MATEMATIKAI STATISZTIKA

Átírás

1 Erdészet és Fapar Egyetem Erdõmérö Kar Matemata Itézet Csaády Vtóra - Horváth Róbert - Szalay László MATEMATIKAI STATISZTIKA Sopro, 995

2

3 "A vezérar fõö betáplálja a szupertellges számítógépbe a érdést: A Szovjetuó vagy az USA fog legelõször embert ülde a Marsra? Rövd godolodás utá a gép írja a választ: 'Ige'. A vezérar fõö dühbe gurul és beüt a övetezõ érdést: 'Ige, de?' Rövd godolodás utá a számítógép írja a választ: 'Ige, uram'. " (Mérõ László : Észjáráso) 3

4 4

5 5 Elõszó Ez a jegyzet az EFE öryezetmérö, erdõmérö, fapar mérö, és papírpar mérö hallgató számára észült. Tartalmazza a matemata statsztához szüséges valószíûségszámítás alapsmereteet, valamt a matemata statszta azo fejezetet, amelye egyszerûbb gyaorlat problémá megoldásáál jól alalmazható. A fõ célu az volt, hogy olya jegyzet erüljö a hallgatóság ezébe, amelybõl övethet az elõadáso ayagát és eredméyese felészülhete a vzsgára. A függelébe a orét feladato megoldásához élülözhetetle táblázato s megtalálható. A dolgozott feladato a fotos defícó és tétele jobb megértését szolgáljá. A jegyzet formátumát gyeeztü úgy alaíta, hogy mél öyebbe lehesse elgazod és tájéozód a taayagba. Ezt a célt szolgálja a öyv végé található tárgymutató s. Az rodalomjegyzébe felsorolt öyve egy része a jegyzettel párhuzamosa haszálható, míg a több a valószíûségszámításba és a statsztába elmélyül íváóa yújt segítséget. A matemata statszta gyaorlat alalmazása sorá a számolásoat ma legtöbbször számítógépeel végezzü. Több öye hozzáférhetõ programcsomag va haszálatba. Eze egy része modotta statszta jellegû (STATGRAF, MYSTAT, SPSS), míg máso matemata programo, amelyebe lehetõség va statszta számításora (MAPLE, MATHEMATICA, CCALC, DERIVE, MATHCAD). A táblázatezelõ programo szté tartalmaza statszta függvéyeet (EXCEL, LOTUS --3, QUBECALC). A jegyzetbe az említett programoal em foglalozu, haem azoat az elmélet smereteet foglalju össze, amelye segítségével bzoyos számítástecha smerete brtoába a legtöbb programcsomag haszálata öye elsajátítható. Az 993/94-es taév elsõ félévébe Dr. Kozá Atal tartotta Egyetemüö a matemata statszta elõadást. Kozá Atal a Vacouver Egyetem professzora, erdõmérö, az ott jól bevált taayagot ültette át a magyar vszoyo özé. Regeteg erdészet és fapar példát említett elõadása és a gyaorlatoo. Feladatat egy példatárba gyûjtötte össze, amelyet azóta s haszálu. Õ bíztatott beüet e jegyzet elészítésére, ötleteel támogatott beüet, és a letorálást agylelûe elvállalta. Mdezeért ülö öszöetet szereté Ne moda. Köszöet llet Dr. Horváth Jeõ professzort a szama segítségért és a felmerülõ gyaorlat problémá leüzdéséért. Köszöet llet még Dr. Závot Józsefet, a a ézratot godosa elolvasta és taácsaval segítette aa jobbátételét. Hálával godolu Behler Krsztára és Bartha Jáoséra a számítógépes szövegszeresztésbe yújtott segítségüért, valamt Németh Lászlóra az ábráal apcsolatos szama taácsaért, Nagy Zsoltra a táblázato elészítéséért. A szerzõ

6 6

7 7 Bevezetés A statszta szót az embere többsége hétözap értelembe haszálja, és érdõívere, azo töltésére, vagy ülöbözõ ylvátartásora godol (születés, dõjárás, termelés statsztá, stb.). Matemata értelembe a statszta egy olya tudomáyt jelet, melye alapvetõ feladata adato gyûjtése, feldolgozása és azoból való öveteztetés. Ematt vált a matemata statszta a mezõgazdaság, mûsza, orvos gyaorlattal talá legözvetleebb apcsolatot tartó tudomáyágává a matematáa, de agyo haszosa bzoyult alalmazása az egészségügy, szocológa, pedagóga stb. területé s. A vzsgálódásu tárgyát épezõ adathalmaz mde elemét gyaorlat ooból lehetetle megvzsgál. Nem próbálhatju az összes gyufaszálat, hogy jól mûöd-e, mert aor egyet sem lehete felhaszál. Így tehát mtára ell szorítozu, amelye a matemata statszta dulópotját alotjá. Az adathalmazt (az elvbe lehetséges mérése teljes halmazát), amelybõl a mtát választju populácóa vagy statszta soasága evezzü. A mta tehát a populácó egy meghatározott célra, valamlye mtavétel eljárással választott részhalmaza. A mtáal apcsolatba az alább égy alapvetõ érdés merül fel. l. Hogya tudju a mtát tömöre, áttethetõe jellemez? A statszta egy ága, a leíró statszta foglaloz a mta téyayagáa tömörítés módjaval.. Hogya lehet a mtából öveteztet a populácóra? (Ez egy valószíûségszámítás probléma, hsze ylvávaló, hogy a mta em tájéoztat beüet teljes mértébe és bztosággal a populácóról, haem csa becslést adhat.) 3. Meyre megbízhatóa a öveteztetése? A öveteztetéses statszta ad választ a. és 3. érdésre. 4. Hogya ell a mtát választa a populácóból, hogy reprezetatív legye és a lehetõ legtöbb formácót yerjü belõle? Az utolsó érdés a ísérlettervezés örébe tartoz, és általába azt válaszolhatju rá, hogy az egyetle jó mtavétel eljárás a véletle módszere valamlye formája. Most ssé leegyszerûsítve megpróbálju megvlágíta a statszta és a valószíûségszámítás ülöbözõségét, és egyúttal apcsolatát s. A statszta a valószíûségszámítás modelljet, eredméyet felhaszálva az smert mtából öveteztet valameora bztosággal az smeretle populácóra. A valószíûségszámítás éppe fordítva. Az smert populácóból meg tudja határoz, hogy meora valószíûséggel aphatu egy adott összetételû lehetséges mtát. (Például mey aa a valószíûsége, hogy ha a matemata szgorlat 30 tételébõl 5-öt em tud vala, aor 3 tételt húzva legalább ettõrõl tud majd beszél?) Végezetül a teljesség géye élül felsorolu éháy orét feladatot, melye megoldásához szüséges smerete e jegyzetbe megtalálható. Ilymódo mde épet aphat arról, hogy mlye típusú problémáat tud majd megolda, ha a jegyzet ayagát áttaulmáyozza.

8 8 Feladato.. Rovarárosítás mértéét vzsgáltá egy vegyes állomáyba három ülöbözõ fafajo. Az alább táblázat a megfgyelés adatat tartalmazza. árosítás mértée ulla alacsoy özepes magas. faj faj faj Kérdés. Függetle-e a rovarárosítás mértée a fafajtól? (Lásd függetleségvzsgálat!). Egy amera egyeteme megvzsgáltá, hogy a hallgató meyt éz hetete a televízót. A felmérés eredméye a övetezõ. érdezette száma het átlag (óra) szórás (óra) õ férfa Kérdés. A 90 elemû mta alapjá modhatju-e, hogy ugyaayt éz a televízót az adott egyeteme a hölgy hallgató, mt a férfa? Máshogy fogalmazva; a mtá átlaga azért ülöböze, mert téyleges ülöbség va a õ ll. a férfa tévéézés szoása özött, vagy csupá a véletle mtaválasztás oolható a ülöbségért? (Lásd hpotézsvzsgálat!) 3. Egy bzoyos szoftvert gyártó cég azt állítja, hogy egy adott ategórába a vásárló 60 százaléa az õ terméüet vásárolja. Megérdezte 00 vásárlót. Közülü 48-a vetté a fet terméet, a több 5 vevõ mást szoftvert szerzett be.. érdés. Elfogadju-e a cég állítását a evése tûõ, tapasztalat 48 százalé elleére?. érdés. Hol húzá meg az elfogadás határt? (Lásd hpotézsvzsgálat ll. ofdecatervallumo!) 4. Megvzsgáltá, hogy 875 és 894 özött hogya alault a lova által halálra rúgott atoá száma a émet hadseregbe. 4 hadtestél összese 80 adat állt redelezésre, melyeet a övetezõ táblázatba foglaltu össze. év halálozás vagy több esete száma Kérdés. Mlye eloszlást övet (jó özelítéssel) a halálra rúgott atoá száma? (Lásd lleszedésvzsgálat!)

9 5. Négy ülöbözõ solába véletleszerûe választotta 5-5 yolcad osztályos taulót, és ugyaazt a épességvzsgáló tesztet írattá meg velü. A tauló elért potszáma az alábba. 9 A sola B sola C sola D sola Kérdés. Tethetjü-e a tauló épességet azoosa a égy sola vszoylatába? (Lásd varacaaalízs!) 6. Egy autóölcsözõbe feljegyezté a ocs által megtett távolságoat és az autó féléveét javítás öltséget. A vzsgált 7 ocs adata a övetezõ. autó távolság (000 mérföld) öltség (dollár/félév) A B 7 60 C 36 5 D 4 55 E F G érdés. Tethetjü-e a bérautóál özelítõleg leársa a apcsolatot a javítás öltsége és a megtett távolságo özött? (Ha em, aor mlye lehet a apcsolat?). érdés. Meora javítás öltség jósolható egy új autó esetébe, ha az megtesz majd mérföldet? (Lásd regresszószámítás!) A felvetett példá mdegyébe valójába azt ell megvzsgál, hogy az adato jellege a vzsgált jeleség természetébõl adód, vagy véletleül a véletle mtavétel matt alault a fetee megfelelõe.

10 0. A statszta valószíûségszámítás alapja.. Eseméyalgebra A természetbe lejátszódó jelesége özött vaa, amelye bzoyos feltétele teljesülése mellett ugyaúgy mee végbe (pl. egy éma reacó), és vaa ú. véletle (sztochasztus) jelesége, amelyeél a rögzített örülméye elleére más-más eredméy övetezhet be (pl. pézfeldobás). Sztochasztus jelesége eseté elvárju, hogy azoos örülméye özött tetszõlegese soszor megsmételhetõe, azaz véletle tömegjelesége legyee. A valószíûségszámítás feladata a véletle tömegjeleségeél mutatozó törvéyszerûsége feltárása. A megfgyelt véletle jeleséget ísérlete fogju hív, és az elõzõe szert em tudható elõre, hogy egy ísérlet végrehajtása sorá potosa m fog törté. Azoba meghatározható, hogy m lesze egy ísérlet lehetséges meetele, vagys megadható egy halmaz, a lehetséges meetele halmaza, amelye a ísérlet végeredméye bztosa eleme lesz. A lehetséges meetele halmazát eseméytére (Ω), elemet pedg elem eseméyee evezzü. Példá. l. A ísérlet legye egy pézérme feldobása. Jelöljü F-fel ll. I-vel, ha fejet ll. írást dobu. Így az elem eseméye halmaza Ω F, I. { }.Egy ísérlet sorá egy szabályos dobóocát dobálu fel mdaddg, amíg hatost em dobu. A ísérlet meetele az elsõ hatos dobás sorszáma. Eor az eseméytér a poztív egész számo halmaza lesz, Ω,,K. { } A ésõbbebe lát fogju, hogy em ooz problémát, ha az eseméyteret egy ssé bõvebb halmazzal írju le, mt amelyre szüségü va. (De arra ügyeljü, hogy e hagyju olya meeteleet, amelye téylegese felléphete!) 3. Legye a ísérlet egy vllayörte élettartamáa mérése (órába), az eseméytér Ω { 0 < } R.

11 Eseméyee evezzü az Ω eseméytér részhalmazat. Egy eseméy beövetez, ha a ísérlet sorá beövetezõ elem eseméy eleme az adott részhalmaza. Az eseméyeet általába lat agybetûel jelöljü. Az elõzõ 3. ísérletél eseméy például, ha az égõ élettartama 000 óra és óra özé es { 000 < 000 3} A R. Eseméye megadásáa egyszerû módja, ha egy ísérlet eredméyére voatozóa olya állítást fogalmazu meg, melye helyességét a ísérlet meetele egyértelmûe eldöt. Például az elõzõ. ísérletél: az elsõ húsz dobás em lesz hatos. Kocadobásál egy lehetséges (em elem) eseméy a övetezõ: a dobás eredméye prímszám. Mûvelete eseméyeel Értelmezésü szert eseméyee az Ω eseméytér részhalmazat evezzü, így a halmazmûveleteet Ω-ra s bevezethetjü. A mûveleteet az eseméyere fogalmazzu meg. Ha az A eseméy beövetezése eseté mdg beövetez a B eseméy s, aor azt modju, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt. Jelölés: A B. Szotu úgy s fogalmaz, hogy az A eseméy része a B eseméye. Két eseméy egyelõ, ha bármely beövetezése maga utá voja a más beövetezését. Jelölés: A B. Az Ω halmazt bztos eseméye hívju. Bárm lesz s a ísérlet meetele, Ω beövetez. Az üres halmazt amely em övetezhet be lehetetle eseméye evezzü, és -val jelöljü. Az A eseméy elletettjée (omplemeterée) azt az A eseméyt modju, amely aor övetez be, ha a ísérlet meetele em eleme A-a. (Tehát az A halmaz az A halmaz Ω-ra voatozó omplemetere.) A bztos eseméy omplemetere a lehetetle eseméy, és a lehetetle eseméy omplemetere a bztos eseméy: Ω ll. Ω. Nylvávaló, hogy A A. Eseméye összege Bármely A,B Ω eseméyehez hozzáredelhetjü az A + B eseméyt az A és B eseméye összegét, amely aor övetez be, ha A és B özül legalább az egy beövetez. (Halmazora godolva a fet defícó az A és B halmazo uóját jelet.) A defícóból és a halmazo özött mûvelet azoosságoból övetez, hogy A + B B + A (ommutatvtás), ( A + B) + C A + ( B + C) (asszocatvtás), A + A A, A + Ω Ω, A + A.

12 Eseméye szorzata Bármely A,B Ω eseméyehez hozzáredelhetjü az AB eseméyt az A és B eseméye szorzatát, amely aor övetez be, ha az A és B eseméy s beövetez. (Halmazoál e defícó az A és B halmazo metszetét jelet.) Eseméye szorzatára a övetezõ azooságo teljesüle: AB BA (ommutatvtás), ( AB ) C A( BC) (asszocatvtás), AA A, AΩ A, A. Az A és B eseméyeet záróa modju, ha AB, azaz az együttes beövetezésü lehetetle. (Az A és B halmazo dszjuta.) Tovább azoosságo: ( A B) C AC + BC A BC ( A + B)( A+ C) + (dsztrbutvtás), + (dsztrbutvtás), A + A Ω, AA, A + B A B, AB A + B. (A ét utolsó az ú. DE MORGAN-féle azoosság.) Eseméyalgebráa evezzü eseméye olya halmazát, amely tartalmazza a lehetetle és a bztos eseméyt, és amelye belül a fet tulajdoságoal redelezõ összeadás és szorzás * értelmezett. Példa. Kocadobást végzü. Az A eseméy aor övetez be, ha párost dobu, a B pedg, ha legfeljebb égyest. A {,4,6}, B {,,3,4 }. Eor * Két eseméy ülöbsége s értelmezhetõ az alább módo: A B AB.

13 3 A + B {,,3,4,6 }, AB {,4} A {,3,5 }, { 5,6} A + B { 5 } AB. B, A B és B A, Azt modju, hogy az A, A,K eseméye teljes eseméyredszert alota, ha egy sem a lehetetle eseméy, pároét záróa, és összegü a bztos eseméy. Sem az eseméyalgebra, sem a teljes eseméyredszer fogalmáál em tettü fel, hogy véges so eseméyrõl beszélü... A valószíûség fogalma A fejezet elejé említettü, hogy a valószíûségszámítás a véletle tömegjeleségeel apcsolatos törvéyszerûségeel foglaloz. Mvel elõre em határozható meg, hogy m lesz egy ísérlet végeredméye, ezért az alapérdést így fogalmazzu meg: mey aa a valószíûsége, hogy egy vzsgált eseméy beövetez. A valószíûség fogalmáa bevezetése elõtt a gyaorságot ll. a relatív gyaorságot értelmezzü. Ha egy ísérletet -szer megsmételü ugyaazo örülméye özött (ísérletsorozat), aor egy rögzített A eseméy egyes ísérletebe beövetez, másoba em. Legye azo ísérlete száma, amelyebe A beövetezett. A számot az A eseméy gyaorságáa (f A ) evezzü, a háyadost pedg az A eseméy relatív gyaorságáa (g A ). Természetese több ísérletsorozat elvégzéseor a relatív gyaorságo értée más és más lehet, de a megfgyelése szert egy adott érté özelébe ese. A agy számo lasszus törvéye azt modja, hogy elég so ísérletbõl álló ísérletsorozato eseté a relatív gyaorságo gadozása agyo cs lesz. Az A eseméy valószíûségée azt a valós számot evezzü, amely örül a relatív gyaorság gadoz, és P( A) -val jelöljü. Az Ω eseméytér mde A eseméyéhez tehát hozzá lehet redel egy P ( A) valós számot a valószíûségét, amelye ísérlet úto való özelítése a agy számo törvéye alapjá törtéhet. A gyaorlatba persze em hívható mdg segítségül a fet módszer, ezért máshogy járu el. Godolatmeetü léyege a övetezõ lesz. A relatív gyaorság fotos tulajdoságaból dulva a valószíûségre állításoat fogalmazu meg. Eze állításoat alapgazságét elfogadju, em bzoyítju. Az alapgazságoból öveteztetve, loga úto számíthatju egy adott eseméy valószíûségét. Közbe éháy általáos törvéyt állítu fel, hogy e ellje mde feladatál a ''gyöereg'' vsszayúl. Legye az A eseméy az Ω eseméytér része. Jelölje A relatív gyaorságát egy f A ísérletbõl álló ísérletsorozat eseté g A ( ). Vlágos, hogy () 0 g A.

14 4 Mvel a bztos eseméy (Ω) mdg beövetez, ezért () g Ω. Ha az A és B Ω eseméye záróa (AB ), aor (3) g A + B f + f + f A B A B g + g. A B A relatív gyaorság e három tulajdosága alapjá egy eseméytér eseméyehez redelt valószíûségere a övetezõ aómáat (alapgazságoat) fogadju el. (l) 0 P ( A), P, () ( Ω) P A + B P A P B, haab. (3) ( ) ( ) + ( ) A harmad állítás helyett a övetezõt haszálju: P A A + K P A + P +, + A (3') ( ) ( ) ( ) K ahol az A (véges, vagy megszámlálhatóa végtele so) eseméye pároét zárjá egymást. Az (l), (), (3') aómából álló aómaredszert KOLMOGOROV-féle aómáa evezzü. Nézzü éháy egyszerû tételt, hogya alalmazható KOLMOGOROV aómá ülöbözõ valószíûsége számítására... TÉTEL. A lehetetle eseméy valószíûsége 0. Mvel egy A eseméy és a lehetetle eseméy egymást záróa (A ), ezért P A P A + P A + P, ahoa övetez, hogy P ( ) 0. ( ) ( ) ( ) ( ).. TÉTEL. Az elletett eseméy valószíûsége P( A) P( A). Mvel A + A Ω és AA, ezért P ( Ω) P( A + A) P( A) + P( A), amelybõl P ( A) fejezhetõ..3. TÉTEL. Ha A B, aor ( A) P( B).4. TÉTEL. P( A B) P( A) + P( B) P( AB) P. (Moototás.) + *. * Ha A és B záróa, aor a P ( A B) P( A) + P( B) ebbe a formába s alalmazzu: P ( AB) P( A) + P( B) P( A + B) + egyelõséget apju vssza. Az.4. tételt éha.

15 5 Megjegyzés. A.3. és.4. állítás az elsõ ettõhöz hasoló módo bzoyítható. Az Ω eseméytér álljo véges, vagy megszámlálhatóa végtele so elem eseméybõl ( Ω { ω,,k ω }). Jelöljü p -vel az -ed elem eseméy valószíûségét: p P( ω ). Felhaszálva a (3') aómát egyszerûe bzoyítható, hogy p p + p + K. Eor a p, p,... számoat az Ω eseméytér valószíûség-eloszlásáa hívju..3. Klasszus (ombatorus) valószíûség mezõ, geometra módszer.3.. A lasszus valószíûség Ha Ω véges so ( db) elem eseméybõl áll, és az elem eseméye valószíûsége egyelõ, aor a p + p + K + p egyelõségbõl övetez, hogy p p K p. Ebbe az esetbe egy tetszõleges A Ω eseméy valószíûsége egyelõ az A elõállításába szereplõ elem eseméye ( db) valószíûségee összegével: P ( A). E formula úgy s magyarázható, hogy egy A eseméy valószíûségét megapju, ha az A elõállításába szereplõ elem eseméye (a "edvezõ esete") számát elosztju az elem eseméye (az "összes eset") számával. Tehát A valószíûségée számítása egy ombatora probléma * : * A ombatora alapja Moór Artúr: Matemata I-II. jegyzetée elejé található meg.

16 6 edvez esetesz ma P ( A). šsszesesetsz ma Feladato.. Ha ét pézérmét feldobu, mey aa a valószíûsége, hogy lesz öztü fej? Ω FF, FI, IF, II ). Ebbõl 3 esetbe találu fejet, A lehetséges meetele száma 4 ( { } azaz a edvezõ esete száma 3. Mvel mde eset ugyaaora valószíûséggel övetez be, ezért P ( va šztźš fej) Vzsgálju meg egy más lehetséges oosodást! Vala azt modja, hogy szerte em ellee megülöböztet a ét érmét, így három lehetséges meetel va ét fej, egy fej és egy írás, ét írás, ebbõl ettõbe va fej, ezért a eresett valószíûség. Mely a helyes 3 megoldás? Bár eldöthet, ha va hozzá türelme és ét pézérméje! Hogya? Dobálja fel a pézeet és jegyezze le a apott eredméyeet, majd a agy számo lasszus törvéye alapjá adja meg a választ! Az. feladat egy agyo fotos godolatra mutat rá, mégpedg arra, hogy (elem) eseméye valószíûségée egyelõségére voatozó feltevés agyo gyara em döthetõ el loga úto, haem csa tapasztalat módszerrel. A jó megoldás 3 P ( va šztźš fej), am azt mutatja, hogy a természet a maroszopus testeet 4 megülöböztet egymástól, még ha azo azoosa tüe s. A statsztus fza szert a mroszopus teste esetébe boyolultabb a helyzet. Egy gázmoleulából álló redszer vzsgálatáál az ú. MAXWELL-BOLTZMANN statszta * szté megülöböztet a moleuláat. Az eletroo ll. fotoo esetébe más modell bzoyult alalmasa: a részecsé megülöböztethetetlee, csa a fázstér cellába való elhelyezedésü ülöböztethetõ meg. (Ha például ét eletrot felcserélü, az ugyaazo állapota számít.) A fotoo leírására a BOSE-EINSTEIN statsztát, az eletroo leírására pedg a FERMI-DIRAC statsztát haszáljá. Eze modellebõl származó eredméyeet a tapasztalato s alátámasztjá.. Egy populácó agysága legye N, amelybõl K egyed valamlye szempot szert em megfelelõ. Egy elemû mtát választva a populácóból, mey aa a valószíûsége, hogy éppe db em megfelelõ lesz a mtába? Ha a érdésre válaszol aaru, potosítau ell! Nem rögzítettü ugyas, hogy mutá az elsõ mtaelemet választottu és megvzsgáltu, a övetezõ választás elõtt vsszateszü-e azt vagy em. Ematt meg ell ülöböztet a vsszatevéses lletve vsszatevés élül mtavételt. Jelöljü A -el lletve B -el azo eseméyeet a vsszatevéses lletve a vsszatevés élül mtavétel eseté, amelye aor öveteze be, ha a orábba szert választott elembõl em megfelelõ. * A statszta szó tt a statsztus fzára utal.

17 7 Az elsõ esetbe a vsszatevés matt az összes eset száma N, mvel mde választás eredméye N féle lehet. A edvezõ esete száma ( ) K N K, mert húzásból féleéppe jelölhetjü azt a húzást, mor em megfelelõ egyedet apu, és egy lye húzássorozathoz ( ) K N K féleéppe választhatu elemeet a populácóból. A eresett valószíûség ( ) ( ) N K N K N K N K A P. Vsszatevés élül mtavétel eseté az összes eset száma N. Mvel K em megfelelõbõl -t K, ettõl függetleül az ( ) K N megfelelõ elembõl ( ) -t K N féleéppe választhatu, a edvezõ esete száma K N K. A érdéses valószíûség ( ) N K N K B P..3.. A valószíûség geometra módszerrel való meghatározása Eseméye valószíûségée geometra úto törtéõ meghatározásáa léyege, hogy bzoyos geometra domo mértéée (pl. terület) számítására traszformálju át a feladatot. Ilye problémával általába aor találozu, ha egyees, sí vagy tér egy részhalmazát tetjü Ω-a, és az A eseméy aor övetez be, ha egy tetszõleges potot választva Ω- ból, a választott pot éppe Ω valamely A részhalmazába es. Az A eseméy beövetezésée valószíûségét a számura edvezõ térfogat (terület, hossz) és Ω térfogatáa (terület, hossz) háyadosaét értelmezzü. Feladato.. Tetsü egy 3m magas, 5m hosszúságú házfalat, amelye ét m m-es abla található. Ha a házfalba légpusával véletleül belelövü, meora aa a valószíûsége, hogy éppe ablaot találu el? (Íme egy újabb példa arra, amor em célszerû a valószíûséget a relatív gyaorság alapjá becsül.)

18 8 Mvel a fal összterülete 3m 5m 5m, és a edvezõ (?) terület m m, ezért a törés valószíûsége 5.. Ha a számegyees 0, tervallumá véletleszerûe jelölü egy potot, m aa a valószíûsége, hogy éppe a 0.3-at találju el? Az összes 0, -bel pot választásáa valószíûsége ugyaay, és végtele so eset va, amelye özül csa egy edvezõ számura, ezért a válasz 0. Vlágos, hogy a fet típusú érdésfeltevése em so értelme va, ráadásul éptelee leé eldöte, valóba a 0.3-at találtu-e el. Helyette ább azt érdezzü, hogy mey aa a valószíûsége, hogy a jelölt szám sebb mt 0.3, és a orábba alapjá azt válaszolju, hogy Kette megbeszél, hogy este hét és yolc óra özött a ollégum aulájába találoza. Érezésü az adott órá belül véletleszerû. Meora aa a valószíûsége, hogy az elõbb érezõe em ell egy egyed óráál többet vára a másra? Tegyü fel, hogy az egy hallgató órával 7 utá érez ( 0 ), a más pedg y órával 7 utá ( 0 y ). Ha egy derészögû oordáta-redszerbe ábrázolju az (,y) oordátájú potot, aor eze pot az I. síegyed egységégyzetébe es, továbbá mde otta pot oordátáa megfeleltethetõ a ét hallgató valamor érezése (lásd.. ábra). Aor em ell egyed óráál többet vára az egye a másra, ha y 4. Eze egyelõtleséget elégítõ (,y) számpáro egy az y egyelõtleségeel jellemezhetõ sávot határoza meg az egységégyzetbe (lásd.. ábra). Az egységégyzet 3 7 területe T, a besötétített rész területe pedg T s v. Felhaszálva a valószíûség 4 6 geometra módszerrel való számításáról elmodottaat, a érdéses valószíûség T sáv 7 T 6.

19 9.. ábra A példából látható, hogy a geometra módszer haszálatára legtöbbször aor erül sor, ha Ω em megszámlálhatóa végtele so potból (elem eseméybõl) áll..4. Feltételes valószíûség, függetleség. feladat. Dobju fel egy dobóocát étszer egymás utá, és értelmezzü az alább eseméyeet: A beövetez, ha az elsõ dobás hatos, B beövetez, ha a másod dobás hatos, B beövetez, ha mdét dobás hatos. Vzsgálju meg, hogya befolyásolja az A eseméy beövetezése a B és B eseméye beövetezését! A és B özött cs összefüggés abba az értelembe, hogy a másod dobás eredméye függetle az elsõ dobás eredméyétõl. A másod esetbe más a helyzet, mert ét hatost csa úgy aphatu, ha az elsõ dobásál A övetezett be. A ét eseméy (A ll. B ) em függetle egymástól. Most potosa defálju ét eseméy függetleségét. DEFINÍCIÓ. Két eseméy, A és B függetle, ha P( AB) P( A) P( B) *. b * Az A, A,..., A eseméye függetlee, ha özölü tetszõleges ülöbözõ eseméyt választva g, azo szorzatáa valószíûsége megegyez valószíûsége szorzatával.

20 0 Mt látju, a defícó lehetõséget yújt arra, hogy azoal eldötsü ét eseméy függetleségét, ameybe a defícóba szereplõ valószíûségeet tudju számol P eset: P( A) P( B ) P( AB ) A.eset: P( A) P( B ) ( AB ) A és B függetlee. és B em függetlee. A övetezõbe egy feladatból dulva szereté megvlágíta a defícó jogosságát.. feladat. Két csomag, a hátoldaláról jól megülöböztethetõ szíû (pros ll. é) fraca ártyából válogassu a övetezõ 6 lapot. A pros palból vegyü a p -est, 3-ast,...,9-est (8 db), a ébõl pedg a 0-est, jumbót, dámát, rályt, ászt, valamt a maradé három ászt (8 db). A választott lapoat tegyü be egy dobozba, majd húzzu özülü találomra egyet. Látva, hogy a hátoldala é, m a valószíûsége aa, hogy ász va a ezübe? Jelöljü A -val azt az eseméyt, hogy a húzott lap ász, B -vel azt az eseméyt, hogy a húzott lap é hátoldalú. Mvel bármely lapot ugyaaora valószíûséggel választu, és a é lapo száma 8, amelye özött 4 ász va, ezért a eresett valószíûség 4 8 törtét, hogy "reduáltu az eseméyteret", azaz az egy-egy laphoz tartozó Igazából az 6 valószíûség helyett a pros hátoldalúahoz 0 valószíûséget redeltü, a többhez pedg -ot. A. feladat 8 sorá megadott valószíûséget feltételes valószíûsége evezzü, mert számításához smerü egy plusz feltételt: a húzott lap hátoldaláa szíét. N -szer elvégezve a. feladatba szereplõ ísérletet, az esete egy részébe pros, a más részébe pedg é ártyát húzu. Legye a B eseméy gyaorsága. Eze ísérletbõl s esetbe az A eseméy s beövetezett. Tehát az ász húzásáa feltételes relatív gyaorsága, azo feltétel mellett, hogy a lap é hátoldalú, f f AB B s. Az eredméyt átalaítva f f AB B s s N g AB, g N B ahol g AB az AB eseméy, g B a B eseméy relatív gyaorsága az eredet ísérletsorozatba. AB P B örül, így az A eseméy B Mvel g AB a P ( ) valószíûség örül gadoz, g B pedg ( )

21 feltétel mellet valószíûsége g g AB B örül fog gadoz. Eze megfotolás utá egy tetszõleges A eseméy B feltétel mellett feltételes valószíûségét amelyet P( A B) háyadossal értelmezzü, ameybe ( ) 0 P P ( A B) P ( AB) ( B) -vel jelölü a P B. Ha a B eseméy beövetezése em befolyásolja az A eseméy beövetezését (a ét P A B P A, aor ezt összevetve a feltételes valószíûség eseméy "függetle"), vagys ( ) ( ) defícójával a egyelõségbõl a P( AB) P( A) P( B) P P ( A) P ( AB) ( B) egyelõséget apju, amely éppe A és B függetleségét adja. Megvlágítottu tehát a függetleség defícójáa hátterét. Végül ét evezetes, feladatmegoldáshoz jól haszálható tétel övetez..5. TÉTEL (TELJES VALÓSZÍNÛSÉG TÉTELE). Ha az A, A,K eseméye teljes ese- P > (,,...), valamt B tetszõleges eseméy, aor méyredszert alota, ( ) 0 A P ( B) P( B A ) P( A ). BIZONYÍTÁS. Mvel az A, A,K eseméye összege Ω, ezért P mert ( BA )( BA ) BA A ( j) j ( B) P A B P A B P( BA ) P( B A ) P( A ). j,.6. TÉTEL (BAYES TÉTEL). Ha az A, A,K eseméye teljes eseméyredszert P > (,,...), valamt B tetszõleges eseméy, aor A alota, ( ) 0 BIZONYÍTÁS. P ( A B) ( B A ) P( A ) ( ) ( ),(,,K) P B A P A P.

22 ( A B) ( A B) P( B) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) P P. 3. feladat. Képzeljü el a övetezõ vzsgáztatás redszert. Mde vzsgaérdés egy lapra va felírva, és mde érdéshez 3 válasz va megadva, amelye özül egy helyes. A vzsgázóa ezt a lapot ell töltee a helyese vélt válasz megjelölésével. Tegyü fel, hogy a vzsgázó p > 0 valószíûséggel tudja a helyes választ. Ha em tudja, aor valószíûséggel jelöl meg a 3 3 lehetséges válasz egyét. Mey aa a valószíûsége, hogy azért helyes a válasz, mert a vzsgázó tudta a helyes eredméyt? Jelöljü B -vel azt az eseméyt, hogy a vzsgázó helyese válaszolt a érdésre, A -gyel azt, P A B valószíûséget hogy tudta a választ, A -vel pedg azt, hogy em tudta. A feladatba a ( ) ell meghatároz. Mvel A és A poztív valószíûségûe és valószíûségü összege, így alalmazható BAYES tétele: P ( ) ( B A ) P( A ) P A B. P B A P A + P B A P A ( B A ) ( ) ( ) ( ) ( ) P (ha tudja a választ, bztosa jól válaszol), P ( A ) p választ aor találgat), P( A ) p, ezért a eresett valószíûség, ( ) P B A (ha em tudja a 3 p p + 3 3p + p ( p). 4. feladat. Egy szabályos dobóocával egyszer dobu. Az A eseméy aor övetez be, ha páros számot dobu, a B eseméy aor, ha égyél evesebbet, a C eseméy pedg aor, ha ettõél többet. Vzsgálju meg az eseméye pároét, valamt mdhárom eseméy függetleségét! A feladatot a függetleség defícója alapjá oldju meg. A{,4,6}, B{,,3}, C{3,4,5,6}, AB{}, AC{4,6}, BC{3}, ABC. Ie P ( A), P ( B), P ( C), 3 P ( AB), P ( AC), P ( BC), P ( ABC) 0. Mvel P ( A) P( B) P( AB), 6 P ( A) P( C) P( AC), 3 3 P ( B) P( C) P( BC), 3 6

23 3 ezért csa az A és C eseméye függetlee. Nylvávaló, hogy mdhárom eseméy sem lehet függetle, mert ahhoz a pároét függetleség s szüséges lee. Térjü vssza egy s dõre a fejezet elsõ feladatához, melye célja gazából függetle lletve em függetle eseméye létezésée érzéeltetése volt. Ott a függetleség defícójáa megfogalmazása elõtt "ráézésre" meg tudtu állapíta, hogy az A és B eseméye függetlee, valamt hogy A és B em függetlee. Késõbb a defícó alapjá vzsgálódva ugyaazt az eredméyt aptu. Most a 4. feladatál "ráézésre" semmt sem tudtu moda, a defícóból dulva tudtu döte eseméye függetleségérõl. A "ráézéses módszer" magába hordozza a öyû tévedés lehetõségét. Vsszatérve a 4. feladathoz, elemezzü részletesebbe m rejl pl. az A és B eseméye függõsége mögött! Tegyü fel, hogy a válluo ül egy elõrelátó démo, a mde dobásál elõre látja, és a fülübe súgja aa partását. Ha a démo párost jelez, azaz az A eseméy beövetez, aor a B eseméy beövetezésée valószíûsége, mert az összes lehetõség 3 (,4,6) özül csa egy edvezõ (). Ha a démo páratlat mod, azaz az A eseméy em övetez be, aor a B eseméy beövetezésée valószíûsége, mert az összes lehetõség 3 (,3,5) özül ettõ edvezõ (,3). Azt tapasztalju, hogy az A beövetezésére lletve be em övetezésére voatozó (démo) formácó befolyásolja a B eseméy beövetezésée valószíûségét, rövde a B eseméy függ az A eseméytõl. Ha a démo ább azt árulá el, hogy a dobás alsó (,,3) vagy felsõ (4,5,6) lesz, aor az elõzõ utat övetve derüle, hogy az A eseméy függ a B eseméytõl. A démo segítségét érve az olvasó beláthatja, hogy a C eseméy függetle az A eseméytõl, mert az A eseméyre voatozó formácó em befolyásolja C beövetezésée valószíûségét; továbbá, hogy az A eseméy s függetle a C eseméytõl. A defícó jeletõsége abba rejl, hogy cs tütetett ráy a függetleségbe lletve függõségbe..5. A valószíûség változó és jellemzõ A véletle tömegjeleségeél egy eseméy beövetezése egybe az adott eseméyel óapcsolatos paramétere véletle választását s jelethet. Képzeljü el egy gatlaözvetítõ rodát, amelye a ylvátartásából véletleszerûe választu egy eladásra íált házat. Ilyemódo a házzal együtt véletleül választottu egy alapterületet, egy árat stb. Egy sorozatgyártással elõállított gépalatrész mõségée elleõrzéséél aa egy vagy több jellemzõjét ell lemér, és eze mdegye véletle gadozást mutat, így olya meysége, amelye értée a véletletõl függ. A továbbaba feltesszü, hogy egy ísérlet meetelée jellemzõ számadato. (Ez a feltétel em jelet agy szgorítást. Ha például hajszíeet vzsgálu, aor a ülöbözõ hajszíeet a 0,,,... számoal ódolhatju.) Az egy felmerülõ érdés a övetezõ: a szóbaforgó változó meység egyáltalá mlye értéeet vehet fel. Továbbá meg ell határoz, hogy a változó meység a lehetséges értéet meora valószíûséggel vesz fel. Ez utóbb érdés aor bír jeletéssel, ha a lehetséges

24 4 meetele száma véges, vagy megszámlálhatóa végtele. Ameybe otuum számosságú, aor a változó mde egyes értéét 0 valószíûséggel vesz fel (lásd geometra valószíûség,. feladat), ezért tt más érdést célszerû felte: meora valószíûséggel es bzoyos határo özé. Most potosa megfogalmazzu, hogy mt értü az ú. valószíûség változó. DEFINÍCIÓ. Az η : Ω R függvéyt valószíûség változóa evezzü, ha a P a η < b valószíûség létez mde a < b valós számo eseté. ( ) Tehát a valószíûség változó egy függvéy, amely az eseméytér elemehez valós számoat redel hozzá. A P ( a η < b) szmbólummal aa a valószíûségét jelöljü, hogy az η valószíûség változó értée az a b P a η < b valószíûsége, tervallumba es. A ( ) összességét η eloszlásáa hívju. Mvel a P ( a < b) értéere létez, felülrõl orlátos és mooto övevõ, ha a, így a P ( < b) s létez mde b valós szám eseté. η valószíûség mde valós a < b η valószíûség DEFINÍCIÓ. Az η valószíûség változó eloszlásfüggvéyée az F : R R, F P η < függvéyt evezzü. ( ) ( ) Az eloszlásfüggvéy egy adott valós számhoz tartozó helyettesítés értée megmutatja, hogy az η valószíûség változó meora valószíûséggel vesz fel -él sebb értéet. Az eloszlásfüggvéy alapvetõ tulajdoságat bzoyítás élül özöljü..7. TÉTEL. Az η valószíûség változó F ( ) eloszlásfüggvéye mooto övevõ b eseté F( a) F( b), továbbá függvéy, azaz mde a ( ) 0 lm F lm F és ( ). η eloszlásfüggvéyébõl meghatározható a P ( a < b) P η valószíûség, mert ( a < b) P( η < b) P( η < a) F( b) F( a) η. A valószíûség változó özött emeledõ szerepet játszaa az ú. dszrét ll. folytoos valószíûség változó. A továbbaba csa eze ét típussal foglalozu, mert a gyaorlat számára eze jeletõse.

25 5.. ábra. Véges so értéet felvevõ dszrét valószíûség változó eloszlása DEFINÍCIÓ. η dszrét valószíûség változó, ha értéészlete véges vagy megszámlálható számosságú. Vzsgálju meg, hogya éz egy dszrét eloszlású valószíûség változó eloszlásfüggvéye! Legyee,,K az η által felvehetõ értée. Az lη qeseméye pároét záróa, ezért P( a η < b) P( η ), a, b. Tehát a P ( ) P( η ). A P ( ) η valószíûségeel az összes eseméy valószíûsége megadható, η valószíûségeet az η dszrét valószíûség változó eloszlásáa evezzü, amelyet oordáta-redszerbe ábrázolhatu (.. ábra). A rövdség edvéért legye p P η. η eloszlásfüggvéye egy ú. lépcsõsfüggvéy lesz (.3. ábra). ( )

26 6.3. ábra. Véges so értéet felvevõ dszrét valószíûség változó eloszlásfüggvéye DEFINÍCIÓ. η folytoos valószíûség változó, ha eloszlásfüggvéye folytoos függvéy. Tegyü fel a továbbaba, hogy η folytoos valószíûség változó, és mdeütt esetleg véges so hely vételével mdehol derválható. Legye az F ( ) eloszlásfüggvéy derváltja a f ( ) függvéy, melyet az η valószíûség változó sûrûségfüggvéyée evezzü. A sûrûségfüggvéyt azért célszerû bevezet, mert segítségével szemléletesebbé tehetõ a valószíûség értelmezése folytoos valószíûség változó eseté, sõt tulajdosága matt gyara öyebbe ezelhetõ, mt az eloszlásfüggvéy. Ha F ( ) f ( ), aor F( ) f ( t)dt, ematt a P ( < b) F( b) η valószíûség az η sûrûségfüggvéyée tõl b -g vett határozott tegrálja lesz, tehát a sûrûségfüggvéy b görbéje alatt terület és b özött ( < b) f ( ) P η d (.4. ábra ). Bzoyítás élül felsorolju a sûrûségfüggvéy fotos tulajdoságat : () ( ) 0 f, () ( ) A P( a < b) F( b) F( a) f d. η valószíûség éppe a sûrûségfüggvéy a -tól b -g számított tegrálja: ( a < b) f ( ) P η d. b a

27 7.4. ábra Példá.. Ha 4-él sebbet dobu, aor 500 Ft-ot apu, ha 5-öst vagy 6-ost, aor fzetü 700 Ft-ot. Vlágos, hogy a ísérlet meetelétõl függ péztárcá tartalmáa öveedése vagy csöeése. Eor. Kocadobásál Ω {,,3,4,5,6 } 500, η 0, - 700, haadob s,,3 haadob s4 haadob s5,6.5. ábra. η eloszlásfüggvéye

28 8 dszrét valószíûség változó, amely értéet redre 3,, valószíûséggel vesz fel. Dszrét valószíûség változó eloszlását táblázatba szotu megad, amely megmutatja, hogy a valószíûség változó az értéészletée egyes elemet meora valószíûséggel vesz fel. Most η. 6 3 η eloszlásfüggvéye a.5. ábrá látható lépcsõsfüggvéy.. Egy egységsugarú örbe (céltábla) véletleszerûe jelölü egy potot (lövés). A ξ valószíûség változó adja meg a pota a ör özepétõl mért távolságát. Mvel a céltábla egységsugarú ör, ezért P ( ξ ), továbbá a távolság em lehet egatív, így P ( ξ < 0 ) 0. Legye 0 <. A P ( ξ < ) valószíûség meghatározásához a már megsmert geometra módszert haszálva π P ( ξ < ). π A ξ valószíûség változó eloszlásfüggvéye (.6. ábra) F ( ) 0,ha,ha,ha < 0 0 <, sûrûségfüggvéye (.6. ábra) f ( ) 0 0,ha,ha,ha < 0 0 <.

29 9.6. ábra. ξ eloszlásfüggvéye és sûrûségfüggvéye A függetle eseméye fogalmát felhaszálva, defálhatju valószíûség változó függetleségét. Erre éháy ésõbb állítás megfogalmazása matt va szüségü. DEFINÍCIÓ. Az η és ξ valószíûség változóat függetlee evezzü, ha tetszõleges, < ξ < y eseméye függetlee. * y valós számo eseté az { η } és a { } Megjegyzés. A függetleség eldötése általába ehéz érdés. Rátérü a valószíûség változó jellemzõe leírására..5. elsõ példájához vsszatérve megérdezhetjü, hogy várhatóa meyt yerü vagy vesztü, ha egy ocát feldobu. A választ úgy épzeljü el, hogy agyo soszor (N ) lejátszva a játéot, a yereméyt (és veszteséget) átlagolju. Legye f 500, f 0, f 700 redre az debe szereplõ értéet szerzõ dobáso gyaorsága, eor a yereméy átlaga * Az η, η,..., η valószíûség változóat függetlee evezzü, ha tetszõleges,,..., valós számo η <, η <,..., η < eseméye függetlee. eseté az { } { } { }

30 30 ( 700) 500 f f0 + f g g 0 + ( 700) g 700, N ahol g 500, g 0, g 700 a megfelelõ relatív gyaorságo, amelye a dobáso valószíûsége örül gadoza. Így & DEFINÍCIÓ. Az E ( η) számot az η valószíûség változó várható értéée evezzü, ha ameybe a fet értée léteze. E ( η) f p,haη dszržt ( ) d,haη folytoos, Az η valószíûség változó várható értéée jelölésére haszálju a µ η szmbólumot s, mert gyara éyelmesebbé tesz a leírást. A yereméy várható értée az elõbb említett µ η 6. & η E, amely az elõbb elhagzotta alapjá azt jelet, hogy a fet játéot példáál ( ) 6 soszor lejátszva 6. 6& örül lesz az egy játéra jutó átlagos yereméyü. Most a várható érté tulajdoságat tetjü át..8. TÉTEL. Ha az η valószíûség változó egy ostas A értéet vehet csa fel, aor E η. ( ) A BIZONYÍTÁS. Az η dszrét, mert csa egy értéet vehet fel, mégpedg p valószíûséggel. Ezért E ( η ) A A..9. TÉTEL. Ha az η valószíûség változó várható értée E ( η), aor az Aη + B valószíûség változóa (A, B valós ostaso) s létez várható értée, és ( A + B) A E( η) B E η +. BIZONYÍTÁS. Ha A 0, aor az állítás trváls. Tegyü fel most, hogy A 0. A bzoyítás elõtt tsztázzu, hogy mt jelet Aη + B. Az η valószíûség változó Ω elemehez redel valamlye valós számoat. ξ Aη + B ugyaazo Ω elem eseméyehez olya valós számoat redel, amelyeet megapu, ha η értéészletée elemet A -val megszorozzu és B -t hozzáadu. Mvel Ω ugyaaz η és ξ esetébe, ezért ξ értéée valószíûségeloszlása

31 ugyaaz lesz, hsze az elem eseméye valószíûsége em változott. A tétel természetese a folytoos esetbe s gaz, de a bzoyítást csa a dszrét valószíûség változóra végezzü el. ( ) E η p, ( A B) ( A + B) p A p + Bp E η + p + B p A E( η ) + B. A A bzoyításuat mellõzve még tovább ét fotos tételt özlü..0. TÉTEL. Ha az E ( η) és E ( ξ ) várható értée léteze, aor létez ( η +ξ ) ( η + ξ ) E( η) E( ξ ). E + 3 E s, és.. TÉTEL. Ha η és ξ függetle valószíûség változó, továbbá létez E ( η) és ( ξ ) aor létez E ( ηξ ) s, és E( ηξ ) E( η) E( ξ ). E, Korábba láttu, hogy egy ísérlet eredméyee átlaga a várható érté örül gadoz. Próbálju meg jellemez az gadozást! η E η valószíûség változó az η által felvett érté és az η várható értéée Például az ( ) elõjeles eltérését. η E( η) várható értéée számításához az. és. tételt felhaszálva E ( η E( η) ) E( η) E( E( η) ) E( η) E( η) 0. Nos, ebbõl az eredméybõl a jellemzéshez túl so öveteztetést levo em tudu, ezért más módszerrel ísérletezü. DEFINÍCIÓ. A ( η) E ( η E( η) ) ( ) ( η ) ) D E értéet az η valószíûség változó szóráségyzetée (varacájáa) evezzü, ha létez. DEFINÍCIÓ. A ( η) D ( η) µ η D értéet az η valószíûség változó szórásáa hívju. (Vgyázzu arra, hogy e everjü össze a most defált fogalmaat egy adatsor szóráségyzetével ll. szórásával!) Haszálatos még a σ η ll. σ η jelölés s az η valószíûség változó szóráségyzetée lletve szórásáa jelölésére. A szóráségyzet defícójából egy öyebbe ezelhetõ alaot lehet levezet. D ( ) ( η + η ) E( η ) µ E( η) + E( ) ( η) E ( η µ ) E η µ η ( η ) E ( η) E( η ) η η µ η µ η E.

32 3 Eszert dszrét valószíûség változó szóráségyzete ( ) D η p µ η, folytoos valószíûség változó szóráségyzete ( ) ( ) D η f d µ η. Számolju, mey lesz a yereméy szórása az elsõ példába! D 3 D ( η) E( η ) E ( η) ( 700) ( 6.6& ) D η ( ) 7 A szóráségyzet tulajdoságat vzsgálju a övetezõbe... TÉTEL. Ha η valószíûség változó egy ostas A értéet vehet fel, aor η ( ) 0 BIZONYÍTÁS. D ( ) E ( η E( η) ) ( ) E( A E( A) ) ) E( A A) ) ( 0) 0 η E..3. TÉTEL. Ha η valószíûség változó szóráségyzete σ η és A valós ostas, aor ) σ η+a ) σ Aη BIZONYÍTÁS. D η + A létez, és σ σ, létez, és σ η+ A η Aη A ση ) ( ) E ( η + A). σ η + A ( ) E ( η + A) E( η + Aη + A ) ( E( η) + E( A) ) E( η ) + AE( η) + E( A ) E ( η) E( A) E( η) E ( A) ( η ) E ( η) D ( η) ) σ D ( Aη) E ( Aη) σ η E. ( ) E ( Aη) A E( η ) A E ( η) A D ( η) A. A η σ η Tegyü most fel, hogy η és ξ valószíûség változó σ η és σ ξ szóráségyzettel. Vzsgálju meg, hogy mt modhatu az η + ξ valószíûség változó szóráségyzetérõl! D E ( η + ξ ) E ( η + ξ ) ( ) E ( η + ξ ) E( η + ηξ + ξ ) E( η) + E( ξ ) ( ) ( η ) E ( η) + E( ξ ) E ( ξ ) + E( ηξ ) E( η) E( ξ ) D ( η) + D ( ξ ) + E( ηξ ) E( η) E( ξ ) ( ). E ηξ E η E ξ, E ηξ E η E ξ meység em Ha η és ξ függetle valószíûség változó, aor a 4. tétel értelmébe ( ) ( ) ( ) 0 tehát σ σ σ. Ha η és ξ em függetlee, aor az ( ) ( ) ( ) + + tû el. η ξ η ξ, meység, aor ezt az η és ξ valószíûség változó ovaracájáa evezzü. DEFINÍCIÓ. Ha létez a COV ( η ξ ) E( ηξ ) E( η) E( ξ )

33 33 A ovaraca fogalmáa felhaszálásával az alább tételt bzoyítottu..4. TÉTEL. Ha σ η és σ ξ léteze, aor σ η+ ξ s létez, és σ + σ + σ + COV ( η ξ ). η ξ η ξ +.5. TÉTEL. ( η ξ ) E( ( η µ )( ξ )) BIZONYÍTÁS. E η µ COV,. η µ ξ (( )( ξ µ ) E( ηξ ηµ ξµ + µ ) E η ξ ξ η η µ ξ ( ηξ ) µ E( η) µ E( ξ ) + µ µ E( ηξ ) E( η) E( ξ ). ξ η η ξ A ovaraca ét valószíûség változó egymáshoz vszoyított "változéoyságát" jellemz. Függetle valószíûség változó ovaracája 0, de eze állítás megfordítása em gaz, így a ovaraca em alalmas aa eldötésére, hogy ét valószíûség változó függetle-e. A ovaraca fogalmával majd a regresszószámítás címû fejezetbe smét találozu..6. TÉTEL. Legye η valószíûség változó, melye várható értée µ η, szórása σ η, η µ η továbbá legye ξ valószíûség változó. Eor σ η ) µ ξ 0, ) σ ξ. BIZONYÍTÁS. η µ η µ η µ η ) µ ( ) ξ E ξ E E( η µ ) ( ) 0 η E η µ η. ση σ η σ η σ η ση σ η η µ σ D η. ση ση σ η ση η η ) σ ( ξ ) D D ( η µ ) D ( η) ξ A valószíûség változóra voatozó fet specáls traszformácót stadardzálása evezzü, és ésõbb gyara fogju haszál.

34 34.6. Nevezetes eloszláso *.6.. Dszrét valószíûség változó eloszlása. Idátorváltozó eloszlása Legye Ω tetszõleges eseméytér és A Ω( p P( A) ) tetszõleges eseméy. Azt az η valószíûség változót, amely egy elem eseméyhez lletve 0 értéet redel aszert, hogy az elem eseméy része vagy sem az A eseméye, dátorváltozóa evezzü. Az η dátorváltozó értéészlete a 0, számoból áll és eloszlása: P ( η ) p, P( η 0) p (lásd.7. ábra). η várható értée µ 0 ( p ) + p p. η η szóráségyzete 0 ( p) + p p p( p) σ. η.7. ábra. Idátorváltozó eloszlása. Egyeletes eloszlás Az η dszrét valószíûség változó egyeletes eloszlású, ha értéészlete véges, aa mde elemét (,, K, ) ugyaaora valószíûséggel vesz fel. Példá. Kocadobás eseté a felsõ lapo levõ értéet (lásd.8. ábra), ártyahúzásál pedg a íhúzott lap szíét megadó valószíûség változó egyeletes eloszlású. η eloszlása P( η ), (,, K, ), * A számura fotos eloszláso a szoásos ( potos) betûagysággal vaa szedve, a több tájéoztató jelleggel és gyaorlás céljából erült be apró (0 potos) betûvel.

35 35 η várható értée µ η p η η. η szóráségyzete σ µ..8. ábra. Valószíûségeloszlás ocadobásál 3. Bomáls eloszlás Az η dszrét valószíûség változót -edredû, p paraméterû bomáls eloszlásúa evezzü, ha a 0,, K, természetes számoból áll az értéészlete, és eloszlása: P( ) p ( p) η, ( 0,, K,). Példá. Meghatározott számú pézérmét vagy dobóocát feldobva a feje lletve a hatoso száma bomáls eloszlású. Általáosabba fogalmazva tegyü fel, hogy az A eseméy p valószíûséggel övetez be. -szer egymástól függetleül elvégezve a ísérletet, az A eseméy beövetezésée gyaorságát jelölje az η valószíûség változó. Aa a valószíûsége, hogy az A eseméy potosa -szor övetez be (lásd vsszatevéses mtavétel). Vezessü be a q p alota, mert összegü. P ( ) ( ) η p p p jelölést. A megadott P ( ) 0 P( η ) p q ( p + q). 0 η valószíûsége téyleg eloszlást

36 36 η várható értée µ η p. ( ) q p q p p 0 0 0!!! η µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! q p p q p p ( ) p q p p +. η szóráségyzete σ η pq. ( ) 0 0 p q p p p q p p η η µ σ ( ) + p q p q p p ( ) ( ) ( ) + + p p p p q p p p ( ) ( ) ( ) ( ) pq p p p p p p p ábra. Bomáls eloszlású valószíûség változó eloszlása Megjegyzése.. A bzoyításál feltettü, hogy. Ha értée, aor s pq lesz a bomáls eloszlású valószíûség változó szóráségyzete, ee gazolását az olvasóra bízzu.. A fet ét állítást bzoyíthatju az dátorváltozó segítségével s. Jeletse η (,,...,) azt az dátorváltozót, mely lletve 0 értéet vesz fel aszert, hogy az -ed ísérletbe az A eseméy beövetezett vagy sem. Eze pároét függetle valószíûség változó p várható értéel és pq szóráségyzettel. Eor η η η η K bomáls eloszlású, hsze az A eseméy gyaorságát adja meg az számú ísérletbe. A várható értére és a szóráségyzetre bzoyított tételeet felhaszálva η várható értéére és szóráségyzetére a övetezõet apju.

37 37 ( η) E( η η ) E( η ) + + E( ) p, ( η) D ( η η ) D ( η ) + + D ( ) pq. µ η E K η σ η D K η 3. Nagy és eseté a bomáls eloszláshoz tartozó valószíûségeet özelítõ táblázatból olvashatju. 4. Polomáls eloszlás A bomáls eloszlás általáosítása. Ha egy ísérlet meetele az egymást záró K eseméye, amelye összege Ω, és a ísérletet egymástól függetleül N-szer A, A,, A s elvégezzü, aor az η szmbólummal jelölve az A eseméy beövetezésée gyaorságát P N! s N.!! K s! s ( η, η, K, ηs s ) p p K ps, p az A eseméy beövetezésée valószíûségét jelöl. Az η ( η, η,, ) dmezós valószíûség vetorváltozó. K η s ú. s Feladat. Egy fûrészüzembe az elõállított deszá ötöde selejt, egyede másodosztályú, a több elsõosztályú. Mey aa a valószíûsége, hogy 9 darab véletleszerûe (vsszatevéses mtavétellel) választott deszából 6 elsõosztályú, ét másodosztályú és egy selejt lesz? A 9 elemû mtából a választott elsõosztályú termée számát az η valószíûség változó adja meg, a másodosztályúaét η, végül a selejteét η 3. A fete alapjá a eresett valószíûség 9! P ( η 6, η, η3 ) !!! Az.0. ábrá az összes lehetséges 9 elemû mta valószíûségét tütettü fel oszlopdagramo. (Elég a selejte és a másodosztályúa számát megad, mert η 9 η η.) 3

38 38.0. ábra 5. Hpergeometrus eloszlás Az η dszrét valószíûség változó N, K, paraméterû hpergeometrus eloszlású, ha az értéészlete a 0,, K, természetes számoból áll, és eloszlása K N K N P( η ), ( 0,, K,). A paraméterere teljesüle ell az N > K és a 0 < m{ K, N K} feltételee... ábra. Hpergeometrus eloszlású valúszíûség változó eloszlása (N 30) Példá. Lottóhúzásál az eltalált yerõszámo száma hpergeometrus eloszlású. Most tegyü fel, hogy adott egy N elemû halmaz, amelybõl K elemet valamely szempot szert megjelöltü.

39 39 Egy elemû véletle mtát választva az eredet halmazból, a mtába szereplõ megjelölt eleme számát jelölje az η valószíûség változó. Aa a valószíûségét, hogy a választott mtába darab megjelölt elem lesz, az elõbb éplet írja le. (Lásd vsszatevés élül mtavétel.) A megadott ( ) P η valószíûsége eloszlást alota, mert összegü 0 K N K N. η várható értée µ η K N. K N K N N K N K p η µ N K N N K K N K N K. η szóráségyzete N N N K N K η σ. 6. Negatív bomáls eloszlás (PASCAL-eloszlás) Az η valószíûség változót -edredû, p paraméterû egatív bomáls eloszlásúa evezzü, ha értéészlete az,, + K természetes számoból áll, és eloszlása: ( ) q p P η, ( ), +,K. Példa. Legye egy véletle A eseméy beövetezésée valószíûsége p. Az η valószíûség változó vegye fel a értéet, ha az A eseméy -edszerre éppe a -ad ísérletbe övetez be. Mvel q p,

40 40 ezért valóba eloszlást defáltu. η várható értée µ η p. η szóráségyzete σ η q p... ábra. PASCAL-eloszlású valószíûség változó eloszlása 7. POISSON-eloszlás Az η dszrét valószíûség változót λ > 0 paraméterû POISSON-eloszlásúa evezzü, 0,,,K, és eloszlása ha értéészlete a természetes számo halmaza ( ) P λ! λ ( η ) e, ( 0,,,K ). Példá. Egy yár éjszaá rögzített t dõ alatt észlelt hullócsllago száma, egy telefoözpotba a 0,t dõtartam alatt beérezõ telefohíváso száma, egy úteresztezõdésbe a perceét áthaladó autó száma, bútorpar yersayagoál égyzetméterre esõ görcsö száma

41 4 POISSON-eloszlást övet. Általába egy rögzített t dõ alatt ll. adott térrésze megfgyelt azoos típusú törtéése száma POISSON-eloszlású lesz. A ( ) P η valószíûsége eloszlást alota, mvel λ λ λ λ λ λ e e e e!! 0 0. η várható értée ( ) λ λ λ λ µ λ λ η e e p 0 0!!. η szóráségyzete ( ) 0 0!! λ λ λ λ λ µ σ λ λ η η e e p ( ) ( ) ( ) +!! λ λ λ λ λ λ e e ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ + +! e..3. ábra. POISSON-eloszlású valószíûség változó eloszlása

42 4.6.. Folytoos valószíûség változó eloszlása l. Normáls eloszlás Ez az eloszlás a valószíûségszámításba és a matemata statsztába egyarát emeledõ szerepet játsz, a mdeap élet leggyarabba elõforduló eloszlása. Az η folytoos valószíûség változó ( µ, σ ) paraméterû ormáls eloszlású ( σ > 0), ha sûrûségfüggvéye µ ( ) σ f e, ( < < ) σ π. Példá. Homogé, agy populácóba a fejlett egyede testmérete, egy gyártás folyamatba fellépõ méretgadozáso, a mérés hbá, azoos típusú fapar termée mérete és szlárdság adata, az tellgecateszte eredméye jó özelítéssel md ormáls eloszlást övete. Késõbb részletese fejtjü, hogy mt értü jó özelítése. 0.4 (4,) (4,) (8,).4. ábra. Normáls eloszlású valószíûség változó sûrûségfüggvéye Ha az η valószíûség változó (0,l) paraméterû, aor stadard ormáls eloszlásúa (z eloszlásúa) evezzü, melye sûrûségfüggvéye ϕ ( ) e π, ( < < ). Md f(), md ϕ() poztív értéû függvéy. Moór Artúr: Matemata I-II. jegyzetée 4l-4. oldalá bzoyíttatott, hogy övetez, hogy f ( ) s sûrûségfüggvéy, ugyas a z ϕ ( ) d. Tehát ϕ ( ) valóba sûrûségfüggvéy. Ebbõl µ σ helyettesítést alalmazva

43 43 f µ ( ) σ d e d z e dz σ π π..5. ábra. Stadard ormáls eloszlású valószíûség változó sûrûségfüggvéye és eloszlásfüggvéye A stadard ormáls eloszlású valószíûség változó eloszlásfüggvéye (lásd.5. ábra) t Φ( ) ϕ ( t) dt e dt. Belátható, hogy Φ( ) Φ( ). π Mvel Φ( ) mt a ϕ( ) sûrûségfüggvéy prmtív függvéye eplct alaba em állítható elõ, ezért Φ( ) ülöbözõ helye vett helyettesítés értéet táblázatba szotá megad. Mde ormáls eloszlású valószíûség változó stadardzálással stradard ormáls eloszlásúvá alaítható, így az elõbb említett táblázat tetszõletes paraméterû ormáls eloszlás eseté (özvetve) haszálható. A ormáls eloszlású η valószíûség változó várható értée µ η µ. µ η e σ π µ σ d z ( σz + µ ) e σ dz σ π z z σ z e dz + µ e dz σ 0 + µ µ. π π

44 44 (Páratla függvéy tõl g vett tegrálja 0.) Az η szórása σ σ η. ( ) + µ σ π σ µ σ µ π σ σ σ µ η dz e z d e z + + µ π µ π µσ π σ dz e dz e z dz e z z z z + + σ π π µσ µ µ σ 0. Az elsõ tegrált parcáls tegrálással tudju meghatároz: dz e e z dz ze z z z z π π π 0 0 lm lm + + z z z z e z e z. Ezzel megvlágítottu a paramétere jeletését. A ormáls eloszlás a statsztába özpot szerepet játsz, elmélet és gyaorlat fotosságát mutatja a övetezõ tétel..7. TÉTEL (CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELE). Legyee η η η,,, K azoos eloszlású ( ) ( ) E,,,,, K σ µ σ η η valószíûség változó. Eor az összegü stadardzáltja határesetbe stadard ormáls (z) eloszlású valószíûség változó, azaz tetszõleges R eseté < + + t dt e P lm π σ µ η η K. A tétel értelmébe agy értée eseté ormáls eloszlással özelíthetõ például az,p paraméterû bomáls eloszlás, az szabadság foú χ eloszlás * és az -edredû λ paraméterû * Lásd 5. pot.