Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Hasonló dokumentumok
Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Matematika A1a Analízis

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Lineáris algebra mérnököknek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Kalkulus. Komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Diszkrét matematika 1.

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Diszkrét matematika 1. estis képzés

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

Komplex számok trigonometrikus alakja

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Waldhauser Tamás szeptember 15.

1. A komplex számok definíciója

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

7. gyakorlat megoldásai

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

M szaki matematika 2

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Komplex számok algebrai alakja

Waldhauser Tamás szeptember 8.

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Polinomok maradékos osztása

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

1. A maradékos osztás

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

3. Lineáris differenciálegyenletek

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

3. el adás: Determinánsok

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Matematika 1 mintafeladatok

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

y + a y + b y = r(x),

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal Függvények Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

1. A komplex számok ábrázolása

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok április Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

A matematika nyelvér l bevezetés

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Mi az, hogy egyenlet. Megoldhatók-e az egyenletek. Mi az, hogy egyenlet. Mi az, hogy egyenlet. Számokat keresünk 3.

Analitikus térgeometria

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs.

Klasszikus algebra tanár szakosoknak

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

Matematika 8. osztály

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

Matematika A1a Analízis

2018/2019. Matematika 10.K

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

Határozatlan integrál

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 16

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Elsőfokú egyenletek Valós szám abszolút értéke...

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

Typotex Kiadó. Bevezetés

Függvény fogalma, jelölések 15

Határozott integrál és alkalmazásai

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

17. előadás: Vektorok a térben

Átírás:

Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14

Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális esetre Alkalmazások 3 Számolás komplex számokkal Komplex számok Komplex szám konjugáltja M veletek komplex számokkal M veleti tulajdonságok Az algebra alaptétele Binomiális tétel Összefoglalás Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 2 / 14

Számok A számfogalom b vülése pozitív egészek összeadás, szorzás a + x = b megoldhatósága negatív számok és 0 ax = b megoldhatósága racionális számok x 2 = 2 megoldása vannak nem racionális számok is sorozatok határértékének fogalma irracionális számok racionális + irracionális számok valós számok és mi van az x 2 = 1 egyenlet megoldhatóságával? Szükség van további b vítésre? Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 3 / 14

Számok Egy kis történelem Girolamo Cardano (15011576) orvos, lozófus, matematikus 1538 körül értesül arról, hogy Scipione del Ferro és Niccolò Tartaglia egymástól függetlenül felfedezték az x 3 + px = q alakú harmadfokú egyenlet megoldását 1545-ben megírja Ars magna sive de regulis algebraicis cím m vét, benne a megoldóképlettel 1552-t l kezd d en Európa egyik leghíresebb orvosa a 60-as évek elején elveszti két át (gyilkosságért halál, rablásért szám zetés) 1570-ben Bolognában bebörtönzik, szabadulása után Rómába költözik Scipione del Ferro (14651526) felfedezi a harmadfokú egyenlet megoldásának módját titokban tartja (kivétel Nave, Fiore) Niccolò Fontana (1500?1557) gúnynevén Tartaglia (dadogó) (1511 Brescia, francia dúlás) 1535: Fiore kihívja Tartagliát egy 15 napos versenyre (30 feladat, a vesztes a gy ztest és 29 barátját megvendégeli) felkészüléskor Tartaglia rájön a nehezebb típusú harmadfokú egyenletek megoldásának módjára Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 4 / 14

Számok Egy kis történelem Cardano (kilátásba helyezve Tartaglia tüzérségi találmányainak pártfogót keres, titoktartás igérete mellett megszerzi a titkot) amikor Navétól megtudja, hogy del Ferro is ismerte e képleteket, felmentve érzi magát, és publikálja (a negyedfokú esetre is továbbfejlesztve az eredményt) Tartaglia leírta megcsalatásának történetét Milánóban Ferrari (Cardano tanítványa) vitára hívja Tartagliát, aki a vitát elveszti, ennek következtében lehet ségeit (nyilvános el adások) elveszíti Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 5 / 14

Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális esetre Oldjuk meg az x 3 = bx + c egyenletet! A Tartaglia által talált képlet: ( ) 2 ( ) 3 ( ) x = 3 c 2 + c b + 3 c 2 ( 2 3 2 c b 2 3 ) 3 Oldjuk meg a x 3 = 7x + 6 egyenletet! (6 ) 2 ( ) 3 (6 ) 2 ( 6 7 2 + + 3 6 7 2 3 2 2 3 = 1 3 81 + 30 3 + 1 3 81 30 3 3 3 = 1 ( 9/2 + 1/2 ) 3 + 1 ( 9/2 1/2 ) 3 3 3 x = 3 = 3 ) 3 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 6 / 14

Miért számolunk velük? Alkalmazások hidrodinamika, áramlások vizsgálata, Zsukov-féle szárnyprol elektromosságtan, jelfeldolgozás, villamosmérnöki tudományok lineáris rendszerek, lineáris dierenciálegyenletek megoldása relativitáselmélet, kvantummechanika fraktálok (Julia- és Mandelbrot-halmazok)... Egy Julia és egy Mandelbrot halmaz: Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 7 / 14

Számolás komplex számokkal Komplex számok Jelölés i = 1 Deníció Az a + bi, a, b R alakú kifejezéseket komplex számoknak nevezzük, ahol i az a szám, melyre i 2 = 1. Egy komplex szám több alakba is felírható, ezt az alakot algebrai alaknak nevezzük. Az a szám a z valós része, a b az imaginárius, jelölése: a = Im z, b = Re z. A komplex számok halmazát C jelöli. Komplex számok ábrázolása, komplex számsík, komplex számgömb. Deníció Az (a, b) vektor x-tengellyel bezárt szöge legyen ϕ, hossza r. Ekkor a z = a + ib komplex szám felírható r(cos ϕ + i sin ϕ) alakban is, hisz a = r cos ϕ, és b = r sin ϕ. Ezt az alakot trigonometriai alaknak, az r nemnegatív valóst a komplex szám abszolút értékének, ϕ-t argumentumának nevezzük: r = z, ϕ = arg z. Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 8 / 14

Számolás komplex számokkal Komplex szám konjugáltja Deníció (konjugált) z = a ib, ahol z = a + ib z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 = z 2, innen z = a 2 + b 2 = z z Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 9 / 14

Számolás komplex számokkal M veletek komplex számokkal z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) algebrai alakban: összeadás, kivonás, szorzás algebrai kifejezésként az i 2 = 1 helyettesítést használva; osztás a nevez konjugáltjával való b vítéssel. z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 )i, z 1 z 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i, z 1 z 2 = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i = (a 1 + b 1 i)(a 2 b 2 i) (a 2 + b 2 i)(a 2 b 2 i) = (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 a 1 b 2 )i, a 2 2 + b2 2 trigonometriai alakban: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) z1 = r 1 (cos(ϕ z2 r2 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )) z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) ( n r(cos ϕ + i sin ϕ) = n r k = 0, 1,... n 1. cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ ), ahol Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 10 / 14 n

Számolás komplex számokkal M veleti tulajdonságok Tétel (Konjugált tulajdonságai) 1 z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 z 1 /z 2 = z 1 / z 2 4 z = z Tétel (Abszolút érték tulajdonságai) 1 z = z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 z 1 /z 2 = z 1 / z 2 4 z 1 + z 2 z 1 + z 2 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 11 / 14

Számolás komplex számokkal Az algebra alaptétele Tétel (Algebra alaptétele) Minden komplex-együtthatós n-edfokú (n 1) polinomnak van komplex gyöke. Tétel (Algebra alaptétele változat) Minden komplex-együtthatós n-edfokú (n 1) polinomnak pontosan n gyöke van, ha a gyököket multiplicitással számoljuk. Másként fogalmazva minden komplex-együtthatós polinom lineáris tényez k szorzatára bontható. Nevezetesen az a n x n + + a 1 x + a 0, a n 0, a 0, a 1,..., a n C egyenlethez léteznek olyan c 1, c 2,..., c n C számok, hogy a n x n + + a 1 x + a 0 = a n (x c 1 )(x c 2 )... (x c n ), és ez a felbontás a tényez k sorrendjét l eltekintve egyértelm. Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 12 / 14

Számolás komplex számokkal Binomiális tétel Deníció (Binomiális együttható) ( ) n n(n 1)... (n k + 1) n! = = k 1 2 3... k k!(n k)! Tétel (Binomiális tétel) Tetsz leges valós vagy komplex a és b számokra (a + b) n = a n + na n 1 n(n 1) b + a n 2 b 2 +... + b n = 2 Példa (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i 3 i = 2 + 2i n k=0 ( n k ) a n k b k. Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 13 / 14

Számolás komplex számokkal Összefoglalás Amit tudni kell 1 Komplex számok algebrai alakja, m veletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, b vítés a konjugálttal, konjugált tulajdonságai) 2 Komplex trigonometriai algebrai alakja, m veletek (szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás) 3 Algebra alaptétele 4 Binomiális tétel Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 14 / 14