1. Mi z lpfoglom? lpfoglom: olyn foglom, mit ismertnek fogdunk el, nem tudunk más foglmk segítségével meghtározni, legfelje szemléletesen körülírjuk. Minden tudomány ilyen lpfoglmkr épül fel.. geometri lpfoglmi geometri lpfoglmi: pont, vonl, egyenes, sík, tér. Pont: Két egymást metsző vonlll jelöljük. z áécé ngyetűivel nevezzük el. C Vonl: lehet göre törött egyenes 3. z egyenes. (Elnevezése, hossz) Egyenes: geometri egyik lpfoglm. Végtelen hosszú. Mindkét irányn végtelene trt. z áécé kisetűivel nevezzük el. c 4. félegyenes meghtározás. (Elnevezése, hossz) Félegyenes: nevezzük el. z egyenest ármely pontj két félegyenesre ontj. félegyenest z áécé kisetűivel f e kezdőpontú e félegyenes, és kezdőpontú f félegyenes. félegyenes végtelen hosszú, de csk egy irányn trt végtelene. - 1 -
5. szksz meghtározás. (Elnevezése, hossz) Szksz: Térelemek: pont, vonl, sík z egyenesnek, két pontj áltl meghtározott része szksz. szksz véges hosszú. Végpontjivl, vgy z áécé kisetűivel nevezzük el. 6. Két pont kölcsönös helyzete: 1. Két pont illeszkedik egymásr: d d szksz szksz. Két pont nem illeszkedik egymásr: D E 7. Pont és egyenes kölcsönös helyzete: 1. pont illeszkedik z e egyenesre: e. D pont nem illeszkedik z f egyenesre: D f 8. Egy ponton át, hány egyenes húzhtó? Egy dott ponton keresztül végtelen sok egyenes húzhtó. Egy pont nem htároz meg egy egyenest. - -
9. Legkevese hány pont htároz meg egy egyenest? Két dott ponton keresztül pontosn egy egyenes húzhtó. Két pont meghtároz egy egyenest. D C 10. Pont és sík kölcsönös helyzete: 1. pont illeszkedik z síkr:. D pont nem illeszkedik z síkr: D két egyenes illeszkedik egymásr: Minden pontjuk közös. 11. Metsző egyenesek foglm. Két egyenes metsző, h pontosn egy közös pontjuk vn. M metszéspont Két metsző egyenes síkot mindig négy részre osztj. két-két szemközti síkrész mindig egyevágó. (Két síkrész síkidom egyevágó, h egymásr orítv kölcsönösen fedik egymást.) d - 3 -
1. Merőleges egyenesek foglm, jelölése. merőleges egyenesek olyn metsző egyenesek, melyek síkot négy egyevágó részre osztják. Így jelöljük, hogy és egyenesek merőlegesek egymásr: 13. Párhuzmos egyenesek foglm, jelölése. Két egyenes párhuzmos, h egy síkn vnnk és nincs közös pontjuk, illetve, h minden pontjuk közös, zz illeszkednek. két párhuzmos egyenes ármely pontj zonos távolságr vn másik egyenestől. Így jelöljük, hogy és egyenesek párhuzmosk: Két nem illeszkedő párhuzmos egyenes síkot mindig három részre osztj. 14,Kitérő egyenesek foglm. két egyenes kitérő h nem egy síkn vnnk. Két kitérő egyenesnek nincs közös pontj. 15. Egyenes és sík kölcsönös helyzete. 1. z egyenes illeszkedik síkr: z egyenes minden pontj illeszkedik síkr. z egyenes síkot két részre, két félsíkr osztj. - 4 -
. z egyenes döfi síkot: z egyenesnek és síknk pontosn egy közös pontj vn. D döféspont 3. z egyenes párhuzmos síkkl: z egyenesnek és síknk nincs közös pontj. e 16. Két sík kölcsönös helyzete: 1. Két sík illeszkedik egymásr, h minden pontjuk közös.. Két sík metszi egymást, közös pontjik egy egyenest lkotnk. 3. Két sík párhuzmos, h nincs közös pontjuk. - 5 -
17. Két pont távolság Két pont távolság két pontot összekötő egyenes szksz hossz. két pontot összekötő vonlk közül z egyenes legrövide. (Két pont között legrövide út mindig z egyenes.) Két pont között mindig csk egy egyenes szksz húzhtó. 18. Két (tö elemű) ponthlmz távolság két ponthlmz legközelei pontjit összekötő egyenes szksz. 19. Pont és egyenes távolság pontól z egyenesre állított merőleges szksz hossz. ( két ponthlmz pontjit összekötő szkszok közül ez legrövide.) e 0. Két metsző egyenes távolság Két metsző egyenes távolság mindig 0. (z és egyenesek két legközelei pontj metszéspont.) - 6 -
1. Két párhuzmos egyenes távolság Két párhuzmos egyenes távolság: két párhuzmos egyenest összekötő merőleges szksz hossz. ( két ponthlmz pontjit összekötő szkszok közül ez legrövide.). Pont és sík távolság Pont és sík távolság pontól síkr állított merőleges szksz hossz. Minden, döfésponton áthldó egyenesre merőlegesnek kell lennie. 3. Sík és vele párhuzmos egyenes távolság e z egyenesről síkr állított merőleges szksz hossz. 4. Két párhuzmos sík távolság két síkot összekötő merőleges szksz hossz. - 7 -
5. szög foglm, részei szög: Egy közös pontól kiinduló két félegyenes síkot két részre, két szögtrtományr (röviden: szögre) osztj. szögcsúcs szögszár szögtrtomány Két szög keletkezett. szögcsúcs és szögszárk mindkét szöghöz hozzátrtoznk!! 6. Néhány görög etű szögeket görög áécé etűivel nevezzük el: lf ét gmm delt epszilon omeg 7. Szögmérés szöget szögfokkl ( ), vgy szöghöz trtozó körív hosszávl mérjük. szögek ngyságát területükkel nem tudjuk mérni, hisz minden szögtrtomány végtelen ngy területet jelent. H z egyik szögszárt rögzítettnek tekintjük, másik szögszárt, pedig szögcsúcs körül elforgtjuk, mozgó szögszár minden pontj egy kört ír le, míg szögszár vissztér kiindulási helyére. Kiválsztunk egy kört, körvonlt felosztjuk 360 egyenlő szkszr. Egy eosztás lesz 1 (1 fok). ( gykorltn ezt kört szögmérő helyettesíti.) szög ngyságát zzl jellemezzük, hogy mozgó szögszár melyik eosztásnál metszi körívet, h rögzített szár 0 -r mutt. 180 90 Ez mozgó szögszár most körülelül 35-ös eosztásr mutt. szög megközelítőleg 35. szög ismeretéen mérés nélkül meghtározhtó. z egész köríven 360 eosztás vn. -r eől 35 0 jut, kkor z = 360 35. = 35 70 szögek ngyságát hozzá trtozó körív hossz is jellemzi. Ez is mérhető. Mi most csk összehsonlítjuk két körívet. Így ránézésre z -hoz trtozó körív körülelül kilencszer hossz, mint -hoz trtozó. - 8 -
8. Nullszög foglm nullszög pontosn 0. (Nem trtozik hozzá körív.) = 0 9. Hegyesszög foglm Hegyesszög: 0 -nál ngyo, de 90-nál kise. ( hozzá trtozó körív negyed körnél kise.) 0 < < 90 30. Derékszög foglm Derékszög: Pontosn 90. (Negyed körív trtozik hozzá.) = 90 31. Tompszög foglm Tompszög: 90 -nál ngyo, de 180 -nál kise. (Negyed körnél ngyo, de félkörnél kise körív trtozik hozzá.) 90 < < 180-9 -
3. Egyenesszög foglm Egyenesszög: Pontosn 180. (Félkörív trtozik hozzá.) = 180 33. Homorú szög foglm Homorú szög: 180 -nál ngyo, de 360 -nál kise. (Félkörnél ngyo, de teljes körnél kise körív trtozik hozzá.) 180 << 360 34. Teljes szög foglm Teljes szög: Pontosn 360. (Teljes kör trtozik hozzá.) = 360 35. 36. Konvex szög, nem konvex szög foglm Konvex szögek: 180 -nál nem ngyo szögek. Konkáv (nem konvex) szögek: 180 -nál ngyo szögek. 37. Párhuzmos szárú szögpárok párhuzmos szárú szögpárok olyn szögpárok, melyek szári páronként párhuzmosk. - 10 -
38. Egyállású szögek Egyállású szögek: olyn párhuzmos szárú szögpárok, melyeknél párhuzmos szárk irány megegyezik. Két egyállású szög mindig egyenlő ngyságú. = 39. Fordított állású szögek (váltószögek) Fordított állású szögek (váltószögek): olyn párhuzmos szárú szögpárok, melyeknél párhuzmos szárk irány ellentétes. Két fordított állású szög mindig egyenlő ngyságú. = 40. Csúcsszögek Csúcsszögek: olyn fordított állású szögek, melyeknek közös csúcsuk, és melyek szári páronként egy egyenesen vnnk. Két csúcsszög mindig egyenlő ngyságú. = - 11 -
41. Kiegészítő szögek Kiegészítő szögek: olyn szögpárok, melyek egymást 180-r egészítik ki. Például társszögek, mellékszögek kiegészítő szögek. 4. Társszögek Társszögek: olyn párhuzmos szárú szögpárok, melyeknél egy-egy szár irány megegyező, egy-egy szár irány ellentétes. Két társszög összege mindig 180. + = 180 43. Mellékszögek Olyn párhuzmos szárú szögpárok,, melyeknek egy-egy száruk zonos egyenesen vn, és egy száruk közös. Két mellékszög összege mindig 180. + = 180 44. Merőleges szárú szögpárok Olyn szögpárok, melyek szári páronként merőlegesek. - 1 -
45. Merőleges szárú szögpárok típusi 1. z zonos szögtípus trtozó merőleges szárú szögek mindig egyenlő ngyságúk. = és is hegyesszög.. H két merőleges szárú szög közül z egyik hegyesszög, másik tompszög, kkor két szög összege mindig 180. + = 180 46. Pótszögek Olyn szögpárok, melyek egymást 90 -r egészítik ki. + = 90-13 -
47. 48. 49. 50. dott ponttól (középponttól) egyenlő távolságr lévő pontok hlmz (mértni helye) síkon kör (körvonl). dott ponttól (középponttól) egyenlő távolságr lévő pontok hlmz téren göm (gömfelület). Sugár: Húr: Átmérő: kör középpontját körvonl egy pontjávl összekötő egyenes szksz. Jele: r körvonl két tetszőleges pontját összekötő egyenes szksz. kör középpontján áthldó, körvonl két pontját összekötő egyenes szksz. z átmérő leghossz húr. Jele: d középpont átmérő körcikk sugár d r O r O r Körív: húr körszelet körvonl tetszőleges hosszúságú szksz. körív Körszelet: Olyn síkidom, mit egy körív és egy húr htárol. Körcikk: Körlp: Olyn síkidom, mit egy körív és két sugár htárol. dott ponttól (középponttól) sugárhossznál nem ngyo távolságr lévő pontok hlmz síkon. ( rjzon körvonl, és szürkével kitöltött terület együtt.) Körgyűrű: két, zonos középpontú körvonl htárolj. Körgyűrű - 14 -
51. 5. c MTEMTIK II. (GEOMETRI) O r P egyenes: Nincs közös pontj körrel. egyenes: Érintő egyenes: körnek és z egyenesnek pontosn egy közös pontj vn. Ez pont z érintési pont. (P) z érintési pont húzott sugár ( r )mindig merőleges z érintő egyenesre. eláthtó, hogy egyenes pontji közül P pont vn legközele z O ponthoz, mivel rjt vn körvonlon, míg z egyenes töi pontj körvonlon kívül helyezkedik el. z O pontól egyenes pontjihoz húzott szkszok közül z OP legrövide. dott külső pontól z egyenes pontjihoz húzott szkszok közül legrövide mindig merőleges z egyenesre. c egyenes: Szelő egyenes: körnek és z egyenesnek pontosn két közös pontj vn. 53. szkszfelező merőleges egyenes meghtározás Két ponttól egyenlő távolságr lévő pontok hlmz (mértni helye) síkon, két pontot összekötő szksz szkszfelező merőleges egyenese. f 54. szkszfelező merőleges egyenes tuljdonsági 1. Felezi szkszt.. Merőleges szkszr. 3. Minden pontj egyenlő távolságr vn szksz két végpontjától. 4. Minden olyn pontot trtlmz, melyek egyenlő távolságr vnnk szksz két végpontjától. - 15 -
55. Egy egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok mértni helye síkon. (Téren) dott egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok hlmz (mértni helye) síkon, két párhuzmos egyenes. dott egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok hlmz téren, egy hengerfelület. (Egy cső.) e d d f z e és f egyenesek minden pontj d távolságr vn z egyenestől. Minden olyn pont, mely z egyenestől d távolságr vn síkon z e és f egyeneseken vn. 56. Két párhuzmos egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok mértni helye síkon Két párhuzmos egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok hlmz (mértni helye) síkon, két egyenest összekötő merőleges szksz szkszfelező merőleges egyenese. (Ez két párhuzmos egyenes középegyenese.) k 57. Két metsző egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok mértni helye síkon Két metsző egyenestől egyenlő távolságr lévő pontok hlmz (mértni helye) síkon, két egyenes áltl ezárt szögek szögfelező egyenesei. f α α β β β β α α f 1-16 -
58. szögfelező egyenes tuljdonsági Felezi szöget. Minden pontj egyenlő távolságr vn két szögszár egyenesétől. Minden olyn pontot trtlmz, melyek egyenlő távolságr vnnk két szögszár egyenesétől. 59. két metsző egyenes áltl ezárt szögek szögfelezői merőlegesek egymásr TÉTEL: (Állítás): Két metsző egyenes áltl ezárt szögek szögfelezői merőlegesek egymásr. Ez z állítás nem olyn mgától értetődő. H krom, hiszem, h nem krom, nem hiszem. Een z eseten meggyőzés eszköze IZONYÍTÁS. izonyítás zt jelenti, hogy felsorkozttjuk zokt már izonyított tényeket, melyek együttesen igzolják z állításunkt. Első lépésként mindig célszerű tömören megfoglmzni, hogy mit is krunk izonyítni. Hsználjuk z árát! zt állítjuk, hogy f 1 és f egyenesek áltl ezárt szög, - mi z ár szerint és összege - pontosn 90. izonyítndó tehát: α β 90 izonyítás: Két metsző egyenes síkot négy szögre osztj. szemközti szögek egyenlők, így vn dr és dr szögünk. két szögfelező egyenes ezeket felezi. Keletkezik 4 dr és 4 dr szögünk. lkossunk előlük ( + ) párokt! Négy ilyen párt lkíthtunk ki. szögek együtt teljes szöget lkotnk. z árán láthtó z ehhez trtozó teljes kör. Eől következik: α β 4*( ) 360 // : 4 Mindkét oldlt 4-gyel osztv pontosn izonyítni kívánt állítást kpjuk. 90 Minden lépés, mit izonyítás közen megtettünk helyes, igzolhtó volt, így jutottunk el z utolsó állításhoz. Így ez z állítás is igz. 90 z állítást tehát eizonyítottuk. - 17 -
60. Szkszfelező merőleges egyenes szerkesztése Szerkesszük meg z szksz szkszfelező merőleges egyenesét! 1. lépés: Kinyitjuk körzőt szksz felénél ngyo távolságr, és ezzel körzőnyílássl körívet rjzolunk z pont köré.. lépés: Ugynezzel körzőnyílássl körívet rjzolunk z pont köré. 3. lépés: két metszéspontot összekötve kpjuk szkszfelező merőleges egyenest. - 18 -
61. Merőleges szerkesztése dott egyenes dott pontjá Állítsunk merőleges egyenest z e egyenes pontjá! e pontot! 1. lépés: Vegyünk fel körző segítségével z e egyenesen ponttól egyenlő távolságr két e. lépés: Szerkesszük meg z így kpott, felezőpontú szksznk szkszfelező merőlegesét. e - 19 -
6. Érintő egyenes szerkesztése, kör dott pontjár Szerkesszük meg z O középpontú kört P pontn érintő e egyenest! O P 1. lépés: Vegyük fel z OO szkszt úgy, hogy P pont szksz felezőpontj legyen! O P O. lépés: Szerkesszük meg z OO szksz szkszfelező merőlegesét! e O P O - 0 -
63. Merőleges egyenes szerkesztése dott egyenesre dott külső pontól Állítsunk merőleges egyenest z e egyenesre pontól! e 1. lépés: Rjzoljunk egy középpontú, z e egyenest metsző körívet! e. lépés: Szerkesszük meg metszéspontok áltl meghtározott szksz szkszfelező merőleges egyenesét! e - 1 -
64. dott egyenessel párhuzmos egyenes szerkesztése Szerkesszünk egy párhuzmos egyenest d távolságr z e egyenestől! e 1. lépés: Vegyünk fel három pontot z e egyenesen! e. lépés: Szerkesszük meg z így kpott két szksz szkszfelező merőlegesét! e 3. lépés: Vegyünk fel szkszfelező merőlegeseken z e egyenestől d távolságr egy-egy pontot, mjd kössük össze ezeket! e - -
64. dott egyenessel párhuzmos egyenes szerkesztése (másképp) Szerkesszünk egy párhuzmos egyenest d távolságr z e egyenestől! e 1. lépés: Vegyünk fel két pontot z e egyenesen! e. lépés: Szerkesszük meg z így kpott szksz szkszfelező merőlegesét! e 3. lépés: Vegyünk fel szkszfelező merőlegesen z e egyenestől d távolságr egy pontot, ezt most szemléletesség mitt nevezzük el -nek! e 4. lépés: Vegyünk fel szkszfelező merőlegesen egy olyn szkszt, melynek pont felező pontj, mjd szerkesszük meg ennek szksznk szkszfelező merőlegesét! e - 3 -
65. Szögmásolás MTEMTIK II. (GEOMETRI) Másoljuk le szöget! 1. lépés: szög két mindkét szárát metsszük el egy olyn körívvel, melynek szög csúcs középpontj!. lépés: Vegyünk fel egy félegyenest, és z elői körívet most félegyenes kezdőpontj körül rjzoljuk meg, ugynzzl körzőnyílássl! 3. lépés: Vegyük körzőnyílás szög szárin keletkezett metszéspontok távolságát, és ezzel sugárrl rjzoljunk körívet félegyenesen lévő metszéspont köré! - 4 -
66. Szögfelezés MTEMTIK II. (GEOMETRI) Felezzük meg szöget! 1. lépés: szög két mindkét szárát metsszük el egy olyn körívvel, melynek szög csúcs középpontj!. lépés: Szerkesszük meg két metszéspont áltl meghtározott szksz szkszfelező merőlegesének egy pontját, mjd ezt pontot kössük össze szög csúcsávl! - 5 -
67. 60 -os szög szerkesztése 1. lépés: Vegyünk fel egy félegyenest, és kezdőpontj köré rjzolt körívvel metsszük el félegyenest!. lépés: Ugynezzel körzőnyílássl metszéspont köré is rjzoljunk körívet, mjd két körív metszéspontját kössük össze félegyenes kezdőpontjávl! 60 68. dott szög szerkesztése: 75 -os (Másképpen is lehet.) 1. lépés: Szerkesszünk két 60 -os szöget úgy, hogy z egyik szögszáruk közös legyen! 60 60. lépés: Kétszeri szögfelezés után kpjuk 75 -os szöget. 30 30 15 60 60-6 -
69. síkidom keletkezése, síkidom foglm sík feldrolásávl síkidomokt kpunk. Ezek mind síkdrok, síkidomok. Vn köztük véges, vn köztük végtelen. Vn olyn, mit tö vonl htárol, vn, mit csk egy. következőken, síkidomon síknk egyetlen, önmgát nem metsző zárt vonlll htárolt részét értjük. htároló vonl állht: Csk göre vonlól. Göre és egyenes szkszokól. Csk egyenes szkszokól. 70. Konvex, konkáv síkidom Konvex síkidom: Olyn síkidom, mely ármely két pontját összekötő egyenes szksz minden pontját trtlmzz. (z ilyen udvrn nem lehet elújni.) Ezek konvex síkidomok. ármely két pontjukt összekötjük egy egyenessel, z egyenes minden pontj síkidomnk is pontj. Konkáv síkidom: (Nem konvex) Olyn síkidom, melynek vn leglá két olyn pontj, melyeket összekötő egyenes szksz leglá egy pontj síkidomon kívül vn. (z ilyen udvrn el lehet elújni.) Ezek nem konvex (konkáv) síkidomok. Tláltunk olyn pontokt, melyeket h összekötünk egy egyenessel, z egyenesnek vn olyn pontj, mely síkidomon kívül vn. - 7 -
71. sokszög foglm, sokszög oldl, csúcs, sokszög átlój Sokszög: Olyn síkidom, mit csk egyenes szkszok htárolnk. E oldl e csúcs Oldl: Csúcs: Átló: átló c C d D szög sokszögeket szögeik számáról nevezzük el. (Ötszög, nyolcszög, st.) sokszögen z oldlk, szögek és csúcsok szám megegyezik. sokszög htároló szkszi sokszög oldli. z oldlk végpontji sokszög csúcsi. sokszög átlój két, nem szomszédos csúcsot összekötő egyenes szksz. ( háromszög kivételével minden sokszögnek vn átlój.) 7. Konvex, konkáv sokszög, szályos sokszög Konvex sokszög: Olyn sokszög, melynek nincs 180 -nál ngyo szöge. Konkáv nem konvex sokszög: Olyn sokszög, melynek vn 180 -nál ngyo szöge. Szályos sokszög: Olyn sokszög, melynek minden oldl és minden szöge egyenlő. 73. Húrsokszög, érintősokszög O Húrsokszög: Olyn sokszög, melynek minden oldl ugynnnk körnek húrj. (Másképp: húrsokszögek köré mindig rjzolhtó minden csúcsot trtlmzó körvonl.) Húrsokszög csk konvex sokszög lehet. Minden szályos sokszög húrsokszög. Érintősokszög: Olyn konvex sokszög, melynek minden oldl ugynnnk körnek z érintője. Minden szályos sokszög érintő sokszög. - 8 -
74. háromszög meghtározás, háromszög mgsságvonl, mgsság, mgsságegyenese c háromszög olyn sokszög, melynek három oldl, három csúcs és három szöge vn. z,, szögek háromszög első szögei (röviden: szögei). háromszög első szögeinek z összege mindig 180. + + = 180 (Ezt késő eizonyítjuk, most csk megjegyezzük, mint hsznos tudnivlót.) háromszög mgsságvonl: csúcsól szemközti oldl egyenesére állított merőleges szksz. háromszög mgsság mgsságvonl hossz. háromszög mgsságvonl: csúcsól szemközti oldl egyenesére állított merőleges szksz. C mgsságok: m, m, m c m c m c m C tompszögű háromszög két mgsságvonl háromszögön kívül vn. hegyesszögű háromszög mgsságvonli háromszögön elül vnnk derékszögű háromszög két mgsságvonl háromszög két oldl (efogój). Minden háromszögnek három mgsság vn. háromszög mgsságegyenese: mgsságvonlt trtlmzó egyenes - 9 -
75. háromszögek csoportosítás szögeik szerint 1. Hegyesszögű háromszög: minden szöge hegyesszög. < 90 < 90 < 90. Derékszögű háromszög: vn egy derékszöge. Másik két szöge hegyesszög. átfogó efogó derékszögű háromszög egymásr merőleges oldlink neve: efogó. két efogó megegyezik derékszögű háromszög két mgsságávl. hrmdik oldl neve: átfogó. 3. Tompszögű háromszög: vn egy tompszöge. Másik két szöge hegyesszög. > 90-30 -
76. háromszögek csoportosítás oldlik szerint 1. Áltlános háromszög: Minden oldl különöző hosszú. c. Egyenlő szárú háromszög: (Tükrös háromszög) Vn leglá két egyenlő oldl. z lpon fekvő szögei egyenlők. z lphoz trtozó mgsság felezi z lpot, és szárk áltl ezárt szöget. z lphoz trtozó mgsság tükörtengely. Tükrösnek nevezzük zokt síkidomokt, melyek egy egyenes (tükörtengely) mentén kettéhjthtók úgy, hogy két rész kölcsönösen fedi egymást. (Lásd: tengelyes tükrözés) tükörtengely szár szár lp két egyenlő oldl neve: szár, hrmdik oldl neve: lp. 3. Egyenlő oldlú háromszög: (Szályos háromszög) 60 Minden oldl egyenlő Minden szöge egyenlő, 60 -os. Mindhárom mgsság felezi z oldlt és szöget. Mindhárom mgsság tükörtengely. 60 60-31 -
77. négyszög meghtározás, trpéz foglm Négyszög: Olyn sokszög, melynek négy oldl, négy csúcs és négy szöge vn. c négyszögek első szögeinek összege 360. d D + + + = 360 C továikn megismerkedünk néhány speciális négyszöggel. Trpéz: Olyn négyszög, melynek vn párhuzmos oldlpárj. párhuzmos oldlk trpéz lpji, másik két oldl trpéz szár. szár d c lp szár c lp 78. trpéz mgsság, trpéz középvonl trpéz mgsság: Két párhuzmos oldl egyenesét összekötő merőleges szksz. m mgsság trpéz középvonl: két szár felezőpontját összekötő egyenes szksz. c D F 1 k F C - 3 -
79. Derékszögű trpéz, húrtrpéz Húrtrpéz (Tükrös trpéz): húrtrpéz szári egyenlő hosszúk. húrtrpéz zonos lpon fekvő szögei egyenlők. húrtrpéznk vn tükörtengelye. tükörtengely párhuzmos oldlk oldlfelező merőlegese. húrtrpéz átlói egyenlő hosszúk, és tükörtengelyen metszik egymást. c t e e Derékszögű trpéz (Merőleges szárú trpéz): Olyn trpéz, melynek vn derékszöge. c c d 80. prlelogrmm meghtározás, tuljdonsági Prlelogrmm: Olyn trpéz, melynek két párhuzmos oldlpárj vn. m m prlelogrmm olyn trpéz, melynek e f e f két-két szemközti oldl párhuzmos. két-két szemközti oldl egyenlő. két-két szemközti szöge egyenlő. átlói felezik egymást. ármely két szomszédos szögének összege 180. ( prlelogrmmánk két mgsság vn. két-két párhuzmos oldl egyeneseit összekötő merőleges szkszok: m, m ) - 33 -
81. tégllp meghtározás, tuljdonsági MTEMTIK II. (GEOMETRI) Tégllp: Olyn prlelogrmm, melynek ( tégllp prlelogrmm, ezért rendelkezik minden prlelogrmmákr jellemző tuljdonsággl, de ezen túl még igzk rá következők is.) minden szöge derékszög. z átlói egyenlő hosszúk. oldlfelező merőlegesei tükörtengelyek. f f t 1 t 8. romusz meghtározás, tuljdonsági Romusz: Olyn prlelogrmm, melynek minden oldl egyenlő. mindkét átlój tükörtengely. átlói merőlegesen felezik egymást. 83. négyzet meghtározás, tuljdonsági Négyzet: Olyn romusz, melynek minden szöge egyenlő (90 ). oldlfelező merőlegesei tükörtengelyek. ( négyzet szályos négyszög.) t 1 t 4-34 - t 3 t
84. deltoid meghtározás, tuljdonsági MTEMTIK II. (GEOMETRI) Deltoid: Olyn négyszög, melynek vn két - két szomszédos egyenlő oldl. leglá egyik átlój tükörtengely, és ez z átló (vgy z átló egyenese) merőlegesen felezi másik átlót. t t 85. síkidom kerülete, sokszög kerülete síkidom kerülete: síkidomot htároló vonl hossz. sokszög kerülete: z oldlk hosszánk összege. e d c K = + + c + d + e - 35 -
86. síkidom területe MTEMTIK II. (GEOMETRI) síkidom területe: htárolt síkrész ngyságát jellemzi. terület mérésére hsználjunk négyzetet! Ennek területe legyen z egység! 1 1 1 1 1 1 1 terület egység 1 terület egység 1 terület egység 87. tégllp kerülete, területe K = ( + ) * T = * mikor ennek tégllpnk területét kiszámoljuk, kkor vlóján rr kérdésre keressük válszt, hogy hány, egységnyi területű négyzettel tudjuk kitpétázni tégllpunkt? Ennek kiderítésére egyik lehetőség z, hogy megszámoljuk négyzeteket. Egyszerű zonn, h csk z egy sorn lévő négyzetek számát htározzuk meg. z oldl hossz 4 hosszúságegység. Ezért egy sorn 4 négyzet vn. Nézzük meg, hány sor fér el tégllpn! oldl hossz 18 hosszúságegység. tégllpn 18 sor vn. négyzetek szám soronként: = 4 Sorok szám: = 18 Négyzetek szám összesen: * = 4 * 18 = 43 tégllp területe 43 terület egység. - 36 -
88. prlelogrmm kerülete, területe MTEMTIK II. (GEOMETRI) K = ( + ) * T = * m T = * m m m m m prlelogrmmát négyzetekkel kitpétázni, elég reménytelen feldtnk tűnik. Nem is ezzel próálkozunk, hnem prlelogrmmáól átdrolássl egy vele zonos területű tégllpot készítünk, melynek egyik oldl, prlelogrmm oldl, másik oldl prlelogrmmánk z oldlhoz trtozó mgsság: m. tégllp, és így prlelogrmm területe: T = * m. z átdrolás oldl és z m mgsság segítségével is elvégezhető. 89. trpéz kerülete, területe K = + + c + d T = ( c) * m c m c H trpézt, és 180 -kl elforgtott képét z árán láthtó módon egymás mellé helyezzük, kkor egy + c oldlú (, c trpéz lpji), m mgsságú (m trpéz mgsság) prlelogrmmát kpunk, melynek területe: T = ( + c) * m. Ez trpéz területének kétszerese. trpéz területe tehát prlelogrmm területének fele: T = ( c) * m - 37 -
90. háromszög kerülete, területe MTEMTIK II. (GEOMETRI) * m K = + + c T = * m T = c * m c T = c m H háromszöget, és 180 -kl elforgtott képét z árán láthtó módon egymás mellé helyezzük, kkor egy, oldlú (, háromszög oldl), m mgsságú (m, háromszög mgsság) prlelogrmmát kpunk, melynek területe: T = * m. Ez háromszög területének kétszerese. háromszög területe tehát * m prlelogrmm területének fele: T = 91. deltoid kerülete, területe ( másik két területképlet hsonló módon igzolhtó.) K = ( + ) * T = f e * f e e f deltoid kiegészíthető egy e, f oldlú tégllppá (e és f deltoid átlój), melynek területe: - 38 - T = e * f Ennek tégllpnk területe kétszerese deltoid területének. deltoid területe: T = e * f
9. romusz kerülete, területe K = * 4 e f romusz prlelogrmm: T = * m. romusz deltoid: T = e * f 93. négyzet kerülete, területe K = * 4 négyzet egy egyenlő oldlú tégllp: T = * = e e négyzet olyn deltoid, melynek egyenlők z átlói: e * e e T = = 94. kör kerülete, területe r K = r π T = r * r * π = r π π = 3,14 95. körcikk kerülete, területe r r i i = rπ * 360 α K = r +i T = rπ = * α 180 r * i r π T = * α 360-39 -
T E S T E K H testről eszélünk, kkor térnek felületekkel körülhtárolt részére gondolunk. Mtemtikán úgy képzeljük el, hogy ezeknek htároló felületeknek nincs vstgságuk. Vnnk testek, melyeket csk síklpok htárolnk. síklpok és göre felületek htárolnk. csk göre felületek htárolnk. testet htároló síklpok test lpji. síklpok tlálkozását élnek, z élek tlálkozását csúcsnk nevezzük. geometrián testeknek csk méretüket és z lkjukt vizsgáljuk. 96. test felszíne, térfogt, szályos test foglm test felszíne: test htároló felületének területe. felszín jele képleteken: felszín mérésekor területet mérünk. test térfogt:: körülhtárolt térrész ngyságát jellemzi.. térfogt jele képleteken: V Szályos test: olyn, sokszöglpokkl htárolt konvex test, melynek élei, élszögei és lpszögei egyenlők. (Ötféle szályos test létezik.) 97. Hengerfelület szármzttás, vezérvonl, lkotó, henger, henger plástj, felszíne, térfogt képlettel H egy zárt síkidom htároló vonlánk minden pontján át párhuzmost húzunk egy dott egyenessel mely nem párhuzmos síkidom síkjávl kkor végtelene nyúló hengerfelületet kpunk. síkidomot felület vezérvonlánk nevezzük. H végtelen hengerfelületet két párhuzmos síkkl elmetsszük, kkor két párhuzmos síkidom, és hengerfelület áltl htárolt térrészt hengernek nevezzük. (Vegyük észre, hogy hsáfelület, (hsá), olyn speciális hengerfelület, (henger), melynek vezérvonl sokszöget htárol!) párhuzmos síkidomok henger lpji. Ezek egyevágók. hengerfelületnek hengert htároló része henger plástj. hengerfelületet lkotó egyeneseknek plásthoz trtozó szkszi henger lkotói. z lplpok síkjink távolság henger mgsság. H z lkotók merőlegesek z lplpr, kkor egyenes hengerről, egyéként ferde hengerről eszélünk. henger felszíne: = T + T p henger térfogt: V = T * m vezérvonl lkotók - 40 -
98. z egyenes körhenger (Forgáshenger) MTEMTIK II. (GEOMETRI) z egyenes körhenger lpj két egyevágó, párhuzmos körlp. r r m m V = r πm 3 = r π (r+ m) 99. z egyenes hsá, z egyenes hsá mgsság, lpátlój, testátlój, plástj, hálój, felszíne, térfogt képlettel hsá olyn henger, melynek lplpj sokszög. z egyenes hsá: olyn test, melyet két párhuzmos, egyevágó sokszöglp és nnyi tégllp htárol, hány oldl vn sokszögnek. két párhuzmos, egyevágó sokszög hsá lplpj. töi lp hsá oldllpj. z oldllpok együtt hsá plástját lkotják. z egyenes hsá oldlélei merőlegesek z lpr. Lpátló: két, egy lpon lévő, nem szomszédos csúcsot összekötő egyenes szksz. Testátló: két, nem egy lpon lévő csúcsot összekötő egyenes szksz. Mgsság: két lplp síkjánk távolság z egyenes hsá mgsság. mgsság megegyezik z oldlél hosszávl. hsá felszíne htároló lpok területének, zz z lplpok területének (T ) és plást területének (T p ) z összege: = T + T p hsá hálóját kpjuk, h hsáot htároló felületet síkn kiterítjük. Ennek területe egyenlő hsá felszínével. hsá térfogt: lplp területe * testmgsság: V = T * m Ötszög lpú egyenes hsá z egyenes körhenger egy lehetséges hálój. = r π + rm lpátló testátló lplp oldlél lpél - 41 - oldllp
100. tégltest foglm, hálój, felszíne, térfogt TÉGLTEST: Olyn egyenes hsá, melynek lpj tégllp. (Minden lpj tégllp.) c c c c c = ( + c + c) V = c c 101. kock foglm, hálój, felszíne, térfogt KOCK: Olyn tégltest, melynek minden éle egyenlő. tégltest egy lehetséges hálój. kock egy lehetséges hálój. V = 3 = 6 10. négyzetes oszlop foglm, hálój, felszíne, térfogt NÉGYZET LPÚ HSÁ (négyzetes oszlop): Olyn tégltest, melynek z lpj négyzet. m m m m m m V = m négyzet lpú hsá egy lehetséges hálój. = + 4m = ( + m) - 4 -
103. kúpfelület szármzttás, kúp MTEMTIK II. (GEOMETRI) H egy zárt síkidom htároló vonlánk (vezérvonl) minden pontján át síkidom síkján kívül fekvő P pontól félegyeneseket húzunk, kkor egy (végtelene nyúló) kúpfelületet kpunk. z dott síkidom és kúpfelület áltl htárolt térrészt kúpnk nevezzük. (Vegyük észre, hogy gúlfelület, (gúl), olyn speciális kúpfelület, (kúp), melynek vezérvonl sokszöget htárol!) z dott P pontot kúp csúcsánk, z dott síkidomot kúp lplpjánk, kúpfelületnek kúpot htároló részét kúp plástjánk, kúp csúcsát z lplp htároló pontjivl összekötő szkszokt kúp lkotóink nevezzük. kúp csúcspontjánk z lplp síkjától mért távolság kúp mgsság. kúp felszíne z lplp területének (T ) és plást területének (T p ) z összege: = T + T p. kúp térfogt z lplpjávl és testmgsságávl megegyező lplpú és mgsságú henger térfogtánk hrmd: V = T *m 3 P lkotók vezérvonl 104. Egyenes körkúp (Forgáskúp) z egyenes körkúp lplpj kör. z egyenes körkúp mgsság csúcsól z lplp középpontjá állított merőleges szksz. forgáskúp lkotói egyenlő hosszúk. m plást olyn körcikk, melynek köríve olyn hosszú, mint z lplp kerülete, sugr pedig mint kúp lkotój. plást r r V = r πm 3 z egyenes körkúp egy lehetséges hálój. = r π + r π = r π (r+ ) = r r π π + * α 360-43 -
105. gúl, gúl mgsság, szályos gúl, tetréder gúl egy olyn kúp, melynek lplpj sokszög. gúlát egy sokszög, és nnyi háromszög htárolj, hány oldlú sokszög. sokszög gúl lplpj, háromszögek gúl oldllpji. z lplpot htároló élek z lpélek. z oldllpok z oldléleken tlálkoznk. z oldlélek egy pontn, gúl csúcspontján futnk össze. z oldllpok együtt gúl plástját lkotják. gúl mgsság gúl csúcs és z lplp síkjánk távolság, vgyis csúcsól z lplp síkjár állított merőleges szksz hossz. H gúl lplpj szályos sokszög, és mgsságánk tlppontj z lplp középpontján vn, kkor szályos gúlánk nevezzük. háromszög lpú gúl neve: tetréder. szályos tetréder olyn gúl, melynek minden lpj szályos háromszög. gúl felszíne z lplp területének (T ) és z oldllpok területének, vgyis plást területének (T p ) z összege: = T + T p. gúl térfogt z lplpjávl és testmgsságávl megegyező lplpú és mgsságú hsá térfogtánk hrmd: Ötszög lpú szályos gúl V = T csúcs * M 3 oldlél oldllp gúl mgsság (M) z oldllp mgsság (m) lpél lplp gúl hálój egy sokszögől, és nnyi háromszögől áll, hány oldlú gúl. szályos ötszög lpú gúl egy lehetséges hálój. - 44 -
106. geometrii trnszformáció foglm MTEMTIK II. (GEOMETRI) Geometrii trnszformáció Olyn függvény, melynek z értelmezési trtomány, és értékkészlete is ponthlmz. z értelmezési trtomány elemei tárgypontok, z értékkészlet elemei képpontok. tárgypontokt áltlán z áécé ngyetűivel, képpontokt vesszővel ellátott ngyetűkkel jelöljük. (, C ejtsd: vessző, C vessző) 107. Egyevágósági trnszformáció foglm z egyevágósági trnszformáció olyn geometrii trnszformáció, mely: Távolságtrtó ármely és pont távolság megegyezik képeik, és pontok távolságávl. Szksztrtó ármely szksz képe is szksz.. Szögtrtó ármely szög képe vele megegyező ngyságú szög. Egyenestrtó ármely egyenes képe egyenes Párhuzmosságtrtó ármely, két párhuzmos egyenes képe is két párhuzmos egyenes. 108. tengelyes tükrözés meghtározás, tuljdonsági Tengelyes tükrözés: sík t egyenesére vontkozó tengelyes tükrözés olyn geometrii trnszformáció, mely sík ármely, z egyenesre nem illeszkedő pontjához hozzárendeli z pontot úgy, hogy z szksz szkszfelező merőleges egyenese t egyenes legyen. tengelyes tükrözés t tengely ármely pontjához önmgát rendeli. t LLLLLLL C C - 45 -
tengelyes tükrözés tuljdonsági: 1. tengelyes tükrözés körüljárás irányát megváltozttj. t C C z órmuttó járásávl ellentétes körüljárási irány: pozitív irány. z órmuttó járásávl megegyező körüljárási irány: negtív irány.. tengely minden pontj fix pont. ( fix pont képe önmg.) tengely pontonként fix egyenes. 3. tengelyre merőleges egyenes képe önmg. (Nem pontonként fix e egyenes.) t e 4. tengellyel párhuzmos egyenes képe is párhuzmos tengellyel. ( tengely középegyenes.) e t e - 46 -
5. tengellyel nem párhuzmos egyenes és képe tengelyen metszi egymást. z egyenes és képe tengellyel ugynkkor szöget zár e. e t e 109. Tengelyesen tükrös síkidom foglm, néhány tengelyesen tükrös síkidom Tengelyesen tükrös síkidom, h vn olyn t tengely (tükörtengely), melyre tükrözve síkidomot, z önmgá megy át. (Vn olyn egyenes, mely mentén összehjtv síkidomot, két rész fedi egymást.) Néhány tengelyesen tükrös síkidom: Egyenlő szárú háromszög Leglá 1 tükörtengely. Egyenlő oldlú háromszög 3 tükörtengely Tégllp Leglá tükörtengely. Négyzet 4 tükörtengely Húrtrpéz (tükrös trpéz) Leglá 1 tükörtengely. Deltoid Leglá 1 tükörtengely. Romusz Leglá tükörtengely. n-oldlú szályos sokszög n dr tükörtengely. Kör Végtelen sok tükörtengely. - 47 -
110. középpontos tükrözés meghtározás, középpontos tükrözés tuljdonsági Középpontos tükrözés: z O pontr vontkozó középpontos tükrözés olyn geometrii trnszformáció, mely sík ármely O-tól különöző pontjához hozzárendeli z pontot úgy, hogy z szksz felező pontj z O pont legyen. középpontos tükrözés z O ponthoz önmgát rendeli. O középpontos tükrözés tuljdonsági: 1. középpontos tükrözés körüljárás irányát nem változttj meg. C O C. z O pont z egyetlen fix pont. 3. z O ponton áthldó egyenes képe önmg. (Nem pontonként fix egyenes.) e e O - 48 -
4. z egyenes és képe mindig párhuzmos. e e e e O 111. Középpontosn tükrös síkidom foglm, néhány középpontosn tükrös síkidom Középpontosn tükrös (szimmetrikus) síkidom, h vn olyn O pont (szimmetri középpont), melyre tükrözve síkidomot, z önmgá megy át. Néhány középpontosn tükrös síkidom: sokszögek közül csk páros oldlszámúk között tlálhtunk középpontosn tükrös síkidomot. Prlelogrmm O z átlók metszéspontj szimmetriközéppont. Páros oldlszámú szályos sokszögek O z oldlfelező merőlegesek metszéspontj szimmetriközéppont. Kör O kör középpontj szimmetriközéppont.. 11. Szályos sokszögek szimmetriáj: Tengelyes szimmetri: Minden szályos sokszög tengelyesen tükrös. Minden n oldlú szályos sokszögnek n dr tükörtengelye vn. pártln oldlszámú szályos sokszögek tükörtengelyei z oldlfelező merőleges egyenesek (n dr). páros oldlszámú szályos sokszögek tükörtengelyei z oldlfelező merőleges egyenesek (n/ dr, mert párhuzmos oldlk oldlfelező merőlegesei egy egyenesre esnek.), és szögfelező egyenesek (n/ dr, mert szemközti szögek szögfelezői egy egyenesre esnek.). Középpontos szimmetri: szályos sokszögek közül csk páros oldlszámúk középpontosn szimmetrikusk. z oldlfelező merőleges egyenesek metszéspontj szimmetriközéppont. - 49 -
113. pont körüli elforgtás foglm, pont körüli elforgtás tuljdonsági Pont körüli elforgtás: dott O pont körüli, dott irányszögű elforgtás olyn geometrii trnszformáció, mely sík ármely O-tól különöző pontjához hozzárendeli z pontot úgy, hogy z O szksz hossz megegyezik z O szksz hosszávl és z O szög ngyság és irány megegyezik szöggel. z O pont körüli elforgtás z O ponthoz önmgát rendeli. O pont körüli elforgtás tuljdonsági: 1. pont körüli elforgtás körüljárás irányát nem változttj meg. C O C. z O pont z egyetlen fix pont. 3. z O pont körüli 180 -os elforgtás egyenértékű z O pontr vontkozó középpontos tükrözéssel. - 50 -
114. Forgásszimmetrikus síkidom foglm, néhány forgásszimmetrikus síkidom Forgásszimmetrikus síkidom, h vn olyn O pont, mely körüli 0 -nál ngyo, de 360 -nál kise irányszögű elforgtás síkidomot önmgá viszi át. Néhány forgásszimmetrikus síkidom: Prlelogrmm O z átlók metszéspontj körüli 180 -kl vló elforgtás. Szályos sokszögek O z oldlfelező merőlegesek metszéspontj körül, z oldlszámtól függő irányszöggel. Kör O kör középpontj körüli tetszőleges irányszögű elforgtás. Egyenlő oldlú háromszög O mgsságpont körüli 10 töszöröseivel vló elforgtás. Négyzet O z oldlfelező merőlegesek metszéspontj körül, 90 töszöröseivel vló elforgtás. 115. vektor foglm, egyenlő vektorok, ellentett- és nullvektorok Vektor: Irányított szksz. z elmozdulás irányát és ngyságát htározz meg. C D vektor: CD vektor: CD Két vektor egyenlő, h irányuk és ngyságuk megegyezik. Két vektor ellentettje egymásnk, h ngyságuk megegyezik, de irányuk ellentétes. Nullvektor: Null hosszúságú, tetszőleges irányú vektor. - 51 -
116. z eltolás meghtározás, z eltolás tuljdonsági Eltolás: dott D vektorrl vló eltolás olyn geometrii trnszformáció, mely sík ármely pontjához hozzárendeli z pontot úgy, hogy vektor irány és ngyság megegyezzen D vektorévl. D z eltolás tuljdonsági: 1. z eltolás körüljárás irányát nem változttj meg. C C DF. z eltolásnál nincs fix pont. 3. z eltolásnál egyenes és képe mindig párhuzmos.. e e e e CD - 5 -
117. Hsonlósági trnszformáció foglm hsonlósági trnszformáció olyn geometrii trnszformáció, mely: ránytrtó ármely két szksz hosszánk rány megegyezik képeik hosszánk rányávl. (ármely és CD szkszok esetén, : CD = : C D.) Szksztrtó ármely szksz képe is szksz.. Szögtrtó ármely szög képe vele megegyező ngyságú szög. Egyenestrtó ármely egyenes képe egyenes Párhuzmosságtrtó ármely, két párhuzmos egyenes képe is két párhuzmos egyenes. 118. Középpontos hsonlóság meghtározás, tuljdonsági Középpontos hsonlóság: z O középpontú (lmd) rányszámú hsonlóság sík ármely O-tól ' O különöző pontjához hozzárendeli z pontot úgy, hogy λ, és z pont z pontot trtlmzó O O kezdőpontú félegyenesen legyen. középpontos hsonlóság z O ponthoz önmgát rendeli. O O' λ O O' λ O ' λ > 1 ngyítás = 1 helyen hgyás 0 < < 1 kicsinyítés - 53 -
középpontos hsonlóság tuljdonsági: 1. z O pont z egyetlen fix pont.. z egyenes és képe mindig párhuzmos. O C C C C C C 119. z egyevágóság foglm, hsonlóság foglm z egyevágóság foglm: Két lkzt egyevágó, h vn olyn egyevágósági trnszformáció, mely két lkztot egymás viszi át. Egyevágósági trnszformációk egymásutánj (szorzt) is egyevágósági trnszformáció. Jelölése: hsonlóság foglm: Két lkzt hsonló, h vn olyn hsonlósági trnszformáció, mely két lkztot egymás viszi át. Hsonlósági trnszformációk egymásutánj (szorzt) is hsonlósági trnszformáció. Hsonlósági- és egyevágósági trnszformációk egymásutánj (szorzt) is hsonlósági trnszformáció. Jelölése: 10. Két hsonló síkidom kerületének rány K' Két hsonló síkidom kerületének rány megegyezik hsonlóság rányszámávl. λ K Igzoljuk z állítást két hsonló háromszög esetén: C C, hsonlóság rányszám. Ez zt jelenti, hogy z C háromszög minden szksz szoros z C háromszög megfelelő szkszink. = *,, c,,, c = * háromszögek c = *c megfelelő oldli z C háromszög kerülete: K = + + c z C háromszög kerülete: K = + + c K = * + * + *c K = ( + + c) K = K // : K i K' λ K z állítást eizonyítottuk. - 54 -
11. Két hsonló síkidom területének rány Két hsonló síkidom területének rány megegyezik hsonlóság rányszámánk négyzetével. Igzoljuk z állítást két hsonló háromszög esetén: T' T C C, hsonlóság rányszám. Ez zt jelenti, hogy z C háromszög minden szksz szoros z C háromszög megfelelő szkszink. λ = * m = *m,, m, m háromszögek megfelelő oldli, illetve mgssági z C háromszög területe: z C háromszög területe: m T T ' ' m λ* * λ*m T ' λ*λ* *m T ' λ T ' T ' λ ' * *m m * T ' λ *T // : T T' T λ z állítást eizonyítottuk. - 55 -
1. Két hsonló test térfogtánk rány Két hsonló test térfogtánk rány megegyezik hsonlóság rányszámánk köével. V' V Igzoljuk z állítást két hsonló tégltest esetén: CDEFGH tégltest C D E F G H tégltest, hsonlóság rányszám. Ez zt jelenti, hogy z C D E F G H tégltest minden szksz szoros z CDEFGH tégltest megfelelő szkszink. 3 λ = * = * c = *c,, c,,, c tégltestek megfelelő élei z CDEFGH tégltest térfogt: V = * * c C D E F G H tégltest térfogt: V = * * c V = * * c V = * * * * * c V = 3 * * c V = 3 V // : V V' V 3 λ z állítást eizonyítottuk. - 56 -
13. háromszögek egyevágóságánk lpesetei Két háromszög egyevágó, h 1. Oldlik páronként egyenlők. Két-két oldluk és z áltluk közezárt szög egyenlő. 3. Két-két oldluk és ngyoikkl szemközti szögük egyenlő. 4. Egy-egy oldluk és rjt fekvő két-két szögük egyenlő. 14. háromszögek hsonlóságánk lpesetei Két háromszög hsonló, h 1. Oldlik rány páronként egyenlő.. Két-két oldluk rány és z áltluk közezárt szög egyenlő. 3. Két-két oldluk rány és ngyoikkl szemközti szögük egyenlő. 4. Két-két szögük páronként egyenlő. - 57 -
15. z n oldlú sokszög egy csúcsáól húzhtó átlók szám z n oldlú sokszög egy csúcsáól húzhtó átlók szám n-3. z n oldlú sokszögnek n dr csúcs vn. Válsszunk ki közülük egyet, melyől kiinduló átlókt krjuk megszámolni, mjd keressük meg zokt csúcsokt, melyeke húzhtó átló. kiválsztott csúcs kiesik, mivel önmgá nem vezet átló, és fennmrdó n-1 csúcs közül kettő kiválsztott csúcs szomszédj, így hozzájuk sem húzhtó átló. Mrd n-3 csúcs. Ezek mindegyikée egy átló húzhtó. 16. z n oldlú sokszög átlóink szám z n oldlú sokszög átlóink szám (n 3)*n. Nézzünk egy példát! Mennyi átlój vn egy ötszögnek? Számoljuk meg! E D C sokszögnek n dr (esetünken 5) csúcs vn. Láthtó, hogy minden csúcsól n-3 (ez most ) átló húzhtó. (n-3)*n most * 5 = 10 átlónk kellene lennie z okoskodásunk szerint. Igen ám, de csk 5 vn. hiát ott követtük el, hogy minden átlót kétszer, mindkét végpontjánál számoltuk. Ezért z (n-3)*n szorztot -vel osztv kpjuk helyes eredményt. z ötszög átlóink szám: (n 3)*n = (5 3)* 5 = 5-58 -
17. z n oldlú sokszög első szögeinek összege z n oldlú konvex sokszöget z egy csúcsáól kiinduló átlók n- háromszögre osztják. z n oldlú konvex sokszög első szögeinek összege (n )*180. Htározzuk meg rjz segítségével egy konvex hétszög első szögeinek z összegét! Osszuk fel hétszöget egy csúcsáól húzott átlókkl háromszögekre! ármelyik csúcsot válszthtjuk. n, een z eseten 7 = 5 háromszöget kptunk. Megfigyelhető, hogy háromszögek első szögeinek z összege pontosn hétszög első szögeinek összegét dj. Egy háromszög első szögeinek összege 180. Öt háromszögünk vn. hétszög első szögeinek összege: (n )*180 = (7 ) * 180 = 900 18. z n oldlú szályos sokszög egy első szögének ngyság z n oldlú szályos sokszög egy első szögének ngyság: n *180 n Felhsználtuk, hogy szályos sokszög minden első szöge egyenlő. Számítsuk ki szályos tízszög egy szögének ngyságát! n *180 n = 10 *180 = 144 10-59 -
19. Középponti szög foglm, tuljdonságok Középponti szög: Olyn szög, melynek csúcs kör középpontján vn.. O körnek zt z ívét, mely szög elsejée esik, középponti szöghöz trtozó körívnek nevezzük. Egy kören, vgy egyenlő sugrú köröken egyenlő középponti szögekhez, egyenlő körívek trtoznk. egyenlő körívekhez, egyenlő középponti szögek trtoznk. 130. Kerületi szög foglm, tuljdonságok Kerületi szög: Olyn konvex szög, melynek csúcs kör kerületén vn, szári kör húrji, vgy z egyik szár húr, másik érintő. Egy kören, vgy egyenlő sugrú köröken egyenlő kerületi szögekhez, egyenlő körívek trtoznk. egyenlő körívekhez, egyenlő kerületi szögek trtoznk. O H egy konvex szög csúcs körön elül vn, kkor szög ngyo z ugynhhoz körívhez trtozó kerületi szögnél. H egy konvex szög csúcs körön kívül vn, kkor szög kise z ugynhhoz körívhez trtozó kerületi szögnél. < < O - 60 -
131. Összefüggés z ugynhhoz körívhez trtozó középponti és kerületi szög között TÉTEL: (Állítás): kör ármely középponti szöge kétszerese z ugynhhoz z ívhez trtozó kerületi szögnek. z állítást négy különöző esetre izonyítjuk. izonyítás: 1. középponti szög csúcs kerületi szög szögtrtományá esik. izonyítndó: α β r 1 180-1 O 180-1 r C r z OC és z OC háromszögek egyenlő szárú háromszögek, mert két-két oldluk sugár. Ezért z lpon fekvő szögeik egyenlők. szöget z OC szksz két részre, 1 és szögekre osztj. eláthtó, hogy + (180 1 ) + (180 ) = 360 + 360 1 = 360 // - 360 ( 1 + ) = 0 = 0 // + = // : β α z állítást eizonyítottuk. - 61 -
. középponti szög csúcs kerületi szög szárár esik. izonyítndó: α β r O 180- r C r + (180 - ) = 180 + 180 - = 180 // -180 = 0 // + = α z állítást eizonyítottuk. β 3. középponti szög csúcs kerületi szög szögtrtományán kívülre esik. r 1 O 180-(+ 1 ) r r 1 + 1 C izonyítndó: - 6 - α β
z OC háromszög egyenlő szárú, ezért z lpon fekvő szögei egyenlők. z OC háromszög egyenlő szárú, ezért z lpon fekvő szögei egyenlők. z OC háromszögen: 1 +[180 ( + 1 )] + = 180 1 +180 1 + = 180 // 180 = 0 // + = // : α z állítást eizonyítottuk. β 4. kerületi szög érintőszárú. r 90 - O r 90 - z O háromszög egyenlő szárú, ezért z lpon fekvő szögei egyenlők. izonyításnál felhsználjuk, hogy z érintési pont húzott sugár mindig merőleges z érintőre. + (90 ) = 180 + 180 = 180 // 180 = 0 // + = α β z állítást eizonyítottuk. - 63 -
13. Thlesz tétele MTEMTIK II. (GEOMETRI) 1.TÉTEL: (Állítás): Egy szksz, mint átmérő fölé rjzolt körvonl, pontoktól különöző C pontját összekötve szksz végpontjivl, derékszögű háromszöget kpunk. derékszögű csúcs mindig C csúcs. kört z szksz Thlesz körének nevezzük. izonyítás: C r r O r izonyítndó: + = 90 z OC háromszög egyenlőszárú háromszög, ezért z lpon fekvő szögei egyenlők. CO háromszög egyenlőszárú háromszög, ezért z lpon fekvő szögei egyenlők. + + ( + ) = 180 + = 180 ( + ) = 180 // : + = 90 z állítást eizonyítottuk. - 64 -
.TÉTEL: (Állítás): MTEMTIK II. (GEOMETRI) z C derékszögű háromszög köré rjzolhtó kör középpontj z átfogó felező pontj. izonyítás: Vegyük fel z C derékszögű háromszöget! izonyítndó: z,, C pontok egyenlő távolságr vnnk z szksz felezőpontjától (F). Tükrözzük z C háromszöget z F pontr! C F középpontos tükrözésnél szksz és képe mindig párhuzmos és egyenlő, ezért eláthtó, hogy z CC négyszög prlelogrmm. z CC prlelogrmm C csúcsánál lévő szöge derékszög, ezért z CC prlelogrmm tégllp. tégllp átlói egyenlő hosszúk, és felezik egymást F pont egyenlő távolságr vn z,, C, C csúcsoktól F pont z C háromszög köré rjzolhtó kör középpontj. z 1. és. állítás következménye: C Thlesz tétele: sík zon pontjink hlmz, mértni helye síkon, honnn egy dott szksz derékszögen látszik, z szksz Thlesz köre. O x - 65 -
133. Érintő egyenes szerkesztése körhöz, dott külső pontól. Szerkesszük meg z O középpontú kör pontr illeszkedő érintő egyeneseit! O 1. lépés: Szerkesszük meg z OP szksz Thlesz-körét! (Ehhez z OP szksz F felezőponját kell megszerkesztenünk.) P 1 O F P. lépés: P 1, P metszéspontok keresett érintési pontok. Rjzoljuk meg z kezdőpontú P 1, P pontokt trtlmzó félegyeneseket! P 1 O F P - 66 -
134. Húrnégyszög TÉTEL: (Állítás): Egy négyszög kkor és csk kkor húrnégyszög, h szemközti szögeinek összege 180. 1. H egy négyszög húrnégyszög, kkor szemközti szögeinek összege 180. izonyítás: C D z CD húrnégyszög két tetszőleges szemközti szöge és. izonyítndó: + = 180 : z pontot trtlmzó, D körívhez trtozó kerületi szög. Ehhez körívhez trtozó középponti szög. (z ugynhhoz körívhez trtozó kerületi- és középponti szögek közötti összefüggés lpján.) : C pontot trtlmzó, D körívhez trtozó kerületi szög. Ehhez körívhez trtozó középponti szög. (z ugynhhoz körívhez trtozó kerületi- és középponti szögek közötti összefüggés lpján.) + = 360 // : + = 180. H egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, kkor négyszög húrnégyszög. izonyítás: zt kell izonyítnunk, hogy h z CD négyszög két tetszőleges szemközti szögének összege 180, kkor eől következik, hogy z CD négyszög húrnégyszög. izonyításnál felhsználjuk, hogy minden háromszög köré rjzolhtó csúcsokt trtlmzó kör. z CD négyszög csúcsi közül válsszuk ki z,, D csúcsokt. (ármelyik másik hármt is válszthtnánk.) Vn olyn körvonl, mely z D háromszög mindhárom csúcsán átmegy. izonyítndó: C csúcs is rjt vn ezen körön. izonyítást indirekt módon végezzük: Tegyük fel, hogy C pont nincs rjt körön. C C D z árán láthtó, hogy feltevésünk szerint C pont nincs rjt z,, D pontokt trtlmzó körön. - 67 -
Vegyünk fel, D végpontú -t nem trtlmzó köríven egy C pontot. z C D négyszög húrnégyszög, hiszen mind négy csúcs illeszkedik körvonlr. húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180, tehát: + = 180 kiindulási feltételől következik, hogy + = 180 Ekkor zonn: = mi lehetetlen, mert h egy konvex szög csúcs körön elül (kívül) vn, kkor szög ngyo (kise) z ugynhhoz körívhez trtozó kerületi szögnél. z z állításunk, hogy C pont nincs rjt z,, D pontokr illeszkedő körvonlon, ellentmondáshoz vezetett. Eől következik, hogy C pont nincs rjt z,, D pontokr illeszkedő körvonlon állítás hmis. kkor z ellentettjének igznk kell lennie. C pont rjt vn,, D pontokr illeszkedő körvonlon. Ekkor zonn z,, C, D négyszög húrnégyszög. Állításunkt eizonyítottuk. 135. Érintőnégyszög: TÉTEL: (Állítás): Egy négyszög kkor és csk kkor érintőnégyszög, h két- két szemközti oldlánk összege egyenlő. 1. H egy négyszög érintőnégyszög, kkor két-két szemközti oldlánk összege egyenlő. izonyítás: izonyításnál felhsználjuk, hogy dott külső pontól dott körhöz húzott két érintőszksz egyenlő hosszú. E d D d F H c G c C izonyítndó: + CD = D + C - 68 -
rjzon egyform vonlll és zonos etűvel jelöltük közös külső pontól kiinduló érintőszkszokt. Ezek szkszok egyenlő hosszúk. + CD = ( + ) + (c + d) = + + c + d D + C = ( + d) + ( + c) = + d + + c z összedásnál zárójel elhgyhtó. két összeg csk tgok sorrendjéen különözik egymástól. Összedásnál tgok sorrendje tetszés szerint felcserélhető, z összeg nem változik. Ezt felhsználv: + CD = D + C Állításunkt eizonyítottuk.. H egy négyszög két-két szemközti oldlánk összege egyenlő. kkor négyszög érintőnégyszög. Ezt z állítást higgyük el egyelőre izonyítás nélkül! 136. Háromszög egyenlőtlenség TÉTEL: (Állítás): háromszög ármely két oldlánk z összege ngyo, mint hrmdik oldl. + > c c + c > + c > C z,, C városokt z,, c utk kötik össze, z árán láthtó módon. városól krok eljutni z város. Ezt két úton tehetem. Mehetek C városon keresztül, ekkor megtett út +, és mehetek c úton. Mivel tudjuk, hogy két pont között legrövide út z egyenes, könnyen eláthtó, hogy: + > c. másik két egyenlőtlenség igzság is hsonló módon igzolhtó. Három szkszól csk kkor szerkeszthető háromszög, h teljesül rájuk háromszög egyenlőtlenség. szerkesztés megkezdése előtt erről illik meggyőződni. - 69 -
137. háromszög első szögeinek z összege 1. TÉTEL: (Állítás): háromszög első szögeinek összege mindig 180. izonyítás: c e e C izonyítndó: + + = 180 z csúcson áthldó e egyenes párhuzmos z oldlll. 1. = mert fordított állású szögek. = mert fordított állású szögek 3. + + = 180 mert egyenesszöget lkotnk helyére vele egyenlő -t, helyére vele egyenlő -t írv 3. egyenlete: + + = 180 z állítást eizonyítottuk. 138. háromszög külső szöge, összefüggés háromszög első szöge és mellette fekvő külső szög között. TÉTEL: (Állítás): háromszög ármely első, és mellette fekvő külső szögének összege mindig 180. Külső szög: háromszög ármely oldlánk meghosszításkor keletkező mellékszöget nevezzük külső szögnek izonyítás: + = 180 mert mellékszögek + = 180 mert mellékszögek + = 180 mert mellékszögek c külső szögek C - 70 -