MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Fuzzy szabály-nterpolácós módszerek és mntaadatok alapján történő automatkus rendszergenerálás PhD értekezés JOHANYÁK ZSOLT CSABA OKLEVELES MÉRNÖK-INFORMATIKUS OKLEVELES GÉPÉSZMÉRNÖK HATVANY JÓZSEF INFORMATIKAI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA A DOKTORI ISKOLA VEZETŐJE: DR. TÓTH TIBOR TUDOMÁNYOS VEZETŐ: Dr. Kovács Szlveszter. Mskolc, 27.
Nylatkozat Nylatkozat Alulírott, Johanyák Zsolt Csaba kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Mnden olyan részt, amelyet szó szernt, vagy azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a forrás megadásával megjelöltem. Az értekezés bírálata és a védésről készült jegyzőkönyv megteknthető a Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Karának Dékán Hvatalában. Mskolc, 27. november 9. Johanyák Zsolt Csaba
Köszönetnylvánítás Köszönetnylvánítás Az értekezésben a Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Karán, a Hatvany József Informatka Tudományok Doktor Iskola kereten belül valamnt a Kecskemét Főskola GAMF Karán, a Kalmár Sándor Informatka Intézet kereten belül végzett kutatás munkám során elért eredményeket foglaltam össze. Ezúton fejezem k köszönetemet témavezetőmnek Dr. Kovács Szlveszternek, ak széles körű és kemelkedő szakma smeretevel, gyakorlat tapasztalataval munkámat mndvégg támogatta, a dolgozat megírásához nélkülözhetetlen segítséget nyújtott. Köszönetet mondok Prof. Dr. Tóth Tbornak, a doktor skola vezetőjének, ak a kutatómunkámat támogatta és hasznos tanácsokkal látott el. Köszönetet mondok Dr. Erdély Ferencnek, ak hasznos tanácsokkal segítette az értekezés elkészítését. Köszönetet mondok Dr. Dany Józsefnek a Kecskemét Főskola rektorának, Dr. Kodácsy Jánosnak a GAMF Kar dékánjának és Dr. Kovács Tamásnak a Kalmár Sándor Informatka Intézet vezetőjének, akk lehetővé tették és támogatták, hogy a doktor képzésben részt vegyek, konferencákon publkáljak, és kutatómunkát folytassak. Köszönetet mondok munkatársamnak, akk oktatás feladatam egy részének átvállalásával segítették kutatómunkámat. Hálámat és köszönetemet fejezem k családtagjamnak bztatásukért és támogatásukért. Köszönetet mondok mndazoknak, akk közvetlen vagy közvetett módon elősegítették, támogatták munkámat, ezáltal hozzájárultak ahhoz, hogy a dolgozat elkészüljön.
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Nylatkozat... Köszönetnylvánítás... Tartalomjegyzék... v. Bevezetés... 2. Tudományos előzmények... 3 2.. Az értekezésben felmerülő alapfogalmak és jelölésük ([H7][H3][H52][H59])... 3 2.2. Rendezés és távolság...6 2.2.. Az α-vágat alapú KH fuzzy távolság és a rá épülő rendezés... 6 2.2.2. Az α-vágat alapú VKK fuzzy távolság és a rá épülő rendezés... 7 2.2.3. A referenca pont alapú távolság és a rá épülő rendezés... 8 2.3. Szabályok és szabálybázs... 8 2.4. Következtetés rtka szabálybázst alkalmazó fuzzy rendszerekben... 2.5. Egylépéses szabály-nterpolácós módszerek... 2 2.5.. Lneárs szabály-nterpolácó (KH módszer)... 2 2.5.2. A KH nterpolácó módosítása több szabály fgyelembevételével... 3 2.5.3. VKK módszer... 3 2.5.4. Fuzzy jelleg megőrzésén alapuló szabály-nterpolácó (GK módszer)... 4 2.5.5. Relatív fuzzy jelleg megőrzésén alapuló szabály-nterpolácó (KHG módszer).. 4 2.5.6. Módosított α-vágat alapú szabály-nterpolácó (MACI)... 5 2.5.7. Javított többdmenzós módosított α-vágat alapú szabály-nterpolácó (IMUL)... 6 2.5.8. HCL szabály-nterpolácó... 7 2.5.9. Fuzzy nterpolácó bzonytalan környezetben (FIVE)... 7 2.6. A fuzzy szabály-nterpolácó általánosított módszertanát követő eljárások... 8 2.6.. A fuzzy szabály-nterpolácó általánosított módszertana (GM)... 8 2.6.2. Testmetszés alapú nterpolácó (SCM)... 9 2.6.3. Hasonlóság megőrzés módszer (ST)... 2 2.6.4. A lneárs revízós elven alapuló módszerek... 2 2.6.5. IGRV módszer... 22 2.7. Összegzés... 23 3. Kutatás célok... 24 4. Fuzzy halmaz-nterpolácó javasolt módszerek... 25 4.. Nyelv értékek eltolásának elve... 26 4.2. Polár-vágaton alapuló halmaz-nterpolácó (FEAT-p)... 27 4.3. Legksebb négyzetek elvén alapuló halmaz-nterpolácó (FEAT-LS)... 3 4.4. Halmaz-nterpolácó bzonytalan környezetben... 32 4.4.. Bzonytalan környezet... 32 4.4.2. Halmaz-nterpolácó a bzonytalan környezetben (VESI)... 34 5. Szabálymódosításon alapuló egyszabályos következtetés javasolt módszerek... 38 5.. Polár-vágat alapú egyszabályos következtetés (SURE-p)... 4 5.2. Legksebb négyzetek elvén alapuló egyszabályos következtetés (SURE-LS)... 42 5.3. Szabálymódosítás bzonytalan környezetben (REVE)... 45 6. Új fuzzy szabály-nterpolácós módszerek... 49 6.. A három szabály-nterpolácós eljárás... 49 6... Polár-vágat alapú szabály-nterpolácó (FRIPOC)... 49 v
Tartalomjegyzék 6..2. Legksebb négyzetek elvén alapuló szabály-nterpolácó (LESFRI)... 49 6..3. Kétlépéses fuzzy szabály-nterpolácó bzonytalan környezetben (VEIN)... 49 6.2. A konzekvens fuzzy halmazok helyzetének meghatározása... 5 7. FRI Matlab toolbox... 52 7.. Adatszerkezetek... 52 7.2. Az eljárásgyűjtemény és a rá épülő programok... 54 7.2.. TestIt... 54 7.2.2. FRIT... 56 7.2.3. Súgó... 63 8. Fuzzy következtető rendszer automatkus generálása... 65 8.. Rendszergenerálás teratív szabálybázs kterjesztéssel... 65 8... A szabálybázs kterjesztés elve... 66 8..2. Fuzzy halmazok paraméterezése és kötöttségek... 69 8..2.. Töréspontok... 69 8..2.2. Relatív távolságok... 7 8..2.3. Ruspn partícó megőrzése... 72 8..2.4. Referenca pont... 74 8..2.5. A paraméterezés mód kválasztása... 75 8..3. Paraméter-azonosítás és szabálybázs kterjesztés... 76 8..4. A lépésköz nagysága... 78 8..5. Teljesítménymutató... 78 8..6. Új szabály generálása... 8 8.2. Fuzzy klaszterezésen alapuló automatkus rendszergenerálás... 82 8.2.. Egydmenzós FCM fuzzy klaszterezés... 83 8.2.2. Az optmáls klaszterszám meghatározása... 86 8.2.3. Fuzzy halmazok és partícó klaszterekből... 88 8.2.4. Vetítés az antecedens térbe... 89 8.2.5. Paraméter-azonosítás... 9 8.3. RuleMaker - Automatkus rendszergenerálást támogató Matlab eljárásgyűjtemény... 93 8.3.. Bemenet adatok... 94 8.3.2. Nyers rendszer létrehozása a kmenet szélsőértéken alapuló módszerrel... 95 8.3.3. Mentés... 96 8.3.4. Paraméter-azonosítás és szabálybázs kterjesztés... 97 9. Szabály-nterpolácós módszerekkel dolgozó specáls fuzzy következtető rendszerek létrehozása modellezés feladatok megoldására... 2 9.. Fuzzy rendszergenerálás szntetkusan előállított adatok alapján... 2 9... SISO rendszer... 2 9..2. MISO rendszer... 3 9.2. Anaerob kúpos szuszpendált ágy reaktor működésének fuzzy modellezése... 4 9.3. Kőolajkutatás során végzett fúrások mérés eredménye között összefüggés fuzzy modellezése... 9. Új tudományos eredmények tézsekben történő összefoglalása... 2. Az elért eredmények hasznosíthatósága és tovább kutatás tervek... 4 2. Összefoglalás... 5 3. Summary... 7 4. Irodalomjegyzék... 9 4.. Az értekezés témakörében megjelent saját tudományos közlemények... 9 v
Tartalomjegyzék 4.2. Hvatkozott rodalom... 2. Melléklet. A szennyvíztsztítás feladathoz készített kétbemenetes fuzzy modellek dentfkácójának eredménye... v
. Bevezetés. Bevezetés A hétköznap életben gyakran találkozunk olyan helyzettel, amkor egy fogalmat, egy tárgyat, egy értéket, stb. nem tudunk egyértelműen egyk vagy másk kategórába besoroln, így vagy úgy mnősíten. Úgy érezzük, hogy többé-kevésbé de s, oda s tartozk, lyen s, olyan s. A klasszkus példa erre a személyek életkoruk alapján fatal, középkorú és dős korcsoportba történő besorolása. Egy húszévesnél egyértelmű a helyzet, de egy 35 vagy 55 éves személy esetében már nem az. A probléma oda vezethető vssza, hogy az ember gondolkodásban nncs egyértelmű éles határvonal egyes fogalmak között. A kategórák között éles határvonal meghúzása bár egyértelművé tesz a döntéshozatalt, de gen gyakran szembesülünk azzal az érzéssel, hogy nem vagyunk bztosak döntésünk helyességében. Egy dolgozat pontszámának értékelése során sokszor nncs lényeg különbség aközött, amt a határvonal alatt utolsó vagy a határvonal felett első pontszámmal mnősítenek. Egy kategórába történő besorolást gyakran követ egy következő lépés, am valamlyen szabály alkalmazásával az értékelés tárgyát képező személy vagy bármely más objektum jövőjét hosszabb vagy rövdebb távon befolyásolja. Például korosztály alapján egy flm megteknthetőségének megállapítása, egy vzsgajegy vagy akár egy alkalmasság vzsga kmenetelének meghatározása. A fent, első látásra nehezen kezelhetőnek tűnő helyzetek, azaz a nyelv fogalmakban rejlő bzonytalanság (pontatlanság) kezelésére teremtette meg L. A. Zadeh 965-ben a fuzzy (homályos, életlen [H87]) fogalmat és a ráépülő logka alapjat. A fuzzy megközelítésen alapuló megoldások széleskörű elterjedését az parban E. H. Mamdan és S. Asslan skeres gőzgép szabályozás kísérlete [H54] alapozták meg. Az elmélet háttér alapos kdolgozásával párhuzamosan és annak eredményeképpen a fuzzy logka széleskörű alkalmazást nyert hétköznap életünk sok területén s (mosógép, vízmelegítő, porszívó, stb.), ahol több, esetenként homályosan megfogalmazott szempont által befolyásolt döntés meghozatala szükséges, vagy a vzsgált rendszer matematka modelljének megalkotása és az optmáls megoldás megtalálása túl bonyolult, lletve a modell pontatlansága matt a kapott eredmény használhatatlan. A fuzzy megközelítés segítségével rányíthatóvá válnak olyan folyamatok, amelyek a klasszkus elméletekkel csak gen körülményesen lennének kezelhetők. Ezek általában ember által jól kézben tarthatóak, azonban matematka modelljük hányos vagy túl komplkált, esetleg pontatlan volta matt a klasszkus rányítástechnka módszerek hatékonyan rájuk nem alkalmazhatók. Értekezésem olyan fuzzy rendszerek következtetés módszerevel és automatkus generálásával foglalkozk, amelyek rtka szabálybázs esetében s képesek értelmezhető eredmények előállítására. A témához kapcsolódó fontosabb fogalmak, jelölésmódok és szabály-nterpolácós módszerek áttekntése után (2. fejezet) smertetem kutatás célktűzésemet (3. fejezet). Az elért tudományos eredmények részletes smertetését három általam kdolgozott halmaznterpolácós módszerrel kezdem (4. fejezet), majd három szabálymódosításon alapuló egyszabályos következtetés eljárásomat mutatom be (5. fejezet). Az előzőekben smertetett eljárások segítségével három szabály-nterpolácón alapuló fuzzy következetés módszert dolgoztam k, melyeket a 6. fejezetben tárgyalok. A fuzzy szabály-nterpolácó témakörét a 7. fejezet zárja. Ebben mutatom be az általam Matlab környezetre írt keretrendszert, amelynek
. Bevezetés célja a fuzzy szabály-nterpolácón alapuló következtetés módszerek összevetésének, vzsgálatának és gyakorlat alkalmazásának támogatása. Értekezésem másodk fő témaköre a fuzzy következtető rendszerek mntaadatok alapján történő automatkus generálása (8. fejezet). Itt két szabálybázs-kterjesztésen alapuló és egy fuzzy klaszterezést alkalmazó módszert s javaslok. Ezt követően a 9. fejezetben mesterségesen előállított és valós mérés adatokon alapuló fuzzy modellezés feladatokat oldok meg. Az értekezés utolsó részében tárgyalom az elért eredmények hasznosíthatóságát (. fejezet) és elképzelésemet a téma továbbvteléről (. fejezet). Az értekezés témakörében megjelent saját tudományos közlemények és a kutatómunka során fejlesztett szoftverek szabadon hozzáférhetőek és letölthetőek a [S32] címről. 2
2. Tudományos előzmények 2. Tudományos előzmények A fejezet első részében áttekntem a fontosabb alapfogalmakat és jelölésüket, majd smertetek néhány olyan tovább fogalmat és jellemzőt, amelyek nélkülözhetetlenek a fuzzy szabálynterpolácós módszerek áttekntéséhez és az értekezésben bemutatásra kerülő kutatás eredményem smertetéséhez. 2.. Az értekezésben felmerülő alapfogalmak és jelölésük ([H7][H3][H52][H59]) A jelen szakasz felépítése a következő mntát követ: félkövéren kemelem a fogalom nevét, majd rövd szöveges résszel és szükség esetén ábrákkal, egyenletekkel magyarázom azt. Alaphalmaz. Jelölése: X vagy U Az alaphalmaz (unverzum) egy olyan éles (nem fuzzy) halmaz, amelyen a fuzzy halmazok elemet értelmezzük (értelmezés tartomány). Az értekezés tovább részében megjelenő alaphalmazok a valós számok halmazának részhalmaza lesznek ( X R ). Fuzzy halmaz. Jelölése: a róma ABC egy nagybetűje, pl. A A hagyományos (crsp, éles) halmazfogalom kterjesztése. Míg a crsp halmazok esetén egy alaphalmaz mnden elemét egyértelműen a halmaz tagjaként vagy halmazon kívülként jelölünk meg, addg fuzzy halmazok esetén az alaphalmaz-elem halmazhoz tartozásának mértékét s defnálhatjuk (ld. tagság függvény). A fuzzy halmazok fogalmát először Zadeh [H87] használta nyelv kfejezésekben rejlő bzonytalanság leírására. Nyelv érték (címke) Egy fuzzy halmazhoz rendelt név (címke), am egy ember nyelven megfogalmazott szó vagy esetleg szmbólum. Nyelv változó Egy olyan specáls változó, am nyelv értékeket (címkéket) és általuk fuzzy halmazokat kaphat értékül. Megfgyelés. Jelölése: A Egy fuzzy következtető rendszer bemenő adatául szolgáló fuzzy halmaz egydmenzós bemenet esetén, vagy egy fuzzy halmazokat tartalmazó N elemű vektor N-dmenzós bemenet esetén. Tagság függvény. Jelölése: μ A A μ A : X [,] függvény megadja, hogy az X alaphalmaz eleme mlyen mértékben tartoznak az A fuzzy halmazhoz. Fuzzy halmaz megadása Dszkrét alaphalmaz esetén a fuzzy halmazt eleme és a hozzájuk tartozó tagság értékek felsorolásával adjuk meg az alább jelölést alkalmazva ahol X { x,..., } x n A = μ A, / x + μ A,2 / x2 +... + μ A, n / xn = μ A, / x, x X, () = az alaphalmaz, a /, a + jeleknek nncs artmetka jelentésük, csak gyakorlat jelölések [H3]. Folytonos alaphalmaz esetén a fuzzy halmazt az alaphalmaz és a tagság függvény segítségével adjuk meg az alább jelölést alkalmazva n = 3
2. Tudományos előzmények xmax ( x) / x x X A = μ,, (2) ahol X = [ x mn, x max ] az alaphalmaz, a dszkrét esethez hasonlóan a jelölés segédeszköze. xmn α-vágat. Jelölése: [ A ] α Egy A halmaz α-vágata egy olyan éles halmaz, amt következőképpen defnálunk: [ ] = { x X μ ( x) α; α (, ] }. Mag. Egy A fuzzy halmaz magja: [ A ] Tartó. Jelölése: supp(a) vagy [ A ] + Egy A fuzzy halmaz tartója α A és a / csak a A A (3) supp ( A) = { x X ( x) > } μ. (4) Kompakt fuzzy halmaz Az A fuzzy halmaz akkor kompakt, ha a tartója korlátos [H26]. Ez gyakorlatlag a supp ( ) A A X (5) teljesülését jelent. Normál (normalzált) fuzzy halmaz. Az A fuzzy halmaz akkor normál, ha μ x =. A ( ) Szubnormáls fuzzy halmaz. Az A fuzzy halmaz akkor szubnormáls, ha μ x <. A ( ) x X, amelyre x X esetén Konvex fuzzy halmaz. Valamely X alaphalmazon értelmezett A fuzzy halmaz konvex, ha valamenny α-vágata konvex halmaz: μ A ( λx ( - λ) x ) mn[ μ ( x ) μ ( x )] + 2 A, A 2 2 x x2, [,], R λ. (6) Fuzzy jelleg. Jelölése: f A,L, f A,U. A Gedeon és Kóczy által a [H22] rodalomban bevezetett alsó és felső (bal- és jobb oldal) fuzzy jelleget a mag és tartó azonos oldal szélső pontja között vízszntes rányú távolságként defnáljuk konvex és normalzált fuzzy (CNF Convex Normal Fuzzy) halmazokon f L {[ A ] } [ A ] { } A, = nf nf, (7) + f A U {[ A ] } [ A ], = sup sup + { }, (8) ahol f A, L és A U f, az A fuzzy halmaz alsó lletve felső fuzzy jellege. Egyelemű (sngleton) fuzzy halmaz 4
2. Tudományos előzmények A továbbakban egyeleműnek nevezem azt a fuzzy halmazt, amely csak egyetlen alaphalmaz elemet tartalmaz, amnek tagság értéke. Grafkus képe alapján (függőleges egyenes) szngleton vagy szálka alakúnak s nevezk ezt a specáls halmaztípust. Az egyelemű fuzzy halmaz alsó és felső fuzzy jellege nulla ( f és f ). A, L = A, U = Egyértékű fuzzy halmaz A továbbakban egyértékűnek nevezem azt a fuzzy halmazt, amelynek eleme azonos tagság értékű. Amennyben ez a tagság érték -el egyenlő, akkor egy hagyományos (crsp, éles) halmazról van szó. Az egyértékű fuzzy halmaz alsó és felső fuzzy jellege nulla ( f A, L = és f A, U = ). Referenca pont. Jelölése: RP ( A) A referenca pont egy ktüntetett elem a halmaz tartójáról, amt egyes fuzzy eljárásokban a halmaz helyzetének jellemzésére használnak. A referenca pont kjelölésénél több lehetőség közül s választhatunk. Így a feladatot elláthatja például a mag középpontjának ( CC RP )[H4][H][S2], az alakzat tömegközéppontjának ( RP GC )[H25], a tartó középpontjának ( RP SC ) [H] megfelelő alaphalmaz elem vagy szakaszonként lneárs halmazalak esetén a töréspontok abszcsszának súlyozott ( RP WAV ) vagy súlyozatlan ( RP UAV ) átlaga. Az. ábra egy trapéz alakú fuzzy halmaz esetén mutatja be az egyes referenca pont típusokat. μ.8.6 A.4.2 RP RP UAV RP GC CC x.2.4.6.8 RP SC. ábra. Referenca pont típusok A legtöbb szabály-nterpolácós eljárás megkövetel, hogy a referenca pontban a tagság függvény értéke érje el maxmumát Lefedettség mértéke Feltételezzük, hogy az [ x mn, x max ] ( A j j {,..., n} A ( RP( A) ) = max{ μ ( x) x X } μ. (9) A X = alaphalmazon véges számú fuzzy halmazzal, ) rendelkezünk. Az alaphalmaz lefedettség mértékét (ε) a következőképpen defnáljuk argmax( x X, j {,..., n} : μ A ( x) ε ), ε [,], ε j () ahol argmax(). azt az ε értéket jelent, amelyre a zárójelben szereplő kfejezés felvesz ε maxmáls értékét. Partícó 5
2. Tudományos előzmények Hagyományosan (pl. [H52]) egy X alaphalmaz fuzzy partícójának nevezzük azt az A = { A,..., A n } halmazcsaládot, amelynek halmaza bztosítják az X unverzum -nál nagyobb mértékű lefedését (ε> a 2. ábra bal oldal részén). A szabály- és halmaz-nterpolácós feladatoknál ez a feltétel nem teljesül mndg, ezért a partícó fogalmának kterjesztéseként rtka partícónak nevezzük azt az esetet, amkor csak ε=-ra teljesül a () kfejezés (a 2. ábra jobb oldal részén). A továbbakban az egyszerűség kedvéért rövden partícóként hvatkozom az eredet szgorúan értelmezett (fedő) partícó fogalomra és annak kterjesztésére, a rtka partícóra s. μ μ ε A A 2 A 3 A A 2 A 3 x x x mn x max x mn x max 2. ábra. Szgorúan értelmezett (fedő) partícó és rtka partícó 2.2. Rendezés és távolság A fuzzy szabály-nterpolácós módszerek vzsgálata során háromféle megoldással találkozhatunk a fuzzy halmazok rendezése és távolságának értékelése vonatkozásában. 2.2.. Az α-vágat alapú KH fuzzy távolság és a rá épülő rendezés A Kóczy és Hrota [H44] által defnált első megközelítés α-vágatokat alkalmaz. Eszernt az A k halmaz akkor előz meg az A l halmazt (A k p A l ), ha α (, ] és k l esetén teljesül az alább két egyenlőtlenség {[ A ] } nf{ [ A ] } nf <, () k α l α {[ A ] } sup{ [ A ] } sup <, (2) k α ahol nf és sup az α-vágat alsó lletve felső végpontját jelöl. A megoldás hátránya, hogy csak részleges rendezést bztosít. Például a 3. ábra egy olyan esetet llusztrál, amkor csak néhány α-sznt esetén írható fel a < relácó. A módszer csak CNF halmazokra alkalmazható. l α.8 μ.6.4 A A 2.2 x 2 3 3. ábra. A Kóczy és Hrota által javasolt α-vágat alapú megközelítéssel nem állapítható meg a két fuzzy halmaz sorrendje 6
2. Tudományos előzmények Kóczy és Hrota [H44] a halmazok távolságának értékelésére szntén α-vágat alapú megoldást L U javasolt. A KH fuzzy távolság egy alsó ( d α ( Ak, Al )) és egy felső ( d α ( Ak, Al )) eltérést (4. ábra) mér α-vágatonként az alábbak szernt d d L α U α ( A, A ) nf {[ A ] } nf {[ A ] } k l =, (3) ( A, A ) sup{ [ A ] } sup{ [ A ] } k l k k α α l l α =. (4) α.8.6.4 α.2 μ A k d L α (A k,a l ) d U α (A k,a l ) A l 2 3 4. ábra. Alsó és felső KH fuzzy távolság az α-sznten x 2.2.2. Az α-vágat alapú VKK fuzzy távolság és a rá épülő rendezés Vass, Kalmár és Kóczy [H75] szntén α-vágat alapú megoldást javasoltak a fuzzy halmazok távolságának mérésére. Az előzőektől eltérően az α-vágatokat nem végpontjak segítségével írták le, hanem a vágat középpontjával (c α ) és szélességével (w α ) (. ábra) c α w ( A) α {[ A] } + sup{ [ A] } nf α α =, (5) 2 ( A) sup{ [ A] } nf{ [ A] } =. (6) A VKK fuzzy távolság α-vágatonként a középpontok eukldesz távolságát mér d α α ( A A ) = c ( A ) c ( A ) k l α k α l α,. (7) 7
2. Tudományos előzmények.8.6 α.4.2 μ A k w α (A k ) c α (A k ) d α (A k,a l ) A l 2 3 5. ábra. VKK távolság x A VKK távolságon alapuló rendezésnél az A k halmaz akkor előz meg az A l halmazt (A k p A l ), ha α (, ] és k l esetén teljesül az alább egyenlőtlenség c ( A ) c ( ) α k < α A l. (8) A megoldás előnye, hogy egyszerűsít a számításokat, mvel α-vágatonként csak egy távolság mértékkel kell dolgozn, vszont még mndg nem alkalmas arra, hogy általános esetben egyetlen számmal kfejezhessük a halmazok távolságát. Bár bővítette az alkalmazás teret, de továbbra s csak részleges rendezést bztosít. Könnyen elképzelhető olyan eset, amkor bzonyos α-vágatoknál az egyk halmaz c-értéke ksebb, míg másoknál a másk halmaz c- értéke ksebb. 2.2.3. A referenca pont alapú távolság és a rá épülő rendezés A Barany, Kóczy és Gedeon (pl. [H4]) által s javasolt harmadk megközelítés referenca pont segítségével jellemz a fuzzy halmazok helyzetét. Így az A k halmaz akkor előz meg az A l halmazt (A k p A l ), ha RP(A k )<RP(A l ). Ebben az esetben a halmazok távolságát referenca pontjak eukldesz távolsága határozza meg d ( A A ) = RP( A ) RP( A ) k,. (9) l Ez a megoldás ksebb számításgényű és szélesebb körben alkalmazható, mnt az α-vágat alapú fuzzy távolságok. 2.3. Szabályok és szabálybázs A fuzzy következtető rendszerek (a továbbakban rövden fuzzy rendszerek) szabályalapú tudásábrázolást alkalmaznak. A szabályok feltétel (antecedens) és következmény (konzekvens) részében nyelv változók és fuzzy halmazok (vagy azokat azonosító nyelv értékek) szerepelnek az alább formában k l R : HA a = = A, j ÉS... ÉS an = AN, j AKKOR b B N =, k ÉS... ÉS bm B, k M, (2) ahol a bemenet nyelv változó az. antecedens dmenzóban, N az antecedens dmenzók száma, j a szabály. dmenzóbel antecedensének sorszáma a saját partícójában, b a kmenet nyelv változó az. konzekvens dmenzóban, k a szabály. dmenzóbel konzekvens nyelv értékének sorszáma a saját partícójában és M a konzekvens dmenzók száma. Egy fuzzy rendszerben tárolt szabályok összességét szabálybázsnak nevezzük 8
{ R R } 2. Tudományos előzmények RB =, 2,..., R N R, (2) ahol N R a szabályok száma. A szakrodalom döntő többségéhez hasonlóan a továbbakban csak olyan fuzzy következtető rendszerekkel és szabályokkal foglalkozom, amelyek egy kmenet dmenzóval rendelkeznek, ugyans a többkmenetű rendszerek szabálybázsa nformácóvesztés nélkül lebontható egykmenetű szabálybázsokra. A fuzzy rendszerek működésének és az egyes következtetés eljárások alkalmazhatóságának egyk kulcskérdése, hogy a szabálybázsban tárolt szabályok antecedense mlyen mértékben fedk a bemenet alaphalmazok által meghatározott antecedens (bemenet) teret. Az antecedens tér lefedettségének mértékét (ε) az alább összefüggés határozza meg arg max ε N n * ( mn { max { t( A, A ) } }, A X ), = j=, j ε ahol X az antecedens tér (alaphalmaz) -edk dmenzója, antecedens dmenzóban leíró halmaz, ε [,], (22) A a megfgyelést az -edk A j az -edk antecedens dmenzó j-edk nyelv értéke, t tetszőleges t-norma, n az -edk antecedens dmenzó nyelv értékenek száma, N az argmax. azt az ε értéket jelent, amelyre a zárójelben ε antecedens dmenzók száma és ( ) szereplő kfejezés felvesz maxmáls értékét. Egy szabálybázst akkor nevezünk fedőnek vagy sűrűnek, ha a (22) összefüggés nullánál nagyobb ε értékre teljesül. A 6. ábra egy lyen szabálybázs antecedens terét llusztrálja egy kétdmenzós bemenetű rendszer esetén. 6. ábra. Sűrű szabálybázs antecedens tere Mnden szabály antecedenst egy csonkagúla jelképez, amt az antecedens fuzzy halmazok határoznak meg. Itt bármlyen megfgyelés esetén létezk legalább egy olyan szabály, amelynek antecedense metsz vagy átfed a megfgyelést. Egy szabálybázst akkor tekntünk rtkának vagy nem fedőnek, ha a (22) összefüggés csak ε= értékre teljesül, azaz a kétdmenzós példánál maradva az antecedens síkban üres területek találhatóak. A 7. ábra egy lyen esetet szemléltet. Itt az A * megfgyelés esetén a szabálybázs három szabálya közül egyk antecedense sem érntkezk a megfgyeléssel. 9
2. Tudományos előzmények 7. ábra. Rtka szabálybázs antecedens tere A bemenet nyelv változók (antecedens dmenzók) és a dmenzónként fuzzy halmazok számának növekedése a teljes lefedettség bztosításához szükséges szabályok mennységének és a szabálybázsra épülő fuzzy rendszer komplextásának robbanásszerű növekedését eredményez (8. ábra), am tárolás és feldolgozás nehézségeket okozhat [H47][H52]. Általános esetben a szükséges szabályok számát N N R = n összefüggés határozza meg, ahol n az. antecedens dmenzó fuzzy halmazanak száma és N az antecedens dmenzók száma, továbbá feltételezzük, hogy mnden partícóban teljesül a (22) feltétel ε>-ra. A 8. ábra azt az esetet llusztrálja, amkor mnden dmenzóban azonos a fuzzy halmazok száma. Erre az egyszerűsítésre az ábrázolhatóság érdekében volt szükség. A komplextás növekedés problémájának megoldását jelenthet olyan szabálybázs kalakítása, amely nem fedő (azaz rtka), de tartalmazza a feladat megoldásához szükséges releváns tudást [H4]. x 4 = (23) Szabályok száma 5 6 4 A. D. Sz. 2 2 4 6 D. Ny. É. Sz. 8. ábra. Szabályok számának alakulása az antecedens dmenzók számának (A. D. Sz.) és a dmenzónként nyelv értékek számának (D. Ny. É. Sz.) függvényében Szándékosság mellett még tovább két ok vezethet rtka szabálybázs kalakulásához. Egyrészt előfordulhat, hogy a szabálybázs alapjául szolgáló smeretanyag eleve hányos, másrészt a rendszer fejlesztésének utolsó lépésében az ún. paraméter-azonosítás (hangolás) során változhat az antecedens fuzzy halmazok alakja és helyzete, am lefedetlen területek kalakulását okozhatja [H]. Számos szabály-nterpolácón alapuló fuzzy következtetés eljárásnál találkozunk a két közrefogó szabály fogalmával. Két szabályt akkor tekntünk a megfgyelést közrefogónak, ha mnden antecedens dmenzóban teljesül az, hogy az első szabály antecedens halmaza
2. Tudományos előzmények megelőz a megfgyelés halmazt és a másodk szabály antecedens halmaza követ a megfgyelés halmazt 2 A j p A p A,,..., N, (24),, k ahol N az antecedens dmenzók száma, A, j az első szabály antecedens halmaza az. 2 dmenzóban és A a másodk szabály antecedens halmaza az. dmenzóban., k 2.4. Következtetés rtka szabálybázst alkalmazó fuzzy rendszerekben A hagyományos fuzzy következtetéssel (Zadeh [H88], Mamdan [H54], Larsen [H53], Takag-Sugeno [H67], stb.) működő fuzzy rendszerek a szabály antecedensek és a megfgyelést leíró nyelv értékek lleszkedése alapján a szabály konzekvensek súlyozott kombnácójaként határozzák meg a következményt, am az adott módszernek megfelelően egyaránt lehet fuzzy halmaz vagy éles érték. Működésükből következően ezen eljárások alkalmazásának feltétele a szabálybázs fedő jellege (ld. 6. ábra), azaz bármely bemenő adat esetén létezne kell legalább egy olyan szabálynak, amelynek antecedense ε> mértékben fed a megfgyelést a bemenet tér mnden dmenzójában. A fent megkötés következtében ndokolt lehet valamely fuzzy közelítő következtetés technka használta a hagyományos kompozícós megközelítés helyett azon alkalmazásoknál, amelyek rtka szabálybázsra épülnek, és amelyektől elvárjuk, hogy bármely megfgyelésre kértékelhető következtetést eredményezzenek. A közelítő következtetés céljára kfejlesztett eljárások a legtöbb esetben valamely fuzzy szabály-nterpolácós módszer segítségével határozzák meg a következményt. Ezen eljárásokat két csoportba oszthatjuk aszernt, hogy közvetlenül állítják-e elő a következményt vagy először egy segédszabályt nterpolálnak, és annak felhasználásával számítják a következményt. Az egylépéses módszerek családjának fontosabb képvselő a Kóczy és Hrota által kdolgozott lneárs szabály-nterpolácó (KH módszer) [H4], az abnormáls eredményt kzáró koordnáta-transzformácóra épülő MACI [H69] (Tkk és Barany), a szabálynterpolácó feladatát az ún. bzonytalan környezetbe helyező FIVE [H37] (Kovács és Kóczy), a relatív fuzzy jelleg megőrzésén alapuló CRF [H48] (Kóczy, Hrota és Gedeon), és a Wong, Gedeon és Tkk által javasolt IMUL [H8] valamnt Dubos és Prade (DP) [H9] módszere. A kétlépéses módszerek a Barany, Kóczy és Gedeon [H4] által publkált általánosított fuzzy szabály-nterpolácós módszertant (GM) követk. Ezen eljárások családjába tartoznak a Barany és szerzőtársa által javasolt technkák [H4][H3][H5], a megfgyelés és a szabály antecedens közt hasonlóság megőrzésén alapuló ST [H86] (Yan, Mzumoto és Qao) módszer, az általános reprezentatív értéken alapuló IGRV [H25] (Huang és Shen), valamnt az általam kdolgozott LESFRI [S3], FRIPOC [S2] és VEIN [S26] módszerek. A következő két fejezetben rövden áttekntem az utolsó három kvételével az előzőekben felsorolt eljárásokat. Nem célom a számítás menetének pontos matematka leírása, csupán az alapgondolatot és néhány fontos tulajdonságot szeretnék kemeln egy áttekntő kép nyújtása érdekében. Számos olyan publkácót találhatunk a szakrodalomban, amely átteknt, értékel fuzzy szabály-nterpolácós módszereket. Így például Mzk, Barany, Korond és Kóczy [H55], lletve Mzk, Szabó és Korond [H56] a megfgyelés és a következmény fuzzy jellege között kapcsolatot vzsgálva értékelték a KH, a VKK és a MACI eljárásokat, valamnt a GM egy
2. Tudományos előzmények megvalósítását. Jene [H26] axomatkus megközelítést alkalmazva egy nyolc pontból álló követelmény rendszert defnált, és ezek tükrében vzsgálta a KH, a DP és a GM egy megvalósítását. 2.5. Egylépéses szabály-nterpolácós módszerek A fuzzy szabály-nterpolácós módszerek első csoportjába sorolt eljárások a megfgyelés és két vagy több, ún. közrefogó szabály felhasználásával közvetlenül állítják elő az eredményt. Az áttekntést a témakör alapmódszerével, a fuzzy szabály-nterpolácós kutatást elndító KH eljárással nytom, majd sorra veszem a leszármazottakat, azaz az eredet lneárs szabálynterpolácó korlátat túllépő, továbbfejlesztett, kegészített, fontosabb újabb típusokat. Utolsóként tárgyalom a FIVE módszert, amely teljesen új megközelítést alkalmazva az ún. bzonytalan környezetbe helyezte a szabály-nterpolácó feladatát. 2.5.. Lneárs szabály-nterpolácó (KH módszer) A Kóczy és Hrota által kdolgozott lneárs szabály-nterpolácó (KH módszer) [H4] alapgondolata az, hogy a becsült következmény ugyanolyan arányban osztja fel a két közrefogó szabály konzekvensenek távolságát, mnt amlyen arányban a megfgyelés felosztja ugyanezen szabályok antecedens halmazanak távolságát (25). Ez a megoldás később a fuzzy szabály-nterpolácó alapegyenlete (FERI-Fundamental Equaton of the fuzzy Rule Interpolaton) (pl. [H4]) elnevezést kapta. A módszer α-vágat alapú, a fent említett arányokat mnden vágat esetén külön-külön számítja az alsó és felső távolságok segítségével d * * * * ( A, A ): d ( A, A ) d ( B, B ): d ( B B ) α α 2 = α α, 2 (25) ahol A, A 2 a közrefogó szabályok antecedens halmaza, A* a megfgyelés, B, B 2 a közrefogó szabályok konzekvens halmaza, B* a becsült következmény. Az helyén állhat L vagy U aszernt, hogy alsó (L) vagy felső (U) távolsággal számolunk-e. Az eljárás a klasszkus crsp Shepard nterpolácó [H63] fuzzy halmazokra történő kterjesztése [H73]. A pontos eredmény számításához elméletleg végtelen számú α-vágatra lenne szükség, azonban szakaszonként lneárs tagság függvények esetén csak a töréspontoknak megfelelő szntekre számítják k a következményt. Bár a módszer nem őrz meg a szakaszonként lneartást, de a gyakorlat alkalmazásoknál az eltérés legtöbbször elhanyagolható [H49][H5][H69]. A KH nterpolácó a következő feltételek teljesülése esetén alkalmazható: () a számítások során fgyelembe vett halmazok CNF és kompakt jelleggel kell bírjanak, (2) mnden partícóban számítható kell legyen a KH fuzzy távolság és az ezen alapuló rendezés relácó. A módszer előnyös tulajdonsága szemléletessége és alacsony számításgénye. Részletes vzsgálata (pl. [H49][H5][H64]) arra a felsmerésre vezetett, hogy egyes esetekben az eljárás érvénytelen fuzzy halmazt eredményezhet (ld. 9. ábra jobb oldal része). 2
2. Tudományos előzmények 9. ábra. Érvényes (bal oldal) és érvénytelen (jobb oldal) fuzzy halmazt eredményező KH nterpolácó [H5] A KH módszert egydmenzós antecedens alaphalmaz esetére dolgozták k, azonban kterjeszthető többdmenzós esetre s Mnkowsk (az esetek többségében eukldesz vagy Manhattan) távolságok alkalmazásával. 2.5.2. A KH nterpolácó módosítása több szabály fgyelembevételével Publkálása óta a KH nterpolácó számos olyan módosított változatát készítették el, amelyek nem csak a közrefogó két szabályt veszk fgyelembe. Közös jellemzőjük, hogy a felhasznált szabályok számának növekedésével párhuzamosan javul az eljárás approxmácós képessége. A Kóczy és Hrota [H45] rodalomban javasolt megoldása súlyzottan vesz fgyelembe a szabályokat pl. a megfgyeléstől mért távolság recprokának négyzetét alkalmazva súlytényezőként. Így a megfgyeléstől távolabb levő szabályok sokkal ksebb szerepet kapnak az eredmény számításában, mnt a közvetlen környezetben elhelyezkedők [H45] [H73]. Tkk és szerzőtársa [H73] a Shepard nterpolácó [H63] általánosításaként olyan képleteket javasoltak az α-vágatok végpontjanak számítására, amelyekben a távolság N. hatványát vették fgyelembe, ahol N az antecedens dmenzók száma. 2.5.3. VKK módszer A szerzők [H75] nevének (Vass, Kalmár és Kóczy) kezdőbetű után VKK-nak elnevezett módszer kküszöbölte a KH nterpolácó egyk leggyakrabban előforduló problémáját, az érvénytelen következmény halmazokat azáltal, hogy új távolság mértéket vezett be (ld. 2.2.2. szakasz), és az α-vágatok szélessége alapján végezte a számításokat. Bár eredetleg egybemenetű fuzzy rendszerekhez dolgozták k, de a KH módszerhez hasonlóan kterjeszthető többbemenetű rendszerekre s a Mnkowsk távolság bevezetésével. A módszer csak kompakt CNF halmazok esetén alkalmazható. Tovább hátránya, hogy nem képes kezeln azt az esetet, amkor egy fuzzy halmaz valamely α-vágatának szélessége nulla (pl. egyelemű halmaz). A KH szabály-nterpolácóhoz hasonlóan nem őrz meg a szakaszonként lneartást, de az eltérés tt s vszonylag ks mértékű [H4]. 3
2. Tudományos előzmények. ábra. VKK módszer 2.5.4. Fuzzy jelleg megőrzésén alapuló szabály-nterpolácó (GK módszer) A Gedeon és Kóczy által publkált [H22] szabály-nterpolácós eljárást trapéz alakú CNF halmazokra fejlesztették k. A KH módszerhez hasonlóan a GK eljárás a következményt két közrefogó szabály segítségével becsül. A GK módszer kdolgozása abból a feltételezésből ndult k, hogy számos alkalmazásnál az antecedens halmazok tartó jóval szélesebbek a megfgyelés tartójánál, és ezért a következmény egyes élenek becsléséhez elegendő az azonos oldal (bal vagy jobb) megfgyelés él és az azzal szomszédos antedens él fgyelembevétele [H48]. Az eljárás a következmény alakjának és helyzetének számításához felhasználja a megfgyelés magja és a szomszédos antecedens halmazok magja között távolságot (ld. d(a,a*) a. ábrán) és a halmazok fuzzy jellegét (ld. fu, f*l, FU és F*L a. ábrán).. ábra. Fuzzy jelleg és magtávolság [H48] A következmény fuzzy jellegének (pl. F*L) megállapítása során csak a megfgyelés azonos oldal fuzzy jellegét (f*l) és a szomszédos antecedens fuzzy jelleget (fu) veszk fgyelembe. Az antecedens halmazok több része nem játszk szerepet az eredmény meghatározásában. A módszer többdmenzós esetre s kterjeszthető, lyenkor a távolságokat eukldesz értelemben vesz fgyelembe. Bár a módszer nem α-vágat alapú és nncs közvetlen kapcsolatban a FERI-vel, de azzal összhangban van [H48]. 2.5.5. Relatív fuzzy jelleg megőrzésén alapuló szabály-nterpolácó (KHG módszer) A KHG módszer (Kóczy, Hrota és Gedeon [H48]) az előző szakaszban smertetett fuzzy jelleg megőrzésén alapuló szabály-nterpolácó továbbfejlesztett változata. Az eljárás alkalmazhatóságát kbővítették általában a CNF halmazokra, így elődjével ellentétben crsp 4
2. Tudományos előzmények halmazok kezelésésre s képes. Továbbá a KHG módszer többbemenetű rendszerek esetében s alkalmazható. A következmény helyzetét a FERI segítségével határozza meg az eljárás egy ún. különbözőség mértéket bevezetve, am a fuzzy jelleg és a két halmaz magtávolságának kapcsolatát jellemz. A következmény magszélességét (C*) (2. ábra) a konzekvens magtávolság (d(b,b2)) és az antecedens magtávolság (d(a,a2)) arányának és a megfgyelés magszélességének szorzatából számolja az eljárás. 2. ábra. Magtávolságok és magszélességek [H48] A relatív fuzzy jelleg megőrzése azt jelent, hogy a becsült következmény bal (jobb) oldal fuzzy jellegének és a vele szomszédos konzekvens fuzzy jellegnek az aránya megegyezk a megfgyelés bal (jobb) oldal fuzzy jellegének és a vele szomszédos antecedens fuzzy jellegnek az arányával. 2.5.6. Módosított α-vágat alapú szabály-nterpolácó (MACI) A Tkk és Barany által kdolgozott módosított α-vágat alapú szabály-nterpolácó (MACI - Modfed α-cut based Interpolaton) [H69] a Yam [H85] által publkált vektorreprezentácót alkalmazva egy olyan térbe transzformálja a számításokat, ahol kküszöbölhető a fuzzy halmazként nem értelmezhető következmény. A szemléletesség érdekében az eljárás llusztrálása az alábbakban háromszög alakú fuzzy halmazokkal történk. A MACI szabály-nterpolácó mnden halmazt két vektor segítségével ír le, amelyek a referenca pont által meghatározott bal (alsó) és jobb (felső) él töréspontjanak abszcssza értéket tartalmazzák. Sma tagság függvények esetében egy sor α- vágatot készítenek, és ezek végpontja kerülnek a vektorokba. Például a 3. ábra A halmazára vonatkozóan ezek a következők [ x ] A L, x =, (26) [ x ] A R =. (27), x A továbbakban a számításokat a bal és jobb oldal élre egymástól függetlenül végzk. Háromszög alakú halmazokat alkalmazva mndkét esetben az éleket leíró vektorok egy síkbel ponttal ábrázolhatóak (ld. 4. ábra). Ekkor a következmény érvényességének (fuzzy halmazként értelmezhető következmény) az a feltétele, hogy a B * pont a B és B 2 pontok által meghatározott téglalapon belülre essen, és az l vonal felett helyezkedjen el (ld. 4. ábra jobb oldal rész). Ezt az eljárás egy koordnáta-transzformácó segítségével ér el. A transzformált térben a következményt a FERI segítségével számítják. 5
2. Tudományos előzmények 3. ábra. MACI-val előállított következmény egybementű rendszernél 4. ábra. Az éleket leíró vektorok grafkus szemléltetése [H68] A módszer legfontosabb poztív tulajdonsága, hogy mndg érvényes fuzzy halmazt eredményez. Bár eredetleg egybemenetű rendszerekre fejlesztették k, de kterjeszthető többdmenzós bemenet esetére s [H69]. A módszer általános változata [H7] nem konvex fuzzy halmazok kezelésére s képes. Az eljárás csak akkor eredményez egyelemű fuzzy halmazt, ha a közrefogó szabályok konzekvense szntén egyeleműek [H55]. Bár a MACI nterpolácó sem őrz meg a szakaszonként lneartást, de az eltérés ksebb a KH módszernél tapasztaltnál [H69]. 2.5.7. Javított többdmenzós módosított α-vágat alapú szabálynterpolácó (IMUL) A Wong, Gedeon és Tkk [H8] által javasolt javított többdmenzós módosított α-vágat alapú szabály-nterpolácó (IMUL - Improved MULtdmensonal modfed α-cut based nterpolaton) ötvöz a MACI és KHG módszerek előnyös tulajdonságat. A becsült következmény magjának meghatározása a MACI-ból átvett karaktersztkus pontokat tároló vektorreprezentácó és koordnáta-transzformácó segítségével történk. A következmény fuzzy jellegét (r a 5. ábrán) a megfgyelés azonos oldal fuzzy jellege (r), valamnt a szomszédos antecedens (s /u ) és konzekvens (s /u ) relatív fuzzy jellegek fgyelembevételével számítják. 5. ábra. Az IMUL jelölésrendszere [H8] 6
2. Tudományos előzmények Az eljárást eleve többdmenzós bemenet esetére dolgozták k. Tovább előnyös tulajdonsága, hogy mndg érvényes fuzzy halmazt eredményez. Hátrányaként említhető, hogy nem őrz meg a szakaszonként lneartást és nem alkalmazható tetszőleges halmazalakra. 2.5.8. HCL szabály-nterpolácó A Hsao, Chan and Lee [H23] által kdolgozott szabály-nterpolácó a KH eljárást ötvöz a halmazélek meredeksége között nterpolácóval. Az eljárás alapgondolata az antecedens élek meredeksége között kapcsolat megőrzése. Első lépésként a tartó végpontjat a KH módszer segítségével határozzák meg. Ezt követően meghatározzák, hogy a két közrefogó szabály antecedens halmaza bal (jobb) éle meredekségenek (k és k 2 lletve t és t 2 a 6. ábrán) mlyen lneárs kombnácójaként állítható elő a megfgyelés bal (jobb) élének meredeksége (k és t). A becsült következmény bal (jobb) élének meredekségét (h és m) ugyanazon lneárs kombnácó konzekvens meredekségekre (h és h 2 lletve m és m 2 ) történő alkalmazásával állítják elő úgy, hogy a kapott halmaz háromszög alakú és CNF jellegű legyen. 6. ábra. A HCL módszer jelölésrendszere [H23] Az eljárás ks számításgényű és mndg érvényes fuzzy halmazt eredményez, azonban hátrányaként említhető, hogy csak háromszög alakú CNF halmazok és csak egybemenetű rendszerek esetében alkalmazható. 2.5.9. Fuzzy nterpolácó bzonytalan környezetben (FIVE) A Kovács és Kóczy [H37] által kfejlesztett FIVE (Fuzzy Interpolaton n the Vague Envronment) módszer a fuzzy szabályok becslésének feladatát egy vrtuáls térbe, az ún. bzonytalan környezetbe [H28] helyez át, amnek koncepcója az objektumok hasonlóságán lletve megkülönböztethetetlenségén alapszk. A bzonytalan környezetben két fuzzy halmaz hasonlóságát az adott környezetet leíró ún. skálafüggvénnyel súlyozott távolságuk jellemz. A skálafüggvény a partícó fuzzy halmaza alakjának leírására szolgál. A bzonytalan környezet fogalmát a 4.4.. szakasz tárgyalja részletesebben. A módszer alkalmazásának az szabhat korlátot, hogy találunk-e úgy az antecedens, mnt a konzekvens partícókra egy-egy olyan közelítő unverzáls skálafüggvényt, am a teljes partícót leírja olyan esetben s, amkor az nem Ruspn jellegű. A skálafüggvény választására háromszög és trapéz alakú halmazok esetén találunk megoldást a [H37] rodalomban. Az antecedens és a konzekvens oldal unverzum bzonytalan környezetének meghatározását követően létrejön a szabálybázs saját bzonytalan környezete s. Ebben mnden szabály egyegy pontként ábrázolható. Amennyben a megfgyelés egyelemű fuzzy halmaz, akkor bármely nterpolácós vagy közelítő technka segítségével előállítható a keresett következmény, am szntén egyelemű. 7
2. Tudományos előzmények A feltétel és a következmény oldal bzonytalan környezetek előre elkészíthetők. Ez bztosítja a módszer gyorsaságát, mvel a rendszer működése közben csak a szabálybázst leíró pontok között nterpolácót kell végrehajtan. Fuzzy megfgyelésnél az antecedens oldal és a bemenethez kapcsolódó bzonytalan környezetek összeolvasztása szükséges [H34]. A 7. ábra egydmenzós antecedens alaphalmaz és két szabály esetén ábrázolja a partícókat, a skálafüggvényt és a két szabály között megfgyelések esetére érvényes nterpolált pontok által meghatározott görbét egyelemű megfgyeléseket feltételezve. 7. ábra. Antecedens és konzekvens partícók, skálafüggvények és következmény FIVE alkalmazása esetén Az eljárás fontosabb előnyös tulajdonsága a gyorsaság és a többdmenzós antecedens tér kezelésének képessége. A FIVE hátránya, hogy a fuzzy megfgyelés kezelése csak bzonyos halmazalakok (háromszög és egyelemű) esetén megoldott, és a módszer nem őrz meg a szakaszonként lneárs jelleget. 2.6. A fuzzy szabály-nterpolácó általánosított módszertanát követő eljárások A fuzzy szabály-nterpolácós módszerek másodk csoportja két lépésben, a Barany, Kóczy és Gedeon [H4] által javasolt általánosított módszertan (GM) szernt állítja elő a következményt. A továbbakban először áttekntem a GM koncepcót, majd néhány eljárást smertetek, amelyek a módszertan két lépése során alkalmazhatóak. Végül rövden bemutatom az IGRV szabály-nterpolácós módszert. 2.6.. A fuzzy szabály-nterpolácó általánosított módszertana (GM) A Barany, Kóczy és Gedeon [H4] által kdolgozott általánosított fuzzy szabály-nterpolácós módszertan (GM - Generalzed Methodology of fuzzy rule nterpolaton) referenca pont alapú távolság mérést és rendezést alkalmaz (ld. 2.2.3. szakasz). 8
2. Tudományos előzmények A GM modulárs felépítésének köszönhetően az általa megfogalmazott egyes részfeladatok megoldását különböző módszerekkel s megkísérelhetjük bzonyos konvenconáls elemek (pl. referenca pont típusa) következetes alkalmazása mellett [H4]. E jellemzőt szem előtt tartva smertetem a következőkben a módszertan fontosabb elemet. A GM két lépésben oldja meg a következmény előállításának feladatát. Az első lépésben egy új szabály nterpolácójára kerül sor a megfgyeléssel azonos pozícóban, am azt jelent, hogy az új szabály mnden antecedens nyelv értékének referenca pontja egybeesk a nek megfelelő dmenzóbel megfgyelést leíró fuzzy halmaz referenca pontjával. A módszertan első lépésében három feladatot kell megoldan. Ezek a következők.. Az nterpolált szabály antecedens halmaza alakjának a meghatározása. A [H4] rodalomban például a testmetszés alapú módszert (SCM Sold Cuttng Method) [H3], a rögzített ponton alapuló eljárást (FPL Fxed Pont Law) [H8] és a rögzített érték elvén lapuló eljárást (FVL Fxed Value Law) [H62] ajánlják e célra. 2. A konzekvens halmazok helyzetének (referenca pontjanak) meghatározása. Itt egy nterpolácós/approxmácós módszer szükséges, am nem feltétlenül kell lneárs legyen. Például a fuzzy szabály-nterpolácó alapegyenlete (FERI) [H45] s alkalmazható e célra. Egyes módszerek megkövetelk legalább két, a megfgyelést közrefogó szabály meglétét a számításokhoz, míg mások ennél több vagy az összes szabályt veszk fgyelembe a pozícó meghatározása során. 3. Az nterpolált szabály konzekvens halmaza alakjának meghatározása. A feladat hasonlóságából adódóan célszerű tt s az antecedens halmazalak számítására alkalmazott módszert használn. A GM a másodk lépésben az újonnan létrehozott (nterpolált) szabály segítségével állítja elő a következményt. Bár a megfgyelés és az új szabály antecedens halmazanak referenca pontja azonosak mnden bemenet dmenzóban, a halmazalakok általános esetben eltérőek lehetnek. Ezért a következményt egy ún. egyszabályos, vagy más néven szabálymódosításon alapuló következtetés módszer segítségével állítjuk elő. Ezen módszerek alapgondolata az, hogy amlyen mértékben hasonlít a megfgyelés a szabály antecedensére ugyanolyan mértékben kell hasonlítson a következmény a szabály konzekvensére. Ez például az FPL [H8] és a szemantka módosítás eljárások (SRM I és II, SRM Semantc Revson Method) [H62] segítségével s megoldható. Az értekezés első két tézsét alkotó halmaz-nterpolácós és egyszabályos következtetés módszerek, valamnt a segítségükkel létrehozott fuzzy szabály-nterpolácós módszerek a GM koncepcót követk. 2.6.2. Testmetszés alapú nterpolácó (SCM) A Barany, Gedeon és Kóczy által kdolgozott testmetszés alapú nterpolácó (SCM) - Sold Cuttng Method) [H3] jól alkalmazható a GM első lépésében az antecedens és konzekvens halmazok alakjának meghatározására. Az eljárás alapgondolata az, hogy az A * megfgyelést (ld. 8. ábra) közrefogó két antecedens halmaz (A és A 2 ) referenca pontjanál egy-egy függőleges tengelyt határozunk meg, majd ezek körül 9º-al elforgatjuk a két halmazt. Az ly módon előállított vrtuáls teret az S, X és μ ortogonáls koordnátatengelyek határozzák meg. A két halmaz a μxs síkkal párhuzamos síkokban fog elhelyezkedn (8. ábra). 9
2. Tudományos előzmények 8. ábra. Testmetszés alapú nterpolácó [H3] A következő lépésben egy felületet llesztünk a két halmaz körvonalára és tartójára, am egy testet eredményez. Ezután a megfgyelés referenca pontjánál elmetszük a testet egy a μxs-el párhuzamos síkkal. A metszetet vsszaforgatva a μxx síkba megkapjuk a becsült szabály antecedensét. Az új szabály következményét analóg módon a két szomszédos konzekvens és a referenca pont smeretében határozzuk meg. A módszer előnye, hogy bármlyen konvex halmazalak esetén alkalmazható, és mndg érvényes halmazalakot eredményez. Az SCM hátránya, hogy mplementácója gen bonyolult és számításgényes akkor, amkor nem trapéz vagy trapézzal leírható (háromszög, szngleton) alakúak az smert fuzzy halmazok. 2.6.3. Hasonlóság megőrzés módszer (ST) A hasonlóság megőrzés (ST - Smlarty Transfer) [2] módszert Yan, Mzumoto és Qao dolgozta k. Az eljárás alapgondolata az, hogy az α-vágatokat a referenca pontnál két részre osztják, majd egy alsó és felső hasonlóság mértéket (b/a és f/c a 9. ábrán) számolnak a szabály antecedens (A ) és a megfgyelés (A * ) között az azonos oldal α-vágatrészek arányaként. A következményt α-vágatonként számítják. A végpontokat úgy határozzák meg, hogy a szabály konzekvenséhez mért alsó és felső hasonlóság értéke egyezzen meg a feltétel oldalon számolt értékekkel. Az ST módszer a GM másodk lépésében alkalmazható a következmény kszámítására. Az eljárás egyszerű, ks számításgényű és hatékonyan alkalmazható ks karaktersztkus pontszámmal leírható CNF halmazalakok esetén. Az eljárás gyenge pontja a következők: nem képes egyelemű megfgyelések kezelésére, szubnormáls és nem-konvex esetekben nem használható, és nem tartalmaz megoldást a valós alkalmazásokban legtöbbször előforduló többdmenzós antecedens alaphalmaz esetére. 9. ábra. Az ST módszer jelölésrendszere 2
2. Tudományos előzmények 2.6.4. A lneárs revízós elven alapuló módszerek A Shen, Dng és Mukadono által kdolgozott lneárs revízós elven alapuló módszerek (pl. [H62]) jól alkalmazhatók a GM koncepcón alapuló szabály-nterpolácóban. A jelen szakasz két lyen eljárást (FPL és FVL) teknt át rövden. A rögzített pont törvénye (Fxed Pont Law - FPL) [H62] egy nterrelácónak nevezett függvénykapcsolat (Inter-Relaton Functon - IRF) segítségével egy egyértelmű leképezést defnál a szabály antecedens (A ) és konzekvens (B ) halmazának eleme között. Az így meghatározott téglalapot nterrelácós területnek (InterRelaton Area - IRA) nevez. A továbbakban, amennyben ez szükséges, az IRA-t és az érntett két fuzzy halmazt arányosan módosítja (A, B A t, B t ) úgy, hogy elérje az egybeesést az IRA megfelelő oldala és megfgyelés (A * ) tartója között (2. ábra). A továbbakban az eljárás abból a feltételezésből ndul k, hogy az így kapott IRF azonos a megfgyelés és a következmény (B * ) között valós nterrelácós kapcsolattal. Ezért a becsült következmény pontjat úgy számolja k, hogy az A * mnden kválasztott halmazelemére kszámolja a megfgyelés és az antecedens nyelv értékhez való tartozás mértékét kfejező tagság függvények különbségét, és ugyanezzel az értékkel módosítja a B t konzekvens halmaz nterrelácó által meghatározott pontjának tagság értékét (2. ábra). Az eljárás előnyös tulajdonsága, hogy az IRF bevezetése egy jól hangolható technkát eredményez. Hátrányaként említhető az IRF használat és az IRA módosítás következtében megnövekedett számításgény, a bonyolultabb megvalósíthatóság és az a tény, hogy csak CNF halmazok esetén használható. Az FPL-t eredetleg egydmenzós esetre dolgozták k, de a [H4] rodalomban találunk megoldás javaslatot a többdmenzós alkalmazásra s. 2. ábra. Interrelácós függvény és terület valamnt a következmény számítása A rögzített érték törvénye (Fxed Value Law - FVL) [H62] a tagság függvény értékek (μ) mentén haladva határozza meg a következményt. Mnden szükséges α sznten a megfgyelés (A * ) és az antecedens (A ) halmazok azonos oldal vágat végpontjanak távolságából (Δx L és Δx U a 2. ábrán) kndulva számítja k, hogy mlyen mértékben (Δy L és Δy U ) szükséges eltoln a konzekvens vágat végpontjat a módosítás során. 2. ábra. Az FVL jelölésrendszere 2