Differeniál egenletek (rövid áttekintés) Differeniálegenlet: olan matematikai egenlet, amel eg vag több változós ismeretlen függvén és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges differeniálegenletek, ariális differeniálegenletek, (sztoasztikus differeniálegenletek, késleltetett differeniálegenletek) Közönséges differeniálegenlet: olan matematikai egenlet, amel eg független változójú függvén és deriváltjai közötti összefüggést adja meg. d Pl. m F, aol t (Newton II. törvéne) dt Pariális differeniálegenlet: olan matematikai egenlet, amel az ismeretlen többváltozós függvén és a ariális deriváltjai közötti kasolatot írja le. u, Pl. ; és a megoldás u, f. Seiális eset: Lineáris állandó egüttatós közönséges inomogén differeniálegenlet n n d d An A n n A r, aol r a zavaró függvén. Megoldás: aol, n n d d a An A n n A omogén differeniálegenlet általános megoldása, az A A A r n n d d n n n n inomogén differeniál- egenlet eg artikuláris megoldása. A omogén differeniálegenlet általános megoldása: n n d d An A n n A Megoldást e alakban keressük A n n A A e Karakterisztikus egenlet: n A A A (n-ed rendű olinom) n n Megoldása: n számú gök:,,, n. n A differeniálegenletnek n számú alamegoldása van: e,e,,e. Az alamegoldások lineáris kombináiója is megoldása differeniálegenletnek: C e C e,, C e n n
Az ismeretlen C i,,,n i konstansok a erem-, illetve kezdeti feltételekből megatározatóak. Az inomogén differeniálegenlet eg artikuláris megoldása: n n d d An A n n A r A megoldást élszerű a zavaró vag más néven forrás függvén alakjában keresni, mert ez többnire eredménre vezet: C r. Beelettesítés után a C konstans megatározató. Deriváltak jelölése: d ' d, d '',, stb. (el szerinti deriváltak) d d, dt, d,, stb. (idő szerinti deriváltak) dt
. Példa: Adott eg másodrendű állandó egüttatós közönséges lineáris differeniálegenlet valamint az eremen a függvén és deriváltjának értéke: '' 4, ' 4., Feladat a differeniál egenlet megoldásának előállítása. Megoldás: Homogén megoldás: omogén de. " 4, megoldás keresése 4 e karakterisztikus egenlet 4 ; 4 ;, e C e C e omogén ált megoldás: Az alamegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináiója is megoldás e e e e A A ( ) s( ) azaz A A s. Partikuláris megoldás: C (a zavaró függvén alakjában keressük) '' 4 beelettesítés után 4C 4 C 4 Peremfeltételek figelembevétele: A A s 4 A A 4 9 4 A A 4 8 8 ' 4 ' 4 A s A Végül: = 9 s. 8 4
. Példa: Adott eg másodrendű állandó egüttatós közönséges lineáris differeniálegenlet valamint az eremen a függvén és deriváltjának értéke: '' 4, ' 4., Feladat a differeniálegenlet megoldásának előállítása. Megoldás: Homogén megoldás: omogén de. " 4, megoldás keresése 4 e karakterisztikus egenlet 4 ; 4 ;, i e C e C e, omogén általános megoldás i i i i aol e os i sin ; e os i sin azaz C os i sin C os i sin Az alamegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináió is megoldás e i e i e i e i A A. os( ) sin( ) Beelettesítés után: A os A sin Partikuláris megoldás: '' 4 beelettesítés után 4C C 4 ; ; Peremfeltételek figelembevétele: C (alakban keressük) 4 A os A sin 4 A os A 4 4 A os A 4 4 8 = os sin. 8 4 ' 4 ' 4 A sin A os Végül:
. Példa: Adott eg kezdeti érték feladat differeniálegenlete és a t= időontban a függvénérték és első deriváltja: 9 os t ;. és Feladat az adott kezdeti érték feladat megoldásának előállítása. Megoldás: t t Homogén megoldás: omogén de. 9, megoldás keresése karakterisztikus egenlet t 9 e 9 ; t C e C e, omogén általános megoldás it it t e 9 ;, 9 i it it aol e os t i sint ; e ost i sint azaz C ost i sint C os t i sin t az alamegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináió is megoldás e it e it e it e it A A os( t ) sin( t ) beelettesítés után A ost A sint Partikuláris megoldás: 4 os t a deriváltak: ; C sin t ; C os t (alakban keressük) C 4 os t beelettesítése után 4C os t 9C os t os t 5C ; C ; os t 5 5 Peremfeltételek figelembevétele: t t t 5 A os A 5 5 5 A os A sin os 5 A os A t t t = ost sint os t. 5 5 ' 4 A sin A os os Végül:
Eg rezgéssé alakítások (addiiós tételek): átalakítás I. ost sint a ost a os t a os ost a sin sint a os a sin a a a sin tg artg a os átalakítás II. ost sint a sint a sin t a sin ost a os sint a sin a os a a a sin tg artg a os