1 Egy ismerős fizika - feladatról Az interneten találtuk az [ 1 ] könyvet, benne egy ismerős fizika - feladattal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] A feladat szerint beleejtünk egy kútba / aknába egy követ, megmérjük a kő elengedésétől a becsapódási hang megérkezéséig eltelt t időt, majd a c hangsebesség és a g nehézségi gyor - sulás nagyságának ismeretében meghatározzuk a kút x mélységét. Az ismert(etett) megol - dás szerint a t idő két részből áll: ~ a kőnek a kút / akna aljáig történő esése t 1 idejéből, valamint ~ a csobbanás / koppanás hangja fülünkbe érkezésének t 2 idejéből: ( 1 ) A Fizika tanítása szerint: ~ a kezdősebesség nélküli szabadesési út hossza lefelé: ( 2 ) ~ a csobbanási hang által megtett út hossza felfelé: ( 3 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) szerint: ( 4 ) Számadatok: t = 20 s ; c = 333 m / s ; g = 10 m / s 2. ( a )
2 Majd ( 4 ) és ( a ) - val a megoldandó egyenlet: ( 5 ) Az ( 5 ) egyenletet átalakítások után x - re kellene megoldani, a másodfokú egyenlet középiskolában tanult megoldó - képletével. Ez két valós pozitív gyököt szolgáltatna, melyek két tizedesre kerekített értéke: ( e1,2 ) Minthogy első látásra mindkettő értelmes eredmény bár ( e1 ) kicsit nagynak tűnik, még el kellene dönteni, hogy melyik az igazi, hiszen a kútnak / aknának csak egy mélysége van. Ezt az eredeti ( 5 ) egyenletbe való visszahelyettesítéssel dönthetnénk el: így ez nem lehetne a megoldás; tehát ez lenne a megoldás: ( e ) Ezeket eddig is tudtuk. Ám valakinek új lehet, hogy a másodfokú egyenlet megoldása el - kerülhető, ha az ( 5 ) egyenletet grafikusan / numerikusan oldjuk meg 2. ábra. 2. ábra
3 A 2. ábra bal oldalán leolvasható, hogy az ( 5 ) egyenlet jobb és bal oldalának megfelelő két függvény görbéjének metszéspontjára: x = 1296,91376095 ( m ), ami kerekítés után az ( e ) eredményt adja. Természetes, hogy ehhez rendelkezni kell egy alkalmas, használható szoftverrel. Itt ez a Graph volt, melyet bárki ingyenesen letölthet az internetről, használatát pedig könnyen elsajátíthatja. Ez egy ismert típusfeladat volt, melyet mindannyian tanultunk. Eléggé más lehet a helyzet, ha egy feladat megoldása során nem másodfokú, hanem például magasabb fokú algebrai egyenlet adódik. Ennek képlettel történő megoldása már jóval macerásabb lehet, és sokkal könnyebb eltéveszteni is. Ezzel szemben a grafikus megoldás szemléletes, számítógéppel dolgozva pontos is, valamint a gyakorlatban előálló esetekben szinte mindig megbízhatóan működik. A számításokkal töltött sok - sok év során gyakran megesett, hogy nem erőltettük az anali - tikus megoldást, hanem grafikus, illetve numerikus megoldást kerestünk / találtunk. Ennek során sok információ elveszhetett, azonban mégis tudtunk valami konkrétumot is mondani, nem csak bonyolult és / vagy megold(hat)atlan egyenleteket hagytunk magunk után. A most átismételt fizika - feladat ez utóbbi, lényegesnek tartott mondanivalónk kifejtésére is jó alkalmat adott. Az eddig nem részletezett számítást és annak végeredményét a Függelékben közöljük. Szerencse fel! Kiindulunk ( 4 ) - ből: Függelék ( F1 ) rendezve: az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: a bal oldalon elvégezve a kijelölt műveletet:
4 megint rendezve: kiemeléssel: beszorzással: ( F2 ) Az ( F2 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva: egyszerűsítve: a négyzetgyök alatti mennyiséget átalakítva: kiemeléssel: ezzel a megoldás: kiemeléssel: ( F3 ) Az ( F3 ) - ban szereplő + / előjel közötti döntést a már látott módon elvégezve kapjuk a végeredményt: ( F4 )
5 Erről azonnal leolvasható, hogy az x mélység a mért t időnek nem lineáris függvénye. Ez a tény rögtön eloszlatja azt a tévhitet, miszerint ennél a problémánál is úgy kell eljárni, mint a villámlásnál. Látjuk, hogy az időnek és a hangsebességnek a szorzata csak a mély - ség egyik részét teszi ki. Eszerint máris belátható, hogy volt értelme az eredeti egyenlet átalakításaival bajlódva zárt alakú megoldást keresni és találni. Ugyanis ezzel olyan alap - vető információkhoz jutottunk, amilyenekhez a numerikus megoldás útján nem, vagy csak sok többlet - munkával juthatnánk. Ezért van az, hogy mindig igyekszünk a problémánkra zárt alakú megoldást találni, hacsak lehetséges ez. Az ( F4 ) összefüggést az ( a ) adatokkal a 3. ábra mutatja. 3. ábra Forrás: [ 1 ] Oscar Hoppe: Elementares Lehrbuch der Technischen Mechanik Verlag von Arthur Felix, Leipzig, 1894., 29. o.
6 vagy: https://ia600209.us.archive.org/23/items/elementareslehr01hoppgoog/elementareslehr01ho ppgoog.pdf Sződliget, 2016. 08. 01. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár