Rugalmas állandók mérése Mérő neve: Márkus Bence Gábor Mérőpár neve: Székely Anna Krisztina Szerda délelőtti csoport Mérés ideje: 11/30/2011 Beadás ideje: 12/07/2011 1
1. A mérés rövid leírása Mérésem során különböző anyagok rugalmassági tulajdonságait kellett vizsgálnom. Két féle módszerrel mértem. Az egyikben egy hengeres rúd és egy téglatest Young-moduluszát kellett statikus módszerrel meghatároznom. Ezt úgy végeztem, hogy a rudak lehajlását vizsgáltam különböző terhelések esetében. A másikban egy torziós szál torziómoduluszát határoztam meg oly módon, hogy az ebből összeállított torziós inga periódusidejét mértem kis kitérésekre, különböző tehetetlenségi nyomatékok esetében. 2. Méréshez használt eszközök Kétkarú emelő V2 hengeres rézrúd és A5 alumínium téglatest minták Terhelősúlyok Torziós szálból készített torziós inga Elektronikus detektor periódusidő mérővel 7-es és 8-as tárcsa Tolómérce, csavarmikrométer, mérőszalag Analitikai mérleg 3. Rövid elméleti összefoglaló 3.1. Young-modulusz mérése a rúd lehajlásából A mérés elve azon alapszik, hogy minden merev test lehajlása esetén lesz egy úgy nevezett neutrális zóna, amelynek a hossza nem fog megváltozni. Az ettől különböző rétegek hossza nő vagy csökken. A neutrális rétegre felírhatjuk (a [1] könyvben részletesen levezetett) összefüggést: l 3 s = 1 48 EI F, ahol s a lehajlás nagysága, l a felfüggesztési pontok távolsága, F az előidéző erő, E a keresett Young-modulusz, I pedig a keresztmetszet másodrendű 2
nyomatéka. I definíció szerint: I = z 2 df. F Látható, hogy I-t a minta alakja fogja meghatározni, tehát az adott test formajellemzője. A gyakran előforduló formákra kiszámolva: Kör keresztmetszetű R sugarú rúd esetében: I rúd = R4 π 4. Cső esetén, ahol R a külső, r a belső sugár: I cső = π 4 ( R 4 r 4). Téglalap alak esetén, ahol a az alap, b a magasság: I tégla = ab3 12. 3.2. Torziómodulusz mérése torziós ingával Belátható, hogy a T torziómodulusz és a toriziós inga T periódusideje között az alábbi összefüggés áll fent: G = K Θ T 2, ahol Θ a rendszer tehetetlenségi nyomatéka, K pedig a torziós szálat jellemző mennyiség: K = 8πl r. 4 Itt l a torziós szál hossza, r pedig a sugara. Mivel Θ nem ismert, ezért úgy kell eljárnunk, hogy az ingára szimmetrikusan két, Θ 1 és Θ 2 tárcsát helyezünk. Hogy szimmetrikus legyen a terhelés, ezért meg kell követelnünk, hogy m 1 m 2 és Θ 1 Θ 2 legyenek. A tárcsák távolsága a forgástengelytől legyen a. Ekkor írhatjuk a következőt: Θ = Θ ü + Θ 1 + Θ 2 + (m 1 + m 2 )a 2, ahol Θ ü az üres inga tehetetlenségi nyomatékát jelöli, az (m 1 + m 2 )a 2 -es tag pedig a Steiner-tételből származik. A fenti képletbe ezt visszaírva kapjuk: T 2 = K G (Θ ü + Θ 1 + Θ 2 ) + K(m 1 + m 2 ) a 2. G 3
A T 2 (a 2 ) pontpárokra egyenest illesztve, annak meredeksége: η = K G (m 1 + m 2 ), tengelymetszete pedig η 0 = K G Θ ü + Θ 1 + Θ 2. Az illesztett egyenes segítségével már meg tudjuk adni a rendszer torziómoduluszát: G = K m 1 + m 2 η és ennek segítségével már az üres inga tehetetlenségi nyomatékát is: Θ ü = Gη 0 K Θ 1 Θ 2. A tárcsák tehetetlenségi nyomatéka pedig a következő (mivel a tárcsák tömör korongok esetünkben): ahol R i a tárcsák sugara. Θ i = 1 2 m ir 2 i, 4. Mérési eredmények 4.1. Young-modulusz mérése Első mérésként a statikus mérést végeztem el. Itt két különböző rúd Youngmoduluszát kellett meghatároznom. A mérést egy kétkarú emelővel végeztem, olyan módon, hogy az emelő aljára helyeztem a mintát és két ponton alátámasztottam. Az alátámasztást igyekeztem szimmetrikusan beállítani, hogy a kiértékelés menete egyszerűbb legyen. A kétkarú emelőre különböző súlyokat akarsztottam, majd leolvastam a rúd meghajlását. Innen már az elméleti részben tárgyaltak alapján meg tudtam határozni az I hajlítási nyomatékot és az E Young-moduluszt. Először felvettem a minták geometriai adatait. Azért, hogy meggyőződjem arról, hogy a csavarmikrométerről leolvasott adatok helyesek, tolómérővel is megmértem a mintákat, ám ezeket az adatokat a számolásba nem vettem bele, mivel a tolómérő pontossága sokkal rosszabb. 4
V2 jelzésű hengeres rúd # 2r (mm) 1 9.90 2 9.89 3 9.90 4 9.87 5 9.91 átlag 9.89 r (mm) 4.95 A5 jelzésű téglatest # a (mm) b (mm) 1 8.04 11.96 2 8.04 11.95 3 8.03 11.96 4 8.03 11.95 5 8.03 11.94 átlag 8.03 11.95 Itt (2r) = a = b = 0.01 mm. A megmért geometriai adatok segítségével meg tudtam határozni a minták lehajlási nyomatékát: I rúd = R4 π = 471 ± 1.9 mm 4, 4 I tégla1 = 1 12 ab3 = 1142 ± 4.3 mm 4, I tégla2 = 1 12 a3 b = 516 ± 2.2 mm 4. Ahol a hibákat a relatív hibaszámításos módszerrel kaptam. 5
Ezt követően behelyeztem a mintákat a kétkarú emelőbe. A rögzítés távolsága l = 36 ± 0.1 cm volt. A behelyezést követően elkezdtem a mintát terhelni. Minden mérési pontban ellenőriztem, hogy kis kitérítés hatására visszatér-e a mutató az előző állapotba és csak azokat az adatokat fogadtam el helyesnek, amelyekre ez teljesült. Ilyen mód a mért adatok a réz rúdra: Itt s = 0.01 mm. V2 jelzésű réz rúd m (kg) F (N) s (mm) 0.50 4.905 0.57 0.75 7.358 0.61 1.00 9.810 0.65 1.25 12.263 0.69 1.50 14.715 0.73 2.00 19.620 0.82 2.50 24.525 0.89 3.00 29.430 0.97 3.50 34.335 1.06 4.00 39.240 1.13 4.50 44.145 1.22 4.75 46.598 1.25 5.00 49.050 1.29 5.50 53.955 1.38 5.75 56.408 1.42 6.00 58.860 1.47 6
A mért pontokra egyenest illesztettem: 1,5 s (mm) 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Mért pontok Illesztett egyenes Value Standard Error Intercept 0,48804 0,00263 Slope 0,01651 7,22207E-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 F (N) Az illesztett egyenes meredeksége: tengelymetszete: 1. ábra. Réz minta s(f ) grafikonja m rúd = 0.0165 ± 7.22 10 5 mm N, b rúd = 0.488 ± 2.6 10 3 mm. Innen a V2 réz rúd Young-modulusza: E rúd = 1 l 3 = 125 ± 2.1 GPa. 48 I rúd m rúd Itt a Young-modulusz hibáját az alábbi formulával számoltam: ( m E = E m + 3 l + I ). l I 7
Hasonlóan jártam el az alumínium téglatest esetében is, annyi különbséggel, hogy kétféleképp mértem. Először az a oldala volt a magasság és b az alap, majd fordítva. Az első esetben a mért adatok: A5 jelzésű alumínium rúd a magassággal m (kg) F (N) s (mm) 0.75 7.357 0.33 1.00 9.810 0.40 1.25 12.263 0.44 1.50 14.715 0.51 2.00 19.620 0.63 2.50 24.525 0.76 2.75 26.978 0.83 3.00 29.430 0.91 3.50 34.335 1.04 4.00 39.240 1.18 4.50 44.145 1.32 5.00 49.050 1.46 5.50 53.955 1.61 6.00 58.860 1.77 8
A mért pontokra illesztett egyenes: 1,8 1,6 1,4 Mért pontok Illesztett egyenes s (mm) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Value Standard Error Intercept 0,09882 0,01059 Slope 0,02783 3,08E-4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 F (N) 2. ábra. Alumínium minta s(f ) grafikonja a magassággal Az illesztett egyenes meredeksége: tengelymetszete: m tégla2 = 0.0278 ± 3.08 10 4 mm N, b tégla2 = 0.099 ± 0.011 mm. Az adatok segítségével meghatároztam az A5 minta Young-moduluszát a magasság esetén: l 3 E tégla2 = 1 = 68 ± 1.6 GPa. 48 I tégla2 m tégla2 9
Megmértem az alumínium minta Young-moduluszát úgy is, hogy a b oldala volt a magassága. Az így mért adatok: A5 jelzésű alumínium rúd b magassággal m (kg) F (N) s (mm) 1.00 9.810 0.41 1.25 12.263 0.43 1.50 14.715 0.49 2.00 19.620 0.57 2.50 24.525 0.64 3.00 29.430 0.70 3.50 34.335 0.77 4.00 39.240 0.83 4.50 44.145 0.89 5.00 49.050 0.95 5.50 53.955 1.01 6.00 58.860 1.08 10
A mért pontokra illesztett egyenes: 1,1 1,0 0,9 Mért pontok Illesztett egyenes s (mm) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Value Standard Error Intercept 0,29005 0,00917 Slope 0,01356 2,529E-4 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 F (N) 3. ábra. Alumínium minta s(f ) grafikonja b magassággal Az illesztett egyenes meredeksége: tengelymetszete: m tégla1 = 0.0136 ± 2.53 10 4 mm N, b tégla1 = 0.29 ± 9.2 10 3 mm. Az adatok segítségével meghatároztam az A5 minta Young-moduluszát b magasság esetén: l 3 E tégla1 = 1 = 63 ± 1.9 GPa. 48 I tégla1 m tégla1 11
Ezt követően megvizsgáltam, hogy a lehajlás hogyan függ az alátámasztás távolságától, azaz l-től. Mérésemet a réz rúddal végeztem. Minden hossznál két tömeg esetén mértem a lehajlást. Itt azt kellett kimutatnom, hogy s(l 3 ), ahol s = s 2 s 1 a két mért behajlás különbsége. Az s 1 behajlást minden esetben 2 kg terhelésnél, az s 2 -t minden esetben 7 kg-nál mértem. Az így mért adatok és az arra illesztett egyenes: Behajlás hosszfüggése l 2 l (m) l3 (m 3 ) s 1 (mm) s 2 (mm) s (mm) 11 0.22 0.0107 0.67 0.89 0.22 12 0.24 0.0138 0.52 0.77 0.25 13 0.26 0.0176 0.60 0.91 0.31 14 0.28 0.0220 0.64 1.02 0.38 15 0.30 0.0270 0.73 1.21 0.48 16 0.32 0.0328 0.43 0.98 0.55 17 0.34 0.0393 0.62 1.29 0.67 0,70 s (mm) 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 Transzformált pontok Illesztett egyenes Value Standard Error Intercept 0,03671 0,01103 Slope 15,96248 0,43775 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 l 3 (m 3 ) 4. ábra. s(l 3 ) függése a réz mintán 12
Az illesztett egyenes meredeksége: m = 15.96 ± 0.43 mm m, 3 A meredekség ismeretében már meg tudjuk határozni, hogy mekkora a Youngmodulusz: E = 1 F = 136 ± 4.3 GPa. 48 Im Jól látható, hogy a két mérés eredménye hibahatáron belül egyezik, viszont az előbbi jóval pontosabb, ez abból is látszik, hogy annak a hibája körülbelül fele ekkora. Meg kellett még vizsgálnom továbbá egy üreges csövet is és megmondani, hogy mennyivel lenne ellenállóbb, ha tömör anyagből készült volna. Ezt abból tudjuk megmondani, hogy kiszámoljuk a csőnek az I lehajlási nyomatékát és ezt összevetjük a tömör hengerével. Az üreges cső adatai: R = 5.89 ± 0.005 mm, r = 4.5 ± 0.05 mm. Innen a cső lehajlási nyomatéka: I cső = π ( R 4 r 4) = 623 ± 7 mm 4, 4 ha viszont tömör henger lenne, akkor: I rúd = R4 π = 945 ± 1 mm 4. 4 Látható tehát, hogy a tömör rúd közel 1.5-ször ellenállóbb a hosszra merőleges terhelésekkel szemben. 4.2. Torziómodulusz mérése A statikus mérések után egy dinamikus mérést végeztem el. Egy adott torziós szál torziómoduluszát mértem ki, olyan módon, hogy az ebből készített torziós inga periódusidejét mértem különböző tehetetlenségi nyomatékok esetében. A periódusidőt egy erre a célra készített elektronikus berendezés végezte, mely 10 periódust mért. Az elméleti részben ismertetettek alapján először meg kell a tárcsák tehtetlenségi nyomatékát határozni. Ehhez megmértem a tárcsák sugarát és tömegét: Tárcsák sugarai # 2R 7 (cm) 2R 8 (m) 1 4.50 4.50 2 4.50 4.50 3 4.50 4.50 4 4.50 4.49 5 4.50 4.50 átlag 4.50 4.50 13
Itt (2R i ) = 0.1 mm. Tehát a tárcsák sugarai: R 7 = R 8 = 2.25 cm ± 0.05 mm. Tárcsák tömegei M 7 (g) M 8 (g) 196.8389 196.2773 Ahol M i = 0.0001 g. Innen a két tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: Θ i = 1 2 M ir 2 i, Θ 7 = 49.82 10 6 ± 2.2 10 6 kgm 2, Θ 8 = 49.68 10 6 ± 2.2 10 6 kgm 2, ahol a hibát az alábbi módon számoltam: Θ i = Θ i ( mi m i + 2 R i R i Ezt követően megmértem a torziós szál adatait is, melyből meg tudtam határozni, az azt jellemző K számot. Torziós szál sugara # 2r (mm) 1 0.51 2 0.50 3 0.51 4 0.51 5 0.51 átlag 0.508 Itt (2r) = 0.01 mm. Innen a torziós szál sugara: r = 0.25 ± 0.005 mm. Továbbá a torziós szál hossza: l = 59.2 ± 0.1 cm. Innen K kiszámolható: ). K = 8πl r 4 = 3.57 1015 ± 0.29 10 15 1 m 3. Itt K hibáját a következő módon számoltam: ( l K = K + 4 r ). l r Ezek ismeretében elkezdtem mérni a periódusidőket. Ahhoz, hogy hibát tudjak becsülni a = 4 cm távolságnál 3 mérést végeztem. 14
A mért adatok: Tárcsák helyzete és periódusidők a (cm) a 2 (cm 2 ) 10T (s) T (s) T 2 (s 2 ) 0 0 55.00 5.500 30.2500 3 9 67.35 6.735 45.3629 4 16 76.01 7.601 57.7676 5 25 85.55 8.555 73.1915 6 36 95.99 9.599 92.1331 7 49 107.43 10.743 115.4013 8 64 119.34 11.934 142.4156 9 81 130.84 13.084 171.1963 Transzformálás után a pontokra egyenest illesztettem: 180 160 140 Transzformált pontok Illesztett egyenes 120 T 2 (s 2 ) 100 80 60 40 20 Value Standard Error Intercept 29.76461 0.27091 Slope 1.74858 0.00619 0 10 20 30 40 50 60 70 80 a 2 (cm 2 ) 5. ábra. Torziós inga T 2 (a 2 ) függése 15
Az illesztett egyenes paraméterei: η = 1.749 ± 0.006 s2 cm, 2 η 0 = 29.76 ± 0.27 s 2, R = 0.99991. Itt η az egyenes meredeksége, η 0 a tengelymetszete és R a korrelációs együttható. Mivel R 1, így ezzel bizonyítottuk, hogy a Steiner-tétel teljesül. A kiszámított egyenes meredekségéből meghatároztam a torziómoduluszt: G = K M 7 + M 8 η = 80 ± 7 GPa, ahol: ( K G = G K + M 7 + M 8 + η ). M 7 + M 8 η A nagy hibáért elsősorban r mérési hibája felel, mivel az egy 4 -es szorzót hoz be. A tengelymetszet segítségével meg tudtam továbbá mondani az üres inga tehetetlenségi nyomatékát: Θ ü = Gη 0 K Θ 7 Θ 8 = (M 7 +M 8 ) η 0 η Θ 7 Θ 8 = 5.69 10 4 ±7.12 10 6 kgm 2. Itt a hibát a fentiekhez hasonló módon számoltam. 5. Diszkusszió Érdemes diszkutálnunk az első mérés eredményeit. A Young-modulusz értékek egymáshoz képest mindkét mérés esetében hibahatáron kívül esnek. Ennek vélhetően az az oka, hogy a formulák, amikkel számltam csak közelítőek, továbbá a leolvasás sem pontos és a mérőeszközbe se tudtam könnyen behelyezni a mintákat. A réz Young-moduluszának táblázati értéke E Cu = 130 GPa. Ez körülbelül a két, általam mért érték számtani közepénél van. Alumínium esetében pedig E Al = 70 GPa, ehhez is nagyon közel vannak az általam mért eredmények. Hivatkozások [1] Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003. 16