Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok

Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 1. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 1 / 28

Vázlat Probléma bemutatása Koczkodaj megközelítése, triádok külön-külön vizsgálata Új megközelítés, triádok teljes rendszerének együttes vizsgálata Egészértékű programozás Gráf reprezentáció Példa bemutatása Összegzés Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 2 / 28

Páros összehasonlítási mátrixok alkalmazása Többszempontú döntési feladatoknál: alternatívák szempontok szerinti értékelése szempontsúlyok meghatározása csoportos döntéseknél: kompetencia-súlyok (szavazóerők) meghatározása Legfeljebb 3 elemmel konzisztenssé/közel konzisztenssé tehető mátrixok jelentősége: elírások kiszűrése döntéshozónak javítási lehetőség csökken a következetlenség szintje közel azonosnak értékelt alternatívák esetében Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 3 / 28

Saaty-féle hányados skála:1/9,..., 9 A 1 : acél szerkezet A 2 : megerősített beton,fa állv. A 3 : megerősített beton A 4 : előre gyártott betonelemekből A 5 : beton mag merevítve A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 1 5 3 3 3 A 2 1/5 1 1/5 1/5 1/7 A 3 1/3 5 1 1 1/3 A 4 1/3 5 1 1 1/3 A 5 1/3 7 3 3 1 Tulajdonságok Önmagával azonos a ii = 1, (1) Reciprocitás a ij = 1/a ji, (2) Konzisztencia a ik = a ij a jk, i,j,k (3) Inkonzisztens az a mátrix, amelyik nem konzisztens. inkonzisztencia magas nincs értelme számolni Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 4 / 28

Koczkodaj megközelítése Alapötlet Minden A R 3 3 páros összehasonlítás mátrix konzisztenssé tehető egyetlen elemének (és reciprokának) alkalmas megváltoztatásával. A 1 A 2 A 3 A 1 1 21 3 A 2 1/21 1 1/7 A 3 1/3 7 1 GD a = 21 5 = 16 CM a = 1 5 21 5 = 3.2 A 1 A 2 A 3 A 1 1 5 3 A 2 1/5 1 1/7 A 3 1/3 7 1 A 1 A 2 A 3 A 1 1 5 5/7 A 2 1/5 1 1/7 A 3 7/5 7 1 GD b = 3 5/7 = 2.2857 CM b = 1 3 3 5/7 = 0.7619 A 1 A 2 A 3 A 1 1 5 3 A 2 1/5 1 3/5 A 3 1/3 5/3 1 GD c = 7 5/3 = 5.33 CM c = 1/7 7 5/3 = 0.7619 az egyes triádokról, illetve azok egy konzisztens mátrixtól vett minimális eltéréséről Nem vizsgálja a mátrix teljes triád struktúráját Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 5 / 28

Új megközelítés Mátrix triádjainak összefüggő rendszere javítása a teljes rendszer vizsgálatával Jelölések: A R n n Ā = log A ā ij = log a ij, i, j = 1,...,n. Konzisztencia: ā ij + ā jk + ā ki = 0, i, j, k = 1,...,n. A4 A5 Kutatási irányok: 1 Gráfelmélet 2 Egészértékű programozás A3 A2 A6 A1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 6 / 28

Gráf reprezentáció Gráf reprezentáció: G ={V, E} irányított gráf V ={1,...,n} a csúcspontok, E =V V pedig az élek halmaza. (i, j) E élhez az ā ij súlyt rendeljük Az (i, j, k) triád = (i, j), (j, k), (k, i) élek által alkotott kör. Az (i, j, k) triád súlya S(i,j,k)=ā ij + ā jk + ā ki A3 A4 A2 A1 Triád konzisztens ha súlya 0, ellenkező esetben pedig inkonzisztens. Konzisztencia tekintetében (i,j,k) triád azonos (i,k,j) S(i, j, k) = S(i, k, j) Az A mátrix konzisztens,ha minden triádjának 0 a súlya. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 7 / 28

Állítás (2) Legyen (i, j, k) egy inkonzisztens triád. Ekkor tetszőlegesl V\{i, j, k} esetén az (l, i, j), (l, j, k) és (l, k, i) triádok közül legalább az egyik inkonzisztens. Bizonyítás: S(l, i, j) + S(l, j, k) + S(l, k, i) = S(i, j, k) Mivel az (i, j, k) súlya nem nulla, a másik három triád közül legalább az egyik súlya nem nulla kell, hogy legyen. A4 A3 A1 A2 Következmény 1.: Ha A inkonzisztens, akkor G legalább n 2 inkonzisztens triádot tartalmaz. 2.: Ha A inkonzisztens, akkor tetszőleges i V esetén van G-ben inkonzisztens (i, j, k) triád. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 8 / 28

Állítás (3. - Egy elem megváltoztatása) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető egyetlen elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráf pontosan n 2 inkonzisztens triádot tartalmaz. Ha n 4, akkor a változtatás egyértelmű. Bizonyítás: Triviális n=3, triviális, ( itt n=4 együtt n 5 Fontos..kell n=4l 1,l 2 nem lehet) 2.Áll (i, j, k) inkonz. triád + G gráf (n 2) inkonz. l V\{i, j, k} esetén az (l, i, j), (l, j, k) és (l, k, i) triádok közül pontosan egy inkonzisztens. S(i, j, k)=α előző pont Tfh.: valamely (l, i, j) inkonz. (Ábra) (l, j, k) és (l, k, i) konzisztensek: A3 ā lj + ā jk + ā kl =0 ā lk + ā ki + ā il = 0 Σ A4 A2 ā jk + ā ki =ā jl + ā li + ā ij ā ij + ā jk + ā ki = ā li + ā ij + ā jl =α A1 S(i, j, k) = S(i, j, l) = S(l, j, i) =α Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 9 / 28

(i, j) él közös: indirekt tfh.: (i, j, k) közös él l1 V\{i, j, k}, (l 1, i, j) inkonz. (j,l 2,l 1 ) konz. 1.pont l2 V\{i, j, k}, (l 2, k, i) inkonz. (l 2, j, k) konz. ā l2 j + ā jk + ā kl2 =0 ā jl2 + ā l2 l 1 + ā l1 j = 0 Σ ā jk + ā kl2 + ā l2 l 1 + ā l1 j = 0 S(i,l2,l 1 ) = 0, S(i, j, k) =α, S(l 1, j, i) = S(l 2, i, k) = α, ezen triádok súlyait összegezve: javítás: Tfh.: ā jk + ā kl2 + ā l2 l 1 + ā l1 j = α, aholα 0 l V\{i, j, k}, (l, i, j) triád inkonz. (előző pont) S(l, i, j) = S(i, j, k) =α (2. pont) ā ij = ā ij α l, S(l, i, j) = 0 és S(i, j, k) = 0, többi triád értéke nem változott (= 0). változtatás egyértelműsége: csak az (i, j) él vesz részt mind az n 2 triádban. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 10 / 28

1. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy annak ellenőrzése, hogy az inkonzisztens triádok száma n 2 vagy sem, O(n 3 ) művelettel végrehajtható, a feltétel teljesülése esetén pedig a módosítandó él és a módosítás mértékének meghatározása már csak O(n 2 ) műveletet igényel. Állítás (4.) Egy konzisztens páros összehasonlítási mátrix K számú elemének (és azok reciprokjainak) megváltoztatásával kapott A páros összehasonlítási mátrix G gráfjában legfeljebb K(n 2) inkonzisztens triád lehet. Akkor lesz az inkonzisztens triádok száma pontosan K(n 2), ha a megváltoztatott elemek nem szerpelnek közös triádban. Bizonyítás: A R n n konzisztens mátrix: K lépés, lépésenként max. n 2 triád súlya változik legfeljebb K(n 2) lehet G-ben Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 11 / 28

Módosított elemek és azok kapcsolata Esetek k 3 elem közös triádban 2 elem közös triádban konzisztens közös triádok inkonzisztens triádok I 1 - - - (n 2) II 2-0 0 2(n 2) III/A 2-1 0 2(n 2)-1 III/B 2-1 1 2(n 2)-2 IV 3 0 0 0 3(n 2) V/A 3 0 1 0 3(n 2)-1 V/B 3 0 1 1 3(n 2)-2 VI/A 3 0 2 0 3(n 2)-2 VI/B 3 0 2 1 3(n 2)-3 VI/C 3 0 2 2 3(n 2)-4 VII/A 3 0 3 0 3(n 2)-3 VII/B 3 0 3 1 3(n 2)-4 VII/C 3 0 3 2 3(n 2)-5 VII/D 3 0 3 3 3(n 2)-6 VIII/A 3 1 0 0 3(n 2)-2 VIII/B 3 1 0 1 3(n 2)-3 Esetek k megváltoztatott dimenzió mátrix elemek I 1 α 12 n 3 II 2 α 12,α 34 n 4 III 2 α 12,α 13 n 4 IV 3 α 12,α 34,α 56 n 6 V 3 α 12,α 13,α 45 n 5 VI 3 α 12,α 13,α 24 n 4 VII 3 α 12,α 13,α 14 n 4 VIII 3 α 12,α 13,α 23 n 4 Példa mátrix, log(a) 0 α 12 α 13... α 16 α 12 0 α 23... α 26 α 13 α 23 0... α 36....... α 16 α 26 α 36... 0 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 12 / 28

Állítás (5.=3.) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető egyetlen elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráfban van olyan (i, j) él, hogy minden (l, i, j),l V\{i, j} triád súlya ugyanaz a nem nulla szám, az összes többi triád viszont konzisztens. Ha n 4, ez az (i, j) él egyértelmű. Két él módosítása két él kapcsolata független egymáshoz kapcsolódó n = 3 triviálisan végtelen sok megoldás n 4 releváns Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 13 / 28

Állítás (6.) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető két elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráfban az alábbi két eset valamelyike teljesül: 1 (i 1, j 1 ) és (i 2, j 2 ) független él,α 1 0 ésα 2 0, hogy (l, i 1, j 1 ), l V\{i 1, j 1 } triád súlyaα 1, (l, i 2, j 2 ),l V\{i 2, j 2 } triád súlyaα 2, az összes többi triád viszont konzisztens. 2 Van két olyan egymáshoz csatlakozó (i, j) és (j, k) él, valamint nem nullaα 1 ésα 2 szám, hogy minden (l, i, j),l V\{i, j, k} triád súlyaα 1, minden (l, j, k),l V\{i, j, k} triád súlyaα 2, az (i, j, k) triád súlyaα 1 +α 2, az összes többi triád viszont konzisztens. i k āij i1 āi1j1 j1 j ājk i2 āi2j2 j2 (a) (i1,ji), (i2,j2) függetlenek l k (b) (i, j), (j, k) csatlakozó élek Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 14 / 28

āi1j1 Három elem megváltoztatása i1 āi1j1 j1 i2 āi2j2 āj1k1 k1 āk1l1 l1 j2 j1 i3 āi3j3 j3 i1 (c) 3 független él (d) 3 csatlakozó él k1 l1 āj1k1 j1 i2 āi2j2 j2 āi1l1 i1 āi1j1 j1 i1 āi1j1 j1 āi1j1 āi1k1 āj1k1 āk1i1 i1 k1 k1 (e) 1 független él (f) centrális elhelyezkedés (g) közös triádban Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 15 / 28

Kevert egészértékű programozás M a lehetséges páros összehasonlítás értékek maximuma M = 2 log M, egy felső korlát n 1 n min y ij i=1 j=i+1 x ij, i, j = 1,...,n, i j, módosított mátrix elemeinek logaritmusa y ij, i, j = 1,...,n, i j, Dummy s.t. x ij + x jk + x ki = 0, 1 i< j< k n, x ij = x ji, 1 i< j n, M x ij M, 1 i< j n, 2 My ij x ij ā ij 2 My ij, 1 i< j n, y ij {0, 1}, 1 i< j n, Állítás (1.) Az MIP optimumértéke: a minimális elemszám, amivel az A konzisztenssé tehető. Legfeljebb K elem megváltoztatásával konzisztenssé tehető? Csatolandó feltétel: n 1 n y ij K i=1 j=i+1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 16 / 28

Összehasonlítás MIP eredmény: sor oszlop régi elem új elem eltérés 4 5 7 4 3 3 4 1/5 1/4 1 1 1 1/2 1/8 1/2 1 1 1 1/2 1/8 1/2 1 A 124 = 2 2 1 1/5 1 2 8 8 5 1 7 8 2 2 1 1/7 1 2 1 1 1/2 1/8 1/2 1 GD iterációs eredmény: Iteráció sor oszlop régi elem új elem GD 1 5 6 2 8/7 0,8571 2 2 5 1/2 7/8 0,8571 3 1 5 1/2 7/8 0,8571 4 3 5 1 7/4 0,75 5 3 6 2 8/5 0,4 6 2 3 1/2 5/8 0,4 7 1 3 1/2 5/8 0,4 8 3 5 7/4 7/5 0,35 A j 124 = 1 1 1/2 1/8 1/2 1 1 1 1/2 1/8 1/2 1 2 2 1 1/4 1 2 8 8 4 1 4 8 2 2 1 1/4 1 2 1 1 1/2 1/8 1/2 1 1 1 5/8 1/8 7/8 1 1 1 5/8 1/8 7/8 1 A j 124 = 2 2 1 1/5 7/5 8/5 8 8 5 1 7 8 2 8/7 1 1/7 1 8/7 1 1 1/2 1/8 7/8 1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 17 / 28

MIP feladat eredménye adathalmazon Valós minta Szakfolyóiratokban publikált 22 valós döntési szintuációt leíró cikkből, összesen 137 páros összehasonlítás mátrixot gyűjtöttünk össze és dolgoztunk fel. Mátrixok 1 elem 2 elem 3 elem Dimenzió száma Konzisztens módosítása módosítása módosítása 3 3 30 14 16 4 4 20 1 6 7 0 5 5 19 1 1 5 1 6 6 21 0 1 1 0 7 7 és nagyobb 47 0 1 0 0 Összesen 137 16 25 13 1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 18 / 28

A mintában szereplő mátrixok: A 44 R 5 5, A 6 R 6 6 és az A 76 R 8 8. 1 2 2 2 3 1/2 1 1 1 2 A 44 = 1/2 1 1 1 2 1/2 1 1 1 2 Aj 44 = 1/3 1/2 1/2 1/2 1 1 2 2 2 4 1/2 1 1 1 2 1/2 1 1 1 2 1/2 1 1 1 2 1/4 1/2 1/2 1/2 1 1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 A 6 = 1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 1/7 1/7 1/7 1 1/7 2 A j 6 = 1/7 1/7 1/7 1 1/7 9/7 1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 1/9 1/9 1/9 1/2 1/9 1 1/9 1/9 1/9 7/9 1/9 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 7 1 1/5 7 7 7 7 7 9 5 1 9 9 9 9 9 A 76 = 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 A j 76 = 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 7 1 7/9 7 7 7 7 7 9 9/7 1 9 9 9 9 9 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 1 1/7 1/9 1 1 1 1 1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 19 / 28

60 %? Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 20 / 28

További modellek és eredmények ( ) 1 a b A 3 3 = 1/a 1 c [a b c] R 3 +. 1/b 1/c 1 CM(a, b, c) = min( 1 a a b c, 1 b b ac, 1 c c b a ). CM(A) = max{cm(a ij, a ik, a jk ) i j< k n} Bozóki S. és Rapcsák T. [2008] megmutatták, ha T(a, b, c) = max { ac, } b b ac CM(a, b, c) = 1 1 T(a, b, c) T(a, b, c) = 1 1 CM(a, b, c) Ā = log(a) esetében T(ā, b, c) = max { ā + c b, (ā + c b) }. LP megoldása: CM(A) = 1 1 exp(z opt) Bozóki, Fülöp, Koczkodaj [2010]: min z s.t. ā ij + ā jk + ā ki z, 1 i< j< k n, (ā ij + ā jk + ā ki ) z, 1 i< j< k n, Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 21 / 28

II. MIP K és CM krit adott Az A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával CM(A ) CM krit teljesül? z = log( 1 1 CM krit ) M = log(m) ā ij = log(a ij ) min n 1 n y ij i=1 j=i+1 s.t. x ij + x jk + x ki z, 1 i< j< k n, (x ij + x jk + x ki ) z, 1 i< j< k n, x ij = x ji, 1 i< j n, M x ij M, 1 i< j n, 2 My ij x ij ā ij 2 My ij, 1 i< j n, y ij {0, 1}, 1 i< j n, n 1 n y ij i=1 j=i+1 K Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 22 / 28

III. MIP K adott Az A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával min CM(A )? z változó CM(A ) = 1 1 exp(z opt) M = log(m) ā ij = log(a ij ) min z s.t. x ij + x jk + x ki z, 1 i< j< k n, (x ij + x jk + x ki ) z, 1 i< j< k n, x ij = x ji, 1 i< j n, M x ij M, 1 i< j n, 2 My ij x ij ā ij 2 My ij, 1 i< j n, y ij {0, 1}, 1 i< j n, n 1 n K y ij i=1 j=i+1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 23 / 28

R 6 6 mátrixok, III. MIP Min CM Sorszám CM K=3 Eltérés CR 2 0,78 0,63 0,15 9,38% 3 0,61 0,61 0 3,22% 4 0,75 0,63 0,13 6,9% 5 0,36 0 0,36 0,35% 6 0,63 0,56 0,07 4,23% 7 0,7 0,62 0,08 6,42% 8 0,64 0,53 0,11 3,64% 9 0,61 0,42 0,19 2,81% 10 0,44 0,44 0 1,24% 11 0,82 0,5 0,32 7,67% 12 0,47 0,4 0,07 1,88% 13 0,81 0,72 0,09 14,7% 14 0,98 0,67 0,31 34,71% 15 0,83 0,38 0,46 5,04% 16 0,75 0,63 0,13 7,69% 17 0,78 0,56 0,22 6,32% 18 0,83 0,67 0,17 12,01% 19 0,8 0,38 0,43 6,53% 20 0,6 0,5 0,1 3,98% 21 0,43 0 0,43 0,54% 1 1/3 1/5 3 7 5 3 1 3 1/5 5 3 A = 5 1/3 1 3 5 3 1/3 5 1/3 1 3 3 CR = 34, 71% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 1 1/3 1/5 3 7 5 3 1 3 1, 51 5 3 A 1 = 5 1/3 1 3 5 3 1/3 0, 65 1/3 1 3 3 CR = 15, 03% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 1 1/3 1, 15 3 7 5 3 1 3 2, 95 5 3 A 2 = 0, 87 1/3 1 3 5 3 1/3 0, 34 1/3 1 3 3 CR = 7, 29% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 1 0, 97 1, 56 3 7 5 1, 03 1 3 3 5 3 A 3 = 0, 64 1/3 1 3 5 3 1/3 1/3 1/3 1 3 3 CR = 4, 94% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 24 / 28

Összefoglalás Eredmények alkalmazása: elírt páros összehasonlítási elemek detektálása triád struktúra feltárása a bemutatott eszközökkel teljes triád struktúrát figyelembe vevő javító algoritmus Eredményeink: egészértékű programozási feladat felírása módosított gráf reprezentáció állítások megfogalmazása és belátása eredmények ellenőrzése valós adatokon konzisztens mátrix 1, 2, 3 elemének megváltoztatással, hány inkonzisztens triád keletkezik Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 25 / 28

További kutatási irányok További inkonzisztencia mutatókra (CR, GD) felírni hasonló összefüggéseket. Kutatási eredmények más területen történő alkalmazása? párosösszehasonlítás mátrix ferdén szimmetrikus mátrix játékelmélet gazdaságstatisztika Lie-Algebra? Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 26 / 28

Bozóki, S., Rapcsák, T. [2008]: On Saaty s and Koczkodaj s inconsistencies of pairwise comparison matrices, Journal of Global Optimalization 42(2), pp. 139-148. Bozóki, S., Fülöp, J., Koczkodaj, W.W. [2010]: LP-based consistency-driven supervision for incomplete pairwise comparison matrices, Working Paper, WP 2010-1. Bozóki, S., Fülöp, J., Poesz, A. [2010]: On pairwise comparison matrices that can be made consistent by modification of a few elements, Central European Journal of Operation Research (in print). DOI 10.1007/s10100-010-0136-9 Kéri, G. [2005]: Kritériumok páros összehasonlítás mátrixokra, Szigma, 36, pp. 139-148. Kindler, J., Papp O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Koczkodaj, W.W [1993]: A new definition of consistency of pairwise comparisons, Mathematical and computer modelling, 18, pp. 79-84. Poesz, A. [2008]: A páros összehasonlítás mátrixok kritikus értékeinek detektálása, TDK dolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem, Budapest. Poesz, A. [2008]: Tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának vizsgálata, Szakdolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar, Gazdasági Döntések Tanszék, Budapest. Saaty, T.L [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New-York. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 27 / 28

Köszönöm a figyelmet! Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 28 / 28