A FZKA TANÍTÁSA ALKALMAZHATÓ-E A BOT SAVART-TÖRVÉNY NEM ZÁRÓDÓ»ÁRAMKÖRÖKRE«. RÉSZ Gnädig Péte ELTE Fizikai ntézet Ha a címben feltett kédése az lenne aválasz, hogy nem, akko ez az íás itt aká be is fejezôdhetne. Ha a válasz egyszeûen igen volna, akko se kellene folytatnunk a fejtegetéseinket. Az igazság mint oly sok más esetben is akét szélsôséges nézet között van! Az eedetileg egyenáamoka és zát áamkööke megfogalmazott híes tövény mint az a továbbiakból kideül kitejeszthetô nem záódó áamoka is. Az áamok foásmentességének feladása temészetesen együtt já azzal, hogy bizonyos helyeken a töltésekfelhalmozódnak (vagy megitkulnak), tehát sûûségük idôben változik. Emiatt a töltésekhez kötôdô elektomos té sem lehet sztatikus, és mint azt Maxwell vizsgálatai (86) óta tudjuk az idôben változó elektomos teek speciális megfontolásokat igényelnek. A cikk további észében eôl az általánosításól lesz szó. A gondolatmenet lényege aszezô eményei szeint a felsôbb matematika (elsôsoban a vektoanalízis fomalizmusának) ismeete nélkül is elmagyaázható ésmegéthetô. Mégis azok kedvéét, akik játasak az elméleti elektodinamika ezen teületének matematikai nyelvezetében apó betûvel szedve bizonyos fomális levezetéseket is megadunk, hogy képletekkel is alátámaszthassuk az esetlegheuisztikusnak tûnô évelésünket.ezeket a észeket elsô közelítésben aká át is ugohatja az Olvasó. A Biot Savat-tövény zát áamköökben folyó egyenáamoka Tekintsünk egy eôsségû, idôben állandó nagyságú áammal átját zát vezetôt (. ába)! A göbét gondolatban feloszthatjuk sok kis daabkáa, és az egyes daabokat (az áam iányába mutató) Δ l vektookkal jellemezhetjük. Az áamjáta vezetô által egy tetszôleges P pontban létehozott mágneses indukció vektoát a Biot Savat-tövény 2 szeint jó közelítéssel a következô összeg adja meg: B( ) = 4 π a göbée Δ l ( ), () James Clek Maxwell (83 879) 2 Jean-Baptiste Biot (774 862) és Félix Savat (79 84) köülbelül 820-ban fogalmazta meg az áamok és a mágneses té kapcsolatát megadó, ma a nevüket viselô tövényt. l Q 0 0 B ( 0 ). ába 2. ába telep és a felosztás finomításával (integála való áttééssel) az eedmény egye pontosabbá válik. Általános esetben, ha az áam nem egy vékony vezetékben, hanem szétkenten, valamilyen j () áamsûûség-vektoal megadott módon folyik, akko a Biot Savat-tövény így íható fel: P P B( ) = 4 π j() ( ) 0 dv. A mágneses indukciómezô ezen alakjáól bebizonyítható, hogy eleget tesz a (magnetosztatikában évényes) Maxwell-egyenletnek. A Biot Savat-tövény () alakja bizonyos hasonlóságot mutat akitejedt, tében elosztott töltésendsze elektosztatikus teét megadó E( ) = kifejezéssel (2. ába). ot B() = j() O Δ Q() 4 π ( ) E ( 0 ) O (2) (3) A FZKA TANÍTÁSA 23
Folytonos, () töltéssûûséggel jellemzett töltéseloszlása a (3) összeg az E( ) = (4) 4 π ()( ) 0 dv téfogati integálhoz tat. Azelektomos téeôsség ezen alakjáól bebizonyítható, hogy eleget tesz a div E() = () Q() t t E (,) t t U() t t + L Maxwell-egyenletnek. A (3) összeg azt fejezi ki, hogy az helyen lévô, ΔQ nagyságú kicsiny töltés az helyen Δ E = Δ Q()( ) 4 π Coulomb-teet hoz léte, ésezeket az elemi teeket összegezve megkaphatjuk a teljes töltésendsze által kialakított elektomos téeôsséget az vektoal jellemzett pontban. Csábító gondolat, hogy az () összeget is így ételmezzük: az áamvezetô minden egyes kicsiny (az helyen lévô) daabkája (úgynevezett áameleme) létehozza az vektoal jellemzett pontban a maga Δ B = 4 π Δ l ( ) elemi mágneses teét, hiszen ezek összegébôl áll elô a vizsgált pontban a teljes mágneses indukció vektoa. Ez az ételmezés azonban nem indokolt (legalábbis nem megalapozott), hiszen a töltésendszetôl eltéôen azegyenáam nem daabolható fel kicsiny, nem záódó daaboka, ezek a magnetosztatika keetei között fizikailag megvalósíthatatlan, a Temészetben nem létezô állapotokat ínának le! (Hasonló helyzetbe keülünk, amiko a magnetosztatikai eôhatásokat, például két mágneses dipól kölcsönhatását, hipotetikus mágneses töltések monopólusok eôhatásaia vezetjük vissza. Ez az eljáás számítástechnikailag néha hasznos lehet, de fogalmilag megalapozatlan és félevezetô, emiatt újabban a tankönyvek keülik is a mágneses töltések használatát.) dôben állandó, de nem záódó áamok Póbáljuk meg általánosítani a Biot Savat-tövényt nem záódó áamoka! A magnetosztatikában megszokott helyzethez azáll a legközelebb, ha az áamok idôben állandóak. (Ezt a feltételt késôbb lazítjuk; megmutatjuk, hogy nem szükséges a szigoú idôfüggetlenség, elegendô, ha az áamok lassan változnak.) lyen áamelendezôdés esetén a vezetékek végeinél temészetesen a töltések mennyisége nem maadhat állandó, hanem idôben változnia kell, méghozzá egyenletesen növekszik vagy csökken. Vizsgáljunk meg egy konkét példát! Kössünk öszsze két kicsiny, egymástól L távolságban lévô vezetô 3. ába gömböt (a továbbiakban ezeket gömbkondenzátooknak nevezzük) egy egyenes vezetôvel, ésavezetékben hozzunk léte egyenáamot. (Az áam állandósága megfelelô szabályozással, avezetékbe kapcsolt feszültségfoás feszültségének alkalmas változtatásával, vagyis áamgeneátoal egy bizonyos ideig ténylegesen megoldható.) A két kondenzáto idôben egyenletesen töltôdik, a közöttük kialakuló elektomos dipólté eôssége is idôben egyenletesenváltozik (3. ába). (Temészetesen a kicsiny gömbök kapacitása nagyon kicsi, tehát a ájuk áamló töltések hatásáa a feszültségük igen hama nagyon naggyá válhat. Ez azonban csak technikai nehézséget jelenthet, az elvi kédéseket tisztázni kívánó gondolatkíséletet nem teszi ellentmondásossá.) Vajon milyen mágneses té alakul ki a véges szakaszon folyó áam hatásáa? A Biot Savat-tövény () alakját használva (integálása áttéve) kiszámíthatjuk a mágneses indukció étékét, ami például az elendezés felezôsíkjában a vezetéktôl távolságban az ába síkjáa meôleges iányú és B( ) = μ L/2 0 4 π L/2 (5) nagyságú lesz. Helyes ez azeedmény, vagy valamit elontottunk? J. C. Maxwell felismeése óta tudjuk, hogy az idôben változó elektomos té úgynevezett áamot képvisel, ami j = E áamsûûséggel egyenétékû (itt E az elektomos téeôsség változási sebessé- gét jelöli). Ez az áam és a valódi (a töltések mozgásához köthetô) áam együtt még akko is foásmentes (vagyis div j j = 0), ha az áamok és töltések idôben változnak. Levezethetô, hogy a Biot Savat-tövény ebben az esetben (állandó áameôsségeket feltételezve) éppen olyan alakú, mint a magnetosztatikában, de a valódi áamok mellett az áamokat is figyelembe kell venni: x 2 2 0 = 2 π 4 2 0 / L 2 3/2 dx = 24 FZKA SZEMLE 205 / 4
B( )= 4 π j() ( ) 0 dv 4 π j () ( ) 0 dv. (6) (Megjegyezzük, hogy az elektomos téeôsségek idôben egyenletes változása miatt az áam is idôfüggetlen, tehát a kialakuló mágneses mezô sem változik idôben. Emiatt Faaday-féle indukciós jelenségekkel nem kell foglalkoznunk.) Mennyivel módosítja az áam például az (5) képletben megadott eedményt, ami még csak a valódi áam jáulékát tatalmazza? A válasz meglepô: semennyivel! A két gömbkondenzáto ugyanis minden idôpillanatban gömbszimmetikus Coulomb-teet hoz léte, az eedô elektomos té ezen két eôté szupepozíciója. Ugyanilyen jellegû az áam is: két gömbszimmetikus vektomezô összege, amelynek foása azonban nem a töltés, hanem a töltés változási sebessége. Másészt viszont egy gömbszimmetikus áameloszlás jáuléka a Biot Savat-tövényben biztosan nulla, hiszen az eedmény csak a gömb középpontjából a vizsgált pontba mutató vektotól függhet, és egyetlen vektoból nem hozható léte olyan vekto (úgynevezett axiálvekto), amelynek iánya függ a jobbkézszabály teljesen önkényes iánymegállapodásától. Mápedig a mágneses indukció is axiálvekto, amely vagy egy másik axiálvektoból (például egy anyagdaabka mágnesezettségébôl), vagy két valódi vekto vektoiális szozatából állítható elô. (Az utóbbia példa a Biot Savat-fomula.) Gömbszimmetikus áameloszlás esetén viszont a vektoiális szozás mûvelete nem szeepelhet a végképletben, ahhoz két különbözô iányú vektoa lenne szükség.. Fomálisan is beláthatjuk, hogy az áamok tetszôleges töltéseloszlás esetén is nulla jáulékot adnak (6) jobb oldalának második tagjában, így az a tag elhagyható, és mindössze a valódi áamokat tatalmazó, az áamokól megfeledkezô Biot Savat-képlet is helyesen adja meg a mágneses indukciót. A kédéses tag ugyanis (4) felhasználásával 4 π j () ( ) 0 dv = = μ 0 4 π E() ( ) 0 dv = = (4 π) 2 dv ( ) dv ( ) ( ) alaka hozható, és ennek második integálja (amely nem függ a töltések eloszlásától) szimmetiaokokból mindig nulla. 2. Egy másik fomális bizonyítást is adunk aa, hogy az áamokat nem kell figyelembe venni a Biot Savat-integálban. A Maxwell-egyenletek a skalá- és vektopotenciálok alkalmazásával többféle módon is átfogalmazhatók. Ha a fizikailag méhetô elektomos és mágneses téeôsségeket B = ota, (7) E = Φ A (8) alakban keessük (A(,t)-t vektopotenciálnak, Φ(,t)-t pedig ska- lápotenciálnak nevezik), akko a divb = 0 és ote = B egyenletek automatikusan teljesülnek, a másik két Maxwell-egyenlet pedig valamint Φ = diva, A = j gadφ A gad diva alakba íható. (A fenti képletekben 2 2 2 x 2 y 2 z 2 (9) (0) a Laplace-opeátot, a betûk feletti pont pedig az idô szeinti deiválást jelöli.) Az elektomos és mágneses téeôsségek nem hatáozzák meg egyételmûen a potenciálokat, azok választásában nagyfokú szabadságunk van (ezt nevezik métékinvaianciának). Kiköthetjük például, hogy a vektopotenciál legyen foásmentes (Coulombméték), vagyis teljesüljön a diva = 0 feltétel. A Coulomb-méték különösen hasznos a sztatikus eôteek leíásánál, amiko az öszszes idôdeivált nulla, és így az egyenletek viszonylag egyszeûvé válnak: Φ() = (), A() = j(). A megoldásuk (a szupeponált Coulomb-potenciálok mintájáa): illetve Φ( )= 4 π () dv, A( )= 4 π j() dv, () (2) ahonnan gadiens- és otációképzéssel megkaphatjuk az ismet (4) és (2) képleteket. Ha idôben állandó, de nem foásmentes áameloszlásokat vizsgálunk, akko a töltéssûûség, az elektomos téeôsség és a skalápotenciál az idôvel aányosan változik, elsô idôdeiváltjuk tehát nem tûnik el. (A magasabb idôdeiváltak, valamint A és B továbba is elhagyhatók.) lyenko még mindig Coulomb-météket használva a (0) egyenlet helyett a következôt íhatjuk fel: A = j gadφ = j E = j j. Ha ebbôl a képletbôl számoljuk ki a mágneses indukciót, akko éppen a (6) összefüggéshez jutunk, ami a valódi áamok mellett az áamok hatását is figyelembe veszi. Megmutatjuk azonban, hogy ez a képlet helyes ugyan, de az áamokat feleslegesen veszi számításba, azok jáuléka a Biot Savat-tövényben mindig nulla. Válasszunk egy a Coulomb-météktôl eltéô kikötést a potenciáloka; legyen div A Φ =0. (3) lyen métékfeltétel (az úgynevezett Loentz-méték) teljesülése esetén (kihasználva, hogy Φ =0ésA = 0) az egyenletek: Φ(, t) = (, t), (4) A() = j(). (5) Az ezekbôl kiszámított E és B teek ugyanazok, mint a Coulombméték alkalmazásával kapott teek, pedig az áam nem szeepel bennük. Ezek szeint az áam jáuléka a Biot Savat-tövényben (az adott feltételek teljesülése esetén) tetszôleges áameloszlása nulla. A FZKA TANÍTÁSA 25
Vektomezôk felbontása övénymentes és foásmentes összetevôke A vektoanalízis ismet állítása, hogy tetszôleges (kellôen sima, tehát megfelelô diffeenciálhatósági tulajdonságokkal endelkezô) v() vektomezô felbontható egy övénymentes és egy foásmentes mezô összegée: v() =v (long) () v (tansz) (), ahol az övénymentes ( longitudinális ) összetevôe ot v (long) () =0, a foásmentes ( tanszvezális ) összetevôe pedig div v (tansz) () =0 teljesül. (Az elnevezéseket fizikus szemmel nézve az indokolja, hogy például egy ugalmas test defomációinál az elmozdulásmezô övénymentes észe íja le a longitudinális hullámokat, a foásmentes összetevô pedig a tanszvezális hullámokat.) Az említett vektomezôk a helyvektoon kívül az idôtôl is függhetnek, ezt a függést azonban a képletekben explicit módon nem jeleztük. A vektomezôket (és azok felbontását) úgy tehetjük egyételmûvé, ha (az esetleg kielégítendô hatáfeltételek mellett) megadjuk a mezôk foás- és övényeôsségét, vagyis a egyenletekben szeeplô f () skalá- és a() vekto- mezôket, vagyis az összetevôk foás- és övényeôsségét. Ezek ismeetében a mezôk így állíthatók elô: div v (long) () =f () és otv (tansz) () =a() illetve v (long) () = 4 π f ( )( ) dv 3 Az elsô integál a Coulomb-tövénye, a második pe- dig a Biot Savat-tövénye emlékezteti a fizikusokat, de a képletek a bennük szeeplô mennyiségek fizikai jelentésétôl függetlenül más esetekben is évényesek. Téjünk most á egy fizikai alkalmazása: bontsuk fel az E() elektomos téeôsséget longitudinális és tanszvezális összetevôke! A Maxwell-egyenletek miatt v (tansz) () = 4 π a( ) ( ) dv. 3 div E (long) () = (), ot E (tansz) () = B(). Látható, hogy az elektomos mezô longitudinális öszszetevôjének foása a töltéssûûség, ezt az összetevôt tehát a (4) egyenletnek megfelelô integállal állíthatjuk elô és jogosan nevezhetjük Coulomb-észnek. A másik (tanszvezális) ész, amelynek övényeôssége a mágneses indukcióvekto idôdeiváltjával aányos, hasonló megfontolásból Faaday-összetevônek nevezhetô: E (long) () E (Coulomb) (), E (tansz) () E (Faaday) (). Az elektomos téeôsség mellett annak idôdeiváltja, tehát (egy aányossági tényezôt leszámítva) az áam is felbontható két összetevôe: j (long) j (tansz) (Coulomb) () j (), () j (Faaday) (). Mi az áam szeepe? A fentiekben beláttuk, hogy idôfüggetlen, de nem feltétlenül foásmentes áamok ismeetében a Biot Savat-tövény segítségével kiszámíthatjuk a mágneses indukciót a té tetszôleges pontjában, és a számítás soán csak a ténylegesen folyó áamokkal kell töôdnünk, az úgynevezett áamokat nem kell figyelembe vennünk. Felmeül a kédés, hogy akko hol kapnak szeepet az áamok, milyen köülmények között kell számolnunk ezekkel is. A mágneses mezô nemcsak a Biot Savat-tövény felhasználásával, hanem bizonyos szeencsésen egyszeû, szimmetikus esetekben közvetlenül a Maxwell-egyenletekbôl, azok integális alakjából is meghatáozható. Gondoljunk csak a hosszú, egyenes vezetôe, vagy egy vékony tooid tekecse. Ebben az eljáásban valamely zát göbée képezett mágneses köfeszültséget hasonlítjuk össze a göbée illesztett felületen átfolyó áamok fluxusával: B d = j j d f. (6) A fenti képlet jobb oldalán a valódi áamok mellett a j = E áamsûûség is megjelenik, annak figyelmen kívül hagyása általában hibás eedménye vezetne. A (6) összefüggés lokális alakja: ot B() = j() j (), (7) amint az a Stokes-féle integáltétel segítségével könynyen belátható. Vajon ha az áamok nélkül felít Biot Savat-tövény alapján, vagyis a B() = 4 π j( ) 3 dv (8) képlet felhasználásával számítjuk ki a mágneses indukciómezôt, összhangban lesz-e az az áamot is tatalmazó (7) Maxwell-egyenlettel? Édekes 26 FZKA SZEMLE 205 / 4
módon a válasz: majdnem igen! A (8) kifejezés övényeôssége (otációja) annak ellenée tatalmazza az áam egyik, lassú változások esetén a legjelentôsebb észét, nevezetesen a Coulomb-összetevôt, hogy azt nem aktuk bele a B()-et meghatáozó képletbe. Képezzük a (8) kifejezés otációját! A vektoanalízis azonosságainak felhasználásával: ot B() = 4 π j( ) div 4 π div j( ) 3 dv 3 dv 4 π Div j( ) dv. 3 (9) Ebben a képletben div és Div az változó szeinti deiválásoka utal, a vektook közötti kö a vektook diadikus szozatát jelöli, Div pedig a tenzo-divegenciát jelenti. (9) jobb oldalának elsô tagja a div 3 =4πδ( ) Diac-delta azonosság miatt j()-el egyenlô. A második tag a div j( ) = ( ) azonosság és a (4) összefüggés szeint E (Coulomb) ()-el, vagyis j (Coulomb) ()-el egyezik meg, a hamadik integál pedig a Gauss Osztogadszkij-tétel ételmében nulla. (Feltesszük, hogy az áamok csak véges téészben különböznek nullától, így egy elegendôen nagy téésze alkalmazva a tételt, a felületi integál eltûnik.) Így tehát az eedményünk: ot B() = j() j (Coulomb) (), (20) ami idôben állandó mágneses teek, tehát Faaday-féle indukált feszültség hiányában a (7) egyenlettel egyenétékû. Megállapíthatjuk tehát, hogy az áam csak a mágneses indukció övényeôsségében (és az ee alapozott integális Maxwell-egyenletben) kap szeepet, de a mágneses mezô Biot Savat-tövény szeinti kiszámításánál nem kell figyelembe vennünk. dôben lassan változó áamok és eôteek Eddigi megfontolásainkban az áameôsségek és a mágneses indukció idôben állandó, a töltések sûûsége és az elektomos téeôsség pedig az idôvel aányosan változó mennyiségek voltak. Ez a helyzet bá fizikailag elvben megvalósítható elég mestekélt. Gyakan találkozunk viszont olyan folyamatokkal (amilyen például egy kondenzáto kisülése, vagy egy váltóáamú áamkö viselkedése), amelyekben a fizikai mennyiségek idôfüggése nem aányos t -vel, hanem annál általánosabb f (t) függvényekkel íható le. Ezen folyamatok szapoaságát valamilyen kaakteisztikus t 0 idôvel jellemezhetjük. (A kaakteisztikus idô peiodikus idôfüggés esetén lehet például a ezgésidô, exponenciális elaxációnál pedig a felezési idô.) Hasonló módon a tébeli változások ütemét egy l 0 kaakteisztikus hosszméettel jellemezhetjük. (Ez a méet, aminek csak a nagyságendje lényeges, a 3. ábán látható elendezésben lehet például a gömbök L távolsága, az. ábán látható zát áamvezetônél pedig a vezeték legnagyobb méete.) Megmutatjuk (vagy legalábbis ézékeltetjük), hogy az összes eddigi megfontolásunk (közelítôleg) évényben maad akko is, ha a téeôsségek, áam- és töltéssûûségek változnak ugyan idôben, de a változás üteme viszonylag lassú, pontosabban: teljesül a ct 0 >> l 0 feltétel. (c = ( ) /2 a fénysebesség vákuumban.) Ezen feltétel szemléletes jelentése: a változás kaakteisztikus ideje sokkal nagyobb, mint amennyi idô alatt a fény keesztülhalad a endsze jellegzetes tébeli kitejedésének megfelelô útszakaszon. Ha ez teljesül, akko a fenti számolásokban elhanyagolt idôdeiváltak sokkal kisebbek a mellettük álló, a megfontolásokban megtatott tagok, tehát a kvázistacionáius közelítés jogosnak mondható. Ha elhanyagolások nélkül íjuk fel a potenciálokkal kifejezett Maxwell-egyenleteket a (3)-nak megfelelô Loentz-méték választásával, akko (4) és (5) helyett a következô hullámegyenleteket kapjuk: Φ(, t) c Φ(, t) = (, t), (2) 2 A(, t) c A(, t) = μ 2 0 j(, t). (22) Mivel azonban az idôdeiválás nagyságendileg t 0 -val való osztást, a tékoodináták szeinti deiválás pedig l 0 -val töténô osztást jelent, a ct 0 >> l 0 feltétel miatt a hullámegyenletek második idôdeiváltat tatalmazó tagjai a tédeiváltak mellett elhanyagolhatók, és így (2) és (22) helyettesíthetô a (4) és (5) egyenletekkel. Ezek megoldása mint láttuk a (2)-ben megadott Biot Savat-tövénynek, illetve a (4)-ben felít Coulomb-tövénynek megfelelô mágneses- és elektomos téeôsségek. Ezek a teek a pillanatnyi (,t) töltéssûûségbôl és a pillanatnyi j(,t) áamsûûségbôl számolandók, és a Biot Savat-tövény ezen alakja sem tatalmazza az áamokat. A valódi áamokkal számoló és etadálást nem tatalmazó Biot Savat-tövény a (20) egyenlete vezetett, ami annyiban különbözik csak a pontos Maxwell-tövénytôl, hogy a jobb oldaláól hiányzik az áam Faaday-összetevôje. Emiatt a kvázistacionáius megoldás temészetesen nem íhatja le a hullámokat. Megpóbálkozhatnánk az egyenleteket olyan módon javítani, hogy a Biot Savat-tövényben figyelembe vesszük az áam Faaday-összetevôjét is. Ez azonban a Landau Lifsic-könyvsoozat elôkelô szóhasználatát idézve a pontosság megengedhetetlen növelése volna, hiszen az így számításba vett hatások az elhanyagolt etadálással azonos nagyságendû koekcióknak felelnének meg. A cikk. észében néhány egyszeû, konkét példán keesztül mutatjuk be az eddig általánosságban megfogalmazott összefüggések alkalmazhatóságát. Szekesztõség: 092 Budapest, Ráday utca 8. földszint., Eötvös Loánd Fizikai Tásulat. Telefon/fax: () 20-8682 A Tásulat ntenet honlapja http://www.elft.hu, e-postacíme: elft@elft.hu Kiadja az Eötvös Loánd Fizikai Tásulat, felelõs: Szatmáy Zoltán fõszekesztõ. Kéziatokat nem õzünk meg és nem küldünk vissza. A szezõknek tiszteletpéldányt küldünk. Nyomdai elõkészítés: Kámán Stúdió, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelõs vezetõ: Szathmáy Attila ügyvezetõ igazgató. Tejeszti az Eötvös Loánd Fizikai Tásulat, elõfizethetõ a Tásulatnál vagy postautalványon a 0200830-3230274-00000000 számú egyszámlán. Megjelenik havonta, egyes szám áa: 800.- Ft + postaköltség. HU SSN 005 3257 (nyomtatott) és HU SSN 588 0540 (online) A FZKA TANÍTÁSA 27