2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08. 1
1. Mérések ismertetése Az első részben egy téglalap keresztmetszetű rúd Young-modulusát határozzuk meg úgy, hogy adott hosszúság mellett különböző erővel terheljük, és mérjük a minta lehajlását. A második részben egy kör keresztmetszetű rúd Youngmodulusát határozzuk meg úgy, hogy adott terhelés mellett a rúd hosszának változtatásával mérjük a rúd lehajlását. A két oldalán feltámasztott, középen terhelt rúd lehajlását kétkarú emelőt tartalmazó berendezéssel végezzük. 1. ábra. A mérési összeállítás A harmadik részben pedig egy vékony torziószálból készült inga periódusidejét mérjük különböző tehetetlenségi nyomatékok mellett úgy, hogy változtatjuk a tárcsák helyzetét az inga keretén. Ebből a mérésből meghatározható a torziószál toziómodulusa és az üres ingakeret tehetetlenségi nyomatékát. 2. ábra. A mérési összeállítás 1
2. Hasáb Young-modulusa Az A4-es számú rúd éleit csavarmikrométerrel mértük több ponton, ezek átlaga: a = (7, 935 ± 0, 005)mm és b = (11, 934 ± 0, 005)mm. A rudat mindkét élével behelyezzük az emelőbe, és adott l = (360 ±0, 5)mm hosszúság mellett figyeljük a mérőórán a lehajlást. Az értékek hibájának alapjául a leolvasási hibát vesszük, majd hibaterjedéssel számolunk tovább. Először úgy rakjuk be, hogy a hosszabb él az alap és a rövidebb a magasság, így a keresztmetszet másodrendű nyomatéka: I 1 = ba3 = (497 ± 1)mm4 12 A különböző tömegek esetében a lehajlás mértékét az 1. táblázat tartalmazza. tömeg (kg) s (0,01 mm) 0.50 58 0.75 61 1.00 70 1.25 77 1.50 84 1.75 92 2.00 98 2.50 112 2.75 119 3.00 126 3.25 132 3.50 139 4.00 152 4.25 159 4.50 166 1. táblázat. Lehajlás különböző terhelő tömegek esetén A terhelő tömeg nagyságát meg kell szorozni a nehézségi gyorsulás értékével (9.81 m s 2 ). Ezután ábrázoljuk a lehajlást (s) a tehelő erő (F) függvényében, majd az adatokra egyenest illesztünk (3.ábra), melynek meredekségéből (m) kiszámolható a minta anyagának Young-modulusa (E). l 3 s = 1 48 EI F = m = 1 48 EI = E = 1 (1) 48 mi Az egyenesillesztésből kapott meredekség: m 1 = (2, 79 ± 0, 02) 0,01mm N A (1) képletbe való behelyettesítéssel megkaphatjuk a minta anyagának Young-modulusát: l 3 E 1 = (7, 01 ± 0, 09) 10 10 N m 2 l 3 2
180 160 140 s [0.01mm] 120 100 80 60 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 F [N] 3. ábra. Lehajlás a terhelő erő függvényében Második esetben a másik élével lefelé mérjük a mintarudat. Ekkor az alap és a magasság szerepe felcserélődik, ezért a keresztmetszet másodrendű nyomatéka: I 2 = ab3 12 = (1124 ± 2)mm4 A 2. táblázatban találhatóak a különböző terhelő tömegekhez tartozó lehajlások. tömeg (kg) s (0,01 mm) 0.50 53 0.75 55 1.00 59 1.25 62 1.50 65 2.00 73 2.25 78 2.50 81 2.75 84 3.00 87 3.50 93 4.00 99 4.25 102 4.75 109 5.00 112 2. táblázat. Lehajlás különböző terhelő tömegek esetén 3
Ebben az esetben is átszámoljuk a tömeget nehézségi erővé, majd ábrázoljuk az adatokat, és egyenest illesztünk rá (4.ábra). Az egyenesillesztésből kapott meredekség: m 2 = (1, 35 ± 0, 02) 0,01mm N 120 110 100 s [0.01mm] 90 80 70 60 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 F [N] 4. ábra. Lehajlás a terhelő erő függvényében A (1) képletbe való behelyettesítéssel megkaphatjuk a minta anyagának Young-modulusát és annak hibáját: E 2 E 2 = 3 l l + m 2 + a m 2 a + 3 b b E 2 = (6, 406 ± 0, 134) 10 10 N m 2 A téglalap keresztmetszetű mintán végzett mérések alapján ellenőrizzük a (2) összefüggést. m 1 = I 2 (2) m 2 I 1 Átírjuk az (2) egyenletet: mi = konstans (3) Az első mérésből a konstans számértéke mértékegység és hiba nélkül: a második mérésből pedig m 1 I 1 = 1386, 6 m 2 I 2 = 1517, 4 A második mérés viszonylag nagy hibája miatt nem tökéletesen egyeznek meg ezek az értékek. 4
3. Rúd Young-modulusa Az S9-es számú kör keresztmetszetű rúd átmérőjét csavarmikrométerrel mértük több ponton, és ezek átlagából a kör sugara: r = (4, 705 ± 0, 005)mm. A keresztmetszet másodrendű nyomatéka a kör keresztmetszet esetén: I = π 4 r4 = (384, 9 ± 1, 6)mm 4 Állandó terhelés mellett mértük a rúd lehajlását különböző hosszúságok mellett. A terhelés nagysága a terhelő tömeg (4kg) és a nehézségi gyorsulás (9, 81 m s 2 ) szorzatából jön ki: F = (39, 24 ± 0, 39)N. Mivel a különböző hosszúságokhoz át kell szerelnünk a berendezést, elcsúszhat a mérőóra nullhelyzete. Ennek kiküszöbölésére minden mérésnél felraktunk egy alapterhelést, aminél felírtuk a nullhelyzetet, és ezután raktuk fel a terhelést, és mértük meg a lehajlást. A lehajlás és a nullhelyzet különbségéből kaptuk meg a valódi lehajlást (s), amit a 3.táblázatban rögzítettünk a hossz (l) függvényében. l (m) s (mm) 0.20 0.19 0.24 0.32 0.26 0.41 0.28 0.49 0.30 0.60 0.32 0.76 0.34 0.86 0.36 1.05 0.38 1.20 0.40 1.39 3. táblázat. Lehajlás különböző hosszúságoknál A (4) képletek alapján ábrázoljuk a lehajlást (s) a hosszúság (l) köbének függvényében (5.ábra), majd egyenest illesztünk az adatpontokra. Az illesztett egyenes meredekségéből (m) kiszámolható a Young-modulus (E). s = 1 F 48 EI l3 = m = 1 F 48 EI = E = 1 F 48 mi Az illesztett egyenes meredeksége: m = (21, 5 ± 0, 3) mm m A (4) képletbe való 3 behelyettesítéssel a minta anyagának Young-modulusa és annak hibája: E E = F F + m m + 4 r r (4) E = (9, 88 ± 0, 28) 10 10 N m 2 5
1.6 1.4 1.2 1 s [mm] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 l^3 [m^3] 5. ábra. Lehajlás a hossz köbének függvényében 4. Torziós inga Az 5-ös számú torziószál torzimodulusának kiszámításához szükségünk van a szál, illetve a tárcsák adataira. A szál hosszát mérőszalaggal mértük meg: l = (0, 59 ± 0, 0005)m, az átmérőjét csavarmikrométerrel több ponton mértük meg, ebből a szál sugara: r = (2, 51 ± 0, 02) 10 4 m. Ezekből meghatározható a szál K állandója: K = 8πl r 4 = (3, 74 ± 0, 06) 1014 1 m 3 A tárcsák tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához lemértük a tárcsák tömegét digitális mérleggel és átmérőjét tolómérővel néhány ponton, ezekből határoztuk meg a tárcsák sugarát. Az első tárcsa tömege m 1 = 194, 644g, sugara r 1 = (21, 01 ± 0, 05) 10 3 m. A második tárcsa tömege m 2 = 196, 314g, sugara r 2 = (21, 03 ± 0, 05) 10 3 m. Ezekből a tehetetlenségi nyomatékuk: Θ 1 = 1 2 m 1r 2 1 = (4, 297 ± 0, 025) 10 5 kgm 2 Θ 2 = 1 2 m 2r 2 2 = (4, 339 ± 0, 025) 10 5 kgm 2 A következő (5) képlet alapján tudjuk kiszámolni a szál torziómodulusát (G) és az üres inga tehetetlenségi nyomatékát (Θ u ): T 2 = K(m 1 + m 2 ) a 2 + K G G (Θ 1 + Θ 2 + Θ u ) (5) Ehhez mértünk különböző középponttól mért távolságok (a) esetén 10 periódusidőt (T), amit digitális óra mért fénykapuval. Ezeket az adatokat rögzítettük a 4. táblázatban. 6
a (cm) 10T (s) 0 53.0 3 65.7 4 74.2 5 83.8 6 94.2 7 105.2 8 116.6 9 128.2 10 140.3 4. táblázat. Periódusidő különböző középponttól mért távolságoknál A (5) képlet alapján ábrázoljuk a periódusidő négyzetét a középponttól mért távolság négyzetének függvényében (6. ábra), majd egyenest illesztünk az adatokra, melynek meredekségéből kiszámítható a torziómodulus, tengelymetszetéből pedig az üres inga tehetetlenségi nyomatéka. 200 180 160 140 T^2 [s^2] 120 100 80 60 40 20 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 a^2 [m^2] 6. ábra. Periódusidő négyzete a távolság négyzetének függvényében Az egyenesillesztés paraméterei a következőknek adódtak: a meredekség m = 16860 ± 13 s2 m, a tengelymetszet b = 28, 05 ± 0, 07s 2. 2 A következő képletek határozzák meg a végeredményeket és azok hibáját: G = K m 1 + m 1 m G G = K K + m 1 + m 2 + m m 1 + m 2 m (6) (7) 7
Θ u = Gb K Θ 1 Θ 2 (8) Θ u = Θ u ( G G + K K + b b ) + Θ 1 + Θ 2 (9) A végeredmények behelyettesítés után: G = (8, 0 ± 0, 1) 10 10 N m 2 Θ u = (56, 4 ± 4, 6) 10 5 kgm 2 Azzal, hogy a 6. ábrán T 2 és a 2 között lineáris összefüggés mutatkozik, lényegében a Steiner-tételt is bebizonyítottuk. Az illesztés során a korrelációs együttható R = 0, 9999-nek adódott, ami számszerűsíti a lineáris összefüggés jóságát. 8