Pálinkó Éva Szabó Máta Vállalati pénzügyek PÉLDAÁR ÉS ESEANULMÁNYOK Nemzeti ankönyvkiadó Budapest 2008
ELŐSZÓ A vállalati pénzügyek a közgazdaságtudomány egyik leggyakolatiasabb diszciplínája. Elméleti alapvetései mellett fontos módszetani segítség a vállalatok gazdálkodásával foglalkozó szakembeek számáa. Kiadványunkkal elsősoban ezt a módszetani segítséget kívántunk továbbfejleszteni. Könyvünkben összefoglalt, az új eljáásokat és elemzési technikákat bemutató feladatokat, esettanulmányokat elsősoban a vállalati pénzügyeket felsőfokon tanulmányozó hallgatók számáa készítettük, de gyakoló vállalati szakembeek is számáa is segíthet a vállalkozásuk pénzügyi menedzselésében. A Példatá és esettanulmányok kötet a 2004-ben a Nemzeti ankönyvkiadónál megjelent azonos című tankönyv új kiadása. Az új kiadással a felsőfokú oktatás kétszintű képzési endszeéhez kívánunk alkalmazkodni. A kétszintű endszeben az alapdiplomát adó BS (BA) képzések és a második szintet jelentő MS (MA) képzések tananyagai, így a vállalati pénzügyek tankönyvei is elkülönülnek egymástól. A Példatá és esettanulmányok a BS képzés tananyagához illeszkedik. A felsőfokú tanulmányokat megkezdő hallgatók a gazdasági jellegű képzésekben, a vállalati pénzügyek alapjainak elsajátítása soán használhatják, a nem gazdasági jellegű képzésekben pedig pénzügyi alapozó tágyak tananyagához illeszthető. A Példatá és esettanulmányok az elméleti tananyag gyakolati alátámasztását, a BS alapképzésekhez megjelent vállalati pénzügyek alapjai tankönyvek ismeeteinek jobb megétését és gyakolati példák bemutatását szolgálja. A BS képzéshez megjelent kapcsolódó tankönyvek: Bélyácz Iván: Vállalati pénzügyek alapjai. Aula Kiadó, 2006. Pálinkó Éva Szabó Máta: Vállalati pénzügyek alapjai. ypotex Kiadó, 2006. A Példatá és esettanulmányok tatalmilag átfogja a vállalati pénzügyek valamennyi klasszikus teületét, a pénzügyi alapszámításokat, a beuházási és finanszíozási döntésekhez kapcsolódó tételek modellpéldáit, gyakolati alkalmazásait. Miután a képletekben alkalmazott betűjelölések tankönyvenként eltéhetnek, kiadványunkban a fontosabb képletek ételmezéséhez szükséges alapinfomációkat a keetes észekben összefoglaltuk. A példatá új kiadása soán elsődleges cél volt, hogy az BS szint tananyagához jól illeszkedő, gyakolat oientált alkalmazásokat mutassunk be. ovábbi célnak tatottuk, hogy a nemzetközi szinthez képzésekhez, pénzügyi gyakolathoz jobban igazodjanak a példák, esettanulmányok. Ennek oka észben az, hogy hallgatóink nemzetközi nagyvállalatoknál helyezkednek el vagy olyan vállalatoknál, amelyek jelentős nemzetközi gazdasági kapcsolatokkal endelkeznek ezét egye inkább más valutákban, más áfolyam és kamatszintekben kell gondolkodniuk. Magyaoszág euó övezethez töténő váható csatlakozása is ösztönözte a szezőket, hogy a foint helyett más devizanemeket használjanak. 2
A könyv főbb fejezetei a vállalati pénzügyi döntések fontosabb teületeihez, azaz befektetéséi és finanszíozási döntésekhez ill. övid és hosszú távú pénzügyi döntésekhez igazodnak. A példatá funkcionálisan négy szekezeti egysége osztható: I. Pénzügyi számítások alapjai a vállalat pénzügyi könyezete A pénzügyi számítások alapvető módszeeit mutatja be. A vállalatok pénzügyi befektetési könyezetéhez kapcsolható alapozó ész a 2.fejezet, amely az étékpapíok áfolyam és hozamszámítását tatalmazza. Az alapozó fejezeteket a vállalati teljesítmény étékelés alapvető módszeeinek, mutatóinak bemutatása zája. Ez a fejezet egyúttal előkészíti a beuházási és finanszíozási kédésekkel foglalkozó fejezeteket, elsősoban a pénzáamok ételmezése évén. II. Beuházási döntések A vállalati beuházási döntések alapmódszeeit, a beuházási tőkeköltségvetés és a beuházás étékelés módszeeit tatalmazza. A konvencionális, önálló beuházási pojektek étékelése mellett a sajátos vonásokkal endelkező egymást kizáó beuházási altenatívák összevétésének módszeeit is bemutatjuk. III. Finanszíozási döntések A finanszíozással kapcsolatos fejezetek a tőkeköltség számítást, tőkeszekezet és osztalékpolitika vizsgálatának módszeeit foglalják magukba. A befektetési döntések speciális teülete a fogótőke- befektetések. Az ehhez kapcsolódó példákat, tevezési elemzési módszeeket közvetlenül összekapcsoltuk a finanszíozási döntésekkel. IV. Esettanulmányok Az esettanulmányok típusai illeszkednek a vállalati pénzügyi döntések alapvető teületeihez. atalmaznak a vállalat étékével, a vállalati teljesítmény étékelésével, a beuházásokkal, finanszíozással összefüggő gyakolati vállalati eseteket. A tözsanyag fontosabb észeit típus feladatok fedik le, témaköönként az egyszeűbbtől az összetettebb feladatok és alkalmazások felé haladva. A típus feladatok a fejezet elején találhatók megoldással együtt. Az összetett feladatok és alkalmazások alfejezetek elsősoban gyakoló feladatokat, gyakolati alkalmazásokat tatalmaznak. Az összetett feladatok és alkalmazások esetében a feladatok és ezek megoldása két alfejezete különül el. A feladatok többsége gyakolati vagy gyakolat- közeli döntési helyzetekől szól, de belevettünk olyan modell étékű feladatokat is, amelyek a valóságos folyamatok összetettségét ugyan leegyszeűsítve tatalmazzák, de az elméleti tételek kolátozó feltételeinek megfelelően épülnek fel. Az esettanulmányok átfogják a vállalati pénzügyi döntések fontosabb teületeit, és aa helyezik a hangsúlyt, hogy a gyakolati poblémák, kiinduló adatok ismeetében találják meg azokat a módszeeket, amelyek megoldást jelentenek vállalati pénzügyigazdálkodási kédéseke. Kéjük észevételeiket az alábbi email címe juttassák el: palinko@finance.bme.hu szoadi@finance.bme.hu Szezők 3
. Fejezet A PÉNZ IDŐÉRÉKE.. A pénz időétéke jelen és jövőéték számítás... A pénz időétéke egyszei betét/kifizetés A pénz jövőétéke, pénzáam az időszak elején: FV = 0 ( + ) = FVF. 0 A pénz jelenétéke, pénzáam az időszak végén:, PV0 = = PVF (+ ), Egy kamatpeióduson belüli lineáis (egyszeű) kamatozás: ( + t) FV = PV.. = pénzáam, betét/kifizetés a peiódus végén. = éves kamatláb (a befektetés ételmezésének megfelelően; i : névleges éves kamatláb, : hozam, az altenatív befektetés hozama, piaci kamatláb, tényleges, effektív kamatláb) = lejáat időpontja. t = kamatozás időtatama (a kamatnapok száma/az év napjainak száma) FV = a pénz jövőétéke (futue value). FVF = jövőéték fakto (futue value facto), a pénzegység étéke időszak végén, kamatláb mellett. PV = a pénz jelenétéke. PVF, = jelenéték fakto (pesent value facto) kamatláb és év mellett. F... Jövőéték kamatos kamatszámítással - egyszeű kamatozással a) Számítsa ki 5000 pénzegység étékét 5 és 0 év múlva, kamatos kamatszámítással, 6% éves névleges kamatláb esetén, ha a névleges kamatláb minden lejáata azonos! b) Mekkoa lesz az 5000 pénzáam étéke 5. és 0. év végén, ha a betét az első év végén töténik? c) Mekkoa lesz a betét étéke egyszeű kamatozással, az a) pont adatiból számítva? M... a) Kamatos kamatszámítással: FV 5 = 0 (+) = 5 000(+0,06) 5 = 6 69,3. FV 0 = 0 (+) = 5 000(+0,06) 0 = 8 954,24. 4
b) Kamatos kamatszámítással: FV 5 = 0 (+) - = 5 000(+0,06) 5- = 6 32,38. FV 0 = 0 (+) - = 5 000(+0,06) 0- = 8 447,39. c) Egyszeű kamatozással, a tőke étéke 5 év múlva. Ekko a kamatot minden peiódus végén kifizetik és nem tőkésítik: FV 5 = 0 (+( )) = 5 000(+0,06 5) = 6 500. Egyszeű kamatozással, a tőke étéke 0 év múlva: FV 0 = 0 (+( )) = 5 000(+0,06 0) = 8 000. F..2. A pénz jelenétéke D.A. 3 év múlva 20 000 euót kap egy biztosító intézettől. D.A. befektetéseinek hozama 0%. Mennyit é ma ez a befektetése, ha a 0% hozamot megfelelő diszkontátának tekintjük? M..2. PV = 20 000 = 20 000 PVF = 20 000 0,75 = 5 026,30 euó 3 0%,3év (+ 0,) F..3. A kamatláb nagyságának hatása a pénzáam nagyságáa Az ameikai észvény és kötvénypiacon 926-998 között az Ibbotson Associates vizsgálata szeint a észvények átlagos hozama % volt, az állampapíoké pedig 5%. ételezzük fel, hogy a hozam a későbbiekben is változatlan maad Mekkoa lesz 00 $ váható étéke 0, 20 és 40 év múlva, ha azt észvénybe ill. állampapíba fektetnénk? Mekkoa a különbség a két befektetés étéke között 0 és 40 év múlva? M..3. Részvény: Kötvény: FV 0 = 00(+0,) 0 = 283,94 FV 0 = 00(+0,05) 0 = 62,89 FV 20 = 00(+0,) 20 = 806,23 FV 20 = 00(+0,05) 20 = 265,33 FV 40 = 00(+0,) 40 = 6500,08 FV 40 = 00(+0,05) 40 = 704,00 0 év múlva a észvénybefektetés étéke az állampapí befektetés,74-szeese, 2,05 $-al lesz több. A különbség 40 év múlva 5796,09 $ lesz, vagyis a észvénybefektetés étéke 9,23-szeese lesz az állampapí befektetésnek...2. A pénz időétéke általános fomulák Pénzáam soozat jövőétéke: FV 2 t t = ( + ) + 2 ( + ) +... + ( + ) = t ( + ). t= Pénzáam soozat jelenétéke: PV = + + + + + 2 t... ( ) ( ) ( ) ( ). 2 t + Nettó jelenéték: = t= + 2 t NPV = 0 + + +... + =. 2 ( + ) ( + ) ( + ) t= 0 ( + ) t 5
t FV meg. PV NPV = t-edik időszak végén esedékes pénzáam (betét/kifizetés). = éves kamatláb. = évek száma. = a pénz jövőétéke (futue value) év múlva. A pénzáamok étékét a időszak végée adja = a pénz jelenétéke (pesent value). Pénzáamok étékét az időszak elejée adja meg. = nettó jelenéték (net pesent value). Pénzáamok étékét az időszak elejée adja meg. F..4. Jövő és jelenéték számítás többszöi betét/kifizetés Kovács ú az idegenfogalom csökkenése miatt el kívánja adni balatoni ingatlanát. Háom vevő jelentkezik, az egyik 00 eze euót ígé azonnali fizetése, a másik 20 eze euót, de két év múlva tud csak fizetni, míg a hamadik vevő háom észletben fizetné a következő összegeket: most 50 eze, egy év múlva szintén 50 eze, a második év végén 20 eze euót. Melyik ajánlatot fogadja el, ha az éves betéti kamat 6% minden lejáata, a jövőbeni pénzáamok bekövetkezése biztosnak, kockázatmentesnek tekinthető? Milyen döntést hoz, ha jelen és jövőéték számítással alapozza meg választását? M..4. A) Jelenéték számítással: a) PV = 00 eze euó. 20 b) PV = 06,80 eze euó 2 ( + 0,06) =. 50 20 c) PV = 50 + 4, 97 eze euó 2,06 +,06 =. B) Jövőéték számítással: a) FV 2 = 00(+0,06) 2 = 2,36 eze euó. b) FV 2 = 20 eze euó. c) FV 2 = 50(+0,06) 2 + 50(+0,06) + 20 = 29,8 eze euó. ehát a c lehetőséget kell választani. F..5. Jövőbeli pénzáamok jelenétéke Egy befektető tőkebefektetése évén a következő háom évben az alábbi bevétele tesz szet (eze dollában): Év Bevétel 0 000 2 5 600 3 3 800 A bevételek az időszak végén esedékesek. Mekkoa a befektetett tőke étéke, ha a befektetés 8%-os hozamot biztosít? M..5. Év Bevétel PVF PV 0 000 0,926 9260 2 5 600 0,857 4799,2 3 3 800 0,794 307,2 Jelenéték összesen 7 076,4 6
F..6. Nettó jelenéték Ön egy befektetést tevez, 20 eze euó étékben. A befektetésből befolyó váható készpénzbevétele az egymást követő háom év végén 0 eze euó, 2 eze euó, és 8 eze euó. Édemes-e megvalósítani a befektetést, ha van egy azonos futamidejű és kockázatú befektetési lehetősége, amely évi 2%-os hozamot biztosít? (Jelen időpontban töténő összehasonlítással alapozza meg a döntését!) M..6. 0000 2000 8000 NPV = 20000 + + + = 20000 + 2489 = + 489 euó 2 3,2,2,2 Édemes megvalósítani...3. Lineáis és folytonos kamatozás Kamat tőkésítése évente m alkalommal: m FV = 0 + = 0 FVF/m, m Jövőéték folytonos kamatozással FV = 0 e. m. Vegyes kamatozás (kamatpeióduson belül lineáis, több kamatpeiódus esetén kamatos kamat): FV ( + t )( + ) ( + ) = PV t 2. Diszkontálás egy peióduson belül, diszkontláb alkalmazásával: t d =, PV = t ( d). + t m d t t = éven belüli kamat (tőkésítési) peiódusok száma. = a vele egyenétékű kamatláb évényességi idejée vonatkozóan a kamat és a kamattal növelt tőkeéték hányadosa. = kamatozás időtatama (a kamatnapok száma/az év napjainak száma). = t időszakban esedékes pénzáam (betét/kifizetés). = éves kamatláb. = lejáat időpontja. F..7. Egy kamatozási peióduson belüli lineáis kamatozás A 200. szeptembe 27-én 6%-a elhelyezett 000 euó betétjét 200. decembe 30-án veszi fel. Mekkoa összege számíthat, feltéve, hogy a kamatláb nem változik az év folyamán, a kamatot a lejáatko fizetik ki és az év tényleges napjait vesszük figyelembe? M..7. 94 FV = 000(+ 0,06 ) = 05,45 euó. 365 7
F..8. Jövőéték, éven belüli kamatjóváíás esetén ételezzük fel, a betét étéke 5 000 dollá, az éves kamatláb 8%, minden lejáata. Mekkoa a betét étéke 3 év múlva éves, féléves, negyedéves, havi és folytonos kamatjóváíást feltételezve? M..8. a) éves kamatjóváíás esetén (m=): FV 3 = 5 000 (+0,08) 3 = 6 298,56 dollá. 0,08 b) féléves kamatjóváíás esetén (m=2): FV3 = 5 000 + = 6 326,6 dollá. 2 0,08 c) negyedéves kamatjóváíás esetén (m=4): FV3 = 5 000 + = 6 34,2 dollá. 4 0,08 d) havi kamatjóváíás esetén (m=2): FV3 = 5 000 + = 6 35,9 dollá. 2 e) folytonos kamatjóváíás esetén (e ) : FV 3 = 5 000 e (0,08 3) = 5 000 (2,7828) 0,24. = 6 356,25 dollá. F..9. Vegyes kamatozás Egy ügyfél 000 pénzegységet helyezett el bankszámláján 2008 szeptembe 28-án. A betéti kamatláb 0%. A betétet 5 év múlva, 203 június 29-én veszi fel. A kamatot az év végén íják jóvá a számlán. Mekkoa összeget vesz fel lejáatko? M..9. 94 4 80 FV = 000 + 0,0 ( + 0,0) + 0,0 = 575,87. 365 365 F..0. Diszkontálás egy peióduson belül Egy vállalkozás a 30 000 euóól szóló váltóját lejáat előtt 90 nappal benyújtja a számla-vezető bankjához leszámítolása. (A váltódíjtól eltekintünk. A bank az évet 360 nappal számolja.) a) Mekkoa összeget í jóvá a bank az ügyfél számláján? A bank olyan diszkontlábat állapít meg, amellyel ugyanakkoa kamatot ealizál, mintha folyószámlahitelt nyújtott volna. A folyószámla hiteleinek kamata0%. b) Mekkoa a jóváít összeg, ha a leszámítolási kamatláb 0%? M..0. 90 0, 30 000 a) PV = = 26 829,27 euó 90. Diszkontlá b : 360 = 0,02439024 90 3 + 0, + 0, 360 360 90 0, vagy: PV = 30 000-360 = 30 000 (- 0,024390243) = 26 829,27 euó. 90 + 0, 360 90 b) PV = 30 000-0, = 26 750 euó. 360 36 6 2 8
..4. Kamatok és hozamok Effektív kamatláb: eff m i = + -. m Reál kamatláb: eál + = i. + inflációs áta Hozamszámítás, ha csak egy jövőbeli pénzáam esedékes: FV IRR =. PV A hozamszámítás általános fomulája: 2 0 + + +... + = 0; t= 0 2 ( + IRR) ( + IRR) ( + IRR) vagy: ( + IRR) t t = 0. i eff eal IRR = kinyilvánított (jegyzett, névleges vagy nominális) kamatláb. = tényleges kamatláb, effektív kamatláb, ha a kamatjóváíás éven belül többszö töténik. = az inflációs átával koigált kamatláb. = (intenal ate of etun) belső megtéülési áta (tényleges hozam), az a kamatláb, amely mellett az NPV = 0, ha a hozamokat a belső megtéülési átával lehet újabefektetni. F... Effektív kamatláb Mekkoa az éves 6% névleges kamatláb tényleges, effektív étéke éves szinten éves, féléves, negyedéves, havi és folytonos konveziós peiódusok (tőkésítési peiódusok) feltételezésével? M... a) éves kamatjóváíás esetén: eff = ( + 0,06) = 0,06; eff = 6%. 2 0,06 b) féléves kamatjóváíás esetén: eff = + = 0,0609 ; eff = 6,09%. 2 0,06 c) negyedéves kamatjóváíás esetén: eff = + = 0,064 ; eff = 6,4%. 4 0,06 d) havi kamatjóváíás esetén: eff = + = 0,067 ; eff = 6,7%. 2 e) folytonos kamatozás esetén: eff = e 0,06 = 0,068; eff = 6,8%. F..2. Reálkamatláb Mekkoa az éves 6% nominális kamatláb eálétéke 3% ill. 4,8% inflációs áta esetén? 2 4 9
M..2. + 0,06 a) eál = = 0,029; eál = 2,9%. + 0,03 + 0,06 b) eál = = 0,05 ; eál =,5%. + 0,048 F..3. ényleges hozam Ön 3 év múlva lakást szeetne venni, amelynek áa akko 92 eze euó lesz. Jelenleg 60 eze euója van. Mekkoa hozamú befektetési lehetőséget kell találnia, ha ebből a pénzből akaja megvásáolni? M..3. 92 = IRR = 3 = 0,53 = 5,3%. 60 F..4. ényleges hozam Egy számítástechnikai vállalat 20 eze euó befektetést tevez. Mekkoa a váható hozama, ha a befektetésből befolyó váható készpénzbevétel a következő háom évben 0 eze euó, 2 eze euó és 8 eze euó az egymást követő években? M..4. 0 2 8 0 = 20 + + +. + IRR ( + IRR) 2 ( + IRR) 3 NPV 24% esetén: 0 2 8 NPV = 20 + + + = 20 + 20,065 = + 0,065 eze euó. 2 3 + 0,24 ( + 0,24) ( + 0,24) NPV 25% esetén: 0 2 8 NPV = 20 + + + = 20 = 0,224 eze euó. 2 3 + 0,25 ( + 0,25) ( + 0,25) Intepoláció: NPVA 0,065 IRR = A + ( F A ). IRR = 0,24 + ( 0,25 0,24) NPVA + NPVF 0,065 + 0,224 IRR=24,22%. 0
.2. Különleges pénzáamok.2.. Öökjáadék Öökjáadék: PV = Növekvő tagú öökjáadék: PV = g Később kezdődő öökjáadék: PV = PVF, - PV g = az öökjáadék jelenétéke. = egyenlő összegű kifizetés az idők végezetéig, amely alap esetben időszak végén esedékes. = a befektető elvát hozamátája. = a pénzáamok éves százalékos növekedése. F..5. Öökjáadék Mennyit é az a öökjáadék jellegű konzol kötvény amely évi 50 $-t fizet az idők végezetéig, a befektetés elvát hozamátája 8%? M..5. 50 PV = = 625$. 0,08 F..6. Később kezdődő öökjáadék Az ISO Rt. észvényenként 89 euó osztalék fizetését ígéi (a észvény lejáat nélküli étékpapí). Az első háom évet követően, a negyedik év végétől fizet osztalékot. Étékeljük az osztalékáamot, ha a befektetők elvát hozamátája 9%. F..6. 0 2 3 4 5 6. t 89 89 89. 89 89 PV = 763,60 euó 3 0,09 (+ 0,09) =. vagy jelenéték fakto használatával:
PV = (89/0,09) PVF 9%,3év = 988,89 0,772 = 763,42 euó..2.2. Évjáadék jelen- és jövőétéke Szokásos évjáadék jelenétéke, ha a kifizetések az év végén esedékesek: PV = = ( ) + PVA, Évjáadék jelenétéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek: PV = + 0 PVA,- Szokásos évjáadék jövőétéke, ha a kifizetések az év végén esedékesek: ( ) FV = + t= t = ( + ) FV = FVA, ; Évjáadék jövőétéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek: ( + ). FV = 0 FVA PVA, FVA, = éves azonos összegű kifizetés soozata, amely az időszak végén esedékes. = az évjáadék jelenéték faktoa, kamatláb és év mellett. = évjáadék jövőéték fakto, kamatláb és év mellett. F..7. Évjáadék jelenétéke Az Isosoft Kft. két lehetőséget étékel. Egyik választási lehetőség: vásáol most 8000 euóét egy másológépet. A másik lehetőség: a következő 5 évben minden év végén 200 euót fizet ugyanannak a másológépnek a használatáét. a) Melyik lehetőséget édemes kihasználni, ha a vállalat elvát megtéülése 2%? b) Hogyan módosul az étékelés, ha az év elején kell fizetnie? M..7. a) éves fizetések az év végén töténnek: PV = 200 PVA 2%,5év = 200 = 7 570,03 euó; 5 0,2 0,2( + 0,2) Vagy annuitás faktoal: PV = 200 3,605 = 7 570,50 euó. Édemesebb a észletfizetést választani. b) éves fizetések az év elején töténnek: PV = 200+200 PVA 2%,4év = 200+ 200 = 8 478,43 euó. 4 0,2 0,2( + 0,2) Édemesebb 8000 euóét megvenni. F..8. Évjáadék jelenétéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek Az eltéés keekítésből adódik. A mellékletek fakto tábláiban háom tizedesjegye keekített fakto étékek szeepelnek. 2
K.D. kápótlási jegyét évjáadéka váltotta át. A következő 8 évben évi 4000 euót kap. A kifizetések az év elején esedékesek. Mekkoa a kápótlási jegyek étéke? Az altenatív kamatláb 0%. M..8. PV = 4000 + 4000 = 4000 + 4000 4,868 = 23 472 euó. PVA 0%,7év F..9. Évjáadék jövőétéke Mekkoa az évenkénti 000 euó tőkebefektetés étéke 4 év múlva, ha a befektetés 8% hozamot hoz és a befektetés az év végén töténik Hogyan módosul a befektetés étéke, ha a tőkebefizetés az év elején töténik? Időskálán ábázolja a pénzáamokat! M..9. a) 4 (+ 0,08) FV4 = 000 FVA 8%,4év = 000 = 000 4,506 = 4 506, 0,08 b) FV = 000 (+ 0,08) FVA = 080 4,506 4 866,48 euó. 4 8%,4év = ash flow áam: a) kifizetés az év végén Év 0 2 3 4 ash flow 000 000 000 000 FV 000 080 66,4 259,7 összesen 4 506, euó. c) kifizetés az év elején Év 0 2 3 4 ash flow 000 000 000 000 FV 080 66,4 259,7 360,49 összesen 4 866,60.3. Összetett feladatok alkalmazások.3.. Összetett feladatok F..20. a) Számítsa ki a 6% névleges kamathoz tatozó kamattényezőt egy éve! Mekkoa a diszkonttényező ez esetben? 3
b) Hatáozza meg a 6% névleges kamatlábbal egyenétékű diszkontlábat! c) Számítsa ki a 6% diszkontlábbal egyenétékű kamatlábat! F..2. Számítsa ki a 8% diszkontlábhoz tatozó diszkonttényezőt! Mekkoa ez esetben a kamatláb? F..22. Egy légi közlekedési vállalat Boeing epülőgép vásálásába aka invesztálni. A feltételezések szeint 6 év múlva 20 millió dolláét el tudja adni a gépet a Singapou Ailine-nak. a) Mekkoa összeget kellene a Singapou Ailine-nak ma befektetnie, 6% éves nominális hozam feltételezése mellett, hogy 6 év múlva endelkezésée álljon a 20 millió dollá? b) Mekkoa lenne 20 millió dollá jelenlegi étéke 8% ill. 0% elvát hozam mellett? F..23. Az állami költségvetés deficitjét 3000 millió dolláal kívánja a komány csökkenteni a következő 0 évben, a jóléti kiadások csökkentésével. Mekkoa a tényleges deficit csökkenés, ha a komány 8% évi kamattal tud kölcsönt felvenni, bámely lejáata és a jóléti kiadások csökkentésének ütemezése a következő: Év Deficitcsökkentés, millió $ Év Deficitcsökkentés, millió $. 00 6. 350 2. 00 7. 400 3. 200 8. 400 4. 200 9. 450 5. 350 0. 450 F..24. Mennyi pénze lesz a bankban 4 év múlva, ha ma 5000 euót helyez el, 6% névleges kamatláb és féléves kamatpeiódus esetén? F..25. Kovács A. 2008 októbe 25-én bankba tett 20 eze euót. A betétet két év múlva, 200 decembe 3-én szünteti meg. Mekkoa összeget kap, ha betétko 8%-os kamatot számolt a bank, és amelyet két év múlva, októbe 25-én 6%-a csökkentett? Az év 365 napos, a kamat tőkésítése decembe 3-én töténik. F..26. Mennyiét lehet ma leszámítoltatni 60 eze euó étékű, 60 napos lejáatú váltót, ha az éves kamatláb 6%? (Váltó leszámítolásnál az év napjainak száma 360). Mekkoa a diszkontláb nagysága? F..27. Mennyiét vásáolja meg a bank a leszámítolása benyújtott 25 000 euóa szóló váltót, ha a váltó lejáatáig 90 nap van háta, és a bank 2%-os hitelkamatnak megfelelő leszámítolási kamatlábat, valamint a buttó összege vetített,2%-os egyszei váltódíjat alkalmaz? (év = 360 nap.) F..28. Egy vevő 28 000 dolláal, tatozik, amely - szeződés szeint - a mai naptól számított 60. napon esedékes. Eltelik 30 nap, és a vevő tatozásának teljes kiegyenlítése fejében felajánl a vállalatnak: a) 27 200 dollát b) az esedékesség előtt 20 nappal 27 300 dollát. c) az esedékesség előtt 0 nappal 27 500 dollát. 4
Az ajánlatok közül melyik a legkedvezőbb, ha a piaci kamatláb 7%? F..29. Az építési, lakásvásálási hitelek kamatait az ügyfelek havonta fizetik (tölesztéstől most eltekintünk). A bankok a hitelek után éves nominális kamat fizetését ögzítik a hitelszeződésben. Egy bank az államilag támogatott hitelek után 6% kamatot, míg a piaci kondíciók szeint folyósított hiteleke 2% kamatot ké az ügyfeleitől. a) Mekkoa az ügyfelek tényleges kamat tehe? b) Mekkoa a tényleges kamattehe negyedéves kamatfizetés esetén F..30. ételezzük fel, hogy ön évig endelkezik szabad pénzeszközzel. Két lehetőséget mélegel, az egyik esetben az éves kamat peiódusok száma 4, a másik esetben 3. Számítsa ki, hogy melyik lesz a jobb befektetés, 6%-os éves névleges kamatláb mellett? F..3. A bank a nála elhelyezett betét után havonta 0,6%-os kamatot fizet, az éves inflációs áta 3,2%. Hatáozza meg az effektív- és a eálkamatláb nagyságát! F..32. Egy vállalkozó a pénzfogalmi számlájáól másfél éven keesztül minden hónap végén elkülönített betétszámláa utalt 0 000 euót. A betét után a bank 7% éves kamatot fizet, a konstukció havi kamatos kamatozású. Hatáozza meg, mekkoa a 8. hónap végén összegyűlt megtakaítás! F..33. Ön most öökölt millió dollát, amely jelenleg 5% hozamot eedményez évente. Ha Ön feladja állását, és az öökségéből kíván élni, évi 00 eze dollá kivonásával meddig tatana az ööksége? F..34. Egy biztosító intézet ügyfele most 35 éves és nyugdíjba vonulását követő életvitelét fontolgatja. 65 éves koában tevezi a nyugdíjba vonulását. Az aktuáius táblán nyugvó becslés alapján 90 évig fog élni. Nyugdíjba vonulását követően Madeiáa szeetne költözni. Az új életfeltétel megteemtése váhatóan 300 000 dollá egyszei kiadással tásul (65. születésnapján tevezi). Ezt követően az éves megélhetési költségek összege 30 000 dollá, amelyet az egyszeűség kedvéét az év végén egyszei kiadásként kezelünk. a) Mekkoa összeggel kell endelkeznie a nyugdíjazásának időpontjáa? A biztosító 8% hozamot ígé. b) Az ügyfél má endelkezik 80 000 dolláal. A tőkét évi 8% hozammal tudja befektetni. (ételezzük fel, hogy a befektetés hozama nem adóköteles). Mekkoa összeggel endelkezik 30 év múlva, nyugdíjba vonulásako? Elegendő lesz-e az így összegyűlt pénze teve megvalósításához? c) Ha a befektetések hozama adóköteles, 20% adókulccsal számolva mennyi pénz gyűlik össze a tőkeszámláján? F..35. A Vidámpak Rt. átlagosan 800 millió dollá cash flow-a tett szet évenként a pak működtetéséből. Ez a pénzáam váható a jövőben is. Az elvát megtéülés 2%. 5
a) Mekkoa a vállalat étéke, végtelen peiódusszámot figyelembe véve? b) Mekkoa a vállalat étéke, ha 30 éves koncessziós szeződése van a vállaltnak? F..36. Egy magánnyugdíj biztosítással endelkező ügyfél évente 6 000 euót fizet tőkeszámlájáa. A biztosítást 45 éves koában kezdte, nyugdíjba vonulása 65 éves koában váható. a) Mekkoa tőkéje képződik, ha a nyugdíjbiztosító intézet évi 8% megtéülést ígé? b) Mekkoa összeget kellene elhelyeznie minden évben, hogy 5 év múlva 400 000 euó álljon endelkezésée? c) Hogyan módosul a 6 000 euó éves befizetés étéke, ha a befizetés az év elején töténik? d) Hogyan módosul 400 000 euó felgyűlt pénzáamhoz tatozó éves befizetés összege, ha a befizetés az év elején töténik? F..37. A.B vállalkozó 80 000 svájci fankban denominált hitelt vett fel 4 éve 5%-os kamattal. A kamat és tőketölesztés az év végén esedékes, összegét számítsa ki az évjáadék képletével. F..38. Mennyiét édemes megvásáolni 6% kamat mellett azt az évi 50 eze angol font hozamot biztosító konzolt, amely 4. év végén kezdi meg a kifizetést? F..39. M.A. a kátéítésként megítélt összeget évjáadéka váltotta át. Az évjáadék 7 000 dollá, amely 5 éven keesztül, minden év végén keül kifizetése. Mekkoa volt a kátéítés összege, ha az elvát megtéülés 6%? F..40. Egy befektető a következő négy évben, minden év végén 2 000 dollá megtakaítást helyez el a A észvény potfólióban. A potfólió váható hozama %. a) Mekkoa a 4. év végén a megtakaítás étéke? b) Hogyan alakul a megtakaítás étéke, ha év elején töténik a befektetést? F..4. Egy alapítvány öökjáadék fomájában az első évben 2 000 euót, az első évet követően pedig évi 5%-kal növekvő öökjáadékot kíván juttatni a kedvezményezetteknek. Mekkoa összeget helyezne az alapítványba, ha a piaci kamatláb 0%? F..42. Öökölt egy évjáadékot. 0 éven keesztül minden év végén kapna 5 000 euót. Önnek azonban azonnal szüksége lenne 80 eze euóa ezét úgy dönt, hogy eladja a jáadékot. Egy ismeőse 90 000 euót ajánl fel azonnali fizetéssel, egy okona pedig 95 000 euót, amelyből azonnal fizetne 50 000 ezet és egy év múlva 45 ezet. Melyik ajánlatot fogadná el, ha a 0 éves befektetések elvát hozama évi 8%? a) Az ismeősét, met az ajánlata többet é. b) A okonét, met az ő ajánlata é többet. c) Egyiket sem, met az étékpapípiacon többet is kaphatna éte. F..43. 6
N.A. szülei évenként 50 000 dollát helyeznek el N.A. javáa egy bankszámlán. A befizetéseket 5 évig szándékoznak fenntatani. Mekkoa a befizetések étéke a 5. év végén, ha az altenatív befektetés elvát hozamátája 6%. F..44. Egy biztosító intézet évi 25 000 fontot fizet ügyfelének 0 éven keesztül. A kifizetések az év elején esedékesek. Mekkoa a kifizetések jelenétéke, ha az altenatív kamatláb 6%? F..45. ételezzük fel, hogy 6000 euó áuvásálási kölcsönt szeetne felvenni. A folyósítás egy összegben töténik. A visszafizetési hatáidő 3 év. A bank által alkalmazott kamatláb 9% amely a hitel futamideje alatt nem változik. A kölcsönszeződés alapján a tatozást (tőke + kamat) évente azonos nagyságendben kell töleszteni. a) Számítsa ki az évente fizetendő adósságszolgálat összegét! b) Hogyan változik az adósságszolgálat nagysága, ha a tőkét kell azonos összegekben töleszteni? Ön melyik konstukciót választaná és miét? F..46. Lakásvásáláshoz 45 eze euót vesz fel bankjától. A visszafizetési idő 5 év. A piaci kamatláb 6%. a) Mekkoa a havi adósságszolgálati kötelezettség összege? b) Mennyivel csökkenne a lakásvásálás költsége, ha az adósságszolgálat után 20% adókedvezményt évényesíthetne? F..47. ételezzük fel, hogy 50 000 font lakásvásálási kölcsönt szeetne felvenni. A folyósítás egy összegben töténik. A hitel futamideje 0 év. A bank által alkalmazott kamatláb 9% amely a hitel futamideje alatt nem változik. A kölcsönszeződés alapján a tatozást (tőke+kamat) évente azonos nagyságendben kell töleszteni. a) Számítsa ki az évente fizetendő adósságszolgálat összegét! b) Hogyan alakul az adósságszolgálat nagysága az első háom évben, ha a tőkét kell azonos összegekben töleszteni? c) Hogyan változik az adósságszolgálat nagysága, ha az adósság szolgálatot havonta kell töleszteni?.3.2. Összetett feladatok megoldása M..20. a) Kamattényező: : (+); (+0,06)=,06. Diszkonttényező: = 0,943. ( + ) ( + 0,06) b) Diszkontláb: d = + ; 0,06 d = = 0,0566 + 0,06 ; ; d= 5,66%. c) Kamatláb: 0,06 = ; = 6,38%. + 7
M..2. Kamatláb diszkontlábból meghatáozva: 0,08 = ; = 8,7%, + diszkonttényező: = 0,92; vagy diszkonttényező, diszkontláb alapján: d; 0,08=0,92. ( + 0,087) M..22. a) FV 6 = PV FVF 6%, 6év ; 20 millió = PV (+0,06) 6 PV= 20 = 4,0 millió $. 6 ( + 0,06) b) PV = 20 millió PVF 8%,6év = 20 = 2,60; vagy: 20 0,630 = 2,60 millió $. 6 ( + 0,08) PV = 20 millió PVF 0%,6év = 20 =,29; vagy: 20 0,564 =,29 millió $. 6 ( + 0,) M..23. PV = 00 PVF 8%, év + 00 PVF 8%, 2év + 200 PVF 8%, 3év + 200 PVF 8%, 4év + 350 PVF 8%, 5év + 350 PVF 8%, 6év + 400 PVF 8%, 7év + 400 PVF 8%, 8év + 450 PVF 8%, 9év + 450 PVF 8%, 0év = 825,9 millió $. M..24. 8 0,06 FV 4 = 5 000 FV (6 / 2)%, (4 2)év = 5000 + = 6333,85 euó. 2 M..25. Októbe 25 és decembe 3 között a kamatnapok száma 67. 67 298 67 FV = 20 000 + 0,08 ( 0,08) 0,08 0,06 = 23590, euó 365 + + + 365 365 M..26. 60000 PV = = 59 405,94 euó. 60 + 0,06 360 60 0,06 d = 360 = 0,00990099. 60 + 0,06 360 PV = 60 000( 0,00990099)= 59 405,94 euó. M..27. 25 000 90 + 0,2 360 = 24 27,84 euó. 8
24 27,84 300 = 23 97,84 euó. M..28. 30 a) 27200 + 0,07 = 27 356,49 dollá. 365 20 b) 27 300 + 0,07 = 27 404,7 dollá. 365 0 c) 27 500 + 0,07 = 27 552,74 dollá. 365 ehát a megoldás elfogadása javasolt. M..29. a) Effektív kamatláb 6% éves kamatozás és havi kamatfizetés esetén: 2 0,06 + = 0,066 ; eff = 6,7%. 2 Effektív kamatláb 2% éves kamatozás és havi kamatfizetés esetén: 2 0,2 + = 0,268 ; eff = 2,68%. 2 b) Effektív kamatláb 6% éves kamatozás és negyedéves kamatfizetés esetén: 4 0,06 + = 0,064 ; eff = 6,4%. 4 Effektív kamatláb 2% éves kamatozás és negyedéves kamatfizetés esetén: 4 0,2 + = 0,255 ; eff = 2,55%. 4 M..30. 4 3 0,06 0,06 + = 0,064 ; eff = 6,4%. + = 0,062 ; eff = 6,2%. 4 3 ehát a gyakoibb kamatelszámolás a betétes számáa kedvezőbb. M..3. 2 = + 0,006 0 ; eff = 7,44%. ( ),0744 eff = 2 eál = M..32. ( + 0,006) = 0,04 ; eal = 4,%. ( + 0,032) 0,07 + 2 FV = 0 000 = 89 208,84 euó. 0,07 2 M..33. PV = 000 000 = 00 000 PVA 5 %, év. 000000 = 00 000 -. 0,05 0,05,05,05 = 2. 8 9
= 4,2 ehát legalább 4 évig tat az ööksége. M..34. a) 65. és 90. év között szükséges pénzösszeg étéke 65. születésnapján: PV = 300 000 + 30 000 PVA 8%,25év = 300 000+ 30 000 0,675 = 620 250 $. b) FV = 80000( + 0,008) 30 = 805 02, 55 $. Igen. c) FV = 80000[ 0,08( 0,02) ] 30 = 54 444, 85 + $. M..35. 800 a) PV = = = 6 666,67 millió dollá. 0,2 b) PV = 800 = 6444,5; : 800 8,055 = 6 444 millió dollá 30 0,2 0,2( 0,2) vagy. + M..36. a) FV 20 = FVA 8%,20év = 6000 45,762 = 274 572 euó. b) FV 5 = 400 000 = FVA 8%,5év = 27,52; = 4 73,88 euó. c) FV 25 = (+) FVA 8%20év = 6 000(+0,08) 45,762 = 296 537,76 euó. d) FV 5 = 400 000 = (+0,08) FVA 8%,5év = (+0,08) 27,52; = 3 640,63 euó. M..37. PV = PVA 5%,4év = 3,546 = 80 000 svájci fank. = 50 76 svájci fank. Év Adósságszolgálat /év Kamathányad/év őkehánya Fennálló kötelezettség d/év 0 80 000 50 76 9 000 4 76 38 239 2 50 76 6 92 43 849 94 390 3 50 76 4 720 46 04 48 349 4 50 76 2 47 48 344 0 M..38. 50 PV = PVF6%,3év = 833 0,840 = 699,72; 0,06 50 vagy: = 699,68 eze font. 3 0,06 ( + 0,06) M..39. PV = 7000 = 96353,82; vagy : 7000 3,760 = 96320 dollá 30 0,06 0,06( 0,06) + M..40. 4 (+ 0,) a) FV4 = 2000 FVA%,4év = 2000 = 56 56,77 euó 0,. 20
4 (+ 0,) b) FV4 = 2000 ( + 0,) FVA%,4év = 2000 ( + 0,) = 62 733,62 euó 0, M..4. 2 000 PV = = 240 000 euó. 0, 0,05 M..42. a) PV = 90 000 euó 45 000 b) PV = 50 000 + = 9 666,67 euó.,08 c) PV = 5 000 = 0065,22; vagy :5 000 6,7 = 00 650 euó. 0 0,08 0,08,08 A c) ajánlat a kedvezőbb. M..43. 5 ( + 0,06) FV = FVA,, = 50 000 0,06 vagy: 50 000 23,276 = 63 800 dollá. = 63 798,50; M..44. PV = 25 000 + 25 000 = 95 042,3 font. 9 0,06 0,06,06 M..45. a) 6000 = = 2 370,33euó; 3 0,09 0,09( 0,09) +. 6000 Vagy annuitás faktoal: = = 2 37 euó. 2,53 b) ölesztési tev: Év Fennálló tőketatozás Esedékes Esedékes Esedékes adósságszolgálat kamat tőketölesztés 4000 540 2000 2 540 2 2000 360 2000 2 360 3 0 80 2000 2 80 A fizetendő kamat métékét tekintve mindkét konstukció azonos költséget jelent a hitelfelvevő számáa. A két változat angsoolásako a döntés más, (pl. likviditási) szempont alapján töténik. M..46. a) 45 000 = = 869,98 euó; 60 0,005 0,005,005 Vagy: = 45 000 / 5,726 = 869,97 euó. b) PV = ( 0,2). 60 0,005 0,005,005 2
PV = 869,97 ( 0,2) = 35 999,75 euó. 60 0,005 0,005,005 PV = 869,97 (-0,2) 5,726 = 36 000,05 euó. M..47. 50 000 a) 50 000 = = 7 79,00 font; = = 7790,59 font. 0 0,09 0,09,09 6,48 b) = 5 000 + 4 500 = 9 500 font. 2 = 5 000 + 4050 = 9 050 font. 3 = 5 000 + 3 600 = 8 600 font. c) 50 000 = = 633,38 font; 20 0,0075 0,0075,0075 50 000 vagy: = = 633,38 font. 78,942 22