. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális számok, R a valós számok és R + a pozitív valós számok halmaza. J. Az a +a + +a n összegre a n a k vagy a a k jelölést használjuk (kiejtés: szumma k = -t l n-ig a k ). D.3 Vezessük be az... n szorzatra az n! (kiejtés: n faktoriális) jelölést. Legyen továbbá 0! =! =. D.4 Legyenek a, b Z, a 0. Az, hogy a osztója b-nek, azt jelenti, hogy van olyan c Z, hogy ac = b. Jelölése: a b. Feladatok Legyen a, b R és n N +. Bizonyítsuk be a következ azonosságokat:. a n b n = (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ),. a n + b n = (a + b)(a n a n 3 b + a n 4 b ab n 3 + b n ), 3. a n b n = (a + b)(a n a n b + a n 3 b + ab n b n ). 4. Mutassuk meg, hogy ha a + b + c = 0 (a, b, c R), akkor a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Oldjuk meg a következ egyenleteket a valós számok halmazán: 5. x = x +, 6. x + 3 = x, 7. sin x = sin x +, 8. sin x = sin x + 3, 9. tg x = tg x + x 3, 0. x + = x x +,. x +6x+6 = x +4x+9 + x 3,. x 4 x 6 = x 4 4 x +, 3. x x = x x. Oldjuk meg a következ egyenl tlenségeket a valós számok halmazán: 3x + 5 4. 4x 7 < 0, 5. x + 3 3x 5, 6. < x 3 4x + 5 < 4, -
. Bevezetés Algebrai feladatok 5x 7. x + < 3, 8. 3x 7 <, 9. x < x + 6, 0. x + + x,. 4x 3 < x < 4x + 3, x. x + x <, 3. x + > x x +, x + 4. x 4 < x + 5 x +, 3x + 7x 4 5. x + x 3, 6. x > 3, 7. x( x) < 0, 05, 8. x 7x + > x 7x +, 9. x 5x > x 5x, 30. 3 x x > x +, 3. x x >. Oldjuk meg valós x ismeretlenre az alábbi egyismeretlenes egyenl tlenségrendszereket: 3. 4 < (x + 3) < 9, 33. (a )x > a, ax < a +. Ábrázoljuk a derékszög koordináta-rendszerben azoknak az ( x, y) pontoknak a halmazát, amelyek koordinátáira a következ egyenletek, illetve egyenl tlenségek teljesüljenek: 34. y x, 35. y < x +, 36. x + y. 37. x + y =, 38. x y =, 39. x + y = x + y, 40. x y = x y, Oldjuk meg a következ kétismeretlenes egyenl tlenségrendszereket a valós számpárok halmazán: 4. x y < 0 3x y 8 > 0, 43. x y < 0 3x 3y + 0 < 0, 45. x 5y + 7 < 0 x y < 0 x y + 4 > 0, 47. y 4x < 0 x + y x 0 x, 4. 3x y < 0 5x 4y + 6 < 0, 44. 4x + y = 0 x y 4 < 0, 46. 3x 7y + 3 = 0 x + 5y > 0 5x y 7 < 0, 48. 5x + 9y 5 0 9y 6x 44 0. Bizonyítsuk be az alábbi egyenl tlenségeket. Ahol lehet, állapítsuk meg, hogy milyen feltételek mellett áll fenn az egyenl ség: 49. x + y x + y (x, y R) (háromszög-egyenl tlenség, l. még 5.), 50. a + b ab (a, b R), 5. a b a b (a, b R), 5. a b < a, ha b < (a, b R), a 53. a + a (a x + R+ ), 54. x + (x R), -
. Bevezetés Algebrai feladatok x 55. + x (x R), 4 56. a + ab a + b (a, b R + ) (a harmonikus, a mértani és a b számtani közép közötti összefüggés; l. még a 8. feladatot!) 57. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b 0 és α > β > 0 (a, b, α, β R), akkor (a α + b α ) α ( a β + b β) β. Az alábbi feladatokban értelmezzük a (nem üres) S halmazon a megadott vagy m veleteket. Vizsgáljuk meg, hogy a halmaz zárt-e ezekre a m veletekre nézve, azaz a m veletek eredménye mindig benne van-e a halmazban? Ha igen, akkor a m veletek kommutatívak-e, aszociatívak-e? Ahol két m veletet is megadtunk, ott disztributív-e valamelyik m velet a másikra nézve? 58. S = R, x y = y, x, y R, 59. S = R, x y = max(x, y), x, y R, 60. S a páratlan számok halmaza, a számok összeadása, 6. S a páros számok halmaza, a számok összeadása, 6. S a páratlan számok halmaza, a számok szorzása, 63. S = R, x y = x + y, x, y R, 64. S = R, x y = ax + by + c, x, y R, ahol a, b, c adott valós számok, 65. S = {a + b ; a, b Z}, a és a m velet a valós számok halmazán értelmezett összeadás és szorzás, 66. S = {a + b 3 ; a, b Z}, a és a m velet a valós számok halmazán értelmezett összeadás és szorzás, 67. S = R, a b = a + b, a b = a + b ab (a, b R). Számítsuk ki az alábbi összegeket: 5 68. (k + ), 69. 70. 7. k= 3 k 3, 5 5 ( ) k (k + ), 7. ( ) k, 0 4 π, 73. k sin kπ. k=7 Írjuk fel a szumma jel alkalmazásával a következ összegeket: 74. + + + 3 + 4, 75. + 3 + 4 5, 76. 5 + 4 + 35 + + (n ), 77. a 0 + a x + a x + + a n x n, 78. a 0 x n + a x n + + a n x + a n, 79. a 5 a 4 b + a 3 b a b 3 + ab 4 b 5. Melyek igazak az alábbi összefüggések közül minden a, a,..., a k, b, b,..., b k és c valós számra? -3
. Bevezetés Algebrai feladatok 80. n (a k + b k ) = 8. a k + b k, 8. n ca k = c a k, a k b k = a k b k, 83. a k b k = i= j= a i b j. 84. Írjuk fel az x-ben másodfokú n (a k x+b k ) függvény diszkriminánsát, ahol a k, b k R. 85. (Cauchy-Bunyakovszkij egyenl tlenség) Az el z feladat eredményét felhasználva bizonyítsuk be az alábbi egyenl tlenséget, ahol a k, b k R: a k b k a k b k. 86. Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges a és b valós számra: (a + b )(a 4 + b 4 ) (a 3 + b 3 ). 87. Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges a, b és x valós számra: a + b a cos x + b sin x a + b. Számítsuk ki a következ összegeket: 0 88. ( 3), 89. 90. 50 ( k ), 9. k + 9. n (a k a k+ ), 93. k(k + ), 94. n sin kx 95. 96. l= l= ( Útmutatás : k(k + ) = k ), k + (Útmutatás: szorozzunk sin x -vel), a kl, ahol a kl = 0, ha k l és a kl =, ha k = l, a kl, ha a kl = k, 97. Egyszer sítsük a következ kifejezéseket: c (n m); c konstans, k=m ( ) 0 k, (k ) k= l= a kl, ha a kl = k l. 0! 98. + 0! 8! 3!7!! 0!, 99. (n + 3)! (n ), (n )! 00. n!(n + )! (n k)!(n (n N + + )! ), 0. (n, k N; k n). (n )!(n + 3)! n!(n + k)! 0. Bizonyítsuk be, hogy ha k m és k (m + n), ahol k, m, n Z és k 0, akkor k n. Igaz-e az állítás megfordítása? -4
. Bevezetés Teljes indukció Teljes indukció D.5 A teljes indukció a direkt bizonyítás egyik fontos típusa. Jelöljön A(n) olyan állítást, amely az n egész számtól függ. A bizonyítás két lépésb l áll. El ször megmutatjuk, hogy van olyan n 0 egész szám, hogy az A(n 0 ) állítás igaz. Azután feltesszük, hogy valamely n egész számra A(n) igaz, s ennek alapján bebizonyítjuk, hogy A(n + ) is igaz. Ezekb l már következik, hogy A(n) igaz minden n n 0 esetben. Feladatok Teljes indukcióval bizonyítsuk be, hogy a következ állítások igazak, ha az n pozitív egész szám nagyobb vagy egyenl valamely n 0 pozitív egész számnál (adjuk meg a legkisebb ilyen n 0 -t): 03. n(n + ) + + 3 + + n =, 04. + 3 + 5 + + (n ) = n, 05. n n(n k = + + 3 + + n + )(n + ) =, 6 06. (k ) = + 3 + 5 + + (n ) = n(4n ), 3 07. n ( ) k k = + 3 + ( ) n n n n(n + ) = ( ), 08. 0... 3. (k )k = n(n )(3n + ), 09. ( ) ( ) ( )... 4 9 (n + ) n(n + )(n + ) k(k + ) =, 3 k(k + )(k + )... (k + t ) = ( ) n(n + ) k 3 =, 4. 5. 3 4 5 6 n n < = n + n +, (4k 3)(4k + ) = n 4n +, n(n + )... (n + t), t N +, t + k(k!) = (n + )!,, 6. n 3n + 7. n < + + 3 + + n < n, -5 n + k > 3 4,
. Bevezetés Teljes indukció 8. n < + + 3 + + n < n, 9. 3 n > n + 7n, 0. (n)! (n!) < 4n,. + + π + = cos (a bal oldalon n darab gyökjel van), n+. 3 + 33 + + 33... 3 = 0n+ 9n 0 (a bal oldalon n tagú összeg van). 7 3. Egy síkbeli tartományt n darab egyenessel részekre osztunk. Mutassuk meg, hogy az így kapott "térkép" két színnel színezhet úgy, hogy a közös oldallal rendelkez részek különböz szín ek legyenek (l. bal oldali ábra). 4. Egy országban úgy építenek autópályákat, hogy mindegyik autópálya egyenes, egyik keresztez désben sem találkozik kett nél több út, és minden keresztez désben az egyik út a másik fölött halad. Mutassuk meg, hogy bármely ilyen úthálózatban elérhet az, hogy minden úton felváltva alul majd felül haladjunk át a keresztez désen. (Útmutatás: Használhatjuk az el z feladat eredményét és a jobb oldali ábrát.) 5. Mutassuk meg, hogy ha a, a,..., a n R, akkor a + a + + a n a + a + + a n, és az egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha a, a,..., a n számok között nincsenek különböz el jelüek. (l. a 49. feladatot!) 6. Mutassuk meg, hogy ha x, x,..., x n R + és x x... x n =, akkor x + x + + x n n, és az egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha x = x =... = x n =. 7. Bizonyítsuk be, hogy ha x, x,..., x n R +, akkor x + x + + x n n. x x 3 x 8. Bizonyítsuk be, hogy ha x, x,..., x n R +, akkor x + x + + x n n n x x... x n, azaz pozitív számok mértani közepe nem nagyobb a számtani közepüknél, egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha x = x =... = x n. -6
. Bevezetés Teljes indukció 9. Igazoljuk, hogy x, x,..., x n R + esetén nx x... x n x n + xn + + xn n ( ). n + n 30. Bizonyítsuk be az n! < (n ) egyenl tlenséget. Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat (n N + ): 3. 8 5 n + 3 n +, 3. 6 n(n 3n + ), 33. 33 n+ + n. 34. Bizonyítsuk be, hogy minden -nél nagyobb pozitív egész szám sorrendt l eltekintve egyértelm en bontható fel prímszámok szorzatára ( a számelmélet alaptétele). Keressük meg a hibát a következ bizonyításokban: 35. Bebizonyítjuk, hogy minden egész szám egyenl. Ehhez megmutatjuk, hogy minden egész szám egyenl a rákövetkez egész számmal. Tegyük fel, hogy az állítás igaz az n egész számra, azaz n = n +. Adjunk -et az egyenlet mindkét oldalához, ekkor azt kapjuk, hogy n+ = n+, tehát a tulajdonság örökl dik. 36. Bebizonyítjuk, hogy a sík minden pontja egy egyenesen van. Ehhez megmutatjuk, hogy véges sok pont a síkon mindig egy egyenesen van. Az állitás n = esetén igaz, hiszen bármely két pont egy egyenesen van. Tegyük fel, hogy bármely n pont egy egyenesen van. Bizonyítjuk, hogy akkor bármely n+ pont is egy egyenesen van. Ha ugyanis nem volna, az azt jelentené, hogy van a síkon n olyan pont, amelyek egy egyenesen vannak, és egy (n + )-edik pont, amely nincs ezen az egyenesen. Ekkor elhagyva az egy egyenesen lév n pont valamelyikét, ezzel a ponttal olyan n pontot kapnánk, amelyek már nincsenek egy egyenesen, ez pedig ellentmond az indukciós feltevésnek. -7