Doktori (Ph.D) értekezé Nyugat-magyarorzági gyetem, Faipari Mérnöki Kar Cziráki Józef Faanyagtudomány- é Tehnológiák Doktori Ikola Vezető: Dr. Dr. h.. Winkler Andrá egyetemi tanár Doktori program: Fazerkezetek Programvezető: Dr. Divó Feren CS. Tudományág: Anyagtudományok é tehnológiák A termézete faanyag nyíró-rugalmaági moduluzának meghatározáa Kézítő: Karáonyi Zolt Témavezető: Dr. Szalai Józef CS. Sopron
A termézete faanyag nyíró-rugalmaági moduluzának meghatározáa Értekezé doktori (PhD) fokozat elnyerée érdekében *a Nyugat-magyarorzági gyetem Cziráki Józef Faanyagtudomány-é Tehnológiák Doktori Ikolája Fazerkezetek programja Írta: Karáonyi Zolt **Kézült a Nyugat-magyarorzági gyetem Cziráki Józef Faanyagtudomány-é Tehnológiák Doktori Ikola Témavezető: Dr. Szalai Józef lfogadára javalom (igen / nem) Fazerkezetek programja keretében A jelölt a doktori zigorlaton... % -ot ért el, Sopron,... Az értekezét bírálóként elfogadára javalom (igen /nem) (aláírá)... a Szigorlati Bizottág elnöke lő bíráló (Dr.......) igen /nem... (aláírá) Máodik bíráló (Dr.......) igen /nem... (aláírá) (etleg harmadik bíráló (Dr.......) igen /nem (aláírá) A jelölt az értekezé nyilváno vitáján...% - ot ért el Sopron,..... a Bírálóbizottág elnöke A doktori (PhD) oklevél minőítée..... Az DT elnöke
Kivonat Karáonyi Zolt, oklevele faipari mérnök, oklevele energiagazdálkodái zakmérnök, egyetemi tanáregéd, Nym-FMK-Műzaki Mehanika é Tartózerkezetek Intézet A nyíró-rugalmaági moduluz az egyik fonto rugalma anyagállandó. A Youngmoduluz é a Poion tényező mellett a moduluz a harmadik rugalma tehnikai állandó, amely meghatározza a merevégi é alakíthatóági tenzort é fonto zerepe van fatartók alakváltozáában. Anizotrop anyagoknál lehetőég nyílik a nyírórugalmaági moduluz közvetett méréére. módzerrel a megfelelően orientált rúd alakú próbatetet tizta húzának vagy nyomának vetjük alá é mérjük a hoz- é kereztirányú fajlago hozváltozáokat. z a közvetett tehnológia egyzerű, ponto é kiküzöböli a közvetlen módzerek hátrányainak jelentő rézét. Így nin zükég különlege alakú próbatetre é bonyolult befogó berendezére, az alakváltozái é fezültégi állapot a befogópofáktól elegendően távol a próbatet nagy rézén egyenlete elozláú, illetve nem kell zögváltozát mérni, upán hozváltozát. A méréek orán meghatároztam a lufenyő (Piea Abie) nyíró-rugalmaági moduluzát többféle alakváltozá-mérő alapelv é húzó igénybevétel alkalmazáával, majd a kőri (Fraxinu xelior) -moduluzát húzó é nyomó próbateteken. Vizgálataim után megállapítottam, hogy az orientáió elmélet alkalma anizotrop anyagok nyíró-rugalmaági moduluzának a meghatározáára. Kulzavak: nyíró-rugalmaági moduluz, alakváltozá meghatározá optikai ezközzel, orientáió elmélet.
Abtrat Karáonyi, Zolt, MS of wood engineering, peial engineer of energy management, aitant leturer, Univerity of Wet Hungary, Faulty of Wood Tehnology, Intitute for Applied Mehani and Struture The hear modulu i one of the important elatiity ontant. The -modulu i the third tehnial elatiity ontant next to Young-modulu and the Poion-ontant. There i indipenable to know thi elati ontant during determination of hear defletion or alulation of train and dutility tenor. There i a poibility for meauring the hear modulu of aniotropi material on indiret way. By thi method we are loading the peimen by tenion or ompreion and meauring the deformation parallel with and perpendiular to the load diretion. Thi indiret method i imple, exat and it eliminate diadvantage of the diret meauring. So we do not need peial formed peimen and ompliated grip. The deformation and tre tate of the peimen i pread evenly in the middle of the peimen. It i not neeary to meaure the angle of deformation. We have to meaure only the length of deformation. I have determinated the hear modulu of Sprue (Piea Abie) uing two different ytem to meaure the deformation and tenile load. After it I have meaured Ah (Fraxinu xelior), uing tenion and ompreion load on the peimen. Baed on my examination I an etablih that the oriented method i uitable to determine the hear modulu of aniotropi material. Key word: hear-modulu, deformation meauring by opti equipment, aniotropi method, off-axi tet.
A termézete faanyag nyíró-rugalmaági moduluzának meghatározáa Bevezeté... 7. A nyíró-rugalmaági moduluz fogalma, jelentőége... 8.. Izotrop anyagok nyíró-rugalmaági moduluza (egyzerű é általáno Hooketörvény)... 8.. Anizotrop anyagok nyíró-rugalmaági moduluza... 5.. Az ortogonálian anizotrop faanyag rugalmaági moduluzainak rendzere... 9.. Tetzőlege íkhoz é irányhoz tartozó nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáa....5. A nyíró-rugalmaági moduluz zerepe egy egyzerű műzaki példa bemutatáával... 6. A nyíró-rugalmaági moduluz méréére zolgáló módzerek..... Közvetlen módzer alkalmazáa...... Statiku vizgálati módzerek...... Hagyományo eljárá...... Ioipeu elmélet... 5... Aran elmélet... 7... Négyzög kereztmetzetű rúd avaráa Négyzög kereztmetzetű rúd avaráa... 8...5. emez alakú próbatet avaráa... 5...6. Prizmatiku rúd közönége hajlítáa... 5... Dinamiku vizgálati módzerek... 5... Torzió rezgéek alkalmazáa... 5... Nyíróebeég mérée... 55... Timohenko elmélet... 56.. Közvetett módzer(ek) Az anatómiai vagy zerkezeti főirányokon kívül eő húzó vagy nyomó-igénybevétel alkalmazáa... 56. A közvetett módzer kíérleti megvalóítáa... 6.. Alakváltozá méré nyúlámérő bélyegekkel... 6.. Alakváltozá méré optikai ezközökkel... 67... A Videoextenzométer M 6... 67... A DIC D rendzer... 7 5
. A méréek kivitelezée, az adatok feldolgozáa, értékelée... 7.. A méréek kivitelezée... 7... Nyúlámérő bélyeg alkalmazáa... 7... DIC-D alkalmazáa... 75... Videoextenzométer alkalmazáa... 77... ufenyő (Piea Abie) -R anatómiai főíkban meghatározott nyírórugalmaági moduluza ( R )... 8... Kőri (Fraxinu exelior) -R, -T, é R-T anatómiai főíkokban meghatározott nyíró-rugalmaági moduluza ( R, T, RT )... 8.. Az adatok feldolgozáa... 8... Nyúlámérő bélyege méré adatfeldolgozáa... 8... Videoextenzométere méré adatfeldolgozáa... 86... DIC-D- méré adatfeldolgozáa... 88.. Az adatok értékelée... 89... Fenyő adatainak értékelée... 89... A Kőri faanyag méréi eredményeinek kiértékelée... 9 Özefoglalá... 96 Téziek... 98 Irodalomjegyzék... Közönetnyilvánítá... 5 6
Bevezeté A nyíró-rugalmaági moduluz az egyik fonto rugalma anyagállandó. Az Youngmoduluz é a Poion tényező mellett a moduluz a harmadik rugalma tehnikai állandó, amely meghatározza a merevégi é alakíthatóági tenzort. A rugalma állandók imeretében meghatározott, fenti tenzorok egítégével zámíthatjuk a fezültégi állapot alapján az alakváltozái állapotot vagy fordítva. A nyíró-rugalmaági moduluz ponto értékét azonban nem könnyű meghatározni, mérni. nnek oka, hogy egy előre kiválaztott kereztmetzetben tizta nyírát kíérleti körülmények között nehéz létrehozni. zen kívül a zögváltozá nagyágának meghatározáa i a bonyolultabb alakváltozá-méréi feladatok közé tartozik. zek a nehézégek azzal a következménnyel jártak, hogy napjainkra több tehnológiát i dolgoztak ki a nyíró-rugalmaági moduluz méréére. zek többége továbbra i tartalmaz valamilyen elméleti é/vagy mérétehnikai problémát. Anizotrop anyagoknál mint amilyen a faanyag i lehetőég nyílik a nyírórugalmaági moduluz közvetett méréére. módzerrel a megfelelően orientált rúd alakú próbatetet tizta húzának vagy nyomának vetjük alá é mérjük a hoz- é kereztirányú fajlago hozváltozáokat. z a közvetett tehnológia egyzerű é ponto. A terhelét egy univerzáli anyagvizgáló berendezéel (FPZ-) biztoítjuk, míg a kétirányú alakváltozá méréét egy optikai ezköz, a videoextenzométer egítégével végezzük el. Doktori munkám megkezdée előtt két élt fogalmaztunk meg témavezetőmmel. Az egyik a nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáa húzó vagy nyomó igénybevétel alkalmazáával, é az eredmények alapján a módzer elméleti hátterének az igazoláa. A máik él, a Mehanika Intézet új, optikai alakváltozá-mérő rendzerének alapo megimerée é mindennapi haználatának a begyakorláa. 7
. A nyíró-rugalmaági moduluz fogalma, jelentőége gy tehervielő zerkezetet élettartama orán zámtalan külő hatá, terhelé éri. zen terheléek következtében a zerkezeti elemek anyagában belő erők, fezültégek lépnek fel, illetve a zerkezet alakváltozát zenved. A tapaztalat azt mutatja, hogy a fezültégek (közvetve a külő terhelé) é deformáiók között valamilyen kapolat áll fenn. zt a kapolatot, özefüggét nevezzük anyagtörvénynek. Az egyik legfontoabb zilárdágtani feladat (a terhelé orán fellépő alakváltozá meghatározáa) modellezééhez elengedhetetlen az anyagtörvény imerete. Az anyagtörvény egyenleteiben általában a fezültégek zerepelnek független változóként, az alakváltozáok a függő változók. A függvénykapolatban zereplő együtthatók az úgynevezett anyagállandók. Az anyagállandók az adott mehanikai vielkedé zempontjából jellemzik az anyagot. Az anyagtörvény a legáltalánoabb eetben hat özefüggét jelent. zek lehetnek kalár-, differeniál- vagy integrálegyenletek. A gyakorlatban az egyik legegyzerűbb anyagmodell a lineárian rugalma anyag. z azt jelenti, hogy a fezültégek é az alakváltozáok lineári kapolatban vannak egymáal. A linearitát egyzerű fezültégi állapotokban előzör Robert Hooke (676) írta le. Általáno eetben a lineárian rugalma anyag deformáió-fezültég törvényét hat lineári egyenletből álló kalár egyenletrendzer írja le... Izotrop anyagok nyíró-rugalmaági moduluza (egyzerű é általáno Hooketörvény) Az izotrop anyagok jellemzője, hogy fizikai-mehanikai tulajdonágaik egy pontban minden irányban megegyeznek. zekről a fizikai tulajdonágokról laboratóriumi méréekkel zerezhetünk informáiót. Az anyagjellemzőket a megfelelően kialakított próbatetek különböző terheléének, é az emiatt bekövetkező alakváltozáoknak az alapján határozzuk meg. Meg kell azonban jegyezni, hogy lineárian rugalma anyagtörvényt feltételezve, az alakváltozá é fezültég között egyértelmű ok-okozati vizonyt felállítani nem lehet. Vagyi nem lehet eldönteni, hogy az erő hatáára keletkezik-e alakváltozá, vagy az alakváltozá hozza létre az erőt. Az anyagállandók meghatározáához mindkét mennyiéget, a fezültéget é az alakváltozát i (közvetlenül vagy közvetve) mérnünk kell. Annak következtében azonban, hogy az alakváltozá általában (néha zabad zemmel i) jól látzik, hajlamoak vagyunk feltételezni, hogy az erő hozza létre az alakváltozát, azaz az alakváltozá oka az erő. ineárian rugalma anyagtörvényt al- 8
kalmazva azonban ez a kérdé eldönthetetlen, de zerenére nin i gyakorlati jelentőége. Az alakváltozá é a fezültég (ill. terhelő erő) egymához való vizonyát derékzögű koordinátarendzerben ábrázoljuk ezt az adott anyag, adott terheléi módhoz tartozó jelleggörbéjének nevezzük (. ábra). A lineárian rugalma anyagtörvénynek az a nagy gyakorlati jelentőége, hogy bizonyo terhelé alatt zinte minden agyag lineárian rugalma, azaz korlátozottan az arányoági határ alatt minden anyag modellezhető a Hooke-törvénnyel. A Hooke-törvény nagyzerűége éppen egyzerűégében rejlik. [MPa] A A [%]. ábra: Az egyzerű Hooke-törvény lineárian rugalma anyag húzó (nyomó) jelleggörbéje Az elő ábrán bemutatott jelleggörbéből izotrop anyagú próbatet mehanikai tulajdonágára következtehetünk húzó (nyomó) igénybevétel alkalmazáa eetén. Az abiza tengelyen az fajlago alakváltozát (a hozváltozá é az eredeti hoz hányadoa), az ordináta tengelyen a húzófezültéget mérjük fel. Hooke törvénye értelmében bizonyo fezültégzintig (. ábra: A pont) alkalmazható a lineári rugalmaág törvénye az alkalmazott erőből é húzott felületből zármazó fezültég é a fellépő fajlago alakváltozá között. zerint a két mennyiég egymáal lineárian arányo:. Az arányoági tényező a rugalmaági (Young) moduluz. Jele:. Mértékegyége: [MPa]. zek zerint húzó vagy nyomó igénybevétel eetén a lineári kapolatot a fezültég é a fajlago hozváltozá között a következők zerint fogalmazhatjuk meg: 9
h. ahol, - a fellépő húzó vagy nyomófezültég, h - a fellépő fajlago alakváltozá (fezültég hatávonalával párhuzamo hozváltozá), - az arányoági tényező, a rugalmaági (Young) moduluz. Ugyanakkor húzó nyomó igénybevétel eetén nemak az igénybevétel irányával megegyező alakváltozá lép fel, hanem arra merőlegeen i történik hozváltozá. A kereztirányú fajlago hozváltozá arányo a hozirányú (fezültéggel megegyező irányú) fajlago hozváltozáal, azaz h k. Két, egymára merőlege fajlago hozváltozá közötti arányoági tényező a kereztirányú deformáió tényezője, az ún. harántnyúlái tényező, má néven a Poion-tényező. Jele:. Mértékegyége: [mm/mm]. zek zerint:. k h ahol, k - a fellépő fajlago alakváltozá a fezültégre merőlegeen, h - a fellépő fajlago alakváltozá a fezültéggel párhuzamoan, - az arányoági tényező, a Poion-tényező. A máodik ábrán bemutatott jelleggörbéből izotrop anyagú próbatet mehanikai tulajdonágára következtehetünk nyíró igénybevétel alkalmazáa eetén. Az abziza tengelyen a γ zögváltozát, az ordináta tengelyen a τ nyírófezültéget mérjük fel. A Hooke törvény értelmében bizonyo fezültégzintig (. ábra: A pont) alkalmazható a lineári rugalmaág törvénye az alkalmazott erőből é nyírt felületből zármazó fezültég é a fellépő fajlago alakváltozá között i. zerint a két mennyiég egymáal lineárian arányo: τ γ. Az arányoági tényező a nyíró-rugalmaági moduluz. Jele:. Mértékegyége: [MPa]. zek zerint:
τ γ. ahol, τ - a fellépő nyírófezültég, γ - a fellépő fajlago alakváltozá (zögelfordulá), - az arányoági tényező, a nyíró-rugalmaági moduluz. τ [MPa] τa A γ [rad]. ábra: Az egyzerű Hooke-törvény lineárian rugalma anyag nyíró jelleggörbéje Az izotrop anyagokat a rugalma vielkedé zempontjából az (.), (.) é (.) egyenletekben definiált három anyagi állandóval jellemezhetjük. Azonban a nyírórugalmaági moduluz (), a Young-moduluz () é a Poion-tényező () egymától nem függetlenek. Bizonyítható, hogy közöttük a következő kapolat áll fenn: ( ).. Az egye anyagállandók egy adott anyag anyagjellemzői. zeket az anyagállandókat egyzerű kíérletekkel, egyzerű fezültégi állapotoknak kitett próbateteken határozzuk meg. Felmerül a kérdé, milyen alakváltozá lép fel, ha egyzerre többfajta fezültégkomponen hat, vagyi özetett a fezültégi állapot? A koordinátarendzer x, y, z tengelyeivel párhuzamo élű elemi haábon működtetett húzó-, nyomó é nyíró fezültégeket, majd a keletkező alakváltozáokat vizgáljuk meg.
Húzó-, nyomó igénybevétel következtében hozirányú alakváltozá keletkezik az igénybevétel irányával párhuzamoan é arra merőlegeen (. ábra). A fezültégekre é alakváltozáokra a kétindexe jelölét alkalmazzuk, ahol az elő index mindig a ható erő irányára, a máodik index pedig az alakváltozá irányára utal. z xx y x xx. ábra: A Hooke-törvény húzó fezültégek okozta alakváltozá Normálfezültég eetén a Hooke-törvényt a következőképpen írhatjuk fel: xx xx, yy xx, é zz xx,.5 ahol, xx - a keletkező alakváltozá a ható fezültéggel megegyező irányban,, - a keletkező alakváltozá a ható fezültégre merőlege irányok- yy zz ban, xx - a ható fezültég, - a Poion-tényező, - a rugalmaági (Young) moduluz. Haonló módon írhatjuk fel a máik két irányban működő húzó-nyomó fezültégek okozta alakváltozáokat - y irányú normálfezültég eetén a Hooke-törvény: xx yy, yy yy, é zz yy,.6 é z irányú normálfezültég eetén a Hooke-törvény:
... xx zz, yy zz, é zz zz,.7 Abban az eetben, ha özetett a fezültégi állapot é mindhárom normálfezültég egyidejűleg működik, akkor az egye eetek fajlago hozváltozáai előjelhelyeen özeadódnak: x y z ( ) xx yy zz xx yy zz ( ) xx yy zz yy xx, zz ( ) xx yy zz zz xx yy,.8. A nyírófezültégek következtében keletkező zögelforduláokat a. ábrán mutatom be. z τ zx τ xz x y γxz Z. τ ZX τ XZ X γxz z τ yz τ zy x γzy Z. τ ZY τ YZ y Y γyz z γxy X. τ XY y τ yx τ xy x Y γyx τ YX. ábra: A Hooke-törvény nyírófezültégek okozta alakváltozá
A nyírófezültégek elő indexe annak a íknak a normália, amelyen a nyírófezültég hat, a máodik index pedig a nyírófezültég hatávonalával párhuzamo tengelyre utal. Az i,j indexű (i,j x,y,z) fezültég az i,j íkban okoz zögváltozát. A γ xy például az x, y íkban fellépő zögváltozát (az eredeti derékzög megváltozáát) jelöli. γ, így ij ij ij az i,j íkhoz tartozó zögváltozá felét jelöli, ij -t az i tengelyhez, ji a j tengelyhez rendeljük. Izotrop anyagnál a nyírófezültégek ak a aját hatóíkjukban okoznak zögváltozát. Az elemi haáb oldaléleinek eredeti hoza nem változik meg. A Hooke-törvényt alkalmazva valamennyi nyírófezültég komponenre megfogalmazhatjuk a lineárian rugalma anyagtörvényt: γ xy xy τ xy, ahol, xy xz γ xz xz τ xz é yz γ yz yz τ yz, τ,τ éτ - a fellépő nyírófezültég az egye íkokon, xy xz yz.9 γ,γ éγ - a fellépő zögváltozá (rad) az egye íkokban, - az arányoági tényező, a nyíró-rugalmaági moduluz. A nyíró-rugalmaági moduluz tehát olyan terheléi eeteknél befolyáolja az alakváltozát, ahol nyírófezültég keletkezik. Ha az igénybevételekből tizta nyírá zármazik, akkor ak a már bemutatott zögváltozáok lépnek fel. Nagy könnyebbég, hogy izotrop anyag eetén a normálfezültég ak hozváltozát okoz, nyírófezültég pedig ak zögváltozát é az egye fezültégfajták ninenek hatáal a máik által okozott alakváltozára. Általáno eetben a lineárian rugalma anyag deformáió-fezültég törvényét hat, az (.8) é (.9) lineári egyenletekből álló egyenletrendzer írja le é a Hooketörvény általáno alakjának nevezzük. zt az egyenletrendzert tenzoriáli alakban ij ij S ij δ, i, j, k, l x, y, z. é mátrix formában i felírhatjuk:
xx yy zz [ x y z xy yz zx ]. τ xy τ yz τ zx ahol, ij - az alakváltozái állapot tenzora, ij - a fezültégi állapot tenzora, - a nyíró-rugalmaági moduluz, - a Poion-tényező, S -, ij δ - a Kroneker-delta... Anizotrop anyagok nyíró-rugalmaági moduluza Anizotrop anyagok alatt azokat az anyagokat értjük, amelyek fizikai-mehanikai tulajdonágai egy adott pontból kiinduló különböző irányokban nem egyeznek meg. A különböző anizotrop anyagokat felépítő mikro- é makro egyégek (atomok molekulák; ejtek - zövetek) minden eetben valamilyen rendezettéget mutatnak az anyag zerkezeti felépítéében. z a rendezettég - egyfajta zabályo felépíté lehet termézete é meterége eredetű. Rugalma anyagtörvényt alkalmazva a tet egy adott pontjában fellépő fezültégi állapot komponenei ak a pillanatnyi alakváltozái állapot komponeneitől függenek é fordítva. Anizotrop anyag eetében a legáltalánoabb feltételezé az, hogy valamennyi fezültégkomponen függvénye valamennyi alakváltozái komponennek é fordítva. z alapján az anizotrop anyagok általáno Hooke-törvényét a következő özefüggéekkel adhatjuk meg: ij kl ijkl, i, j, k, l,,,. vagy ennek inverze: 5
ahol, ij ijkl, i, j, k, l,,,. kl ij, kl - az alakváltozái állapot tenzora, ij, kl - az fezültégi állapot tenzora, ijkl - alakíthatóági anyagtenzor, ijkl - merevégi anyagtenzor. Az anizotrop anyagok általáno Hooke-törvényét a következő, mátrix elrendezében (reprezentáióban) i megadhatjuk az (.) nak megfelelően: [ ]. illetve az (.) nek megfelelően felírva: [ ].5 Az (.) é (.5) egyenletek a következő indexe jelölét haználva egyzerűödnek: 5 6,,,,,,,, 5 6,,,, 6
7 Ha kiírjuk az eredeti é a módoított mátrixegyenletek algebrai egyenletek formájában, könnyen megkapjuk a rugalma állandók két-indexe formájának kapolatát az eredeti rugalmaági tenzorok komponeneivel: 66 65 6 6 6 6 56 55 5 5 5 5 6 5 6 5 6 5 6 5, 66 65 6 6 6 6 56 55 5 5 5 5 6 5 6 5 6 5 6 5. zekkel a rugalma anyagtörvény mátrix-alakja: [ ] 6 5 6 5 66 65 6 6 6 6 56 55 5 5 5 5 6 5 6 5 6 5 6 5,.6 é [ ] 6 5 6 5 66 65 6 6 6 6 56 55 5 5 5 5 6 6 5 6 5 6 5,.7 vagy rövidítve ] [ ] [ ] [ ij j i, i, j,,,, 5, 6.8
8 ahol, j - az alakváltozái állapot or- vagy ozlopmátrixa, i - az fezültégi állapot or- vagy ozlopmátrixa, ij - merevégi anyagmátrix, é ] [ ] [ ] [ ij j i, i, j,,,, 5, 6.9 ahol, ij az alakíthatóági anyagmátrix. Az alakíthatóági (é merevégi) mátrix komponeneit i kifejezhetjük a rugalma állandók, így a nyíró-rugalmaági moduluz felhaználáával. Az (.7) mátrixegyenlet a rugalma tehnikai állandókkal a következőképpen néz ki: [ ] 6 5 6 5 6 5 56 6 6 6 6 6 65 5 5 5 5 5 6 6 5 5 6 6 5 5 6 6 5 5 6 6 5 5,. ahol, i - (i,,,, 5, 6) az alakváltozái állapot tenzora, j - (j,,,, 5, 6) az fezültégi állapot tenzora, i - (i,, ) az i irányhoz tartozó rugalmaági moduluz, i - (i, 5, 6) az i jelhez tartozó, tengelyek közötti zögváltozának megfelelő nyíró-rugalmaági moduluz, ij - (i, j,,,, 5, 6) az ún. kölönhatái tényezők, bizonyo feltételek fennálláa eetén éppen a Poion-tényezők.
Az (.) é (.5) egyenletekből adódik, hogy a legáltalánoabb eetben a rugalma tenzorok komponeneinek a záma 8. Azonban a fezültégi, alakváltozái é merevégi (illetve alakíthatóági) tenzorok zimmetriájából (ez utóbbi a rugalma poteniál létezéének következménye) adódik, hogy általánoan db az anyagtenzorok független komponeneinek záma. z a zám tovább ökken, ha valamilyen zerkezeti rendezettéggel, zerkezeti zimmetriával rendelkezik az anyag. A különböző anyagokat különböző kritályrendzerekbe lehet beorolni, annak függvényében, hogy mekkora mértékű ez a rendezettég, mennyire zabályo az adott anyag zerkezeti felépítée. Az a tény, hogy az adott anyag rendelkezik valamilyen zerkezeti zimmetriával, hatáal van a fizikai-mehanikai tulajdonágok zimmetriájára i. A zerkezeti é a fizikaimehanikai tulajdonágok zimmetriája közötti kapolatot a következőképpen foglalhatjuk öze: a kritályok a fizikai-mehanikai tulajdonágok anizotrópiája zempontjából keveebb oportba orolhatók, mint zerkezeti zimmetriájuk alapján. Azaz egy anyag a fizikai-mehanikai tulajdonágok tekintetében legalább ugyanazzal, vagy még tökéleteebb zimmetriával rendelkezik, mint a zerkezeti zimmetriája. Így, ha imerjük egy anyag zerkezeti felépítéét, hogy milyen é hány darab úgynevezett zimmetriaelemmel rendelkezik, akkor az adott tulajdonágot jellemző független anyagjellemzők zámát i meghatározhatjuk. Ilyen zimmetriaelem lehet a entráli tükrözé, a íktükrözé vagy az n-fogáú forgatótengely. zek alapján különböző kritályrendzerekbe orolhatjuk az anyagokat, mint monoklin, rombiku, hexagonáli, trigonáli, tetragonáli, köbö rendzer, é végül az izotrop anyag... Az ortogonálian anizotrop faanyag rugalmaági moduluzainak rendzere A faanyag az előbb említett zimmetriaelemek közül három darab, egymára merőlege -fogáú forgatótengellyel rendelkezik. Azaz található a fatet zerkezetében olyan tengely, amely körül ϕ π n π π zöggel elforgatva adott pont helyvektorát, ugyanolyan tulajdonágú pontot kapunk. zek a tengelyek megfelelnek a faanyag anatómiai főirányainak. Bizonyítható, hogy a -fogáú forgatótengely egy a forgatótengelyre merőlege zimmetriaíkkal egyenértékű, így a faanyag három egymára merőlege zimmetriaíkkal i rendelkezik, ezek a faanyag anatómiai főíkjai, a bütü-, a ugár- é az érintő ík. Az ilyen anyagokat a kritálytanban a rombiku kritályoztályba oroljuk. A termézete faanyag tehát rombiku anizotrópiával rendelkezik. A műzaki gyakorlat- 9
ban azonban a zimmetria-elemek merőlegeége miatt ortogonálian anizotropnak zoktuk hívni. Bizonyítható, hogy az ortogonálian anizotrop anyagokat a rugalmaág zempontjából 9 független adattal jellemezhetjük. A faanyag általáno Hooketörvényének (.6) é (.7) mátrixkifejezéében a merevégi é alakíthatóági mátrixok zerkezeti felépítée a következő lez: [ ] 6 5 6 5 66 55,. illetve [ ] 6 5 6 5 66 55,. A rugalma tehnikai állandókkal kifejezve az (.) egyenlet: [ ] 6 5 6 5 R T RT T R RT T T TR R R T T R R,. ahol, i - (i,,,, 5, 6) az alakváltozái állapot tenzora,
j - (j,,,, 5, 6) az fezültégi állapot tenzora, i - (i, R, T) az i irányhoz tartozó rugalmaági moduluz, ij - (i, j R, T, RT) az i jelhez tartozó, tengelyek közötti zögváltozának megfelelő nyíró-rugalmaági moduluz, ij - (i, j R, T, RT, R, T, TR) a kereztirányú deformáió tényezője, má néven a Poion-tényező... Tetzőlege íkhoz é irányhoz tartozó nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáa gy anyag valamely fizikai-mehanikai tulajdonágának iránytól való változáát a legzemléleteebben az úgynevezett anizotrópia felület megrajzoláával lehet bemutatni, amennyiben egy adott pontban imerjük valamennyi irányhoz tartozó anyagjellemzőt. A tulajdonágvektor komponenei eltérő helyzetű koordinátarendzerekben nem egyeznek meg. gy adott tulajdonágvektor é az anizotrópia felület alakja azonban nem függhet attól, hogy milyen koordináta rendzerben értelmezzük. zért a két különböző koordináta rendzer között valamilyen kapolatnak kell fennállnia annak érdekében, hogy az egye tulajdonágvektor komponeneit az egyik rendzerből a máikba átzámolhauk. Általánoan a következő zabály érvénye: i j k l t i j k l t ijkl i j k l,. ahol i' j' k' i, j, k, l x', y', z' ; i, j, k, l x, y, z, t i j k l - (i j k l,, ) a tulajdonágkomponen kalár értéke a vező koordináta rendzerben, t ijkl - (i j k l,, ) a tulajdonágkomponen kalár értéke a vezőtlen koordináta rendzerben, i j k l,,, iránykozinuzok a vező é a vezőtlen koordináta rendzerek között. l' Abban az eetben, ha a vizgált tulajdonág nemak egy irányhoz, illetve íkhoz tartozik, hanem az adott íkon belül az irány i jellemző, akkor a két különböző helyzetű, de közö középpontú koordinátarendzer között az 5-7. ábraorozaton bemutatott kapolat áll fenn. A tetzőlegeen megválaztott ík a vezőtlen (x, y, z) koordinátarendzer tengelyeit az A, B, é C pontokban metzi el. A vező koordinátarendzer x tengelye a tetzőlegeen felvett ík normália lez, az y z ík pedig az ABC íkkal párhuzamo lez. lő lépében az eredeti koordináta rendzer z tengelye körül forgatjuk el ϕ zög-
gel az x é y tengelyeket (5. ábra). Máodik lépében az x y z koordinátarendzer y tengelye körül forgatjuk el δ zöggel az x é z tengelyeket (6. ábra). zzel a két lépéel bármilyen, általáno helyzetű ík egyértelműen meghatározható normáliával. bben a tetzőlege íkban a vizgált tulajdonágra jellemző irányt az x y z koordinátarendzer y é z tengelyeinek x tengely körüli forgatáával (ψ) kapjuk meg (7. ábra). három lépéel jutottunk el az eredeti xyz koordinátarendzerből az x y z koordinátarendzerbe. átható, hogy az x tengely helyzetét a ϕ é δ zögek egyértelműen meghatározzák. Az adott íkon belül az y, z tengelyek helyzetét ψ zög adja meg. bben az eetben az iránykozinuzok a következő táblázatban foglalhatók öze: zz y ϕ y ϕ x x 5. ábra: A kiinduló koordinátarendzer forgatáa az z tengely körül
z z δ yy y δ x x x 6. ábra: Az x y z koordinátarendzer forgatáa y tengely körül z' z z y' ψ ψ y y x xx' 7. ábra: Az x y z koordinátarendzer forgatáa x tengely körül a végeredmény az x y z elforgatott koordinátarendzer
i j k l. táblázat:,,, ( i, j, k, l,, ; i, j, k, l,, ) iránykozinuzok megadáa i' j' k' l' x y z x oϕ oδ inϕ oδ inδ ' y oϕ inδ inψ - inϕ oψ inϕ inδ inψ oϕ oψ oδ inψ ' ' z oϕ inδ oψ inϕ inψ inϕ inδ oψ oϕ inψ oδ oψ ' ' ' ' ' ' Az anizotrop faanyag anyagjellemzői közül a nyírófezültég, illetve a nyírórugalmaági moduluz olyan tulajdonágok, amelyekre egy adott ík é az abban felvett irány i jellemző (8. ábra). A tetzőlegeen felvett ík tetzőlege irányához tartozó nyírófezültég é a hozzá tartozó nyíró-rugalmaági moduluz három zög (5.-7. ábra: ϕ, δ éψ) függvénye. Az. egyenletet alkalmazhatjuk az alakíthatóági, illetve merevégi mátrixokra i: i j k l i j k l ijkl i j k l é.5 é i j k l ijkl i j k l i j k l,.6 ahol i i' i, j, k, l x', y', z' ; i, j, k, l x, y, z ; x, y R é z T, i j k l - alakíthatóági anyagtenzor a vező koordináta rendzerben, ijkl - alakíthatóági anyagtenzor a vezőtlen koordináta rendzerben, i j k l - merevégi anyagtenzor a vező koordináta rendzerben, ijkl - merevégi anyagtenzor a vezőtlen koordináta rendzerben, ( i, j, k, l ϕ, δ, ψ ) - a vezőtlen koordináta rendzer helyzetét megadó zögek kozinuzai, ( i, j, k, l ϕ, δ, ψ ) - a vező koordináta rendzer helyzetét i i megadó zögek kozinuzai.
. T τ T. T. T τ TR R τ R τ R R τ RT R τ T 8. ábra: Az anatómia főíkokon fellépő nyírófezültégek az anizotrop faanyag eetében Ha i, j, k, l é i, j, k, R, T behelyetteítét, majd az özevonáokat elvégezzük az. egyenletben, akkor a következő általáno képletet kapjuk: '''' ' ' ( ( ( ( ( ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) ) ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) ) ).7 bben az eetben a R nyíró-rugalmaági moduluz változáának általáno özefüggéét kapjuk meg. Amennyiben az alakíthatóági anyagtenzor vezőtlen elemeit kifejezzük a faanyag rugalma állandóival, a tranzformáió tagokat pedig az. táblázatot felhaználva adjuk meg, akkor a ϕ, δ éψ zögek függvényeként egyértelmű özefüggét kapunk az RT anatómia főíkhoz tartozó nyíró-rugalmaági moduluz változáára. Mivel a vezőtlen koordináta-rendzer tengelyei a faanyag anatómiai főirányainak felelnek meg, ezért miden eetben a ϕ zög a T, a δ zög az R, a ψ zög az anatómiai főirányok körüli forgatának felel meg. Ugyanakkor az egye tengelyek körüli forgatáok orrendje nem mindegy, az alapvetően befolyáolja a tranzformáió mátrixot. 5
'''' R T R R T T TR T in δ in δ in ϕ o δ in δ o δ in ψ inϕ oϕ o δ oϕ inψ inδ o δ inϕ inψ inδ o δ RT T R in ϕ o δ oϕ inϕ o ϕ o δ ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ) ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ) (o ϕ o δ ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ) ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ) ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) (in ϕ o δ in ψ inϕ o δ inψ inδ ) (o ϕ o δ in ψ inδ oϕ inψ o δ ) ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ) ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ) o δ ( inϕ inδ inψ oϕ oψ) ( oϕ inδ inψ - inϕ oψ)) A gyakorlati anyagvizgálatok zempontjából olyan peiáli eeteknek van jelentőége, amikor a három változó zög közül ak egy a változó, a máik kettő pedig kontan, vagy π/, értéket vez fel. A következő egyenletekben ezeket foglaltam öze:.8 Ha ϕ π, δ é ψ (9/. ábra), akkor ' R' R o ϕ in ϕ R R R,.9 ha ϕ π, δ é ψ π/ (9/. ábra), akkor 'R' o ϕ in ϕ,. T RT ha ϕ, δ π, é ψ (9/. ábra), akkor 'R' o δ in δ,. R RT 6
... zt. zt y' ψ yr yr x ϕ. ϕ π δ ψ π/ T( ϕ) R y' x' x ϕ. ϕ π δ ψ T( ϕ ) T x'. zt y'. zt x' δ. yr ϕ δ π ψ ( δ) R T x' δ. y' yr ϕ δ π ψ π/ T( δ) R x x 5. zt 6. y' x' zt y' x' δ yr ϕ π/ δ π ψ ( δ) RT δ yr ϕ π/ δ π ψ π/ ( δ) R x x 7. ztx' 8. zt yr ϕ δ π/ ψ π R( ψ) R y' ψ yrx' ϕ π/ δ ψ π T( ψ) T x ψ y' x 9. zt ψ y' yr ϕ δ ψ π ( ψ) R xx' 9. ábra: A nyíró-rugalmaági moduluzhoz tartozó nyírófezültégek változáának kilen peiáli eete 7
ha ϕ, δ π, é ψ π/ (9/. ábra), akkor ' R' T o δ in δ,. T T T T ha ϕ π/, δ π, é ψ (9/5. ábra), akkor 'R' o δ in δ,. R T ha ϕ π/, δ π, é ψ π/ (9/6. ábra), akkor ' R' RT o δ in δ,. R T R RT RT ha ϕ, δ π/, é ψ π (9/7. ábra), akkor 'R' o ψ in ψ,.5 RT T ha ϕ π/, δ, é ψ π (9/8. ábra), akkor 'R' o ψ in ψ,.6 R TR ha ϕ, δ, é ψ π (9/9. ábra), akkor 'R' o ψ in ψ..7 R T Az (.8) egyenlet egyértelműen megadja a nyírórugalmaági moduluz függvényét tetzőlege íkhoz é irányhoz. Ha további anatómiai főíkokban értelmezett, má irányú nyíró-rugalmaági moduluz változáának az általáno képletét zeretnénk megkapni, akkor azt az i, j, k é l tagok változtatáával érhetjük el. Mivel az.8 egyenletben a moduluz változá három zög függvénye, így mind a három változó figyelembevételével grafikonon bemutatni az anyagjellemző módouláát nem lehet. Ugyanakkor az.9-.7 egyenletekben feltételezett peiáli eetekben már ak egy változó van. A 9. ábrán az előbbi kilen, peiáli egyenletnek megfelelő tranzformáió ematiku képét ábrázoltuk. Ha az előbbi kilen peiáli eet R változáát diagramon áb- 8
rázoljuk, akkor két, különböző jellegű grafikont kapunk. Kiinduló adatnak az rdei fenyő (Pinu ilvetri) anyagállandóit (Szalai ()) feltételezzük: 6 [MPa], R [MPa], T 57 [MPa], T 68 [MPa], R 6 [MPa], RT 66 [MPa], R,, R,8, T,68, T,5, TR,, RT,68.. ábra: Az erdei fenyő nyíró-rugalmaági moduluz változáa az az -R anatóma főíkban a 9/. ábrának megfelelő.9 egyenlet zerint A. ábra az.9 egyenletnek megfelelő görbét mutatja. Az. é. egyenletek görbéi i haonló jellegűek leznek.. ábra: Az erdei fenyő nyíró-rugalmaági moduluz változáa a 9/. ábrának megfelelő.5 egyenlet zerint A. ábra az.5 egyenletnek megfelelő görbét mutatja. Az.,.,.,.5,.6 é.7 egyenletek görbéi i haonló jellegűek leznek. 9
A fejezet íme zerint a nyíró-rugalmaági moduluz tetzőlege íkhoz tartozó változáának a bemutatáa az elődlege él. Ugyanakkor tudni kell, hogy bármely anyagállandó változáát az.5 egyenlet alkalmazáával jellemezhetjük. Szoroan nem kapolódik a témához, de a kéőbbiekben jelentőége lez a Poion tényező változáának az imeretére. Ha az.5 egyenletbe az i, j, k, l é i, j, k, R, T-t behelyetteítjük, majd az özevonáokat elvégezzük, akkor a következő általáno özefüggét kapjuk: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.8 bben az eetben a R Poion tényező változáának általáno özefüggéét kapjuk meg. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oψ inψ - in inδ o oψ o inψ inδ in in δ o o oψ inψ - in inδ o δ o o inδ inψ oψ o inψ inδ in inδ δ o in inψ ) in ψ in δ o oψ o inψ inδ in δ (in ) o ψ in δ o oψ in inψ - inδ o δ (in ) oψ o inψ inδ in δ o o oψ inψ - in inδ o δ o (in ψ in δ o δ in oψ o inψ inδ in δ o in oψ in inψ - inδ o δ o o R T RT T TR T T R R T R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.9
Amennyiben az alakíthatóági anyagtenzor vezőtlen elemeit kifejezzük a faanyag rugalma állandóival, a tranzformáió tagokat pedig az. táblázatot felhaználva adjuk meg, akkor a ϕ, δ éψ zögek függvényeként egyértelmű özefüggét kapunk az R anatómia főíkban értelmezett Poion tényező változáára (.9). A moduluz változáánál felvett kilen peiáli eetet, ha itt i alkalmazzuk, akkor az eredményül kapott özefüggéeket felépítéük jellege zerint itt i két oportba orolhatjuk: Ha ϕ π, δ é ψ, akkor 'R' ' R R o ϕ in ϕ,. R R R R ha ϕ π, δ é ψ π/, akkor 'R' ' T TR o ϕ in ϕ.. T T A R. é. zerinti változáát a következő diagramok mutatják be. Kiindulái adatoknak az előbb feltételezett lufenyő rugalma állandóit vettük imét figyelembe.. ábra: rdei fenyő Poion tényezőjének változáa az. egyenlet zerint
. ábra: rdei fenyő Poion tényezőjének változáa az. egyenlet zerint A grafikonok felvételéhez zükégünk van az. é. egyenletek bal oldalán zereplő hányadook nevezőjében zereplő értékek imeretére. z nem má, mint az - moduluz változáa a zög függvényében. Az meghatározáát zintén az.5 egyenlet felhaználáával végezhetjük el, a nyíró-rugalmaági moduluz é Poion zám változá meghatározáának a menete zerint: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,. ami alapján: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ R T RT R RT T R R T R ' in δ o o δ in δ o o δ in in δ o δ in in δ o δ in δ o o in δ o o δ in δ o in δ o o.
Ha ϕ π, δ é ψ, akkor ' o ϕ R in ϕ R R o ϕ in ϕ R o ϕ in ϕ,. ha ϕ π, δ é ψ π/, akkor ' o ϕ R in ϕ R R o ϕ in ϕ R o ϕ in ϕ..5 Jól látható, hogy a rugalmaági moduluz változáát egy azono felépítéű egyenlettel jellemezhetjük.. ábra: Az -moduluz változáa az. é.5 egyenletek zerint Az.. é. egyenletekből a következő egyenlőéget kapjuk a változáára: 'R' R R o α in α R R R R..6 R o α in α o α in α o α in α R R R A Kőri (Fraxinu exelior) Poion tényező -R anatómiai főíkhoz tartozó változáát Szalai () könyvében közölt adataival zámíthatjuk ki. zek: 58 [MPa], R 5 [MPa], T 8 [MPa], T 89 [MPa], R [MPa], RT 7 [MPa],
R,6, R,5, T,5, T,, TR,6, RT,7. zen adatok behelyetteítéével ábrázolhatjuk a Poion tényező változáát az -R anatómiai főíkban (5. ábra). Jól látható, hogy α5 eetén a Poion tényező nagyon alaony. 5. ábra: A Poion tényező változáa a zög függvényében (.6) eetén Szalai () adatai alapján 6. ábra: Poion tényező változáa a zög függvényében (.6) eetén Molnár () adatai alapján
Ha Molnár () adatait vezem kiindulának: 5798 [MPa], R 875 [MPa], T 68 [MPa], T 8 [MPa], R [MPa], RT 5 [MPa], R,58, R,59, T,556, T,, TR,67, RT,77 (6. ábra). Özehaonlítva a két görbét látható, hogy 5 -o orientáiónál kétzer akkora a Poion-tényező értéke. A 7. ábrán a változáát mutatom - alapadatoknak Szalai () adatit haználom fel, haonlóan az 5. ábrához, ak a R értékét változtattam meg. Az -R anatómia főíkhoz tartozó nyíró-rugalmaági moduluz értékét MPa-lal, 5 MPa-ra növeltem. 7. ábra: Poion tényező változáa a zög (.6) eetén Amennyiben az anatómiai főirányok rendzerében zereplő rugalma állandók bizonyo értéket veznek fel, α5 eetén még akár negatív értéket i felvehet a - ezt mutatják a. é 7. ábrák. Az 5 7. ábrákon láthatjuk, hogy a Poion tényező értéke igen érzékeny a faanyag rugalma jellemzőire. Már ki tehnikai rugalma állandó változékonyág i vizonylag jelentő Poion tényező változát eredményezhet. gy adott próbatet vizgálata orán tehát tudomául kell vennünk, hogy a próbatet véletlenzerű rugalma tulajdonágai i befolyáolják a méréi eredményeket. zt a hibát ak úgy küzöbölhetjük ki, ha a méré előtt megmérjük a próbatet öze rugalma jellemzőjét, vagy elegendően nagyzámú kíérletet végzünk, hogy a véletlenzerű hibákat tatiztikai módzerekkel ejtük ki. Mindkét megoldá igen költége. 5
.5. A nyíró-rugalmaági moduluz zerepe egy egyzerű műzaki példa bemutatáával Adott egy kéttámazú, négyzög kereztmetzetű tartó (8. ábra). A tartó közepén konentrált erő hat. A tartó önúlyát nem vezük figyelembe. A tartó pillanatnyi telje lehajláát határozzuk meg a tartó közepén. Azt vizgáljuk meg, hogy mekkora a tartó hajlítából é nyírából zármazó lehajláa két különböző anyag, fa é aél alkalmazáa eetén. A Catigliano-tétel kimondja, hogy az alakváltozái energiának a zerkezetet terhelő valamely konentrált erő zerinti pariáli deriváltja megadja az erő támadápontjának az erő irányába eő elmozduláát (.7). 8. ábra: Konentrált erővel terhelt, négyzög kereztmetzetű, kéttámazú tartó kereztmetzeti jellemzők, ébredő maximáli fezültégek U b f,.7 F ahol U b - az alakváltozái vagy belő poteniáli energia, F a tartót terhelő konentrált erő, f- a tartó alakváltozáa, illetve lehajláa az F erő támadápontjában, az F hatávonalának irányában. 6
7 A külő erők aját munkája megegyezik a tartóban a terhelé hatáára ébredő poteniáli belő energiával, ami a következő özefüggéel határozható meg: dv ) ( W U V ij ij ij b b,.8 ahol W b a belő erők munkája, U b - az alakváltozái vagy belő poteniáli energia, ij a tartót terhelő konentrált erőből zármazó fezültégek, ij - a tartót terhelő konentrált erőből zármazó alakváltozáok. A 8. ábrán bemutatott kéttámazú tartó a közönége hajlítá egyzerű példája. bben az eetben a keletkező alakváltozáokat ( é ϕ ) az ébredő fezültégek ( max é max τ ) é az anyagállandók ( é ) egítégével, az egyzerű Hooke-törvény zerint fejezzük ki, é ezek egítégével határozzuk meg az U b telje belő energiát, ami a hajlítából é nyírából zármazik: ny b h b V V ij V ij ij ij b U U dv τ dv τ) ( dv ) ( U ϕ,.9 A hajlítából zármazó belő poteniáli energia zámítáa: [Nm] I 96 F b I 96 a F b I 96 a F b I 96 a F y I 96 a F dy y I 96 a F dy y I 96 x F dxdy y I 96 F da y I 96 F da y I (z) F dz da y I (z) F dv y I F dv y I M dv U b/ b/ y y a/ a/ y x A A A z V V V h b,.5
8 A nyírából zármazó belő poteniáli energia zámítáa: [Nm] A 8 F, I 8 b a F 9 b a 6 b a 8 b a 9 b a 6 b a 8 b a I 8 F y b a y a 6 y b a I 8 F dy a y a 8 b a I 8 F dy a S I 8 F dy x a I 8 S F dxdy a I 8 S F da a I 8 S F da z a I 8 S F dzda a I 8 S F dv a I 8 S F dv v I S F dv U 5 5 5 5 5 5 5 b/ b/ 5 y y y a/ a/ y x A A A z V V V ny b τ.5 A telje belő poteniáli energia: [Nm] A 8 F, I 96 F U U U ny b h b b..5 A Catigliano-tétel alkalmazáa, az erő támadápontjának az erő irányába eő elmozduláának zámíta: [m] A F, I 8 F f f df U df U df du ny h ny b h b b.5 ahol f h a tartó hajlítából zármazó lehajláa az F erő hatávonalának irányában, f ny - a tartó nyírából zármazó lehajláa az F erő hatávonalának irányában, I a kereztmetzet máodrendű tatikai nyomatéka, a tartó alátámaztái köze, a tartó anyagának rugalmaági moduluza, a tartó anyagának nyíró-rugalmaági moduluza. Az.5.5 képleteket é az alábbi adatokat felhaználva a. táblázatban foglaltam öze az eredményeket. F 5 kn, 5,5 m, a m, b m, fa N/mm, fa 5 N/mm, aél 6 N/mm, aél 8 N/mm.
. táblázat: A fa é aél tartózerkezetek lehajláának özehaonlítáa f h,fa [mm] f ny,fa [mm] f fa [mm] f h,aél [mm] f ny,aél [mm] f aél [mm] 6,99,8 67,7,786,5 -,8 f h,fa /f fa [] f h,aél /f aél [] 6,99 / 67,7,96 96,%,786 /,8,996 99,6% f ny,fa /f fa [] f ny,aél /f aél [],8 / 67,7,68,68%,5 - /,8,9,9% fa / fa [] aél / aél [] / 5 6/ 8,575 átható, hogy faanyag eetében a nyírából zármazó lehajlá mintegy %, nem elhanyagolható, zemben az aéllal. nnek magyarázata, hogy az aél Young moduluzának é nyíró-rugalmaági moduluzának hányadoa körülbelül tized akkora, mint faanyag eetében. Ha megvizgáljuk a telje lehajlá é a hajlítái alakváltozá vizonyát, a következő özefüggét kapjuk: f f h b,.5 Jól láthatóan elkülönül a zerkezet geometriai méreteinek é rugalma tulajdonágainak zerepe. Ha egy ugyanolyan geometriai tulajdonágokkal rendelkező tartót kézítünk különböző anyagokból, akkor a nyírái lehajlá mértékét az / vizony fogja meghatározni (hizen az.5 képletben minden má paraméter állandó). Általánoágban kijelenthetjük, hogy a nyírái lehajlá mértékét az / (illetve /) vizony nagyága határozza meg. Ha ez nagy (-hez képet a kii, mint például faanyagnál), akkor a nyírái lehajlá egyre nagyobb zerepet játzik. 9. ábra: Nyírái alakváltozá változáa a tartó /b arányának a függvényében 9
. ábra: Nyírái alakváltozá változáa a tartó / arányának a függvényében A 9. é. ábrákon a nyírából zármazó lehajlá nagyágát mutatom be a geometriai adatok, illetve az anyagállandók változáának a függvényében. A 9. ábrán az anyagállandók kontanok, míg a. ábrán a geometriai adatok állandók. Faanyag eetén tehát a nyírái lehajlá nem hanyagolható el. zért fazerkezetű tehervielő zerkezetek méretezée orán a faanyag nyíró-rugalmaági moduluzának az imerete igen fonto. z nemak termézete faanyagból vagy ragaztott zerkezetből kézült hagyományo zerkezetekre igaz, hanem valamennyi falapú zerkezetre érvénye. Napjainkban egyre nagyobb zerepe van az építőiparban a különböző födém- é zendvipaneleknek (Stek (5)). De a különböző keretzerkezetek eetében i komoly alakváltozái problémák léphetnek fel, ami nagyon lényege a zerkezet mértezée orán.
. A nyíró-rugalmaági moduluz méréére zolgáló módzerek Ortotróp anyagok nyíró-rugalmaági moduluzának meghatározáára több kíérleti módzert dolgoztak ki. Számo eetben az izotrop anyagokra, előorban a fémekre kidolgozott eljáráokat alkalmazták a faanyaggal kapolato kutatáok orán. Azonban ezeknek a módzereknek a legtöbbje az adott eljárára jellemző anyagállandót ad.. ábra: A nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáának lehetőégei özefoglaló. táblázat: A nyíró-rugalmaági moduluzok értékei különböző eljáráok é fafajok eetén Módzer a moduluz meghatározáára R [MPa] T [MPa] RT [MPa] Kutató Fafaj Keuneke (7) dinamiku eljárá ufenyő (Piea abie) 67, 587, 5, Ková (98) lemez avaráa ufenyő (Piea abie) 75, 887, 57,9 Xavier () Ioipeu Parti fenyő (Pinu pinater),, 86, Xavier () indirekt eljárá Parti fenyő (Pinu pinater),, ---- Xavier (9) Aran Parti fenyő (Pinu pinater), 9, 9, Yohiiara H. (999) négyzög km. avaráa Sitka fenyő (Piea itheni) 95, ---- ---- Yohiiara H. (999) Ioipeu Sitka fenyő (Piea itheni) 9, ---- ----.. Közvetlen módzer alkalmazáa Valamely kereztmetzetben, illetve több, egymá melletti kereztmetzetben közelítőleg tizta nyíró igénybevétel vagy avará hatáára ébredő nyírófezültégek é alakváltozáok méréével, é az egyzerű Hooke-törvény felhaználáával határozzuk meg a
nyíró-rugalmaági moduluzokat. Izotrop é anizotrop anyagokra többnyire egyaránt alkalmazható eljáráokról van zó.... Statiku vizgálati módzerek... Hagyományo eljárá A faanyag anatómiai főíkjaihoz tartozó nyíró-rugalmaági moduluzokat az (.9) egyenletnek megfelelően a következők zerint határozhatjuk meg: τ RT RT, γ RT τ T T é γ T τ R R. γr ahol, τ i, j - i, j RT, T, R - az anatómiai főíkokon fellépő nyíró fezültégek, ij i, j RT, T, R - az anatómiai főíkokon fellépő nyírórugalmaági moduluzok, γ - i, j RT, T, R a keletkező nyírái alakváltozáok. ij T τ TR τ T R τ R τrt τt τr R T T γ TR τ TR γ T τ T R γ R τ R τ RT τ T τ R γ RT R γ T T γ R. ábra: Nyíró-rugalmaági moduluz hagyományo meghatározáának elméleti háttere A. ábra zerinti tizta nyírófezültégek a gyakorlatban nem fordulnak elő. A kíérleti körülmények biztoítáához i jelentő, már-már megoldhatatlan problémát okoz a kutatók zámára, hogy járuléko igénybevételek fellépée nélkül fejtenek ki tizta nyíróerőt adott felületre. Azonban vannak eljáráok, amikor a fellépő má igénybevételek, mint a hajlító-nyomaték, nagyága nagyon kii, elhanyagolható, így közelítően tizta nyírófezültég létrehozáára van lehetőég (upta (5)/b, Dahl (9)/a, Dahl
(9)/b, Hael (9), iu (98), Narue (), Sretenovi ()). A módzerhez kialakítható próbateteket a.,. ábrák, a méré kivitelezéének ematiku ábráját a 5. ábra mutatja be. zt a méréi eljárát előorban nyírózilárdág meghatározáára haználják, mivel az alkalmazott terhelő erő egyzerűen leolvaható a terhelő berendezéről, a nyírt felület pedig egyértelműen adódik a próbatet méreteiből. A --5. ábrákon bemutatott eljárá orán ugyanakkor nyomó terhelét alkalmazunk egy adott felületre. Attól függően, hogy melyik anatómiai főíkkal párhuzamo a terheléünk, vagy a nyírából zármazó tönkremenetel következik be, vagy a próbatet felfekvő felületén a rotra merőlege nyomá miatti tönkremenetel lép fel. Ahhoz, hogy adott íkhoz tartozó nyíró-rugalmaági moduluzt i meg leheen határozni, zükég lenne a nyírái alakváltozá, a zögváltozá méréére i.. ábra: Próbatet nyírái vizgálathoz egy darab nyírt felület (iu (98)). ábra: Próbatet nyírái vizgálathoz dupla nyírt felület (Ylinen (96))
A 6. ematiku ábrán a 5. ábrán bemutatott méré elvi terhelée é az alakváltozá kerül bemutatára. A ϕ zög változáának a ponto mérée zükége a nyírórugalmaági moduluz meghatározáához. z nem egyzerű feladat. A nyírórugalmaági moduluz meghatározáát a hagyományo módon nagyon nehezen lehetége kivitelezni. A. ábra zerinti nyíró terhelét két, egymá mellett lévő felületen működtetni a zabad alakváltozá biztoítáával, annak ponto méréével é egyidejűleg a próbatet megfelelő befogáával - nagyon nehéz. miatt ezzel az eljáráal nem kíérleteznek, zakirodalomban ak, mint elméleti lehetőéget említenek a kutatók. 5. ábra: Fa próbatet nyírái vizgálatának elvi elrendezée (iu (98)) 6. ábra: Nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáának ematiku méréi eljáráa, a zükége alakváltozá méréének a kiemeléével
... Ioipeu elmélet Az Ioipeu elmélet alapjait 968-tól napjainkig alkalmazzák. (Barne (987), Dumail (), Pierron (997), Pierron (99), Xavier (), Yohihara (999)) A kíérlet orán a megfelelő módon kialakított é terhelt próbatet hozának a középő rézén a tizta nyíráon kívül má igénybevétel nem keletkezik (7. ábra). A próbatet kialakítá különlegeége, hogy a mintába egymáal zemben egy-egy 9 -o, V alakú bevágát kézítenek. A 7. ábra bal oldalán látható zerkezetbe befogott próbatetet az ábrázolt módon terhelünk. A terhelő erő hatávonala éppen a kigyengített kereztmetzet íkjába eik, azonban a befogó zerkezeten kereztül ható P erő két darab erőpár formájában adódik át a próbatetre. Tulajdonképpen négyponto, azimmetriku hajlítáról van zó. A 7. ábra jobb oldalán, az igénybevételi ábrákon látható, hogy a bemutatott módon kigyengített é terhelt próbatet kigyengített kereztmetzetében a nyíró-igénybevétel elozlá egyenlete lez, a hajlítónyomaték pedig zéru. zen kívül fezültégkonentráió em lép fel a kigyengíté úában. A nyíró rugalmaági moduluz meghatározáához nemak a keletkező nyírófezültéget kell imerni, hanem a nyírái alakváltozát i. zt a próbatet kigyengített pontjai között kell mérni, a próbatet hozirányú tengelyével 5 -ot bezáró irányokban (8. ábra). A nyíró rugalmaági moduluz meghatározáa (Ioipeu): P τ 6,. A 6 5 5,. τ 6,,. 6 ahol, τ 6 - a keletkező nyírófezültég, A a kigyengített kereztmetzet felülete, P a terhelő erő, - a keletkező nyírái alakváltozá, 6 - a mért alakváltozá a próbatet hoztengelyével 5 -ot 5 bezáró irányban, 5 - a mért alakváltozá a próbatet hoztengelyével - 5 -ot bezáró irányban,, a nyíró rugalmaági moduluz az, íkban. 5
7. ábra: Ioipeu nyírái tezt próbatet kialakítáa é terhelée, a keletkező igénybevételek (Walrath (98)) 8. ábra: Ioipeu nyírái tezt - nyírái alakváltozá mérée (Xavier ()) Az eljárát izotrop anyagokra dolgozták ki é alkalmazzák a napjainkban i. Ugyanakkor zámo kutatá folyt é folyik jelenleg i a módzer faanyagra való alkalmazáa 6
terén. A legfontoabb kérdé, hogy az anizotrop tulajdonágú fa eetében i érvénye-e az, hogy a nyírófezültég elozlá egyenlete-e a kigyengített kereztmetzetben, illetve a kigyengíté úpontjában nem keletkezik-e fezültégkonentráió. zek a tényezők alapvetően befolyáolják a méréi eredményeket. nnek kutatáa napjainkban vált igazán aktuáli kérdéé, amikor végeelem-módzert alkalmazva már modellezhető a kíérlet.... Aran elmélet Az Aran tezt (Hung (997), iu (98), Xavier (9)) néven imert eljárá elő zemrevételezére nagyon haonlít az előbbi, Ioipeu módzerhez. nnek oka, hogy a próbatet kialakítáa orán ugyanolyan 9 -o, V alakú, egymáal zemben elhelyezkedő bevágát kézítenek (9. ábra). Az anatómia főíkokból kivágott minták vatagága maximum 8- mm. 9. ábra: Aran nyírái tezt próbatet kialakítáa (Dahl (9)/a, Dahl (9)/b) Mivel a bevágott réz lezűkített kereztmetzetének az iránya 5 -t zár be az adott anatómiai főiránnyal, ezért a főfezültégek ezen irányokban fognak fellépni. bből adódik, hogy a kigyengített kereztmetzetben elméletileg tizta nyírófezültég keletkezik, aminek az elozláa egyenlete. A próbateteket két darab, azimmetriku kialakítáú befogó kézülékbe fogják be. A befogó kézülék elforgatható, annak érdekében, hogy a terhelő erő hatávonala é próbatet anatómiai főiránya egybe een (. ábra). A befogott próbatetet a. ábrán látható módon a P erő irányában húzzuk. A nyíró ru- 7
galmaági moduluz meghatározáához nemak a keletkező nyírófezültéget kell imerni, hanem a nyírái alakváltozát i. zt a próbatet kigyengített pontjai között kell mérni, a próbatet adott anatómia tengelyével 5 -ot bezáró irányokban azono módon, mint az Ioieu tezt orán. A nyírófezültég é a nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáa a.-. képletekben imertetett módon történik. Az eljáráal ugyanaz a probléma, illetve ugyanazok a kérdéek vetődnek fel, mint az Ioipeu tezt orán, nevezeteen, hogy a faanyag eetében a bevágáok úában fezültégkonentráió lép-e fel, illetve, hogy faanyag eetében a kigyengített kereztmetzetben valóban egyenlete-e a nyírófezültég elozláa.. ábra: Aran nyírái tezt próbatet befogáa é terhelée (Xavier (9))... Négyzög kereztmetzetű rúd avaráa Amint azt az elő fejezetben említettem, nyíró igénybevétel avarákor i fellép. zért a faanyag nyíró-rugalmaági moduluz meghatározáának az egyik módja a négyzög (vagy kör) kereztmetzetű rúd avaráa (Janowiak (99), Szalai (), upta (), upta (5)/a, upta (5)/b, Yohihara (999)). Az. ábrán látható prizmatiku rudat úlyponti hoztengelye körül forgató nyomatékkal terhelünk. A rúd két, H távolágra lévő kereztmetzeteinek egymához vizonyított zögelforduláa többek között az anizotrop faanyag nyíró-rugalmaági moduluzainak a függvénye. Azonban a avart rúd fezültégelozláának é alakváltozáának elméleti meghatározáa 8