Füvénye özeítése htványsorr (Tyor-sor z heyen többször deriváhtó y( füvényt z pont örnyezetében jó özeíthetjü z dy( d y( d y( y( y( ( ( (! d! d! d véteen htványsorr. derivát értéét z heyen e számítni. H z y( füvény Tyor-során csupán z esı ét tját trtju me, or z dy( y( y( (! d... özeítı eyenısé zt jeenti, hoy z y( füvényt is szszon P( ;y pontbei érintıjéve heyettesítjü. feírt összefüés z érintı eyenes eyenete, mey meeyezi özépisoábn tnut y y m( ey ponton átmenı eyenes eyenetéve, ho z iránytnens füvény P pontbn számított differenciáhánydos. mzás: munponti inerizáás /. Péd Ey síondenzátor pcitás C ε összefüésse számíthtó, ho emeze távosá. munponti távosá,m. ondenzátort távosámérı szenzorént rju mzni, mine pfetétee, hoy pcitás ineárisn vátozzon távosá füvényében. mennyiben cs munpont nyon is örnyezetében mőödi szenzor (pédáu,9...,m, füvénypcsot inerizáhtó. Htározzu me z munpont is örnyezetében inerizát füvénypcsotot! C( C( dc d ε ε ( ( ε ε pcitás munpont örnyezetében rányos távosá.
/. Péd Ey, m hosszú,, m duttyú feüető éruó p 5 5 P nyomású eveıve vn fetötve. éruót terheı erı jármő önsúybó dódó F 4 N örü indozi. F p p( Htározzu me éruó munpontbn inerizát erı-emozduás eyenetét! Meor éruó munponti (differenciáis ruómerevsée? ( differenciáis ruómerevsé zt jeenti, hoy munpont örnyezetében meor F erıvátozás ooz emozduás vátozást. Meodás Közeítıe izotermius ápotvátozást fetéteezve, éruór feírhtju Boye-Mriotte áztörvényt: p V pv duttyú emozduásáv ifejezve: duttyúr htó erı emozduásná: p p( F( p p z erı vátozását z ábrán áthtju. Meápíthtó jeeörbe proresszív (eményedı jeee. F 5 5 85 5 P( ;F,,4,6,8,,
P munpont F 4N erıné és hozzá trtozó 5 p 5,,,,6 m. F 4 duttyú emozduásná vn. inerizát jeeörbe ( munponti érintı eyenete df p F( F ( F ( 4 4(,6 85 4 d ( z ábrán jó áthtó, hoy munpont örnyezetében ineáris özeítés i tér e nemineáris (eményedı jeeörbétı. differenciáis ruómerevsé zt jeenti, hoy munpont örnyezetében meor F erıvátozás ooz emozduás vátozást. Átrendezve fenti eyenetet F( F F df c im im 4 N / m. d /. Péd Ey eetrománes Newtonbn mért behúzó ereje z [m] távosá füvényében z,6 F (,5 összefüés szerint vátozi. Mive mánes mozó tj cs i távoodi e z áó ttó, ezért z összefüést z munpont örnyezetében eyszerőbben ezehetı ineáris összefüésse heyettesíthetjü. Linerizáju z összefüést z munpont örnyezetében! b Meor inerizát összefüés hibáj,m távosábn? F [N] 7 6 5 4 P(;64,,4,6,8, F [m]
Meodás d füvény Tyor-során feírásához iszámítju övetezı mennyiséeet:,6 F F( 64 ( N (,5 df,6( (,5 d df,6( (,5 56 d ( N / m füvényt z pontbn inerizáv (Tyor-során esı ét tjáv özeítve: df FL ( F( ( 64 56 d d b füvény értée z, m pontbn,6 F ( 444,4 ( N (,,5 inerizát füvény értée z, m pontbn F L ( 64 56, 84 ( N hib: 444,4 84 h,5 %, meehetısen ny! füvény erısen nemineáris, 444,4 ineáris özeítést mé enné is isebb trtománybn ehet cs mzni! /4. Péd Ey refeiós optopu feszütsé-emozduás jeeörbéjéne özeítı eyenete U.,5 Htározzu me z mm munpontbn inerizát jeeörbe eyenetét! b Meor mimáis hib z,5...,5 mm intervumbn? c Meor ineritási hib?
U,5,5,5 4 5 6 7 8 9 Meodás d du U U d (,5 ( ( (,5 (,66(, d b feszütsé z,5 heyen,5 U(,5, 5 V,5,5 inerizát összefüésse uynitt,66 U L (,5,,66,5, 4 V feszütsé z,5 heyen,5 U(,5, 696 V,5,5 inerizát összefüésse uynitt U L (,5,,66,5, 68 V nyobb etérés z,5 heyen vn, U,696-,68,6 V. d c ineritási hib h,6,44%,5,696 /5 Péd röpsúyos fordutszámmérıt ızépe fordutszám-szbáyozó berendezéseiben hsznátá. füıees teney örü foró m tömeő röpsúy, m hosszúsáú, csuós ron vn rözítve. tömehez rözített mási r ey ehnyohtó tömeő csúszóyőrőt mozt teneyen, meyne emozduás összefüésben vn teney szösebessééve. csúszóyőrő ız beömı szeepét szbáyozz.
ω T m(sinϕω m ϕ T m m(sinϕω Vezessün e összefüést teney szösebessée és csúszóyőrő emozduás özött! b Linerizáju z összefüést ω rd/s szösebessé örnyezetében! Meodás d Merjzoju tömepont free-body dirmját. súyerı, centrifuáis erı (D mbertev, vmint fesı r át ifejtett T erı eyensúybn vn. vetorábr szerint r füıeesse bezárt szöe: sin ϕ tϕ cosϕ msin ϕ ω m Átrendezve sin ϕ( m mω cos ϕ Ez or tejesü, h szorzt vmeyi tényezıje zérus, tehát vy sin ϕ, vy b ω cosϕ cosϕ. Mive cos( füvény efejebb étéet vehet ω fe, ezért ez z összefüés cs or iz, h ω. Összefov, r eforduási szöe rccos ϕ ω h ω h ω <
csúszóyőrő emozduás z pheyzethez épest: ( ω,, h h ω ω < csúszóyőrő ey bizonyos szösebesséi nem mozdu e. z ábrán fenti összefüést ábrázotu.,5,4,,,,5,5ω 4 5 ω d b füvény nemineáris. z (ω munpont örnyezetében inerizáv: L d dω ωω ( ω ω ( ω ( ω 6 4 ( ω ω ω ω ω számdto beheyettesítéséve L 6 4, ω,5, 5ω mzás: prmétervátozáso htásán vizsát Átrendezve éttú Tyor-sort, dy( y( y( ( d y y füvény mevátozásán ineáris özeítését füvény differenciáján nevezzü. dy d
y P y /. Péd Ey síondenzátor pcitás C ε összefüésse számíthtó. emeze özötti távosá eyen. Kérdés, hoy % távosá vátozás meor pcitásvátozást ooz? Meodás pcitásfüvény differenciáját feírv (fetéve, hoy ε és nem vátozi C Evéezzü ijeöt deriváást: ε C Átrendezve z összefüést dc d ε C C C öveteztetés tehát z, hoy pcitás fjos vátozás meeyezi távosá fjos vátozásáv, cs eenezı érteemben. Tehát % távosá növeedés özeítıe uynor, vyis % pcitás csöenést ooz! /. Péd Ey mtemtii in enésideje T π összefüésse számíthtó. Téteezzü fe, hoy nehézséi yorsuás mérés heyén ándó, csupán z in hossz vátozi hıtáuás öveteztében. Meor fjos enésidı vátozás ezreé inhossz-vátozás öveteztében? Átrendezve T dt d π ( π T
T T,5 Tehát ezreé hosszvátozás fé ezreé enésidı vátozást ooz. mzás: többvátozós füvénye prmétervátozásin htás / Péd Ey többvátozós füvény eyen z hosszúsáú, eresztmetszető vimos vezetı ( nyúásmérı béye eenáás.,, ( z céun, hoy pcsotot tájun vezetı / fjos eenáásvátozás és ε / fjos nyúás özött (ezt z rányt nevezzü ue-ftorn. többvátozós füvény differenciáját (mevátozásán fı részét hsonóépp számítju, mint z eyvátozós füvényné tettü, miözben itt szuperpozíció evét mzzu. (Küön-üön iszámítju, hoy mennyive vátozn me füvény, h csupán z eyi prmétere vátozn, mjd ezeet rész-vátozásot összeezzü. szimbóum jeöi prciáis deriváást többvátozós füvényené.. z eenáás vátozás három prméter vátozásátó fü. msbb htványú tot ehyv, cs vátozás fırészét (differenciáját metrtv: prciáis derivátt iszámítv és beheyettesítve δ Kissé átítju z összefüést, hoy fjos prmétervátozásot pjun: Átosztv munponti eenáás értééve ε ε δ
Itt ε jeöi fjos hosszvátozást. eresztirányú fjos hosszvátozás számításor Pppus-Gudin tétet mztu: r rπ r ε r π r fjos eenáás értée huz deformációj öveteztében nem vátozi (, vmint eresztirányú fjos vátozás nem füeten hosszirányú fjos vátozástó (Sziárdsátn: ε -νε, íy ε ε ε ( υε ε( υ nyúásmérı béye átvitei tényezıje (ue-ftor υ Ez zt jeenti, hoy % hosszvátozás % eenáásvátozást ooz! Más szv ε, fjos hosszirányú nyúás /, fjos eenáásvátozást ooz. /. Fedt z és eenáást párhuzmosn pcsoju. Hány százé vátozi z eredı eenáás, h z eenáás értée hımérséetvátozás öveteztében százé mevátozi? (Eredmény: /( százé Meor fjos eenáás-vátozás, h és is mevátozi? (Eredmény: /. Fedt z és eenáást sorb pcsoju. Meor z eredı eenáás fjos vátozás, h és is mevátozi? (Eredmény: 4 mzás: hibbecsés 4/. Péd dott ey tnens mechnizmus. tpintó emozduását özvetenü ítj át z emetyő (és hozzá rözített muttó ϕ szöeforduásává. Htározzu me z eövetett hibát z bemenet füvényében! H mm, or meor ehet szenzor méréstrtomány % hibhtáron beü?
ϕ O B z emetyő ϕ szöeforduás z OB derészöő háromszöbı rct t ϕ ϕ z rányos eforduási szö in ϕ enne pédáu ey foseré-foséc áttéte esetén.(özépponti szöívhossz/suár. hib ϕ rct z nitius táryhtósá érdeében z rct(/ füvényt Tyor-sorb fejtjü pontbn. z esı derivát: rct d d rct d d másodi derivát: ( rct d d rct d d hrmdi derivát (hánydos deriváási szbáyáv: 8 5 4 ( ( ( rct d d rct d d neyedi derivát zérus, többi tot ehnyoju. Tyor-sort feírv...... (! (! (! rct hib... ϕ rct
retív hib ϕ ϕ h h,,46 mm. H méréstrtomány,46 mm, or muttó szöeforduásán determinisztius hibáj százéon beü mrd. 4/ Fedt Htározz me szinusz mechnizmus determinisztius hibáját, h bemenet tpintó emozduás, imenet z hosszúsáú r ϕ szöeforduás. O ϕ Seítsé: ϕ ineáris összefüést szeretnén mevósítni, de mechnizmus tényeesen ϕ rcsin összefüést vósít me. Fejtse Tyor-sorb ez utóbbi összefüést örnyezetében, mjd épezze ét ifejezés üönbséét!