Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =, sin π 6 =, sin π = függvényértékek alapján! A közelíteni kívánt függvény az fx = sin x. Az interpolációs alappontok x =, x = π 6, x = π. A árom pontra illesztett interpolációs polinom Lagrange-interpolációval: px = fx i L i x = x π 6 x π π i= 6 π + x x π π 6 π 6 π + x x π 6 π π π 6 = 9 8 π x + + 6 x. π A közelítő függvényérték: A pontos függvényérték: sin π = f π sin π =.77. π p = 6 +.6998. b. Határozzuk meg a,,,,, 6 pontokra illeszkedő interpolációs polinomot! A pontokra illesztett interpolációs polinom Lagrange-interpolációval: px = i= y i L x x x x x x i x = + + 6 = x + x +. c. Határozzuk meg az,,,,, 9,, 6 pontokra illeszkedő interpolációs polinomot! Vegyük észre, ogy a pontok illeszkednek az fx = x függvényre. Az interpoláció egyértelműsége miatt a pontokon átaladó legfeljebb negyedfokú polinom a d. Határozzuk meg az x i y i px = x. pontokra illeszkedő interpolációs polinomot! Vegyük észre, ogy a p x = polinom majdnem minden pontra illeszkedik, egyetlen pontot kivéve. Tegyük megoldássá úgy, ogy abban az egy pontban korrigáljuk, miközben a többi pontban változatlanul agyjuk a polinom értékét. Ezt az x = alappontoz tartozó Lagrange-alappolinommal teetjük meg: px = p x + L xx x x = + = 6 6 x x + x +.
Numerikus integrálás a. Adjunk közelítést az x dx integrál értékére az x =, x =, x = alappontokban felvett függvényértékek alapján! Az integrálandó függvény az fx = x. Az integrál közelítése a fx dx i= w i fx i formula alapján történik, aol A kapott együttatók: w i = L i dx. w = w = w = Az integrál közelítő értéke: és pontos értéke: L dx = L dx = L dx = fx dx fx dx x x dx = x x dx = x x dx = w i fx i = i= [ ] x.797. + x 5x + 6 dx = x x + dx = x x + dx =. +.796, b. Adjunk közelítést az π felvett függvényértékek alapján! sin x dx integrál értékére az x =, x = π, x = π alappontokban Az integrálandó függvény fx = sin x, az intervallum ossza = π. Az integrál közelítése a π fx dx w i fx i = i= v i fx i i= formula alapján történik, aol a v i együttatók függetlenek -tól, értékük egyedül attól függ, ogy az x i alappontok milyen arányban osztják az intervallumot. Vezessük be a z =, z =, z = pontokat, melyek a [, ] intervallumot éppen olyan arányban osztják, mint az x i alappontok a [, π ] intervallumot. Számítsuk ki a v i együttatókat a z i alappontokoz tartozó Lagrange-alappolinomok segítségével: v i = L i dz.
A kapott együttatók: v = v = v = Az integrál közelítő értéke: π és pontos értéke: π fx dx L dz = L dz = L dz = v i fx i = π i= fx dx [ cos x] π =. z z dz = z z dz = 9 z z dz = z 5 z + dz = z z dz = z z dz =. sin + sin π + sin π = π., 6 c. Határozzuk meg az fx dx v i fx i kvadratúra-képlet együttatóit, a az alappontok i= x =, x =, x =, x =, x =! A v i együttatók a v i = L i dz képlettel számítatóak, aol Lagrange-alappolinomokat a z =, z =, z =, z =, z = alappontokra írjuk fel. A kapott együttatók: v = L z dz = z z z dz = z 5 z + 5 6 z 5 z + dz = 7 9 v = L z z dz = z z dz = 8 z 5 z + 5 6 z 5 z + dz = 6 5 mivel a pontok az intervallum középpontjára szimmetrikusan elyezkednek el: v = v = 6 5 v = v = 7 9 mivel a kvadratúra-képlet a konstans függvény integrálját elyesen adja vissza: v = v v v v = 5. Numerikus differenciálás a. Adjunk közelítést az fx = x függvény deriváltjára az x =.5 elyen az x =, x =, x =, x = pontokban felvett függvényértékek alapján! A derivált közelítése az f x w i fx i i=
formula szerint történik, aol A kapott együttatók: w = w = w = w = L L L L A derivált közelítő értéke: és pontos értéke: f x w i = x = d x x x dx x = d x x x dx x = d x x x dx x = d x x x dx i= L i x. = 6 x=x = x=x = x=x = 6 x=x x x + = x 5x + 6 = 9 8 x x + = 9 8 x x + =. w i fx i = 9 8 + 9 8 = 7.958, f x = ln x = ln.965. b. Adjunk közelítést sin π 6 derivált értékére az x =, x = π, x = π alappontokban felvett függvényértékek alapján! A deriválandó függvény az fx = sin x, az intervallum ossza = π, a deriváltat az x = π 6 elyen keressük. A derivált közelítése az f x w i fx i = v i fx i i= formula alapján történik, aol a v i együttatók függetlenek -tól, értékük egyedül attól függ, ogy az x i alappontok, valamint az x pont milyen arányban osztják az intervallumot. Vezessük be a z =, z =, z =, z = pontokat, melyek a [, ] intervallumot éppen olyan arányban osztják, mint az x, x, x, x, x pontok a [, π ] intervallumot. Számítsuk ki a v i együttatókat a z i alappontokoz tartozó Lagrangealappolinomok segítségével: A kapott együttatók: v = v = v = L L L z = z = z = v i = L i d z z dz d z z dz d z z dz z. i= = z 5 = z=z = 9 z = z=z z=z = z =.
A derivált közelítő értéke: és pontos értéke: f x v i fx i = π i= f x = cos π 6 =.866. sin + sin π + sin π = π.87, c. Tekintsük az x i = i a rácsállandó pontok alkotta ekvidisztáns rácsot. Adjunk becslést az ismeretlen f függvény x i pontbeli második deriváltjára a legfeljebb két rácsállandónyi távolságban lévő pontokban mért függvényértékek figyelembevételével. A derivált közelítése az f x i i+ j=i v j fx j formula alapján történik, aol a v i együttatók függetlenek -tól. A v j együttatók értéke a z =, z =, z =, z =, z = alappontokoz tartozó Lagrange-alappolinomok alapján számolató: v i +j = L j. A kapott együttatók: v i = v i = L L d z+zz z = dz = z= d z+zz z = dz = z= A páros fokszámú derivált és szimmetrikus alappontok miatt: v i+ = v i = v i+ = v i = A konstans függvény második deriváltját elyesen adja vissza a képlet, így: A második derivált közelítése: v i = v i v i v i+ v i+ = 5. f x i = fx i + 6fx i fx i + 6fx i+ fx i+. Numerikus integrálás és deriválás ibája a. Határozzuk meg, ogy a centrális első derivált ibája a rácsállandó melyik atványával arányos! Teszteljük a centrális derivált f x x fx+ fx formuláját az első pár x-atványra: 5
b. df fx+ fx fx dx x x = x x+ x = x x+ x x = x x x x+ x = x + A formula pontos eredményt ad legfeljebb másodfokú polinomokra, ibája -tel arányos kis értékekre. Határozzuk meg, ogy a centrális második derivált ibája a rácsállandó melyik atványával arányos! Teszteljük a centrális második derivált f xx x fx+ fx+fx d f fx+ fx+fx formuláját az első pár x-atványra: fx dx x x + = x x+ x+x = x x+ x +x = x x+ 6x x +x = 6x x x x+ x +x = x + A formula pontos eredményt ad legfeljebb armadfokú polinomokra, ibája -tel arányos kis értékekre. c. Határozzuk meg, ogy a Simpson-formula ibája a részintervallumok osszának melyik atványával arányos! Teszteljük az x+ f x d x x 6 fx + 6 fx + 6 fx + Simpson-formulát az első pár x-atványra: x+ fx f x d x x 6 fx + 6 fx + 6 fx + x 6 + 6 + 6 = x x 6 x + 6 x + 6 x + = x x x x + 6 x + 6 x + 6 x + = x + x + x 6 x + 6 x + 6 x + = x + x x x + x + 5 6 x + 6 x + 6 x + = x + x + 5 A számolást ebben az esetben is elegendő elvégezni csak a lényegesen egyszerűbb x = esetre: + fx f x d x 6 f + 6 f + 6 f x 6 + 6 + 6 = x 6 + + 6 = x 6 + + 6 = x 6 + + 6 = x 5 6 + + 6 = 5 A formula pontos eredményt ad legfeljebb armadfokú polinomokra, az egy részintervallumon keletkező iba 5 -nel arányos kis értékekre. A teljes intervallum részintervallumainak száma éppen, így a teljes integrálási tartományon a formula ibája -nel arányos. LU-felbontás a. Végezzük el az A = 5 mátrix LU-felbontását! 5 6
Az LU-felbontás lépésről lépésre: U = 5 L = 5 U = L = U = L =. b. Végezzük el az A = 6 mátrix LU-felbontását! 8 Az LU-felbontás lépésről lépésre: U = 6 L = 8 U = 5 L = 6 8 U = 5 L = c. Oldjuk meg az Ax i = b i lineáris egyenletrendszereket, aol A = 8 6 és b =,,, T, b =,,,, b =,,, T. Végezzük el az A mátrix LU-felbontását: U = 8 L = 6 U = L = 7
U = L = Oldjuk meg az Ly i = b i, majd az Ux i = y i egyenletrendszereket. y =,,, T x =, 8,, T y =,,, T x =, 9,, T y =,,, T x =,,, T. Peremérték-feladatok megoldása a véges differenciák módszerével a. Adjunk közelítő megoldást a u xx 8u x + u = x + < x < 6 u = u6 = 5 peremérték-feladatra az x =, x =, x =, x = 6 pontok alapján! Az első deriváltakat közelítsük előrenéző, a második deriváltakat centrális sémával, a kapott eredményt ábrázoljuk grafikonon. Jelölje az x i pontbeli közelítő függvényértéket u i. A szakasz ossza L = 6, a szakaszt n = részre osztjuk, a rácsállandó =. A peremfeltételek alapján u = és u = 5. Az egyenlet az x pontban: u u + u u u 8 + u = + 9u 5u = 7, valamint az x pontban: u u + u 8 u u + u = + u + 9u =. Az egyenletrendszer megoldása: u =, u =. Másképpen, az egyenletrendszer mátrixos alakját előállítva: M = + 8 + + = 9 5 9 5 b = + + = 6 8 5 5 u = u, u, u, u T az M u = b lineáris egyenletrendszer megoldása. 8
b. Adjunk közelítő megoldást a u xx u x + u = 9x 5 < x < u = u = 8 peremérték-feladatra az x =, x =, x =, x = pontok alapján! Mind az első, mind a második deriváltakat közelítsük centrális sémával, a kapott eredményt ábrázoljuk grafikonon. Jelölje az x i pontbeli közelítő függvényértéket u i. A szakasz ossza L =, a szakaszt n = részre osztjuk, a rácsállandó =. A peremfeltételek alapján u = és u = 8. Az egyenlet az x pontban: u u + u u u + u = 9 5 7u u = 6, valamint az x pontban: u u + u u u + u = 9 5 7u = 5. Az egyenletrendszer megoldása: u =, u = 5. Másképpen, az egyenletrendszer mátrixos alakját előállítva: M = + + + = 7 7 b = 9 5 9 5 = 6 8 8 u = u, u, u, u T az M u = b lineáris egyenletrendszer megoldása. c. Adjunk közelítő megoldást a 7x 6 8u xx 6u x + u = u = u6 = 8 < x < 6 peremérték-feladatra az x =, x =, x =, x = 6 pontok alapján! Az első deriváltakat közelítsük átranéző, a második deriváltakat centrális sémával, a kapott eredményt ábrázoljuk grafikonon. Jelölje az x i pontbeli közelítő függvényértéket u i. A szakasz ossza L = 6, a szakaszt n = részre osztjuk, a rácsállandó =. A peremfeltételek alapján u = és u = 8. Az egyenlet az x pontban: u u + u u u 8 6 + u = 7 6 9
u u = u u =, valamint az x pontban: u u + u 8 6 u u + u = 7 6 u + u =. Az egyenletrendszer megoldása: u =, u = 5. Másképpen, az egyenletrendszer mátrixos alakját előállítva: M = 8 + 6 + + = 7 6 b = = 6 8 7 6 8 u = u, u, u, u T az M u = b lineáris egyenletrendszer megoldása. d. Adjunk közelítő megoldást a u xx u x + u = x 9 < x < u = u = 8 peremérték-feladatra az x =, x =, x =, x = pontok alapján! Mind az első, mind a második deriváltakat közelítsük centrális sémával, a kapott eredményt ábrázoljuk grafikonon. Jelölje az x i pontbeli közelítő függvényértéket u i. A szakasz ossza L =, a szakaszt n = részre osztjuk, a rácsállandó =. A peremfeltételek alapján u = és u = 8. Az egyenlet az x pontban: u u + u u u + u = 9 7u u = 6, valamint az x pontban: u u + u u u + u = 9 7u = 5. Az egyenletrendszer megoldása: u =, u = 5. Másképpen, az egyenletrendszer mátrixos alakját előállítva: M = + + +
= 7 7 b = 9 9 = 6 8 8 u = u, u, u, u T az M u = b lineáris egyenletrendszer megoldása.