Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok Géczi-Papp Renáta
Autoregresszív folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha Y t = α 1 Y t 1 + + α k Y t k + ε t Ahol: α i konstansok Y t fehér zaj (várható értéke 0, szórása σ y ) 2
Autoregresszív folyamat Alapkifejezés nagyon hasonló a többváltozós regresszióhoz regresszív Saját késleltetett értékeivel magyarázzuk az Y változásait auto Az AR folyamatokkal általában azokat az idősorokat modellezhetjük, amelyekről feltehetjük, hogy jelen idejű értékeik alakulásában a közvetlen múlton kívül a véletlen hiba is beleszól (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011)) 3
Forrás: http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosmsc/het_7_stacionarius.pdf 4
Mozgóátlag-folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatot k-ad rendű mozgóátlag folyamatnak nevezzük, ha Y t = β 0 U t + β 1 U t 1 + + β k U t k Ahol β k konstansok U t diszkrét fehér zaj (várható érték 0, szórás σ u ) 5
Mozgóátlag-folyamat MA folyamat várható értéke és autokovarianciája t -től független konstansok Gyenge stacionárius folyamat 6
Forrás: http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosmsc/het_7_stacionarius.pdf 7
AR és MA folyamatok A két típusú folyamatok ki lehet egymásból fejezni Mindkét esetben különböző rendeket különböztethetünk meg AR(p) MA(q) Ahol p és q a folyamat rendjét jelenti 8
ARMA modellek Autoregresszív és Mozgóátlag modellek (autoregressive and moving-average) Sztochasztikus idősorelemzés legegyszerűbb és leginkább elterjedt módszere AR és MA folyamatokat egyesít Paraméterek megállapítása általában empirikus idősor alapján 9
ARMA (p,q) Y t = α 1 Y t 1 + α 2 Y t.2 + + α p Y t p + ε t + β 1 ε t 1 + + β q ε t q, Ahol ε t fehér zaj p és q az autoregresszív és mozgóátlag folyamat rendje 10
ARMA(p,q) Az AR tag arra utal, hogy Y t részben saját, véges múltjának lineáris regressziójaként írható fel A MA tag arra utal, hogy a lineáris regresszió hibatagja az εt fehérzaj mozgó átlaga, vagyis a jelen és a véges múlt lineáris kombinációja (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011)) 11
ARMA (p,q) modellezés Forrás: Kehl, Sipos: Excel 12 parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
13 Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
14 Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
Forrás: http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2008/200806/ 15
Identifikáció Paraméterek becslésére több lehetőség is, a feltételektől függően (pl. momentumok módszere, OLS, stb.) Autokorrelációs és parciális autokorrelációs fv. árulkodó Folyamat ACF PACF AR(p) 0 ha τ>p akkor =0 MA(q) ha τ>q akkor =0 0 16
Takarékosság elve Principle of parsimony Mindig a legegyszerűbb modell kialakítására kell törekedni, vagyis azt a reprezentációt kell keresni, amely a legkevesebb paramétert tartalmazza 17
Modellválasztás p max és q max meghatározása (ökölszabály: ne legyen 3-nál nagyobb) Minden ARMA modell becslése Egy információs kritérium minimalizálása (takarékosság elve) Kiválasztott modell helyességének ellenőrzése Forrás: Rappai Gábor 18
Információs kritériumok 1. Előrejelzés végső hibája (final prediction error) 2. Akaike 3. Schwarz 4. Hannan - Quinn 19
ARIMA (p,d,q) Autoregresszív Integrált Mozgóátlag modell Legáltalánosabb, megengedi a stacionárius transzformációkat (differenciálás, logaritmizálás) p= autoregresszió rendje d= differenciák száma (nem szezonális különbségek) q= mozgóátlag rendje 20
Ismert ARIMA modellek ARIMA (p, d, q) ARIMA (0,1,0)=véletlen bolyongás ARIMA (1,1,0)=módosított elsőrendű autoregresszív modell ARIMA (0,1,1) nem állandó=egyszerű exponenciális simítás ARIMA (0,1,1)=állandó egyszerű exponenciális simítás a növekedés ARIMA (0,2,1) és (0,2,2) nem állandó=lineáris exponenciális simítás A vegyes modell - ARIMA (1,1,1) Forrás: (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011)) 21
Autokorreláció tesztelése 22 Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
Forrás: saját számítás, EViews programmal AR és MA rendjének meghatározása információs kritériumok segítségével 23
ARMA modell becslése Forrás: saját számítás, EViews programmal 24
Előrejelzés ARMA modellel 25 Forrás: saját számítás, EViews programmal
Köszönöm a figyelmet! 26