C Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai C.1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik. Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a L -transzformáció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [3] A függelék). Vegyük a differenciálegyenlet L -transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y(s) és U(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt: G(s)= Y(s) U(s) = b(s) a(s) = b ms m +...+b 1 s+b a n s n +...+ a 1 s+a. (C.1) Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L -transzformáltjainak hányadosa. Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk: G(s)=k m j=1 (s z j) n i=1 (s p i), (C.2) ahol z j jelöli a rendszer zérusait, vagyis a b(s)= egyenlet gyökeit, míg p i jelöli a rendszer pólusait, vagyis az a(s) = egyenlet gyökeit. A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok általános időállandós alakja a következő: G(s)= C(s) n s n + n 1 s n 1. (C.3) +...+ 1 s+ }{{} 1 }{{} 1
46 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokú nevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése n. A számláló C(s) eleme háromféle alakú lehet: 1. A ekkor a tag arányos (P), 2. A d s ekkor a tag differenciáló (D), 3. A I s ekkor a tag integráló (I). A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatát szinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Ehhez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényének (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és az exponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel, míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kapcsolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún. Fourier-transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [3]. A G(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvencia szerint ábrázoljuk. Nyquist-diagram: A Nyquist-diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. A frekvenciafüggvény értéke egy adott ω frekvencián egy komplex szám: G(iω )=ReG(iω )+iimg(iω ). (C.4) Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω =... tartományon a pontokat ábrázolva adódik a Nyquist-diagram. A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω frekvenciára vonatkozóan az amplitúdót A(ω ) és fázisszöget ϕ(ω ): A(ω )= ReG(iω ) 2 + ImG(iω ) 2, ϕ(ω )=arctg ImG(iω ) ReG(iω ). (C.5) (C.6)
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 47 Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koordinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Re valós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad (márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög). A továbbiakban az alaptagok (-tól 2 tárolóig) Nyquist- és Bode-diagramjainak alakját ismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt az ábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb levezetéseket és az állítások igazolását a C.3 fejezet tartalmazza. Összetett tagok Nyquist-diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist-diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjuk az eredő Nyquist-diagramot. Összetett tagok Bode-diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode-diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bode-diagramot. Ennek igazolását lásd a C.3 pontban. C.2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata P tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)=A. G(iω)=A=2. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=A, ω G(i )=A. Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd C.1 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a db-es tengellyel párhuzamos egyenes 2 lg(a) magasságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd C.2 ábra). Itt a(ω) = 2 lg A(ω) az amplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel (db) mértékegységben adja eredményül.
48 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5 P tag Nyquist-diagramja.4.3.2 Im.1 A.1.2.3.4.5.5 1 1.5 2 Re C.1. ábra. P alaptag Nyquist-diagramja D tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: G(s)=A d s. Frekvenciafüggvénye: G(iω)=A d iω = 2iω. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )=i.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 49 8 P tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 7 6 2 lga 5 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 P tag Bode fázis diagramja Fázis( ) 1 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 1 3 ) rad s C.2. ábra. P alaptag Bode-diagramja Nyquist-diagramja egy egyenes -ból i -be (lásd C.3 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a +2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +9 (lásd C.4 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza. 1 ád a tizes alapú logaritmikus skálán a 1 két egymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 ád a távolság 1 k és 1 k+1 közt, de ugyanígy.25 1 k és.25 1 k+1 között is. I tárolós integráló tag Átviteli függvénye: G(s)= A I s.
41 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 5 4.5 D tag Nyquist-diagramja ω 4 3.5 3 Im 2.5 2 1.5 1.5 ω =.5.5.5 Re C.3. ábra. D alaptag Nyquist-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω)= A I iω = A Ii ω = 2i ω. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= i, ω G(i )=. Nyquist-diagramja egy egyenes i -ből -ba (lásd C.5 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy 2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az A I frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans 9 (lásd C.6 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 411 4 D tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 1 A d +2 db 2 1 1 1 1 1 91 D tag Bode fázis diagramja Fázis( ) 9 89 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 ) rad s C.4. ábra. D alaptag Bode-diagramja 1P 1 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: G(s)= A s+1. Frekvenciafüggvénye: G(iω) = A iω+ 1 = A Aiω 1+ 2 ω 2 = 5 2iω+ 1.
412 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5.5 I tag Nyquist-diagramja ω 1 1.5 Im 2 2.5 3 3.5 4 4.5 ω = 5.5.5 Re C.5. ábra. I alaptag Nyquist-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=Aq,, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A Ai = A 2 2 Ai 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist-diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból -ba (lásd C.7 ábra). A félkör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 413 4 I tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 2 db 2 1 1 1 1 1 89 A I I tag Bode fázis diagramja Fázis( ) 89.5 9 9.5 91 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 ) rad s C.6. ábra. I alaptag Bode-diagramja A Bode-diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon szaggatott vonallal jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg folytonossal a valódi frekvencia válaszokat. 1P tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy 2 lg A magasságban haladó vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától 2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és 9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.8 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza. Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal meg
414 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5 1P tag Nyquist-diagramja ω ω = A.5 1 Im 1.5 2 2.5 3 ω s = 1 3.5 1 1 2 3 4 5 6 Re C.7. ábra. 1P alaptag Nyquist-diagramja egyezően éppen 45 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 1D 1 tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: G(s)= A ds s+1. Frekvenciafüggvénye: G(iω)= A diω iω+ 1 = A d ω 2 + A d iω 1+ 2 ω 2 = 5iω 2iω+ 1.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 415 2 1P tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 1 1 2 lg A 2 db 2 1 2 1 1 1 1 1 1P tag Bode fázis diagramja 5.1 1 1 1 1 1 2 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 ) rad s 1 45 C.8. ábra. 1P alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )= A d, ω s = 1 ( G i 1 ) = A d+ A d i = A d 2 2 + A di 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = +45. A tag Nyquist-diagramja egy félkör a felső síknegyedben -ból A d -be (lásd C.9 ábra). A félkör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható.
416 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 1D tag Nyquist-diagramja 1.5 ω s = 1 1 Im.5 ω = A d ω.5.5.5 1 1.5 2 2.5 3 Re C.9. ábra. 1D alaptag Nyquist-diagramja Az 1D tag Bode-diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figyelembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd C.3 alfejezet), az 1D tag felfogható egy D és egy 1P alaptag sorba kapcsolt eredőjeként. Az alaptagok amplitúdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredő görbéket, melyről a következőket mondhatjuk: az amplitúdó görbe egy +2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, mely az 1 A d pontban metszi (metszené) a db-es tengelyt, majd 1 < ω frekvenciákra egy 2 lg A d erősítésű vízszintes egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 A d akkor
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 417 2 1D tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 +2 db 1 2 lg A d 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1D tag Bode fázis diagramja Fázis( ) 5.1 1 45 1 1 1 2 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 ) rad s C.1. ábra. 1D alaptag Bode-diagramja nem jön létre metsződés, ha 1 = 1 A d akkor a diagram éppen a db-es tengelyre törik. a fázis 9 és között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.1 ábra). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen+45 értéket vesz fel, melyet az aszimp- totikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
418 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 1 1I tag Nyquist-diagramja 1 ω 2 3 A I 4 Im 5 6 7 8 9 ω = 1 7 6 5 4 3 2 1 Re C.11. ábra. 1I alaptag Nyquist-diagramja 1I 1 tárolós integráló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(iω) = G(s)= A I s( s+1). A I iω( iω+ 1) = A I ω 2 A i ωi 2 ω 4 + ω 2 = A I A I ω i 2 ω 2 + 1 = 2 3(iω) 2 + iω.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 419 1 1I tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 5 2 db.1 1 4 db 5 1 1 2 1 1 1 1 1 5 1 15 1I tag Bode fázis diagramja 45 1 1 2 1 2 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 ) rad s C.12. ábra. 1I alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= A I i, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A I A I i = A I 2 2 A Ii 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 135. A tag Nyquist-diagramja ω = -ban az A I i pontból indul és a pontba fut be. Aszimptotája az A I -vel jellemzett egyenes (lásd C.11 ábra). Az 1I tagot mint I és 1P tagok soros kapcsolásának tekintve a Bodediagramok:
42 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai az amplitúdó görbe egy 2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, majd 1 db < ω frekvenciákra egy 4 mereségű egye- nes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > A I akkor 2 db db, egyéb esetben 4 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. a fázis 9 és 18 között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s -nél nagyobb frekvenciák esetén 18 (lásd C.12 ábra). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 135 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2P 2 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)= A 2 s 2 + 2 ξ s+1. G(iω) = = A 2 (iω) 2 + 2 ξ iω+ 1 = A(1 2 ω 2 2 ξ iω) (1 2 ω 2 ) 2 + 4 2 ξ 2 ω 2 A A 2 ω 2 2Aξ iω 4 ω 4 +(4 2 ξ 2 2 2 )ω 2 + 1, ξ =.8 G(iω)= ξ =.3 G(iω)= 5 4(iω) 2 + 3,2iω+ 1, 5 4(iω) 2 + 1,2iω+ 1.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 421 2P tag Nyquist-diagramja ω A ω = 2 ξ.5 ω s = 1 Im 4 6 ξ <.5 8 ω s = 1 1 4 2 2 4 6 Re C.13. ábra. 2P alaptag Nyquist-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=A, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A A 2Aξ i 4ξ 2 = 2Aξ i 4ξ 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán képzetes ϕ(ω s )= 9. A tag Nyquist-diagramja egy torz félkör az alsó két síknegyedben A-ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist-diagramja) (lásd C.13 ábra). Bizonyítható (lásd C.3 alfejezet), hogy az A pontba húzott függőleges egyenest ξ <.5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor lóg át
422 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) 5 5 2 lg A.1 p 2P tag (ξ < 1) Bode amplitudó diagramja p 4 db 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2P tag (ξ < 1) tag Bode fázis diagramja Fázis( ) 1 9 1 p 2 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 ) rad s C.14. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalán helyezkedik el. A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja, három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengőrendszer): ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált póluspárja van, ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernek egy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás), ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van ( p 1 < p 2 ).
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 423 Amplitudó (db) Fázis( ) 5 5 2 lg A 2P tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja.1 p p 2P tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja 9 4 db 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 p 2 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 ) rad s C.15. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja A kéttárolós tagok Bode-diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utáni eredő számítással kaphatjuk meg. A pólusok alapján a 2P aszimptotikus Bode-diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes. A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 18 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.14, C.15, C.16 ábrák). Látható, hogy
424 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) Fázis( ) 5 5 2 lg A.1 p 1 45 2P tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 1 2P tag(ξ > 1) Bode fázis diagramja.1 p 2 9 p 2 1 p 1 4 db 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 6 9 12 15 18 45 1 p 2 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 ) rad s C.16. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja ω s = 1/ frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok-) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 2 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 4 db mereségű egyenes.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 425 A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 18 1 p 2 - nél nagyobb frekvenciák esetén(lásd C.14, C.15, C.16 ábrák). Látható, hogy ω s = 1/ frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2D 2 tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)= A d s 2 s 2 + 2 ξ s+1. A d iω G(iω) = 2 (iω) 2 + 2 ξ iω+ 1 = A diω(1 2 ω 2 2 ξ iω (1 2 ω 2 ) 2 + 4 2 ξ 2 ω ( 2 1 2 ω 2) A d iω+ 2A d ξ ω 2 ) = 4 ω 4 +(4 2 ξ 2 2 2 )ω 2 + 1, ξ =.8 G(iω) = 5iω 4(iω) 2 + 3,2iω+ 1. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )=, ω s = 1 G ( i 1 ) = + 2A dξ 4ξ 2 = A d 2ξ + i.
426 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 2D tag Nyquist-diagramja 1.8.6.4 Im.2.2 ω = ω φ = A d 2ξ.4.6.8 1.5.5 1 1.5 2 Re C.17. ábra. 2D alaptag Nyquist-diagramja A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s )=). A tag Nyquist-diagramja egy teljes kör a felső és alsó két síknegyedben -ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist-diagramja) (lásd C.17 ábra). A teljes kör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható. A pólusok alapján a 2D aszimptotikus Bode-diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 frekvenciáig (mely db-es tengelyt
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 427 2 2D tag(ξ < 1) Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 2 +2 db p 2 db 4 1 2 1 1 1 1 1 1 5 5 2D tag(ξ < 1) Bode fázis diagramja.1 p 9 1 p 1 1 2 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 ) rad s C.18. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan 2 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 9 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.18, C.19, C.2 ábrák). Látható, hogy
428 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 2 2D tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 +2 db p 2 db 4 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2D tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) 5.1 p 9 5 1 p 1 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 ) rad s C.19. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig (mely db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan vízszintes egyenes a p 2 frek
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 429 Amplitudó (db) Fázis( ) 1 2 3 +2 db.1 p 1 2D tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 45 p 1 2D tag(ξ > 1) tag Bode fázis diagramja.1 p 2 p 2 9 1 p 1 45 2 db 4 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 5 5 1 p 2 1 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 ) rad s C.2. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja venciáig. p 2 frekvenciától pedig 2 db mereségű egye- nes. A db-es tengellyel való metsződés az p 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha p 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egye-
43 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai nes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 9 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.18, C.19, C.2 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2I 2 tárolós integráló tag 1 2I tag Nyquist-diagramja ω 1 ξ <.77 Im 2 ξ.77 2ξ A I 3 4 5 ω = 16 14 12 1 8 6 4 2 Re C.21. ábra. 2I alaptag Nyquist-diagramja
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 431 Amplitudó (db) 1 5 5 2I tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 6 db 1 1 2 1 1 1 1 1 2I tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) 1 2.1 p 9 1 p 3 1 2 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 ) rad s C.22. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja Átviteli függvénye: G(s)= A I s( 2 s 2 + 2 ξ s+1)
432 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) 1 5 5 2I tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 6 db 1 1 2 1 1 1 1 1 2I tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) 1 2.1 p 9 1 p 3 1 2 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 ) rad s C.23. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω) = = G(iω) ξ=.8 = G(iω) ξ=.6 = A I 2 (iω) 3 + 2 ξ(iω) 2 + iω = A I( 2 ξ ω 2 iω+ 2 iω 3 ) 4 2 ξ 2 ω 4 + ω 2 2 2 ω 4 + 4 ω 6 2 ξ A I A I ω i+ 2 A i ωi 4 2 ξ 2 ω 2 + 1 2 2 ω 2 + 4 ω 4, 5 4(iω) 3 + 3.2(iω) 2 + iω, 5 4(iω) 3 + 2.4(iω) 2 + iω.
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 433 Amplitudó (db) Fázis( ) 1 1 2 db.1 p 1 2I tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 45 2I tag(ξ > 1) Bode fázis diagramja.1 p 2 4 db p 1 9 p 2 6 db 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 45 1 p 2 1 p 1 1 2 1 1 1 Frekvencia ( 1 1 1 2 ) rad s C.24. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= 2A I ξ i, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = 2A Iξ + i(a I A I ) 4ξ 2 = A I + i 2ξ A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s )= 18 ). A tag Nyquist-diagramja az 1I tag diagramjának torzítása (két síknegyeden halad át) 2A I ξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd C.21 ábra). Bizonyítható (lásd C.3 alfejezet), hogy a 2A I ξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/ 2 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor lóg át rajta balra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el.
434 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai A pólusok alapján az 1I aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p >A I, akkor 2 db, egyéb esetben 6 db mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 27 1 p -nél na- gyobb frekvenciák esetén (lásd C.22, C.23, C.24 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > A I, akkor 2 db db db, egyéb esetben 4 vagy 6 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egye-
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 435 nes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 27 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.22, C.23, C.24 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. PD arányos deriváló tag 5 PD tag Nyquist diagramja ω 4 3 Im 2 1 ω =.5 1 1.5 2 Re C.25. ábra. PD alaptag Nyqusit-diagramja Átviteli függvénye: G(s)= s+1.
436 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 6 PD tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 4 +2 db 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 PD tag Bode fázis diagramja Fázis( ) 5.1 1 +45 1 1 1 1 1 1 1 Frekvencia ( 1 2 1 3 ) rad s C.26. ábra. PD alaptag Bode-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω)= iω+ 1. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=1, ω G(i )=1+i, ω s = 1 ( G i 1 ) = i+1. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist-diagramja egy egyenes az 1 pontból az 1+i -be (lásd C.25 ábra).
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 437 A PD tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy db magasságban haladó vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és+9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.26 ábra). Az alak igazolása a C.3 alfejezetben található. C.3. Bizonyítások Igazolás: Összetett tag Bode-diagramja szorzat alakból a szorzatban szereplő alaptagok Bode-diagramjainak összegeként kapható meg Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét: G(iω )=G 1 G 2...G n, G j C j = 1...n, (C.7) (C.8) G j = r j e iϕ j, (C.9) G(iω )=r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2...r n e iϕ n = r 1 r 2...r n e iϕ 1 e iϕ 2...e iϕ n = re iϕ. (C.1) Az eredő amplitúdó így r= r 1 r 2...r n az eredő fázis pedig ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 +...+ϕ n. A fázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk az eredő szöget. Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definícióját: a(ω )=2 lg G(iω ) =2 lg r 1 r 2...r n e iϕ = (C.11) = 2 lg(r 1 r 2...r n )=2 lgr 1 + 2 lgr 2 +...+2 lgr n = (C.12) = a 1 (ω )+a 2 (ω )+...+ a n (ω ). (C.13) ehát az alaptagok amplitúdóinak összegét kaptuk. Igazolás: D alaptag Bode diagramja Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk: a(ω)= 2 lg A d iω =2 lg(a d ω)=2 lg A d + 2 lgω.
438 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω)=2 lga d + 2 lg1+2 lgω 2 lga d 2 lgω = = 2 lg1=2. vagyis az amplitúdó görbe meresége +2 db. A vágási körfrekvencia: =2 lga d + 2 lgω c, lgω c = lga d = lga 1 d, ω c = 1 A d. A fázisfüggvény: ϕ(ω)=arctg ImG(iω) ReG(iω) = arctg ImA diω ReA d iω = arctg A dω = arctg =+9. minden ω-ra. Igazolás: I alaptag Bode diagramja Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhatjuk: A I a(ω)= 2 lg ω = 2 lg A I ω = 2 lga I 2 lgω. Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω)=2 lga I 2 lg1 2 lgω 2 lga I + 2 lgω = 2 lg1= 2. vagyis az amplitúdó görbe meresége 2 db. A vágási körfrekvencia: =2 lga I 2 lgω c, lgω c = lga I, ω c = A I
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 439 A fázisfüggvény: A I i ϕ(ω)=arctg ImG(iω) Im ReG(iω) = arctg ω Re A Ii ω A I = arctg ω = arctg = 9 minden frekvencián. Igazolás: 1P alaptag Nyquist diagramja félkör alakú hálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadik csúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkalmazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = ) és végpont (ω ) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört (teljes kört) fut be. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω = ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges. Ez akkor áll fenn, ha skalár szorzatuk nulla. [ ] A Aω G=, N N N = 1+ 2 ω 2, A= [ A ], [ GA=A G= A A N ] Aω, N GA G= A2 N A2 A2 2 ω 2 N 2 N 2 = A2 N N 2 A2 + A 2 2 ω 2 N 2 = = A2 + A 2 2 ω 2 N 2 A2 + A 2 2 ω 2 N 2 = ω, q.e.d.
44 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Igazolás: 1P alaptag Bode amplitúdó diagramja Az 1P tag amplitúdó függvénye: A a(ω)= 2 lg iω+ 1 = 2 lga 2 lg 1+( ω) 2, ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható: ω 1, 1+( ω)2 1: a(ω) ω 1 = 2 lg A, az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω 1, 1+( ω)2 ( ω) 2 : a(ω) ω 1 = 2 lg A 2 lg( ω), az aszimptota egyenlete, ami egy 2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 2 lg A=2 lga 2 lg( ω), amiből ω s = 1 adódik. Igazolás: 1D alaptag Nyquist diagramja félkör alakú Az igazolás elve azonos az 1P tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges:
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 441 [ Ad ω G= 2 N, A ] dω, N N = 1+ 2 ω 2, ] Ad A=[,, Ad GA=A G=[ A ] d ω 2 N, A dω, N N A2 d 2 ω 4 N 2 A2 d ω2 N 2 = A2 d ω2 N N 2 A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 = = A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 = ω, q.e.d. GA G= A2 d ω2 Igazolás: 2P alaptag Nyquist diagramjának viszonya az A ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2P tag Nyquist diagramja akkor lóg át az [A ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = A lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás: A= A A 2 ω 2 4 ω 4 +(4 2 ξ 2 2 2 )ω 2 + 1, A 4 ω 4 + ( 4A 2 ξ 2 2A 2) ω 2 + A=A A 2 ω 2 A 4 a 2 + ( 4A 2 ξ 2 A 2) a=, A 4 a=a 2 4A 2 ξ 2, a= 1 2 4 2ξ 2. (C.14) a ω 2 >, (C.15) (C.16) (C.17) (C.18) Könnyen belátható, hogy (C.14)-nek akkor létezik a > megoldása, ha ξ <,5. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist-diagram átlógni az A pontba húzott függőlegesen.
442 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Igazolás: 2I alaptag Nyquist diagramjának viszonya a 2A I ξ ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2I tag Nyquist diagramja akkor lóg át a [ 2A I ξ ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = 2A I ξ lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás (hasonlóan a 2P taghoz): 2A I ξ = 2A I ξ 4 ω 4 +(4 2 ξ 2 2 2 )ω 2 + 1, (C.19) 4 ω 4 + ( 4 2 ξ 2 2 2) ω 2 = a ω 2 >, (C.2) 4 a 2 = 2 2 a 4 2 ξ 2 a, a= 2 2 4 2ξ 2. (C.21) (C.22) Könnyen belátható, hogy (C.19)-nak akkor létezik a > megoldása, ha ξ < 1/ 2. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist-diagram átlógni a 2A I ξ pontba húzott függőlegesen. Igazolás: 2D alaptag Nyquist diagramja kör alakú Az igazolás elve azonos az 1P tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω s = 1/ sarokkörfrekvenciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges:
C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 443 2 ξ ω G=[ 2 ( A d 1 2 ω 2) ] A d ω,, N N N = 4 ω 4 + ( 4 2 ξ 2 2 2) ω 2 + 1, [ ] Ad A= 2ξ,, GA=A G= GA G= 2ξ A2 d ω2 2ξ N [ Ad 2ξ 2 ξ ω2 A d, N 4 2 ξ 2 ω 4 A 2 d N 2 = A2 d ω2( 4 ω 4 + 4 2 ξ 2 ω 2 2 2 ω 2 + 1 ) ( 1 2 ω 2) ] A d ω, N ( 1 2 ω 2) 2 A 2 d ω 2 N 2 = N 2 A2 d ω2( 4 ω 4 + 4 2 ξ 2 ω 2 2 2 ω 2 + 1 ) q.e.d. N 2 =, Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja A PD tag amplitúdó függvénye: a(ω)= 2 lg iω+ 1 =2 lg 1+(ω) 2, ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω 1, 1+(ω)2 1 : a(ω) ω 1 = 2 lg1=db, az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω 1, 1+( ω)2 ( ω) 2 : a(ω) ω 1 = 2 lg( ω), az aszimptota egyenlete, ami egy+2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 2 lg 1=2 lg( ω),
444 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai amiből ω = 1 adódik.