RE 1 Relációk Függvények
RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció az A halmazon. A relációk témakörben a továbbiakban minden esetben feltételezzük, hogy az A és a B halmazok nem üresek.
Példa: RE 3 3 termelő állít elő egy-egy fajta terméket, és ezeket 5 fogyasztó használja fel. a termelők halmaza: T = { t1, t2, t3 } a fogyasztók halmaza: F = { f1, f2, f3, f4, f5 }
RE 4 Ha egy f fogyasztó felhasznál egy t termelő által előállított termékből, akkor mondjuk azt, hogy a t termelő relációban (kapcsolatban) áll az f fogyasztóval, avagy a (t,f) pár eleme a relációnak.
RE 5 Ha minden egyes fogyasztó felhasználná minden egyes termelő termékét, akkor a kapcsolatrendszert a teljes T F Descartes szorzat írná le. Az ettől eltérő esetekben a T F egy valódi részhalmaza modellezi a kapcsolatrendszert.
Például a RE 6 ρ = {(t1,f1), (t1,f3), (t2,f1), (t2,f2), (t2,f4), (t2,f5), (t3,f1), (t3,f4)} T F reláció által megadott kapcsolatrendszernek megfelelő ábra:
RE 7 Definíció: reláció értelmezési tartománya A ρ A B reláció értelmezési tartománya: D ρ = { x A van olyan y B, melyre (x,y) ρ } D ρ az A halmaz azon elemeiből áll, melyek relációban állnak legalább egy B-beli elemmel.
RE 8 Definíció: reláció értékkészlete A ρ A B reláció értékkészlete: R ρ = { y B van olyan x A, melyre (x,y) ρ } R ρ a B halmaz azon elemeiből áll, melyek relációban állnak legalább egy A-beli elemmel
RE 9 Definíció: reláció inverze A ρ A B reláció inverzén azt a ρ -1 B A relációt értjük, melyre: ρ -1 = { (y,x) (x,y) ρ } B A
RE 10 Példa: A ρ N N, ρ = { (3,7), (3,9), (5,1), (6,1), (9,7) } reláció inverze: ρ -1 = { (7,3), (9,3), (1,5), (1,6), (7,9) }
RE 11 Definíció: reláció leszűkítése Ha ρ A B egy reláció és C D ρ, akkor a ρ C = { (x,y) ρ x C } relációt ρ C-re való leszűkítésének nevezzük.
RE 12 A relációk néhány tulajdonsága A ρ A A reláció reflexív, ha minden x A esetén ( x, x ) ρ (minden elem relációban áll önmagával) szimmetrikus, ha minden x,y A esetén ( x, y ) ρ ( y, x ) ρ tranzitív, ha minden x,y,z A esetén ( x, y ) ρ ( y, z ) ρ ( x, z ) ρ
RE 13 Relációk néhány tulajdonsága A ρ A A reláció antiszimmetrikus, ha minden x,y A esetén ( x, y ) ρ ( y, x ) ρ x = y lineáris, ha minden x,y A esetén ( x, y ) ρ ( y, x ) ρ (bármely két elem összehasonlítható )
RE 14 Definíció: ekvivalencia reláció A ρ A A reláció ekvivalencia reláció, ha reflexív szimmetrikus tranzitív Példák: Egyenlőség, hasonlóság, párhuzamosság
RE 15 Definíció: osztályozás Az A nem üres részhalmazainak egy ℵ rendszerét az A osztályozásának nevezzük, ha a ℵ elemei páronként diszjunktak a ℵ elemeinek uniója egyenlő A-val
RE 16 Tétel: ekvivalencia reláció és osztályozás Az A halmazon értelmezett bármely ekvivalencia reláció az A egy osztályozását generálja: két elem legyen egy osztályban, ha relációban állnak egymással. Az A halmaz bármely osztályozása egy A-n értelmezett ekvivalencia relációt generál: két elem álljon relációban egymással, ha egy osztályban vannak.
RE 17 Példa: szabadvektorok A geometriai tér pontjaiból képzett (P,Q) párokat irányított szakaszoknak nevezzük. Tekintsük a következő relációt: a (P,Q) és az (R,S) irányított szakaszok relációban állnak egymással (ekvivalensek), ha van a térnek olyan párhuzamos eltolása, amelyre P R és Q S. Könnyen belátható, hogy az így értelmezett reláció ekvivalencia reláció. Az általa létrehozott osztályozás szerinti osztályokat szabad vektoroknak nevezzük. Egy osztályban az egymással ekvivalens irányított szakaszok vannak.
RE 18 Az egy osztályban lévő irányított szakaszok az osztály által definiált szabad vektor reprezentánsai. Egy szabad vektornak a tér minden pontjából pontosan egy reprezentánsa indul ki.
RE 19 Definíció: rendezési reláció A ρ A A reláció rendezési reláció, ha Példa: reflexív antiszimmetrikus tranzitív lineáris A reláció a valós számok halmazának bármely részhalmazán.
RE 20 Minden x,y,z R esetén: x x x y y x x y y z x y y x x = y x z A valós számok a számegyenesen éppen ennek a rendezésnek megfelelően helyezkednek el.
RE 21 Definíció: függvény Függvények Egy f A B reláció függvény, ha az A halmaz minden eleme pontosan egy B halmazbeli elemmel áll relációban.
RE 22 Megjegyzés: A relációkkal kapcsolatban definiált értelmezési tartomány, értékkészlet, leszűkítés fogalmak változatlan formában érvényesek a re is. A esetén a relációknál bevezetettektől eltérő jelöléseket szokás használni. Ezeket tekintjük át a következőkben:
RE 23 Jelölés: Ha f függvény az A és a B halmazok között, továbbá az A halmaz egyenlő az f értelmezési tartományával, akkor a következő jelölést használjuk: f A B jelölése: f:a B Megjegyzés: A fentiek szerint tehát a jelölésben szereplő B halmaz általában bővebb az f értékkészleténél.
RE 24 Jelölés: (x,y) f jelölése: f(x) = y Ha f(x)=y, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x elemhez az y elemet rendeli hozzá, vagy azt, hogy az x helyen az f függvény értéke y.
RE 25 Megjegyzés: függvény értelmezési tartománya Ahogyan azt már korábban megjegyeztük, az f:a B jelölésben az A halmaz azonos a függvény értelmezési tartományával (D f =A): az A halmaz minden eleméhez van olyan y eleme a B halmaznak, melyre f(x)=y. Definíció: függvény értékkészlete Az f:a B függvény értékkészlete: R f = { y B van olyan x A, melyre f(x)=y }
RE 26 Az értelmezési tartományban: helyek Az értékkészletben: értékek
Függvény megadása RE 27 x x 2, x [-1,2] f(x)=x 2, x [-1,2]=D f Ha f(x)=x 2, akkor f(3)=9, amit úgy fogalmazunk meg, hogy az f függvény értéke a 3-nál 9.
RE 28 Definíció: halmaz képe Egy C D f halmaz f szerinti képe az f C értékkészlete: függvény f (C) = R f C Megjegyzés: Emlékeztetünk rá, hogy f C az f reláció (jelen esetben speciálisan függvény) C halmazra való leszűkítését jelöli.
RE 29 Definíció: invertálható függvény Az f A B függvény invertálható (injektív), ha f -1 is függvény. Megjegyzés: Az f-nek, mint relációnak minden esetben létezik inverze, de az általában nem függvény.
RE 30 Megjegyzés: az invertálhatóság ekvivalens megfogalmazása Az f:a B függvény akkor és csak akkor invertálható, ha minden y R f elemhez pontosan egy olyan x D f elem van, melyre f(x)=y.
RE 31 Példa: Az f(x)=x 2, x [0,3] függvény invertálható. Az f(x)=x 2, x [-3,3] függvény nem invertálható.
RE 32 Definíció: kölcsönösen egyértelmű leképezés Az f:a B függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés (bijekció) az A és a B halmazok között, ha B = R f (f szürjektív) f invertálható (f injektív)
RE 33 Függvények kompozíciója (összetett függvény) g : D g R g f : D f (=R g ) R f f o g (x) = f ( g(x) ), x D g g : belső függvény f : külső függvény
RE 34 Példa: g(x) = x 2 + 5x, D g = [0,2], R g = [0,14] f(x) = sin x, D f = [0,14], R f = [-1,1] x x 2 + 5x sin ( x 2 + 5x ) f o g (x) = sin ( x 2 + 5x ) D fog = [0,2], R fog = [-1,1]
RE 35 Megjegyzés: kompozíciója Az fog függvényt szokás az f és a g kompozíciójának, vagy kompozíciós szorzatának nevezni. Megjegyzés: A kompozíciós szorzás nem kommutatív művelet: általában f o g g o f. Az előző példában: f(x) = sin x g(x) = x 2 + 5x f o g (x) = sin ( x 2 + 5x ) g o f (x) = (sin x) 2 + 5 sin x x sin x (sin x) 2 + 5 sin x
RE 36 Többszörösen összetett függvény Példa: f (x) = 3 x g(x) = tg x h(x) = lg x k (x) = x 2 f o x g a o h 3 o tg lg k(x) x 2 = 3 tg lg x 2
RE 37 Definíció: identikus függvény Az x x, x A függvényt az A halmaz identikus függvényének nevezzük. Jelölés: id A Példa: A [-1,3] halmaz identikus függvénye:
RE 38 Megjegyzés: az identikus függvény a kompozíciós szorzás egységeleme Tetszőleges f függvény esetén: f o id = f és id o f = f
RE 39 Megjegyzés: az invertálhatóság megfogalmazása az identikus függvénnyel Az f:d R f f függvény pontosan akkor invertálható, ha van olyan g : R f D f függvény, melyre fog = id és gof=id, azaz fog (x) = x, x D g =R f és gof (x) = x, x D f = R g. Ekkor g-t az f inverzének nevezzük.
RE 40 Példák: f (x) = x 3 f o f 1 (x) = ( ) 3 3 x = x x R 1 f (x) = 3 x f 1 o 3 3 f (x) = x = x x R f (x) = 2 x f -1 (x) = log 2 x f f 1 log2 x o f (x) = 2 = x x R, x>0 1 o x f (x) = log (2 ) = x x R 2