011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet csk 16. százd elején, Michel Stiefel áltl nyerte el végleges formáját. De különböző megoldási módszerek már időszámításunk előtt is léteztek. Az ókori Görögországbn geometrii úton oldották meg z efféle feldtokt. Alpműveletek szkszokkl Alpműveletek szkszokkl 1 egység szksz b szksz x=-b Rámérjük szkszr b szkszt, zon része, hol b már nem fedi, kettő különbsége lesz, vgyis x szksz. x=+b Meghosszbbítjuk z szksz egyenesét, mjd végpontjához rámérjük b szkszt, így megkpjuk x-et. x=b Osszuk z egészet -vl: x:=b:1. Hsználjuk párhuzmos szelők tételét. Vegyünk α szöget, mjd z egyik szögszárr mérjük rá z 1 egység hosszú és b szkszt, másik szögszárr pedig szkszt. Kössük össze és z egységszksz végpontját, húzzunk vele párhuzmos szelőt, mely átmegy b szksz végpontján. A kimetszett rész x. 1
011.05.19. Alpműveletek szkszokkl Alpműveletek szkszokkl x=:b Átlkítv: :x=b:1. Itt z egyik szögszárr b-t és z egységszkszt mérjük rá, míg másikr szkszt. Összekötjük és b szksz végpontjit, mjd párhuzmost állítunk mely átmegy z egységszksz végpontján. A kimetszett szksz lesz x. x= Mivel x= =, ugynúgy kell megszerkeszteni, mint hrmdik lpműveletet. A tételt lklmzv, z egyik szögszárr szkszt, és z egységszkszt mérjük rá, másikr ismét -t. A párhuzmos szelő kimetszi x szksz hosszát. Lehetséges mgsság vgy befogó tétel, körhöz húzott érintő- és szelőszkszok tétele, vgy pitgorsz összefüggés segítségével. Hsználjuk Thlész-kört és mgsságtételt. Felvesszük egymás mellé és b szkszt, mjd megfelezzük z összegüket és Thlészkört rjzolunk. A közös végpontból állított merőleges egyenesből körvonl kimetszi x szkszt, mely és b szksz mértni közepe. 1 egység szksz b szksz c szksz x ±bx±c=0, hol,b,c>0, vlmint x>0 Mivel >0, tehát 0, z egész egyenletet osztjuk -vl: b x x c ± ± = 0 b c Legyen = A és =. Első lépésben szerkesszük meg A és értékét. b = A A szksz x ± Ax ± = 0 c = szksz
011.05.19. 1. x =-Ax- Ebben z esetben nincs megoldás, hiszen A>0, >0 és x>0, ezért z egyenlet jobb oldl mindenképpen negtív értékű lesz. Míg x mindenképpen ngyobb, mint 0.. x =-Ax+ Hogy legyen megoldás, kötelező, hogy D 0, vgyis A +4 0. Mivel A és is ngyobb, mint 0, ezért ez z egyenlőtlenség mindig teljesül. Tehát mindig lesz megoldás. Rendezzük át z egyenletet: =x +Ax =x(x+a) Hsználjuk körhöz húzott érintő- és szelőszkszok tételét. = x ( x + A ). x =-Ax+ Mgsságtétel segítségével megszerkesztjük szkszt. Szerkesszünk egy kört, melynek sugr r = 1 A, és érintője. Húzzunk szelőt P pontból, O ponton keresztül. A két metszéspont legyen M és N. MN szksz átmérő, tehát hossz A-vl egyenlő. Így tétel szerint = PM PN tehát, ( ) = x ( x + A ). Így PM=x 1 szksz 3. x =Ax+ Szintén kötelező, hogy D 0, vgyis A +4 0. Mivel A és is ngyobb, mint 0, ezért ez z egyenlőtlenség mindig teljesül. Tehát mindig lesz megoldás. Rendezzük át z egyenletet: =x -Ax =x(x-a) Hsználjuk körhöz húzott érintő- és szelőszkszok tételét. Az előző feldt lpján: szksz ( ) = x ( x A ) 3. x =Ax+ Szerkesszünk egy kört, melynek sugr r = 1 A, és érintője. Húzzunk szelőt P pontból, O ponton keresztül. A két metszéspont legyen M és N. MN szksz átmérő, tehát hossz A-vl egyenlő. Így tétel szerint = PM PN tehát, ( ) = x ( x + A ). Így PN=x szksz 3
011.05.19. 4. x =Ax- Szintén kötelező, hogy D 0, vgyis A -4 0. Tehát A 4, vgyis A Mivel eszerint z érintő kisebb, mint sugár, nem lehet ugynúgy megoldni z egyenletet, mint z előzőeket. Vegyünk egy -nél hosszbb sugrt. Legyen r = 1 A. 4. x =Ax- Szerkesszük meg r = 1 A sugrú kört, melyek középpontj O. Legyen kör érintője. Szerkesszünk egy derékszögű háromszöget, melynek átfogój kör sugr, befogói x és. Megoldóképlet hsznált 4. x =Ax- Alklmzzuk Pitgorsz tételt. A A x + = A A Ax + x + = Ax + x + = 0 x = Ax A módszer lklmzhtó megoldóképlettel együtt is. Ebben z esetben z átlkított egyenlet gyökeit kifejezzük képlet segítségével: A A x ± Ax ± = 0,vgyis gyökök: x= ± ± ± 4 Negtív gyökök nem szerkeszthetőek, tehát pontos képlet: A A x = ± ± ± 4 Tehát x 3 szksz megoldás. 4
011.05.19. Köszönöm figyelmet! 5