VA Függvények Megoldások 1 11 1 Injektív és szürjektív, tehát bijektív Szürjektív, de nem injektív A 1 feladat Venn-diagramja itt látható: A többi Venn-diagram rajzát itt nem közöljük Néhány függvényhez a Venn-diagram elkészítése nem lehetséges, ilyenek a 5, 6, 10 és 11 Ennek ellenére nem haszontalan ezeknél a függvényeknél is ábrázolással próbálkozni, mert ez segít a feladat megértésében $I JJYpQ\WXODMGRQViJRNDWDN YHWNH]WiEOi]DWEyOROYDVKDWMXNOH 1 3 4 5 6 injektív + szürjektív + + 8 nem függvény 7 8 9 10 11 1 injektív? nem + nem szürjektív? függv + + függvény +?
A 4 és 8 példák nem függvények, mivel a hozzárendelés nem HJ\pUWHOP& 8J\DQH] OHKHW D KHO\]HW D SpOGiYDO LV PLYHO biztosra vehetjük, hogy van Szabadkának olyan lakosa, aki elolvasott legalább két könyvet a szabadkai könyvtárból A 6 példa nem meghatározott Azt kellene tudnunk, hogy a teremben a feladat megoldásakor van-e két azonos hónapban született hallgató, mert akkor f nem függvény, különben igen Ha f függvény, akkor biztosan szürjektív és injektív Megjegyezzük, hogy ha a B halmazban 1-nél keyhvhee N O QE ] KyQDSEDQ született hallgató van, akkor az A KDOPD] DONDOPDV V]&NtWpVpYHO bijektív függvényt kaphatunk A 7 példánál biztosak lehetünk, hogy f függvény, ám tulajdonsá- JDLW QHP WXGKDWMXN $NNRU OHQQH LQMHNWtY KD FVDN N O QE ] hónapban született tanulók tartózkodnának a teremben, és akkor lenne injektív, ha minden hónap szülöttjei képviseltetnék magukat $pvdspogiedqv]huhsoi JJYpQ\ELMHNWtY 3 Mivel pontosan a bijektív függvényeknek van inverzük, így a 3 és a 10 ppogiedqv]huhsoi JJYpQ\HNQHNYDQLQYHU] NpV ezek is bijektívek A 6 példában ha f függvény, akkor bijektív, így van inverz függvénye Ha a 7 példában f függvény nem bijektív, de injektív, akkor a B halmazból kizárva azokat az elemeket, amelyeknenqlqfvvhd]a halmazból (azoknak a hónapoknak a sorszámát, amelyekben nem V] OHWHWW D WHUHPEHQ WDUWy]NRGy HJ\LN KDOOJDWy VHP OHKHWVpJ nyílik inverz függvény definiálására 41 Az alábbi táblázat alapján fogjuk meghatározni a megoldást: 1 3 4 5 g() c a a d d f g χ / / A keresett függvény: g = {( 1; χ ), ( ; β ), ( 3; β ), ( 4; δ ), ( 5; δ )} 4 A táblázat: 1 3 4 5 6 7 8 9 g() 4 7 9 1 5 6 3 ) 3 7 4 1 7 5 9 {( 1;), ( ;), ( 3;3 ), ( 4;7), ( 5;4), ( 6;1 ), ( 7;7), ( 8;5), ( 9;9) } f D g = 83
43 A táblázat: 1 3 4 5 6 7 8 9 g() 7 7 6 1 1 3 8 6 3 ) 4 4 9 6 9 A táblázatból látható, hogy az összetett függvény nincs értelmezve = 3 és = 8 esetben Ezeket az elemeket kizárva az értelmezési tartományból a következi JJYpQ\WNDSMXN f D g = {( 1;),( ;),( 4;4),( 5;4),( 6;9),( 7;6),( 9;9) }, a függvény értelmezési tartománya: { 1,, 4, 5, 6, 7, 9} 44 Próbálkozhatunk itt is táblázattal: 1 0 1 1 1 1 3 g() 0 4 4 4 ) 3 4 5 6 $WiEOi]DWDGDWDLEyOVHMWKHWKRJ\D] VV]HWHWWI JJYpQ\OLQHiULV$ képletét úgy kapjuk meg, hogy a g() függvény képletét behelyettesítjük az f() függvény képletébe: 1+ 1+ ) ) = f = 3 + 4 = 3 + ( 1+ ) = 4 + 4 4 Tehát ( f D g)( ) = + 4 Ennél a feladatnál az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, így nem tudjuk a függvényt megadni táblázattal, mert a valós számok halmaza végtelen Arra viszont jó volt a táblázat, KRJ\ HO]HWHV VHMWpVW IRJDOPD]]XQN PHJ D] VV]HWHWW Iüggvény jellegére vonatkozólag Általánosan is elmondható, hogy lineáris függvények kompozíciója mindig lineáris 45 A táblázat legalsó sorában az f ( ) = függvény értékeit láthatjuk, tehát az összetett függvény várhatóan másodfokú lesz 1 0 1 g() 1 0 1 3 f g 0 1 4 9 16 ) = f ( 1+ ) = ( 1+ ) + 1) = ( + ), tehát ( g)( ) = ( + ) 46 f g( ) = f 1 + = 1+ + 1 = +, tehát ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( f D g)( ) = ( + ) 84
47 Készítsünk táblázatot: 1 0 1 g() 5 1 5 f g 1 1 LGHU OW KRJ\ D IHOWHKHWHQ SiURV VV]HWHWW I JJYpQ\ = 0 pontban nincs értelmezve Nézzük a képletét: ) ) = f ( + 1) = =, ( + 1) tehát ( f D g)( ) = Valóban várakozásunknakphjihohonpsohwhw kaptunk 51 Az alábbi táblázat alapján fogjuk meghatározni a megoldást: 1 3 4 g() c b a d f g χ α / HUHVHQGD] g = {( 1; χ ), ( ; α), ( 3; β ), ( 4; δ )} ( g) = {( χ;1 ), ( α;), ( β;3), ( δ ;4)} f D inverze: Vigyázat, ( f D g) gd f A fenti feladatból azt is láthattuk, hogy nem csak bijektív függvények kompozíciójának lehet inverze, hiszen f nem injektív (OV] UKDWiUR]]XNPHJD] f D g összetett függvényt: ( f D g)( ) = ) ) = f ( 4) = 3( 4) + 1 = 3 + 1 = 3 1 A továbbiakban keressük az y = 3 11 függvény inverzét, azaz azt a hozzárendelési szabályt, amely megadja, hogy adott y-hoz mely -HNWDUWR]QDN(]WHJ\V]HU&iWDODNtWiVRNNDOPHJNDSMXNDPHO\QHN során kifejezzük -et: y = 3 11 y + 11 = 3 = y +11, tehát 3 +11 ( f D g) = Ez utóbbi képletben jelenléte nem elírás Azért 3 került a képletbe, mert megegyezés szerint a függvényváltozót - szel szoktuk jelölni (OV] r határozzuk meg az f D g összetett függvényt 3 ( )( ) ( ) ( 3 ) 5 3 f D g = f g = f 3 = = 3 6 85 ( ) 5
A továbbiakban hasonlóan járunk el, mint az 53 feladatban: 5 3 fejezzük ki -et! y = y( 6 5) = 5 3 6y 5y = 5 3 6 5 NLIHMH]pVpKH] HOV] U UHQGH]] N D]RQRV ROGDOUD D] -et tartalmazó tagokat! 6y + 3 = 5 + 5y ( 6 y + 3) = 5 + 5y 5 + 5y = Az összetett függvény inverzének képlete tehát 6 y + 3 5 + 5 ( f D g) = 6 + 3 86