A ugalmassággal kapcsolatos gondolatmenetek Az igen szeteágazó, ugókkal kapcsolatos ezgési és sztatikus poblémák közül néhányat tágyalunk gondolkodás módszetani szempontok bemutatásáa. A ugó poblémák az új tantevben is helyet kapnak. E fejezetben mindig ideális szálat tekintünk, vagyis évényesnek vesszük az F-D ugótövényt, vagy másképpen úgy tekintjük, hogy a ugalmas szál Hooke-tövényt követi alakváltozásko, nyújtása, vagy összenyomása. Néhány gondolkodás módszetani szempontot szeetnénk kiemelni, amelyek a tágyalt poblémák kapcsán jól láthatók majd. Az egymása épülés jelentkezik a nehezedő soendben, ami fejlesztheti az általánosító készséget. Evidens geometiai elendezésből indulunk ki, mely egyszeűségénél fogva jó alapot szolgáltat a áépülő nehezebb észeke. Az egyszeűbb poblémát is igényesebben fogalmazzuk meg, hogy általánosítható legyen, de megmutatjuk a közvetlen megoldást is. A geometiai tanszfomáció egy édekes esetét alkalmazzuk, miko a defomált test vonalsűűségét hatáozzuk meg. (A vonalsűűség a szál egységnyi hosszának a tömege.) Alkalmasak a tágyalt poblémák különböző szintű diszkusszióa, és szokatlan eedmények is jelentkeznek. Eősen a fizikai szemlélete kell hivatkozni a kezdeti feltételek megválasztásako. Itt paado helyzetek is adódhatnak, melyeket végül is a mélyebb fizikai szemlélet tisztáz. Az eedményeket táblázatos fomában jeleníthetjük meg, ha numeikus számolást végzünk. Itt jól használhatjuk a számítógépet, melyet most pusztán a zát analitikai alakban levezetett képletek helyettesítési étékeinek kiszámításáa használunk, majd ezeket táblázatba foglaljuk. A táblázat léptetése egy FOR TO NEXT ciklussal jól megoldható. Jól valósíthatók meg un. efeencia helyzetek bemutatása, mely a matematikai tágyalás alapját szolgáltatja. A defomáció leíása az eőmentes, azaz nem defomált állapothoz viszonyítva töténik. A nem defomált állapotot tekintjük efeencia helyzetnek. 4. Rugalmas szál defomált állapotában, a vonalsűűség meghatáozása Tekintsük a ugalmas szálat vízszintes helyzetben, fektessük á az tengelye. Alá ajzoljuk az eő hatásának kitett, ugyanezen szálat, de má megnyúlt állapotában. A megnyúlással jáó haánt iányú összehúzódástól az egész fejezetben eltekintünk. Egyelőe az alakváltoztató eő bámilyen eloszlású lehet a szál mentén, pusztán azt tesszük fel, hogy szál iányú és temészetesen a szál mindig páhuzamos az tengellyel. Van az tengely, mint efeencia egyenes, ezen a defomálatlan szál, mint képzelt efeencia szál és alatta a valóságos, defomált szál. A efeencia szál minden pontjának megfelel a valódi szálon egy pont. Így a két egyenes között egy geometiai leképezést hozunk léte. Ha a efeencia egyenest egyenlő hosszúságú szakaszoka osztjuk fel, a megfelelő ' szakaszok má egymás között sem és -szel sem lesznek egyenlők. Jelöljük y-gyel az efeencia szakasz megnyúlását, y-vel egy másik, efeencia szakasz megnyúlását. egyen pl. +, akko y y hosszúság a efeencia egyenes -hez tatozó szakaszának megnyúlását jelenti. Tehát megnyúlása y. A vonalsűűség szemléletes definíciója szeint az egységnyi hosszúságú szakaszban foglalt tömeget jelenti. A efeencia szála nézve a vonalsűűség legyen mindenhol ugyanaz a éték. Homogén szálat tekintünk kezdetben s egyedül a defomáció az, mely megváltoztatja a szál homogén tömegeloszlását. Ekko a efeencia szállal szakaszonként mintegy letapogathatjuk a valódi szálat, ugyanis az adott szakaszban foglalt tömeg a valódi szálban ( + ) hosszúságú szakaszon oszlik el. Így a 4. ába szeint a sűűséget felíva, hatáátmenettel a valódi szál vonalsűűségét, mint egyik lokális jellemzőjét kiszámíthatjuk.
Tehát közelítő étéke: ;. + + A pontos éték lim,. Nevezzük továbba is -nak, hiszen csak ezt visszük tovább: () ( ), + ahol y dy/d, és feltesszük, hogy az y megnyúlás -nek diffeenciálható függvénye. Hangsúlyozzuk, hogy az () képlet igen általános feltételek mellett megadja a defomált és nyugalomban lévő ugalmas szál vonalsűűségének hosszmenti eloszlását. 4. Szál saját súlyától való megnyúlása Az egyik végén felfüggesztett ugalmas szál megnyúlását kell kiszámítanunk. A feladat egyszeűen megoldható közvetlenül az ee vonatkozó meggondolással. Ha általánosabban vezetjük a megoldást, kiszámíthatjuk a megnyúlt szál sűűségeloszlását is amit az egyszeűbb megoldással nem tehetünk meg és az egész számítás előjátéka lehet egy valóban komoly poblémának, amit a 3. pontban tágyalunk. Képzeljük el egymás mellett a efeencia szálat, ami tehát nem nyúlik s amelynek hossza azaz a szál eedeti hossza s ugyanakko a megnyúlt szálat. Például adja az keesztmetszetig lévő tömeget, bá e metszet valójában nem az mélységben van, hanem lejjebb, -ben. A efeencia szálon adott mélységben az. Az ennek megfelelő ( ) g súly az, amely a valódi szálat mélységben ez alatti tömeg: ( ) húzza. Tehát a valódi szálat minden helyén más-más F() eő feszíti, melyet a efeencia szál koodinátájával fejezünk ki: FF() () ( ) ( ) g F A () képlet a valódi szálat feszítő eő hely szeinti eloszlását adja meg a efeencia szálon mét hosszúság függvényében. Ezután a Hooke-tövényből meghatáozzuk a szál egy adott efeencia hossza következő daabjának y megnyúlását. A Hooke tövényben most az un. Eedeti hossz és ennek megnyúlása y. Tehát F( ) (3) E A ahol E a szál ugalmassági modulusa, A a keesztmetszete, F() a fenti eő. Ezét g ( ) E A y g ( ) Hatáétéke téve esetén g (4) ( ) A (4) képlet tatalmazza valamennyi infomációt, ami e pobléma megoldását adja. átható ugyanis, hogy egy tetszőleges helyen a szál megnyúlása y ( ξ ) dξ ; g y A szál teljes megnyúlása: ( ) yma ξ dξ ; s() (5) s( ) g
a sűűség eloszlása: (6) ( ) g + ( ) Tanulságos diszkusszió lehetséges: Mint látjuk, ( ) tehát a szál végén maad az eedeti sűűség, máshol kisebb. Éthető, a végén lévő daabot má nem húzza, azaz nem nyújtja semmilyen eő. Minimális - nak az étéke a felfüggesztésnél: ( ) g + Így minél hosszabb az eedeti szál, annál itkábbá válik a felfüggesztésnél. Ez jól demonstálható az un. Rugó Rudi játékkal (sűű menetű, finom ugózatú spiálugó). Ha ezt felfüggesztjük, a menetek egymástól mét távolsága mévadó a vonalsűűsége. Szépen látható, hogy alulól felfelé haladva a menetek távolsága egye növekszik, jeléül annak, hogy nyújtott (és nyugalmi) állapotban egye itkább a tömegeloszlás. Az (5) képlet még mást is mond. Ha a Hooke-tövényből az F eőt kifejezzük és összehasonltjuk az F D ugó képlettel (most F abszolút étéket jelent, ezét maadt el a negatív előjel), akko kapjuk, hogy (7) D vagyis a D diekciós eő így vezethető vissza E, A, és az mennyiségeke. Tudva, hogy a szál m tömege m, (5) és (7)-ből kapjuk, hogy (8) ma y ; s( ) mg D Ennek édekes a jelentése. Ha a súlytalan ugóa m tömegű testet függesztünk fel, akko mg/d a megnyúlása. Ezek szeint egy homogén, súlyos szálnak a saját súlyától való megnyúlása fele annyi, mintha tömegét koncentálva egy ugyanolyan eős súlytalannak tekinthető ugalmas szála függesztettük volna fel. 4.3 Vízszintes síkban fogatott ugalmas szál egyensúlyi helyzete Függőleges tengelyű koonga centálisan feleősítünk egy D diekciós eejű ideális ugót. A ugót és a ugalmas szál fogalmát itt azonosnak vesszük. A koongot fogásba hozva, ezzel a ugó is foogni kezd, és adiálisa megnyúlik. Milyen stacionáius helyzet alakul ki adott szögsebességű fogás esetén? Keessük tehát a ugó megnyúlását és vonalmenti sűűségeloszlását. A pontosság kedvéét homogén, ugalmas szálat kellene mondanunk, mely a Hooke-tövénynek engedelmeskedik. Az. és. pontban lévő meggondolások itt is alkalmazhatók, mivel kezdetben általánosságban tágyaltuk a nyúlási poblémát. Ezét a (3) egyenletből indulhatunk ki, ahol F() egyelőe ismeetlen eőeloszlást jelent az szögsebességű egyensúlyi állapotban. A efeencia szálat páhuzamosan képzeljük a má megnyúlt
szállal. Ekko F() jelenti azt az eőt, amely a megnyúlt szála hat a efeencia szál koodinátájának megfelelő, a fogástengelytől távolságú keesztmetszetben. A még meg nem nyúlt szál daabjának megnyúlásako a + daabban F() ugalmas eő ébed. Egyensúlyban vagyis amiko má nem defomálódik a szál ez az F() eő az efeencia hosszúságban lévő keesztmetszettől jobba eső szála ható teljes centipetális eővel egyenlő, mivel ez biztosítja ennek a szál daabnak a köpályán tatását. Úgyis mondhatnánk, hogy a daab megnyúlása által fellépő F() eő tatja köpályán az -től jobba eső véges hosszúságú szálat, vagyis ez valósítja meg ee nézve a centipetális eőt. Igy F()Fcp(), ahol Fcp() az -től jobba eső, má megnyúlt szála ható centipetális eő. Így egy tetszőleges hely a valódi szálnál +y koodinátájú, s a centipetális eő m képlete alapján adott - hez +y tatozik. A efeencia szálat véve alapul, felíhatjuk az -től jobba eső, a defomált szála ható centipetális eőt: + (9) F ( ) ( y) cp ξ dξ Itt az F cp m ismet képletet használtuk infinitezimálisan, ahol egy tetszőleges helyet jelent, a efeencia szál (vagyis a nem fogatott, nyugvó szál) hosszát és m helyett dm d íandó, mivel minden m más-más távolsága lévén az helytől, más-más a eá ható centipetális eő is. A (9) felíásban y() az ismeetlen függvény. Igyekszünk diffeenciál egyenletet felállítani a megnyúlt szála. Mivel F()Fcp(), (9)-t (3)-ba helyettesítjük és mindját y / et íunk: + () ( y) dξ ξ ahol a negatív előjel az integál hatáainak felcseéléséből adódott. Feltesszük, hogy a helyi megnyúlást leíó y() diffeenciálható függvénye -nek (y tehát -ig tejedő efeencia szál megnyúlását jelenti) és ()-ben hatáétéke téünk: lim és () éppen ezzel lesz egzakttá. Tehát az y() függvénye egy integál egyenletet kaptunk: + () ( ξ y) dξ Vezessünk be egy alkalmas jelölést: () Ω A () egyenletet diffeenciálegyenletté alakíthatjuk, ha alkalmazzuk a Newton-eibniz fomulát és az integált annak felső hatáa szeint diffeenciáljuk. Ekko a baloldalon is deiválva, ()-ből kapjuk, hogy y " Ω + y ( ) (3) y" +Ω y Ω Ez egy inhomogén, állandó együtthatós, másodendű diffeenciálegyenlet az ismeetlen y() függvénye, amit má könnyen megoldhatunk. Egy patikuláis megoldás: yp-, a homogén egyenlet megoldása: Asin Ω + B cosω y h így (3) általános megoldása (4) y Asin Ω + B cosω A kezdeti feltételek megadása melyekből az A, B ismeetlen konstansok hatáozhatók meg póbáa teszik a fizikai szemléletet. A szálon kifelé haladva, a vége felé tekintve valamely keesztmetszetet, egye övidebb lesz az attól kifelé lévő szálész, mely húzná az keesztmetszetet, vagy másképpen, melynek köpályán tatásához szükséges eő nyújtaná az helyhez csatlakozó szakaszt. Ezét a szál vége felé egye kevésbé defomálódik, tehát vonalsűűsége egye kevésbé té el a efeencia szálétól, azaz a nem fogatott, vízszintes síkon nyugvó szálétól. Ezét az egyik kezdeti feltétel így szol:,.
Első pillanata paadonak tűnik, hogy éppen a végén nem defomálódik, ott, ahol a legnagyobb a centipetális eő. Gondoljuk meg továbbá, hogy a szóban fogó tetszőleges keesztmetszettől befelé lévő teljes hosszúságú szálnak az y megnyúlása má annál nagyobb, minél inkább kifelé tekintünk egy helyet a szálon. Ez vezet a második kezdeti feltétel felíásához. Mivel a megnyúlás az eedeti hosszal aányos (Hooke-tövény), azét ha most egye inkább befelé haladunk, a fogáscentum felé a efeencia szálon, az hosszúság csökken, így az helyen a megnyúlás is egye kisebb lesz, hiszen y mindig az hosszúságú szál-ész megnyúlását jelenti, ezt méi. Így a második kezdőfeltétel ilyen:, y. Most má igen édekes kép alakul ki, ha az előbbi két gondolatmenetet egybevetjük. A befogásnál, aköül, a szál nem, vagy alig nyúlik, míg ugyanitt vonalsűűsége kicsi és a befogásnál a legkisebb. Ha spiálugóval el is végezzük a kíséletet, a befogásnál y(), vagyis az integális megnyúlás zéushoz tat, ugyanakko az egyes menetek távolsága a legnagyobb, jeléül annak, hogy a vonalsűűség a minimális. Íjuk fel végül a két kezdőfeltételt: (5) y Ezeket alkalmazzuk az egészen általános () képlete és a jelen (4) megoldása. Ehhez (4) deiváltját is elő kell állítani. A (5) kezdőfeltételeket ezekbe helyettesítve, kapjuk A és B konkét étékét, végül a megoldást. () + (4) y Asin Ω + B cosω ΩAcosΩ ΩBsin Ω B, majd + ( ) ΩAcosΩ, ezét () miatt A ΩcosΩ A végeleges megoldások: sin Ω (5) y ΩcosΩ cosω (6) cos Ω Megadhatjuk a efeencia szál y() megnyúlása mellett még a defomált szál teljes hosszát az efeencia hossz függvényében. Ez közvetlenül leolvasható a 4. ábából. Nevezzük ()-nek, akko ()y()+, sin Ω (7) ( ) ΩcosΩ Diszkusszió előtt alakítsuk át ()-t (7) segítségével. m Ω D D D végül (8) Ω aholjelenti azt a D és m által meghatáozott köfekvenciát, mellyel a ugó tömegét koncentáltam tatalmazó pontszeű test ezegne egy súlytalan D állandójú ideális ugóa akasztva. áthatóan a ugó sűűsége kifelé haladva növekszik, és nél, legkisebb nál: cosω. Az y megnyúlás -a zéus, míg a defomált teljes hossz: (), ami így iható: tg Ω (7/a) ( ) Ω
Nézzük () étékét, ha Ω. Ez akko van, ha pl., vagyis ha nem fogatjuk a ugót. Ez esetben lim ( ) lim tgα Ω α α ha α Ω. A Hospital szabállyal: d tgα lim dα lim α dα α cos α dα tehát lim ( ), Ω azaz nem nyúlik meg a szál, ami temészetes is. Hasznos ilyen magától étetődő helyzeteket is kiszámolni, ezzel mintegy köüljájuk a poblémát. Édekesebb a stabilitás poblémája. Első pillanata aa gondolhatnánk, hogy növelve a fogás szögsebességét, egye hosszabb lesz a szál. A szakítósziládságtól függetlenül létezik egy kitikus hossz, mely után a nyúlás instabillá válik. Tekintsünk a (7) képlete, követelmény, hogy bámely helyen a szál () aktuális hossza csak véges lehet. Ez a követelmény (7)-ből így fejezhető ki: cosω π Ω A fizikai helyzete való tekintettel, egyben a (7) képlet miatt, az egyenlőségjel nem évényes, továbbá (8)-t is felhasználva, adódik, hogy ϖ π D π < ; ϖ < ϖ m ; (9) ϖ kit D π m Ezek szeint kitikus szögsebesség (9)-ben adott. Ennél gyosabb fogatásko a szál nem lehet stabilis. Ha tehát k, a szál folyton nyúlik, habá konstans. Pesze ettől függetlenülk -nál kisebb, vagy nagyobb -a el is szakadhat. Az > k esettel analóg módon szemléltethetjük, az un. megfolyás esetét a sziládságtanban. Semmiképpen nem fizikai azonosságól van szó, hanem a megfolyást többé-kevésbé szemléletessé tevő analógiáól. 4.4 Különböző iányú diszkussziók a) Módszetani szempontból hasznos, ha adott poblémáa más oldalól ismét visszatéünk, mivel fejleszti a gondolkodást. Tekintsük ismét a 4. pontban adott alappoblémát ugalmas szál saját súlyától való megnyúlását melyet most más úton oldunk meg. E megoldás szűkebb, csak a céla iányul, az első általános volt, akko az átfogóbb fizikai számítási módsze bemutatása volt a cél. Osszuk fel a efeencia szálat egyenlő, kicsiny hosszúságú szakaszoka, ahol / n, ha n észe osztottuk. Minden hosszúságú daabot az alatta levő szálész húzza. A kiszemelt daab alatt legyen k számú ész a szál végéig. Tetszőleges helyen lévő, hosszúságú szakasz megnyúlása: k g n E A n amint a Hooke-tövény követeli. Ezét a szál teljes megnyúlása e megnyúlások összege:
n g y k k n g ( n + ) n () y n ahol a számtani soozat összegképletét használtuk. Ha n kapjuk a szál pontos megnyúlását. Vegyük figyelembe (7)-t is és azt, hogy lim n( n + ) n n akko kapjuk, hogy mg () y. D Ez az eedmény pontosan megegyezik a (8)-as képlettel. Nem szükséges hozzá integál, hanem szummázó módszet is alkalmazhattunk. A () képlet nem függvény kapcsolatot ad, tehát nem az y() függvényt kapjuk meg általa, hanem a maimális megnyúlást paaméteesen ugyan, de nincs benne az változó. Ee építve nem számolhatjuk a szál vonalsűűség eloszlását sem, tehát az eedmény is, a gondolatmenet is speciálisabb, mint a 4. pontban volt. b) Újabb édekességként könnyen megmutathatjuk, hogy a 4.3 pontban adott (5) kezdeti feltétel a 4. pont (4) egyenletének megoldásako is használható. Ezúttal (4) hatáozatlan integálját képezzük nem (,), vagy (,) hatáok között integálunk és a fellépő szabad konstansa alkalmazzuk (5)-t. Mivel most elsőendű egyenletünk van, azét (5)-ből csak az egyik kezdeti feltétel használható, amelyik nem y -e hanem y-a eloszlás má a megoldásból és ()-ből következik. Tehát (4)-ből vonatkozik. A ( ) g y + K ahol K a szabad konstans. Vegyük most (5)-ből az, y feltételt, akko láthatóan K és y() az (5) maimális megnyúlást adja. c) Az alappobléma újabb megközelítéseként téjünk vissza az 4. ábában szemléltetett geometiai tanszfomációa. Valamennyi számításunk lényegében ee épült. A szakaszhoz endeljük a + szakaszt, ekkoáa nyúlik meg. Temészetesen nem mindegy, hogy mekkoa efeencia hosszúság végén van a kiszemelt. Tekintsük azt az alapkíséletet miko a vízszintesen befogott szál végét csigán átvetett fonálon lógó súllyal teheljük. A defomációnak itt ez a legegyszeűbb esete. áthatóan most a szál minden helyén ugyanaz az F eő támad. A felfüggesztett szálnál a helyzet összetettebb, mivel a nyújtó eő a szál mentén változik, ahogy azt a 4. pontban láttuk. Íjuk fel most a megnyúlást: () F ahogy azt a Hooke tövény előíja. Ebből F F (3), y ' p ( p, konst) A (3) egyenletből yp+c ahol C a kezdeti feltételből hatáozható meg. Itt is áll (5) első észe, ezét C, így (4) yp Ezek után nézzük meg, hogy a efeencia szálon felvett osztáspontok hogyan tolódnak el a defomált szálon. Például vizsgáljuk és (+ ) szakaszoknak megfelelő defomált szakaszok aányát, azaz és aányát. + y ( + p) + y ( + p) ahol +. Képezzük az / aányt: (5).
Ez éppen azt jelenti, hogy a efeencia szálon tetszőlegesen felvett szakaszok és a defomált szál megfelelő szakaszai között középpontos hasonlósági tanszfomáció van, tehát ilyen tanszfomációval vihető át a efeencia szál a megnyúlt szálba. Nézzük meg, hogyan szekeszthető meg a efeencia szál bámely P pontjának P képpontja. Ha a kíséletben a nyújtatlan szála egyenlő távolságokban un. lovasokat helyezünk, majd ezután megteheljük a szálat, a lovasok továbba is egyenlő távolságokban helyezkednek el egymástól, viszont az egyes eltolódások különbözők, jelezvén a szál mentén a különböző métékű defomációt. Kédés, hogy adott P-hez a megfelelő P hogyan szekeszthető meg. Kössük össze a efeencia szál és a defomált szál, kezdőpontjait. Ezen az egyenesen kell lennie a C pontnak, a hasonlósági tanszfomáció centumának. A (4) egyenletből meghatáozzuk a P-hez tatozó szakasz y megnyúlását (4.3 ába). Ez yp és így a defomált szálon az +y szakasz végpontja lesz a P-nek megfelelő P pont. Ekko a PP egyenes kimetszi -ből a C pontot. Ezek után bámely más P-hez má megszekeszthető a megfelelő P pont. Az egyes ' ( + p) szakaszok, vagyis tanszfomáltjai: ' ( + p). Ha az egyes -ek egyenlők, úgy a szakaszok is egyenlők, de a szál teljes megnyúlása (4) szeint annál nagyobb, minél nagyobb az eedeti, efeencia szál hossza. Mindezek csak állandó F eő esetén évényesek. Így a 4. és 4.3 pontban tágyalt eseteke nem alkalmazható középpontos hasonlósági tanszfomáció. Szemléletes eedményt kapunk a vonalsűűsége a jelen F konstans esetben. A () és (3) egyenletekből (6) + p vagyis állandó a megnyúlt szál mentén, csak kisebb, mint a nyújtatlan állapotban. Az F eő növelésével a vonalsűűség csökken. Hogy milyen módon, azt má nem lehet pusztán kikövetkeztetni, a (6) képlet adja meg. d) Matematikai szempontból édekes, ha most magát a megnyúlt szálat tekintjük elsődlegesen, és az () függvénye keesünk megoldást a 4.3 pontbeli poblémában. Így a fogatott ugó poblémáját oldjuk meg másképpen. A nyújtott szálat osztjuk fel kis dm tömegű észeke, így most nem -val, hanem az egyelőe ismeetlen ( ) -szel kell dm-t felíni: dm d. Az alakváltoztató eő, F cp most ilyen: F cp ' ( ) d ahol ma. A ()-zel analóg egyenlet most (7) d ' Kifejezve ()-ből y -t és (7)-be behelyettesítve: (8) d ' A hatáozott integál felső hatáa szeinti deiválta vonatkozó Newton-eibniz fomulát alkalmazva:
d d d d d ξdξ d ' ' (9) ' 3 Két út kínálkozik, vagy visszatéünk y-a, vagy tovább megyünk az () függvénnyel. Nézzük előszö az előbbit: Az () egyenlet és az +y összefüggés felhasználásával (9)-ből 3 ( + ) (3) y" ( + y)( + ) 3 ( + ) Mivel () alapján / Ω, ezét (3)-t egyszeűbb alaka hozva: y " Ω ( + y) ami nem más, mint a (3) diffeenciálegyenlet. Menjünk most tovább (9)-ből az () függvénnyel a jelzett második útként. Most és má (9)-nél is feltételezzük, hogy és invezei léteznek és deiválhatók. A közvetett függvény deiválási szabálya szeint: d d d d d d majd (9)-ből (3) 3 d ahol most jelentése: d átjuk, hogy (3) szepaálható diffeenciálegyenlet: d (3) d + C 3 (3/a) Egyelőe α legyen, ekko (3)-ből (33) α + C Fejezzük ki átmenetileg (33)-t és y-nal: ( ) (34) + α ( + y) + C átható hogy +y felhasználható és (34)-ből (35) ' α + C ami ismét szepaálható diffeenciálegyenlet: C α Új változót bevezetve: α u C du α (36) C + A u C ahol A később meghatáozandó állandó. A (36) integál zát analitikai alakban előállítható.
Ebből acsin u sin ( α + A) u α + A (37) Bsin( α + A) mivel α / C újabb konstansként fogható fel. A kezdeti feltétel, ezét A. A B állandó ez () és (37) egyenletből hatáozható meg az, másik kezdőfeltételből. Ennek alapján: B, α cos( α ) és (), valamint (3/a) alapján α Ω. Végül () és ( ) -e kapjuk, hogy sin Ω cosω ;, ΩcosΩ cos Ω függvényeivel. amelyek pontosan egyenlők a 4.3 pont () és ( )
Numeikusan is édemes számolnunk. egyenek adataink például az alábbiak: m, 6kg 6cm N D s m Ekko 7, 9s Ω,m kg m Az és függvények konkét alakja: sin(,),64,8 cos(,) Tetemes a vonalsűűség maimális eltéése a szál végén lévő -tól;,8 kg m,, 49m a 6 cm hosszúsággal szemben. míg a megnyúlt szál hossza ( )