Sztochasztikus modellezés. Raisz Péter, Fegyverneki Sándor

Sztochasztikus modellezés Raisz Péter, Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem,2011

Tartalomjegyzék 1. Valószínűség-számítási alapok 5 1.1. Eseménytér, műveletek eseményekkel.............. 5 1.2. A valószínűség fogalma...................... 6 1.3. Klasszikus valószínűségi mező.................. 7 1.4. Geometriai valószínűségi mező.................. 9 1.5. Feltételes valószínűség, függetlenség............... 10 1.6. A relatív gyakoriság........................ 13 1.7. Valószínűségi változó....................... 14 1.8. Várható érték, transzformáció.................. 17 1.9. Medián, kvantilis......................... 20 1.10. Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői.............. 21 1.11. Néhány folytonos eloszlás és jellemzői.............. 23 1.12. Generátor-, karakterisztikus függvény.............. 31 1.13. A kétdimenziós véletlen vektor.................. 34 1.14. Néhány többdimenziós folytonos eloszlás és jellemzői..... 38 1.15. Az n-dimenziós véletlen vektor.................. 39 1.16. Valószínűségi változók összege.................. 40 1.17. Egyenlőtlenségek......................... 42 1.18. Nagy számok gyenge törvényei.................. 46 1.19. Polinomiális eloszlás....................... 47 1.20. Transzformáció n-dimenzióban.................. 48 1.21. Centrális határeloszlás-tétel................... 49 1.22. Vegyes valószínűség-számítási feladatok............. 50 1

2. Matematikai statisztikai alapok 55 2.1. Minta, mintavétel......................... 55 2.2. A statisztikai minta jellemzői.................. 57 2.3. Rendezett minták......................... 58 2.3.1. Minimumok és maximumok eloszlása.......... 59 2.3.2. Rendezett mintaelemek eloszlása............ 60 2.4. Becsléselmélet........................... 64 2.4.1. Pontbecslés........................ 65 2.4.2. Maximum likelihood becslés............... 67 2.4.3. A momentumok módszere................ 70 2.4.4. Intervallumbecslések................... 70 2.5. Hipotézisvizsgálat......................... 74 2.5.1. A likelihood hányados próba............... 76 2.5.2. Néhány általánosított likelihood hányados próba.... 79 2.5.3. A Pearson-féle χ 2 statisztika és alkalmazásai...... 83 2.6. Rendezett mintás próbák..................... 86 2.6.1. Az előjelpróba...................... 88 2.6.2. A Wilcoxon próba.................... 90 2.6.3. A Kolmogorov-Szmirnov kétmintás próba........ 91 2.6.4. A Kolmogorov-próba................... 92 2.6.5. Az ω 2 -próba........................ 93 2.7. Minta példák........................... 95 2.8. Vegyes matematikai statisztikai feladatok............ 100 3. Többdimenziós normális eloszlás 103 3.1. Többváltozós normális eloszlás fogalma............. 103 3.1.1. Többváltozós elemzések................. 104 3.1.2. Elemi tulajdonságok................... 105 3.1.3. Jellemzők......................... 106 3.2. A paraméterek becslése...................... 107 3.3. Hipotézis vizsgálat, konfidencia intervallum........... 110 3.4. Normalitás vizsgálat....................... 112 2

3.4.1. Perem normalitás vizsgálat................ 113 3.4.2. Egydimenziós vizsgálaton alapuló módszerek...... 113 3.4.3. Együttes normalitás vizsgálat.............. 114 3.5. Példák............................... 115 3.5.1. Kétváltozós normális eloszlás.............. 115 3.5.2. T 2 próba.......................... 116 3.5.3. Konfidencia intervallum meghatározása......... 117 4. Feltételes várható érték, folyamatok 119 4.1. Bevezetés............................. 119 4.2. Feltételes várható érték...................... 122 4.3. A feltételes várható érték tulajdonságai............. 124 4.4. Martingál............................. 126 4.5. Sztochasztikus folyamatok.................... 131 4.6. Stacionárius folyamatok..................... 132 5. Markov-láncok, folyamatok 138 5.1. Markov-láncok.......................... 138 5.2. Állapotok osztályozása...................... 146 6. Sorbanálláselmélet 155 6.1. Poisson folyamat......................... 155 6.2. Születési-halálozási folyamatok.................. 160 6.3. A sorbanállási elmélet elemei................... 164 6.4. M/M/1 sorbanállási-kiszolgálási rendszer............ 167 6.4.1. A várakozási idők paradoxona.............. 171 6.5. Az M/M/1/K rendszer...................... 172 7. Készletgazdálkodási modellek, véletlen ütemezés 175 7.1. Bevezetés............................. 175 7.2. Determinisztikus készletgazdálkodási modellek......... 176 7.2.1. Az optimális tételnagyság modellje........... 176 7.3. Sztochasztikus készletgazdálkodási modellek.......... 178 3

7.3.1. Megbízhatósági típusú sztochasztikus készletmodell.. 178 7.3.2. Véletlen ütemezésű rész-szállítmányok esete...... 179 8. A szimuláció alapjai 182 8.1. Monte Carlo módszerek..................... 182 8.2. Pszeudovéletlen számok..................... 183 8.2.1. Inverzfüggvény módszer................. 184 8.2.2. Az elfogadás-elvetés módszere.............. 184 8.2.3. Normális eloszlás generálása............... 186 8.3. A Brown-mozgás......................... 187 8.4. A közelítő integrálás hibája................... 188 9. Alkalmazások 193 9.1. Geometriai Brown-mozgás.................... 193 9.2. Cox-regresszió........................... 197 Irodalomjegyzék 208 4

1. fejezet Valószínűség-számítási alapok 1.1. Eseménytér, műveletek eseményekkel 1.1. Definíció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeinek összességét eseménytérnek (mintatér) nevezzük. Jele: Ω. Az Ω elemeit elemi eseményeknek nevezzük. 1.2. Definíció. Az Ω részhalmazainak egy F rendszerét σ-algebrának nevezzük, ha (1) Ω F, (2) A F, akkor A F, (3) A, B F, akkor A B F, (4) A 1, A 2, F, akkor A 1 A 2 F. Az F elemeit pedig eseményeknek nevezzük. 1.3. Megjegyzés. Ha csak (1), (2), (3) teljesül, akkor az F halmazrendszert algebrának nevezzük. Ha A, B F, akkor A B F. 1.4. Definíció. Az Ω halmazt szokás biztos eseménynek, az halmazt pedig lehetetlen eseménynek nevezni. Továbbá, az A esemény bekövetkezik, ha a kísérlet eredménye eleme az A halmaznak. 1.5. Megjegyzés. Az A B esemény bekövetkezik, ha legalább az egyik közülük bekövetkezik, míg az A B esemény akkor következik be, ha mind a kettő bekövetkezik. 5

1.2. A valószínűség fogalma 1.6. Definíció. A P : F R nemnegatív leképezést valószínűségnek nevezzük, ha (1) P (Ω) = 1, (2) A B =, akkor P (A B) = P (A) + P (B), (3) A 1, A 2,... egymást kölcsönösen kizáró események (azaz A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,... ), akkor ( ) P A i = P (A i ). (1.1) i=1 1.7. Megjegyzés. Az (1)-(3) tulajdonságokat szokás a valószínűség axiómáinak nevezni. i=1 1.8. Következmény. (1) P (A) = 1 P (A). (2) P ( ) = 0. (3) P (B\A) = P (B) P (A B). (4) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). (5) Ha A B, akkor P (A) P (B). (6) Ha B n+1 B n és i=1 B n =, akkor lim n P (B n ) = 0. 1.9. Megjegyzés. Az (5) következményt szokás a valószínűség monotonitásának is nevezni. Ennek fontos következménye, hogy ha A F, akkor 0 P (A) 1, mert A Ω. Hasonlóan a (6) következmény a valószínűség folytonossága. 1.10. Definíció. Az (Ω, F, P ) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük. 1.11. TÉTEL. (Poincaré) Az A 1, A 2,..., A n eseményekre ( n ) ( n k ) P A i = ( 1) k 1 A ij, (1.2) i=1 k=1 i 1 <i 2 < <i k P ahol az összegzést az összes lehetséges {i 1, i 2,..., i k } {1, 2,..., n} esetre tekintjük. 1.12. Megjegyzés. A formula a (4) következmény általánosítása. Teljes indukcióval könnyen bizonyítható. 6 j=1

1.3. Klasszikus valószínűségi mező 1.13. Definíció. Ha az elemi események száma véges és valószínűségük megegyezik, akkor a valószínűségi mezőt klasszikusnak nevezzük. 1.14. Megjegyzés. A definíció nagyon rövidnek tűnik, ha arra gondolunk, hogy egy speciális helyzetben megadja a teljes matematikai modellt (a valószínűségi mezőt). Felmerül a kérdés, hogy a modell minden része szerepel-e benne. A válasz igen. Ha az elemi eseményeknek van valószínűsége, azt úgy kell értelmezni, hogy az alaphalmaz minden egy elemű részhalmaza esemény. Ekkor viszont F = 2 Ω, azaz F a hatványhalmaz. Legyen Ω = n és jelölje az elemi eseményeket ω i (i = 1, 2,..., n). Ekkor ( n ) n 1 = P (Ω) = P {ω i } = P ({ω i }) = np ({ω i }). i=1 Tehát P ({ω i }) = 1 (i = 1, 2,..., n). n Legyen A Ω tetszőleges, ekkor felírható i=1 A = {ω i1, ω i2,..., ω ik } alakban. Ekkor ( k ) P (A) = P {ω ij } = j=1 k j=1 P ({ω ij }) = kp ({ω i }) = A Ω. Ezzel minden részhalmaznak meghatároztuk a valószínűségét. Tehát az ún. klasszikus képlet: valószínűség = kedvező esetek száma. (1.3) összes esetek száma VISSZATEVÉSES MINTAVÉTEL: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevéssel kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. 7

Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k n. ( ) n s k (N s) n k k p k = P (ξ = k) =. (1.4) N n Legyen p = s N, akkor P (ξ = k) = ( ) n p k (1 p) n k. (1.5) k Tehát csak a selejtaránytól függ a valószínűség. VISSZATEVÉS NÉLKÜLI MINTAVÉTEL: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevés nélkül kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k min{n, s}. ( )( ) s N s ( ) k n k N p k = P (ξ = k) =. (1.6) n 1.15. Megjegyzés. Az n elemű sokaságból számú visszatevéses és n k n(n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! visszatevés nélküli k elemű minta vehető. A p k valószínűségek definíciójából következik, hogy p 0 + p 1 + + p n = 1, amelyből n k=1 ( ) n s k (N s) n k = N n, k illetve (s )( ) N s + 0 n ( s 1 )( ) N s + + n 1 8 ( s n )( ) N s = 0 ( ) N. n

1.4. Geometriai valószínűségi mező A geometriai valószínűségi mező bevezetése, a valószínűség definíciója a klaszszikus valószínűségi mező analógiájára történik. Bevezetése, alkalmazása során kiderül, hogy a szükséges elméleti alapokat majd csak a valószínűségi változóknál illetve a véletlen vektoroknál definiáljuk. A következő definíciót fogadjuk el a szemlélet alapján a klasszikus valószínűségi mező mintájára. 1.16. Definíció. Legyen Ω R n, amelynek létezik és véges a nagysága (jelölje m(ω)). Továbbá legyen Ω minden eleme (pontja) azonos "esélyű" és A Ω, amelynek szintén létezik az m(a) nagysága. A P (A) = m(a) m(ω) (1.7) mennyiséget az A valószínűségének nevezzük. 1.17. Megjegyzés. P (A) = m(kedvező esetek). (1.8) m(összes eset) 1.18. Megjegyzés. Egy halmaz nagyságán a hosszát, területét, térfogatát(mértékét) értjük. Legyen Ω = [0, 1] és m pedig a hosszúság, ekkor minden Q [0, 1] pontra csak az m({q}) = 0 lehetséges. Ebből rögtön következik, hogy minden legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaz nagysága (hossza) 0. 1.19. Megjegyzés. Létezik halmaz, amelynek nincs Lebesgue-mértéke. Nem mérhető halmaz konstrukciója: Legyen Ω = [0, 1] és m pedig a hosszúság. Az a, b Ω relációban van, ha a b Q, azaz racionális. Ez a reláció reflexív, szimmetrikus, tranzitív. Tehát ekvivalenciareláció, amely osztályozást hoz létre. Definiáljuk az E halmazt oly módon, hogy minden osztályból kiveszünk egy elemet. Ez lehetséges a halmazelmélet kiválasztási axiómája szerint. Legyen Ω Q = {r 1, r 2,... }, E n := {x + r n [x + r n ] x E}, 9

ekkor az E n halmazok páronént diszjunktak és akkor E n is és nagyságuk megegyezik. Továbbá m(e n ) = 1, n=1 E n = Ω. Ha E mérhető, ami lehetetlen, mert a sor tagjai mind egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy E nem mérhető. 1.20. Megjegyzés. Létezik kontinuum számosságú halmaz, amelynek 0 a Lebesgue-mértéke. A Cantor-féle triadikus ( halmaz: Legyen E 1 a középső része a [0, 1] intervallumnak, azaz E 1 = 1 3, 2 ). Tehát x [0, 1]\E 1 akkor és csak akkor, ha 3 hármas számrendszerben az első jegy (a 0 után) a 0 vagy( a 2. Legyen E 2 a 1 középső részek uniója a [0, 1]\E 1 halmazból, azaz E 1 = 9, 2 ) ( 7 9 9, 8 ). 9 Tehát x [0, 1]\(E 1 E 2 ) akkor és csak akkor, ha hármas számrendszerben az első két jegy (a 0 után) a 0 vagy a 2. Folytassuk a konstrukciót: legyen E n a középső részek uniója a [0, 1]\(E 1 E 2 E n 1 ) halmazból. Cantor-féle triadikus halmaznak nevezzük a C = [0, 1]\ halmazt. Tehát x C akkor és csak akkor, ha hármas számrendszerben a számjegyei csupán a 0 vagy a 2. A C halmaz nemmegszámlálható. A konstrukció alapján ( ) ( ) n 1 1 2 ( ) ( ) n 1 1 2 m(e n ) =, m(c) = 1 = 0. 3 3 3 3 1.5. Feltételes valószínűség, függetlenség 1.21. Definíció. Az A esemény B feltétel melletti feltételes valószínűségének nevezzük a P (A B) P (A B) = (1.9) P (B) 10 n=1 E n n=1 n=1

mennyiséget, ha P (B) > 0. 1.22. Megjegyzés. A P ( B) : F R leképezés tényleg valószínűség, azaz teljesíti a valószínűség axiómáit, ha rögzítjük a B eseményt 1.23. TÉTEL. (szorzási szabály) Ha P (A) > 0, P (B) > 0, akkor P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B). (1.10) 1.24. TÉTEL. (szorzási szabály általánosítása) Ha az A 1, A 2,..., A n n 1 eseményrendszerre P ( A i ) > 0, akkor i=1 n P ( A i ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). (1.11) i=1 1.25. Definíció. Az A 1, A 2,... eseményrendszert teljes eseményrendszernek nevezzük, ha A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,..., és A i = Ω. 1.26. TÉTEL. (teljes valószínűség) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges B esemény esetén i=1 P (B) = P (B A i )P (A i ). (1.12) i=1 Bizonyítás. P (B) =P (B Ω) = P (B = P (B A i ) = i=1 A i ) = P ( (B A i )) = (1.13) i=1 i=1 P (A i )P (B A i ). (1.14) i=1 Felhasználva a teljes eseményrendszer tulajdonságait, a valószínűség 3. axiómáját és a szorzási szabályt. 1.27. Megjegyzés. A és A teljes eseményrendszert alkot. A B, A B, A B,és A B teljes eseményrendszert alkot. 11

1.28. TÉTEL. (Bayes) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges pozitív valószínűségű B esemény esetén Bizonyítás. P (A k B) = P (B A k)p (A k ). (1.15) P (B A i )P (A i ) i=1 P (A k B) = P (A k B) P (B) = P (B A k)p (A k ) P (B A i )P (A i ) i=1 (1.16) Felhasználva a teljes valószínűség tételét és a szorzási szabályt. 1.29. Megjegyzés. A Bayes-tételhez kapcsolódóan bevezethetjük a következő elnevezéseket: P (A i ) az ún. a-priori valószínűség és P (A i A) az ún. a-posteriori valószínűség. 1.30. Definíció. Az A és B eseményt sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A B) = P (A)P (B). (1.17) 1.31. Megjegyzés. Ha az A és B események függetlenek, akkor A és B, A és B és A és B is függetlenek. Ha 0 < P (A) < 1, akkor A és A nem függetlenek. 1.32. TÉTEL. Ha A B =, és P (A)P (B) > 0, akkor az A és a B esemény nem lehetnek függetlenek. Bizonyítás. Tehát nem lehetnek egyenlőek. P (A B) = 0, P (A)P (B) > 0. 1.33. Definíció. Az A 1, A 2,..., A n eseményeket páronként sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) (1 i < j n). (1.18) 12

1.34. Definíció. Az A 1, A 2,..., A n eseményeket teljesen sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), (1.19) ahol 1 i 1 < < i k n, 2 k n. 1.35. Megjegyzés. Ha megvizsgáljuk a feltételrendszert, akkor látható, hogy a teljes függetlenség feltételeinek a száma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n + + + = 2 n = 2 n 1 n, 2 3 n 0 1 amely nagyon gyorsan nő. Már n = 3 esetén megadható példa, amely azt mutatja, hog egyik feltétel sem elhagyható. 1.36. Definíció. Az {A 1, A 2,..., A n,... } és {B 1, B 2,..., B m,... } eseményrendszereket sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha i, j esetén P (A i B j ) = P (A i )P (B j ) (1 i n, 1 j m). (1.20) 1.37. Megjegyzés. Ha az A és B események függetlenek, akkor A és B, A és B és A és B is függetlenek, azaz az {A, A} és {B, B} eseményrendszerek is függetlenek. Két σ algebra független, ha mint eseményrendszerek függetlenek. 1.38. TÉTEL. Ha A 1, A 1,..., A n független események és P (A i ) < 1, (i = 1, 2,..., n), (1.21) akkor n P ( A i ) < 1. (1.22) i=1 1.6. A relatív gyakoriság 1.39. Definíció. Bernoulli kísérletsorozatnak nevezzük azt, ha adott A F és egymástól függetlenül, azonos körülmények között elvégezzük ugyanazt a kísérletet, s "csak" azt figyeljük, hogy az A esemény bekövetkezett-e vagy sem. 13

1.40. Megjegyzés. A visszatevéses mintavétel egy ilyen kísérletsorozatot valósít meg. 1.41. Definíció. Adott egy valószínűségi mező. Vizsgáljuk az A esemény bekövetkezését. Végezzünk el egy Bernoulli-kísérletsorozatot, amelynek a hossza n. Jelölje az A esemény bekövetkezéseinek a számát k A. Ezt az A esemény gyakoriságának nevezzük. Míg az r A = k A n mennyiséget pedig relatív gyakoriságnak nevezzük. (1.23) 1.42. Megjegyzés. Mivel 0 k A n, ezért 0 r A 1. k Ω = n, tehát r Ω = 1. Ha A B =, akkor k A B = k A + k B, ezért r A B = r A + r B. Jól látható, hogy a relatív gyakoriság tulajdonságai megegyeznek a valószínűségével és mégsem igazán jó mérőszám, hiszen minden újabb kísérlettel változhat. 1.7. Valószínűségi változó 1.43. Definíció. A X : Ω R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha {X < x} = {ω ω Ω, X(ω) < x} F x R. (1.24) 1.44. Definíció. Legyen σ(x) = {A F A = X 1 (B), B B(R)}. (1.25) Ezt a halmazt a valószínűségi változó által generált σ algebrának nevezzük. 1.45. Definíció. Az F (x) = P (X < x) (1.26) formulával meghatározott valós függvényt az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. 14

1.46. TÉTEL. Az F valós függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x) = 0, x 2. lim F (x) = 1, x 3. F (a) F (b), ha (a < b), azaz monoton növekvő, 4. lim x x 0 0 F (x) = F (x 0), x 0 R, azaz balról folytonos. 1.47. Megjegyzés. Az F teljesíti az előző tételben szereplő tulajdonságokat. Ha ezenkívül szigorúan nő és folytonos, akkor létezik F 1. Legyen Ω = [0, 1], F = a nyílt intervallumok által generált σ algebra és P pedig egy halmaz hossza. Legyen minden ω Ω esetén ami folytonos és szigorúan monoton növekvő. X(ω) = F 1 (ω), (1.27) P (X < x) = m({ω F 1 (ω) < x}) = m({ω ω < F (x)}) = F (x). 1.48. TÉTEL. Legyen F az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a, b R, ekkor 1. P (a X < b) = F (b) F (a), 2. P (X = a) = F (a + 0) F (a). 1.49. Definíció. Az X valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek X(Ω) halmazának számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen. 1.50. Megjegyzés. Diszkrét valószínűségi változó esetén a lehetséges értékek felírhatók egy sorozatként. 1.51. Definíció. Legyen az X valószínűségi változó lehetséges értékeinek sorozata x 1, x 2,.... A p i = P (X = x i ), (i = 1, 2,... ) (1.28) valószínűségek sorozatát eloszlásnak nevezzük. 15

1.52. TÉTEL. Ha p 1, p 2,... eloszlás, akkor p i 0 (i = 1, 2,... ) és p i = 1. (1.29) 1.53. Definíció. Ha létezik f nemnegatív valós függvény, melyre i=1 F (x) = x f(t)dt, x R, (1.30) akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény. 1.54. Megjegyzés. A sűrűségfüggvény nem egyértelmű. A sűrűségfüggvény létezése azt jelenti, hogy az F eloszlásfüggvény abszolút folytonos. 1.55. TÉTEL. Az f valós függvény akkor és csak akkor lehet sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + f(t)dt = 1. (1.31) 1.56. Definíció. A valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha létezik a sűrűségfüggvénye. 1.57. TÉTEL. Legyen az X folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel és a, b R, ekkor P (X = a) = 0 (1.32) és P (a X < b) = b f(x)dx. (1.33) 1.58. Megjegyzés. Tetszőleges eloszlásfüggvény előállítható a p 1 F 1 + p 2 F 2 + p 3 F 3 (1.34) alakban, ahol p 1 +p 2 +p 3 = 1, p 1 0, p 2 0, p 3 0, F 1 diszkrét, F 2 abszolút folytonos és F 3 folytonos és szinguláris eloszlásfüggvény a Lebesgue-mértékre nézve. 16

A P és a P valószínűségek szingulárisak egymásra, ha A F úgy, hogy P (A) = 0 és P (A) = 0. Általában egy diszkrét és egy abszolút folytonos szinguláris egymásra nézve. Folytonos és szinguláris eloszlásfüggvény a Lebesgue-mértékre nézve az ún. Cantor-függvény: A Cantor-féle triadikus halmaz elkészítésekor (l. 1.20 megjegyzés) az n-edik lépésben éppen 2 n 1 intervallumot vettünk ki a [0, 1] intervallumból. Jelölje ezeket sorban A 1, A 2,..., A 2 n 1. Ekkor legyen 0, ha x = 0, k F n (x) = 2, ha x A k, k = 1, 2,..., 2 n 1, n 1, ha x = 1. Az F (x) = lim n F n (x), x R függvényt Cantor-függvénynek nevezzük. F monoton növekvő, F = 0 majdnem mindenütt és nem abszolút folytonos. 1.8. Várható érték, transzformáció 1.59. Definíció. 1. Ha az X diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges, azaz a lehetséges értékek akkor a x 1, x 2,..., x n és p i = P (X = x i ) (i = 1, 2,..., n), n x i p i (1.35) i=1 mennyiséget várható értéknek nevezzük. 2. Ha az X diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek számossága megszámlálhatóan végtelen, azaz a lehetséges értékek x 1, x 2,..., és p i = P (X = x i ) (i = 1, 2,... ), akkor a x i p i (1.36) i=1 17

mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha x i p i < +. 3. Ha X folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel, akkor a + mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha + i=1 xf(x)dx (1.37) x f(x)dx < +. (1.38) Az X valószínűségi változó várható értékének a jelölése: E(X). 1.60. TÉTEL. 1. E(aX + b) = ae(x) + b, a, b R. 2. Ha m X M, akkor m E(X) M. 1.61. Definíció. Legyen X valószínűségi változó és g valós függvény. Ha az Y = g(x) függvény valószínűségi változó, akkor az X transzformáltjának nevezzük. 1.62. Megjegyzés. A transzformált eloszlásfüggvénye F Y (y) = P ({ω g(x(ω)) < y}). 1.63. TÉTEL. Ha g differenciálható és g (x) 0, akkor X folytonos valószínűségi változó esetén Y = g(x) folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f X (g 1 (y)) d f Y (y) = dy g 1 (y), ha a < y < b, (1.39) 0, egyébként, ahol a = min( lim g(x), lim g(x)), x x + b = max( lim g(x), lim g(x)). (1.40) x x + 18

1.64. TÉTEL. Ha Y = g(x) az X valószínűségi változó transzformáltja és létezik E(Y ), akkor g(x i )P (X = x i ), ha X diszkrét, E(Y ) = i=1 (1.41) + g(x)f X (x)dx, ha X és Y folytonos. 1.65. Definíció. Az E((X E(X)) 2 ) (1.42) mennyiséget az X valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük. Jele: D 2 (X). 1.66. Definíció. A E((X E(X)) 2 ) mennyiséget az X valószínűségi változó szórásának nevezzük. Jele: D(X). 1.67. Definíció. Az E(X k ) mennyiséget az X valószínűségi változó k-adik momentumának nevezzük. 1.68. Definíció. Az E((X E(X)) k ) mennyiséget az X valószínűségi változó k-adik centrális momentumának nevezzük. 1.69. Definíció. Az X E(X) D(X) transzformáltat az X valószínűségi változó standardizáltjának nevezzük. 1.70. Definíció. Az ( (X ) ) 3 E(X) E D(X) mennyiséget az X valószínűségi változó ferdeségének nevezzük. 1.71. Definíció. Az ( (X ) ) 4 E(X) E 3 D(X) mennyiséget az X valószínűségi változó lapultságának nevezzük. 19

1.72. TÉTEL. 1. D(aX + b) = a D(X), a, b R. 2. D 2 (X) = E(X 2 ) E 2 (X). 3. D 2 (X) = E((X a) 2 ) + (a E(X)) 2. 4. min a R E((X a)2 ) = D 2 (X), és ekkor a = E(X). 1.73. Megjegyzés. Az utóbbi két állítás hasonló (sőt formailag azonos) a tehetetlenségi nyomatékra vonatkozó közismert Steiner-tétellel, amely azt mondja ki, hogy egy egyenesen lévő tömegeloszlás tehetetlenségi nyomatéka valamely az egyenesre merőleges forgástengelyre vonatkozólag egyenlő a súlyponton áthaladó tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak és a tengely súlyponttól mért távolsága négyzetösszegével, ha az össztömeg egységnyi; következésképpen a tehetetlenségi nyomaték akkor minimális, ha a forgástengely a súlyponton megy át. 1.9. Medián, kvantilis 1.74. Definíció. Az m valós számot az X valószínűségi változó mediánjának nevezzük, ha azaz P (X < m) = P (X m) = 1 2, (1.43) F X (m) = 1 2. (1.44) 1.75. Megjegyzés. A medián általában nem egyértelmű. Viszont ha létezik a sűrűségfüggvény, illetve létezik az eloszlásfüggvény deriváltja, akkor min E( X a ) (1.45) a R pontosan az a = m esetén adódik. Ez a tulajdonság hasonlít a várható érték és szórásnégyzet kapcsolatához. Az E( X m ) értéket a mediántól való várható eltérésnek nevezzük. 20

Bizonyítás. I = + x m f(x)dx = (1.46) m = (x m)f(x)dx + + m (x m)f(x)dx. (1.47) Alkalmazzuk a következő Leibniz formulát: d dy q(y) p(y) f(x, y)dx = q(y) p(y) akkor azt kapjuk, hogy y f(x, y)dx+f(q(y), y)q (y) f(p(y), y)p (y), (1.48) di dm = m f(x)dx Tehát akkor kapunk minimumot, ha ez nulla, azaz m f(x)dx. (1.49) F (m) = m f(x)dx = 1 2. (1.50) Ez pedig éppen az eloszlás mediánjával egyezik meg. 1.76. Definíció. Az x p valós számot az X valószínűségi változó p-kvantilisének nevezzük, ha F X (x p ) = p. (1.51) 1.77. Megjegyzés. Tehát például a medián az 1 2 -kvantilis. 1.10. Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői 1. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS 21

Legyen n N, A F, és végezzünk el egy n hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozatot. Továbbá, legyen X az A esemény bekövetkezéseinek a száma. Ekkor X eloszlása ( ) n P (X = k) = p k q n k, k (k = 0, 1,..., n), (1.52) ahol P (A) = p és q = 1 p, és az X valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: X B(n, p). 1.78. TÉTEL. E(X) = np, D 2 (X) = npq. 1.79. Megjegyzés. A visszatevéses mintavétel binomiális eloszláshoz vezet. Továbbá a gyakoriság is binomiális eloszlású. 2. POISSON-ELOSZLÁS Legyen λ > 0 rögzített konstans és λ = np n, ekkor ( n lim )p kn(1 p n ) n k λ λk = e, ahol k = 0, 1,.... (1.53) n,λ=np n k k! A X valószínűségi változót Poisson-eloszlásúnak nevezzük λ > 0 paraméterrel, ha eloszlása P (X = k) = e Jelölés: X P oisson(λ). λ λk 1.80. TÉTEL. E(X) = λ, D 2 (X) = λ. 3. GEOMETRIAI ELOSZLÁS, ahol k = 0, 1,.... (1.54) k! A binomiális eloszlás bevezetésekor használt jelölések mellett az X valószínűségi változó jelentse az A esemény első bekövetkezéséhez szükséges kísérletek számát. az X eloszlása P (X = k) = pq k 1, ahol k = 1, 2,.... (1.55) 1.81. TÉTEL. E(X) = 1 p, D2 (X) = q p 2. 22

1.82. Megjegyzés. Az Y = X 1 valószínűségi változót is szokás geometriai eloszlásúnak nevezni. Az Y eloszlása P (Y = k) = pq k, ahol k = 0, 1, 2,.... 1.83. TÉTEL. E(Y ) = q p, D2 (Y ) = q p 2. 1.84. Megjegyzés. Viszont és Tehát P (Y = k + m Y m) = P ({Y = k + m} {Y m}). P (Y m) {Y = k + m} {Y m} = {Y = k + m} P (Y m) = pq m ( 1 + q + q 2 +... ) = pqm 1 q = qm. P (Y = k + m Y m) = pqm+k q m = pqk = P (Y = k). (1.56) Ezzel beláttuk a geometriai eloszlás emlékezet nélküli tulajdonságát. 1.11. Néhány folytonos eloszlás és jellemzői 1. EGYENLETES ELOSZLÁS Legyen a, b R és a < b. Az X egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye 1, ha a < x < b, f(x) = b a (1.57) 0, egyébként. Jelölés: X U(a, b). Az eloszlásfüggvény 0, ha x a, x a F (x) =, ha a < x b, b a 1, ha x > b. (1.58) 23

1.85. TÉTEL. E(X) = a + b 2, D2 (X) = (b a)2. 12 1.86. Megjegyzés. Az egyenletes eloszlás adja a geometriai valószínűségi mező elméleti alapját. 1.87. TÉTEL. Ha F szigorúan monoton növő eloszlásfüggvény és X F eloszlású, akkor Y = F (X) egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon. Fordítva, ha X U(0, 1), akkor Y = F 1 (X) éppen F eloszlású. 2. EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS Az X exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, ha a sűrűségfüggvénye { λe λx, ha x 0, f(x) = (1.59) 0, egyébként. Jelölés: X Exp(λ). Az eloszlásfüggvény { 0, ha x 0, F (x) = 1 e λx, ha x > 0. (1.60) 1.88. TÉTEL. E(X) = 1 λ, D2 (X) = 1 λ 2. 1.89. Megjegyzés. Örökifjú tulajdonság: ahol a > 0, b > 0. P (X a + b X a) = P (X b), (1.61) 3. NORMÁLIS ELOSZLÁS Legyen m R, σ > 0. Az Y normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 ) ( σ 2π exp (x m)2, x R. (1.62) 2σ 2 Jelölés: Y N(m, σ 2 ). Ha m = 0 és σ = 1, akkor a valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölje a sűrűségfüggvényét ϕ és az eloszlásfüggvényét Φ. Ha X standard normális eloszlású, akkor az Y = σx + m (1.63) 24

valószínűségi változó F eloszlásfüggvényére jellemző, hogy ( ) x m F (x) = Φ. (1.64) σ 1.90. TÉTEL. E(X) = m, D 2 (X) = σ 2. 1.91. Megjegyzés. A ϕ függvény írja le a Gauss-görbét (haranggörbét). 1.92. Megjegyzés. Φ(0) = 0.5 és Φ( x) = 1 Φ(x). Ezzel meghatározható táblázatból az eloszlásfüggvény értéke, hiszen általában a Φ függvény értékeit csak a [0, 4) intervallumon szokás megadni. Néhány standard normális eloszlás érték x p Φ(x p ) = p P (m x p σ < Y < m + x p σ) 1 0.8413447460 0.682689492 1.96 0.9750021049 0.950004210 2 0.9772498680 0.954499736 3 0.9986501020 0.997300204 4 0.9999683288 0.999936658 6 0.9999999990 0.999999998. 1.93. Megjegyzés. A normális eloszláshoz kapcsolódik a hibafüggvény erf(x) = 2 π x 0 e u2 du erfc(x) =1 erf(x), (1.65) azaz Φ(x) = 1 2 [ ( )] x 1 + erf. (1.66) 2 erf(x) = 2 π n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)n! = 2 π ( x x3 3 + x5 10 x7 42 + x9 216 25 ). (1.67)

erfc(x) = e x2 x π = e x2 x π [ 1 + n=1 ( 1) n 2n! n!(2x) 2n ( 1 1 2x 2 + 3 4x 4 15 8x 6 + 105 16x 8 ] ). (1.68) 1.1. ábra. Az eloszlásfüggvény közelítésére egy 10 7 pontosságú polinomiális közelítést alkalmazhatunk. A közelítő polinom: p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c 8 x 8. (1.69) 26

A közelítő polinom együtthatói intervallum [0, 1.5] (1.5, 3] (3, 6] c 0 0.4999999853197 0.5300774546729-0.1621966195471 c 1 0.3989437251038 0.2799241265723 1.8137844596010 c 2-0.0000232473822 0.2005701987176-1.2430841874817 c 3-0.0663495262607-0.2504062323459 0.4883401215203 c 4-0.0004071645564 0.0949343858651-0.1201986229749 c 5 0.0105643510048-0.0131657278224 0.0189705569006 c 6-0.0003504976933-0.0009270280158-0.0018738388405 c 7-0.0012947802876 0.0004671302299 0.0001058586660 c 8 0.0002619054865-0.0000383458376-0.0000026175074 Az eloszlásfüggvény inverzének a közelítésére egy 10 14 pontosságú racionális törtfüggvény közelítést alkalmazhatunk. Standard normális eloszlás inverze (Pascal részlet) function Invphi(var x:extended):extended; var szi,ni,ui:extended; begin ui:=x; if (ui<0) or (ui>1) then Halt; if ui>=0.5 then ui:=1-ui; if ui<(2*1e-15) then ui:=2*1e-15; ui:=sqrt(-2*ln(ui))-sqrt(ln(4)); if 0.01<ui then begin szi:=0.2385099062881218351e-3; szi:=szi*ui+0.7748014532123519149e-2; szi:=szi*ui+0.9433047102597236601e-1; szi:=szi*ui+0.5906175347671242813e0; szi:=szi*ui+0.2052429201482605360e1; szi:=szi*ui+0.3926527220876257871e1; szi:=szi*ui+0.3827787912267809326e1; szi:=szi*ui+0.1475664626635605795e1;szi:=szi*ui+0.0; ni:=0.2384667219100680462e-3; ni:=ni*ui+0.7472090148248391360e-2; ni:=ni*ui+0.8675117268832776800e-1; ni:=ni*ui+0.5155497927835685221e0; ni:=ni*ui+0.1685386828574926342e1 ; ni:=ni*ui+0.3019304632408607270e1 ; ni:=ni*ui+0.2757985744718406918e1 ; ni:=ni*ui+1;end 27

else begin szi:=0.1389671822546715525e-4; szi:=szi*ui+0.9933095513250211212e-3; szi:=szi*ui+0.2132223881469308687e-1; szi:=szi*ui+0.1971184884114817024e0; szi:=szi*ui+0.9208235553699620741e0; szi:=szi*ui+0.2302486886454418763e1; szi:=szi*ui+0.2934913383940946604e1; szi:=szi*ui+0.1475663066897793476e1; szi:=szi*ui+0.2236640681757362082e-6; ni:=0.1389640654034188922e-4; ni:=ni*ui+0.9770522217813339426e-3; ni:=ni*ui+0.2025571989491669521e-1; ni:=ni*ui+0.1775558927085441912e0; ni:=ni*ui+0.7785719242838022205e0; ni:=ni*ui+0.1819506588454068626e1; ni:=ni*ui+0.2152916059924272000e1; ni:=ni*ui+1.0;end; if x<0.5 then szi:=-szi; Invphi:=szi/ni; end; 1.94. TÉTEL. (Moivre-Laplace) Legyen az X valószínűségi változó binomiális eloszlású n és p paraméterrel és 0 a < b n egész, akkor b ( ) n P (a X b) = p k q n k (1.70) k k=a b np + 1 a np 1 Φ 2 Φ 2. (1.71) npq npq Szemléltetésül tekintsük az 1.1 és az 1.2 ábrát. 4. CAUCHY ELOSZLÁS Legyen c R, s > 0. Az Y Cauchy eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 [ ( ) 2 ], x R. (1.72) x c πs 1 + s 28

1.2. ábra. 1.95. Megjegyzés. Nem létezik a várható érték és ebből adódóan nem létezik az E(X α ) momentum, ha α 1. Az eloszlásfüggvény F (x) = 1 2 + 1 ( ) x c π arctan. (1.73) s 1.96. Megjegyzés. Szokás a c = 0, s = 1 esetet (standard) Cauchy-eloszlásnak nevezni. 5. WEIBULL ELOSZLÁS A Weibull-eloszlás paramétereire többféle elterjedt jelölésrendszer van. Az eltérő jelölések használatát egyértelműen magyarázza, hogy a Weibull-eloszlás 29

1.3. ábra. igen széles körben, a legkülönfélébb tudományterületeken alkalmazták, valamint a paramétereknek sokféle meghatározási módja is ismeretes és az egyes megoldásoknál a változók átírása jelentős egyszerűsítéseket eredményez. Mi a következőkben az { 1 exp( x c ), ha x 0, F c (x) = (1.74) 0, ha x < 0, jelölést alkalmazzuk a standard Weibull-eloszlás jelölésére. Ebből a lineáris transzformáltak eloszlása F c ( x a ). (1.75) b Tehát ez az eloszláscsalád háromparaméteres, amelyből a c az ún. alakparaméter (típusparaméter). Viszont lényeges, hogy aszimmetrikus eloszlás. 30

1.4. ábra. 1.97. Megjegyzés. Az eloszlás c = 1 esetén az exponenciális eloszlást, c = 2 a Rayleigh eloszlás adja, míg c = 3.57 közelében az eloszlás közel szimmetrikussá válik és jól közelíti a normális eloszlást. Megfelelő paraméter választással az is elérhető, hogy a Weibull-eloszlás jól közelítse a lognormális és Γ-eloszlásokat. Tekintsük az 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 ábrákat. 1.12. Generátor-, karakterisztikus függvény 1.98. Definíció. Legyen X egy nemnegatív egész értékű valószínűségi változó és legyen p j = P (X = j), (j = 0, 1, 2,... ). A G X (z) = p j z j = E(z X ) (1.76) j=0 31

1.5. ábra. függvényt az X generátorfüggvényének nevezzük. 1.99. TÉTEL. Legyen X és Y nemnegatív egész értékű valószínűségi változó, ekkor (a) G X (z) konvergens, ha z 1. (b) X és Y eloszlása akkor és csak akkor egyezik meg, ha G X (z) = G Y (z). (c) p n = 1 d n G X (z) n! dz n, n = 0, 1, 2.... z=0 (d) E(X) = G X (1) és D2 (X) = G X (1) + G X (1) (G X (1))2. 1.100. Definíció. Legyen X valószínűségi változó a ϕ X (t) = E(e itx ), t R (1.77) függvényt az X karakterisztikus függvényének nevezzük. 32

1.6. ábra. 1.101. TÉTEL. Legyen X és Y valószínűségi változó, ekkor (a) F X = F Y akkor és csak akkor, ha ϕ X = ϕ Y. (b) ϕ X (t) ϕ X (0) = 1, t R. (c) ϕ (k) X = ik E(X k ), ha E(X k ) létezik. 1.102. TÉTEL. Ha a ϕ karakterisztikus függvény abszolút integrálható, akkor az X valószínűségi változónak létezik a sűrűségfüggvénye, és f X (x) = 1 2π e iux ϕ X (u)du. (1.78) 33

1.13. A kétdimenziós véletlen vektor 1.103. Definíció. A (X, Y ) : Ω R 2 leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha {X < x, Y < y} = {ω ω Ω, X(ω) < x, Y (ω) < y} F x, y R. (1.79) 1.104. Definíció. Az F (x, y) = P (X < x, Y < y) formulával meghatározott valós értékű függvényt a (X, Y ) véletlen vektor együttes eloszlásfüggvényének nevezzük. Az F X (x) = lim F (x, y), F Y (y) = lim F (x, y) (1.80) y + x + függvényeket peremeloszlásfüggvénynek nevezzük. 1.105. TÉTEL. Az F függvény akkor és csak akkor lehet együttes eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x, y) = 0, lim x F (x, y) = 0, y 2. x lim F (x, y) = 1, y 3. F mindkét változójában balról folytonos, 4. F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c) 0, a < b, c < d esetén, azaz teljesül az ún. "téglalap" tulajdonság. 1.106. Megjegyzés. A téglalap tulajdonságból következik, hogy mindkét változójában monoton növekvő. 1.107. Definíció. A (X, Y ) véletlen vektort diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen. 1.108. Definíció. Legyen az X, illetve Y valószínűségi változó lehetséges értekeinek sorozata x 1, x 2,..., illetve y 1, y 2,.... A P (X = x i, Y = y j ) = p ij (i, j = 1, 2,... ) valószínűségek sorozatát együttes eloszlásnak nevezzük. A q i = p ij, (i = 1, 2,... ), (1.81) j=1 34

r j = p ij, (j = 1, 2,... ) (1.82) i=1 valószínűség sorozatokat peremeloszlásnak nevezzük. Minden r j > 0 esetén az X feltételes eloszlása adott Y = y j mellett Az P (X = x i Y = y j ) = p ij r j. (1.83) E(X Y = y j ) = i=1 mennyiséget feltételes várható értéknek nevezzük. Az x i p ij r j (1.84) E(X Y = y j ) = m 2 (y j ) (1.85) függvényt az X-nek az Y -ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük. 1.109. TÉTEL. Ha p ij (i, j = 1, 2,... ) együttes eloszlás, akkor p ij 0 (i, j = 1, 2,... ) és p ij = 1. (1.86) 1.110. Definíció. Ha létezik f nemnegatív valós értékű függvény, melyre F (x, y) = x y i=1 j=1 f(u, v)dvdu, x, y R, (1.87) akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó együttes sűrűségfüggvény. Az f X (x) = + f(x, y)dy, f Y (y) = függvényeket peremsűrűségfüggvénynek nevezzük. + f(x, y)dx (1.88) 1.111. TÉTEL. Az f függvény akkor és csak akkor lehet együttes sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + + f(x, y)dydx = 1. (1.89) 35

1.112. Definíció. Az (X, Y ) véletlen vektort folytonosnak nevezzük, ha létezik az együttes sűrűségfüggvénye. 1.113. Definíció. Az X és Y ) valószínűségi változót függetlennek nevezzük, ha F (x, y) = F X (x)f Y (y), x, y R. (1.90) 1.114. Megjegyzés. A függetlenség megfelelői diszkrét illetve folytonos esetben: p ij = q i r j, (i, j = 1, 2,... ), (1.91) f(x, y) = f X (x)f Y (y) x, y R. (1.92) 1.115. Definíció. Legyen (X, Y ) véletlen vektor. Az F (x y) az feltételes eloszlásfüggvénye az X-nek Y = y esetén, ha F (x y) = P (X < x Y = y) = lim P (X < x y Y < y + h). (1.93) h 0+0 1.116. Megjegyzés. Ha léteznek a feltételes valószínűségek. 1.117. Definíció. Ha létezik f X Y nemnegatív valós értékű függvény, melyre F (x y) = x f X Y (u y)du, x, y R, (1.94) akkor f X Y az X-nek az Y -ra vonatkozó feltételes sűrűségfüggvénye. 1.118. Megjegyzés. f X Y (x y) = f(x, y) f Y (y). (1.95) 1.119. Definíció. A feltételes sűrűségfüggvény segítségével meghatározott feltételes várható értéket regressziós függvénynek nevezzük, azaz az + xf X Y (x y)dx = m 2 (y) (1.96) 36

függvényt az X-nek az Y -ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük, illetve az + yf Y X (y x)dy = m 1 (x) (1.97) függvényt az Y -nak az X-re vonatkozó regressziós függvényének nevezzük. 1.120. Megjegyzés. A min g E((X g(y )) 2 ) értékét, akkor kapjuk, ha g megegyezik a regressziós függvénnyel. 1.121. TÉTEL. Ha (X, Y ) véletlen vektor és g : R 2 R olyan függvény, hogy g(x, Y ) valószínűségi változó, akkor g(x i, y j )p ij, ha (X,Y) diszkrét, i,j E(g(X, Y )) = + + (1.98) g(x, y)f(x, y)dydx, ha (X,Y) folytonos. 1.122. Definíció. A cov(x, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) (1.99) mennyiséget kovarianciának nevezzük. Az r(x, Y ) = cov(x, Y ) D(X)D(Y ) (1.100) mennyiséget pedig korrelációs együtthatónak nevezzük. 1.123. Megjegyzés. A korrelációs együttható az összefüggést próbálja meg mérni. Ha X és Y független, akkor r(x, Y ) = 0, fordítva nem igaz. Pl. ha X N(0, 1), Y = X 2, akkor r(x, Y ) = 0. 1.124. Definíció. Legyen g valós függvény. Az I(X, Y ) = 1 D2 (Y g(x)) D 2 (Y ) (1.101) mennyiséget korrelációs indexnek nevezzük. 37

1.125. TÉTEL. 1. E(X + Y )) = E(X) + E(Y ). 2. D 2 (X + Y )) = D 2 (X) + D 2 (Y ) + 2cov(X, Y ). 3. E(E(X Y = y)) = E(X). 4. cov(x, Y ) D(X)D(Y ), azaz r(x, Y ) 1. 5. 0 I(X, Y ) 1. 1.14. Néhány többdimenziós folytonos eloszlás és jellemzői 1. EGYENLETES ELOSZLÁS Az (X, Y ) véletlen vektor egyenletes eloszlású az A R 2 tartományon, ha 1, ha (x, y) A, f(x, y) = A (1.102) 0, egyébként. 2. NORMÁLIS ELOSZLÁS Az (X, Y ) véletlen vektor normális eloszlású, ha f(x, y) = 1 exp[ Q], (1.103) 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 Q = [ 1 ( x m 1 ) 2 2ρ( x m 1 )( y m 2 ) + ( y m ] 2 ) 2, (1.104) 2(1 ρ 2 ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 ahol σ 1 > 0, σ 2 > 0, 1 < ρ < 1. Q = [ 1 x m 2σ 12 (1 ρ 2 1 ρ σ ] 2 1 (y m 2 ) + (y m 2) 2. (1.105) ) σ 2 2σ 2 2 38

f Y (y) = + = + f(x, y)dx = 1 2πσ2 exp 1 exp 1 [ 2πσ1 1 ρ 2 2σ 12 (1 ρ 2 ) 1 exp [ (y m 2) 2 2πσ2 2σ 2 2 [ (y m 2) 2 2σ 2 2 ] ( x m 1 ρ σ ) ] 2 1 (y m 2 ) dx = σ 2 ], (1.106) mert az integrál értéke 1, hiszen egy olyan valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, amely eloszlása ( N m 1 + ρ σ ) 1 (y m 2 ), σ 2 1 (1 ρ 2 ). (1.107) σ 2 1.126. Megjegyzés. Rögtön látható, hogy a két perem eloszlása N(m 1, σ 1 2 ) és N(m 2, σ 2 2 ), valamint m 1 (x) =m 2 + ρ σ 2 σ 1 (x m 1 ), m 2 (y) =m 1 + ρ σ 1 σ 2 (y m 2 ). (1.108) Tehát a regressziós függvények egyenesek. 1.127. Megjegyzés. Hasonló integrálással adódik, hogy éppen ρ a korrelációs együttható. 1.15. Az n-dimenziós véletlen vektor A véletlen vektor és a hozzákapcsolódó fogalmak definícióját csak kétdimenziós esetben adtuk meg, de nagyon egyszerűen kiterjeszthetőek véges sok valószínűségi változó esetére. Például, az X 1, X 2,..., X n valószínűségi változókat függetlennek nevezzük, ha F (x 1, x 2,..., x n ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 ) F Xn (x n ) x 1, x 2,..., x n R. (1.109) 39

1.128. TÉTEL. Az F (x 1, x 2,..., x n ) függvény akkor és csak akkor együttes eloszlásfüggvény, ha minden változójában balról folytonos, és lim F (x 1, x 2,..., x n ) = 0, (i = 1, 2,..., n), (1.110) x i lim F (x 1, x 2,..., x n ) = 1, (1.111) x i + (i=1,2,...,n) K=e 1 +e 2 + +e n ( 1) K F (e 1 a 1 + (1 e 1 )b 1,..., e n a n + (1 e n )b n ) 0 (1.112) a i b i (i = 1, 2,..., n) és az összegzést K esetében vesszük, ahol az e 1, e 2,..., e n értéke 0 és 1 lehet. 1.129. TÉTEL. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók, melyeknek rendre F X1, F X2,..., F Xn az eloszlásfüggvénye. Ekkor (a) az Y (ω) = max{x 1 (ω),..., X n (ω)} ( ω Ω) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F Y (y) = F X1 (y)f X2 (y) F Xn (y). (1.113) (b) az Y (ω) = min{x 1 (ω),..., X n (ω)} ( ω Ω) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F Y (z) = 1 (1 F X1 (z))(1 F X2 (z)) (1 F Xn (z)). (1.114) 1.16. Valószínűségi változók összege 1.130. TÉTEL. (konvolúció) Legyen (X, Y ) véletlen vektor és Z = X + Y, ekkor teljesülnek a következő állítások: (a) Ha X és Y független diszkrét valószínűségi változók, amelyek mindegyikének lehetséges értékei 0, 1, 2,..., akkor Z értékei k = i+j (i, j = 0, 1, 2, 3,... ) és P (Z = k) = i+j=k P (X = i)p (Y = j) = k P (X = i)p (Y = k i). (1.115) i=0 40

(b) Ha X és Y független valószínűségi változók, akkor + P (Z < z) = f X (x)f Y (z x)dx = z f Z (x)dx, (1.116) ahol Z sűrűségfüggvénye + f Z (z) = f X (x)f Y (z x)dx = + f X (z y)f Y (y)dy. (1.117) 1.131. TÉTEL. Ha X és Y független nemnegatív egész értékű valószínűségi változó, akkor G X+Y (z) = G X (z)g Y (z), (1.118) ahol G a generátorfüggvényt jelöli. 1.132. TÉTEL. Ha X és Y független valószínűségi változó, ekkor ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t), t R, (1.119) ahol ϕ a karakterisztikus függvényt jelöli. 1. χ 2 n ELOSZLÁS 1.133. Definíció. Legyen X 1, X 2,..., X n N(0, 1), amelyek teljesen függetlenek, akkor X = X 2 1 + X 2 2 + + X 2 n (1.120) valószínűségi változót n szabadságfokú χ 2 n-eloszlásúnak nevezzük. X χ 2 n. 1.134. TÉTEL. E(X) = n, D 2 (X) = 2n. Jelölés: 1.135. Megjegyzés. Ha n = 2, akkor X exponenciális eloszlású, azaz X Exp(0.5). 2. Γ-ELOSZLÁS Legyen α > 0, λ > 0. Az X Γ-eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye 1 f(x) = Γ(α) λα x α 1 e λx, ha x > 0, 0, ha x 0. Jelölés: X Γ(λ, α). (1.121) 41

1.7. ábra. 1.136. TÉTEL. E(X) = α λ, D2 (X) = α λ 2. 1.137. Megjegyzés. Ha α = 1, akkor éppen az exponenciális eloszlást kapjuk. 1.138. Megjegyzés. Független exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege Γ-eloszlás. 1.139. Megjegyzés. Ha az X χ 2 n-eloszlású valószínűségi változó akkor α = n 2, λ = 1 paraméterű Γ-eloszlású, azaz 2 X Γ( 1 2, n ). (1.122) 2 1.17. Egyenlőtlenségek 1.140. TÉTEL. (Markov-egyenlőtlenség) Legyen az Y nemnegatív valószínűségi változó, melynek létezik a várható értéke, ekkor c > 0 esetén P (Y c) E(Y ). (1.123) c 42

1.8. ábra. Bizonyítás. Folytonos eset: E(Y ) = xf(x)dx xf(x)dx cf(x)dx = cp (Y c). (1.124) 0 c c Diszkrét eset: E(Y ) = x i P (Y = x i ) x i P (Y = x i ) x i c i=1 cp (Y = x i ) c P (Y = x i ) = cp (Y c). (1.125) x i c x i c 43

1.9. ábra. 1.141. Megjegyzés. P (Y c) 1 E(Y ). (1.126) c 1.142. TÉTEL. (Csebisev-egyenlőtlenség) Ha az X valószínűségi változónak létezik a szórásnégyzete, akkor ε > 0 esetén P ( X E(X) ε) D2 (X) ε 2. (1.127) Bizonyítás. Legyen Y = (X E(X)) 2, ekkor Y 0, E(Y ) = D 2 (X). Alkalmazzuk Y -ra a Markov-egyenlőtlenséget, ha c = ε 2. 1.143. Megjegyzés. P ( X E(X) ε) 1 D2 (X) ε 2. (1.128) 44

1.144. TÉTEL. (Jensen) Ha f konvex függvény és X olyan valószínűségi változó, amelyre létezik E(f(X)) és f(e(x)), akkor E(f(X)) f(e(x)). (1.129) Bizonyítás. Legyen L a támasztóegyenes az f függvényhez az pontban, akkor (E(X), f(e(x))) E(f(X)) E(L(X)) = L(E(X)) = f(e(x)). (1.130) 1.145. Megjegyzés. E(X 2 ) E 2 (X). 1.146. Megjegyzés. Ha k 1, akkor E( X k ) E k ( X ). (1.131) 1.147. TÉTEL. (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz) Ha létezik E(X 2 ) és E(Y 2 ), és E(X) = E(Y ) = 0, akkor Bizonyítás. Legyen t R tetszőleges, ekkor E(XY ) E(X 2 )E(Y 2 ). (1.132) 0 E((tX + Y ) 2 ) = t 2 E(X 2 ) + 2E(XY ) + E(Y 2 ). (1.133) Ez utóbbi a t változónak egy másodfokú kifejezése, amely sohasem negatív. Tehát, mint másodfokú egyenletnek nincs két különböző valós gyöke. Tehát a diszkrimináns nem pozitív, azaz D = 4E 2 (XY ) 4E(X 2 )E(Y 2 ) 0. (1.134) Átrendezve kapjuk az állítást. 1.148. Megjegyzés. A bizonyításból rögtön adódik, hogy egyenlőség akkor és csak akkor, ha 1-valószínűséggel teljesül, hogy tx + Y = 0. 45

1.149. Megjegyzés. Ha létezik E(X), E(Y ), E(X 2 ) és E(Y 2 ), akkor E(X E(X)) = 0, D 2 (X) = E((X E(X)) 2 ), E(Y E(Y )) = 0, D 2 (Y ) = E((Y E(Y )) 2 ), cov(x, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))). (1.135) Tehát cov(x, Y ) D(X)D(Y ), (1.136) azaz r(x, Y ) 1. (1.137) Egyenlőség akkor és csak akkor, ha Y = ax + b (a, b R) 1-valószínűséggel. 1.18. Nagy számok gyenge törvényei 1.150. TÉTEL. (nagy számok gyenge törvénye) Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Létezik a szórásnégyzet. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén Bizonyítás. lim P n + ( X 1 + + X n E(X 1 ) ε n ) = 0. (1.138) ( ) X1 + + X n E = E(X 1 ), n (1.139) ( ) D 2 X1 + + X n = D2 (X 1 ). n n (1.140) Ekkor alkalmazzuk a Csebisev-egyenlőtlenséget ( P X ) 1 + + X n E(X 1 ) ε D2 (X 1 ) 0, (1.141) n nε 2 ha n. 1.151. Megjegyzés. Legyen A esemény, P (A) = p, és S n az A esemény gyakorisága az első n kísérletből egy Bernoulli kísérletsorozatnál. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén ( lim P S ) n n + n p ε = 0. (1.142) 46

S n B(n, p), így P ( S ) n n P (A) ε 1.19. Polinomiális eloszlás p(1 p) nε 2 1 4nε 2. (1.143) Egy urnában n különböző fajtájú golyó van. Legyenek ezek a típusok a 1, a 2,..., a n. (1.144) Az a i típus kihúzása jelentse az A i eseményt és tudjuk, hogy P (A i ) = p i, (1 i n). (1.145) Húzzunk az urnából visszatevéssel K-szor. Ekkor Ω = {ω ω = (a i1,..., a ik }, azaz Ω = n K. (1.146) Legyen k i az A i esemény bekövetkezéseinek a száma egy adott ω Ω elemi esemény (mintarealizáció) esetén. Míg X i jelentse az A i esemény bekövetkezéseinek a számát. Ekkor P (ω) = p k 1 1 p k 2 2 p kn n. K! P (X 1 = k 1,..., X n = k n ) = k 1! k n! pk 1 1 p k 2 2 p kn n. (1.147) Ez utóbbi a (X 1..., X n ) együttes eloszlása és polinomiális (multinomiális) eloszlásnak nevezzük. 1.152. Megjegyzés. A polinomiális eloszlás egydimenziós peremeloszlásai binomiális eloszlások. 1.153. Megjegyzés. Az eloszlás P (X 1 =k 1,..., X n = k n ) = ( )( )( ) =p k 1 1 p k 2 K K k1 K k1 k 2 p kn 2 n felírható ilyen alakban is. k 1 47 k 2 k 3 ( kn k n ) (1.148)

1.20. Transzformáció n-dimenzióban 1.154. Definíció. Az együttes eloszlásfüggvénye az (Y 1,..., Y n ) véletlen vektornak, amely az (X 1,..., X n ) véletlen vektorból áll elő úgy, hogy a következő Y k = g k (X 1,..., X n ) k = 1, 2,..., n (1.149) F Y1,...,Y n (y 1,..., y n ) = P ({ω g k (X 1 (ω),..., X n (ω)) < y k, k = 1, 2,..., n}). (1.150) Most tekintsük azt az esetet, amikor g k (k = 1, 2,..., n) függvényeknek folytonos az első parciális deriváltjuk minden (x 1,..., x n ) pontban úgy, hogy g 1 g 1 g 1... x 1 x 2 x n g 2 g 2 g 2... J(x 1,..., x n ) = x 1 x 2 x n. 0. (1.151)..... g n g n g n... x 1 x 2 x n Ha a (X 1,..., X n ) véletlen vektornak létezik az f X1,...,X n együttes sűrűségfüggvénye és a y k = g k (x 1, x 2,..., x n ), k = 1, 2,..., n, (1.152) egyenletrendszernek minden (x 1,..., x n ) pontban pontosan egy megoldása van, akkor a (Y 1,..., Y n ) véletlen vektornak az együttes sűrűségfüggvénye f Y1,...,Y n (y 1, y 2,..., y n ) = f X1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) J(x 1, x 2,..., x n ) 1. (1.153) 1. STUDENT ELOSZLÁS 1.155. Definíció. Legyen X 0, X 1, X 2,..., X n N(0, 1), amelyek teljesen függetlenek, akkor X = X 0 X 2 1 + X2 2 + + Xn 2 (1.154) n valószínűségi változót n szabadságfokú Student-eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: X t n. 48

1.156. TÉTEL. E(X α ) csak akkor létezik, ha α < n. A sűrűségfüggvénye ( ) n + 1 Γ ) n + 1 2 f n (x) = ( n ) (1 + x2 2. (1.155) πnγ n 2 1.157. Megjegyzés. Szokás t-eloszlásnak is nevezni. 1.158. Megjegyzés. Ha n = 1, akkor éppen a Cauchy-eloszlást kapjuk. 1.159. Megjegyzés. Ha n, akkor a standard normális eloszlást kapjuk. 2. F n,m ELOSZLÁS 1.160. Definíció. Legyen X χ 2 n, Y χ 2 m és teljesen függetlenek, ekkor ζ = mx ny (1.156) valószínűségi változót n, m szabadságfokú F n,m -eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: ζ F n,m. 1.21. Centrális határeloszlás-tétel 1.161. TÉTEL. (centrális határeloszlás-tétel) Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata és létezik az E(X i ) = n µ és D 2 (X i ) = σ 2 > 0. Ha S n = X k, akkor ( lim P Sn nµ n + σ n k=1 ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény. ) < x = Φ(x), x R, (1.157) 1.162. Megjegyzés. Speciális esete a Moivre-Laplace tétel. 49

1.22. Vegyes valószínűség-számítási feladatok 1. A gépjárművezetői vizsgán a vizsga időtartama (percben mérve) { 0, ha x < 0 f(x) = 0.18e 0.18x, egyébként sűrűségfüggvényű valószínűségi változó. Az előttünk lévő már 34 perce vezet. Mi a valószínűsége, hogy 7 percen belül nem fejezi be a vizsgát? 2. Az A esemény bekövetkezésének a valószínűsége 0.38. Mennyi a valószínűsége, hogy tíz kísérletből legalább háromszor bekövetkezik? 3. Egy henger milliméterben mért átmérője a X valószínűségi változó, hossza milliméterben mérve az Y valószínűségi változó. A (X, Y ) kétdimenziós valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x, y) = x 2 + Ay 2, a 0 < x < 1, 0 < y < 2.40 tartományon és 0 egyébként. Számítsa ki az alábbi valószínűséget: P (X > 0.5, Y > 2.16). 4. Egy gép élettartama X exponenciális eloszlású valószínűségi változó 10 év átlagos élettartammal. Adja meg azt a legnagyobb K számot, amelyre még igaz, hogy egy gép legalább 0.89 valószínűséggel működőképes lesz K évig. 5. Ketten megbeszélik, hogy délután 5 óra és délután 5 óra 49 perc között találkoznak. Mekkora valószínűséggel találkoznak, ha egymástól függetlenül érkeznek és mindketten 6 perc várakozás után elmennek, ha a másik addig nem érkezett meg? 6. Tudjuk, hogy P (A) = 0.49, P (A B) = 0.55 és P (B A) = 0.91. Mennyi a valószínűsége, hogy az A és B legalább egyike bekövetkezik? 7. Az A és B játékos felváltva dob kosárra (A kezd). Az A játékos 0.51, míg B 0.37 valószínűséggel talál a kosárba. A játék maximum 4 dobásig tart, de azonnal befejeződik, ha valamelyik játékos beletalált a kosárba. Számítsa ki a játékbeli dobások számának várható értékét! 8. Legyen P (A) = 0.38, P (A B) = 0.38 és P (B A) = 0.41. Határozza meg P (A B) értékét! 50

9. Legyen E (X) = 4.8, D (X) = 0.44 Adjon alsó becslést a valószínűségre. P (3.172 < X < 6.428) 10. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 83 és szórása 1.3. Mennyi a valószínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 84.76? 11. Egy terméket három üzemben készítenek. A három üzemben a selejtszázalék rendre 0.08, 0.23 és 0.39, míg a három üzemben az összterméknek rendre 25, 56 és 19 százalékát állítják elő. Az össztermékből kivesznek egy darabot, és az hibás. Mi a valószínűsége, hogy az első üzemben gyártották? 12. Hányféleképpen osztható szét 7 ezer forint jutalom 4 dolgozó között, ha mindegyik dolgozó ezerrel osztható összegű jutalmat kaphat, de a 0 Ft jutalom is megengedett. 13. Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye egy megfelelő B konstanssal { B (2x + 1), ha 2.4 < x < 4.0, f(x) = 0, egyébként. Számítsa ki az X várható értékét! 14. Egy csomagológép 1 kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó 1 kg várható értékkel és 0.021 kg szórással. A zacskó súlyra nézve első osztályú, ha a súlya 0.95 kg és 1.05 kg közé esik. Mi a valószínűsége, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó közül legfeljebb az egyik első osztályú? 15. Legyen (X, Y ) sűrűségfüggvénye { x A( + y), ha 0 < x < 4.0, 0 < y < 1, f(x, y) = 4.0 0, egyébként. Határozza meg E(X) értékét! 51