TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: 006..0 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl. egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott áltozás agy más néen zaar a térben elterjed. A különböző zaarok térbeli terjedését hullámnak (néha hullámterjedésnek)-, azt a helyet pedig, ahol a zaar létrejött, hullámforrásnak neezik. A hullám igen gyakori jelenség, és szoros kapcsolatban áll a rezgésekkel, hiszen a hullámban lényegében alamilyen rezgés terjed toa a térben. A zaarterjedésnek számtalan példája an, ezek közül egyesek szemmel látható módon mennek égbe, és egyszerű kísérletekkel bemutathatók. KÍSÉRLET: Ha egy kifeszített rugalmas kötélre ráütünk egy rúddal, tehát egy egyszeri kitérést ( ölgyet ) hozunk létre (ábra), akkor ez a kitérés égigszalad a kötélen, agyis a kötélnek a ráütéstől táoli pontjai is megismétlik a létrehozott kitérést. Megfigyelhetjük, hogy a zaar egyenletes mozgással halad a kötélen. Ettől kissé eltérő jellegű zaarterjedést láthatunk egy csaarrugóban létrehozott deformációnál. KÍSÉRLET: Nagyobb átmérőjű, gyenge csaarrugó egyik égét egy hirtelen mozdulattal nyomjuk össze a rugó tengelyéel párhuzamosan. Ez a deformáció a rugó meneteinek sűrűsödéséel jár, és ez a sűrűsödés jól láthatóan égigszalad a rugón. A zaar itt is egyenletesen terjed. t +t +t t t t 3 d d =d/t Az előbbi esetekben a zaar egy dimenzióban (kötél agy csaarrugó mentén) terjedt. Kétdimenziós zaarterjedés legegyszerűbben egy ízfelületen mutatható be, ami rugalmas hártyaként iselkedik. KÍSÉRLET: Vízfelület egy pontjában létrehozott kitérés a felületen egy táguló kör formájában minden irányban terjed (ábra), és a táolabbi pontok megismétlik a létrehozott kitérést. Ez ilágosan látszik, ha a íz felületén elhelyezünk egy parafa dugót: a dugó a zaar megérkezésekor megemelkedik és lesüllyed, de a zaar áthaladása után helyben marad. Ez azt is mutatja, hogy a kifelé szaladó körben a látszat ellenére nem a íz áramlik, hanem a létrehozott állapotáltozás (zaar) terjed. +t +t =d/t d d A ráütés helyén a ölgy fokozatosan megszűnik, és elileg ellenkező irányú kitérés is létrejön. Ez azonban a legtöbb esetben a nagy csillapítás miatt alig észlelhető. A megfigyelést zaarhatja, hogy ha a zaar eléri a kötél égét, akkor elindul isszafelé (isszaerődik). A leírt egyszerű zaarterjedés csak eléggé hosszú kötélen figyelhető meg tisztán. A isszaerődés hatásaial később foglalkozunk.
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: 006..0 A zaarterjedés más esetei nem ennyire szemléletesek, de a zaarterjedés ténye legtöbbször ilyenkor is könnyen kimutatható. A csaarrugón bemutatott esethez hasonló de szemmel nem látható zaarterjedés jön létre, ha egy rugalmas rúd egyik égét a rúd tengelyéel párhuzamosan megütjük. Ekkor ott a rúd összenyomódik (az ábrán ezt sűrűbb onalkázással érzékeltettük), és ez az összenyomódás szalad égig a rúdon. Ugyanez történik egy dugattyúal lezárt edényben léő gázoszlopban, ha a dugattyút hirtelen elmozdíta, a gázt a dugattyúnál összenyomjuk. A zaar megérkezése a rúd agy gázoszlop másik égére megfelelő elmozdulás- agy nyomásérzékelőel észlelhető. A háromdimenziós hullámterjedés sem szemléltethető egyszerűen, de ezzel kapcsolatban számos hétköznapi tapasztalatunk an. Egy rezgő tárgy által létrehozott hang hullámként minden irányban terjed: egy adott helyen megszólaló hangot más helyeken is hallunk. Egy fényfelillanás elektromágneses hullámként szintén minden irányban terjed, és a felillanás helyétől táoli pontokban is észlelhető. A hullámterjedés mechanizmusa függ a zaar jellegétől. Egy rugalmas közeg mechanikai deformációja az anyag részei közti rugalmas kapcsolatok miatt terjed, ezeket a rugalmas közegekben létrehozott zaarokat rugalmas hullámoknak neezik. Ilyenek pl. a kísérletekben látott kötélhullámok ízhullámok agy a hang. Az elektromos agy mágneses erőtér áltozása miatt létrejött elektromágneses zaarok terjedése a áltozó mágneses- és elektromos tér egymást létrehozó hatásán alapul. Az így létrejött elektromágneses hullámok közeg nélkül is terjedhetnek. Ilyenek pl. a rádióhullámok, a fény, a röntgen- és a gamma sugárzás. Most a rugalmas hullámokkal foglalkozunk. Tárgyalásunk során megismerkedünk a hullámterjedés leírására szolgáló alapető mennyiségekkel és törényekkel, majd foglalkozunk a rugalmas hullámokra onatkozó speciális jelenségekkel. Annak ellenére, hogy most kifejezetten a rugalmas hullámokról lesz szó, az itt tárgyalt anyag jól használható más hullámok tárgyalásánál is, hiszen a zaarterjedésnek annak általános jellegzetességei, amelyeknek leírására a különböző hullámok esetén ugyanazokat a fogalmakat és módszereket alkalmazhatjuk. t +t +t d d =d/t
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: 006..0 Hullámtípusok és hullámfüggények A terjedő zaar adott helyen alamilyen mennyiség időbeli áltozását jelenti. A kötél esetében pl. egy adott pontban a zaar megérkezése után a kitérés időben áltozik. Másrészt adott időpillanatban a mennyiség pillanatnyi értéke helyről-helyre más. A kötélen haladó pulzus példájánál marada, a kötélnek egy kiszemelt helyét megfigyele, azt látjuk, hogy egy darabig nincs kitérés, azután a izsgált pont kitér, majd a kitérés megszűnik. A kötélre egy adott időpillanatban ránéze pedig azt látjuk, hogy a kötél nagy része deformálatlan, de azon a helyen, ahoá a zaar éppen ebben a pillanatban megérkezett, egy kitérést látunk. A zaarterjedés tehát csak akkor írható le, ha a izsgált mennyiség időbeli áltozását és térbeli eloszlását is ismerjük. Ehhez egy helytől és időtől függő hullámfüggény szükséges. Ha a zaar a ψ-el jelölt mennyiség áltozásának toaterjedéséel jár, akkor a zaarterjedés leírására használt hullámfüggény általános matematikai alakja ψ = ψ ( r, t) (r annak a pontnak a helyektora, ahol a zaart izsgáljuk, t az idő). A zaar lehet ektor-jellegű, amelynek iránya an (pl. elmozdulás), ilyenkor ψ a ektor nagyságát, agy egyik komponensét jelöli, de lehet skaláris is (pl. nyomásáltozás). A hullámok típusai A hullámok áltozatos formái közötti eligazodás kedéért célszerű a hullámokat csoportosítani. Ezt többféle szempont szerint tehetjük meg, amelyek közül a legfontosabbak a köetkezők. A hullám lehet a terjedés térbeli iszonyai szerint: egydimenziós (pl. rugalmas kitérés kötélen) kétdimenziós (pl. zaarterjedés ízfelületen) háromdimenziós (ez a leggyakoribb, pl. hang agy fény terjedése kiterjedt közegben). a terjedés és a zaar irányának iszonya szerint: transzerzális hullám (a zaart jellemző ektor iránya merőleges a terjedés irányára, pl. egy rugalmas kötél mentén, a kötélre merőleges kitérés terjedése) longitudinális hullám (a zaart jellemző ektor iránya párhuzamos a terjedés irányáal, pl. egy rugó hosszirányú összenyomásáal keltett zaar terjedése a rugó mentén). a zaar azonos értékeinek megfelelő (azonos fázisban léő) pontok elhelyezkedése szerint: síkban terjedő hullámoknál az azonos fázisú helyek egy onalon annak, és a hullámokat a onal alakja szerint is lehet csoportosítani: pl. egyenes hullám, körhullám (utóbbira példa egy ízfelületen egy pontban keltett hullámok terjedése), háromdimenziós hullámoknál az azonos fázisú helyek egy felületen helyezkednek el, ezeket a felületeket gyakran hullámfelületeknek neezik, és a hullámfelületek alakja szerint beszélünk síkhullámról, hengerhullámról, gömbhullámról, a onal- és síkhullám terjedése az egydimenziós hullámokhoz hasonlóan egyetlen (az azonos fázisú onalakra, illete síkokra merőleges) koordinátáal leírható, bonyolultabb hullámok (pl. kör-, henger- agy gömbhullámok) a hullámforrástól táol közelítőleg egyenes- illete síkhullámnak tekinthetők,
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: 006..0 a hullám terjedése során a zaar fokozatosan újabb helyekre jut el, így az azonos fázisú felületeknek (onalaknak) an egy speciális fajtája: ennek egyik oldalán már megjelent a zaar, a másik oldalán még nem. A hullámot tartalmazó térrészt, a hullámteret határoló, azonos fázisú felületet (onalat) hullámfrontnak neezik. a terjedő zaar időfüggése szerint: ha a zaar időfüggését harmonikus függény adja meg, akkor a létrejött hullámot harmonikus hullámnak neezik, egyéb esetekben a hullám nem harmonikus (a nem harmonikus hullámok harmonikus hullámok összegzéseként idegen szóal szuperpozíciójaként foghatók fel). Egydimenziós hullámterjedés, a síkhullám hullámfüggénye Az egyszerűség kedéért izsgáljunk először egy olyan zaart, amely egy irányban (pl. az tengely mentén) terjed. Egy ilyen hullám a gyakorlatban pl. úgy alósítható meg, hogy egy kifeszített, rugalmas kötélen létrehozunk egy kitérést, ami a kötél mentén terjed toább. Ha az =0 helyen (például a zaar forrásánál) a zaar időbeli áltozása ψ ( 0,t ) = f ( t ), és a zaar adott c sebességgel terjed a térben, akkor a zaar egy pozití helyre f(t) f(t-/) egy negatí helyre t k = + t t k = k+ =/ késéssel érkezik meg. Ha feltételezzük, hogy a terjedés közben a zaar nem áltozik meg, akkor az helyen a zaar időbeli áltozását a ψ (,t ) = f ( t m ) hullámfüggény írja le (a "-" jel az -tengely pozití-, a "+" jel az -tengely negatí irányában terjedő hullámot jelent). Ez az egydimenziós hullámterjedést leíró hullámfüggény általános alakja, amely konkrét zaarterjedés esetén meghatározott függényalakot ölt. A terjedési irányban felett egyetlen koordinátáal írható le egy síkhullám is, ahol a hullám terjedési irányára merőleges bármelyik síkban minden pont ugyanúgy iselkedik. Ezért a fenti egydimenziós terjedésre felírt ψ (,t ) = f ( t m alakú függény egyben a síkhullám hullámfüggénye is. A felületen terjedő egyenes hullám agy az egydimenziós közegben terjedő hullám lényegében a síkhullám speciális esete: előbbi esetben az azonos fázisú helyek felületből egyenessé-, utóbbiban egyetlen ponttá zsugorodnak. Miel a toábbiakban az egy- és kétdimenziós közegben terjedő hullámokat legtöbbször az egyszerűbb szemléltetés kedéért használjuk, a fenti hullámfüggénnyel jellemzett hullámot gyakran akkor is síkhullámnak neezzük, ha egy- agy kétdimenziós terjedésről an szó. 0 ) t t
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: 006..0 A hullámban terjedő energia Ahhoz, hogy egy rugalmas közegben deformációt hozzunk létre, munkát kell égeznünk. Amikor ez a deformáció zaarként megjelenik egy táolabbi helyen, akkor ott is munkaégzésre an szükség. Ez csak úgy lehetséges, hogy a hullámmal nem pusztán egy állapotáltozás terjed, hanem a hullám energiát is szállít. A hullám által szállított energiát leggyakrabban az energiaáram nagyságáal (Φ ) jellemzik, amely egy adott helyen a hullámmal átáramló Δ E energia és az áthaladás Δt idejének hányadosa: ΔE Φ =. Δt Az energiaáram az energiaterjedést globálisan jellemzi, mert egy teljes felületen áthaladó összes energiát adja meg. Előfordulhat azonban, hogy az energiaáram erőssége egy nagyobb felületen nem egyenletesen oszlik el, hanem helyről helyre áltozik. Az energiaáramlás helyi (lokális) jellemzésére ezették be az energia-áramsűrűséget. Ha a hullám terjedésére merőleges Δ S nagyságú felületelemen ΔΦ energiaáram halad át, akkor az energiaáramsűrűség (amit a hullámtanban rendszerint I-el jelölnek): ΔΦ I =. ΔS Ezt a mennyiséget a hullám intenzitásának neezik. Ha egy nagyobb S felületen az I intenzitás mindenütt ugyanakkora, akkor a teljes Φ energiaáram: Φ = IS. A hullám intenzitását a különböző hullámok esetén később kiszámítjuk, és a terjedő hullám jellemzőiel kifejezzük, most bizonyítás nélkül csak annyit bocsátunk előre, hogy az intenzitás arányos a hullám amplitúdójának négyzetéel, azaz I = CA, ahol C a hullám egyéb jellemzőitől függő mennyiség. Ezt azért fontos tudni, mert egy gömbhullám esetén a forrásban betáplált energia egyre nagyobb felületen oszlik el, így ha az I energiaáram nem áltozik a hullámforrástól r táolságban az energia-áramsűrűség egyre kisebb lesz. Ennek az a köetkezménye, hogy a hullám amplitúdójának is csökkenni kell, hiszen r táolságban Φ = IS = I4r π = CA 4r π = állandó. Ez csak úgy lehetséges, ha A ~, agyis A ( r ) ~. A gömbhullám amplitúdója tehát a r r forrástól táoloda egyre csökken, akkor is, ha nincs semmilyen energiaelnyelő folyamat. Gömbhullám hullámfüggénye Ha a hullám homogén, izotróp közegben terjed, agyis a terjedése nem függ a helytől és az iránytól, akkor egy pontban keltett zaar minden irányban ugyanolyan sebességgel terjed. Ennek köetkeztében pontszerű hullámforrás esetén az azonos fázisú helyek egy gömbfelületen (felületi hullámoknál egy körön) helyezkednek el, agyis gömbhullám (körhullám) jön létre. A síkhullámra onatkozó meggondolásaink alapján megpróbálhatjuk felírni a gömbhullám hullámfüggényének általános alakját, hiszen első pillantásra úgy látszik, hogy csak az koordinátát kell helyettesíteni a pontforrástól mért r táolsággal. Ezzel a felteéssel az alábbi hullámfüggényt kapjuk:
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 6 Utolsó módosítás: 006..0 r ψ ( r,t ) = f ( t m ). A - jel a forrástól táolodó, a + jel a forrás felé haladó hullámra onatkozik. A helyzet sajnos ennél bonyolultabb, mert láttuk, hogy a gömbhullám amplitúdója a forrástól táoloda csökken, ezért helyesebb a gömbhullám hullámfüggényét a A0 r ψ ( r,t ) = f ( t m ) r alakban felírni, ahol A 0 az amplitúdó a forrásban. Ha a gömbhullámot nagyon kis térrészben, agy a forrástól nagy táolságban izsgáljuk, akkor közelítőleg síkhullámnak tekinthetjük. Ilyenkor ha energiaeszteségek nincsenek az amplitúdó helyfüggése elhanyagolható. Egydimenziós, harmonikus síkhullám Ha a zaar időbeli áltozása szinusz agy koszinusz függénnyel írható le, agyis a zaar például f ( t ) = Acos( ω t + α ) alakú harmonikus rezgés, akkor a zaarterjedést leíró függény is ilyen lesz. Ha a zaar egy onalszerű közegben agy egy kiterjedt közegben síkhullámként sebességgel terjed az -tengely mentén, akkor a ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α hullámfüggénnyel írható le, ahol α fázisállandó. Az ilyen állandó amplitúdójú hullámot harmonikus síkhullámnak neezik. A toábbiakban az egyszerűség kedéért a síkhullám tárgyalásánál általában a pozití - tengely irányában terjedő hullám hullámfüggényét írjuk fel, agyis a ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α t 0 alakot használjuk. Az így kapott összefüggésekből előjeláltással mindig megkapható az ellenkező terjedési iránynak megfelelő eredmény is. T/8 Természetesen a harmonikus hullám szinusz függénnyel is leírható, mi a toábbiakban általában a T/4 koszinusz alakot használjuk. 3T/8 *************** *************** Ahogy a harmonikus rezgést megadó függény, úgy a harmonikus síkhullám hullámfüggénye is felírható komple T/ alakban. Trigonometrikus formában ekkor a hullámfüggény: 5T/8 ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α + iasin ω( t ) + α. 3T/4 Ugyanez eponenciális alakban: i ω( t ) + α ψ (,t ) = Ae. *************** *************** Rugalmas kötélen terjedő transzerzális, harmonikus hullám kialakulását mutatja sematikusan a jobboldali ábra. Itt a kötél alakját mutatjuk be a forrásban lezajló 7T/8 T
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 7 Utolsó módosítás: 006..0 rezgés egy teljes periódusának (T) különböző időpillanataiban. A pillanatképek egyenlő, T időközökben készültek. Az ábrán feltüntettük a kötél egyes részeinek pillanatnyi 8 mozgásirányát is. Hasonló módon kaphatjuk meg egy csaarrugóban terjedő longitudinális, harmonikus hullám terjedésének pillanatképeit is, csak ott a kitérések a terjedés irányáal párhuzamosak. A mellékelt ábrán a rugó deformációjában beköetkező T áltozások láthatók, amelyeket 4 időközönként ábrázoltunk. Korábban már olt szó arról, hogy a hullámfüggény adott helyen megadja a zaar időbeli áltozását, adott időpillanatban pedig megadja a zaar térbeli eloszlását. Ezt mutatja egy harmonikus síkhullám esetén a ψ(,t) mellékelt ábra, amelyen a ψ (,t ) T ψ(,t ) λ függény megadja a izsgált mennyiség időbeli áltozását az helyen, a ψ (,t ) függény pedig a izsgált mennyiség térbeli eloszlását a t időpillanatban). 0 A harmonikus hullám a definíció szerint egy égtelen hosszú, csillapítatlan hullámonulat, hiszen áltozó amplitúdójú agy éges hosszúságú hullámonulat nem írható le egyetlen harmonikus függénnyel. A gyakorlatban a harmonikus hullám közelítő megalósítása egy nagyon kis csillapodású, igen hosszú hullámonulat. A hullámok izsgálatánál a harmonikus hullám t ugyanolyan fontos szerepet tölt be, mint a rezgéseknél a 0 harmonikus rezgés. Itt is érényes ugyanis, hogy tetszőleges hullám felfogható harmonikus hullámok T/8 szuperpozíciójaként. A fázissebesség A rugalmas kötélen terjedő harmonikus hullám kialakulását bemutató, korábbi ábrát itt kiegészíte látjuk. Bejelöltük azt a λ táolságot, ameddig a zaar a T rezgésidő alatt eljut, és egy onallal összekötöttük a zaar maimális értékének helyét különböző időpillanatokban megadó pontokat. Látható, hogy az idő és a befutott táolság egymással arányos, agyis a maimumhely egyenletes sebességgel halad a terjedés irányában, és az ábrán látható esetben 3 3 T idő alatt λ táolságra jutott el. Ha a 4 4 λ táolságot ismerjük, akkor kiszámíthatjuk a T/4 3T/8 T/ 5T/8 3T/4 7T/8 T λ
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 8 Utolsó módosítás: 006..0 λ maimumhely mozgásának f sebességét is: f =. Bármilyen más fázisban léő T pont mozgását izsgáljuk, ugyanezt a mozgási sebességet kapjuk, ez a fázissebesség. Nézzük meg most egy pozití -tengely irányában haladó síkhullámban, hogy milyen összefüggés an a hullámfüggényben korábban zaarterjedési sebességként beezetett sebesség és a f fázissebesség között. Ehhez felhasználjuk azt, hogy adott ϕ fázisú hely adott t időpillanatban olyan koordinátájú helyen an, amelyre ϕ = ω( t ) + α = állandó. Az összetartozó -t értékpárokra ebből azt kapjuk, hogy (ϕ α ) = t. ω Eszerint a pozití -irányban haladó harmonikus síkhullámban az azonos fázisú helyek sebessége d f = =. dt A negatí -irányban haladó síkhullámra természetesen azt kapjuk, hogy f =. A fázissebesség tehát azonos a korábban "zaarterjedési sebesség"-ként beezetett mennyiséggel. A toábbiakban a fázissebességet inde nélküli -el jelöljük. *************** *************** *************** Megjegyezzük, hogy egy nem harmonikus zaar (pl. egy röid pulzus) terjedésénél a fázissebesség egyes esetekben megegyezik a zaar terjedési sebességéel (pl. rugalmas kötélen agy rugalmas rúdban terjedő hullámoknál), más esetekben iszont a nem harmonikus zaar terjedési sebessége és a fázissebesség nem azonos (ez a helyzet a íz felszínén keltett ízhullámoknál és egy közegben terjedő elektromágneses hullámnál). Ezzel a kérdéssel később foglalkozunk. *************** *************** *************** A hullámhossz és a hullámszám A harmonikus hullám kialakulását szemléltető ábrán λ-al jelöltük azt a táolságot, amelyre a zaar a T rezgésidő alatt eljut. Ezt a táolságot hullámhossznak neezik. Elneezése érthetőbbé álik, ha egy másik definícióját használjuk, amely szerint a λ hullámhossz egy tetszőleges t időpillanatban azonos fázisban léő, szomszédos pontok táolsága (agyis a hullám helyfüggését megadó harmonikus függény egy teljes periódusának hossza, amint az a fenti ábrán látható). Ezt a táolságot annak felhasználásáal kaphatjuk meg, hogy az azonos fázisban léő helyeken a hullámfüggény értéke azonos: ψ (,t ) = ψ ( + λ,t ). Ez a harmonikus síkhullámban a koszinusz (agy szinusz) függény argumentumára onatkozóan azt jelenti, hogy + λ ω( t ) + α ω( t ) α = π. Ebből a korábbi definícióal összhangban azt kapjuk, hogy π λ = = T. ω A hullámhosszal összefüggő, gyakran használt mennyiség a hullámszám (k), aminek definíciója:
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 9 Utolsó módosítás: 006..0 π ω k = = λ Ezzel a harmonikus síkhullám egyenlete átírható az alábbi alakba: ψ (,t ) = Acos( ωt k + α ). *************** *************** *************** ( ω α ) Ugyanez a hullámfüggény komple alakban: ~ i t k+ ψ (,t ) = Ae. *************** *************** *************** Síkhullám térbeli terjedésének leírása Ha egy síkhullám az -tengely mentén terjed, akkor leírására a ψ (,t ) = f t m c hullámfüggényt használhatjuk. Speciálisan harmonikus síkhullám esetén a hullámfüggény: ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α = Acos( ωt m k + α ) c Ez a koordináta-álasztás azonban nem mindig lehetséges, ezért most megizsgáljuk, hogy milyen hullámfüggényt hullámfront használhatunk, ha a síkhullám nem alamelyik y (azonos fázisú koordinátatengely mentén terjed. helyek síkja) Az ábrán feltüntettük az azonos fázisban léő helyek síkjait. A hullám ezekre merőlegesen terjed, terjedési r terjedési irányát az u egységektor mutatja.. irány Egy tetszőleges r helyektorú pontban, a t időpillanatban a hullámfüggényt úgy kaphatjuk meg, hogy kiszámítjuk a t=0 időponthoz tartozó illete az r helyektorú ponton átmenő (a t időpillanathoz tartozó) két azonos fázisú sík z közötti táolságot, amelyet az ábrán d-el jelöltünk. A d hullámfüggény argumentumába ugyanis most a t m mennyiség kerül. Az r helyektortól függő az előjelet is tartalmazó d táolság az ábra jelöléseiel: d ( r ) = ru, ezért a hullámfüggény az r helyektorú pontban d( r ) ru ψ ( r,t ) = ψ ( d( r ),t) = f t = f t Harmonikus síkhullámnál: ru ψ ( r,t ) = Acos ω( t ) + α agy ψ ( r,t ) = Acos( ωt kur + α ) Vezessük be a k = ku hullámszám-ektort, amely a terjedési irányt mutatja, és nagysága π k =. Ezzel a koordinátarendszerhez képest tetszőleges irányban haladó harmonikus λ hullám hullámfüggénye: ψ ( r,t ) = Acos( ωt kr + α ). d u
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 0 Utolsó módosítás: 006..0 Általános irányú terjedésnél kr = k + k y y + kzz. Olyan gömbhullámoknál (agy kétdimenziós esetben körhullámoknál), amelyeknek forrása az origóban an, érényes, hogy r u, ezért d ( r ) = ru = r. A gömbhullámoknál (körhullámoknál) tehát a hullámfüggény A0 ψ ( r,t ) = cos( ωt kr + α ). r Ilyenkor az azonos fázisú helyek az ru = állandó, agyis az r = állandó összefüggéssel megadott gömbfelületen (síkbeli terjedésnél körön) helyezkednek el. *************** *************** *************** A sík- és gömbhullám fenti hullámfüggényei komple formában a ~ i( ωt kr+ α ) ψ (,t ) = Ae illete ~ ( ωt kr+ α ) = alakot öltik. ψ (,t ) A 0 e i r *************** *************** ***************
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: 006..0 Nem harmonikus hullám terjedése, a csoportsebesség Nem harmonikus hullám terjedése esetén a terjedési sebesség fogalmát pontosítanunk kell. Ennek az az oka, hogy egy ilyen hullám különböző frekenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciójának tekinthető, agyis benne különböző frekenciájú harmonikus g hullámok terjednek. Az ilyen hullámok tipikus példája az ábrán látható röid hullámonulat, amelyet éppen összetett olta miatt hullámcsoportnak agy hullámcsomagnak neeznek. A terjedési sebességgel kapcsolatban akkor lép fel probléma, ha mint az gyakran előfordul a harmonikus hullám fázissebessége függ a frekenciától, = ( ω ), így a hullámcsomagot alkotó, különböző frekenciájú harmonikus hullámok fázissebessége eltérő. Ez a jelenség a hullámok diszperziója. Diszperzió esetén az összeteő harmonikus hullámok a haladás közben egymáshoz képest eltolódnak, emiatt az összegük, és így általában a hullámcsomag alakját meghatározó burkológörbe (az ábrán szaggatott onallal jelöle) alakja is áltozik. A csomag sebességét ilyenkor a burkológörbe maimumának (az ábrán fekete pont) mozgási sebességéel, a csoportsebességgel ( g ) adhatjuk meg. A csoportsebesség elméleti meghatározása általában nem egyszerű feladat, de egy nagyon leegyszerűsített esetben a számolás könnyen elégezhető, és általánosabban is érényes eredményt kapunk. Vizsgáljuk meg annak a hullámcsomagnak a mozgását, amely két közel azonos frekenciájú, harmonikus síkhullám összeadásának eredményeként jön létre. Az egyszerűség kedéért tegyük fel, hogy az -tengely mentén haladó két hullám amplitúdója azonos, és nincs köztük fáziseltolódás. Ekkor az összeadandó hullámok a ψ (,t ) = Acos ( ωt k ) ψ ( t ) = Acos( ω' t k' ), alakban írhatók fel. Itt ω ' = ω + Δω, k' = k + Δk, és Δ ω << ω, Δ k << k. Az eredő hullámot a szuperpozíció ele alapján kaphatjuk meg: ψ (,t ) = ψ (,t ) + ψ ( t ) = Acos( ωt k) + Acos( ω' t k' ). Az eredő hullám egyszerűbb alakba írható, ha alkalmazzuk a rezgések összeteésénél már alkalmazott α α α + α cosα + cosα = cos cos trigonometriai összefüggést. Ennek segítségéel az alábbi eredményt kapjuk ( ω' ω )t ( k' k ) ( ω' + ω )t ( k' + k ) ψ (,t ) = Acos cos. A körfrekenciákra és hullámszámokra onatkozó fenti felteésünk szerint ω + ω' ω, k + k' k, így azt kapjuk, hogy Δω Δk ψ (,t ) = Acos t cos( ωt k) Ez a kifejezés úgy is felfogható, mint egy ω körfrekenciájú, k hullámszámú, ω = k
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: 006..0 fázissebességű hullám, amelynek az amplitúdója az Δω Δk A(,t ) = Acos t függény szerint áltozik. Az ilyen, áltozó amplitúdójú hullámot modulált hullámnak neezik. Az amplitúdófüggény azonban maga is egy hullámfüggény, amely Δω g = Δ k sebességgel terjedő hullámnak felel meg. A hullámról készült sematikus pillanatfelétel az alábbi ábrán látható. Az amplitúdóáltozást megadó burkológörbe (az amplitúdóhullám) egy hullámcsomag, amelyhez a fenti g csoportsebesség tartozik. Az eredő hullám egy meghatározott fázisban léő helye (az ábrán az egyik maimális amplitúdójú hely) diszperzió esetén a csoportsebességtől eltérő sebességgel halad. A fentihez hasonló hullám egy periódusáról különböző időpillanatokban készített pillanatfelételek sematikus képét látjuk a köetkező ábrán. A szaggatottan berajzolt burkológörbe t maimumának helyét fekete pont-, az eredő hullám egy kiszemelt maimumának mindenkori helyét pedig nyíl t jelöli. Ebben az esetben a fázissebesség nagyobb, mint a csoportsebesség: az eredő hullám kiszemelt maimumhelye (nyíl) lehagyja a csomag maimumhelyét t 3 (pont). Ez egyben azt is mutatja, hogy az eredő hullám a burkológörbe belsejében mozog. A fenti számolás eredménye sok harmonikus összeteő t 4 esetén is érényes marad, ha az összeteők frekenciája egy szűk interallumba esik: dω g =. dk Miel ω = k, és diszperzió esetén a fázissebesség függ a körfrekenciától illete a hullámszámtól ( = ( k )), a csoportsebesség és a fázissebesség összefüggésére azt kapjuk, hogy d g = + k. dk Az összefüggést érdemes a hullámszám helyett a szemléletesebb hullámhosszal kifejezni. π Miel k = és dk = π dλ, égül a λ λ d g = λ d λ
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: 006..0 összefüggést kapjuk. d Az összefüggésből látszik, hogy ha > 0, akkor a csoportsebesség kisebb a dλ d fázissebességnél (ez a normális diszperzió), a < 0 esetben pedig a csoportsebesség dλ nagyobb, mint a fázissebesség (ez az anomális diszperzió). d Ha = 0, azaz nincs diszperzió, akkor azt kapjuk, hogy g =, tehát a csoportsebesség dλ megegyezik a minden hullámhosszra azonos fázissebességgel. A diszperzió megfigyelhető ízhullámok esetén és alamilyen közegben terjedő elektromágneses hullámoknál. Utóbbi eset igen fontos szerepet játszik pl. az optikában.
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: 006..0 Hullámok polarizációja Ha a hullámban terjedő zaarnak iránya an (pl. egy kitérés), akkor a hullám lehet longitudinális agy transzerzális, attól függően, hogy a zaar iránya párhuzamos a terjedési iránnyal agy arra merőleges. Longitudinális hullámban egyetlen kitüntetett irány an, a zaar- és a zaarterjedés közös iránya, a transzerzális hullámban iszont a zaar- és a zaarterjedés iránya szétálik ( polarizálódik ), ezért két kitüntetett irány an. Ha a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya időben állandó, akkor homogén, izotróp terjedés esetén a zaar iránya a hullámban sem áltozik meg. Ez azt jelenti, hogy a hullám terjedési iránya és a zaar iránya minden pillanatban és minden helyen ugyanabban a síkban an. KÍSÉRLET: y Ilyen hullámot kapunk például, ha egy rugalmas kötél egyik égét mindig ugyanazon egyenes mentén mozgatjuk. Az ábrán az így kapott hullám pillanatképét (a t időpillanatban) derékszögű koordinátarendszerben mutatjuk be: a hullám az -tengely mentén mozog, a z kitérés mindenütt y-irányú, a két kitüntetett irány és így a ψ(,t zaar térbeli eloszlását megadó görbe is az y-síkban an. ) Az ilyen hullámot síkban poláros agy lineárisan poláros y hullámnak-, a két kitüntetett irány által megadott síkot pedig a hullám rezgési síkjának neezik. A hullám keltésénél azonban nem mindig teljesül a fenti feltétel, a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya áltozhat, és ennek megfelelően áltozik a hullám rezgési z síkjának helyzete is. A zaar irányának áltozása lehet életlenszerű, de köethet alamilyen szabályszerűséget is. Szabályszerű áltozásról beszélhetünk például akkor, ha a ψ(,t ) rugalmas kötél égét egy kör mentén mozgatjuk (ábra). Ekkor a kötél többi pontja is körmozgást égez, a forrástól mért táolságnak megfelelő fáziskéséssel. Az ilyen hullámot cirkulárisan poláros hullámnak neezik. Az ábrán látható cirkulárisan poláros hullám forrásában a zaart jellemző ektor állandó szögsebességgel körbeforog. Ez a forgó ektor minden pillanatban felbontható egy-egy áltozó hosszúságú y- és z-irányú ektorra, ezért a cirkulárisan poláros hullám felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, azonos amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra. Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az említett kör sugaráal egyenlő. Ha a forrásban a zaart jellemző ektor égpontja egy ellipszis mentén mozog, akkor a keletkező hullámot elliptikusan poláros hullámnak neezik. Ez a hullám mindig felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, különböző amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra. Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az ellipszis két féltengelyének hosszáal egyenlő. A cirkulárisan poláros hullám tulajdonképpen az elliptikusan poláros hullám speciális esete (a kör olyan ellipszis, amelynek két féltengelye azonos hosszúságú). A szabálytalanul áltozó rezgési síkú transzerzális hullámoktól aló megkülönböztetés érdekében a lineárisan-, cirkulárisan- agy elliptikusan poláros hullámokat összefoglaló néen poláros hullámoknak neezik.
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: 006..0 Nem lineárisan poláros, transzerzális hullámból megfelelő módszerrel kiálasztható a hullámnak egy tetszőleges síkú lineárisan poláros összeteője. Ez jól szemléltethető egy rugalmas kötélen létrehozott transzerzális hullám esetében. KÍSÉRLET: Rugalmas kötél égét körbeforgata, létrehozunk egy nagyjából cirkulárisan poláros hullámot (a) ábra), majd a kötél középpontja közelében a kötelet egy összecsukható fakerettel esszük körül. Ezáltal a hullám egy keskeny, függőleges irányú résen kénytelen áthaladni. A rés csak a hullám függőleges összeteőjét engedi át, így tehát egy lineárisan poláros hullámot kapunk. Ha a rést függőleges tengely körül elforgatjuk, akkor mindig az új iránnyal párhuzamos rezgési síkú lineárisan poláros hullám jön létre, agyis ezzel a módszerrel a nem poláros hullámból tetszőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot ki tudunk álasztani. Az ilyen eszközöket, amelyekkel nem lineárisan poláros hullámból lineárisan poláros hullámot állíthatunk elő, polarizátoroknak-, azt a rezgési síkot pedig, amelyet a polarizátor átenged, a polarizátor rezgési síkjának neezik. Polarizátorként a különböző hullámterjedési mechanizmusoknál más és más eszközöket alkalmaznak. Rugalmas kötélhullámok esetén a kísérletben használt rést használhatjuk, az elektromágneses hullámoknál használt eszközökről később lesz szó. KÍSÉRLET: Ha az előző kísérletben alkalmazott polarizátor mellett egy másik polarizátort is alkalmazunk, akkor a két polarizátor után megjelenő hullám jellege attól függ, hogy a két polarizátor rezgési síkja egymással milyen szöget zár be. Ha a második polarizátor rezgési síkja párhuzamos az elsőéel, akkor a lineárisan poláros hullám áltozatlanul halad át a második polarizátoron is (b) ábra). Ha most a második polarizátort ízszintes tengely körül elkezdjük körbeforgatni, akkor a második polarizátor után megjelenő lineárisan poláros hullám rezgési síkja a polarizátorral együtt elfordul, és amplitúdója fokozatosan csökken. Ha a két polarizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor a második polarizátor után nincs hullám (c) ábra), agyis a lineárisan poláros hullámot a rezgési síkjára merőleges polarizátor kioltja. Miel a kísérlet tanúsága szerint a polarizátor kioltja a rá merőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot, a polarizátor forgatásakor beköetkező amplitúdó- és intenzitáscsökkenés a köetkezőképpen is felfogható. A hullám az első polarizátor által meghatározott rezgési síkkal érkezik a második polarizátorhoz, amelynek rezgési síkja α szöget zár be az első polarizátorral illete a beeső A 0 A N. polarizátor rezgési síkja α A T =A 0 cosα beeső, lineárisan poláros hullám rezgési síkja A kísérletben megjelennek a kötél égéről isszaerődő hullámok is, amelyek sajátos hullámalakzatot, állóhullámot hozhatnak létre. Ez a köetkeztetéseinken nem áltoztat. Az állóhullámokkal később foglalkozunk.
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 6 Utolsó módosítás: 006..0 hullám rezgési síkjáal. Ha a beeső lineárisan poláros hullámot (az ábrán A 0 ) felbontjuk a második polarizátorral párhuzamos ( A N )- és arra merőleges rezgési síkú ( A T ) lineárisan poláros hullámokra, akkor a második polarizátor a merőleges összeteőt kioltja, és az eredeti amplitúdónak csak a második polarizátor síkjáal párhuzamos összeteője halad toább. Az átmenő hullám amplitúdójának a két polarizátor egymással bezárt szögétől aló függését az A = AT = A0 cosα összefüggés adja meg. Miel a hullám intenzitása arányos az amplitúdó négyzetéel, a második polarizátorra eső I 0 intenzitásból az átjutott I intenzitás az I = I 0 cos α összefüggésből kapható meg. Ebből isszakapjuk a tapasztalatból már ismert eredményt: ha a π két polarizátor egymásra merőleges, agyis α =, akkor A = I = 0, tehát nincs átmenő hullám. Miel a kísérletben alkalmazott második polarizátor segítségéel a beérkező hullám rezgési síkját meg lehet találni, a fenti elrendezésben a második polarizátort analizátornak is neezik. Ha a polarizátor és az analizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor keresztezett polarizátorokról beszélünk. Ezzel a kifejezéssel éle, azt mondhatjuk, hogy a keresztezett polarizátorok a transzerzális hullámot kioltják, ezért alkalmazásukkal eldönthető, hogy egy hullám transzerzális agy nem. Mint láttuk, a polarizátor-analizátor pár az analizátor forgatásáal alkalmas arra, hogy az átmenő hullám intenzitását szabályozni tudjuk. Ennek különösen az optikában an nagy jelentősége.
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 7 Utolsó módosítás: 006..0 Energiaterjedés rugalmas hullámban Egy hullám létrehozásához munkát kell befektetni (rugalmas közeg deformálása). Az, hogy a hullám a forrástól táol ugyanolyan rugalmas alakáltozást hozzon létre, mint ami a forrásban létrejött, csak úgy lehetséges, hogy a hullám energiát isz magáal, és a szükséges munkát ez az energia fedezi. Az energiaterjedés általános leírása A hullám által szállított energiát az energiaárammal jellemezhetjük. Ha egy felületen a hullámmal Δt idő alatt ΔE energia halad át akkor az energiaáram: ΔE Φ =. Δt A hullám által szállított energiát a fenti általános összefüggés helyett jó lenne a hullám és a közeg jellemző mennyiségeiel kifejezni. Ehhez először a hullámban az energia térfogati sűrűségét kell meghatároznunk. Ha ugyanis a w energiasűrűséget és a hullám terjedési sebességét ismerjük, akkor az energiaáramot az alábbi egyszerű megfontolással kaphatjuk meg. Δt Az ábrán látható, a hullám terjedésére merőleges S felületen, a felületre merőlegesen Δt idő alatt az az energia megy át a w hullámmal, ami benne an a Δ t magasságú, S alapterületű S hasábban, agyis a Δ V = SΔt térfogatban. Miel az energia térfogati sűrűsége w, az áthaladt energia: Δ E = wδv = ws Δt. A Φ energiaáram ezzel ΔE Φ = = ws. Δ t Ennek alapján az energia-áramsűrűség (amit a hullámtanban általában I-el jelölnek) I = Φ = w, S amit a hullám intenzitásának neeznek. Ez az összefüggés általában is igaz, tehát egy hullámban terjedő energia áramsűrűsége úgy kapható meg, hogy a térfogati energiasűrűséget megszorozzuk a terjedési sebességgel. Miel az áramsűrűség és a terjedési sebesség iránya azonos, az áramsűrűség (intenzitás) ektori formában az alábbi módon adható meg: I = w. Ha egy olyan felületen átmenő energiaáramot akarunk kiszámítani, amely a terjedési sebességre nem merőleges, akkor egy elemi ΔS felületen átmenő energiaáram ΔS ΔΦ = jδs, j ahol ΔS a felületektor. Véges S felületen átmenő energiaáram ebből ΔS integrálással (a felületelemekre történő összegzéssel) kapható meg: Φ S = jds. S Ahhoz, hogy egy konkrét hullám intenzitását kiszámítsuk, meg kell határoznunk a hullámban az energiasűrűséget.
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 8 Utolsó módosítás: 006..0 Rugalmas hullám energiája, a hullám intenzitása Az energiaiszonyokat egy rugalmas rúdban izsgáljuk, amelyben egydimenziós, longitudinális hullám terjed. A hullám által szállított energia kiszámítására az intenzitásra kapott I = w Δ összefüggést alkalmazzuk. Ehhez meg kell határoznunk a ΔS hullámban az energia átlagos sűrűségét. energia A izsgált rúd keresztmetszete S, a rúd anyagának sűrűsége ρ, rugalmassági modulusa E. Az energia kiszámításához a rúd egy elemi Δ V = ΔΔS térfogatát (ábra) álasztjuk ki. A térfogatelem mechanikai energiája a mozgási és helyzeti energia összege, ezért először ezeket az energiákat írjuk fel: ψ ψ ΔEm = Δm = ρδδs = ρ ΔV, t t ψ ΔEh = Eε ΔΔS = E ΔV. Felhasznála a longitudinális rugalmas hullám terjedési sebességére onatkozó E = E = ρ ρ összefüggést, a helyzeti energiára azt kapjuk, hogy ψ ΔEh = ρ ΔV. Ezzel az összenergia ψ ψ Δ E = ΔEm + ΔEh = ρδv +. t Az energia térfogati sűrűsége: ΔE ψ ψ w = = ρ +. ΔV t Ebből a kifejezésből konkrét égeredményt csak akkor kapunk, ha ismerjük a hullámfüggényt. Példaként számítsuk ki az energiasűrűséget a ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) harmonikus hullám esetén. Ha ezt a hullámfüggényt behelyettesítjük az általános összefüggésbe, akkor az energiasűrűségre azt kapjuk, hogy w (,t ) = [ A sin ( t k ) k A sin ( t k ) ] ρ ω ω + α + ω + α. Felhasznála az ω =k összefüggést, az energiasűrűség az egyszerűbb w(,t ) = ρ A ω sin ( ωt k + α ) alakba írható. Eszerint az energiasűrűség adott helyen időben periodikusan áltozik, adott időpillanatban pedig a helynek periodikus függénye. Az időben áltozó energiasűrűség helyett a gyakorlatban jobban használható az energiasűrűség időbeli átlaga. A hullámban adott helyen létrejött energiasűrűség időbeli átlaga:
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 9 Utolsó módosítás: 006..0 w T = w(,t )dt = ρa ω T. 0 Ismere az energia átlagos térfogati sűrűségét, mind az átlagos energiaáramot, mind pedig az átlagos intenzitást ki tudjuk számítani: Φ = ws = ρa ω S I = ρa ω. Az átlagos energia-áramsűrűség ektor ennek alapján I = w = ρ A ω. Az intenzitás- és az amplitúdó térbeli áltozása egyszerű esetekben Az energia-áramsűrűség és ezzel együtt a hullám amplitúdója áltozhat geometriai okokból és a közegben történő energiaeszteségek (elnyelés) miatt. Amplitúdócsökkenés gömbhullámban Korábban már olt szó arról, hogy egy pontforrásból kiinduló hullám esetén mindig fellép egy geometriai jellegű intenzitásáltozás, aminek az az oka, hogy ugyanaz az energiaáram a terjedés során egyre nagyobb felületen oszlik el. Miel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetéel, a forrástól táoloda az amplitúdónak is csökkennie kell. A gömbhullámra elégzett számolás eredménye az olt, hogy homogén, izotróp közegben az amplitúdónak a forrástól mért r táolsággal fordított arányban kell áltoznia: A( r ). r Ugyanilyen számolás eredményeként azt kapjuk, hogy egy pontforrásból kiinduló felületi körhullámban (pl. ízhullám) az amplitúdó helyfüggése A( r ) r jellegű. Ezek a égeredmények csak akkor érényesek, ha a hullám terjedése során nem lépnek fel olyan energiaelnyelő (disszipatí) folyamatok, amelyek a hullámban terjedő összenergiát csökkentik. Amplitúdócsökkenés energiaelnyelés miatt Az áramsűrűség áltozásának másik lehetséges oka, hogy a közeg a hullám energiájának egy részét elnyeli. Ilyenkor maga az energiaáram, és ele együtt az intenzitás is áltozik. Ha az energiaeszteség nem túl nagy, akkor egy -irányban terjedő síkhullámban d hosszúságú szakaszon aló áthaladás közben az intenzitás áltozása arányos a szakasz hosszáal és az eredeti intenzitással: di = I( + d ) I( ) = μid. Ebből azt kapjuk, hogy di = μd, I I( ) = I0 ep( μ ) (Itt μ a közegtől függő állandó, a csillapítási tényező, I 0 az intenzitás az = 0 helyen).
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 0 Utolsó módosítás: 006..0 Miel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetéel, ez azt jelenti, hogy a hullám amplitúdója az elnyelés köetkeztében szintén eponenciálisan csökken: μ A( ) = A0 ep( ) = A0 ep( β ). (Itt beezettük a β =μ/ jelölést.)