6..6. DIGITÁLIS TECHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet SZÁMRENDSZEREK 8. ELŐDÁS 8. előadás témája a digitális rendszerekben központi szerepet játszó számrendszerek és aritmetikák.. Számrendszerek, számábrázolás. ináris, oktális, hexadecimális számok. ritmetikai műveletek jelen és a következő előadáshoz kapcsolódó jegyzetrészek: Sándor T., Takács G. Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Rőmer jegyzet 46-6 old., 79-8 old. Zsom jegyzet I, 9-49 old., 97-99 old. Gál könyv -45 old., 67- old. http://users.atw.hu/tfginfo/ht/hardver/szamabr.pdf Sándor T.; Takács G.:Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez HELYÉRTÉK 8 = + + 8 8 = + + 8 Szám alaki értéke Számjegyek:,,,,4,5,6,7,8,9 8 = + + 8 Szám valódi értéke Szám helyértéke Számrendszer alapja: Decimális számrendszer 4 SZÁMRENDSZEREK Két fő típus: - addíciós számrendszer (pl. a római számok); - helyértékes számrendszer. helyértékes rendszerben a számokat polinom alakban írjuk fel m N = a o + a r + a r +... + a m r m = Σ a i r i i = r (>) egész szám a számrendszer alapszáma (radix), a i ( a i r-) egész számok a számjegyek. RÓMI SZÁMOK ÉS RENDSZERÜK római számok rendszere különleges volt, és egyáltalán nem alkalmazkodott még a legelemibb számításokhoz sem. Tízes számrendszer, amelynek fő szimbólumai az I, X, C és M (,,, ), másodlagos szimbólumai a V, L, D (az 5 többszörösei). z a i helyi értéke r i, az alapszám megfelelő hatványa. 5 6
6..6. SZÁMRENDSZEREK ÉS SZÁMJEGYEIK SZÁMOK KIFEJEZÉSE KÜLÖNÖZŐ SZÁMRENDSZEREKEN Megnevezés lap Számjegyek ináris (duális), Ternális,, Tetrális 4,,, Kvintális 5,,,,4 Oktális 8,,,,4,5,6,7 Decimális,,,,4,5,6,7,8,9 Duodecimális,,,,4,5,6,7,8,9,a,b Hexadecimális 6,,,,4,5,6,7,8,9,,,C,D,E,F Pl. bináris (x8 + x4 + x + x) ternális (x9 + x + x) tetrális (x4 + x) oktális 5 (x8 + 5x) decimális (x + x) duodecimális (x + x) hexadecimális D (x) 7 8 INÁRIS SZÁMRENDSZER () = 7 6 5 4 + + + + + + + Számjegyek:, számítástechnika és a digitális technika a bináris számrendszerre épül 9 ÁTSZÁMÍTÁS KÉT SZÁMRENDSZER KÖZÖTT Egy természetes szám átírása egyik számrendszerből a másikba: a számot elosztjuk az új rendszer alap-számával, és a maradékokat jobbról balra haladva leírjuk. Pl. 9 = x4 +, 4 = x5 +, 5 = x5 +, 5 = x5 +, 5 = x6 +, 6 = x +, = x5 +, 5 = x7 +, 7 = x +, = x +, = x +. Tehát -ESŐL -ESE VLÓ ÁTLKÍTÁS LGORITMUS DECIMÁLIS TÖRTRÉSZ KONVERTÁLÁS INÁRISR -esből -esbe való átalakítás algoritmusa így is megfogalmazható (a kapott számjegyeket jobbról balra kell leírni): Ismételd Ha a szám páratlan, írj le -et, és vonj ki a számból -et, különben írj le -t oszd el a számot -vel amíg a szám nem Kiolvasás iránya,5 () =? (),5,65,5,5, Tehát:,5 () =, ()
6..6. -ES SZÁMRENDSZER ELŐNYEI z áramköri megvalósítás szempontjából előnyös, hogy a leképezéséhez csak két stabil állapot szükséges, így kétállapotú elemekkel: relékkel, tranzisztorokkal, mágnesezhető elemekkel könnyen leképezhető. két egymástól távol eső stabil állapot következtében viszonylag érzéketlen a fellépő zavarokkal szemben, illetve azok könnyen elháríthatók. digitális technika természetes számrendszere a kétértékű megvalósításból adódóan is a kettes számrendszer. Ehhez jól illeszkedik a hexadecimális számrendszer. Ebben a technikában a tízes számrendszer használata, néhány kivételtől (pl. decimális számlálók) eltekintve nehézkes, és -ES SZÁMRENDSZER ELŐNYEI: MTEMTIKI SZEMPONTOK bináris számrendszer matematikai szempontból is előnyös. z aritmetikai műveletek igen egyszerűen hajthatók végre, és igen egyszerű a logikai ítéletalkotás is. Ugyanazok a számjegyek használhatók fel mind az aritmetikai, mind a logikai műveletekhez. sok helyen indokolatlan. 4 8-S ÉS 6-OS SZÁMRENDSZER hexadecimális számrendszert kényelmi szempontból használják, pl. mert a kettes számrendszerrel nagy számokat hosszú leírni. hexadecimálisból könnyű a binárisra átváltani és viszont. hexadecimális rendszert a $ jellel is jelölik. in-hex átváltás: négy bináris számjegy egy hexa számjegyet ad ki, pl. = $F. Egy byte két hexa számjeggyel adható meg. HEXDECIMÁLIS SZÁMRENDSZER 4F = 6 + 4 6 + F 6 + Számjegyek:,,..., 9,,, C, D, E, F 6 = 496 + 4 56 + 5 6 + = 57 () Megkülönböztető jelölés $, pl. $4F 5 6 SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTTI ÁTVÁLTÁS három bináris számjegy megfeleltethető egyetlen oktális számjegynek négy bináris számjegy egy hexadecimálisnak Oktális és hexadecimális átváltás során, kézenfekvő közbenső műveletként bináris számrendszerbe átváltani. bit az információ, ugyanakkor az információt hordozó közlemény hosszának is egyik alapegysége. Ennek nagyobb egysége a byte, amely 8 bitet foglal magába. Ezt követő nagyobb egységek a Kilo, Mega, Giga, Terra. Tízes számrendszerben ezek, 6, 9... jelentettek. Itt viszont,, -nak felelnek meg 8 bit = byte 4 byte = kyte 4 kbyte = Myte 4 Mbyte = Gyte 4 Gbyte = Tyte 7 8
6..6. FIXPONTOS SZÁMÁRÁZOLÁS Fixpontos számábrázolás során az ábrázolás előre rögzített kettedes jegy pontos, azaz a kettedes és egész jegyek száma adott. Ezt általában egész számok ábrázolását jelenti, mikor a kettedes jegyek száma nulla. Valójában egészszámábrázolás,bináris pont helye általában a szám után van (külön nem jelöljük) RITMETIKI MŰVELETEK INÁRIS SZÁMOKKL digitális rendszerek, digitális számítógépek aritmetikai egységei közvetlenül általában csak a négy alapművelet elvégzésére alkalmas. Ezek és néhány logikai művelet segítségével viszont tetszőleges művelet elvégezhető. 9 INÁRIS ÖSSZEDÁS Két bináris számjegy + = C, S alakú bináris összeadása: S - eredeti helyértéken mutatkozó összeg (sum vagy magyarul summa), C - következő helyértékre való átvitel (carry). Igazságtábla és logikai függvények: S C S = + = C = Megvalósító elem: félösszeadó FÉLÖSSZEDÓ (HLF-DDER) Feladata két bit összeadása S FÖ C S: összeg, sum C: maradék, átvitel, carry FÉLÖSSZEDÓ RELIZÁLÁS Realizálás kapukkal (kétszintű ÉS-VGY) S = + = S C C = S = + = C = INÁRIS ÖSSZEDÁS: FÉLÖSSZEDÓ Félösszeadó: két bemenet és két kimenet. Két bináris számjegyet tud összeadni, előállítja az összeget és átvitelt. Nem veszi figyelembe a kisebb helyértékről jövő átvitelt. = & félösszeadó S C 4 4
6..6. INÁRIS SZÁMOK ÖSSZEDÁS ináris számok összeadásának algoritmusa hasonló a decimális számokéhoz: TELJES ÖSSZEDÓ Funkciója két bit és az előző helyi értékből származó maradék (átvitel) összeadása = n n-... + = n n-... C = C n C n-... C C S = S n S n-... S S (átvitel) (összeg) TÖ S az összeg i-edik bitje S i = S i ( i, i,c i- ) C in C out az i-edik összeadásnál keletkező átvitel C i = ( i, i,c i- ) és C - = 5 6 TELJES ÖSSZEDÓ LOGIKI EGYENLETEI TELJES ÖSSZEDÓ (FULL DDER) S i = i i C i- + i i C i- + i i C i- + i i C i- az összeg bit -es, ha a három változó közül egy vagy három -es (kizáró VGY logikai kapcsolat), C i = i i C i- + i i C i- + i i C i- + i i C i- = i i + i C i- + i C i- az átvitel bit -es, ha két változó egyidejűleg -es (majoritás logikai kapcsolat). 7 i i i C i- S i C i 4 5 6 7 teljes összeadónak három bemenete, a két operandus, és az alacsonyabb helyértékről érkező átvitel ( i, i és C i- ) és két kimenete, az összeg és az átvitel (S i és C i ) van. S i = Σ (,,4,7) C i = Σ (,5,6,7) 8 Z ÖSSZEGFÜGGVÉNY (S i ) i 4 5 6 7 (4) () () i i C i- DS i sakktábla Szimmetrikus függvény S i D i i C i- 6 7 4 5 i 9 TELJES ÖSSZEDÓ (FULL DDER) dd two bits and carry-in, produce one-bit sum and carry-out. C in S C out 5
6..6. SZIMMETRIKUS FÜGGVÉNY Ha egy függvény változói felcserélhetők, akkor a függvényt szimmetrikusnak mondjuk. Ha pl. n= (,,C) és és felcserélhetők egymással, de C-vel egyikük sem, akkor a függvény részlegesen, nevezetesen az, változópárra szimmetrikus. szimmetria lehet teljes vagy részleges. szimmetrikus függvényeknek speciális tulajdonságai vannak. Jellemző pl. a legalább részleges sakktábla elrendezés a K táblájukon. i 4 5 6 7 (4) () () i i C i- DS ii Z S i (ÖSSZEG) FÜGGVÉNY LGERI LKJ S i D i i C i- 6 7 4 5 i 4 7 S = m + m + m + m = i = C + C + C + C = ( ) ( ) = C + C + C + C = ( ) ( ) = C + C = ( ) ( ) =. C +. C = = C TELJES ÖSSZEDÓ TELJES ÖSSZEDÓ S C out = C in = ( ) C in + teljes összeadó két félösszeadóból állítható össze. z első képezi a két összeadandó bit összegét, a második ehhez adja hozzá az előző helyértéken keletkezett átvitelt. i i +/ +/ S i C i- C i 4 TELJES ÖSSZEDÓ EGY LEHETSÉGES MEGVLÓSÍTÁS KÉT 4-ITES SZÁM ÖSSZEDÁS Soros átvitel terjedés (ripple carry adder) i i i i Ci- C in C in C in C in (i + i) Ci- TÖ TÖ TÖ FÖ C out S C out S C out S C out S i + i S S S S ii ii + (i + i) Ci- 5 Carry flag 6 6
6..6. INÁRIS ÖSSZEDÁS OKTÁLIS ÖSSZEDÁS + z összeadás hasonló a -e számrendszerbelihez: két számjegyet és az előző helyértékről származó maradékot kell összeadni. z összeg egyes helyértékén lévő számot le kell írni, a kettes helyértéken lévőt tovább kell vinni. részletesen: 67 o +6 o 5 o 7+6 = 5 o ( d) átvitel 6++ = o ( d) átvitel = o ( d) átvitel 7 8 HEXDECIMÁLIS ÖSSZEDÁS POZITÍV ÉS NEGTÍV INÁRIS SZÁMOK részletesen: 7 h +E h 55 h 7+E = 5 h ( d) átvitel ++ = 5 h (5 d) átvitel bináris szám éppen úgy mint egy decimális szám, lehet pozitív vagy negatív. számítógépekben az előjel ábrázolása és szimbólumokkal valósul meg. plusznak, a mínusznak felel meg. Ez az ún, előjelbit, mely után következik a szám abszolút értéke. 9 -ES KOMPLEMENS (-es kiegészítős számábrázolás) Ha egy n-bites pozitív szám (egész szám) szimbolikus jelölése N = a a... a a P n n az azonos abszolút értékű negatív számé N = a a... a a Q n n -ES KOMPLEMENS (-es kiegészítős számábrázolás) pozitív számok ábrázolása azonos a két előbbi számábrázolással. Egy n-bites pozitív szám (egész szám) szimbolikus jelölése M = a a... a a P n n az azonos abszolút értékű negatív számé pedig a következő összeg eredménye M = a a a a + Q n n... 7
6..6. POZITÍV ÉS NEGTÍV NÉGYITES INÁRIS SZÁMOK ÁRÁZOLÁS 8 ITES KETTES KOMPLEMENS SZÁMÁRÁZOLÁS -es, 8-as, -es és 6-os SZÁMRENDSZEREKEN Decimális érték ináris érték Hexadecimális érték Oktális érték -8 8 - FE 76 - FF 777 + + +7 7F 77 INÁRIS KIVONÁS Két bináris számjegy - = D, (K) alakú bináris kivonása: K - magasabb helyértékről vett kölcsön (borrow); D - eredeti helyértéken mutatkozó különbség (difference) K D _ D = K = 45 INÁRIS SZÁMOK KIVONÁS ináris számok kivonásának algoritmusa hasonló a decimális számokéhoz ( > ): = n n-... - = n n-... K = K n K n-... K K D = D n D n-... (kölcsön) (különbség) a különbség i-edik bitje D i = D i ( i, i,k i+ ) az i-edik különbségnél szükséges kölcsön K i = K i ( i, i,k i+ ) és K = 46 INÁRIS KIVONÁS ELŐJEL NÉLKÜLI SZÁMÁRÁZOLÁSN INÁRIS KIVONÁS KETTES KOMPLEMENSSEL K D b 55 d - b d b 5 d számítógépek a kivonást a kettes komplemens segítségével végzik. VIGYÁZT!!! kivonandót is annyi bittel kell felírni, ahány bites a kisebbítendő! kivonás az összeadásra vezethető vissza pl. 8 - = 8 + (-) 47 48 8
6..6. OKTÁLIS KIVONÁS ELŐJEL NÉLKÜLI SZÁMÁRÁZOLÁSN 67 o - 6 o HEXDECIMÁLIS KIVONÁS ELŐJEL NÉLKÜLI SZÁMÁRÁZOLÁSN 7 h -E h részletesen: o 7-6 = o átvitel 6 - = o átvitel részletesen: 9 h 7-E = 9 h átvitel (a kivonás valójában így néz ki: 7 h-e h=9 h, és az átvitel ezért keletkezik) 49 -- = h átvitel. 5 INÁRIS SZORZÁS z x = P bináris szorzás szorzótáblája (bináris egyszeregy ) igen egyszerű P Lényegében azonos a logikai ÉS kapcsolattal (logikai szorzás) INÁRIS SZÁMOK SZORZÁS bináris számok szorzása ugyanúgy történik, mint a decimális számoké: - ha a szorzó soronkövetkező számjegye -es, akkor összeadás következik, - ha -as, akkor nincs összeadás. Minden helyértéknél léptetjük a részletszorzatot a megfelelő irányba. 5 5 INÁRIS SZORZÁS ELVÉGZÉSE x 6 x. részletszorzat. részletszorzat összeg. részletszorzat összeg 4. részletszorzat végösszeg 96 5 INÁRIS SZORZÁS VÉGREHJTÁS szorzandó x x x x mult iplicand szorzó y y y y mult iplier (xy ) 4 (xy ) (xy ) (xy ) (xy ) pp (xy ) 4 (xy ) (xy ) (xy ) (xy ) (xy ) 4 (xy ) (xy ) (xy ) (xy ) (xy ) 4 (xy ) (xy ) (xy ) (xy ) p 7 p 6 p 5 p 4 p p p p: szorzat pp: rész-szorzat pp pp pp p 54 9
6..6. P = x INÁRIS SZORZÁS LGORITMUS n- m- = Σ i i és = Σ i i i = i = a részletszorzatok n- P k = k Σ i i = ha k =, és = ha k = i = INÁRIS SZÁMOK OSZTÁS szokásos decimális kézi osztáshoz hasonlóan végezhető. Visszaállító algoritmus, illetve visszaállítás nélküli algoritmus. a teljes szorzat m- n- m- P = Σ P k k = Σ Σ ( i k ) i+k k = i= k= 55 56 INÁRIS SZÁMOK OSZTÁS LEEGŐPONTOS SZÁMÁRÁZOLÁS N k = m m mantissza k - karakterisztika < m < az első számjegy mindig http://www.sonoma.edu/users/f/farahman/sonoma/courses/es/labs/division.pdf 57. =. +. =. megnöveli a számtartományt lehetővé teszi a törtszámok ábrázolását Mivel a mantissza első, legnagyobb helyiértéke mindig, ezért ezt nem kell tárolni, helyette az első bit az előjel, a szám mantisszája pl. 7 biten ábrázolódik. Nem kell tárolni a hatványalapot sem, mert az. kitevőt (karakterisztikát) többletes ábrázolással vesszük.. CD típusú és egyéb különleges kódok. Összegzés CD kódban 6
6..6. DECIMÁLIS SZÁMJEGYEK INÁRIS KÓDOLÁS NORMÁL CD KÓD Információ ábrázolás és feldolgozás: tiszta bináris (és -es, valamint -es komplemens) kód. dat be- és kivitel: tízes számrendszer. -es számrendszer egyes számjegyei (a szimbólum,,,... 9) kifejezése bináris kóddal: binárisan kódolt decimális kód Természetes kód - Minden számjegyhez a 4-bites bináris kódját rendeli - Természetes helyérték: 8 4 d = 8a 4 + 4a + a +a hat nem megengedett kombináció (,... ) neve pszeudotetrád. Érvényes kódszavak inary Coded Decimal (CD) Nem használt, illetve érvénytelen kódszavak 6 6 PSZEUDOTETRÁDOK ZONOSÍTÁS KRNUGH TÁLÁN C Minimalizálás után RITMETIKI MŰVELETEK, ÖSSZEDÁS TETRÁD KÓDN digitális rendszerek és a számítógépek jelentős része a négy aritmetikai műveletet, illetve azok egy részét közvetlenül a binárisan kódolt decimális (CD) számokon is el tudja végezni. D P = + C Hibajelző: & & Pl. a mikroprocesszorok alkalmasak CD kódbeli összeadására, egy részük kivonására is. Egyes célprocesszorok a CD kódú, szorzást illetve osztást is el tudják végezni. z összeadást a közönséges bináris összeadásra vezetik vissza. Elve az, hogy az operandusok egyes tetrádjait közönséges bináris számoknak tekintve tetrádonként elvégzik az összeadást, majd ha szükséges (pszeudotetrádok keletkeznek) korrigálják az eredményt. C 6 64 ÖSSZEDÁS KÖZÖNSÉGES CD (84 SÚLYOZÁSÚ) KÓDN CD (84) ÖSSZEDÁS Ha két tetrád összege nem nagyobb mint 9, akkor az eredmény helyes, nincs szükség korrekcióra. Példa: decimális CD Ha az eredmény nagyobb mint 9 (ekkor átvitel és pszeudotetrád lép fel) akkor az eredmény csak binárisan helyes, CD kódban nem. Ekkor a korrekció 6 (decimális) azaz (bináris) hozzáadásával elvégezhető. Mindezt a legalacsonyabb helyértéktől kezdve tetrádról tetrádra haladva kell elvégezni. 47 + + 558 Mivel egyetlen helyértéken sem volt az összeg 9-nél nagyobb, ezért korrekcióra nem volt szükség 65 66
6..6. CD ÖSSZEDÁS: +6 KORREKCIÓ 789 + + + +6 korrekció + +6 korrekció + +6 korrekció 67 CD (84) ÖSSZEDÁS LGORITMUS CD + CD CD = CD + bin CD ha CD + bin CD 9 CD + CD CD = CD + bin CD + bin 6 CD ha CD + bin CD > 9 68 CD KÓDÚ ÖSSZEDÁS Átvitel két dekád között + > 9. érvénytelen kódszó Decimális 6 (bináris ) korrekció C4 ináris összeadó C4 C S S S S & & ináris összeadó C S S S S S S S S 69