1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége Ha valamiféle geometriát szeretnénk értelmezni a vektorainkon vagy pontjainkon, akkor nem elég egy vektortér, kell valamilyen skalárszorzatot is rögzítenünk. Nem mindig a standard skalárszorzat felel meg a céljainknak. Néha nem is egy skalárszorzatból indulunk ki, csak valamilyen módon távolságot deniálunk. A távolságfogalomnak nagy szerepe van a hibajavító ill. hibajelz kódolásoknál. Ott szokás két egyenl hosszú bitsorozat távolságán az eltér bitek számát érteni. Ekkor ha bármely két lehetséges elküldött üzenet távolsága legalább d, akkor a címzett észlel minden olyan hibát, amikor legfeljebb d 1 bit sérül meg. S t, ki is tud javítani minden olyan hibát, ahol d=2-nél kevesebb bit sérül meg! Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön képes lesz az n-komponens valós vektorok körében kiszámolni egy vektor hosszát, két vektor szögét és két pont távolságát akár a standard, akár valamely szendvicsmátrixszal adott skalárszorzat esetén; ellen rizni, hogy egy véges halmazon adott kétváltozós függvény vajon távolságfüggvénynek tekinthet -e; úgy megadni egy függvényt egy véges halmazon, hogy az távolságfüggyvény legyen és el re megadott értékeket vegyen fel; Elméleti, fogalmi célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön megérti a skalárszorzatból származtatott norma és távolságfogalmat; megérti, hogy más skalárszorzathoz más norma ill. távolság tartozik; tudatára ébred, hogy nem egzotikus módon is megadható távolságfüggvény, és hogy ennek esetleg semmi köze nincs skalárszorzathoz. Szükséges fogalmak és módszerek korábbról vektortér, bázis; középiskolás skalárszorzat-fogalom; bilineáris függvény, szimmetria, denitség; Gram-Schmidt ortoganalizáció;
Euklideszi terek 2 Deníció. A skalárszorzat szimmetrikus, pozitív denit bilineáris függvény: x z = z x; (x + y) z = x z + y z; (x) z = (x z); x 6= 0! x x > 0: Deníció. Euklideszi téren skalárszorzattal ellátott vektorteret értünk. Norma Euklideszi terekben Deníció. Egy Euklideszi térben egy x vektor hosszán (normáján, abszolút értékén) az jjxjj p = x x számot értjük. Tétel. A hossz az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: (N1) jjxjj 0 és jjxjj = 0, x = 0; (N2) jjxjj = jj jjxjj; (N3) jjx + zjj jjxjj + jjzjj. Bizonyítás. (N1) (és egyben a deníció jósága) a skalárszorzat pozitív deinitségén múlik. (N2) a skalárszorzat homogenitásán múlik. (N3) kés bb. Szögfogalom Euklideszi terekben } Láttuk, hogy ha van skalárszorzat, akkor van mer legességfogalom. A norma segítségével szögfogalmat is deniálunk. A motiváció a skalárszorzat középiskolás deníciója: x z = jjxjj jjzjj cos : Deníció. Egy Euklideszi tér x; z 6= 0 vektorai által közbezárt szögön azt a 0 szöget értjük, amelyre cos = x z jjxjj jjzjj : A denició helyessége következik a kés bb következ CSB-egyenl tlenségb l. Ortonormált bázis Deníció. Az e 1 ; : : : ; e n vektorok ortonormált rendszert alkotnak, ha e i e j = ij (Kronecker-delta). Azaz minden vektor hossza egy, és a vektorok páronként mer legesek. Ha az e i vektorok egyben bázist is alkotnak, akkor ortonormált bázisról beszélünk. A Gram-Schmidt ortogonalizációval kaphatunk ortonormált bázist egy tetsz leges bázisból kiindulva. Normált terek Tegyük fel, hogy egy olyan vektortérben vagyunk, amely nem rendelkezik skalárszorzattal. Ekkor is adható értelmes hosszfogalom a hossz Euklideszi térbeli hossz tulajdonságai alapján. Deníció. Egy valós vektorteret normált térnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy jj jj : V! R norma, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:
3 (N1) jjxjj 0 és jjxjj = 0, x = 0; (N2) jjxjj = jj jjxjj; (N3) jjx + zjj jjxjj + jjzjj. Minden Euklideszi tér normált, de fordítva nem feltétlenül. Távolságfogalom normált terekben Ahogyan a skalárszorzatból normát értelmeztünk, a normából megalkotjuk a távolságfogalmat. Így minden normált térben, speciálisan Euklideszi terekben is beszélhetünk távolságról. Deníció. Egy normált térben az x és z pont távolságán az r(x; z) = jjx zjj számot értjük. Tétel. A távolság rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal (M1) r(x; z) 0 és és r(x; z) = 0, x = z; (M2) r(x; z) = r(z; x); (M3) r(x; z) r(x; y) + r(y; z). Bizonyítás. Mindegyik tulajdonság következik az azonos számú (N) tulajdonságból. } Metrikus terek Tegyük fel, hogy egy olyan vektortérben vagyunk, amely nem rendelkezik normafogalommal. Ekkor is adható értelmes távolságfogalom a norma normált térbeli tulajdonságai alapján. Deníció. Egy H halmazt metrikus térnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy H H! R távolság (metrika), amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (M1) r(x; z) 0 és és r(x; z) = 0, x = z; (M2) r(x; z) = r(z; x); (M3) r(x; z) r(x; y) + r(y; z). Minden normált tér egyben metrikus tér is, de fordítva nem. Tétel. (Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenl tlenség) Egy Euklideszi tér bármely x és z vektorára fenáll az jx zj jjxjj jjzjj egyenl tlenség. Egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha x és z lineárisan összefügg ek. Bizonyítás. A két oldalt egy ortonormál bázis szerinti koordinátákkal felírva, és négyzetre emelve a következ lesz: Átrendezve: (x 1 z 1 + : : : + x n z n ) 2 (x 2 1 + : : : + x2 n )(z2 1 + : : : + z2 n ): X 0 (x i z j x j z i ) 2 : ii<jn Ez a négyzetösszeg nemnegatív, és pontosan akkor nulla, ha x és z koordinátái arányosak, azaz egymás konstansszorosai. }
Következmények 4 Az (N3) Háromszög-egyenl tlenség igazolása. Az jjx + zjj jjxjj + jjzjj összefüggést kell igazolni. Négyzetre emelve: (x + z) (x + z) (x x + z z) 2 jjxjj 2 + 2 x z + jjzjj 2 jjxjj 2 + 2jjxjj jjzjj + jjzjj 2 x z jjxjj jjzjj Ez pedig következik a CSB-egyenl tlenségb l. } A CSB-egyenl tlenségb l az is következik, hogy a szögfogalom jól értelmezett, hisz a jobb oldallal végigosztva kapjuk, hogy j cos j 1. Mivel a cos függvény bijektíven képezi le a [0; ] intervallumot a [ 1; 1] intervallumra, így a két vektor szöge egyértelm en deniált. Összefoglalás Az el adás elején deniáltuk a skalárszoratot ill. az Euklideszi tereket. A skalárszorzatból norma- és szögfogalmat származtattunk. Az Euklideszi terek normájának legfontosabb tulajdonságait axiómának tekintve értelmeztük a normált vektortér fogalmát, és csupán ezekb l származtattuk a távolságfogalmat. Hasonlóan az el z elvhez, a normált terek távolságfüggvényének legfontosabb tulajdonságait axiómának tekintve értelmeztük a metrikus tér fogalmát. A metrikus terekben már nem követeltünk meg vektortérstruktúrát, csupán a tér pontnak nevezett elemeinek kell tudnunk a távolságát. A származtatáskor a kiindulási tér tulajdonságai implikálják a származtatott tér megfelel tulajdonságait. Az egyetlen nehézséget a normára vonatkozó háromszög-egyenl tlenség jelentette, amit a CSB-egyenl tlenségb l vezettünk le. Ellen rz kérdések 1. Mit értünk azon, hogy a skalárszorzat pozitív denit? 2. Hogyan deniáljuk a normát illetve a szöget Euklideszi terekben? 3. Mit értünk ortonormált bázison és milyen vektorterekben van értelme err l beszélni? 4. Mondja ki a távolságaxiómákat! 5. Hogyan szól a CSB-egyenl tlenség, és hol használjuk?
M veletigény a lineáris algebrai számításokban 5 A lineáris algebrai tanulmányaink végén ismételjük át a legfontosabb feladatokat, és adjuk meg m veletigényüket. A m veletigény számításakor a szorzások számát gyeljük az input méretének függvényében, mert a szorzás végrehajtása számítógépen ugyanúgy nagyságrenddel nagyobb ideig tart, mintha papíron végeznénk el. 1. Egyenletrendszer megoldása Jordan-eliminációval. 2. Egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. 3. Determinánsszámítás deníció szerint. 4. Determinánsszámítás eliminációval. 5. Determinánsszámítás kifejtési tétellel. 6. Mátrixok szorzása. 7. Mátroxok invertálása el jeles aldeterminánsokkal. 8. Mátrixok invertálása eliminációval. 9. Egyenletrendszer magoldása Cramer-szabállyal. 10. Függetlenség eldöntése. 11. Rang számítása. 12. Lineáris leképezés végrehajtása mátrixszorzással. 13. Mátrixok regularitásának eldöntése. 14. Sajátértékek kiszámítása. 15. Egy sajátértékhez tartozó sajátvektorok meghatározása. 16. Bilineáris függvények végrehajtása. 17. Egy bilineáris függvényre vonatkozóan ortogonális bázis keresése. 18. Kvadratikus alakba helyettesítés. 19. Kvadratikus alakdenitségének eldöntése ortogonalizációval. 20. Kvadratikus alakdenitségének eldöntése eliminációval. 21. Kvadratikus alak denitségének eldöntése f minorokkal.