DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.



Hasonló dokumentumok
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

Diszkrét matematika I.

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

Diszkrét matematika 2. estis képzés

A relációelmélet alapjai

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok?

3. Venn-diagrammok használata nélkül bizonyítsuk be az alábbi összefüggéseket!

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

A valós számok halmaza

IV.A. Relációk Megoldások

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Térinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

A fontosabb definíciók

1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor

Halmazok-előadás vázlat

Térinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

4. Fogyasztói preferenciák elmélete

Halmazelméleti alapfogalmak

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Dr. Vincze Szilvia;

Navier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás

Analízis I. Vizsgatételsor

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Optimalitáselmélet és analógia: tényleg kiengesztelhetetlen ellentét?

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1




Relációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra

R c AxB R = {(x,y ~x E A 1\Y EB 1\x+ y < 7}vagy rövidenxry. A={O,2, 5} ésb = {l, 3, 6,

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

Relációk. 1. Descartes-szorzat


Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

MATEMATIKA C 6. évfolyam 9. modul A BULIBAN

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, Bevezetés

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

Állapot minimalizálás

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika I. gyakorlat

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ

A félév során előkerülő témakörök

Diszkrét matematika 1. középszint

8. Előadás tartalma. Funkcionális függőségek

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Microsoft Excel Gyakoriság

Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.

Időzített átmeneti rendszerek

Tartalom. Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

A Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Gyakorló feladatok ZH-ra

Logika és informatikai alkalmazásai

Adatbázis-kezelés. alapfogalmak

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív tranzitív egyik sem?

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Átírás:

Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc Lehet használni a szokásos a b jelet is R-re Ha R rendezés az A-n, akkor (A, R) rendezett halmaz Ha minden elempár benne van R-ben, akkor a rendezés teljes, ha nem mindeygik van benne, vagyis nem mindegyik hasonlítható össze, akkor parciális (részleges) a rendezés. Teljes a rendezés, ha: a, b (a R b b R a). HESSE diagramm: (a, a) R, vagy ahova mutat a nyíl, azt az elemet feljebb rajzoljuk.ekkor nem kell nyíl, csak vonal. Ez a diagramm a rendezés rövidített jelölése is. A definíció szerint: (1) a (a R a). DIAGRAMMban: minden elembőkl indulna egy hurok. Ezeket NEM ábrázoljuk, hiszne tudjuk. Helyette csak az elemeket rejzoljuk le. Bércesné Novák Ágnes 1

Ha (a, b) R, akkor rajzolunk egy vnalat a-ból b-be, és b-t feljebb rajzoljuk: DIAGRAMM 6 3. abc (a R b b R c a R c) Ez lenne, helyette: DIAGRAMM Vagyis azokat a párokat, amelyek a tranzitivitással (is) kaphatók, nem kötjük vonallal össze: w Bércesné Novák Ágnes 2

Példa: A = {a, b, 1, 2, 3}. Adjon meg A-n négy különböző (parciális) rendezést (A 1 1 ) (A 1 2 ) (A 1 3 ) (A 1 4 ) A fenti ábrák alapján adja meg a rendezést párokkal. Például (A 1 1 ) a következőképpen adható meg: (a,a) 1, (b,b) 1, (1,1) 1, (2,2) 1, (3, 3) 1 (a,1) 1, (b,2) 1, (b, 3) 1 vagy: (a 1 1, b 1 2, b 1 3... Írja ide a rendezés ily módon való megadását a többi esetben is: (A 1 2 ): (A 1 3 ): (A 1 4 ): Bércesné Novák Ágnes 3

A = {1, 2, 3, 4}. xry akkor és csak akkor ha x y a szokásos rendezés: (A, ) DIAGRAMM 2 DIAGRAMM3 R = {(1, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 1), (2, 2)} van megadva a DIAGRAMM 2-ben Egy halmazon (parciális) rendezést megadni annyit jelent, hogy egy reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív relációt adunk meg. Ez az ábrával egyszerűbb, hiszen a megengedett jelekkel a reláció kijön. Rendezést megadni diagrammot rajzolni Példa: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} nrm vagyis n m akkor és csak akkor, ha n m n m : k Z (m = k n) Volt előadáson: Bércesné Novák Ágnes 4

Reflexív : nrn n n, mert n = 1* n k = 1 Antiszimmetrikus: nrm és mrn, akkor n=m n m m n n = m k 1 Z m = k 1 * n k 2 Z n = k 2 * m m = k 1 * k 2 * m k 1, k Z k 1 = k 2 = 1 or k 1 = k 2 = -1 m = n m = -n n = -m n = m n = m Tranzitív: t n m m k n k k = t n m = k 1 n k = k 2 m k = t * n k = k 2 k 1 n t = k 1 * k 2 További példák: (A, ), (P(A), ) (A, R), itt R lehet a reflexív,antiszimetrikus, tranzitív Bércesné Novák Ágnes 5

A RENDEZETT HALMAZ SPECIÁLIS ELEMEI: MAXIMÁLIS, MINIMÁLIS, LEGNAGYOBB, LEGKISEBB a 0 A a LEGKISEBB (A, ) ha a A (a 0 a) Példa: A = {1, 2, 3, 4, 5}, n m ha n m HESSE DIAGRAMM 1 m mnden m A-ra 1 A LEGKISEBB ELEM (A, )-ban. LEGKISEBB azt jelenti, hogy legalul van és össze van kötve minden elemmel. HA pl. A-t megváltoztatjuk: A = {1, 2, 3, 4}, akkor nincsen legkisebb és nincsen legnagyobb elem. = {(1, 1), (1, 2), (3, 3), (4, 4)} DEF.: A LEGNAGYOBB ( A, ) ban, ha a A (a a 0 ), a 0 A Felül szerepel, és össze van kötve mindegyik elemmel, (N, ) DIAGRAMM: 0 a legkisebb, de nincsen legnagyobb: Bércesné Novák Ágnes 6

Példa: Adjon meg egy olyan rendezést, amelyben 5 a legnagyobb elem, és nincsen legkisebb elem. Def.: a 0 MAXIMÁLIS (A, ) ban, ha (a 0 A) a A(a a 0 a 0 a) Max (A, ) azokat az elemeket jelenti, amelyek felett nincsen elem. Példa: MAX: 4, 3, 5 Feladat: A fenti (def. felettii) két példában jelölje be a maximális elemeket. Def.: Bércesné Novák Ágnes 7

MINIMÁLIS elem (A, )-ban a 0 A MINIMÁLIS, ha a A (a a 0 a a 0 ) Példa: Adjon meg olyan rendezést az A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}halmazon, hogy 3 MAX eleme és 4 MIN eleme legyen: Egy megoldás: MAX : 6, 1, 2 MIN : 6, 1, 4, 5 Másik megoldás: MAX : 5, 6, 1 Melyek a minimálisak? Feladat: Melyek az alábbi, 1, 2, 3, 4, számhalmazon megadott rendezésben a legnagyobb, legkisebb, minimális, maximális elemek? R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (4, 3)} {(x,x)} Bércesné Novák Ágnes 8

Példa: Nincsen legnagyobb, nincsen legkisebb elem, de van 5 MIN és 10 MAX. Feladat: Adjon meg egy rendezést úgy a természetes számokon, hogy 10 MAX és 5 minimális elem legyen! Feladat : Adjon meg egy rendezést úgy a természetes számokon, hogy X db MAX és legyen legkisebb elem! Feladat: Adjon meg egy rendezéset úgy a természetes számokon, hogy egyetlen MAX elem legyen, de ne legyen legnagyobb elem. Bércesné Novák Ágnes 9

Tételek: (A, ) : Ha van legkisebb és legnagyobb elem, ezek egyértelműek. Ha A végtelen, lehetséges, hogy egyetlen maximális eleme van, de nincsen léegnagyobb. (MIN, nincsen legkisebb, hasonlóan). HA A véges, és van egyértelmű MAX és MIN elem, akkor... Minden rendezett halmazban a legnagyobb elem egyben... és a legkisebb elem egyben... Def.:(A, ) B A X 0 A alsó (felső x 0 ) korlátja a B-nek az X 0, ha b B (X 0 (x 0 )b) Példa: A = {1 2 3 4 5 6 7} B = {5, 3, 4} Felső: nincs, mert MINDEGYIK b B felett kellene állnia (összekötve!) Alsó: minden b B. alatt(összekötve!): 3, 1. 3 B 1 B. Felsö: Alsó: Példa: (2, ) ahol a szokásos rendezés. Példa olyan rendezett halmazra, amelyben semmelyik egynél több elemű halmaznak nincsen felső és alsó korlátja. Bércesné Novák Ágnes 10

Def.: legkisebb felső/sup, legnagyobb alsó korlát/inf E Példa: a B halmaz felső korlátjai: 7, 8, 9 SUP{B} = 7 Alsó korlátok: 4, 3, 2, 1 INF {B} = 4 B nincsen SUP, I NF C felső korlátai: f, h, t, z (a reflexivitás miatt kell f-et is belevenni) SUP( C) = f C alsó korlátai: {a} INF(C) = a Bércesné Novák Ágnes 11