1. EGYVÁLTOZÓS ELOSZLÁSOK JELLEMZÉSE... 4

Átírás

1 TARTALOMJEGYZÉK. EGYVÁLTOZÓS ELOSZLÁSOK JELLEMZÉSE Eloszláso "cetrumára" jellemző paramétere... 4 Várható érté... 4 Medá... 4 Módusz... 4 A cetráls jellemző apcsolata Eloszláso "szóródására" jellemző paramétere... 5 Varaca/szóráségyzet... 5 Stadard devácó/szórás... 5 Relatív szórás... 5 Abszolút özepes eltérés... 5 Kvatls/percetls terjedelem... 6 Félértészélesség, FWHM Várható érté és varaca becslése... 6 A várható érté becslése... 6 A várhatóérté-becslés potossága... 6 A varaca becslése... 7 Súlyozott átlag TÖBBVÁLTOZÓS ELOSZLÁSOK JELLEMZÉSE Együttes eloszlás, peremeloszlás, eltételes eloszlás... 8 Peremeloszláso... 8 Feltételes eloszláso... 8 A sűrűségüggvéy téyezőre botása Függetleség, orrelálatlaság... 9 Valószíűség változó üggetlesége... 9 Kovaraca... 9 Korrelácós együttható... 9 Függetleség és orrelácó apcsolata Összeg és szorzat várható értée... 0 Valószíűség változó összegée várható értée... 0 Függetle valószíűség változó szorzatáa várható értée Hbaterjedésre (szórásra voatozó ormulá... 0 Függetle valószíűség változó összegée varacája... 0 Stadardzált... Függetle valószíűség változó szorzata/háyadosa... A hbaterjedés általáos özelítő ormulá NÉHÁNY FONTOS ELOSZLÁS ÖSSZEFOGLALÓ TÁBLÁZATA szrét eloszláso Folytoos eloszláso NÉHÁNY HASZNOS ÖSSZEFÜGGÉS ELOSZLÁSOKRÓL Valószíűség változó szgorúa mooto üggvéyée eloszlása... 5 ValSum_0409 /38

2 Közepes élettartam becslése éháy élettartam-adatból... 7 γ(, - eloszlású véletle számo előállítása U(0, eloszlásúból... 9 A Compto-otuum alaja és a Kle Nsha-ormula Kovolúcó és deovolúcó... 5 A ovolúcó és a üggetle valószíűség változó összege... 5 eovolúcó SPEKTRUMILLESZTÉS FÜGGELÉK Az átlag és a mtavaraca mt torzítatla becslés... 3 Mtaátlag... 3 Mtavaraca A etus gázelmélet és a evezetes eloszláso Egydmezós gáz sebességeloszlása (a mozgásráy megülöböztetésével Valószíűség változó abszolút értéée eloszlása Eergaeloszlás és dmezószám: a χ -eloszlás bevetése Sebességeloszlás és dmezószám: a χ-eloszlás bevetése ValSum_0409 /38

3 Eloszláso jellemzéséről szemléletese. Autoddatáa ajálom a övetező műveet: Veter Adrás: Szemléletes mérté- és valószíűségelmélet (Taöyvadó, 99 Rema Józse: Valószíűségelmélet és matemata statszta mérööe (Taöyvadó, 99 ValSum_0409 3/38

4 . Egyváltozós eloszláso jellemzése.. Eloszláso "cetrumára" jellemző paramétere Várható érté A cetráls jellemző özött a várható érté jelet a stadardot. Ha ez létez, aor többyre ezt szoás megad. Az valószíűség változó várható értée x p( x E( ( x ( x dx ahol p a súlyüggvéy, x - a spetrumpoto (dszrét eloszlás és a sűrűségüggvéy (olytoos eloszlás. Itt jegyezzü meg, hogy a g( üggvéy várható értée teljese aalóg módo számítadó: g( x p( x Eg( ( g( x ( x dx Medá Folytoos eloszlás esetébe a medá az az x / érté, melyél: P ( x / P( x / (3 vagys amelye smeretébe bármely eloszlás segítségével gazságos ej vagy írás játéot lehet játsza. Más szóval: ez az a pot, ahol az eloszlásüggvéy elér az / értéet: F ( x / (4 szrét eloszlás esetébe a medá em eltétleül egyértelmű: P ( x / és P( x/ (5 Módusz Az m módusz a sűrűségüggvéy, ll. súlyüggvéy maxmumhelyét/helyet jelet. (szrét eloszlás esetébe csa a spetrumpotoat vesszü gyelembe, mert ülöbe mde ValSum_0409 4/38

5 spetrumpotot maxmuma tetheté. Ha csa egy módusz va, aor az eloszlás umodáls, ha ettő, aor bmodáls stb. A cetráls jellemző apcsolata A várható érté létezése az azt deáló szumma, ll. tegrál overgecájá múl. Ha cs várható érté, aor a több cetráls jellemző aéle várhatóérté-pótlóét s elogható az umodáls eloszláso esetébe. (Bmodáls eloszláso esetébe a módusz többet elárul az eloszlásról, mt a várható érté, tehát még haszosabb s. Szmmetrus umodáls eloszláso eseté a cetráls jellemző egybeese az eloszlás c szmmetra-özéppotjával: x m c (6 / Aszmmetrus, umodáls eloszláso esetébe a övetező özelítő "szabályra" szoás hvatoz: A medá b. : aráyba osztja el a módusz és a várható érté özött szaaszt, azaz ( / / x m : ( x : (7.. Eloszláso "szóródására" jellemző paramétere Varaca/szóráségyzet varacája/szóráségyzete E( M ahol E Var (8 M a másod mometuma. (Az első mometum: M. Stadard devácó/szórás stadard devácója/szórása (9 Relatív szórás A relatív szórás (relatív hba a szórás és a várható érté háyadosa: rel (0 Abszolút özepes eltérés (abszolút özepes eltérése E Abs ( ValSum_0409 5/38

6 Ha a várható érté létez, aor ez s. (A stadard devácó em mdg létez, még ha va s várható érté. Kvatls/percetls terjedelem Ez a "mérce" aor s műöd, ha cs várható érté. A vatls/percetls azt a helyet jelet az x tegelye, ahol az eloszlásüggvéy egy megadott háyadot/százaléot ér el a maxmumhoz épest. Eze segítségével úgy lehet behatárol az eloszlást, hogy megmodju, teszem azt: mlye távol es egymástól az a ét pot, amely alá (0 percetls: x 0,, ll., amely ölé (90 percetls: x 0,9 várhatóa csa 0-0 százaléa og es a meggyelt értéee. Ez a 0 percetls terjedelem: x 0,9 -x 0,. A vartls terjedelem ugyaaor az alsó és a első vartls x 3/4 -x /4 távolságával jellemz a "szóródást". (Az alsó, özépső és első vartls redre a 5, 50 és 75 percetlst jelet. A medá a et termológa szert aár özépső vartlsa (x /4, aár 50 percetlse (x 0,5 s elogható. Félértészélesség, FWHM Umodáls eloszláso "szóródását" szotá ezzel jellemez olyor. A ejezés a sűrűségüggvéy (csúcs szélességét jellemz ott, ahol a magassága ele a maxmálsa. Ie a rövdítés: Full Wdth at Hal Maxmum..3. Várható érté és varaca becslése Az alább ormulá özt számos olya szerepel, melyet csa a többváltozós eloszláso segítségével lehet bzoyíta. Mthogy azoba bzoyításra em erül sor, gyaorlat szempotból megelelőbbe találtam ezt a helyet számura. A várható érté becslése A várható érté becslésére az átlag (mtaözép szolgál: ˆ ( ahol a " ˆ " olvasata: " becsült értée". A et becslés torzítatla, azaz: E E ˆ (3 A várhatóérté-becslés potossága (4 (5 x ValSum_0409 6/38

7 azaz étszer aora potossághoz égyszer ay, háromszor aorához pedg lecszer ay adatot ell átlagolu. A varaca becslése A varaca becslésére a orrgált emprus szóráségyzet (mtavaraca szolgál: ˆ s (6 A et becslés ssé meghöető alaú (hsze "elrotott" átlagról va szó. A ormula haszálatát az doolja, hogy az így apott becslés torzítatla, azaz: s E (7 A et becslés /(- aráyba tér el a orrgálatla ormulával apott becsléstől. Ez s mta esetébe számíthat valamt, bár s mtából em gazá ldomos varacát számol. Megjegyzés: Ameybe az eloszlás várható értée potosa smert, aor s mtára s a "logusabb": ˆ (8 ormula adja a varaca torzítatla becslését (úgy, ahogy azt józa paraszt ésszel godolá. A stadard devácó becslése bármely esetbe: ˆ ˆ (9 Súlyozott átlag Fza stb. mérése eseté előordul, hogy ugyaazt a za meységet más-más módszereel más-más potossággal határozzá meg. Ha mdegy mérés hbaeloszlása ormáls, aor a várható érté maxmum lelhood becslését az alább súlyozott átlag adja: ˆ (0 A et várhatóérté-becslés varacája: ˆ ( Egy éma BSc-s hallgató javasolta, hogy adjam meg a (6 ormula dolását. Betettem a Függelébe. ValSum_0409 7/38

8 . Többváltozós eloszláso jellemzése A ormuláat többyre csa a étváltozós esetre adju meg, mert az általáosítás változóra meglehetőse ézeevő. A dszrét esetet s mellőzzü, s csa a olytoos eloszlásora voatozó ormuláat tütetjü el... Együttes eloszlás, peremeloszlás, eltételes eloszlás Peremeloszláso Ha ( x, y az és az Y valószíűség változó együttes sűrűségüggvéye, aor az ( x ( x, y dy ( üggvéy az valószíűség változó Y-ra voatozó peremeloszlásáa (margáls eloszlás sűrűségüggvéye. Hasolóéppe, az Y -re voatozó peremeloszlásáa sűrűségüggvéye: ( y ( x, y dx (3 Feltételes eloszláso Az valószíűség változó Y-ra voatozó eltételes eloszlásáa sűrűségüggvéye: ( x y ( x, y ( y 3 Itt a eltételt úgy ell érte, hogy az együttes (étdmezós eloszlást az Y=y egyees meté vzsgálju, azaz rögzített y mellett x üggvéyée tetve. A peremeloszlás sűrűségüggvéyével azért ell oszta, hogy olya (x szert egydmezós üggvéy legye az eredméy, mely a paraméterét tetett y bármely értée mellett -re va ormálva 4. Ezt hívju eltételes sűrűségüggvéye, mely segítségével eltételes várható értéet és eltételes varacát deálhatu. Pl. a megelelő eltételes várható érté egy étváltozós g(,y üggvéy esetébe a övetező: (4 Az dexe arra emléeztet, hogy az első változó maradt átlagolatlaul a ettő özül. A. változó szert tegrálás eredméye ugyas léyegébe azt ejez, hogy az -es változóa általába véve vagys a -es orét értéétől üggetleül mlye súlya va az eloszlásba. Ezt tt úgy próbálju jellemez, hogy a -es tegellyel párhuzamos = x egyees meté a "al tövébe" (vagys az eloszlás peremére söprü mdet, amt az eloszlásból a voal meté találu. Ee az eljárása az eszöze az tegrálás. A söpredéből x üggvéyébe egy eloszlás rajzolód a pereme: ez az (x sűrűségüggvéy. Az dexet azért szoás eltütet, mert az x helyett más betűt, pl. z-t vagy aár y-t s írhatá, ám az dex lyeor s elárulja, hogy az tegrálás a - változó szert törtét, s ezért az argumetumba lévő y csa az első változót jelethet. 3 Vegyü észre, hogy a ormula emléeztet a eltételes valószíűséget deáló P(AB = P(AB/P(B ormulára (A és B eseméye. 4 Itegrálju az egyelet jobb oldalát x szert, és lát ogju, hogy csaugya így va. ValSum_0409 8/38

9 g, Y y E ( g( x, y ( x y dx (5 amből látsz, hogy a eltételes várható érté (és ugyaígy a eltételes varaca s a eltételét szereplő valószíűség változó ezúttal tehát az y orét elvett értéée üggvéye, míg a más változó átlagolód. Hasolóéppe, az Y valószíűség változó -re voatozó eltételes eloszlásáa sűrűségüggvéye: ( x, y ( y x (6 ( x A sűrűségüggvéy téyezőre botása A ete alapjá mdg elírható, hogy: ( y x, y ( x ( y x ( y ( x (7.. Függetleség, orrelálatlaság Valószíűség változó üggetlesége Az és az Y valószíűség változó üggetleség azt jelet, hogy özös sűrűségüggvéyü az egyes sűrűségüggvéye szorzataét adód. x, y x y (8 A szorzatszabályra godolva lyeor azt modhatju, hogy a peremeloszlás, a eltételes eloszlás és a megelelő egydmezós eloszlás lyeor ugyaazt jelet. Kovaraca Az és az Y valószíűség változó ovaracája Cov, Y E( ( Y E( Y (9 Korrelácós együttható Az és az Y valószíűség változó orrelácós együtthatója Cov, Y Cov, Y R, Y (30 Y A orrelácós együttható a -,+ tervallumba eső szám. Függetleség és orrelácó apcsolata Ha és Y üggetle, aor orrelálatla s, azaz: 0 (3 ValSum_0409 9/38

10 Ha vszot Y = a, aor (3 aszert, hogy a poztív-e vagy egatív. Másrészt lehet talál olya szoros összeüggést és Y özt (pl. Y = és olya sűrűségüggvéyt, melyre és Y orrelálatlaa bzoyul. Ee alapjá csa ayt modhatu bztosa, hogy ha és Y orrelál, aor em lehet üggetle..3. Összeg és szorzat várható értée Valószíűség változó összegée várható értée Aármlye a és b ostasora, továbbá tetszőleges (em eltétleül üggetle valószíűség változóra áll, hogy: Ea b a Ebből olvasható, hogy: a a b (33 E (eltolás (34 b b E (yújtás/zsugorítás (35 E Y E EY (összeadás/voás (36 Függetle valószíűség változó szorzatáa várható értée Függetle valószíűség változóra teljesül, hogy: Y E EY E (37.4. Hbaterjedésre (szórásra voatozó ormulá Függetle valószíűség változó összegée varacája Függetle valószíűség változóra teljesül, hogy: a b Ebből olvasható, hogy: a b (eltolás (38 b b (yújtás/zsugorítás (39 ValSum_0409 0/38

11 ValSum_0409 /38 Y Y (összeadás/voás (40 Megjegyzése: Az eltolás és a yújtás/zsugorítás ormulájához em ell üggetleség, mert egyetle változóról va szó. Vegyü észre, hogy voásál s + va jobb oldalt, em pedg -. Magyarul üggetle hbás adato voása em ompezálja a hbát, haem ugyaúgy övel, mt az összeadás. Stadardzált A stadardzálás az eltolás és a yújtás/zsugorítás specáls alalmazása E Y (stadardzálás (4 A ete szert a apott Y-a (az stadardzáltjáa 0 a várható értée és a szórása. Ha tehát törtéetese ormáls eloszlású, aor Y stadard ormáls azaz N(0, eloszlású. Függetle valószíűség változó szorzata/háyadosa Függetle valószíűség változóra Z E Z Y E Y E Z Y E Z Y (4 Megjegyzés: Szorzásál és osztásál a relatív hbá égyzete adóda össze A hbaterjedés általáos özelítő ormulá Tetszőleges valószíűség változó eseté az ezeből számított (,, ormula hbájára a övetező özelítő összeüggést apju: j j j x x Cov x x x x, ( μ x μ x μ x (43 Ha a valószíűség változó üggetlee, aor a ovaracáat tartalmazó másod összeg es, azaz: x x ( μ x (44 Az μ x dex azt jelet, hogy a derváltaat a változó várható, ll. beállíta szádéozott értééél ell számíta. A et éplete az (,, üggvéy derecáljából tehát a üggvéy leárs özelítéséből származa. Ematt gyaorlatlag teljese általáosa haszálható ugya olytoos változóra, de csa vszoylag s hbá esetébe ada jó özelítést. Ezzel szembe az összegre apott szórás ormulá egzata.

12 3. Néháy otos eloszlás összeoglaló táblázata A övetező táblázatoba E a várható értéet, a szórást (stadard devácót, /E a relatív szórást, pedg a varacát (szóráségyzetet jelöl. 3.. szrét eloszláso B(, p ( bomáls x x eloszlás P( x;, p p q ( x 0,,, q = -p x Jelölés Elevezés Súlyüggvéy E( ( Egyéb jellemző stb. B(, p Beroulleloszlás P ( x; p, q = -p módusz = p ha x p pq ha p q q ha x 0 0 ha p q Possoeloszlás P( x; e ( x 0,,, x! x p /E = q p pq q módusz = q és ha p egész p p ha p em egész /E = q q p módusz = és ha egész ha em egész /E = ValSum_0409 /38

13 3.. Folytoos eloszláso Jelölés Elevezés Sűrűségüggvéy (, eloszlásüggvéy (F E( ( Egyéb jellemző stb. U(a, b olytoos a b ( x, ha x ( a, b, egyébét 0 b a medá = E egyeletes b a eloszlás x a F( x, ha x ( a, b ; 0, ha x a;, ha x b b a t (, expoecáls ( t e, ha t 0, egyébét 0 eloszlás t F( t e, ha t 0, egyébét 0 módusz = 0 l 0,7 medá = T / /E = (r, gamma r t r r r t eloszlás r ( t e,ha t 0, egyébét 0, r módusz = Γ( r (l.. megj. /E = ahol Γ( r a gamma üggvéy (l.. megj. r özepes jelreveca = r r N(, ormáls x x medá, módusz = eloszlás ( x 0 exp π (Gausseloszlás x x F( x F0 er, ahol vartls terjedelem =,348 várható abszolút eltérés = / π 0, 798 FWHM = l, 355 x er x er( x exp t dt /E = π 0 lexós potja = ValSum_0409 3/38

14 ( ( C(m, (hí-égyzet eloszlás (l. 3. megj. (hí- eloszlás (l. 4. megj. Cauchyeloszlás (Loretzeloszlás, Bret Wgereloszlás x ( x / / e Γ / 0 x / x / x e / ( Γ / x 0 ( x π x m F( x ha ha x m arctg π ha ha x 0 x 0 x 0 x 0 módusz = - /E = E Γ( / E E Γ( / medá, módusz = m FWHM, vartls terjed. = lexós potja = m / 3 Megjegyzése:. A gamma-üggvéy a atoráls üggvéy általáosítása (omplex számora s, melyet valós számora a övetező tegrál állítja elő: Γ( r 0 e x x r dx. A övetező reurzós ormula érvéyes rá: (r + = r (r. Specálsa Γ( és Γ( / π. Ebből övetez, hogy természetes számora Γ( (! (,,, míg poztív eles értéere 3 Γ( / π, Γ( 3/ (/ π, Γ( 5 / (3/ (/ π, Γ(7 / (5 3 π, ll. általába Γ ( / (!! π ( = 0,,.... A gamma-eloszlású változó egész -re db üggetle, egyorma expoecáls eloszlású változó összegeét terpretálható. 3. A (-eloszlású változó db üggetle stadard ormáls eloszlású változó égyzetösszegeét terpretálható. 4. A (-eloszlású változó egy (-eloszlású változó égyzetgyöeét terpretálható. (Webl. ValSum_0409 4/38

15 4. Néháy haszos összeüggés eloszlásoról A övetező ét potba egy-egy pc levezetés s szerepel emléeztetőül, hogy a már elelejtette, lássa a apcsolatot a P valószíűség, az F eloszlásüggvéy és az sűrűségvéy özött. A dszrét eloszlásoal most em oglalozu. 4.. Valószíűség változó szgorúa mooto üggvéyée eloszlása Modju, hogy va egy valószíűség változó, amelye olytoos eloszlása az F(x eloszlásüggvéyel, ll. az x x d F (45 d x sűrűségüggvéyel jellemezhető. Tegyü el, hogy valamely oból ívácsa vagyu az Y (46 valószíűség változó eloszlására, ahol egy szgorúa mooto üggvéy. A szgorú moototás ölcsööse egyértelmű apcsolatot létesít a megelelő Y értée özött, ezért létez egy verz üggvéy, amellyel vsszaelé lehet számol, azaz Y. (47 Az Y valószíűség változó g(y sűrűségüggvéyét a övetező ormula segítségével apju meg: g y y d G d y d y y ahol G(y az Y eloszlásüggvéye. (48 d y Ktérő Ae a (46 (48 egyelet túl valszámos, godoljo így a dologra:. Bevezetü egy új y változót, mely a rég x üggvéye: y = y(x. (Ez volt a φ.. Modju, hogy a apcsolat ölcsööse egyértelmű, ezért: x = x(y. (Ez volt a φ. Ezzel a jelöléssel (48 így est: g d x( y ( (49 d y y x y A recept tehát a övetező: Alaítsu át helyettesítéssel az sűrűségüggvéyt úgy, hogy az x mdehoa eltűjö, és csa az y látszódjo. Ehhez cs ovetleül szüség az x(y verz explct alajára. Ezzel a g(y első téyezőjével végeztü s. A (49 másod téyezője: derválju az explcte megadott x(y verzet; ha a dervált egatív értéeet s elvesz ( 0, szorozzu meg -gyel. ValSum_0409 5/38

16 Érvelés eícó szert gaz, hogy G y PY y P y (50 Melőtt továbbmegyü, vegyü a szgorúa mooto üggvéyee ét prototípusát, azaz a leárs öveedés, ll. csöeés graoját. Az ábrá jól érzéeltet, hogy ha a mooto övevő/csöeő poztív/egatív derválttal, aor az verze,, s potosa olya tulajdoságú. Óvatosságból ezeljü ülö először a mooto övevő esetét a mooto csöeőtől. Ha mooto övevő, aor (50 értelemszerűe ezt adja: G F y y PY y P y P y, (5 hsze agyobb -hez agyobb tartoz. Ilyeor a g sűrűségüggvéy a lácszabály szert: g y y d G d y d F d y y y d y d y. (5 Természetese mooto öveedése matt derváltja poztív, ezért mdegy, hogy az abszolút értéét vesszü-e vagy sem, tehát a beeretezett (48 ormula ebbe az esetbe műöd. Ha vszot mooto csöeő, aor (50 ezt adja: G y PY y P y P y P y F y, (53 mert agyobb -hez sebb tartoz. (Az utolsó egyelőségél haszáltu, hogy a olytoosság matt a helyett a relácó s írható. A sűrűségüggvéy a lácszabály szert most: g y y d G d y d F y y d y d y d y d y y Az abszolút érté beírásával azért tütethettü el a egatív előjelet, mert mooto csöeése matt derváltja egatív volt. A apott ormula megegyez a beeretezettel [(48], tehát az a szgorúa mooto üggvéye mdét ajtájára érvéyese bzoyult. A ésőbbe matt érdemes egy s dőt szetel a prototípusét aposztroált leárs esete: a b Y (55 d y (54 ValSum_0409 6/38

17 azo belül s aa az alesete, amor a > 0. (Ilye traszormácó pl. a stadardzálás s a = / és b = -/ szereposztással. A (48 eredméy alapjá most ezt apju: g y y b d d y y b a y b y y (56 d a d y a a am aráyosság esetébe (amor s b = 0 még egyszerűbb alaot ölt: g y a y a Az utóbb alalmat ad arra, hogy egy s geometra értelmezést adju aa, mért úgy változ a yújtás hatására a sűrűségüggvéy, ahogy változ. Amor ugyas az változót az a ostassal megszorozzu, a apott Y sűrűségüggvéye a-szoros tartomáyba terpeszed szét az abszcsszá. Ha em gazítu az ordátaértéee, aor a görbe alatt terület az eredet a-szorosára változ. Ha pl. az sűrűségüggvéy ormált volt (am esetübe az alapértelmezés, aor a g alatt terület helyett a lee. Az a-val való osztás értelme tehát az, hogy g s -re ormált legye. A övetezőbe ét érdees alalmazását adju példaépp a (48 eredméye. Mdettő az expoecáls élettartam-eloszlással apcsolatos. Hogy a (48 ormulát éyelmesebbe haszálhassu, az dőtegelyt egyszer x-szel, másszor y-al ogju jelöl. Közepes élettartam becslése éháy élettartam-adatból A radouldo élettartam-eloszlása expoecáls x x exp, ha x 0 (egyébét 0 (58 sűrűségüggvéyel, ahol a özepes élettartam és x az dő. A sűrűségüggvéy specáls alaja matt ézeevő, hogy a özepes élettartamot özvetleül az egyes élettartamo gyaorságából határozzu meg, pl. éllogartmus ábrázolás segítségével, amor s az l (gyaorság x graoa -/ meredeségű egyeest ll mutata a övetező ábra mtájára. (57 ValSum_0409 7/38

18 A szuperehéz atomo előállítása sorá azoba csa éháy bomlást lehet meggyel. Ilyeor soal előyösebb az élettartam-eloszlás helyett az élettartamo logartmusáa eloszlását vzsgál. Ez az adott esetbe az Y l (59 ylvávalóa szgorúa mooto övevő összeüggés alalmazását jelet, melye verze: Y Y exp. (60 Az új változó sűrűségüggvéye: g vagys: g y d y y y d exp expy expy expy, (6 d y d y exp y y exp expy exp y exp y. (6 Ez így elég csúyá éz, de derválással rögtö látsz, hogy a g sűrűségüggvéye éppe az y l (63 helye va a maxmuma, am egy gyegécse hsztogram alapjá s segít becslést ad a özepes élettartamra. A vtelezés pedg roppat egyszerű, hsze csa arról va szó, hogy a vízsztes élettartamtegely em leárs, haem logartmus sálájú (l. a let ábrát. ValSum_0409 8/38

19 Expoecáls eloszlású élettartamértée logartmusáa sűrűségüggvéye. Ezzel a trüel egy hsztogram móduszáa (maxmumhelyée meghatározására vezethető vssza a özepes élettartam becslése. Olyaor szota ehhez a módszerhez olyamod, amor túl evés élettartamadatot lehet csa mér, s ezért az expoecáls llesztésé alapuló -meghatározás ( = / reméytele. γ(, - eloszlású véletle számo előállítása U(0, eloszlásúból Az expoecáls eloszlás sűrűségüggvéyére pllatva eléggé ézeevő tutíve, hogy ha va egy olya véletleszám-geerátoru, amely 0 és özött (vázolytoos véletle számoat állít elő, aor cs más dolgu, mt hogy ezeet a véletle értéeet a szgorúa mooto sűrűségüggvéy-görbe segítségével a most y-al jelölt dőtegelyre vetítsü, s a apott véletle Y értée éppe lyee lesze. ValSum_0409 9/38

20 Hogy ez csaugya így va, azt most s a (48 ormula segítségével láthatju be a övetező szereposztás alapjá: Y lletve l, (64 Y Y exp. (65 Ezúttal (x a 0 és özött olytoos egyeletes U(0, eloszlás ( = / és = / sűrűségüggvéye, mely: x 0 0 ha ha ha x 0 0 x. (66 x Mthogy az (65 expoecáls üggvéy mde emegatív y értéhez 0 és özött x értéet redel, a (48 ormulát most így írhatju: g y d d y y y exp, (67 vagys az Y csaugya γ(, - expoecáls eloszlású, ahogy ezdettől ogva sejtettü. Vagys az (64 egyeletbe táplált egyeletes eloszlású véletle számo csaugya expoecáls eloszlású számoat geerála. ValSum_0409 0/38

21 A Compto-otuum alaja és a Kle Nsha-ormula Az alább ábra egy Compto-eseméyt mutat. A sztor a övetező: Egy hν eergájú oto (γ vázrugalmasa szóród egy ezdetbe yugvó eletroo (e. Az mpulzusmegmaradás matt a szóródás természetese síba törté. A szórt oto (γ θ szöggel eltérül az eredet ráytól, és az eergája hν -re csöe. A meglöött eletro T = hν hν etus eergára tesz szert, és a más élsíba szóród az mpulzusmegmaradása megelelőe.. ÁBRA. Compto-szóródás esetébe az α és a θ szög az mpulzusmegmaradás matt ölcsööse meghatározza egymást. Ezért választhatu, hogy mely segítségével írju el az egyeleteet. M a θ szöget választju, mely potosabba mérhető. Az eletrohoz és a otoohoz redelt yla hossza az mpulzusoal aráyos. A otoo esetébe ez egybe az eergával való aráyosságot s jelet. Itutíve ézeevő, hogy az eredet otoráy által meghatározott z tegelyhez épest orgás szmmetra va, vagys mde szóródás sí egyeértéű, mely tartalmazza a z tegelyt. Ezért a dagram számtala egybevágó és azoos valószíűségű térbel esetet reprezetál.. ÁBRA. Az. ábrához tartozó ülöböző térbel eseteet gömb oordátáal adhatju meg a legegyszerűbbe ( A 0 π azmut (a θ polárszöggel együtt már egyértelműe azoosít egy orét Compto-eseméyt, melye az egységsugarú gömbö egyetle pot elel meg. Amor a θ-hoz tartozó dω térszögről beszélü, valójába ee a elület pota egy szű öryezetére godolu, ll. olyasmre, amt a 3. ábra mutat. Az alább egyelete alapjául W.R. Leo öyvée (Techques or Nuclear ad Partcle Physcs Expermets, Sprger-Verlag, Berl, ejezete szolgál. A legotosabb egyeleteet dupla számozással láttam el, hogy a aarja, öyebbe utáa tudjo éz. ValSum_0409 /38

22 A Kle Nsha-ormula léyegébe a et ábrá megülöböztethető Compto-eseméye eloszlásáról szól. Ezt az eloszlást a dσ/dω derecáls hatáseresztmetszettel jellemz, amely a dω térszögbe szóródott otooal apcsolatos. A tegelyszmmetra matt csa a θ polárszög jele meg a épletbe, a derecáls hatáseresztmetszet üggetle a azmuttól: d d r e ( cos Itt Θ az alább ejezés rövdítése: ahol (.03 (68 ( cos (69 h (70 m e c a oto eredet eergája az eletro yugalm eergájába (5 ev mt egységbe megadva. 3. ÁBRA. A dω térszög, melyről a szövegbe szó es, egy olya (általába gömb égyszöghöz hasoló elületelem területe (csa sebb, mt a zöld tartomáy az ábrá látható egységsugarú gömbö. Tehát: dω = s θ d dθ. ( A (68 egyeletet már csa az alább atorral ell megszoroz d s, (7 d d hogy megapju és θ ormálatla étdmezós sűrűségüggvéyét: d d d re d d d d d ( cos s. (7 Amt látju, a sűrűségüggvéybe most sem szerepel a azmut, ezért tegrálással ebbe az alaba apju meg a θ polárszög egydmezós sűrűségüggvéyét: π d d d π cos s d r e d d (. (73 0 ValSum_0409 /38

23 A (73 egyelet özbülső lépés ahhoz, hogy a Compto-eletro eergaeloszlását meghatározzu. Ehhez azoba szüség va az eletroeerga szögüggését leíró összeüggésre s. A levezetést l. a Batu ( üggeléébe: (.0 (74 ahol ε az eletro etus eergája az eredet otoeergához mt egységhez vszoyítva: T. (75 h Köyű belát, hogy az eletro ε(θ etus eergája szgorúa mooto övevő üggvéye a θ polárszöge. Az eletroeerga tehát legeljebb a övetező értéet vehet el: ( cos π max. (76 ( cos π Fzalag ez azzal ügg össze, hogy a 80 -al vsszaszórt otoa a legagyobb az eergavesztesége. Az a téy, hogy max (77 azt jelet, hogy ebbe a olyamatba a oto em adhatja át a teljes eergáját egy (rugalmasa meglöött Compto- eletroa. (Ezzel szembe a rugalmatla otoeetusba a teljes eergáját átadhatja, és ezzel meg s szű létez. Fetebb azért hagsúlyoztam a szgorúa mooto öveedést a (74 egyelettel apcsolatba, mert ez ell ahhoz, hogy a (49 egyeletbe oglalt receptet haszál tudju arra, hogy a θ változóról áttérjü az ε változóra a θ(ε üggvéy alapjá, mely az ε(θ verze: ( d ( s ( ( d d r π e cos ( d (. (78 A jelölt behelyettesítése elvégzése és a dervált számítása áttethetőbb, ha (magyarázat élül elíro éháy egyszerű összeüggést az előzőe alapjá. (79 (80 cos (8 ( cos (83 ( ( (8 ValSum_0409 3/38

24 ValSum_0409 4/38 ( ( s (84 Ezeel öye elvégezhető a (78 egyelet első (tehát az szorzójel előtt téyezőjée helyettesítése, továbbá explcte s megadható a θ(ε verz üggvéy: ( arccos (85 Az utóbbból a (78 egyeletbe szereplő másod téyezőre ezt apju: ( ( ( d d (86 Behelyettesítése, egyszerűsítése és átredezés utá végül s a (78 egyeletből ezt apju: ( π d d r e (87 am a T változóra vsszatérve a övetezőt adja: ( π d d e e m c r T (.09 (88 Az utóbb ét egyelet léyeges része az ( ( (89 ormálatla sűrűségüggvéy, melyet az alább ábra szemléltet specálsa γ = -re, am éppe az 5 ev-es ahlácós sugárzása elel meg: 4. ÁBRA. A sárgával töltött zóa a Compto-eletro számára lehetséges eergaértée ölött húzód. Az ordáta értée az eletroeergá gyaorságát türöz. A pros üggőleges az eredet oto eergáját jelz.

25 4.. Kovolúcó és deovolúcó A ovolúcó és a üggetle valószíűség változó összege Ha és Y üggetle (olytoos valószíűség változó és Y sűrűségüggvéyel, ll. F és F Y eloszlásüggvéyel, aor a Z = +Y valószíűség változó +Y sűrűségüggvéyét, ll. F +Y eloszlásüggvéyét és Y, ll. F és F Y ovolúcója adja meg: F Y Y ( z * ( z ( z u ( u du (90 Y Y ( z F * F ( z F ( z u df ( u F ( z u ( u du (9 Y Y Az +Y -t meghatározó tegrál eve a sűrűségüggvéye ovolúcója, az F +Y -t meghatározóé pedg rövde az eloszláso ovolúcója. (Az utóbb számítható aor s, ha dszrét, véges so spetrumpottal. Ezutá már csa egy derválás ell, hogy a sűrűségüggvéyt s megapju. A ovolúcóépzés ommutatív művelet, aárcsa az összeadás. Ha az eloszláso olyao, hogy (u = 0, ha u a, aor: za * ( z ( z u ( u du (9 a Ha tehát specálsa a = a = 0, aor az tegrálás 0 és z özött törté. Egy taulságos példa Tetsü a 0 és özött olytoos egyeletes U(0, eloszlást ( = / és = /, melye sűrűségüggvéye ylvá: x, ha 0 x (egyébét pedg 0. (93 Például lye vázolytoos véletle számoat produál legtöbb alulátor. M va, ha az lye számoat párosával összeadju? Az eredméy (z ylvá 0 és özé es, de mlye lesz az összege eloszlása? Az U*U eloszlás sűrűségüggvéyt a övetező ovolúcóhatváy adja: Y z * ( z ( z u ( u du (94 0 Válasszu ülö a 0 z és az z eseteet. Ha 0 z, aor: z z * ( z ( z u ( u du du z, ( mert md (u, md pedg (z-u azoosa egyelő -gyel az tegrálás tervallumába. Ha z, aor: ValSum_0409 5/38

26 * ( z 0 ( z udu Vegyü észre, hogy amt aptu: z ( z u0 du 0 ( z udu z z ( td t z d t z 0 d t z.(96 x ha 0 x * x, egyébét pedg 0, (97 x ha x egy olya egyelő szárú háromszöget határoz meg, melye alapja 0 és özött terpeszed el a számegyeese, a magassága pedg éppe (l. az alább ábra pros alazatát. Az lye háromszög területe potosa, mutatva, hogy csaugya ormált sűrűségüggvéy az, amt aptu. A ívács, ém zzadság árá számolhatja az **(z ovolúcóhatváyt s a et eredméy segítségével. Amt az alább ábrá látju, az U*U*U eloszlásra már Gaussgörbeszerű sűrűségüggvéy jö, jól érzéeltetve a cetráls határeloszlás-tétel érvéyesülés tedecáját. [Az ábrá az N(3/, /4 címe az U*U*U várható értéével és szórásával redelező tehát = 3/ és = /, ll. = /4 jellemzőjű ormáls eloszlásra utal.] Ha vala elleőrz szereté magát, elárulom a számítás végeredméyét s: ValSum_0409 6/38

27 x ha 0 x 3 * * x x 3x ha x, egyébét pedg 0. (98 x 3 ha x 3 Amt látju, a Gauss-görbeszerű üggvéy három másodoú parabolából va összetáolva. A apott görbe emcsa olytoos, de az első derváltja s az. Vszot a smaság rtérumát em elégít, mert a másod derválta szaadása va az összeragasztás helye (x = és. Megjegyzés: A evezetes eloszláso özül több s ovolúcóhatváyét értelmezhető: A B(, p bomáls eloszlás a B(, p Beroull-eloszlás -ed ovolúcóhatváya. A γ(, ν gamma-eloszlás a γ(, ν expoecáls eloszlás -ed ovolúcóhatváya (persze csa ha egész. A χ ( hí-égyzet eloszlást úgy apju, hogy veszü egy N(0, stadard ormáls eloszlású változót, azt égyzetre emeljü, majd a apott eloszlás -ed ovolúcóhatváyát épezzü. eovolúcó A aratersztus üggvéy (azaz a Fourer-traszormácó érdees tulajdoságát haszálva elvleg egyszerű recept íáloz az egy ompoes ejezésére más szóval a deovolúcóra egy ovolúcó jellegű (sűrűségüggvéyből. Tudll: ( Y Y Y ( * ( ( (99 Ematt pl. az sűrűségüggvéye így ejezhető az verz traszormácó segítségével: ( * Y (00 ( Y A ovolúcó/deovolúcó jeletősége túlmutat a valószíűség-számításo, t. a uleárs spetrumo egy része ovolúcó alaú tegrállal írható le. Pl. a traszmsszós Mössbauerspetrum olya ét üggvéy ovolúcójaét adód, amelye egye a sugárorrásra, míg a mása az abszorbesre (mtára jellemző. Az utóbb paraméterét tartalmazza a spetroszópust érdelő valamey meységet, ezért a spetrumértéelés bzoyos módszere a deovolúcó számítását s maguba oglaljá. ValSum_0409 7/38

28 5. Spetrumllesztés Az alább beeretezett bloot egy egyszerű Mössbauer-spetrum számítógépes llesztésée output adataból állítottam össze, és az alább ejtett termológa jelölésevel láttam el utólag. y, Y Egy egyszerű Mössbauer-spetrum ét ompoessel llesztett ábrája Az Y beütésszámo ~ormáls eloszlású egész értée Possoöröséggel A pöttyö az x, Y oordátáal jellemezhető mért poto # A pros görbe az optmalzált llesztő üggvéy: # = 56 csatora sorszámmal, egy-egy x értéet reprezetálva a Δx tervallumba Sompl RG87 :4 R 6 Az aláhúzott eleme egy MOSSWINN FIT REPORT 8-dmezós p Tuesday paramétervetort Chsquare => deála. Ee Normalzed Chsquare => orét értéét úgy eres Total spectrum area => Base Le. Base Le => (St=55.5 meg a program, hogy a oublet (# => 9.6 % ~/S vastagított χ értée oublet (#. AMPLITUE => (St=39.0 mmáls legye. Ez oublet (#. ISOMER SHIFT => (St=0.0 bztosítja, hogy a pros oublet (#. Q. SPLITTING => (St= görbe a lehető legjobba oublet (#. LINE WITH => (St= LL Sglet (# => 7.4 % ~/S lleszedjé a LL Sglet (#. Ampltude => (St= spetrumpotora. St a LL Sglet (#. Isomer Sht => (St= paraméter becsült szórása. LL Sglet (#. Le Wdth => (St= Spetrumllesztés alatt aa a orét p 0 paramétervetora a meghatározását értjü, amelyél az elmélet y y x; p (0 ValSum_0409 8/38

29 llesztő üggvéy által deált x y x ; p (0, pothalmaz vagys az elmélet spetrum a lehető legjobba rásmul lleszed a mért spetrum x, Y (03 potjara. Az x az -ed csatorához tartozó elvleg potosa smert üggetleváltozó-érté (pl a oppler-sebesség egy Mössbauer-spetrum esetébe, az Y pedg a csatorába tárolt beütésszám, mely az adott esetbe egy Posso ormáls eloszlású valószíűség változó oréta elvett értée. Az lleszedés jóságát többéle rtérum alapjá lehet jellemez. Nuleárs mérése eseté azoba egyértelműe az ú. súlyozott legsebb égyzete módszere a legelőyösebb, ezért csa azzal oglalozu. Ehhez az llesztés eljáráshoz a szemléletes maxmum-lelhood (a. m. legagyobb esély elvée segítségével juthatu el. Egy jó llesztő üggvéytől elvárható, hogy a p 0 optmáls paraméterértéél mde -re az llető Y beütésszám várható értéét szolgáltassa: Y y E x ; p 0 (04 Itt a várható értéet úgy értjü, hogy ha a spetrumot agyo soszor, azoos eltétele mellett elveé, aor az Y értée az y x ; p 0 értée örül szóráa. A eladat tehát a et egyeletet elégítő optmáls p 0 vetor meghatározása. Ha most csa egyetle spetrumot tetü, aor aa mde x, Y potjához hozzáredelhetü egy-egy P Y exp Y y x ; p π 0 Y (05 ormáls valószíűséget, ahol a ΔY = szorzó az egész értéeet elvevő Y beütésszámo természetes öveméye, mely ahhoz ell, hogy a ormáls sűrűségüggvéyt valószíűséggé overtálju. (Nevezetle számról lévé szó, melye értée, a tovább épleteből ezt a szorzót yugodta elhagyhatju. Az egész spetrumhoz ylvá a (üggetlee tetett spetrumpoto valószíűségee produtumát, vagys az Y y x ; p0 L p 0 P Y exp (06 π lelhood-üggvéyt ell redelü, ahol a produtumot, ll. a szummázást az összes csatorára ( ell terjeszte. A maxmum-lelhood módszer amt a eve s mutatja abból az eléggé ézeevő elgodolásból dul, hogy a mérés adato (vagys a orét spetrum alapjá azt a p vetort ValSum_0409 9/38

30 ell az optmáls p 0 legjobb becsléseét elogad, amelyél az L(p üggvéy maxmumot vesz el, vagys amely a legagyobb valószíűséget redel az adott spetrumhoz 5. Mvel a logartmus mooto övevő üggvéy, az l L(p üggvéye ugyaott va maxmuma, ahol az L(p-e. Az L(p üggvéy vszot csupá az expoese eresztül ügg p- től (ott vszot egatív előjel va. Mdezeet gyelembe véve a eladat a Y y x ; p p (07 ejezés (az ú. célüggvéy p szert mmumáa meghatározása. Ezzel el s jutottu a súlyozott legsebb égyzete módszeréhez. A et p jelölés em véletle. Az /σ súlyoal való szorzás és a várható értéet reprezetáló y x ; p értée levoása ugyas stadardzálja a ormáls eloszlású Y -et. Mthogy a Z Y y x ; p (08 valószíűség változó már stadard ormáls eloszlásúa, ezért a égyzetösszegü χ -eloszlású valószíűség változó lesz, elvleg szabadságoal. Mthogy azoba az Y - mégscsa összeügge az llesztő üggvéyt jellemző p paramétere eresztül, az eloszlás szabadságoa valamvel sebb lesz, mt az csatoraszám (mely jellemzőe legalább 56, evezetese: dm p (09 ahol dm p a p vetor dmezója (a példába éppe 8. Korét számításoál az ú. célüggvéy alább özelítését szotá haszál: Y y x ; p p mmum (özelítő célüggvéy (0 Y am a Posso-eloszlás örösége, melyél a varaca megegyez a várható értéel, és ezért x ; p Y y 0, ( ahol jobb híjá maga az Y érté szerepel mt a saját várható értéée becslése. Az ooat em részletezve megjegyzem, hogy a et özelítés so szempotból s előyösebb, mtha a ézeevőbbe tűő x y ; p ( 5 Ez megelel aa az optmsta ísérletező hozzáállása, mely szert egy jól elvégzett mérés a lehető legjobba türöz a valóságot. Ez ugya cs garatálva, ha a véletle szerephez jut, de mégs a legjobb tpp. Godolju arra, hogy ha 0 darab egyorma érmét eldoba vala, és meg ée tppel a apott eje orét számát, aor az 5 vola a legésszerűbb választás aor s, ha tudju, hogy a dobott érté sebb valószíűséggel lesz éppe 5 (4,6%, mt 5-től ülöböző érté (75,4%. Természetese azért ez a legjobb tpp, mert a több meetele még sebb az esélye (pl. a 4-é, ll. a 6-é már csa 0,5%. ValSum_ /38

31 helyettesítést alalmaztu vola. A özelítő célüggvéy mmalzálásához meg ell határozu a övetező egyeletredszer emtrváls megoldását: p Y y x ; p Y 0 =,, dm p. (3 A et egyeletredszer megoldására em térü, hsze számtala ész programot találu aár leárs, aár emleárs egyeletredszere megoldására. Érdemes vszot meggodol, hogya értelmezzü azt a legsebb χ -értéet, amelyet az llesztő programo többyre meg szota ad a utás végé. Aa elleére, hogy a orét χ -érté mmalzáló eljárás eredméye, em ovetleül a legsebb χ -et adó llesztés a legjobb, haem az, amely a legözelebb va a χ -eloszlás várható értéét reprezetáló szabadságohoz, bár étségtele, hogy 00 eset özül 99-be azért em vagyu elégedette az llesztéssel, mert túl agya találju a χ -értéet. Ee az az oa, hogy a elhaszált llesztő üggvéy többé-evésbé mdg töéletle. urva hba pl., ha a p vetor dmezóját túl csre becsüljü (pl. amor Mössbauer-spetrumot túl evés ompoessel próbálju lleszte, de hbát ooz az s, ha az elem llesztő üggvéye em potosa olya alaúa, mt amlyee eltételezzü őet (pl. a Mössbauer-spetrum csúcsa em mdg írható le töéletese Loretz-görbéel azaz Cauchy-eloszlással. A túl cs χ potecáls veszélyét az smert Lagrage-éle terpolácó esete érzéeltet. Léyegébe arról va szó, hogy darab síbel potot aál precízebbe lehet özelíte egy polommal, mél agyobb a polom oszáma. Olyayra gaz ez, hogy a legeljebb (--ed oú polomo özött bztosa aad egy, amely az összes poto átmegy. Eor természetese a χ = 0 vola, am emegatív üggvéyről lévé szó az abszolút mmumot jelet. Az lleszedés tehát a lehető legtöéletesebb lesz, holott az lye polomos llesztése az égvlágo semm za tartalma scs egy Mössbauer-spetroszópus szempotjából. Ebből az extrém példából leszűrhetü egy általáosa haszálható öveteztetést s: túl cs χ arra s utalhat, hogy p valóságos dmezója sebb, mt eltételeztü. (Pl. az elem llesztő üggvéye a Loretz-görbé adevát volta matt általába sebb χ -et apu, ha a Mössbauer-spetrumot a téylegese jelelévőél agyobb számú voallal próbálju lleszte. Megjegyezzü, hogy émely llesztő program a rel (4 relatív (vagy ormalzált χ -et szolgáltatja. Ee várható értée éppe, szórása pedg /, vagys aál özelebb ll ese -hez, mél agyobb volt az llesztett poto száma (. Hogy meyre özel a özel, azt az N(, / eloszlás modja meg, t. a χ ( eloszlás aszmptotusa egyelő az N(, eloszlással, ezért aráyú zsugorítottja a rel az N(, / eloszlásba megy át a zsugorítás szabálya szert. ValSum_0409 3/38

32 ValSum_0409 3/38 6. Függelé 6.. Az átlag és a mtavaraca mt torzítatla becslés Mtaátlag Idézzü el a ( ormulát: ˆ (5 Eredetleg em hagsúlyoztam ülö azt a téyt, hogy az átlagolásba szereplő -at üggetle, egyorma eloszlású valószíűség változóa ell tete. Ezért mdegye ugyaaz a μ a várható értée. Ematt: E E E (6 Vagys a mtaátlag csaugya torzítatla becslést szolgáltat a várható értére. Mtavaraca Idézzü el most a (6 ormulát: s ˆ (7 Ha a józaésze megelelő özöséges számta özepet haszálá becslésre a et ormula helyett (amely egyébét megegyez az aszmptotusa torzítatla maxmum lelhood becsléssel, aor a (8 egyelethez hasoló épletet apá, amelyet yomba átalaítu: ' s (8 Itt az átalaításál gyelembe vettü, hogy az átlag a szummázás szempotjából álladóa tethető, ezért abból emelhető. Az utolsó sor özepé szereplő szumma egy átlag része, ezért: ' s (9

33 ValSum_ /38 Ie: E E E E s E ' (0 Már csa a ejezés vár értéelésre, és ész s vagyu: ( Ebből: ' s E ( Vagys az s becslés valóba csa aszmptotusa (t. + eseté torzítatla. Ha azt aarju, hogy mde -re torzítatla becslést apju, aor a torzítást vssza ell csálu, azaz: ' s s (3 Amt így aptu, az em más, mt a mtavaraca, vagys a orrgált emprus szóráségyzet. A urcsa átlagolásra ylvávalóa azért volt szüség, mert a várható értéet ugyaabból a mtából becsültü (t. az mtaátlaggal. Ha a Mdetudó elárulá eü a μ várható értéet, aor a (8 ormula szmpla átlagolása szert becslés: ˆ (4 már eleve torzítatla lee, ahogy ezt már léyegébe láttu a (0 ormula egy részletébe: ˆ E E (5

34 6.. A etus gázelmélet és a evezetes eloszláso Egydmezós gáz sebességeloszlása (a mozgásráy megülöböztetésével Az egyatomos moleulájú deáls gáz etus elméletével oglalozó öyve majdem mdegye déz vagy levezet egy ehhez hasoló épletet: m mu ( u exp, (6 πt T ahol u az egydmezós sebességvetor (máséppe egy háromdmezós u sebességvetor. vetorompoese, mely természetese előjellel bír, m a gázatom tömege, a Boltzmaálladó, T pedg a termodama hőmérsélet. Idézzü el a ormáls eloszlás sűrűségüggvéyét az u -gyel apcsolatos U valószíűség változóra alalmazva: u ( u exp. (7 π Nem ell hozzá agy találéoyság, hogy eledezzü: egy olya N(, ormáls eloszlással va dolgu, melye várható értée = 0, varacája, ll. szórása pedg a övetező: T m T, ll.. (8 m A sebességompoes V stadardzáltja: U m V U (9 T T m már N(0, stadard ormáls eloszlású valószíűség változó lesz: v ( v exp. (30 π Vegyü észre, hogy a et épletbe szereplő ejezés expoesébe mplct módo ott rejl a etus eerga és a T aráya, de a éplet maga mégsem az eergaeloszlásról szól, haem a sebességeloszlásról. Ideje olya lépéseet te, amelye az eerga eloszlását tárjá elé. e előbb egy s térőre lesz szüség. Valószíűség változó abszolút értéée eloszlása Eléggé ézeevő dologról va szó, ezért ae mde vlágos, bátra továbbléphet. M, többe, a övetező traszormácót ogju megvzsgál: Y. (3 ValSum_ /38

35 Mthogy em mooto, Y sűrűségüggvéye em határozható meg a (48 ormula segítségével (a trváls eseteet véve, amor s tartója a poztív élegyeesre es. Itt jobb, ha a valószíűség változóra em a mérö deícót haszálju (véletleszerű számérté, haem azt, amely a valószíűség változó olya halmazüggvéye tet, mely egyértelműe redel számoat egy bzoyos meggyelhető eseméyhalmaz elemehez. (A véletle tt úgy jö be, hogy em tudható előre, mely eseméyt ogju éppe meggyel a övetező ísérletbe. Az Y sűrűségüggvéyét (g a övetező utasításo szert apju súlyüggvéyéből (: Fogd az -et ábrázoló síot, hajtsd össze az ordátategely meté, és borítsd a bal élsíot a jobb élsíra. Add össze az összehajtott sűrűségüggvéy azoos abszcsszához tartozó értéet a jobb oldalo tehát a (0, + élegyees meté, baloldalt pedg vagys a (, 0] élegyeese ullázd az ordátaértéeet. Amt aptál, az egy (0, +-be eső tartójú eloszlás ormált sűrűségüggvéye. Ez az a g, amt erestél. Az eljárás özbe az törtét, hogy a + x és a x értée ősépét egyesítettü, majd az egyesítéshez az x értéet redeltü. Ha az eredet eloszlás sűrűségüggvéye véletleül szmmetrus az ordátategelyre mt pl. az N(0, eloszlásé, aor a et utasításo másod potja egyeértéű azzal, hogy: Nullázd a sűrűségüggvéyt az orgótól balra, jobbra pedg szorozd meg -vel az ordátaértéeet. Az N(0, eloszlású valószíűség változó abszolút értéét tehát a övetező sűrűségüggvéy jellemz: x exp ha x 0 π ( x. (3 0 ha x 0 Eergaeloszlás és dmezószám: a χ -eloszlás bevetése Ahhoz, hogy a χ -eloszlást bevethessü, át ell térü a sebességeloszlásról a sebesség égyzetée eloszlására. A övetező traszormácót haszálju az új változóra való áttéréshez: W V V V, (33 ahol a dupla vé (W jelölés arra aar emléeztet, hogy vészer vé (VV va a háttérbe. Nylvá em géyel magyarázatot, hogy egy változó égyzete ugyaaz, mt a változó abszolút értéée a égyzete. Az abszolút érté eloszlásáa tartója vszot (3 szert a (0, + élegyees, ahol a égyzetüggvéy mooto övevő, és így a (48 ormula özvetleül alalmazható a (3 a sűrűségüggvéyre, míg a (30-re em. (Most már látju, mért ellett az mét térő. A (48 ormula szert (3 értelemszerűe helyettesített alajából ezt apju: g d w d w w w w w, (34 d w d w w ValSum_ /38

36 mely szert: g( w exp π w w. (35 w exp πw Az eloszláso táblázata segítségével a π = (/ egyelőséget gyelembe véve öye elleőrzhetjü, hogy amt aptu, az éppe a χ (-eloszlás sűrűségüggvéye. Meglepetés ez? Nem, ha arra godolu, hogy a W változó olya egyetle tagból álló összege tethető, mely üggetle N(0, eloszlású változó égyzeteből tevőd össze. Az lye összege ugyas md χ -eloszlású változót geerála; az összeg tagszáma pedg mely a jele esetbe megadja a szabadság oot. Megjegyzése: A w meység vsszaejtve az egydmezós mozgás etus eergájáa és a T-e a háyadosa. Maga az eloszlás s erről szól, em a sebességeloszlásról. Ha az egydmezós mozgást egy magasabb dmezós (, 3 euldesz térből ézzü, aor az -s sebességet a magasabb dmezós térbe való mozgás egy sebességompoesée ell tete. Kézeevő eltételezés, hogy a magasabb dmezós térbe az u, u, u 3, ll. a v, v, v 3 sebességompoese, valamt a apcsolatos w, w, w 3 eergaösszetevő egymástól üggetle, egyorma eloszlású valószíűség változóal apcsolatosa. Az összeerga pl. 3-be: w = w + w + w 3. Ez azért va így, mert a etus eerga a sebességvetor abszolút értéée égyzetével aráyos, azt pedg a sebesség ompoesee égyzetösszege adja (püthagorasz összegzés: w = v = v + v + v 3. A et levezetés joggal bátorít el met arra, hogy a ét-, ll. háromdmezós gáz eergaeloszlását a χ (-, ll. a χ (3-eloszlás sűrűségüggvéyeét állapítsu meg az eloszláso táblázata segítségével. Eze szert -be az eergaeloszlás sűrűségüggvéye: / πw / w/ w/ w e e ( w. (36 / Γ -be ugyaez így est: / w/ w/ w e e ( w, (37 / Γ / tehát egy szmpla expoecáls eloszlással va dolgu! 3-be ezt apju: / w/ w/ w e w e 3( w. (38 / Γ / π 3 ValSum_ /38

37 Az eredméyeet szemléltető ábrá ülööse a és 3 eset graoját érdemes összevet, mert marása ülöböze. Fotos tud, hogy a -s gázmodellt haszáljá általába az otatás célú szmulácós algortmuso s. (Lásd pl. azt a PhET szmulácót, amelye urcsa vseledése egy motválója volt aa, hogy megírjam ezt a ejezetet. Külöböző dmezós gázo eergaeloszlása. Az gaz (3 léyegese ülöböz a -s szmulácóétól. A 3-s modell vsszaadja a Maxwell-éle sebességeloszlásból adódó eergaeloszlás ormulát (ezt egyese Boltzma-eloszlása, máso Maxwell Boltzma-eloszlása hívjá. Ehhez w/ helyett /(T-t íru, és a traszormácó ompezálásaépp beíru még egy /(T szorzót s: ( exp, (39 πt T T t. az átírás a W változó T/ aráyú yújtását jelet, mözbe áttérü a gázmoleula etus eergáját jellemző E valószíűség változóra. A yújtást az (57 egyelettel apcsolatba magyaráztam el. Megjegyzése: Volt ét tovább motvácóm s ee a ejezete a megírásához. Az egy, hogy özelebb hozzam a hallgatósághoz ezeet a urcsa eloszlásoat. (Az a gyaúm, hogy mél jobba gyeeztem, aál evésbé serült :- A más célom: megmutat, mlye belső összeüggése vaa az eloszláso özött. Nézzü meg pl. a gamma-eloszlás sűrűségüggvéyét a táblázatba, majd alalmazzu a övetező helyettesítéseet: t = w, ν = /, r = /. Hasolítsu össze az eredméyt a (38 egyelettel. Eze szert a (39 Maxwell Boltzma-eergaeloszlás emcsa χ - eloszlása, haem gamma-eloszlása s tethető! Sebességeloszlás és dmezószám: a χ-eloszlás bevetése A χ-eloszlás teljese természetes módo erül a épbe, ha a gázmoleulá sebességeloszlását eressü sebesség alatt a sebességvetor abszolút értéét, tehát a sebesség agyságát értve. A övetező segítee a továbblépésbe: A W emcsa az eerga valószíűség változója, haem a sebességégyzeté s. (Emléezzü a jelölés hátterére: W mt VV, azaz V. ValSum_ /38

38 ValSum_ /38 A W χ -eloszlású valószíűség változó, tehát a táblázatba szereplő terpretácó szert, égyzetgyöe, V, χ-eloszlású. És ey elég s. Az -s sebességeloszlás: / / / e π / Γ e ( v v v v. (40 Ez az eredméy egyrészt em meglepő, másrészt megyugtató, hsze vsszaaptu a (3 egyeletet, mely az egydmezós mozgás sebességéről szól, tetet élül a mozgás ráyára. A -s sebességeloszlás: / / / e / Γ e ( v v v v v. (4 És végül az gaz, a 3-s sebességeloszlás: / 3 / / 3 e π / Γ e ( v v v v v. (4 A 3-s modell a Maxwell-éle sebességeloszlást szolgáltatja. Ehhez csa vssza ell csálu a (9 traszormácót: u T m v, (43 em eledezve meg a yújtás matt alalmazadó és az (57 egyelettel apcsolatba elmagyarázott szorzóról, mely bztosítja, hogy -re ormált sűrűségüggvéyt apju: T mu u T m T mu T m u T mu exp π e π ( 3/ /(. (44 Külöböző dmezós gázo sebességeloszlása. Az gaz (3 eléggé hasolít a -s szmulácóéhoz.