FAKT(n) P = VARIÁCIÓK(n;n) = VARIÁCIÓK(n;k) = KOMBINÁCIÓK(n;k) b) = factorial(n) P = factorial(n)

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "FAKT(n) P = VARIÁCIÓK(n;n) = VARIÁCIÓK(n;k) = KOMBINÁCIÓK(n;k) b) = factorial(n) P = factorial(n)"

Klára Papné
9 évvel ezelőtt
Látták:

1 A biomatematia alapjai és a apcsolódó feladato megoldása számítógép segítségével Aboyi-Tóth Zsolt, Miért fotos a valószíűségszámítás és a statisztia? Mert el szereté dötei, hogy egy-egy orét esetbe szerecsé volt-e, pechü volt-e, vagy épp a várható módo törtét mide. o Ahogy odaértü a megállóba, fél perce belül jött a busz. o Öt percet ellett váru a megállóba a buszra. észült Haros Adrea, Reiczigel Jeő zoológus előadásaia valamit Fodor Jáos és Solymosi Norbert taayagaia a felhaszálásával Mert el szereté dötei, miért meyit érdemes ocáztati. o Mide másodi telefoáló 500 Ft-os öyvutalváyt ap. A szerecsés yertes pedig millió forittal lesz gazdagabb. A hívás díja 800 Ft + ÁFA. o Melyi az a légitársaság, amelyiel a legolcsóbba juto el Lodoba úgy, hogy em ésem le a ocertet? Mert el szereté dötei, elhiggyü-e valamit, amit olvasu, vagy hogy észrevegyü, hol va bee a hiba. o A megérdezette 40%-a egyetért az Öormáyzat dötésével, 45%-a ellezi azt, 0%-u pedig em yilatozott a érdésről. o Az itelligeciateszte sorá a gyeree mide megyébe jobb eredméyt érte el az országos átlagál. o A vizsgálati eredméye em álla elletmodásba azzal a feltételezéssel, hogy az új és a hagyomáyos módszer eseté azoos a gyógyulási aráy. Mert a vizsgálatai alapjá olya állításoat szereté megfogalmazi, amelye megfelele a valósága. o Hatásosabb-e az éppe tesztelt új gyógyszer? o Javítja-e a cuorbeteg utyá állapotát a vizsgált táplálé-iegészítő? o A májezimszite vizsgálatával előre megadható, hogy az állat reagál-e a gyógyszeres ezelésre? alószíűségszámítás So egyformá valószíű imeetel eseté a imeetele számától függ egy eseméy valószíűsége. edvező esete / összes esete (éha em éppe edvező ) Példá: ocadobás : 6 szám, mid egyformá valószíű mide 6 a valószíűsége ét oca: számpár midegyie 36 a valószíűsége ét ocá a ét szám összege 0, aa 36 3 a valószíűsége (4+6, 5+5, 6+4) o Miért va a 4+6 és a 6+4 így is, úgy is, és az 5+5 csa egyszer?! tételhúzás (I. rész 9, II rész 8 tétel): pár mide pára a valósz. 72

o Öt percet ellett váru a megállóba a buszra.

2 alószíűségi modelle Modelle evezzü azoa a feltételezésee az együttesét, amelye a eretet adjá egy valószíűségszámítási vagy statisztiai probléma megoldásához, vagyis amelyee a számoláso alapula. Ezeet gyara csa hallgatólagosa feltételezzü (azoba helyesebb, ha imodju). Példa: Meyi a valószíűsége, hogy égy ővér özül először a legidősebb megy férjhez, másodszor a másodi legidősebb, és így tovább? Hallgatólagos feltételezés: mide lehetséges sorred egyformá valószíű A feltételezése alapuló megoldás: 24 Példa: Meyi a valószíűsége, hogy egy pézérmével egymás utá égy fejet dobu? Hallgatólagos feltételezése: az érme szabályos, azaz a fej valószíűsége mide egyes dobásál 2 az egyes dobáso eredméye egymástól függetle A feltételezésee alapuló megoldás: Realisztius? Elfogadható? Ha már megva a modell, a számításo em eheze (egy matematius is segíthet), ehezebb egy valósághű modellt találi (abba a matematius sem soat tud segítei). A legfotosabb modell-típuso (hallgatólagos feltételezése) A lasszius valószíűségi modell Feltesszü, hogy va éháy véges so olya eseméy (atom, imeetel, elemi eseméy), amelyeből a ísérlettel apcsolatos összes eseméy felépíthető, feltesszü továbbá, hogy eze mid egyelőe valószíűe. Lásd a feti példáat (ocadobás, tételhúzás, sorred). Gyara szimmetria-megfotoláso alapjá választju ezt a modellt. Itt az esete összeszámlálására a ombiatoria módszereit és eredméyeit haszálju: lasszius ~ elemi ~ ombiatorius valószíűségszámítás. A tapasztalati (empirius) valószíűségi modell Soszor megfigyeljü a törtéést vagy soszor megismételjü a ísérletet, és az egyes eseméyehez a megfigyelt relatív gyaoriságu szerit redelü hozzá valószíűségeet. Szubjetív valószíűsége Ha sem a lasszius modell em haszálható (mert semmi ou ics feltételezi, hogy egyelő valószíűségű elemi eseméye leée a vizsgált folyamatba), sem pedig ismételt megfigyelésre ics módu (ilye helyzete például: tőzsdei dötése, állás elyerésée, háború itörésée esélyei stb.) aor jobb híjá iidulhatu az esélye szubjetív megítéléséből is.

Példa: Meyi a valószíűsége, hogy égy ővér özül először a legidősebb megy férjhez, másodszor a másodi legidősebb, és így tovább?

3 Kombiatoria éges so objetum (em midig egy halmaz elemei, éha egyelő is lehete özöttü!) özül bizoyosa iválasztása és/vagy sorba redezése. Midig godolhatju úgy, hogy az objetumo természetes számo (hisze megszámozhatju őet). Permutáció (csa sorba redezés, az összes objetumot felhaszálju) Ismétlés élüli a permutáció, ha az objetumo mid ülöböző. Ismétléses a permutáció, ha az objetumo özött vaa azoosa. Példá: Az, 2, 3, 4, 5 számo egy permutációja: 2,, 5, 3, 4 (ismétlés élüli) Az,, 2, 3, 4, 4 számo egy permutációja:, 2, 4,, 3, 4 (ismétléses) Kombiáció (csa iválasztás, sorba redezés élül) Ismétlés élüli a ombiáció, ha mide objetumot csa egyszer választhatu i. Ismétléses a ombiáció, ha ugyaazt az objetumot többször is iválaszthatju. Példá: az, 2,..., 0 számo egy harmadosztályú ismétlés élüli ombiációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, ugyaaz a ombiáció (mert ugyaazo a számo vaa iválasztva) egy ötödosztályú ismétléses ombiációja: 3, 3, 6, 6, 9 o ugyaaz pl. a 3, 6, 9, 6, 3 is (ugyaazo a számo, mid ugyaayiszor) ariáció (iválasztás és a iválasztotta sorba redezése, vagy sorba egymás utái iválasztás) Ismétlés élüli a variáció, ha mide objetumot csa egyszer választhatu. Ismétléses a variáció, ha ugyaazt az objetumot többször is iválaszthatju. Példá: az, 2,..., 0 számo egy harmadosztályú ismétlés élüli variációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, mid ülöböző variáció (bár a iválasztás ugyaaz, a sorba redezés más) egy ötödosztályú ismétléses variációja: 3, 3, 6, 6, 9 o a 3, 6, 9, 6, 3 em azoos vele (ugyaazo a számo, de más a sorred) FIGYELEM! Az agol szóhaszálat más, ott a variációat is permutációa evezi, és em említi az ismétléses változatoat. elem összes ismétlés élüli permutációia száma P! (ituitív, matematiailag em teljese precíz a övetezőre is ugyaez érvéyes): Az első elem számára hely özül választhatu, a másodi elem számára bármelyiet is választottu elsőre a megmaradó - hely özül,... végül az -i elem számára már csa egyetle szabad hely marad. elem összes ismétléses permutációia száma, ha az eleme özött azoos, 2! szité azoos, de az előzőetől ülöböző, stb. található: P, 2, L,! 2! K! Ha mid az elem ülöböze, aor! számú permutációju vola. Azoba most midazo a permutáció megegyeze, ahol azoos eleme egymás özött vaa permutálva, eze száma pedig! 2!.

Permutáció (csa sorba redezés, az összes objetumot felhaszálju) Ismétlés élüli a permutáció, ha az objetumo mid ülöböző. Ismétléses a permutáció, ha az objetumo özött vaa azoosa.

4 elem összes -adosztályú ismétlés élüli variációia száma:! ( )! elem összes -adosztályú ismétlés élüli ombiációia száma! ( )!! Az első helyre az elem bármelyiét választhatju, a másodi helyre a megmaradó - elem bármelyiét,... végül a -i helyre ( +) elem özül választhatu. i elem összes -adosztályú ismétléses variációia száma:,,, P, hisze a variáció azt jeleti, hogy iválasztu elemet és sorba redezzü őet. A zsebszámológépee helyett eressü -t vagy r -t! Ha sorba egymás utá -szor választu, és az ismételhetőség miatt mid a alalommal mid az elem választható, aor az összes lehetősége száma. Nyilvávaló, hogy P,. A zsebszámológépee (mert a yelvü agol) helyett P, sőt, még gyarabba P vagy Pr szerepel., P, Modellezzü az elem özül darab iválasztását úgy, hogy sorba felírju az elemet, és midegyi alá + vagy jelet íru, aszerit, hogy választju, vagy em. Tehát db + jelet és ( ) db jelet haszálu. Például: ( ) Láthatóa egy ilye jelsorozat ölcsööse egyértelműe megfelel egy iválasztása (a megfeleltetés oda-vissza egyértelmű). a lehetséges iválasztáso, P, a jelsorozato száma, tehát egyelő. elem összes -adosztályú ismétléses ombiációia száma i, +, Bizoyítás vázlata: Mide ismétléses ombiációa megfeleltetü egy db jelből és db jelből álló jelsorozatot, például ha 5 (az eleme, 2, 3, 4, 5) és 8, aor ~ ~ ~ stb. Ez ölcsööse egyértelmű megfeleltetés, tehát ugyaayia ell, hogy legyee.

A zsebszámológépee helyett eressü -t vagy r -t! Ha sorba egymás utá -szor választu, és az ismételhetőség miatt mid a alalommal mid az elem választható, aor az összes lehetősége száma.

5 Biomiális együttható Egy mási megszoott jelölés és elevezés a biomiális együttható Az elevezés hátterébe a biomiális tétel áll: ( a+ b) 0 a b -ra: (olvasd: alatt a ), Excel! FAKT() P ARIÁIÓK(;) R ARIÁIÓK(;) KOMBINÁIÓK(;)! factorial() P factorial() Számítógép factorial()/factorial(-) factorial()/(factorial(-)*factorial())

(olvasd: alatt a ), Excel! FAKT() P ARIÁIÓK(;) R ARIÁIÓK(;) KOMBINÁIÓK(;)!

Hasonló dokumentumok

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ: