P helyett az xp y írásmódot alkalmazzuk. Az xp y reláció esetében azt mondjuk, hogy x preferált y-hoz képest, vagy x legalább olyan jó mint y. Azt is mondjuk, hogy xp y az {x, y} (P szerinti) preferenciasorrendje vagy sorrendje. Szintén a könnyebb olvashatóság miatt azt, hogy xp y és yp z teljesül, az xp yp z írásmóddal jelöljük, és ekkor az xp yp z sorrendről beszélünk. Ilyenkor 1

nyilván a tranzitivitás miatt xp z is teljesül. Van aki P helyett R, vagy valamilyen más betűt, illetve a szimbólumot, vagy valamelyik nyomdai szempontból közeli rokonát használja. Relációk elméletét kellő matematikai egzaktsággal tárgyalja Járai [8] könyvének 1. fejezete. Közgazdasági szempontból fontos dolgokat emel ki Temesi [12] könyvének 4. fejezete. Az Arrow-féle lehetetlenségi tétel Most inkább az érthetőséget szem előtt tartva idézzük fel kevésbé formálisan mit állít az Arrow-féle lehetetlenségi tétel. Tétel: Arrow-féle lehetetlenségi tétel. Tegyük fel, hogy adott V véges halmaz a döntéshozók halmaza (V számosságát jelölje V = k < ); adott X halmaz az alternatívák halmaza (X számosságát jelölje X = n); minden döntéshozóhoz tartozik egy P i, i = 1,..., k reflexív, tranzitív és teljes reláció az X alternatívahalmazon, azaz egy X-beli preferenciarendezés, tehát V (illetve az (X, V ) pár) egy (P 1, P 2,..., P k ) preferenciaprofillal jellemezhető; bármely döntéshozóhoz bármilyen preferenciarendezés tartozhat (korlátozás nélküli értelmezési tartomány vagy univerzalitási feltétel); n 3, azaz legalább három alternatíva van. Ekkor nem létezik olyan társadalmi választási függvény amivel az egyéni preferenciarendezéseket egy lehetséges társadalmi preferenciarendezésbe visszük át, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három kritériumot. Legyenek adottak x, y X alternatívák, és minden szóbajövő döntéshozó V -beli. Ekkor ha minden döntéshozó x-et preferálja y-hoz képest, akkor a csoport is x-et preferálja y-hoz képest (Pareto-elv); ha egyik döntéshozónak sem változik meg a preferenciája x és y között, akkor a csoport preferenciája sem változik meg x és y között, még akkor sem, ha a döntéshozók bármely más preferenciája megváltozik (irreleváns alternatíváktól való függetlenség); a csoportban nincs olyan döntéshozó, akinek a preferenciái a többiek preferenciájának figyelembe vétele nélkül, mindig meghatározná a csoport preferenciarendezését (diktátormentesség). A tételről részletesebben a tudománytörténetileg is jelentős Arrow [2] művében olvashatunk, illetve ajánljuk még Arrow [1] cikkét. Geanakoplos [7] rövid írásában három bizonyítást is találunk. Bizonyítások magyar nyelven is több helyen fellelhetőek, például Zalai [14] könyvében. 2

2. Szavazási eljárások A döntéshozók véges halmazát ebben a fejezetben is V jelöli, számosságát pedig V = k <. Most is jelölje X az alternatívák halmazát, számosságát pedig X = n. Az egyéni illetve a csoportos preferenciarendezéseket is P fogja jelölni, az indexet elhagytam, mert a szövegkörnyezetből kiderül mikor, mire vonatkozik a sorrend. Az itt tárgyalt eljárásokkal számos írás foglalkozik. Magyar nyelven például Temesi [12] 9. fejezetében találhatunk kiegészítéseket. A továbbiakban tegyük fel, hogy minden döntéshozó a saját preferenciarendezése alapján sorbarendezte az alternatívákat, azaz mindenki megoldotta a saját rangsorolási problémáját, és most ezekből a sorrendekből szeretnénk egy csoportsorrendet képezni. a következő eljárásokban a döntéshozók nem változtathatják meg a preferenciasorrendjüket, azaz mindig annak megfelelően szavaznak. Condorcet példája Tegyük fel, hogy egy 60 fős testület akar elnököt választani a, b és c jelöltek közül. Tehát k = 60, n = 3, X = {a, b, c} és a döntéshozók preferenciasorrendje a következőképpen alakul: ap cp b bp cp a cp bp a cp ap b 23 fő 19 fő 16 fő 2 fő Megjegyezzük, hogy az ap bp c és a bp ap c sorrendeket senki sem alakította ki. Most három különböző eljárást mutatunk be, melyekkel csoportos sorrendet lehet kialakítani. A jelölésekből innentől a fő -ket elhagyjuk, nyilván azzal együtt értendőek. Egyszerű többségi elv. Ha összeszámláljuk, hogy az egyes döntéshozók az általuk legjobbnak tartott jelöltre hány szavazatot adtak le, akkor a következő sorrend alakul ki: a : 23 b : 19 c : 18 = 16 + 2 Az egyszerű többségi elv alapján kialakult csoportos sorrend tehát ap bp c, azaz az a jelöltet választják elnöknek. 3

Abszolút többségi elv. Ekkor ismételt fordulóra van szükség, úgy, hogy mindig kiejtetjük az utolsó helyezettet. Az egyszerű többség alapján c lett az utolsó. Az új fordulót a és b között rendezzük, ekkor a sorrend: b : 35 = 19 + 16 a : 25 = 23 + 2 Az abszolút többségi elv alapján kialakult csoportos sorrend tehát bp ap c, azaz a b jelöltet választják elnöknek. Páros összehasonlítás. Most olyan eljárást készítünk, ahol minden jelölt megküzd minden jelölttel. A preferenciarendezésekből származó páros összehasonlítások végeredménye: ap b : 25 ap c : 23 bp c : 19 bp a : 35 cp a : 37 cp b : 41 A páros összehasonlítások alapján kialakult csoportos sorrend cp bp a, azaz a c jelöltet választják elnöknek. Vegyük észre, hogy a döntéshozók preferenciasorrendjei rögzítettek voltak, és az eljárások során sem változtatta meg senki az előre bemondott sorrendjét, tehát egy rögzített preferenciaprofil mellett az eljárástól függően bármely alternatívát ki tudtuk hozni nyertesnek. Fontos észrevétel továbbá, hogy teljesülnek az Arrow-féle lehetetlenségi tétel feltételei. Az, hogy melyik eljárást választjuk, egy szubjektív döntés. Mivel a páros összehasonlítás használta fel az adatokban rejlő legtöbb információt, így ha emiatt ezt választanánk, akkor sajnos még egy probléma jelentkezhet, mégpedig, hogy a csoportos sorrend nem feltétlenül lesz tranzitív, ami pedig egy természetes elvárásunk lenne, hiszen így a csoportos sorrend preferenciarendezés sem lehet. Egy ilyen szituációt láthatunk a következő példán. Páros összehasonlítások problémája: nem tranzitív csoportos sorrend. Legyen most is k = 60, n = 3, X = {a, b, c}. A döntéshozók preferenciasorrendjét most a következőképp rögzítsük: ap bp c bp cp a bp ap c cp ap b cp bp a 23 fő 17 fő 2 fő 10 fő 8 fő 4

Megjegyezzük, hogy az ap cp b sorrendet senki sem alakította ki. Ezekre a preferenciasorrendekből származó páros összehasonlítások végeredménye: ap b : 33 ap c : 25 bp c : 42 bp a : 27 cp a : 35 cp b : 18 A kialakuló sorrendek tehát ap b, bp c, cp a. Nem tudunk a jelöltek közül választani, mert megsérült a tranzitivitás. A probléma szemléltetésére a páros összehasonlításokból származó reláció gráfját alább ábrázoltuk. cp a a c ap b 8888888888888 bp c 8 A gráf is mutatja, hogy a reláció nem tranzitív. Az ap c éllel már tranzitív lenne. A probléma az, hogy a szavazási eljárás nem tesz eleget a Condorcet-kritériumnak. Condorcet-kritérium. Ha egy szavazási eljárásban az egyik alternatíva minden másikkal összehasonlítva előnyt élvez, akkor ezt az alternatívát az eljárás Condorcetgyőztesének vagy Condorcet-jelöltjének nevezzük. Condorcet-kritériumnak nevezzük azt a feltételt, hogy egy adott szavazási eljárás azt az alternatívát választja, amelyik a Condorcet-győztes. Minden Condorcet-kritériumnak megfelelő szavazási eljárást Condorceteljárásnak, vagy Condorcet-módszernek nevezünk. A Condorcet-eljárásokat karakterizálhatjuk úgy is, hogy a páros összehasonlításokból származó reláció egy preferenciarendezés. b Az alábbiakban néhány Condorcet-kritériumot kielégítő eljárást mutatunk be. Condorcet-féle maximin-eljárás Condorcet [4] a maximin-eljárást javasolja. Tekintsük az alábbi táblázatot, ahol minden páros összehasonlítást szerepeltettünk, és a negyedik oszlopban a sorminimumokat is feltüntettük. P a b c min a 33 25 25 b 27 42 27 c 35 18 18 Azt tekintjük győztesnek, akinek a legrosszabb eredménye a legjobb, tehát b nyer. A sorminimumokat a szokásos reláció szerint sorba rendezve a Condorcet-féle maximineljárással a bp ap c csoportos preferenciasorrend adódik. 5

Borda-eljárás Borda-eljárás egyszerű esetben. Condorcet kortársa Borda [3] a következő eljárást adta meg. Az alternatívákat pontszámokkal rangsoroljuk. Minden döntéshozó preferenciarendezésében az utolsó 0 pontot kap, az utolsó előtti 1-et és így tovább az első helyezettig, aki n 1 pontot kap. A helyezési pontokat összegezve a szokásos reláció alakítja ki a csoportos rangsort. Példánkban a : 58 pont = 2 23 + 2 + 10 b : 69 pont = 23 + 2 17 + 2 2 + 8 c : 53 pont = 17 + 2 10 + 2 8 A Borda-eljárással kapott csoportos preferenciasorrend tehát bp ap c, tehát itt b nyer. Borda-eljárás eliminációval. A Borda-féle eljárást eliminálással is végezhetjük, úgy, hogy a legutolsó helyezettet mindig kivesszük és az addig kialakult preferenciasorrend elejére helyezzük, majd a maradék jelöltre újra kiértékeljük az eljárást. Példánkban c lett az utolsó, így őt vesszük ki először. Az eljárás újrakiértékelésének eredménye pedig a : 33 pont = 23 + 10 b : 27 pont = 17 + 2 + 8 Így az eliminációval végzett Borda-eljárásban az ap bp c csoportos preferenciasorrendet kaptuk, tehát itt a nyer. Cook Seiford-eljárás A Cook Seiford-eljárás egy az eddigiekhez képest jóval későbbi eredmény, melyről Cook és Seiford [5] cikkében olvashatunk. Konstruáljunk egy D mátrixot úgy, hogy d ij jelentse azt, hogy az i-edik jelölt j-edik helyezését hány döntéshozó preferenciasorrendje gátolja. A példánkhoz tartozó D mátrix tehát: D = 1 2 3 a 62 48 58 b 51 29 69 c 67 43 53 Pédául d 11 = 62 = 27 + 35, hiszen bp a 17 + 2 + 8 = 27 esetben és cp a 17 + 10 + 8 = 35 esetben gátolja a 1. helyezését; d 12 = 48 = 23 + 17 + 8, hiszen ap bp c 23 esetben, bp cp a 17 esetben és cp bp a 8 esetben gátolja a 2. helyezését; d 13 = 58 = 33 + 25, hiszen ap b 23 + 10 = 33 esetben és ap c 23 + 2 = 25 esetben gátolja a 3. helyezését. A mátrix többi eleme analóg módon adódik. 6

D mátrixot úgy is interpretálhatjuk, hogy a d ij elem az i-edik alternatíva j-edik helyezéstől vett eltéréseinek összege. Például d 11 = 23 1 1 + 17 3 1 + 2 2 1 + 10 2 1 + 8 3 1 = 62; stb. A csoportos preferenciasorrend úgy adódik, hogy az ellenzések lehetséges összegeit minimalizáljuk. Példánkban ap bp c : 62 + 29 + 53 = 144 ap cp b : 62 + 43 + 69 = 174 bp ap c : 51 + 48 + 53 = 152 bp cp a : 51 + 43 + 58 = 152 cp ap b : 67 + 48 + 69 = 184 cp bp a : 67 + 29 + 58 = 154 A lehetséges összegek minimuma 144, így a Cook Seiford-eljárással az ap bp c sorrend adódik. Megjegyezzük, hogy a minimum meghatározása ezzel a módszerrel O(n!) időben történik. A probléma ennél jóval hatékonyabban is megoldható. Belátható, hogy a fenti mátrixon értelmezett hozzárendelési feladat is ugyanezt a sorrendet szolgáltatja. A Kőnig Dénesről és Egerváry Jenőről elnevezett magyar módszer segítségével O(n 4 ) időben megoldható a feladat. A módszert Kuhn dolgozta ki 1955-ben, erről részletesebben Kuhn [9, 10] publikációiban olvashatunk. A magyar módszer időbonyolultságával Munkres [11] cikke foglalkozik. A módszert módosítva O(n 3 ) bonyolultság is elérhető, mint arra Edmonds és Karp [6], vagy Tomizawa [13] is rámutatott. Hivatkozások [1] Arrow, K. J.: A Difficulty in the Concept of Social Welfare. The Journal of Political Economy, 58, pp. 328 346, 1950. [2] Arrow, K. J.: Social Choice and Individual Values. Second Edition, John Wiley and Sons, New York, 1963. [3] Borda, J.-C.: Mémoire sur les électiones au scrutin. Histoire de l Académie Royale des Sciences, Paris, 1781. [4] Condorcet, M.: Essai sur l application de l analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris, 1785. [5] Cook, W. D. Seiford, L. M.: Priority Ranking and Consensus Formation. Management Science, 24, pp. 1721 1732, 1978. 7

[6] Edmonds, J. Karp, R. M.: Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems. J. ACM, 19, pp. 248 264, 1972. [7] Geanakoplos, J.: Three Brief Proofs of Arrow s Impossibility Theorem. Cowles Foundation, Yale University, New Haven, 2005. [8] Járai A.: Bevezetés a matematikába. Negyedik, javított és bővített kiadás, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2012. [9] Kuhn, H. W.: The Hungarian Method for the assignment problem. Naval Research Logistics Quarterly, 2, pp. 83 97, 1955. [10] Kuhn, H. W.: Variants of the Hungarian method for assignment problems. Naval Research Logistics Quarterly, 3, pp. 253 258, 1956. [11] Munkres, J.: Algorithms for the Assignment and Transportation Problems. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 5, pp. 32 38, 1957. [12] Temesi J.: A döntéselmélet alapjai. Aula, Budapest, 2002. [13] Tomizawa, N.: On some techniques useful for solution of transportation network problems. Networks, 1, pp. 173 194, 1971. [14] Zalai E.: Bevezetés a matematikai közgazdaságtanba. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1989. 8