MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE

MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE

Köryezettudomáy alapo taöyvsorozat A öryezetta alapja A öryezetvédelem alapja Köryezetfza Köryezet áramláso Köryezet ásváyta Köryezet mtavételezés Köryezetéma Köryezetmősítés Köryezettudomáy terepgyaorlat Mérése tervezése és értéelése Talajta öryezettaosoa Evrometal Physcs Methods Laboratory Practces

Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE Írta: Havacsá Károly egyetem doces, Fza Itézet Letorálta: Kardo Béla 0

COPYRIGHT: 0-07, Dr. Havacsá Károly, Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáy Kar Letorálta: Dr. Kardo Béla Creatve Commos NoCommercal-NoDervs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző evée feltütetése mellett em eresedelm céllal szabado másolható, terjeszthető, megjeletethető és előadható, de em módosítható. ISBN 978-963-79-548-5 KÉSZÜLT: a Typotex Kadó godozásába FELELŐS VEZETŐ: Votsy Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..-08//A/KMR-009-0047 számú, Köryezettudomáy alapo taöyvsorozat című projet eretébe. KULCSSZAVAK: valószíűség, statszta, mérés adato, eloszláso, legsebb égyzete módszere, hsztogram, relatív gyaorság, valószíűség változó, várható érté, szórás, orrelácó, ormáls eloszlás, agy számo törvéye, mtavétel, emprus jellemző, becslés módszere, ombatora, halmazelmélet ÖSSZEFOGLALÁS: Ebbe a taöyvbe a véletle jelesége ezelésée alapjaval smeredhet meg az olvasó. A taöyv fő része: a mérés adato leíró jellemzése a leíró statszta módszerevel, a valószíűség-számítás eredméyee alalmazása a mérés adato tulajdoságaa mélyebb megértése érdeébe, a matemata statszta módszeree segítségével, agyszámú soaság jellemzése sebb számú mérés adat felhaszálásával. Az ayag feldolgozása sorá a halmazelmélet és a ombatora fogalmara és összefüggésere s szüség va, ezért a függelébe e ét témaör legfotosabb smerete s megtalálható. A taayag feldolgozása sorá mdg az alalmazhatóság a fő szempot, hsze a taöyv öryezettudomáy szaos hallgatóa észült, a a statsztáa em művelő, haem felhaszáló lesze. Ugyaaor a matemata egy ágáról lévé szó, a szerző felhaszálja a matemata jól bevált jelölésredszerét, töresz a szabatos fogalmazásra, és az esete többségébe az állításo (tétele) bzoyítását s megadja.

TARTALOMJEGYZÉK A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL... 8 Bevezetés... 8 Törtéelm áttetés... 9 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.... A mérés adato ezelése..... Mérés adato megjeleítése..... Hsztogram... 5.3. Kumulatív gyaorság... 8.4. Relatív gyaorság eloszláso... 9.5. A mérés adato egyszerűsített jellemzése....6. Számta özép... 3.7. A mérta özép... 6.8. Harmous özép... 6.9. Medá... 8.0. Az eloszlás módusza és terjedelme... 8.. Emprus szóráségyzet és szórás... 9. Összefüggése az smérve özött... 3.. Potdagram... 3.. Leárs regresszó... 3.3. A legsebb égyzete módszere... 34.4. Leárs orrelácó... 38.5. Nemleárs regresszó... 40 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI... 45 3. A valószíűség fogalmáa bevezetése... 46 3.. Az alapfogalma bevezetése... 46 3.. Gyaorság, relatív gyaorság, emprus agy számo törvéye... 48 3.3. A valószíűség ísérlet meghatározása... 50 3.4. A valószíűségelmélet axómá... 5 3.5. Az axómá övetezméye... 5 3.6. Klasszus valószíűség mező... 56 3.7. Geometra valószíűség mező... 58 3.8. Feltételes valószíűség... 6 3.9. Szorzás szabály... 65 3.0. A teljes valószíűség tétele... 65 3.. Bayes tétele... 67 3.. Eseméye függetlesége... 68 3.3. A Beroull-ísérletsorozat... 7 4. Valószíűség változó, várható érté, szórás... 74 4.. Valószíűség változó... 74 4.. A dszrét valószíűség változó eloszlása... 76 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

6 Tartalom 4.3. A folytoos valószíűség változó esete... 78 4.4. Az eloszlásfüggvéy tulajdosága... 80 4.5. Az eloszlásfüggvéy dszrét valószíűség változó eseté... 8 4.6. A sűrűségfüggvéy... 83 4.7. A dszrét valószíűség változó függvéye... 86 4.8. A folytoos valószíűség változó függvéye... 87 4.9. Várható érté dszrét esetbe... 89 4.0. A várható érté folytoos esetbe... 90 4.. A várható érté tulajdosága... 9 4.. Szórás... 95 4.3. Szóráségyzet és szórás dszrét esetbe... 95 4.4. Szóráségyzet és szórás folytoos esetbe... 95 4.5. A szórás tulajdosága... 96 5. Több valószíűség változó együttes eloszlása... 98 5.. Dszrét valószíűség változó együttes eloszlása... 98 5.. Peremeloszláso dszrét esetbe... 99 5.3. Dszrét valószíűség változó függetlesége... 0 5.4. Feltételes eloszláso dszrét esetbe... 0 5.5. Folytoos valószíűség változó együttes eloszlása... 03 5.6. Együttes sűrűségfüggvéy... 05 5.7. Függetleség folytoos valószíűség változó eseté... 06 5.8. Valószíűség változó függvéyée várható értée... 07 5.9. Valószíűség változó összegée várható értée... 08 5.0. Valószíűség változó szorzatáa várható értée... 08 5.. Valószíűség változó összegée szórása... 09 6. Korrelácó... 6.. Kovaraca... 6.. Korrelácós együttható... 3 6.3. Leárs regresszó... 4 7. Nevezetes eloszláso... 6 7.. Az dátorváltozó eloszlása... 6 7.. Az egyeletes eloszlás... 7 7.3. A Beroull-eloszlás... 9 7.4. A Posso-eloszlás... 6 7.5. A geometra eloszlás... 9 7.6. Az expoecáls eloszlás... 3 7.7. A ormáls eloszlás (Gauss-eloszlás)... 33 7.8. A stadard ormáls eloszlás... 37 7.9. Függetle ormáls eloszláso össze... 4 7.0. Logartmus ormáls eloszlás... 4 8. Származtatott eloszláso... 44 8.. A χ -eloszlás... 44 8.. A χ-eloszlás... 45 8.3. A Studet-eloszlás... 46 8.4. Az F-eloszlás... 47 9. A agy számo törvéye... 48 9.. A agy számo törvéye (Beroull-törvéye)... 48 9.. A számta özépről szóló agy számo törvéye... 49 9.3. A özpot határeloszlás tétel... 49 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

Tartalom 7 0. A matemata statszta eleme... 54 0.. Statszta mtavétel... 54 0.. Emprus eloszlásfüggvéy... 55 0.3. Emprus sűrűségfüggvéy... 56 0.4. Emprus várható érté... 56 0.5. Emprus szóráségyzet... 58 0.6. x és s eloszlása ormáls eloszlás eseté... 60. A becsléselmélet eleme... 6.. A mometumo módszere... 6.. A maxmum lelhood módszer... 65.3. Itervallumbecslés... 69.4. Statszta hpotézse vzsgálata... 73.5. A regresszós egyees becslése... 80 FÜGGELÉK... 85. A ombatora alapja... 86.. Permutácó (sorba raás)... 86.. Ismétléses permutácó... 86.3. Kombácó (választás, sorred élül)... 88.4. Ismétléses ombácó... 88.5. Varácó... 89.6. Ismétléses varácó... 89.7. A bomáls tétel és a bomáls együttható... 90.8. A bomáls együttható éháy tulajdosága... 9 3. Halmazelmélet alapfogalma... 93 3.. A halmazo defícója... 93 3.. Halmazo összege... 93 3.3. Halmazo szorzata... 94 3.4. Halmazo ülöbsége... 97 4. A gyors elleőrző feladato megoldása... 98 4.. Az. fejezethez... 98 4.. A. fejezethez... 99 4.3. A 3. fejezethez... 00 4.4. A 4. fejezethez... 04 4.5. Az 5. fejezethez... 07 4.6. A 7. fejezethez... 09 4.7. A. fejezethez... 5. Táblázato... 3 5.. A Posso-eloszlás táblázatáa haszálata... 3 5.. A Posso-eloszlás táblázata... 4 5.3. A stadard ormáls eloszlás táblázat haszálata... 5 5.4. A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázata... 6 5.5. A Studet-eloszlás táblázatáa haszálata... 8 5.6. A Studet-eloszlás táblázata... 9 5.7. A χ -eloszlás táblázatáa haszálata... 0 5.8. A χ -eloszlás táblázata... 5.9. Az F-eloszlás táblázatáa haszálata... 5.0. F-eloszlás táblázato... 3 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL Bevezetés A lasszus fza és egyéb lasszus tudomáyo taulmáyozása sorá hozzászou ahhoz, hogy a jelesége valamlye meghatározó o hatása alatt álla, és ezért a folyamato meetele egyértelműe meghatározott. Az lye folyamatoat determsztus (meghatározott) folyamatoa evezzü. Ha a determsztus folyamattal apcsolatos ísérletet végzü, aor a folyamat mdg azoos módo megy végbe, és a ísérlet végeredméye mdg azoos lesz. Klasszus példa az lye folyamatora a szabadesés, amelye végeredméyét a Newto mozgástörvéye egyértelműe megadjá. Persze lye esetebe s vaa zavaró örülméye, a lasszus fzáa azoba az a módszere, hogy eltet ezetől a zavaró örülméyetől, amt azért lehet megte, mert eze a hatáso léyegese sebbe a jeleség lefolyását meghatározó fő hatásál, és ezáltal csa ssé befolyásoljá az eredméyt. Mdazoáltal em mde folyamat lye. Vaa olya folyamato, amelyee végeredméye em egyetle meghatározott állapot, haem több, esetleg végtele so lehetséges meetel özül az egy. Az lye folyamatora mde által smert példa a szabályos játéoca dobása, melye hat lehetséges meetele va. Valaháyszor feldobju a ocát, mutá lees, a oca felső lapjá hat szám özül az egyet látju. Ha a ocadobást ísérlete tetjü, aor azt modhatju, hogy a ísérlete hat lehetséges meetele va. Az lye ísérleteet, amelyee több lehetséges meetele va, és a ísérlet sorá eze özül az egy valósul meg, véletle (vagy sztochasztus) ísérlete evezzü. A ocadobáso ívül számos más példa s hozható a véletle ísérletre. Ha egy érmét feldobu, aor az eredméy vagy fej, vagy írás lesz, azaz ee a ísérlete ét lehetséges meetele va. Ha 90 szám özül ötöt húzu (lottósorsolás), aor a lehetséges meetele száma 43 949 68, amt az a ombatora módszerevel öyűszerrel számolható. Az eddg említett véletle ísérletebe a végeredméy egy dszrét soaság értée özül az egy. Ha azoba például a límaváltozás hatására vagyu ívácsa, és mérjü a ap özéphőmérsélet alaulását, aor elvleg 0 K fo felett aármlye értéet mérhetü. A gyaorlatba természetese szűebb tartomáyba lévő értéeet mérü, de mdeéppe egy folytoos soaság özül erül a mért hőmérsélet értée. M a ülöbség a determsztus és a véletle folyamato özött? A véletle ísérlet megevezés semm esetre sem jeleet azt, hogy a véletle folyamatoa e lee oa. Azoba, míg a determsztus folyamato eseté va egy meghatározó o, am megszabja a folyamat lefolyását, addg a véletle folyamato eseté több, so esetbe agyo so, özel egyeértéű o vezet arra, hogy a végeredméy em egyetle jól meghatározott eseméy. A determsztus folyamatra már említett példa a szabadesés, vagy a Föld ergése a Nap örül, ahol mdét esetbe a gravtácós erő a folyamatot meghatározó hatás. Az érme feldobásaor számos együttese fellépő hatás az, amely meghatározza, hogy m lesz a ísérlet meetele: az érmée adott felfelé ráyuló ezdősebesség, a forgást elődéző forgatóyomaté, az oldalráyú ezdősebesség, a légmozgáso stb. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL 9 Amor a fetebe azt állítottu, hogy léteze determsztus ísérlete, aor a meghatározó hatás mellett ezebe a ísérletebe s jelelévő, csy hatásotól eltetettü. Az elmélet megfotoláso sorá az elhayagoláso helyévalóa, és agyo serese vezete az alapjelesége leíró egyelete megtalálásához. Amor azoba méréseet végzü, aor természetese a csy hatáso s jele vaa, ame eredméyeéppe a determsztusa evezett ísérlete eredméye, ha smértébe s, de változó lesz. Ezt a jeleséget véletle (statsztus) mérés hbáa evezzü, és mde mérés folyamatba jele va. Így, bár feltételezzü, hogy a méredő meysége va meghatározott értée, ez az érté soha em mérhető meg teljes potossággal, legfeljebb a statszta módszerevel jó özelítéssel becsülhető. Még ább lye a helyzet az atomo, elem részecsé vlágába, ahol a vatummechaa törvéye írjá le a jelesége lefolyását. A vatummechaa törvéye valószíűség jellegűe. A mérése eredméye a lehetséges eredméye özül az egy. Az elmélet a meetele valószíűségét adja meg. Ha például azt mérjü, hogy egységy tömegű radoatív ayag atomja özül egységy dő alatt mey boml el, aor az smételt mérése sorá más-más eredméyt apu. A vatumtörvéye léyegüél fogva statsztus jellegűe. A fet godolatmeet sorá valam olyasmre jutottu, hogy a determsztus folyamato tulajdoéppe csa elmélet ostrucó, és valójába, ha méréseet végzü, aor lye vagy olya oo matt, de mdg véletle ísérlettel va dolgu. A véletle jelesége vzsgálatával a statszta és a valószíűség-számítás foglaloz. A fet bevezető soro talá rávlágította arra, hogy e tudomáyága eredméye agy jeletőségűe a ísérlete tervezése és az eredméye értéelése sorá. Ebbe a taöyvbe a véletle jelesége ezelésée alapjaval fogu megsmered. A taöyv fő része: a mérés adato leíró jellemzése a leíró statszta módszerevel, a valószíűség-számítás eredméyee alalmazása a mérés adato tulajdoságaa mélyebb megértésére, a matemata statszta módszeree segítségével agyszámú soaság jellemzése sebb számú mérés felhaszálásával. Mthogy az ayag feldolgozása sorá haszálju a halmazelmélet és a ombatora fogalmat és összefüggéset, ezért a függelébe e ét témaör legfotosabb smeretet s összefoglalju. A taayag feldolgozása sorá mdg az alalmazhatóságot tartju szem előtt, hsze e taöyv öryezettudomáy szaos hallgatóa észül, a a statsztáa em művelő, haem felhaszáló lesze. Ugyaaor em feledjü, hogy a matemata egy ágáról va szó, tehát felhaszálju a matemata jól bevált jelölésredszerét, töreszü a szabatos fogalmazásra, és az esete többségébe az állításo (tétele) bzoyítását s megadju. Törtéelm áttetés A leíró statszta tulajdoéppe régóta haszálatos eszöz agyszámú adat tömörítésére és egyszerű ezelésére. Már az óorba s volta épszámláláso, egy-egy brodalom földművelésével, állatállomáyával apcsolatos felmérése, ahol agyszámú adatot ellett ezel. A statszta szó s a lat status (állam, állapot) szavaból ered. A valószíűségelmélet (sztochaszta) a agyszámú mta elemzése sorá tapasztalt törvéyszerűsége absztrat matemata ezelésével foglalozó tudomáyág. A sztochaszta szó görög eredetű (στοχοςügyes találgatás, sejtés). Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL A valószíűséggel apcsolatos matemata megfotolásoal a 5 6. századba találozu először. A szerecsejátéo már aor s redívül épszerűe volta. A ocajátéoal apcsolatos, eseteét fogós érdéseel a or smert matematusahoz fordulta. Úgy tartjá, hogy a valószíűség-számítás egyes érdésere Pascal fgyelmét egy híres szerecsejátéos, de Méré lovag hozzá tézett érdése fordította. A érdés úgy hagzott, hogy mért valószíűbb, hogy egy ocával égyszer dobva legalább egyszer hatost dobu, mt ét ocával 4-szer dobva legalább egyszer dupla hatost dob? Paradoxoa tű a érdés, hsze a dupla hatosa hatoday az esélye, mt az egyszer hatos dobása, és a 4 éppe a 4 hatszorosa! A problémával Pascal (63 66) és Fermat (600 665) egyarát foglalozott, és ülöböző módszereel azoos eredméyre jutotta. A hagyomáy szert a valószíűség matemata megözelítése ee a problémáa a megoldásával ezdődhetett. A ésőbbe sorá megoldju majd ezt a feladatot. Pascal és Fermat eredméyee megsmerését övetőe Huyges (69 695) s foglalozott a valószíűség számításáa problémával, és Pascal bátorítására öyvet s írt a valószíűség elméletéről. A or eredméyet Jacob Beroull (654 705) foglalta össze Ars Cojectad (A sejtés művészete) című öyvébe. A 8. századba a valószíűségszámítás már a gazdaság életbe s fotos szerepet játszott. Életjáradéoal és bztosítással apcsolatos érdésebe alalmaztá az eredméyet. A tudomáyba eor dolgoztá a statsztus gázelméletet, melye sorá szté a valószíűségelmélet eredméyet haszáltá fel. A legfotosabb eredméye Laplace (749 85), Posso (78 840), Bayes (70 76) és Gauss (777 855) evéhez fűződe. Gauss foglalozott például a hbaszámítás elméletée dolgozásával. A 9. század másod felébe az orosz valószíűség sola agyja, Csebsev (8 894), Marov (856 9), Ljapuov (857 98) érte el jeletős eredméyeet. A 0. század első felébe a természettudomáyo, elsősorba a fza forradalm fejlődése met eresztül. Ebbe a folyamatba jeletős mértébe alalmaztá a valószíűség-számítás orábba elérte eredméyet. Ugyaaor a műsza tudomáyo, a techa és a gazdaság fejlődése újabb és újabb alalmazás területeet jeletette. Az atomelmélet, a vatummechaa, a telefoözpoto fejlesztése, a épesedés problémá, a geeta eredméye újszerű alalmazás problémáat vetette fel. A valószíűség-számítás új alapora helyezése elerülhetetleé vált. Ezt a muát Kolmogorov, orosz matematus (903 987) végezte el, a axomatus alapora helyezte a valószíűségelméletet. Ee eredméyeéppe megszűt az a orább bzoytalaság, amt a megfelelő alapo háya oozott. A valószíűségelmélet és a statszta a tudomáyo redívül haszos eszözévé válhatott. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE

. A MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE.. Mérés adato megjeleítése Olya jeleségeel foglalozu tehát, amelyeel apcsolatba, ha méréseet végzü, aor általába ülöböző eredméyeet apu. Felmerül a érdés, hogy ha lye bzoytala egy mérés eredméye, aor tudomáyosa egyáltalá ezelhető-e ez a helyzet? A érdés jogos, ugyaaor va olya tapasztalat, am reméyel tölthet el beüet. Ha a véletle jeleségeel apcsolatba em egy, haem több mérést végzü, aor felfgyelhetü olya szabályszerűségre, amely alapot adhat a érdésör tudomáyos ezelésére. Lássu egy egyszerű példát! Ha egy érmét feldobu, aor étféle végeredméy születhet: fej vagy írás. Az lye ísérletbe hallgatólagosa mdg feltesszü, hogy az érme szabályos, tehát a ísérlet sorá egyforma eséllyel lehet fej vagy írás a végeredméy. Nézzü meg, hogy soszor elvégezve a ísérletet, mt tapasztalu? Legye a ísérlete száma. Az ísérlet sorá a feje száma legye fej, az írásoé írás, eze az ísérlet sorá az adott eseméy gyaorságát mutató értée. Az érmés ísérletbe természetese +. fej rás A tapasztalat az, hogy ha elég agyszámú ísérletet végzü, aor az íráso és a feje gyaorsága özel azoos lesz, vagys fej írás. A agyszámú ísérlet sorá szerzett ísérlet tapasztalatot ssé alaposabba s megvzsgálju. Ha a több ísérlet sorá a gyaorság vseledését aarju taulmáyoz, célszerű a g az ú. relatív gyaorság vzsgálata, ahol a lehetséges végeredméye özül az egy. A relatív gyaorság azt mutatja meg, hogy az ísérlet sorá mlye aráyba fordult elő az egy lehetséges végeredméy. Köyű belát, hogy gaza az alább összefüggése:, 0 ; és 0. (...) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 3 Az.. ábrá érmés ísérlet sorá a fej relatív gyaorságáa változást látju a ísérletszám függvéyébe, egésze 000 ísérletg. Az ábrá az látsz, hogy ameddg a ísérlete száma cs, addg a relatív gyaorság 0 és özött aármlye értéet felvehet. Ahogya azoba ő a ísérlete száma, a relatív gyaorság értee egyre evésbé gadoz, és agy értéere álladó érté felé tart, am jele esetbe /. Tehát, ahogya a ísérlete száma ő, elegedőe agy érté mellett a relatív gyaorság stabltást mutat. Más véletle ísérlet apcsá s hasoló stabltást tapasztalá, esetleg más érté örül. Ez a tapasztalat a ísérlet agy számo törvéye. Erre a ísérlet tapasztalatra alapozód a valószíűség-elmélet, és a ésőbbe sorá vsszatérü még erre az eredméyre... ábra: Érmedobáso sorá a fej relatív gyaorságáa változása a ísérletszám függvéyébe Foglalozzu most azzal a érdéssel, hogy mérés adataat hogya rögzítsü, és hogya jeleítsü meg. Azt már láttu, hogy véletle ísérlet eseté em elegedő egyetle mérést végez. Általába több, soszor agyo so adattal va dolgu. Ezeet az adatoat célszerű már az adatgyűjtés dejé táblázatba foglal. Ilye 0 adatból álló adatsort látu az.. táblázat: Kocadobás eredméye 0 ísérlet sorá, ahol a ocadobáso sorá rögzítettü a apott eredméyeet, és gyaorság táblázatot észítettü. lehetséges meet 3 4 5 6 gyaorság fej 4 6 3 4 relatív gyaorság fej/0 0,0 0,30 0,5 0,05 0,0 0,0.. táblázat: Kocadobás eredméye 0 ísérlet sorá Az adatoat ábrá s szemléltethetjü. Az.. ábra a táblázat relatív gyaorság adatat mutatja. A vízsztes tegelyre a lehetséges meete dszrét értéet rajzoltu. A függőleges tegelye pedg a relatív gyaorság értéeet tütettü fel. Amor a véletle ísérlet lehetséges meetele dszrét értée, aor az eredméyeet gyara lye, ú. pálcaábrá szemléltetjü, ahol a pálca hossza az adott meetel relatív gyaorságát mutatja. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.. ábra: Kocadobás relatív gyaorsága 0 ísérlet sorá Kssé más a helyzet, amor a lehetséges eredméye folytoos számhalmaz eleme lehete. Ilye adatoat tartalmaz az.. táblázat:, ahol 0 felőtt magasságadatat láthatju. sorszám magasságadato [cm] redezett magasságadato [cm] 53 53 0 57 3 87 65 4 67 66 5 73 67 6 75 69 7 8 69 8 57 7 9 69 7 0 75 73 65 73 73 75 3 85 75 4 7 75 5 93 8 6 88 85 7 66 86 8 69 88 9 74 93 0 7 0.. táblázat: Magasságadato A táblázat másod oszlopa a yers adatoat tartalmazza. A jobb áttethetőség érdeébe a mérése elvégzése utá célszerű agyság szert sorredbe szed az adatoat. A táblázatba ez a harmad oszlopba látsz. Ilye sorredbe öye felfedezhető, hogy vaa adato, amelye többször szerepele. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 5 Próbálju meg pálcaábrá ábrázol az adatoat! Ezt mutatja az.3. ábra. Az ábra vízsztes tegelyé a magasság értée, a függőleges tegelyé pedg egy-egy magasság érté gyaorsága szerepel..3. ábra: Magasságadato gyaorsága Mvel a magasságadato folytoosa helyezede el a számegyeese, ezért gyaor az, hogy egy érté csa egyszer, vagy csa éháyszor szerepel. Ezért a gyaorság soszor csa, és a gyaorság ábra lye formába em túl formatív. Az formácót ább az hordozza, hogy hol helyezede el sűrű az adato... Hsztogram Az előzőebe modotta értelmébe folytoos esetbe em a pálcaábra a célravezető, haem célszerű az adato sűrűségét ábrázol. De haladju sorjába! Első lépését az adatoat osztályoba ell gyűjte. Ez a jele esetbe azt jelet, hogy az ésszerű módo jelölt magasságtartomáyt tervallumora osztju, és megszámolju az tervallumoba jutó magasságadato számát (gyaorságát). 00 magasságadatot tartalmazó osztályora osztott adatsort tartalmaz az.3. táblázat:. A táblázat első oszlopa az osztály sorszámát jelöl. A táblázat másod oszlopa az osztályhatároat (x ; x + ), a harmad oszlop az osztályhatáro számta özepét, az ú. osztályözepet ( (x +x + )/), a egyed oszlop pedg az osztályba eső mérés adato számát, azaz a gyaorságot ( ) mutatja. Megállapodhatu abba, hogy ha egy adat az osztályhatárra es, aor a agyobb osztályba sorolju. Az lye táblázat adatat általába oszlopdagrammal ábrázolju, ahogya ez a.4. ábrá látsz. Az oszlopdagram hézagmetese egymás mellé helyezett téglalapoból áll. A téglalapo szélessége megegyez az osztályo szélességével, magassága pedg a gyaorság, vagy a relatív gyaorság értéével. A téglalap özépvoala az osztályözép értéével es egybe. A statsztába az oszlopdagramot hsztograma evez. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE sorszám (x ; x +) osztályhatáro [cm] (x +x +)/ osztályözép [cm] gyaorság relatív gyaorság x relatív gyaorság sűrűség [/cm] j x umulatív relatív gyaorság [/cm] (5; 5) 0 0,005 0,0005 0,0005 5; 35) 30 5 0,05 0,005 3 (35; 45) 40 3 0,05 0,005 4 (45; 55) 50 7 0,085 0,0085 5 (55; 65) 60 47 0,35 0,035 6 (65; 75) 70 6 0,30 0,030 7 (75; 85) 80 4 0,05 0,005 8 (85; 95) 90 6 0,080 0,0080 9 (95; 05) 00 6 0,030 0,0030 0 (05; 5) 0 0,005 0,0005 (5; 5) 0 0,005 0,0005 (5; 35) 30 0 0,000 0,0000 0,0030 0,0045 0,030 0,0365 0,0675 0,0880 0,0960 0,0990 0,0995 0,000 0,000.3. táblázat: Osztályoba redezett magasságadato Ha a függőleges tegelyre a relatív gyaorságot rajzolju, aor ee értée a orábba modotta értelmébe: g, 0,,...m, (...) ahol az összes mért adato száma, m pedg az osztályo száma. Természetese gaz az, hogy m + +... + m hsze az egyes osztályoba elhelyezedő gyaorságo összege éppe a mérése számát adja., www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 7.4. ábra: 00 mérés adatot tartalmazó hsztogram Az.4. ábrá az osztályözö azoos szélességűe. Ez em ötelező, lehete ülöböző szélességű osztályo s. Ilyeor azoba, hogy az ábra aráya e torzuljaa, a függőleges tegelyre a gyaorság sűrűség értéét, vagy a relatív gyaorság sűrűség értéét rajzolju, vagys az tervallum Δx hosszával elosztju a gyaorság, vagy a relatív gyaorság értéét. Tehát gyaorság eseté a gyaorság sűrűség h értée: h, 0,,...m, (...) x a relatív gyaorság eseté pedg a relatív gyaorság sűrűség f értée: f x, 0,,...m. (..3.) Látsz, hogy lye esetbe a gyaorság, lletve a relatív gyaorság értéét em az oszlop magassága, haem az oszlop területe jellemz, hsze (...) átredezésével: lletve (..3.) átredezésével gyaorságoszlopmagasság osztályszélesség, relatív gyaorságoszlopmagasság osztályszélesség. Ezebe az esetebe sűrűség hsztogramról beszélü. Ilye sűrűség hsztogramot látu a.5. ábrá, ahol az.4. ábrá látható adatoat relatív gyaorság sűrűség dagramo ábrázoltu. A görbe faraál lévő osztályoat összevotu, tehát az osztályözö most em egyformá. Az adatsor azo részé célszerű szélesebb osztályözöet épez, ahol evesebb az adato száma. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Köye belátható, hogy a relatív gyaorság hsztogram görbe alatt területe egységy..5. ábra: 00 ember magasságeloszlását ábrázoló hsztogram.3. Kumulatív gyaorság A statsztába gyaorta az a érdés, hogy adott értéél sebb adato mlye gyaorsággal (relatív gyaorsággal) fordula elő a mérés adato özött. Ilyeor beszélü umulatív adatoról. A umulatív gyaorság (relatív gyaorság) görbét úgy szeresztjü meg, hogy adott osztályözép fölé olya magas téglalapot rajzolu, hogy magassága megegyezze az adott osztály és a megelőző osztályo gyaorságáa (relatív gyaorságáa) összegével. A orább példába a.3. táblázat: utolsó oszlopa tartalmazza a relatív gyaorságo umulatív értéét. A relatív gyaorságo umulatív értée eseté a téglalapo magassága 0-ról mooto övesz, ameddg el em ér az értéet..6. ábra: A magasságadato umulatív relatív gyaorság görbéje www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 9 Gyors elleőrző feladato.. Lássu be, hogy valamey osztályra elvégezve a relatív gyaorság sűrűség hsztogram téglalapja területée összegzését, eredméyül -et apu. Ez azt jelet, hogy a összefüggést ell gazol. m x x.. Lássu be, hogy az m. (jele esetbe az utolsó) osztály elérése eseté a umulatív relatív gyaorság oszlopmagassága egyelő lesz -el!.4. Relatív gyaorság eloszláso Már az.. ábrá láttu, hogy a ísérlet agy számo törvéye értelmébe agyszámú ísérlet eseté a relatív gyaorság stabltást mutat. Ha elegedőe agyszámú ísérlet eredméyét dszrét eloszlás eseté, pálcaábráo rajzolju fel, aor láthatju, hogy a relatív gyaorság értée hogya oszlaa meg a lehetséges ísérlet meetele özött. A.7. ábrá 000 ocadobás eseté a relatív gyaorságo eloszlását rajzoltu fel. (Ilye ísérletet számítógépes szmulácóval bár öye elvégezhet.) Az ábrá az látsz, hogy szembe az.. ábrá tapasztaltaal, elegedőe agyszámú dobás eseté a ülöböző lehetséges meetele relatív gyaorsága egyeletese oszlaa el. A váraozásu s ez, hsze ha a oca szabályos, egy oldal scs tütetve..7. ábra: Kocadobás relatív gyaorságáa eloszlása 000 dobás eseté Folytoos eloszláso eseté ezt a tulajdoságot jól taulmáyozhatju a gyaorság sűrűség hsztogramo. Nézzü meg, hogya változ meg az.4. ábrá látható hsztogram jellege, ha em 00, haem 000 adatból szeresztjü meg a gyaorság sűrűség hsztogramot. Az.8. ábrára rajzoltu ezt a hsztogramot. Határozott tedecát fgyelhetü meg az eloszlás meetébe. Harag alaú eloszlást apu, amelyre aár folytoos függvéyala- Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE ot s lleszthetü. Ha tovább öveljü a mérése számát, a görbe már csa smértébe változ, am a relatív gyaorság stabltásáa övetezméye. Az ábrá látható folytoos függvéyala agyo jellegzetes, so egymástól fzalag ülöböző feladat esetébe apu hasoló sűrűségeloszlás görbét. A görbét első alalmazójáról Gauss-görbée evezzü. A ésőbbebe a Gauss-görbe matemata alaját s megadju majd..8. ábra: 000 mérés adatból felrajzolt gyaorság sűrűség hsztogram, és az llesztett folytoos görbe Tulajdoéppe már evesebb számú mérés eseté s felfedezhetjü a Gauss-alaú eloszlást. Lássu egy egésze másfajta adatsort. Fzatörtéet érdeessége va Mchelso (85 93) 879-be végzett féysebességmérésée. Mchelso 00 mérést végzett. Adatat agyság szert sorredbe a.4. táblázat:táblázat tartalmazza, ahol helytaaréosság matt az adatoa csa a 99 000 m/s felett részét tütettü fel. 3 4 5 6 7 8 9 0 60 760 800 80 840 850 870 880 930 960 650 760 800 80 840 850 870 880 930 960 3 70 760 800 80 840 850 880 890 940 970 4 70 760 800 80 840 850 880 890 940 980 5 70 770 800 80 840 850 880 890 940 980 6 740 780 80 80 840 860 880 900 950 980 7 740 780 80 80 840 860 880 900 950 000 8 740 790 80 830 850 860 880 90 950 000 9 750 790 80 830 850 870 880 90 960 000 0 760 790 80 840 850 870 880 90 960 070.4. táblázat: Mchelso féysebesség mérés adata. A táblázatbel értéet m/s mértéegységűe, és a 99 000 m/s sebesség felett értéeet mutatjá www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése Az adatoat a övetező osztályoba sorolju: (600; 650), (650; 700), (700; 750), (750; 800), (800; 850), (850; 900), (900; 950), (950; 000), (000; 050), (050, 00), ahol csa a 99 000 m/s felett részt írtu. Mchelso osztályoba sorolt adataa gyaorság értéet a.5. táblázat:táblázat mutatja. osztályözép [m/s] gyaorság 99 65 99 675 0 99 75 7 99 775 6 99 85 30 99 875 99 95 99 975 300 05 0 300 075.5. táblázat: Mchelso adataa osztályba sorolása A gyaorság hsztogramot a.9. ábra mutatja. A vízsztes tegelyre most s csa a 99 000 felett részt írtu..9. ábra: Mchelso féysebesség mérésée adataból szeresztett gyaorság hsztogram Ha a mérés abszolút potosságú lee (lye persze em létez) aor mde egyes mérés adata azoosa ellee lee. Az adato azoba szóra, és ez a szórás a mérés hbával apcsolatos. A mérés hbát a hosszmérés bzoytalasága, a hőmérsélet változása, a mérőberedezés forgó türée frevecabzoytalasága stb. ooztá. Bár 00 mé- Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE rés em túl so, de a hsztogramo már elég jól rajzolód, hogy a hbával terhelt adato eloszlása a fetebe megsmert Gauss-alaú görbéhez özelít. A Gauss-görbe típusú gyaorság eloszlásoal (sűrűségeel) gyara találozu, ee oát az elmélet tárgyalás sorá majd elemezzü. Nézzü még egy példát, ahol a hsztogram alaja em harag alaú görbe. Egy hvatalba megfgyeljü, hogy az ügytéző mey deg foglaloz az ügyféllel. Megmérjü 00 ügyfél esetébe az ügytézés dejét. Az adatoat táblázatba redezzü, és osztályoba sorolju. Legye az osztályszélesség m. Az.0. ábrá a mérés eredméye látsz relatív gyaorság hsztogram formájába..0. ábra: Az ügyfélszám relatív gyaorság ügytézés dejée függvéyébe 00 ügyfél eseté mérve Az ábrá azoal látsz, hogy az eloszlás maxmum élül, és csöeő tedecájú. Az elmélet tárgyalás sorá fogju lát, hogy az dőtartammal, élettartammal apcsolatos folyamato gyaorta lye ú. expoecáls eloszlással jellemezhető. Természetese agyszámú mérést övetőe a umulatív gyaorság görbé s felrajzolható, és tapasztalhatju, hogy elég agy mérésszám eseté már léyegese em változ a görbe jellege. *.5. A mérés adato egyszerűsített jellemzése Méréseet em mdg aarju az összes adattal jellemez. A gyors és egyszerű jellemzéshez az adatsort valaméppe jellemző reprezetatív számértére va szüség. Az, hogy mlye reprezetatív számértéet válasszu az adatsor jellemzésére, a statszta egy fotos érdése. * Az tt letölthető szmulácó azt mutatja, hogy ocadobás eseté a relatív gyaorság, a relatív gyaorságo eloszlása és a umulatív relatív gyaorság hogya változ, mözbe a mérése száma övesz. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 3 Egy adatsor egyetle számmal törtéő jellemzésére gyara haszálju a özépértéet, vagy átlagot. Többféle özépérté létez: számta özép, mérta özép, harmous özép, égyzetes özép, medá, módusz. A feladat jellege döt el, hogy mely özépérté jellemz legjobba az adatsort. Az alábbaba a özépértée haszálatával smeredü meg..6. Számta özép Leggyarabba talá a számta özepet haszálju. Defícó. Legye darab mérés eredméyü: x., x, x3,..., x Az mérés eredméy x számta özepé defícó szert a övetezőt értjü: x x + x + x3 +... + x x. (.6..) A defícóból leolvasható, hogy a számta özép az a szám, amellyel ha az átlagoladó értéeet helyettesítjü, aor az összegü változatla marad. Nézzü egy orét példát! 0 darab ocadobás sorá a övetező sorozatot apju: x 5; x 5; x3 6; x4 ; x5 ; x6 ; x7 4; x8 5; x9 ; x0 Az adato számta özepe: 5 + 5 + 6 + + + + 4 + 5 + + x 3,3. (.6..) 0 Mvel egy-egy szám többször s szerepel az adatsorba (ettő darab -es, három darab -es stb.), az átlagot máséppe s számíthatju: + 3 + 0 3 + 4 + 3 5 + 6 x 3,3 0 Általáosíthatju s ezt a felsmerést. Ha az azoos mérés eredméye gyaorságát most s -vel jelöljü, a ülöböző lehetséges eredméye számát N-el, aor az átlagszámolás éplete az alább lesz: ; Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE x x + x + 3x3 +... + N xn x. (.6.3.) N Az lye átlagszámítást súlyozott átlaga, a gyaorság értéeet pedg súlyfatora evezzü. Az (.6.3) összefüggés alapjá egy más épletre s juthatu. Mvel a mérése száma, am a méréssorozat eseté álladó, ezért felírható az alább összefüggés s: N N N N 3 N x x + x + +... + xn x g x, (.6.4.) ahol g most s a relatív gyaorságot jelöl. Természetese a számta özép értée a számolás módjától függetle. A számta özepet a statsztába emprus várható értée s szoás evez. A számta özép tulajdosága. A számta özép defícójából özvetleül adód az alább tulajdoság: ( x x ) 0, (.6.5.) hsze x ) x x x x 0 ( x. Az így apott összefüggést átredezve éppe a számta özép defícójára jutu. Ez az összefüggés tulajdoéppe azt jelet, hogy a számegyeese a számta özéptől balra és jobbra elhelyezedő számo számta özéptől mért távolságaa összege megegyez.. Ha az átlagoladó értée mdegyéhez hozzáadu egy álladó számot, aor az átlag ezzel az álladó értéel változ meg: ( x + c ) x + c. (.6.6.) Ez a tulajdoság az összegzés elvégzésével azoal adód. Az (.6.6.) fejezés természetese voás eseté s gaz. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 5 3. Ha az átlagoladó értéeet egy c álladóval megszorozzu, aor az átlag s megszorzód ezzel az álladóval: cx cx. (.6.7.) Ez a tulajdoság az összegzés dsztrbutív tulajdoságáa övetezméye. Az (.6.6) és (.6.7) tulajdoságo a számta özép számolása eseté soszor alalmazhatóa. Az átlagoladó értéeből álladó értéet levova, vagy álladóval osztva soszor egyszerűbb számohoz jutu, majd a végé hozzáadással, vagy szorzással megapju a helyes átlagértéet. Ha például 00, 3600 és 4800 átlagát aarju számol, aor elegedő, 36 és 48 számta özepét számol, majd a apott értéet megszoroz 00-zal. Haladóa 4. Ha az átlagoladó értéeből levou egy számot, és a ülöbséget égyzetre emeljü, aor a égyzete összegée mmuma éppe az átlagértéél lesz, azaz ( x x ) f ( x ) mmáls, ha x x. A tulajdoság úgy bzoyítható, ha megézzü, hogy f(x)-e x szert derváltja mlye x értéél egyelő ullával. Tehát ahoa f ( x ) ( x x ) x x és ez defícó szert éppe a számta özép. Gyors elleőrző feladato x 0, x, (.6.8.).3. Elleőrzzü, hogy a (.6.8) fejezés valóba mmum. Képezzü f(x) másod derváltját, és ézzü meg, hogy a apott érté poztív előjelű-e a szélsőérté helyé!.4. Számolju a övetező adato átlagát: 400; 00; 00; 500; 00. Haszálju fel az összefüggése özül a megfelelőt!.5. Az.4. táblázat adatat felhaszálva, alalmazva az (.6.6) és (.6.7) összefüggéseet, számítsu Mchelso féysebesség mérésee számta özepét (átlagát)! A feladat megoldása sorá célszerű táblázatezelő programot haszál! Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.7. A mérta özép A számta özéppel em mdg tudju fejez, amt az átlagtól, vagy a özépérté fogalomtól elváru. Lássu egy példát! A csapadé éves meysége az első évbe %- ot, a másod évbe %-ot, a harmad évbe pedg %-ot öveedett. Meora a öveedés a három év alatt? A öveedés:,,0,0,538, vagys, a öveedés a három év alatt 5,38%-os. Az átlagtól most s elvárju, hogy vele helyettesítve az átlagoladó értéeet e változzé az összes öveedés mértée. Tehát ha az átlagos éves öveedés p, aor a három év alatt öveedés: ( + p ) 3,538. Megoldva p-re ezt az egyeletet, megapju az átlagos év csapadéöveedést: 3 + p,538,0488. Az átlagos éves öveedés tehát 4,88%. A három öveedés számta özepe 5%, tehát a jele esetbe a számta özép helytele eredméyre vezetett vola. Defícó. Általáosítva a modottaat, ha x, x,..., x adatlsta darab em egatív számból áll ( x 0 ), aor ezee a számoa a mérta özepe: x g x x... x. (.7..) A példából jól látsz, hogy a mérta özépet aor haszálju, amor az átlagoladó számo szorzatáa va értelme. Általába, ha éves öveedés rátából számolju a öveedést (amato, épesség, árdex, szeyezettségváltozás, eergaöveedés stb.), aor az átlag számításához mérta özepet haszálu..8. Harmous özép Más átlagot haszálu aor, ha például átlagsebességet ell számolu. Vegyü a övetező példát. Formula -es autó az s hosszúságú ört 00 m/h sebességgel tesz meg, míg a övetező örbe 300 m/h óra a sebessége. A érdés az, hogy meora átlagsebességgel ellett vola mee, hogy ugyaay dő alatt tegye meg a ét ört? A számolást a övetezőéppe végezzü: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 7 v s s. t s s + t + + v v v v A orét példába az így számolt átlagsebesség 40 m/h. A számta özép 50 m/h lett vola. Általáosítva a felsmerést, az ú. harmous özép defícója: Defícó. Az x, x,..., x mérés adat harmous özepét a x h (.8..) x éplet alapjá számolju. Vegyü észre, hogy ez a éplet valójába azt jelet, hogy a harmous özép recproa egyelő a recproo számta özepével, hsze (.8.) s átalaításával azt apju, hogy x h x. So esetbe a harmous özép adja a megfelelő átlagértéet. Lássu éháy példát! A orább példába láttu, hogy ha az út azoos részet tesszü meg ülöböző sebességgel, aor az átlagsebességet a sebessége harmous özepe adja meg. (Ha azoos dő alatt haladu ülöböző sebességgel, aor a sebessége számta özepe ad helyes átlagot!). Ha ülöböző elleállásoat apcsolu párhuzamosa, és ezeet azoos elleállásoal aarju helyettesíte, aor s az elleállásértée harmous özepe ad helyes értéet. Ha azoos tömegű, de ülöböző sűrűségű folyadéoat elegyítü, aor az átlagos sűrűséget a harmous özép alapjá számolhatju. Köye belátható, hogy ha a mérés adato md egyformá, aor az eddg tárgyalt özépértée megegyeze, és értéü megegyez a mérés adato értéével. Egyébét özöttü az alább agyság vszoy áll fe: x x x. h g Gyors elleőrző feladato.6. Magyarország épessége 004-be 0 6 74 fő volt. A épesség éves csöeését az alább táblázat tartalmazza: év 005 006 007 008 009 csöeés,897,0765,0344,06,436.. táblázat: Magyarország éveét épességcsöeése Közpot Statszta Hvatal: http://portal.sh.hu Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Meora volt Magyarország laosságáa létszáma 009. év végé? Meora volt ebbe az dőszaba az átlagos épességcsöeés?.7. Két, azoos tömegű, ülöböző sűrűségű folyadéot összeeverü. Kérdés, hogy meora lesz a everé sűrűsége?.8. R 00 Ω és R 00 Ω elleállásoat párhuzamosa apcsolu. Kérdés, meora azoos elleállásoal ellee helyettesíte a ét ülöböző elleállást, hogy az áramerősség az áramörbe e változzo?.9. Medá Az eddg tárgyalt özépértéee az a tulajdosága, hogy érzéeye a ugró értéere. Ha például azt hallju, hogy egy 5 főt foglaloztató cégél a bruttó átlagereset 3 000 Ft, aor ezt csábítóa érezzü. Azoba, ha utáaézü a részletee, aor derül, hogy a cégél 4 fő átlageresete bruttó 00 000 Ft, és a vezető eresete bruttó 3 000 000 Ft. Helyesebb lee lyeor azt moda, hogy a beosztotta átlageresete 00 000 Ft és a vezető 3 000 000 Ft-ot ap. A számta özép lye esetbe félrevezető értéet ad, mert a ugró értére érzéey. Defícó. A agyság szert redezett x, x,..., x mérés adato medájá az adato özépső értéét értjü. Ha páratla szám, aor a medá az adatlsta özépső értée. Ha páros, aor az adatlsta ét özépső értéée számta özepe adja meg a medá értéét. A fet fzetéses példába, ha valamey alalmazotta 00 000 Ft a fzetése, aor a medá értée s 00 000 Ft (függetleül a vezető ugróa magas fzetésétől). A defícóból látsz, hogy a medá olya özépérté, amely em érzéey a ugró adatora..0. Az eloszlás módusza és terjedelme Az eloszlás helyée jellemzésére haszált paraméter a módusz. Defícó. Dszrét eloszlás eseté az eloszlás módusza a leggyarabba előforduló mért érté. Más szóval, a gyaorság dagrama a móduszál va a maxmuma. Folytoos eloszlás eseté a módusz aa az osztálya az osztályözepe, ahol a gyaorsága maxmuma va. Példaét, az.8. ábrá a módusz értée 75 cm. A gyaorság eloszlás más fotos tulajdosága az eloszlás szélessége. A szélességet többféleéppe jellemezhetjü. Az egy lehetséges jellemzés az eloszlás terjedelmée a megadása. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 9 Defícó. Az eloszlás terjedelmé a legagyobb és a legsebb adat ülöbségét értjü: t x max x m. Köye belátható, hogy a terjedelem érzéey a ugró adatora. Ezért az x mérés adato terjedelmét soszor úgy szereté jellemez, hogy fgyelembe vesszü valameyy adat eltérését valamely özépértétől. Leggyarabba a számta özéptől való x x eltérést vesszü. Mthogy azoba eze összege a (.6.5) összefüggés szert ullát ad, ezért ább az s x x átlagos abszolút eltérést veheté az eloszlás szélességée jellemzésére. Az abszolút értéel azoba ehézes a számolás, ezért ezt rtá haszálju. A egatív értéű eltérésetől azoba emcsa abszolút értéel, haem égyzetre emeléssel s meg lehet szabadul. Ezért a leggyarabba az átlagos égyzetes eltérést haszálju az eloszlás szélességée a mérésére... Emprus szóráségyzet és szórás Az eloszlás szélességét jellemző, leggyarabba haszált paraméter az emprus szórás. Defícó. Legyee x, x,..., x tetszőleges valós számo a mérés adatlsta eleme, amelye számta özepe x. Eor az s ( x x ) (...) fejezést átlagos égyzetes eltérése, vagy emprus (tapasztalat) szóráségyzete evezzü. Az emprus szóráségyzetet a statsztába emprus másod cetráls mometuma s evez. A fejezésből látsz, hogy az emprus szóráségyzet égyzetes dmezójú. Az eloszlás szélességét ezért jobba jellemz a (..) fejezés égyzetgyöe. Defícó. Az emprus szóráso az emprus szóráségyzet poztív égyzetgyöét értjü: s x ). (...) + s ( x + A égyzetgyövoása ét értée va: egy poztív és egy egatív. Mvel az emprus szórás az eloszlás szélességét jellemz, ezért a egatív megoldása tt cs értelme. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

30 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK Az emprus szóráségyzet számolása Az emprus szóráségyzetet számolhatju a (...) éplet alapjá, de a gyaorlatba egyszerűbb a számolás az alább tétel alapjá. Tétel. Legyee az adatlsta eleme az x, x,..., x valós számo. Számta özepü: x. A szóráségyzetre gaz az, hogy x x s. (..3.) Bzoyítás. + + x xx x ) x xx x ( ) x x ( s + + x x x x x x x x x, vagys az adato égyzetée átlagából vova az adato átlagáa égyzetét megapju az emprus szóráségyzetet. Gyors elleőrző feladato.9. Az.6. alfejezetbe számoltu 0 ocadobás számta özepét és 3 3, x értéet aptu. Számolju a 0 adat emprus szóráségyzetét és emprus szórását. Az adatlsta:. x ; x 5; x 4; x ; x ; x ; x 6; x 5; x 5; x 0 9 8 7 6 5 4 3.0. Az adatlsta eleme az x, x,..., x valós számo. Számta özepü:. x Készítsü gyaorság táblázatot az adatoból! Mthogy az adato özött vaa azoosa s, a táblázat eleme legyee a, a,..., a m, ahol m. Az a értée gyaorsága, relatív gyaorsága g. Lássu be az alább összefüggéseet: m x a s, m x a g s. Az összefüggése alapjá számolju smét az.9 feladatba 0 ocadobás sorá az emprus szóráségyzet értéét.

. ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ ISMÉRVEK KÖZÖTT A statsztába azt a redszert, amt vzsgálu, amelye méréseet végzü, statszta soasága evezzü. A orább fejezetbe a soasáa csa egyetle smérvét tetettü, és vzsgáltu ee az smérve a gyaorság eloszlását. Példaét vzsgáltu az embere egy csoportja magasságáa gyaorság eloszlását. A példába a soaság az embere csoportja, az smérv pedg a magasság. A soasága azoba em csa egy smérve lehet. A fet példába például a magasság mellett valamlye mutatószám alapjá vzsgálható az embere öbzalma, mt a soaság más smérve. Értelmes felvet azt a érdést, hogy vajo függetlee-e egymástól eze az smérve, vagy va-e özöttü valamlye összefüggés? Tehát például függ-e az embere öbzalma a magasságutól? A tudomáyba gyaor az lye érdésfelvetés. Az smérve özött összefüggése taulmáyozása új felsmerése forrása lehet. Ebbe a fejezetbe a soaság ét smérve özött összefüggéseet vzsgálju. Ha az smérve számszerűsíthető, azaz mérés adata számo formájába jelee meg, aor az összefüggése vzsgálatára a regresszó- és orrelácószámítás jöhet szóba... Potdagram Ha a soaság eleme mérést végzü a ét smérvvel apcsolatba, aor (x,y ) adatpárohoz jutu. Az adatoat általába táblázatba gyűjtjü. A táblázatba azoba em látszaa a tedecá. Soal szemléletesebb, ha az adatoat derészögű oordátaredszerbe ábrázolju. Mde értépár egy-egy potot eredméyez a derészögű oordáta-redszer síjába. Az lye ábrát potdagrama evezzü. A potdagramo so esetbe már szemre s vehető, hogy va-e valamféle összefüggés az smérve özött. Ha a poto eloszlása olya, mt a.. ábrá, aor azt godolju, hogy cs összefüggés az adato özött. Ha pedg a poto eloszlása olya, hogy öréjü olya ellpszs rajzolható, melye főtegelye ullától ülöböző szöggel hajl az x tegelyhez (.. ábra), aor ez azt jelet, hogy összefüggés tapasztalható az smérve özött, azaz tedeca va a poto eloszlásába. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.. ábra: Az smérve özött cs összefüggés Az smérveet jellemző adato özött gyaorta leárs az összefüggés, vagy mt a ésőbbebe lát fogju, az összefüggés öye leárssá alaítható. Ezért először a leárs függés jellemzőe meghatározásával foglalozu... ábra: Az smérve özött összefüggés va.. Leárs regresszó Nézzü először példaét olya potdagramot, amely a 0. század tudomáytörtéetée egy jeles ábrája. Edw Hubble és Mlto Humaso a galaxsoat taulmáyozta, és 99-be özölté azt a potdagramot, amely a galaxso Földtől való távolságáa és a Földtől távolodó sebességée adatat tartalmazza. A.3. ábrá látható ez a potdagram. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 33.3. ábra: A galaxso sebességée és Földtől való távolságáa adata A sebesség mértéegysége m/s, a távolság mlló (mega) parsec-be szerepel ( parsec3,6 féyév). A orábba modotta szert a poto öré rajzolható ellpszs, tehát az smérve özött va összefüggés. Az ábrá az látsz, hogy mél távolabb va egy galaxs a Földtől, aál agyobb a Földtől távolodás sebessége. Ez a felsmerés vezetett ésőbb a Nagy Bumm és a táguló vlágegyetem godolatához, am a moder asztroóma egy alapfelsmerése. Ha leárs összefüggést feltételezü a sebesség és a távolság özött, aor felmerül a érdés, hogy hogya határozzu meg ee az egyeese az adatat. Az első godolat az lehet, hogy szemre húzzu be a tredvoalat. Ez em rossz ötlet, soszor ezt s tesszü, amor a mérése utá gyors értéelést végzü. Hogya húzu voalzóval a potora legjobba lleszedő egyeest? Igyeszü úgy elhelyez a voalzót, hogy a meghúzott voal alatt és felett örülbelül azoos számú pot helyezedje el. A módszer em rossz, hátráya azoba, hogy valaháyszor szemre elvégezzü az llesztést, mdayszor ssé ülöböző eredméyt apu. Lehet objetívebb módszert s választa, amely tudomáyos módszerét jobba alalmazható. Meghatározhatju például a poto távolságaa összegét a lehetséges tredegyeesetől, és eze özül azt választju, amely esetébe a pottávolságo összege a legsebb. Mlye távolságoat válasszu? Választhatju a poto függőleges távolságát, ahogya azt a.4. ábra mutatja, vagy a vízsztes távolságoat, ahogya azt a.5. ábrá látju..4. ábra: A poto függőleges távolsága a tredegyeestől Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

34 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.5. ábra: A poto vízsztes távolsága a tredegyeestől Választható lee még a poto geometra (merőleges) távolsága s, azzal azoba örülméyes számol, ezért azt em szotá választa. A távolság számolásál abszolút értéeel ellee dolgozu, am matematalag örülméyes, ezért ább a Gauss által javasolt égyzetösszegeel dolgozu, ahhoz hasolóa, ahogya azt az emprus szóráségyzet esetébe tettü. A módszert legsebb égyzete módszerée evezzü..3. A legsebb égyzete módszere A legsebb égyzete Gauss által javasolt módszerébe a mérés poto egy lehetséges tredegyeestől mért függőleges vagy vízsztes távolságaa égyzetösszegét számolju, majd megeressü azt az egyeest, amely esetébe ez a égyzetösszeg a legsebb. Az alábbaba matematalag fogalmazzu meg az tt leírt feltételt. Defícó. A legsebb égyzete módszerével az darab (x,y ) potpárra legjobba lleszedő egyeest határozzu meg. A még em smert, meghatározadó egyees meredesége legye a, tegelymetszete b, tehát az egyees egyelete: y ax + b. Az x mért értéhez y mért érté tartoz. Az x potba a meghatározadó egyees y oordátája: y( x ), ahogya azt a.6. ábrá láthatju. A mérés pot és az egyeese lévő pot távolsága tehát: y y( x ). A legsebb égyzete módszere szert ezee a távolságoa a égyzetösszegét ell számol: ( y y( x )) S ( a,b ). (.3..) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 35.6. ábra: Magyarázó ábra a legsebb égyzete módszeréhez Úgy ell megválaszta a és b értéét, hogy a égyzetösszeg mmáls legye, vagys S( a,b ) ( y ( ax + b )) m A fet defícó alapjá a számolás az alábba szert törté. Az S ( a,b ) függvéy mmumát ell megeres, am özsmert módo a derválta ullhelyee meghatározását jelet. K ell tehát számolu az alább ét parcáls dervált értéét:. S( a,b ) 0 ; a S( a,b ) 0. b Elvégezve a derválás műveletét, ét egyeletre jutu: ( y ( ax + b ))( x ) 0 ( y ( ax + b ))( ) 0 Átredezve az egyeleteet (.3..)-ből és (.3.3.)-ból azt apju, hogy y a x + y a x +, (.3..). (.3.3.) x b x, (.3.4.) b. (.3.5.) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

36 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE A eresett a és b paraméter ebből az egyeletredszerből, a mért x, y értéeel fejezhető. Számolásra alalmasabb és áttethetőbb formulát apu, ha bevezetjü a övetező új változóat (eze léyegébe a mérés poto oordátáa számta özepe): x x, (.3.6.) Ezeel fejezve a ét eresett meységet: y y. (.3.7.) x y xy a, (.3.8.) x x b y ax. (.3.9.) A másod derváltaal belátható, hogy az így apott a és b értéeél S( a,b ) -e mmuma va. A.4. ábrá a (.3.8.) és a (.3.9.) egyelete felhaszálásával számolt egyeest rajzoltu be. Ezt az eljárást leárs regresszóa evez. A függőleges távolságo felhaszálásával számolt legjobba lleszedő egyeest pedg első regresszós egyeese szotá evez. Természetese a legsebb égyzete módszerével számolható a vízsztes távolságo alapjá s a legjobba lleszedő egyees. Ilyeor az x x távolságo égyzetösszegét ell számol, és a mmumot megeres, ahol x( y ) a y + b. (.3.0.) Formálsa azoal adód, hogy a változó felcserélésével a megoldás alaja: x y xy a, y y b x a xy. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 37 Ha a szoásos alara aarju hoz az egyees egyeletét, aor (.3.0.) s átalaításával azt apju, hogy b y x. (.3..) a a A.5. ábrára az így számolt paraméterű egyeest rajzoltu. A vízsztes távolságo alapjá számolt egyeest másod regresszós egyeese evez. A.7. ábrára özös oordáta-redszerbe rajzoltu az első és másod regresszós egyeest..7. ábra: Az ábra potjahoz lleszedő ét regresszós egyees Általába a ét egyees ülöböz egymástól. Meél jobba lleszede a mérés poto egy egyeesre, aál özelebb es egymáshoz a ét regresszós egyees. Ha a poto potosa egy egyeesre ese, aor ylvávaló, hogy mdét regresszós egyees eze az egyeese halad, hsze a poto egyeestől való mmáls távolsága így ulla. Ilyeor tehát a ét regresszós egyees megegyez. Meél jobba szóra a poto, aál ább ülöböz a ét regresszós egyees. A.. ábrá mutatott tred élül szóró poto esetébe az első regresszós egyees vízsztes, a másod regresszós egyees pedg függőleges, ahogy az a.8. ábrá látható..8. ábra: Tred élül szóró poto esetébe a ét regresszós egyees Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu